Средно аритметично общо образование

Линия UMK G. K. Muravin. Алгебра и принципи на математическия анализ (10-11) (задълбочено)

Линия UMK Merzlyak. Алгебра и начало на анализа (10-11) (U)

Математика

Подготовка за Единния държавен изпит по математика (ниво на профил): задачи, решения и обяснения

Анализираме задачи и решаваме примери с учителя

Изпитът за профилно ниво е с продължителност 3 часа 55 минути (235 минути).

Минимален праг- 27 точки.

Изпитната работа се състои от две части, които се различават по съдържание, сложност и брой задачи.

Определящата характеристика на всяка част от работата е формата на задачите:

• част 1 съдържа 8 задачи (задачи 1-8) с кратък отговор под формата на цяло число или последна десетична дроб;
• част 2 съдържа 4 задачи (задачи 9-12) с кратък отговор под формата на цяло число или последна десетична дроб и 7 задачи (задачи 13-19) с подробен отговор (пълен запис на решението с обосновка за взети мерки).

Панова Светлана Анатолевна, учител по математика най-висока категорияучилища, трудов стаж 20 години:

„За да получи диплома, абитуриентът трябва да издържи две задължителен изпитпод формата на единен държавен изпит, един от които е математика. В съответствие с Концепцията за развитие на математическото образование в Руска федерацияЕдинният държавен изпит по математика е разделен на две нива: основно и специализирано. Днес ще разгледаме опциите на ниво профил.“

Задача No1- проверява способността на участниците в Единния държавен изпит да прилагат уменията, придобити в курса на началната математика от 5 до 9 клас, в практически дейности. Участникът трябва да има изчислителни умения, да може да работи с рационални числа, да може да закръгля десетични знаци и да може да преобразува една мерна единица в друга.

Пример 1.В апартамента, в който живее Петър, е монтиран разходомер студена вода(брояч). На 1 май броячът показваше разход от 172 кубика. м вода, а на първи юни - 177 куб.м. м. Каква сума трябва да плати Петър за студена вода през май, ако цената е 1 кубичен метър? м студена вода е 34 рубли 17 копейки? Дайте отговора си в рубли.

Решение:

1) Намерете количеството вода, изразходвано на месец:

177 - 172 = 5 (кубични м)

2) Нека разберем колко пари ще платят за похабена вода:

34.17 5 = 170.85 (разтривайте)

Отговор: 170,85.

Задача No2- е една от най-простите изпитни задачи. По-голямата част от завършилите се справят успешно с него, което показва познаване на дефиницията на понятието функция. Тип задача № 2 според кодификатора на изискванията е задача за използване на придобитите знания и умения в практически дейности и Ежедневието. Задача № 2 се състои в описание, използване на функции, различни реални връзки между величини и интерпретиране на техните графики. Задача № 2 проверява умението за извличане на информация, представена в таблици, диаграми и графики. Завършилите трябва да могат да определят стойността на функция по стойността на нейния аргумент, когато по различни начиниопределяне на функция и описване на поведението и свойствата на функцията въз основа на нейната графика. Също така трябва да можете да намирате най-голямата или най-малката стойност от графика на функция и да изграждате графики на изучаваните функции. Допуснатите грешки са случайни при четене на условията на проблема, четене на диаграмата.

#ADVERTISING_INSERT#

Пример 2.Фигурата показва промяната в обменната стойност на една акция на минна компания през първата половина на април 2017 г. На 7 април бизнесменът закупи 1000 акции от тази компания. На 10 април той продаде три четвърти от акциите, които закупи, а на 13 април продаде всички останали акции. Колко е загубил бизнесменът в резултат на тези операции?

Решение:

2) 1000 · 3/4 = 750 (акции) - представляват 3/4 от всички закупени акции.

6) 247500 + 77500 = 325000 (rub) - бизнесменът получи 1000 акции след продажбата.

7) 340 000 – 325 000 = 15 000 (rub) - бизнесменът е загубил в резултат на всички операции.

Отговор: 15000.

Задача No3- е задача начално нивопърва част, проверява уменията за извършване на действия с геометрични фигури по съдържанието на курса „Планиметрия”. Задача 3 проверява умението за изчисляване на площта на фигура върху карирана хартия, умението за изчисляване на градусни мерки на ъгли, изчисляване на периметри и др.

Пример 3.Намерете площта на правоъгълник, начертан върху карирана хартия с размер на клетката 1 cm на 1 cm (вижте фигурата). Дайте отговора си в квадратни сантиметри.

Решение:За да изчислите площта на дадена фигура, можете да използвате формулата Peak:

За да изчислим площта на даден правоъгълник, използваме формулата на Peak:

С= B +	Ж
	2

където B = 10, G = 6, следователно

С = 18 +	6
	2

Отговор: 20.

Прочетете също: Единен държавен изпит по физика: решаване на задачи за трептения

Задача No4- целта на дисциплината “Теория на вероятностите и статистика”. Тества се способността за изчисляване на вероятността от събитие в най-простата ситуация.

Пример 4.В кръга са отбелязани 5 червени и 1 синя точки. Определете кои многоъгълници са по-големи: тези с всички върхове в червено или тези с един от върховете в синьо. В отговора си посочете с колко има повече едни от други.

