Събиране и изваждане на модули с различни знаци. Събиране и изваждане на дроби

Почти целият курс по математика се основава на операции с положителни и отрицателни числа. В крайна сметка, веднага щом започнем да изучаваме координатната линия, числата със знаци плюс и минус започват да ни се появяват навсякъде, във всеки нова тема. Няма нищо по-лесно от събирането на обикновени положителни числа, не е трудно да извадите едното от другото. Дори аритметиката с две отрицателни числа рядко е проблем.

Много хора обаче се объркват относно събирането и изваждането на числа с различни знаци. Нека си припомним правилата, по които се извършват тези действия.

Събиране на числа с различни знаци

Ако за да решим задача трябва да добавим отрицателно число „-b“ към някакво число „a“, тогава трябва да действаме по следния начин.

• Нека вземем модулите на двете числа - |a| и |b| - и сравнете тези абсолютни стойности една с друга.
• Нека да отбележим кой модул е ​​по-голям и кой по-малък и да извадим по-малката стойност от по-голямата стойност.
• Нека поставим пред полученото число знака на числото, чийто модул е ​​по-голям.

Това ще бъде отговорът. Можем да го кажем по-просто: ако в израза a + (-b) модулът на числото „b“ е по-голям от модула на „a“, тогава изваждаме „a“ от „b“ и поставяме „минус ” пред резултата. Ако модулът "a" е по-голям, тогава "b" се изважда от "a" - и решението се получава със знак "плюс".

Също така се случва модулите да се окажат равни. Ако е така, можете да спрете на този етап - ние говорим заза противоположни числа и тяхната сума винаги ще бъде нула.

Изваждане на числа с различни знаци

Разбрахме се със събирането, сега нека да разгледаме правилото за изваждане. Освен това е доста просто - и в допълнение напълно повтаря подобно правило за изваждане на две отрицателни числа.

За да извадите от определено число „a“ - произволно, тоест с произволен знак - отрицателно число „c“, трябва да добавите към нашето произволно число „a“ числото, противоположно на „c“. Например:

• Ако „a“ е положително число, а „c“ е отрицателно и трябва да извадите „c“ от „a“, тогава го записваме така: a – (-c) = a + c.
• Ако „a“ е отрицателно число, а „c“ е положително и „c“ трябва да се извади от „a“, тогава го записваме по следния начин: (- a)– c = - a+ (-c).

Така при изваждане на числа с различни знаци се връщаме към правилата за събиране, а при събиране на числа с различни знаци се връщаме към правилата за изваждане. Запомнянето на тези правила ви позволява да решавате проблеми бързо и лесно.

„Събиране на числа с различни знаци“ - Учебник по математика, 6 клас (Виленкин)

Кратко описание:

В този раздел ще научите правилата за събиране на числа с различни знаци: тоест ще се научите да събирате отрицателни и положителни числа.
Вече знаете как да ги добавите към координатна линия, но във всеки пример няма да нарисувате права линия и да броите с нея? Следователно трябва да се научите как да сгъвате без него.
Нека се опитаме с вас да добавим отрицателно число към положително число, например осем добавете минус шест: 8+(-6). Вече знаете, че добавянето на отрицателно число намалява първоначалното число с отрицателна стойност. Това означава, че осем трябва да се намали с шест, тоест шест трябва да се извадят от осем: 8-6 = 2, което дава две. В този пример всичко изглежда ясно; изваждаме шест от осем.
И ако вземем този пример: добавете положително число към отрицателно число. Например минус осем добавете шест: -8+6. Същността остава същата: намаляваме положително число със стойността на отрицателно, получаваме шест изваждаме осем е минус две: -8+6=-2.
Както забелязахте, както в първия, така и във втория пример с числа се извършва действието изваждане. Защо? Защото имат различни знаци (плюс и минус). За да избегнете грешки при добавяне на числа с различни знаци, трябва да изпълните следния алгоритъм:
1. намерете модулите на числата;
2. извадете по-малкия модул от по-големия модул;
3. Пред получения резултат се поставя знак за число с голяма абсолютна стойност (обикновено се поставя само знак минус, а знак плюс не се поставя).
Ако съберете числа с различни знаци, следвайки този алгоритъм, тогава ще имате много по-малък шанс да направите грешка.

План на урока:

аз Организиране на времето

Индивидуална проверка домашна работа.

II. Актуализиране на основните знания на учениците

1. Взаимно обучение. Контролни въпроси(двойна организационна форма на работа - взаимна проверка).
2. Устна работа с коментиране (групова организационна форма на работа).
3. Самостоятелна работа(индивидуална организационна форма на работа, самопроверка).

III. Съобщение за темата на урока

Групова организационна форма на работа, излагане на хипотеза, формулиране на правило.

1. Изпълнение на обучителни задачи по учебника (групова организационна форма на работа).
2. Работа на силни ученици с помощта на карти (индивидуална организационна форма на работа).

VI. Физическа пауза

IX. Домашна работа.

Мишена:развиване на умение за събиране на числа с различни знаци.

Задачи:

• Формулирайте правило за събиране на числа с различни знаци.
• Практикувайте събиране на числа с различни знаци.
• Развивайте логическо мислене.
• Развийте умение за работа по двойки и взаимно уважение.

Материал за урока:карти за взаимно обучение, таблици с резултатите от работата, индивидуални карти за повторение и затвърдяване на материала, мото за самостоятелна работа, карти с правило.

ПО ВРЕМЕ НА ЗАНЯТИЯТА

аз Организиране на времето

– Нека започнем урока с проверка на индивидуалната домашна работа. Мотото на нашия урок ще бъдат думите на Ян Амос Каменски. У дома трябваше да помислиш върху думите му. Как го разбирате? („Смятайте за нещастен онзи ден или онзи час, в който не сте научили нищо ново и не сте добавили нищо към своето образование“)
– Как разбирате думите на автора? (Ако не научим нищо ново, не придобием нови знания, тогава този ден може да се счита за изгубен или нещастен. Трябва да се стремим да придобием нови знания).
– И днес няма да е нещастен, защото пак ще научим нещо ново.

II. Актуализиране на основните знания на учениците

- За да уча нов материал, трябва да повторите наученото.
Вкъщи имаше задача - повторете правилата и сега ще покажете знанията си, като работите с тестови въпроси.

(Тестови въпроси по темата „Положителни и отрицателни числа“)

Работете по двойки. Партньорска проверка. Резултатите от работата са отбелязани в таблицата)

Как се наричат ​​числата, разположени вдясно от началото?	Положителен
Кои числа се наричат ​​противоположни?	Две числа, които се различават едно от друго само по знаци, се наричат ​​противоположни
Какъв е модулът на числото?	Разстояние от точката A(a)преди началото на обратното броене, т.е. до точката O(0),наречен модул на число
Как се обозначава модулът на число?	Прави скоби
Формулирайте правилото за събиране на отрицателни числа?	За да съберете две отрицателни числа трябва: да съберете техните модули и да поставите знак минус
Как се наричат ​​числата, разположени вляво от началото?	Отрицателна
Кое число е противоположно на нулата?	0
Може ли модулът на всяко число да бъде отрицателно число?	Не. Разстоянието никога не е отрицателно
Посочете правилото за сравняване на отрицателни числа	От две отрицателни числа това, чийто модул е ​​по-малък, е по-голямо, а това, чийто модул е ​​по-голям, е по-малко.
Какъв е сборът на противоположните числа?	0

Отговорите на въпроси „+” са верни, „–” са неверни Критерии за оценка: 5 – „5”; 4 – „4“; 3 – „3“

	1	2	3	4	5	Степен
В/въпроси
Самостоятелна/работа
Ind/ работа
Долен ред

– Кои въпроси бяха най-трудни?
– Какво ви е необходимо, за да преминете успешно тестовите въпроси? (Знай правилата)

2. Устна работа с коментиране

– 45 + (– 45) = (– 90)
– 100 + (– 38) = (– 138)
– 3, 5 + (–2, 4) = (– 5,9)
– 17/70 + (– 26/70) = (– 43/70)
– 20 + (– 15) = (– 35)

– Какви знания са ви необходими, за да решите 1-5 примера?

3. Самостоятелна работа

– 86, 52 + (– 6, 3) =	– 92,82
– 49/91 + (– 27/91) =	– 76/91
– 76 + (– 99) =	– 175
– 14 + (– 47) =	– 61
– 123,5 + (– 25, 18) =	– 148,68
6 + (– 10) =

(Самотест. Отворете отговорите, докато проверявате)

– Защо последният пример Ви затрудни?
– Сборът на какви числа трябва да се намери и сборът на кои числа знаем как да намерим?

III. Съобщение за темата на урока

– Днес в клас ще научим правилото за събиране на числа с различни знаци. Ще се научим да събираме числа с различни знаци. Самостоятелната работа в края на урока ще покаже вашия напредък.