Решение: 1) Нека използваме формулата за броя на комбинациите от нелементи от к:

чиито върхове са червени.

3) Един петоъгълник с всички върхове в червено.

4) 10 + 5 + 1 = 16 многоъгълника с всички червени върхове.

които имат червени върхове или с един син връх.

които имат червени върхове или с един син връх.

8) Един шестоъгълник с червени върхове и един син връх.

9) 20 + 15 + 6 + 1 = 42 многоъгълника с всички червени върхове или един син връх.

10) 42 – 16 = 26 многоъгълника, използвайки синята точка.

11) 26 – 16 = 10 многоъгълника – колко повече са многоъгълниците, в които един от върховете е синя точка, отколкото многоъгълниците, в които всички върхове са само червени.

Отговор: 10.

Задача No5- основното ниво на първата част проверява способността за решаване на прости уравнения (ирационални, експоненциални, тригонометрични, логаритмични).

Пример 5.Решете уравнение 2 3 + х= 0,4 5 3 + х .

Решение.Разделете двете страни на това уравнение на 5 3 + х≠ 0, получаваме

2 3 + х	= 0,4 или		2		3 + х	=	2	,
5 3 + х			5				5

откъдето следва, че 3 + х = 1, х = –2.

Отговор: –2.

Задача No6в планиметрията за намиране на геометрични величини (дължини, ъгли, площи), моделиране на реални ситуации на езика на геометрията. Изследване на конструирани модели с помощта на геометрични концепции и теореми. Източникът на трудностите по правило е незнанието или неправилното прилагане на необходимите теореми на планиметрията.

Площ на триъгълник ABCе равно на 129. DE– средна линия, успоредна на страната AB. Намерете площта на трапеца ЛЕГЛО.

Решение.Триъгълник CDEподобен на триъгълник ТАКСИпод два ъгъла, тъй като ъгълът при върха ° Собщ, ъгъл СDEравен на ъгъл ТАКСИкато съответните ъгли при DE || ABсекуща A.C.. защото DEе средната линия на триъгълник по условие, след това по свойството на средната линия | DE = (1/2)AB. Това означава, че коефициентът на подобие е 0,5. Следователно площите на подобни фигури се отнасят като квадрат на коефициента на подобие

следователно С ЛЕГЛО = С Δ ABC – С Δ CDE = 129 – 32,25 = 96,75.

Задача No7- проверява приложението на производната за изследване на функция. Успешното внедряване изисква смислено, неформално познаване на понятието производно.

Пример 7.Към графиката на функцията г = f(х) в точката на абсцисата х 0 е начертана допирателна, която е перпендикулярна на правата, минаваща през точките (4; 3) и (3; –1) на тази графика. намирам f′( х 0).

Решение. 1) Нека използваме уравнението на права, минаваща през две дадени точки, и да намерим уравнението на права, минаваща през точки (4; 3) и (3; –1).

(г – г 1)(х 2 – х 1) = (х – х 1)(г 2 – г 1)

(г – 3)(3 – 4) = (х – 4)(–1 – 3)

(г – 3)(–1) = (х – 4)(–4)

–г + 3 = –4х+ 16| · (-1)

г – 3 = 4х – 16

г = 4х– 13, където к 1 = 4.

2) Намерете наклона на тангентата к 2, която е перпендикулярна на правата г = 4х– 13, където к 1 = 4, по формулата:

3) Ъгълът на допирателната е производната на функцията в точката на допирателна. означава, f′( х 0) = к 2 = –0,25.

Отговор: –0,25.

Задача No8- проверява знанията на участниците в изпита по елементарна стереометрия, способността да прилага формули за намиране на повърхнини и обеми на фигури, двустенни ъгли, да сравнява обемите на подобни фигури, да може да извършва действия с геометрични фигури, координати и вектори и др.

Обемът на куб, описан около сфера, е 216. Намерете радиуса на сферата.

Решение. 1) Vкуб = а 3 (където А– дължина на ръба на куба), следователно

А 3 = 216

А = 3 √216

2) Тъй като сферата е вписана в куб, това означава, че дължината на диаметъра на сферата е равна на дължината на ръба на куба, следователно д = а, д = 6, д = 2Р, Р = 6: 2 = 3.

Задача No9- изисква от завършилия да има умения да трансформира и опростява алгебрични изрази. Задача No9 по-високо нивоТрудност с кратък отговор. Задачите от раздела „Изчисления и трансформации“ в Единния държавен изпит са разделени на няколко типа:

преобразуване на числени рационални изрази;

преобразуване на алгебрични изрази и дроби;

преобразуване на числови/буквени ирационални изрази;

действия със степени;

преобразуване на логаритмични изрази;

1. конвертиране на числови/буквени тригонометрични изрази.

Пример 9.Изчислете tanα, ако е известно, че cos2α = 0,6 и

3π	< α < π.
4

Решение. 1) Нека използваме формулата с двоен аргумент: cos2α = 2 cos 2 α – 1 и да намерим

tan 2 α =	1	– 1 =	1	– 1 =	10	– 1 =	5	– 1 = 1	1	– 1 =	1	= 0,25.
	cos 2 α		0,8		8		4		4		4

Това означава tan 2 α = ± 0,5.

3) По условие

3π	< α < π,
4

това означава, че α е ъгълът на втората четвърт и tgα< 0, поэтому tgα = –0,5.

Отговор: –0,5.

#ADVERTISING_INSERT# Задача No10- проверява способността на учениците да използват придобитите ранни знания и умения в практически дейности и ежедневието. Можем да кажем, че това са задачи по физика, а не по математика, но в условието са дадени всички необходими формули и количества. Задачите се свеждат до решаване на линейни или квадратно уравнение, или линейно или квадратно неравенство. Следователно е необходимо да можете да решавате такива уравнения и неравенства и да определяте отговора. Отговорът трябва да бъде даден като цяло число или крайна десетична дроб.

Две тела с маса м= 2 kg всяка, движещи се с еднаква скорост v= 10 m/s под ъгъл 2α една спрямо друга. Енергията (в джаули), освободена при техния абсолютно нееластичен сблъсък, се определя от израза Q = мв 2 sin 2 α. Под какъв най-малък ъгъл 2α (в градуси) трябва да се движат телата, за да се отделят най-малко 50 джаула в резултат на сблъсъка?
Решение.За да решим задачата, трябва да решим неравенството Q ≥ 50, на интервала 2α ∈ (0°; 180°).

мв 2 sin 2 α ≥ 50

2 10 2 sin 2 α ≥ 50

200 sin 2 α ≥ 50

Тъй като α ∈ (0°; 90°), ще решим само

Нека представим решението на неравенството графично:

Тъй като по условие α ∈ (0°; 90°), това означава 30° ≤ α< 90°. Получили, что наименьший угол α равен 30°, тогда наименьший угол 2α = 60°.

Задача No11- е характерно, но се оказва трудно за учениците. Основният източник на трудност е изграждането на математически модел (съставяне на уравнение). Задача No 11 проверява умението за решаване на текстови задачи.

Пример 11.По време на пролетната ваканция 11-класникът Вася трябваше да реши 560 практически задачи, за да се подготви за Единния държавен изпит. На 18 март, в последния учебен ден, Вася реши 5 задачи. След това всеки ден решаваше същия брой задачи повече от предишния ден. Определете колко задачи е решил Вася на 2 април, последния ден от празниците.

Решение:Нека обозначим а 1 = 5 – броят на задачите, които Вася реши на 18 март, д– дневен брой задачи, решени от Вася, н= 16 – брой дни от 18 март до 2 април включително, С 16 = 560 – обща сумазадачи, а 16 – броят на задачите, които Вася реши на 2 април. Знаейки, че всеки ден Вася е решавал същия брой задачи повече в сравнение с предишния ден, можем да използваме формули за намиране на сумата аритметична прогресия:

560 = (5 + а 16) 8,

5 + а 16 = 560: 8,

5 + а 16 = 70,

а 16 = 70 – 5

а 16 = 65.

Отговор: 65.

Задача No12- проверяват способността на учениците да извършват операции с функции и да могат да прилагат производната към изучаването на функция.

Намерете максималната точка на функцията г= 10ln( х + 9) – 10х + 1.

Решение: 1) Намерете областта на дефиниция на функцията: х + 9 > 0, х> –9, тоест x ∈ (–9; ∞).

2) Намерете производната на функцията:

4) Намерената точка принадлежи на интервала (–9; ∞). Нека да определим знаците на производната на функцията и да изобразим поведението на функцията на фигурата:

Желаната максимална точка х = –8.

Изтеглете безплатно работната програма по математика за линията на учебните материали G.K. Муравина, К.С. Муравина, О.В. Муравина 10-11 Изтегляне на безплатни учебни помагала по алгебра

Задача No13-повишено ниво на сложност с подробен отговор, проверка на способността за решаване на уравнения, най-успешно решени сред задачите с подробен отговор на повишено ниво на сложност.

а) Решете уравнението 2log 3 2 (2cos х) – 5log 3 (2cos х) + 2 = 0

б) Намерете всички корени на това уравнение, които принадлежат на отсечката.

Решение:а) Нека log 3 (2co х) = T, след това 2 T 2 – 5T + 2 = 0,

	log 3 (2co х) =	2	⇔		2cos х = 9	⇔		cos х =	4,5	⇔ защото |cos х| ≤ 1,
	log 3 (2co х) =	1			2cos х = √3			cos х =	√3
		2							2

тогава cos х =	√3
	2

	х =	π	+ 2π к
		6
	х = –	π	+ 2π к, к ∈ З
		6

б) Намерете корените, лежащи на отсечката .

Фигурата показва, че корените на дадения сегмент принадлежат на

11π	И	13π	.
6		6

Отговор:а)	π	+ 2π к; –	π	+ 2π к, к ∈ З; б)	11π	;	13π	.
	6		6		6		6

Задача No14-ниво за напреднали се отнася за задачите от втора част с подробен отговор. Задачата проверява умението за извършване на действия с геометрични фигури. Задачата съдържа две точки. В първа точка задачата трябва да бъде доказана, а във втора точка изчислена.