IV. Учене на нов материал

– Да отворим тетрадките, да запишем датата, работа в клас, тема на урока „Събиране на числа с различни знаци.“
– Какво е показано на дъската? (Координатна линия)

– Докажете, че това е координатна права? (Има референтна точка, референтна посока, единичен сегмент)
– Сега ще се научим заедно да събираме числа с различни знаци с помощта на координатна права.

(Обяснение от учениците под ръководството на учителя.)

– Да намерим на координатната права числото 0. Към 0 трябва да добавим числото 6. Правим 6 стъпки в правилната странаот произхода, т.к числото 6 е положително (поставяме цветен магнит върху полученото число 6). Към 6 добавяме числото (– 10), правим 10 стъпки вляво от началото, тъй като (– 10) е отрицателно число (поставяме цветен магнит върху полученото число (– 4).)
– Какъв отговор получи? (- 4)
– Как получихте числото 4? (10 – 6)
Направете заключение: От число с по-голям модул извадете число с по-малък модул.
– Как получихте знака минус в отговора?
Направете заключение: Взехме знака на число с голям модул.
– Нека напишем пример в тетрадка:

6 + (–10) = – (10 – 6) = – 4
10 + (–3) = + (10 – 3) = 7 (Решете по подобен начин)

Входът е приет:

6 + (– 10) = – (10 – 6) = – 4
10 + (– 3) = + (10 – 3) = 7

– Момчета, вие сами формулирахте правилото за събиране на числа с различни знаци. Ще ви кажем вашите предположения хипотеза. Вие извършихте много важна интелектуална работа. Подобно на учени, те изложиха хипотеза и откриха ново правило. Нека сравним вашата хипотеза с правилото (лист хартия с отпечатано правило има на бюрото). Да четем в хор правилосъбиране на числа с различни знаци

– Правилото е много важно! Позволява ви да добавяте числа с различни знаци, без да използвате координатна линия.
- Какво не е ясно?
– Къде можете да направите грешка?
– За да смятате правилно и без грешки задачи с положителни и отрицателни числа, трябва да знаете правилата.

V. Затвърдяване на изучения материал

– Можете ли да намерите сбора на тези числа на координатната права?
– Трудно е да се реши такъв пример с помощта на координатна линия, така че ще използваме правилото, което открихте, за да го решим.
Задачата е написана на дъската:
Учебник – стр. 45; № 179 (c, d); № 180 (а, б); № 181 (b, c)
(Силен ученик работи, за да консолидира тази тема с допълнителна карта.)

VI. Физическа пауза(Изпълнете, докато стоите)

– Човек има положителни и отрицателни качества. Разпределете тези качества върху координатната линия.
(Положителните качества са вдясно от началната точка, отрицателните качества са вляво от началната точка.)
– Ако качеството е отрицателно, пляскайте веднъж, ако е положително, пляскайте два пъти. Бъди внимателен!
– Доброта, гняв, алчност , взаимопомощ, разбиране, грубост и, разбира се, сила на волятаИ желание за победа, които ще ви трябват сега, тъй като ви предстои самостоятелна работа)
VII. Индивидуална работапоследвано от взаимна проверка

Опция 1	Вариант 2
– 100 + (20) =	– 100 + (30) =
100 + (– 20) =	100 + (– 30) =
56 + (– 28) =	73 + (– 28) =
4,61 + (– 2,2) =	5, 74 + (– 3,15) =
– 43 + 65 =	– 43 + 35 =

Индивидуална работа (за силенстуденти), последвано от взаимна проверка

Опция 1	Вариант 2
– 100 + (20) =	– 100 + (30) =
100 + (– 20) =	100 + (– 30) =
56 + (– 28) =	73 + (– 28) =
4,61 + (– 2,2) =	5, 74 + (– 3,15) =
– 43 + 65 =	– 43 + 35 =
100 + (– 28) =	100 + (– 39) =
56 + (– 27) =	73 + (– 24) =
– 4,61 + (– 2,22) =	– 5, 74 + (– 3,15) =
– 43 + 68 =	– 43 + 39 =

VIII. Обобщаване на урока. Отражение

– Смятам, че работихте активно, усърдно, участвахте в откриването на нови знания, изразихте мнението си, сега мога да дам оценка на работата ви.
– Кажете ми, момчета, кое е по-ефективно: получаването на готова информация или мисленето за себе си?
– Какво ново научихме в урока? (Научихме се да добавяме числа с различни знаци.)
– Назовете правилото за събиране на числа с различни знаци.
– Кажете ми, урокът ни днес не беше ли напразен?
- Защо? (Натрупахме нови знания.)
- Да се ​​върнем на мотото. Това означава, че Ян Амос Каменски е бил прав, когато е казал: „Смятайте за нещастен онзи ден или час, в който не сте научили нищо ново и не сте добавили нищо към своето образование.“

IX. Домашна работа

Научете правилото (карта), стр. 45, № 184.
Индивидуално задание - както разбирате думите на Роджър Бейкън: „Човек, който не знае математика, не е способен на други науки. Нещо повече, той дори не е в състояние да оцени нивото на своето невежество?