Диаметърът на окръжността на основата на цилиндъра е 20, образуващата на цилиндъра е 28. Равнината пресича основата му по хорди с дължина 12 и 16. Разстоянието между хордите е 2√197.

а) Докажете, че центровете на основите на цилиндъра лежат от едната страна на тази равнина.

б) Намерете ъгъла между тази равнина и равнината на основата на цилиндъра.

Решение:а) Хорда с дължина 12 е на разстояние = 8 от центъра на основния кръг, а хорда с дължина 16, по подобен начин, е на разстояние 6. Следователно разстоянието между техните проекции върху равнина, успоредна на основите на цилиндрите е или 8 + 6 = 14, или 8 − 6 = 2.

Тогава разстоянието между хордите е или

= = √980 = = 2√245

= = √788 = = 2√197.

Съгласно условието е реализиран вторият случай, при който проекциите на хордите лежат от едната страна на оста на цилиндъра. Това означава, че оста не пресича тази равнина в цилиндъра, т.е. основите лежат от едната му страна. Това, което трябваше да се докаже.

б) Нека означим центровете на основите като O 1 и O 2. Нека начертаем от центъра на основата с хорда с дължина 12 перпендикулярна ъглополовяща към тази хорда (тя има дължина 8, както вече беше отбелязано) и от центъра на другата основа към другата хорда. Те лежат в една и съща равнина β, перпендикулярна на тези хорди. Нека наречем средата на по-малката хорда B, по-голямата хорда A и проекцията на A върху втората основа - H (H ∈ β). Тогава AB,AH ∈ β и следователно AB,AH са перпендикулярни на хордата, тоест правата на пресичане на основата с дадената равнина.

Това означава, че търсеният ъгъл е равен на

∠ABH = арктан	А.Х.	= арктан	28	= arctg14.
	Б.Х.		8 – 6

Задача No15- повишено ниво на сложност с подробен отговор, проверява умението за решаване на неравенства, което се решава най-успешно сред задачите с подробен отговор с повишено ниво на сложност.

Пример 15.Решете неравенство | х 2 – 3х| дневник 2 ( х + 1) ≤ 3х – х 2 .

Решение:Областта на дефиниране на това неравенство е интервалът (–1; +∞). Разгледайте три случая поотделно:

1) Нека х 2 – 3х= 0, т.е. х= 0 или х= 3. В този случай това неравенство става вярно, следователно тези стойности са включени в решението.

2) Нека сега х 2 – 3х> 0, т.е. х∈ (–1; 0) ∪ (3; +∞). Освен това, това неравенство може да се пренапише като ( х 2 – 3х) дневник 2 ( х + 1) ≤ 3х – х 2 и разделете на положителен израз х 2 – 3х. Получаваме дневник 2 ( х + 1) ≤ –1, х + 1 ≤ 2 –1 , х≤ 0,5 –1 или х≤ –0,5. Като вземем предвид домейна на дефиницията, имаме х ∈ (–1; –0,5].

3) И накрая, помислете х 2 – 3х < 0, при этом х∈ (0; 3). В този случай първоначалното неравенство ще бъде пренаписано във формата (3 х – х 2) дневник 2 ( х + 1) ≤ 3х – х 2. След разделяне на положително 3 х – х 2, получаваме дневник 2 ( х + 1) ≤ 1, х + 1 ≤ 2, х≤ 1. Имайки предвид региона, имаме х ∈ (0; 1].

Комбинирайки получените решения, получаваме х ∈ (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Отговор: (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Задача No16- ниво за напреднали се отнася за задачите от втора част с подробен отговор. Задачата проверява умението за извършване на действия с геометрични фигури, координати и вектори. Задачата съдържа две точки. В първа точка задачата трябва да бъде доказана, а във втора точка изчислена.

В равнобедрен триъгълник ABC с ъгъл 120° във върха A е начертана ъглополовящата BD. Правоъгълникът DEFH е вписан в триъгълник ABC така, че страната FH лежи на отсечката BC, а върхът E лежи на отсечката AB. а) Докажете, че FH = 2DH. б) Намерете площта на правоъгълника DEFH, ако AB = 4.

Решение:а)

1) ΔBEF – правоъгълник, EF⊥BC, ∠B = (180° – 120°): 2 = 30°, тогава EF = BE по свойството на катета, лежащ срещу ъгъл от 30°.

2) Нека EF = DH = х, тогава BE = 2 х, BF = х√3 според Питагоровата теорема.

3) Тъй като ΔABC е равнобедрен, това означава ∠B = ∠C = 30˚.

BD е ъглополовяща на ∠B, което означава ∠ABD = ∠DBC = 15˚.

4) Да разгледаме ΔDBH – правоъгълен, т.к DH⊥BC.

2х	=	4 – 2х
2х(√3 + 1)		4

1	=	2 – х
√3 + 1		2

√3 – 1 = 2 – х

х = 3 – √3

EF = 3 – √3

2) С DEFH = ED EF = (3 – √3 ) 2(3 – √3 )

С DEFH = 24 – 12√3.

Отговор: 24 – 12√3.

Задача No17- задача с подробен отговор, тази задача проверява приложението на знанията и уменията в практическата дейност и ежедневието, способността за изграждане и изследване на математически модели. Тази задача е текстова с икономическо съдържание.