В този урок ще научим какво е отрицателно число и кои числа се наричат ​​противоположни. Ще научим също как да събираме отрицателни и положителни числа (числа с различни знаци) и ще разгледаме няколко примера за събиране на числа с различни знаци.

Погледнете тази предавка (вижте фиг. 1).

Ориз. 1. Часовник

Това не е стрелка, която директно показва часа, а не циферблат (виж фиг. 2). Но без тази част часовникът не работи.

Ориз. 2. Зъбно колело вътре в часовника

Какво означава буквата Y? Нищо освен звука Y. Но без него много думи няма да „работят“. Например думата "мишка". Същото важи и за отрицателните числа: те не показват никакво количество, но без тях механизмът за изчисление би бил много по-труден.

Знаем, че събирането и изваждането са еквивалентни операции и могат да се извършват във всякакъв ред. В директен ред можем да изчислим: , но не можем да започнем с изваждане, тъй като все още не сме се съгласили какво .

Ясно е, че увеличаването на числото с и след това намаляването с означава в крайна сметка намаляване с три. Защо да не обозначим този обект и да броим така: добавянето означава изваждане. Тогава .

Числото може да означава например ябълка. Новото число не представлява никакво реално количество. Сама по себе си тя не означава нищо подобно на буквата Y. Това е просто нов инструмент за улесняване на изчисленията.

Нека назовем нови числа отрицателен. Сега можем да извадим по-голямото число от по-малкото число. Технически все още трябва да извадите по-малкото число от по-голямото число, но поставете знак минус в отговора си: .

Нека да разгледаме друг пример: . Можете да извършвате всички действия подред: .

Въпреки това е по-лесно да извадите третото число от първото число и след това да добавите второто число:

Отрицателните числа могат да бъдат дефинирани по друг начин.

За всяко естествено число, например , въвеждаме ново число, което означаваме , и определяме, че то има следното свойство: сборът от числото и е равен на : .

Числото ще наричаме отрицателно, а числата и – противоположно. Така получихме безкраен брой нови числа, например:

Обратното на числото;

Обратното на числото;

Обратното на числото;

Обратното на числото;

Извадете по-голямото число от по-малкото: . Нека добавим към този израз: . Имаме нула. Въпреки това, според свойството: числото, което добавя нула към пет, се обозначава с минус пет: . Следователно изразът може да се означи като .

Всяко положително число има число близнак, което се различава само по това, че е предшествано от знак минус.Такива числа се наричат противоположност(виж Фиг. 3).

Ориз. 3. Примери за противоположни числа

Свойства на противоположните числа

1. Сборът на противоположните числа е нула: .

2. Ако извадите положително число от нула, резултатът ще бъде обратното отрицателно число: .

1. И двете числа могат да бъдат положителни и вече знаем как да ги събираме: .

2. И двете числа могат да бъдат отрицателни.

Вече разгледахме събирането на числа като тези в предишния урок, но нека се уверим, че разбираме какво да правим с тях. Например: .

За да намерите тази сума, добавете противоположните положителни числа и поставете знак минус.

3. Едното число може да е положително, а другото отрицателно.

Ако ни е удобно, можем да заменим събирането на отрицателно число с изваждането на положително: .

Още един пример:. Отново записваме сумата като разлика. Можете да извадите по-голямо число от по-малко число, като извадите по-малко число от по-голямо, но със знак минус.

Можем да разменим условията: .

Друг подобен пример:.

Във всички случаи резултатът е изваждане.

За да формулираме накратко тези правила, нека си припомним още един термин. Противоположните числа, разбира се, не са равни едно на друго. Но би било странно да не забележим какво е общото между тях. Нарекохме това общо модулно число. Модулът на противоположните числа е еднакъв: за положително число той е равен на самото число, а за отрицателно число е равен на противоположното, положително. Например: , .

За да съберете две отрицателни числа, трябва да съберете техните модули и да поставите знак минус:

За да съберете отрицателно и положително число, трябва да извадите по-малкия модул от по-големия модул и да поставите знака на числото с по-големия модул:

И двете числа са отрицателни, следователно добавяме техните модули и поставяме знак минус:

Две числа с различни знаци, следователно от модула на числото (по-големия модул) изваждаме модула на числото и поставяме знак минус (знака на числото с по-голям модул):

Две числа с различни знаци, следователно от модула на числото (по-големия модул) изваждаме модула на числото и поставяме знак минус (знака на числото с по-голям модул): .

Две числа с различни знаци, следователно от модула на числото (по-големия модул) изваждаме модула на числото и поставяме знак плюс (знака на числото с по-голям модул): .

Положителните и отрицателните числа исторически са имали различни роли.

Първо ние влязохме цели числаза броене на елементи:

След това въведохме други положителни числа - дроби, за броене на нецели количества, части: .

Отрицателните числа се появяват като инструмент за опростяване на изчисленията. Не беше като да има количества в живота, които не можехме да преброим, и измислихме отрицателни числа.

Тоест, отрицателните числа не са възникнали от реалния свят. Те просто се оказаха толкова удобни, че на някои места намериха приложение в живота. Например, често чуваме за отрицателна температура. Никога обаче не срещаме отрицателен брой ябълки. Каква е разликата?

Разликата е, че в живота отрицателните количества се използват само за сравнение, но не и за количества. Ако хотелът има сутерен и там е монтиран асансьор, тогава, за да се запази обичайното номериране на редовните етажи, може да се появи минус първи етаж. Този първи минус означава само един етаж под нивото на земята (виж фиг. 1).

Ориз. 4. Минус първи и минус втори етаж

Отрицателната температура е отрицателна само в сравнение с нулата, която е избрана от автора на скалата Андерс Целзий. Има други скали и там същата температура може вече да не е отрицателна.

В същото време разбираме, че е невъзможно да промените началната точка, така че да няма пет ябълки, а шест. Така в живота положителните числа се използват за определяне на количества (ябълки, торта).

Използваме ги и вместо имена. Всеки телефон може да има собствено име, но броят на имената е ограничен и няма номера. Ето защо ние използваме телефонни номера. Също така за поръчка (век след век).

Отрицателните числа в живота се използват в последния смисъл (минус първия етаж под нулата и първите етажи)

1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. М.: Мнемозина, 2012.
2. Мерзляк А.Г., Полонски В.В., Якир М.С. Математика 6 клас. "Гимназия", 2006 г.
3. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. Зад страниците на учебник по математика. М.: Образование, 1989.
4. Рурукин А.Н., Чайковски И.В. Задачи за курса по математика за 5-6 клас. М.: ЗШ МИФИ, 2011.
5. Рурукин А.Н., Сочилов С.В., Чайковски К.Г. Математика 5-6. Ръководство за ученици от 6 клас в задочната школа на МИФИ. М.: ЗШ МИФИ, 2011.
6. Шеврин Л.Н., Гейн А.Г., Коряков И.О., Волков М.В. Математика: Учебник-събеседник за 5-6 клас гимназия. М.: Образование, Библиотека на учителя по математика, 1989.

1. Math-prosto.ru ().
2. Youtube().
3. School-assistant.ru ().
4. Allforchildren.ru ().

Домашна работа

В този урок ще научим събиране и изваждане на цели числа, както и правила за тяхното събиране и изваждане.

Спомнете си, че всички цели числа са положителни и отрицателни числа, както и числото 0. Например, следните числа са цели числа:

−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3

Положителните числа са лесни и. За съжаление не може да се каже същото за отрицателните числа, които объркват много начинаещи с минусите си пред всяко число. Както показва практиката, грешките, направени поради отрицателни числа, разочароват учениците най-много.

Съдържание на урока

Примери за събиране и изваждане на цели числа

Първото нещо, което трябва да научите, е да събирате и изваждате цели числа с помощта на координатна линия. Изобщо не е необходимо да начертаете координатна линия. Достатъчно е да си го представите в мислите си и да видите къде са разположени отрицателните числа и къде са положителните.

Нека разгледаме най-простия израз: 1 + 3. Стойността на този израз е 4:

Този пример може да бъде разбран с помощта на координатна линия. За да направите това, от точката, където се намира числото 1, трябва да се преместите три стъпки надясно. В резултат на това ще се окажем в точката, където се намира числото 4. На фигурата можете да видите как се случва това:

Знакът плюс в израза 1 + 3 ни казва, че трябва да се движим надясно в посока на увеличаване на числата.