Пример 17.Депозит от 20 милиона рубли се планира да бъде открит за четири години. В края на всяка година банката увеличава депозита с 10% спрямо размера му в началото на годината. Освен това в началото на третата и четвъртата година инвеститорът ежегодно попълва депозита с хмилиона рубли, където х - цялономер. намирам най-висока стойност х, в който банката ще натрупа по-малко от 17 милиона рубли на депозита за четири години.

Решение:В края на първата година вноската ще бъде 20 + 20 · 0,1 = 22 милиона рубли, а в края на втората - 22 + 22 · 0,1 = 24,2 милиона рубли. В началото на третата година вноската (в милиони рубли) ще бъде (24,2 + х), а накрая - (24,2 + Х) + (24,2 + Х)· 0,1 = (26,62 + 1,1 х). В началото на четвъртата година вноската ще бъде (26,62 + 2,1 Х), а накрая - (26,62 + 2,1 х) + (26,62 + 2,1х) · 0,1 = (29,282 + 2,31 х). По условие трябва да намерите най-голямото цяло число x, за което е валидно неравенството

(29,282 + 2,31х) – 20 – 2х < 17

29,282 + 2,31х – 20 – 2х < 17

0,31х < 17 + 20 – 29,282

0,31х < 7,718

х <	7718
	310

х <	3859
	155

х < 24	139
	155

Най-голямото цяло число решение на това неравенство е числото 24.

Отговор: 24.

Задача No18- задача с повишено ниво на сложност с подробен отговор. Тази задача е предназначена за състезателен подбор в университети с повишени изисквания към математическата подготовка на кандидатите. Упражнение високо нивосложност - тази задача не е за използване на един метод за решаване, а за комбинация различни методи. За успешното изпълнение на задача 18 освен солидни математически познания са необходими и висока математическа култура.

При какво асистема от неравенства

	х 2 + г 2 ≤ 2ай – а 2 + 1
	г + а ≤ |х| – а

има точно две решения?

Решение:Тази система може да бъде пренаписана във формата

	х 2 + (г– а) 2 ≤ 1
	г ≤ |х| – а

Ако начертаем върху равнината набора от решения на първото неравенство, получаваме вътрешността на окръжност (с граница) с радиус 1 с център в точка (0, А). Множеството от решения на второто неравенство е частта от равнината, лежаща под графиката на функцията г = | х| – а, а последната е графиката на функцията
г = | х| , изместен надолу с А. Решението на тази система е пресечната точка на множествата от решения на всяко от неравенствата.

Следователно тази система ще има две решения само в случая, показан на фиг. 1.

Допирните точки на окръжността с правите ще бъдат двете решения на системата. Всяка от правите е наклонена спрямо осите под ъгъл 45°. Така че това е триъгълник PQR– правоъгълен равнобедрен. Точка Qима координати (0, А), и точката Р– координати (0, – А). Освен това сегментите PRИ PQравен на радиуса на окръжността равен на 1. Това означава

Qr= 2а = √2, а =	√2	.
	2

Отговор: а =	√2	.
	2

Задача No19- задача с повишено ниво на сложност с подробен отговор. Тази задача е предназначена за състезателен подбор в университети с повишени изисквания към математическата подготовка на кандидатите. Задача с високо ниво на сложност е задача не за използването на един метод за решение, а за комбинация от различни методи. За да изпълните успешно задача 19, трябва да можете да търсите решение, като избирате различни подходи измежду познатите и модифицирате изучаваните методи.

Позволявам снсума Пусловия на аритметична прогресия ( a p). Известно е, че S n + 1 = 2н 2 – 21н – 23.

а) Въведете формулата Пти термин от тази прогресия.

б) Намерете най-малката абсолютна сума S n.

в) Намерете най-малкото П, при което S nще бъде квадрат на цяло число.

Решение: а) Очевидно е, че a n = S n – S n- 1 . Използвайки тази формула, получаваме:

S n = С (н – 1) + 1 = 2(н – 1) 2 – 21(н – 1) – 23 = 2н 2 – 25н,

S n – 1 = С (н – 2) + 1 = 2(н – 1) 2 – 21(н – 2) – 23 = 2н 2 – 25н+ 27

означава, a n = 2н 2 – 25н – (2н 2 – 29н + 27) = 4н – 27.

Б) Тъй като S n = 2н 2 – 25н, след това разгледайте функцията С(х) = | 2х 2 – 25x|. Графиката му може да се види на фигурата.

Очевидно най-малката стойност се постига в целочислените точки, разположени най-близо до нулите на функцията. Очевидно това са точки х= 1, х= 12 и х= 13. Тъй като, С(1) = |С 1 | = |2 – 25| = 23, С(12) = |С 12 | = |2 · 144 – 25 · 12| = 12, С(13) = |С 13 | = |2 · 169 – 25 · 13| = 13, тогава най-малката стойност е 12.

в) От предходния параграф следва, че снположително, започвайки от н= 13. Тъй като S n = 2н 2 – 25н = н(2н– 25), тогава очевидният случай, когато този израз е пълен квадрат, се реализира, когато н = 2н– 25, т.е П= 25.