Пример 2.Нека намерим стойността на израза 1 − 3.

Стойността на този израз е −2

Този пример отново може да бъде разбран с помощта на координатна линия. За да направите това, от точката, където се намира числото 1, трябва да се преместите наляво с три стъпки. В резултат на това ще се окажем в точката, където се намира отрицателното число −2. На снимката можете да видите как става това:

Знакът минус в израза 1 − 3 ни казва, че трябва да се движим наляво по посока на намаляващите числа.

Като цяло трябва да запомните, че ако се извърши добавяне, тогава трябва да се преместите надясно в посока на увеличаване. Ако се извърши изваждане, тогава трябва да се преместите наляво в посока на намаляване.

Пример 3.Намерете стойността на израза −2 + 4

Стойността на този израз е 2

Този пример отново може да бъде разбран с помощта на координатна линия. За да направите това, от точката, където се намира отрицателното число −2, трябва да се преместите четири стъпки надясно. В резултат на това ще се окажем в точката, където се намира положителното число 2.

Вижда се, че сме се придвижили от точката, където се намира отрицателното число −2, към дясната страна с четири стъпки и сме стигнали до точката, където се намира положителното число 2.

Знакът плюс в израза −2 + 4 ни казва, че трябва да се движим надясно в посока на увеличаване на числата.

Пример 4.Намерете стойността на израза −1 − 3

Стойността на този израз е −4

Този пример отново може да бъде решен с помощта на координатна линия. За да направите това, от точката, където се намира отрицателното число −1, трябва да се преместите наляво с три стъпки. В резултат на това ще се окажем в точката, където се намира отрицателното число −4

Вижда се, че сме се придвижили от точката, където се намира отрицателното число −1, до лява странатри стъпки и завърши в точката, където се намира отрицателното число −4.

Знакът минус в израза −1 − 3 ни казва, че трябва да се преместим наляво в посока на намаляващи числа.

Пример 5.Намерете стойността на израза −2 + 2

Стойността на този израз е 0

Този пример може да бъде решен с помощта на координатна линия. За да направите това, от точката, където се намира отрицателното число −2, трябва да се преместите две стъпки надясно. В резултат на това ще се окажем в точката, където се намира числото 0

Вижда се, че сме се придвижили от точката, в която се намира отрицателното число −2, към дясната страна с две стъпки и сме стигнали до точката, в която се намира числото 0.

Знакът плюс в израза −2 + 2 ни казва, че трябва да се движим надясно в посока на увеличаване на числата.

Правила за събиране и изваждане на цели числа

За да добавяте или изваждате цели числа, изобщо не е необходимо всеки път да си представяте координатна линия, още по-малко да я рисувате. По-удобно е да използвате готови правила.

Когато прилагате правилата, трябва да обърнете внимание на знака на операцията и знаците на числата, които трябва да добавите или извадите. Това ще определи кое правило да се приложи.

Пример 1.Намерете стойността на израза −2 + 5

Тук положително число се добавя към отрицателно число. С други думи, добавят се числа с различни знаци. −2 е отрицателно число, а 5 е положително число. За такива случаи се прилага следното правило:

За да добавите числа с различни знаци, трябва да извадите по-малкия модул от по-големия модул и преди получения отговор да поставите знака на числото, чийто модул е ​​по-голям.

И така, нека да видим кой модул е ​​по-голям:

Модулът на числото 5 е по-голям от модула на числото −2. Правилото изисква изваждане на по-малкия от по-големия модул. Следователно трябва да извадим 2 от 5 и преди получения отговор да поставим знака на числото, чийто модул е ​​по-голям.

Числото 5 има по-голям модул, така че знакът на това число ще бъде в отговора. Тоест отговорът ще бъде положителен:

−2 + 5 = 5 − 2 = 3

Обикновено се записва по-кратко: −2 + 5 = 3

Пример 2.Намерете стойността на израза 3 + (−2)

Тук, както в предишния пример, се добавят числа с различни знаци. 3 е положително число, а −2 е отрицателно число. Обърнете внимание, че −2 е оградено в скоби, за да направи израза по-ясен. Този израз е много по-лесен за разбиране от израза 3+−2.