Остава да проверите стойностите от 13 до 25:

С 13 = 13 1, С 14 = 14 3, С 15 = 15 5, С 16 = 16 7, С 17 = 17 9, С 18 = 18 11, С 19 = 19 13, С 20 = 20 13, С 21 = 21 17, С 22 = 22 19, С 23 = 23 21, С 24 = 24 23.

Оказва се, че за по-малки стойности Пне се постига пълен квадрат.

Отговор:а) a n = 4н– 27; б) 12; в) 25.

________________

*От май 2017 г. Обединена издателска група „ДРОФА-ВЕНТАНА“ е част от корпорация „ Руски учебник" В корпорацията влизат още издателство Астрел и дигиталната образователна платформа LECTA. Генералният директорназначен Александър Бричкин, възпитаник на Финансовата академия към правителството на Руската федерация, кандидат на икономическите науки, ръководител на иновативни проекти на издателство "DROFA" в областта на цифровото образование ( електронни формиучебници, Руско електронно училище, дигитална образователна платформа LECTA). Преди да се присъедини към издателство DROFA, той заема длъжността вицепрезидент по стратегическо развитие и инвестиции на издателския холдинг EKSMO-AST. Днес издателската корпорация "Руски учебник" има най-голямото портфолио от учебници, включени във Федералния списък - 485 заглавия (приблизително 40%, без учебниците за специални училища). Издателствата на корпорацията притежават най-популярните комплекти учебници в руските училища по физика, рисуване, биология, химия, технологии, география, астрономия - области на знанието, които са необходими за развитието на производствения потенциал на страната. Портфолиото на корпорацията включва учебници и учебни помагалаЗа начално училище, удостоен с президентската награда в областта на образованието. Това са учебници и ръководства по предметни области, които са необходими за развитието на научно-техническия и производствения потенциал на Русия.

Оценяване

две части, включително 19 задачи. Част 1 Част 2

3 часа 55 минути(235 минути).

Отговори

Но ти можеш направи компас Калкулаторина изпита не се използва.

паспорт), паси капилярна или! Разрешено за приеманесъс себе си вода(в прозрачна бутилка) и отивам

Изпитната работа се състои от две части, включително 19 задачи. Част 1съдържа 8 задачи с базово ниво на трудност с кратък отговор. Част 2съдържа 4 задачи с повишено ниво на сложност с кратък отговор и 7 задачи с високо ниво на сложност с подробен отговор.

За изпълнение изпитна работапо математика се задава 3 часа 55 минути(235 минути).

Отговориза задачи 1–12 се записват като цяло число или крайна десетична дроб. Запишете числата в полетата за отговори в текста на работата, а след това ги прехвърлете във формуляр за отговори № 1, издаден по време на изпита!

При извършване на работа можете да използвате тези, издадени заедно с работата. Допуска се само владетел, но е възможно направи компассъс собствените си ръце. Не използвайте инструменти с отпечатани върху тях референтни материали. Калкулаторина изпита не се използва.

По време на изпита трябва да носите със себе си документ за самоличност ( паспорт), паси капилярна или гел химикал с черно мастило! Разрешено за приеманесъс себе си вода(в прозрачна бутилка) и отивам(плодове, шоколад, хлебчета, сандвичи), но може да ви помолят да ги оставите в коридора.

Лексикални средства за комуникация:

1. Лексикално повторение- повторение на една и съща дума. Около града по ниските хълмове се простират гори, могъщи и недокоснати. В горите имаше големи поляни и отдалечени езера с огромни стари борови дървета по бреговете.
2. Сродни. Разбира се, такъв майстор знаеше стойността си, усещаше разликата между себе си и по-малко талантлив човек, но също така знаеше отлично друга разлика - разликата между себе си и по-талантлив човек. Уважението към по-способните и опитните е първият признак на талант.
3. Синоними. Видяхме лос в гората. Сохати вървеше по края на гората и не се страхуваше от никого.
4. Антоними. Природата има много приятели. Тя има значително по-малко врагове.
5. Описателни фрази. Построиха магистрала. Шумна, бързо течаща река на живота свързваше региона със столицата.

Граматични средства за комуникация:

1. Лични местоимения. 1) И сега слушам гласа на древен поток. Той гука като див гълъб. 2) Призивът за защита на горите трябва да бъде отправен предимно към младите хора. Тя трябва да живее и да управлява тази земя, тя трябва да я украси. 3) Той неочаквано се завърна в родното си село. Пристигането му зарадва и уплаши майка му.
2. Показателни местоимения(такъв, този, този) 1) Изплува над селото мрачно небес ярки игловидни звезди. Такива звезди се появяват само през есента. 2) Ливадните дърдавци крещяха с далечни, сладки потрепващи звуци. Тези ливадни дърдавци и залези са незабравими; те бяха запазени завинаги чрез чисто видение. – във втория текст средство за комуникация са лексикалното повторение и показателното местоимение „тези”.
3. Местоименни наречия(там, така, тогава и т.н.) Той [Николай Ростов] знаеше, че тази история допринася за прославянето на нашите оръжия и затова беше необходимо да се преструвате, че не се съмнявате в това. Това е, което той направи.
4. Синдикати(предимно композиране) Беше май 1945 г. Пролетта гръмна. Хората и земята се зарадваха. Москва поздрави героите. И радостта полетя към небето като светлини. Със същото бърборене и смях офицерите започнаха набързо да се приготвят; отново поставят самовара върху мръсна вода. Но Ростов, без да чака чай, отиде в ескадрилата.
5. частици.
6. Уводни думи и конструкции(с една дума, така, първо и т.н.) Младите хора говореха за всичко руско с презрение или безразличие и, на шега, предричаха на Русия съдбата на Рейнската конфедерация. Накратко, обществото беше доста отвратително.
7. Единство на временните форми на глагола- използването на идентични форми на граматично време, които показват едновременност или последователност от ситуации. Имитацията на френския тон от времето на Луи XV беше на мода. Любовта към отечеството изглеждаше педантичност. Мъдреците от онова време възхваляваха Наполеон с фанатична сервилност и се шегуваха с нашите провали. – всички глаголи са използвани в минало време.
8. Непълни изречения и многоточие, препращайки към предишните елементи на текста: Горкин реже хляба, раздава филиите. Слага го и на мен: огромен е, ще покриеш цялото си лице.
9. Синтактичен паралелизъм– еднаква конструкция на няколко съседни изречения. Да можеш да говориш е изкуство. Слушането е култура.

Уводна дума, съюз, частица, наречие	Кога се използва?
С ДРУГИ ДУМИ, С ДРУГИ ДУМИ	Използва се, когато авторът на текста иска да каже същото, но по-ясно.
ОСВЕН ТОВА	Използва се, когато е необходимо да се допълни казаното с някои, според автора, важни мисли или обстоятелства.
ТАКА, ТАКА, ТАКА	Използват се, когато авторът на текста обобщава разсъжденията си.
НАПРИМЕР ТАКА	Използват се, когато авторът иска да изясни нещо, което е казал преди.
ОБРАТНО	Използва се, когато авторът на текста противопоставя едно изречение на друго.
ПЪРВО ОТ ЕДНА СТРАНА	Посочете реда, в който са представени аргументите.
ВЪПРЕКИ ТОВА, МАКАР, ВЪПРЕКИ ТОВА	Те въвеждат следния смисъл в разсъжденията на автора: „противно на обстоятелствата, посочени в предходната част на текста“.
ЗАЩОТО, КАТО, ЗАЩОТО, СЪЩНОСТТА Е В ТОВА	Авторът го използва, когато посочва причината за описаните явления.
ТАКА, И КАКВО, ОТ ТУК	Авторът на текста го използва, когато иска да направи извод от своите разсъждения.
ТОВА Е	Използва се за изясняване на казаното по-рано.
ОБАЧЕ, ТОГАВА, НО	Използва се за противопоставяне на значението на едно изречение с друго.
ТОЧНО, АКО	Те добавят пояснение и подчертават важността на мисълта.
ДОРИ	Въведете стойността на печалбата.
НЕ СЛУЧАЙНО	Означава "по тази причина".
СРЕДСТВА	Авторът иска да даде обяснение на казаното преди като пример, илюстрация на своите мисли.

Смислени отношения, изразени чрез координиращи съюзи:

1. Свързване: и, да (=и), и...и..., не само... но и, като... така и, също, също
2. Разделители: или, или, тогава...това, не това...не това, или...или, или...или
3. Гаден: а, но, да (=но), обаче, но
4. Постепенно: не само, но и не толкова... колкото, не наистина... но
5. Пояснение: тоест, а именно
6. Свързване: също, също, да и, и освен това, и
7. също, да и, това е, именно.

Смислови отношения, изразени чрез подчинителни съюзи:

• Временно: когато, докато, едва, само, докато, едва, едва, едва
• Причинна: тъй като, защото, тъй като, с оглед на факта, че, поради факта, че, поради факта, че, за (остарял), поради факта, че
• Условно: ако (ако само, ако, ако - остаряло), ако, веднъж, щом
• Мишена: така че, за да, за да (остаряло), за целта на, за да, тогава за да
• Последствия: Така
• Концесивен: въпреки че, въпреки факта, че
• Сравнителен: като, сякаш, сякаш, точно, отколкото, сякаш, по същия начин, а не (остаряло)
• Пояснение: какво, как, да
• В началото на изречението не се използват съюзи: така, отколкото, отколкото, както и обяснителни съюзи: какво, как, така че.

Задача 2 от Единния държавен изпит по общество: как да се реши

Трудността на тази задача 2 от Единния държавен изпит по социални науки е, че тя изисква да намерите обобщаваща дума за определен брой термини. Обобщаващата дума е родово понятие или понятие, което включва в значението си значенията на други понятия и термини. Както и в др Задачи за единен държавен изпитв обществото темите на задачите могат да бъдат много различни: социална сфера, политическа, духовна и др.

Ето пример за задача от реалния свят Тест за единен държавен изпитот обществото:

За интелигентните момчета и момичета веднага става ясно, че предложените думи се отнасят до темата „Духовна сфера на обществото“, а именно към темата за религията. Ако ви е трудно да отговорите веднага, препоръчвам да прочетете предишната ми публикация "" . След като прочетете термините за най-знаещите, веднага става ясно, че остават само два варианта за отговор: култ и религия. Кое ще е по-обобщаващо? Култът е поклонение пред нещо.

Можете да експериментирате, като поставите метла в ъгъла на стаята си. И всеки ден му се молете, говорете му... След месец това ще е най-ценното за вас :). Създайте култ към метлата. Какво е религията? Това е специфична форма на мироглед, осъзнаване на света. Ясно е, че понятието „религия“ включва понятието „култ“, тъй като мирогледът може да включва поклонението на различни божества. Например езичеството източни славяни: едни са имали култ към Перун (богът на гръмотевиците и светкавиците), други са имали култ към бога на блатата и т.н.

Или например православно християнство: има култ към Исус Христос, има култ към светия дух, има култ Света Богородица... Ясно е?

ДОБРЕ. Така че правилният отговор е: религията

Препоръка 2.Трябва да знаете термините и понятията от различни темив социалните науки. Разберете кои термини с кои са свързани и кои следват от тях. За тази цел в моя платен видео курс "Социални науки: Единен държавен изпит 100 точки " Дадох структурата на термините за всички теми от социалните науки. Също така силно препоръчвам вашата статия за.

Нека да разгледаме друга задача 2 от Единния държавен изпит по социални науки:

Веднага разбираме, че в задача 2 на Единния държавен изпит темата е тествана Социална сфера. Ако сте забравили темата, изтеглете моя безплатен видео курс. Ако не направите това, най-вероятно ще направите грешка. Логиката на някои хора е толкова крива, че е просто брутална! Междувременно правилният отговор: „агент на социализация“ е група или асоциация, която участва в овладяването на правилата и нормите на обществото, както и социалните роли от индивида. Ако не сте запознати с тези термини, отново силно препоръчвам да изтеглите моя безплатен видео курс.

Препоръка 3. Бъдете изключително внимателни! Решете задачи 2 от Единния държавен изпит по социални науки отново и отново, за да направите това качественона машината. Ето пример за подобна задача, която е по-трудна:

Темата „Наука” от духовната сфера на обществото. Между другото, имах подробна статия по тази тема. Хората, които не са много внимателни, веднага ще направят грешка, като посочат в отговора: класификационна основа или теоретична валидност. Между верния отговор: научно познание , което включва различни класификации и теоретична валидност!

В следващите публикации определено ще разгледаме други трудни задачи за обществото, т.н !

Приложих няколко задачи за Единен държавен изпит 2 в обществото, за да решите:

Смята се, че задачата по стереометрия на профилния единен държавен изпит по математика е само за отлични ученици. Това разрешаване изисква специални таланти и мистериозно „пространствено мислене“, които само няколко щастливци притежават от раждането си.

Така е?

За щастие всичко е много по-просто. Това, което така красиво се нарича „пространствено мислене“, най-често означава познаване на основите на стереометрията и способността да рисувате чертежи.

Първо, трябва да познавате стереометричните формули. Нашите таблици “Многогранници” и “Тела на въртене” съдържат всички формули, по които се изчисляват обемите и повърхнините на триизмерните тела.

Второ, уверено решаване на геометрични задачи, представени в част 1 (първите 12 Проблеми на единния държавен изпит). Това са планиметрични и стереометрични задачи.

И най-важното, за да решите задача 14, ще ви трябват основните аксиоми и теореми на стереометрията. Най-добре е да закупите учебник по геометрия за 10-11 клас (автор - А. В. Погорелов или Л. С. Атанасян) и да отговорите на въпросите, чийто списък е даден по-долу. Запишете дефиниции и формулировки на теореми в тетрадката си. Направете рисунки. Опитайте се сами да докажете теореми.

Докато работите върху тази задача, формулирайте сами как се различават определение и знак. Има например определение за успоредност на права и равнина - и знак за успоредност на права и равнина. Каква е разликата между тях?

Много е добре, ако сами си направите задачата и след това я сравните с отговорите. Всички отговори можете да намерите на нашия уебсайт, в този раздел.

Програма за стереометрия.

1. Равнина в пространството. Довършете изречението: Може да се прекара равнина през...

   (Дайте четири възможни отговора.)

2. Разположението на равнините в пространството.Завършете изречението: Ако две равнини имат обща точка, тогава те...
3. Успоредност на права и равнина. Определение и знак.
4. Какво е наклонена и наклонена проекция. рисуване.
5. Ъгълът между права и равнина.
6. Перпендикулярност на права и равнина. Определение и знак.
7. Пресичане на прави линии. Ъгълът между пресичащите се прави. Разстояние между пресичащите се линии.
8. Разстоянието от права линия до успоредна на нея равнина.
9. Успоредност на равнините. Определение и знак.
10. Перпендикулярност на равнините. Определение и знак.
11. Довършете изречението: а) Пресечни линии на две успоредни равнини с трета равнина...

    б) Отсечки от успоредни прави, съдържащи се между успоредни равнини...

Ето няколко прости правилаза решаване на задачи по стереометрия:

Има два основни начина за решаване на задачи по стереометрия на Единния държавен изпит по математика. Първият е класически: практическото приложение на определения, теореми и характеристики, чийто списък е даден по-горе. второ -