И така, нека приложим правилото за събиране на числа с различни знаци. Както в предишния пример, изваждаме по-малкия модул от по-големия модул и преди отговора поставяме знака на числото, чийто модул е ​​по-голям:

3 + (−2) = |3| − |−2| = 3 − 2 = 1

Модулът на числото 3 е по-голям от модула на числото −2, затова извадихме 2 от 3 и пред получения отговор поставихме знака на числото, чийто модул е ​​по-голям. Числото 3 има по-голям модул, поради което знакът на това число е включен в отговора. Тоест отговорът е положителен.

Обикновено се записва по-кратко 3 + (−2) = 1

Пример 3.Намерете стойността на израза 3 − 7

В този израз по-голямо число се изважда от по-малко число. В такъв случай се прилага следното правило:

За да извадите по-голямо число от по-малко число, трябва да извадите по-малкото число от по-голямото число и да поставите минус пред получения отговор.

3 − 7 = 7 − 3 = −4

Има лека уловка в този израз. Нека си припомним, че знакът за равенство (=) се поставя между количествата и изразите, когато те са равни помежду си.

Стойността на израза 3 − 7, както научихме, е −4. Това означава, че всички трансформации, които ще извършим в този израз, трябва да бъдат равни на −4

Но виждаме, че на втория етап има израз 7 − 3, който не е равен на −4.

За да коригирате тази ситуация, трябва да поставите израза 7 − 3 в скоби и да поставите минус пред тази скоба:

3 − 7 = − (7 − 3) = − (4) = −4

В този случай равенството ще се наблюдава на всеки етап:

След като изразът е изчислен, скобите могат да бъдат премахнати, което направихме.

За да бъдем по-точни, решението трябва да изглежда така:

3 − 7 = − (7 − 3) = − (4) = − 4

Това правило може да бъде написано с помощта на променливи. Ще изглежда така:

a − b = − (b − a)

Голям брой скоби и знаци за операции могат да усложнят решението на привидно проста задача, така че е по-препоръчително да се научите как да пишете такива примери накратко, например 3 − 7 = − 4.

Всъщност събирането и изваждането на цели числа се свежда до нищо повече от събиране. Това означава, че ако трябва да извадите числа, тази операция може да бъде заменена със събиране.

И така, нека се запознаем с новото правило:

Изваждането на едно число от друго означава добавяне към умаляваното число, което е противоположно на това, което се изважда.

Например, разгледайте най-простия израз 5 − 3. On начални етапиизучавайки математика, поставихме знак за равенство и записахме отговора:

Но сега напредваме в нашето проучване, така че трябва да се адаптираме към новите правила. Новото правило гласи, че изваждането на едно число от друго означава добавяне към умаляваното същото число като изважданото.

Нека се опитаме да разберем това правило, използвайки примера на израз 5 − 3. Умаленото в този израз е 5, а субтрахентаят е 3. Правилото казва, че за да извадите 3 от 5, трябва да добавите към 5 число, което е противоположно на 3. Обратното на числото 3 е −3 . Нека напишем нов израз:

И ние вече знаем как да намираме значения за такива изрази. Това е събирането на числа с различни знаци, което разгледахме по-рано. За да съберем числа с различни знаци, изваждаме по-малкия модул от по-големия модул и пред получения отговор поставяме знака на числото, чийто модул е ​​по-голям:

5 + (−3) = |5| − |−3| = 5 − 3 = 2

Модулът на числото 5 е по-голям от модула на числото −3. Следователно извадихме 3 от 5 и получихме 2. Числото 5 има по-голям модул, така че поставихме знака на това число в отговора. Тоест отговорът е положителен.

Отначало не всеки може бързо да замени изваждането със събиране. Това е така, защото положителните числа се записват без знака плюс.

Например в израза 3 − 1 знакът минус, указващ изваждане, е знак за операция и не се отнася за такава. Единица в в такъв случайе положително число и има свой знак плюс, но ние не го виждаме, тъй като плюс не се пише пред положителни числа.

Следователно, за по-голяма яснота, този израз може да бъде написан по следния начин:

(+3) − (+1)

За удобство числата със собствени знаци са поставени в скоби. В този случай заместването на изваждането със събиране е много по-лесно.

В израза (+3) − (+1), числото, което се изважда, е (+1), а противоположното число е (−1).

Нека заменим изваждането със събиране и вместо изваждането (+1) запишем обратното число (−1)

(+3) − (+1) = (+3) + (−1)

По-нататъшните изчисления няма да бъдат трудни.

(+3) − (+1) = (+3) + (−1) = |3| − |−1| = 3 − 1 = 2

На пръв поглед може да изглежда какъв е смисълът от тези допълнителни движения, ако можете да използвате добрия стар метод, за да поставите знак за равенство и веднага да запишете отговор 2. Всъщност това правило ще ни помогне повече от веднъж.

Нека решим предишния пример 3 − 7, използвайки правилото за изваждане. Първо, нека приведем израза в ясна форма, като присвоим на всяко число свои собствени знаци.

Три има знак плюс, защото е положително число. Знакът минус, показващ изваждане, не се прилага за седем. Седем има знак плюс, защото е положително число:

Нека заменим изваждането със събиране:

(+3) − (+7) = (+3) + (−7)

По-нататъшното изчисление не е трудно:

(+3) − (−7) = (+3) + (-7) = −(|−7| − |+3|) = −(7 − 3) = −(4) = −4

Пример 7.Намерете стойността на израза −4 − 5

Отново имаме операция за изваждане. Тази операция трябва да се замени със събиране. Към умаляваното (−4) добавяме числото, противоположно на умаляваното (+5). Противоположното число за субтрахенда (+5) е числото (−5).

(−4) − (+5) = (−4) + (−5)

Стигнахме до ситуация, в която трябва да събираме отрицателни числа. За такива случаи се прилага следното правило:

За да добавите отрицателни числа, трябва да съберете техните модули и да поставите минус пред получения отговор.

И така, нека да съберем модулите на числата, както изисква правилото, и да поставим минус пред получения отговор:

(−4) − (+5) = (−4) + (−5) = |−4| + |−5| = 4 + 5 = −9

Записът с модули трябва да бъде ограден в скоби и знак минус трябва да се постави пред тези скоби. По този начин ще предоставим минус, който трябва да се появи преди отговора:

(−4) − (+5) = (−4) + (−5) = −(|−4| + |−5|) = −(4 + 5) = −(9) = −9

Решението за този пример може да бъде написано накратко:

−4 − 5 = −(4 + 5) = −9

или дори по-кратко:

−4 − 5 = −9

Пример 8.Намерете стойността на израза −3 − 5 − 7 − 9

Нека приведем израза в ясна форма. Тук всички числа с изключение на −3 са положителни, така че ще имат знаци плюс:

(−3) − (+5) − (+7) − (+9)

Нека заменим изважданията със събирания. Всички минуси, с изключение на минуса пред тройката, ще се променят на плюсове, а всички положителни числа ще се променят на противоположни:

(−3) − (+5) − (+7) − (+9) = (−3) + (−5) + (−7) + (−9)

Сега нека приложим правилото за събиране на отрицателни числа. За да добавите отрицателни числа, трябва да добавите техните модули и да поставите минус пред получения отговор:

(−3) − (+5) − (+7) − (+9) = (−3) + (−5) + (−7) + (−9) =

= −(|−3| + |−5| + |−7| + |−9|) = −(3 + 5 + 7 + 9) = −(24) = −24

Решението на този пример може да бъде написано накратко:

−3 − 5 − 7 − 9 = −(3 + 5 + 7 + 9) = −24

или дори по-кратко:

−3 − 5 − 7 − 9 = −24

Пример 9.Намерете стойността на израза −10 + 6 − 15 + 11 − 7

Нека приведем израза в ясна форма:

(−10) + (+6) − (+15) + (+11) − (+7)

Тук има две операции: събиране и изваждане. Оставяме събирането непроменено и заместваме изваждането с добавяне:

(−10) + (+6) − (+15) + (+11) − (+7) = (−10) + (+6) + (−15) + (+11) + (−7)

Наблюдавайки, ние ще изпълняваме всяко действие на свой ред, въз основа на предварително научените правила. Записите с модули могат да бъдат пропуснати:

Първо действие:

(−10) + (+6) = − (10 − 6) = − (4) = − 4

Второ действие:

(−4) + (−15) = − (4 + 15) = − (19) = − 19

Трето действие:

(−19) + (+11) = − (19 − 11) = − (8) = −8

Четвърто действие:

(−8) + (−7) = − (8 + 7) = − (15) = − 15

Така стойността на израза −10 + 6 − 15 + 11 − 7 е −15

Забележка. Изобщо не е необходимо изразът да се привежда в разбираема форма, като се поставят числа в скоби. Когато възникне привикване към отрицателни числа, тази стъпка може да се пропусне, защото отнема време и може да бъде объркваща.

Така че, за да добавяте и изваждате цели числа, трябва да запомните следните правила:

Присъединете се към нашата нова група VKontakte и започнете да получавате известия за нови уроци