Приложение на различни методи за факторизация. Факторизиране на полиноми Приложение на различни методи за факторизация

Това е един от най-основните начини за опростяване на израз. За да приложите този метод, нека си припомним закона за разпределение на умножението спрямо събирането (не се страхувайте от тези думи, вие определено знаете този закон, просто може да сте забравили името му).

Законът казва: за да умножите сумата от две числа по трето число, трябва да умножите всеки член по това число и да добавите получените резултати, с други думи, .

Можете да направите и обратната операция и точно тази обратна операция ни интересува. Както може да се види от извадката, общият фактор a може да бъде изваден от скобата.

Подобна операция може да се извърши както с променливи, като и, например, така и с числа: .

Да, това е много елементарен пример, точно като примера, даден по-рано, с разлагането на число, защото всеки знае, че числата се делят на, но какво ще стане, ако получите по-сложен израз:

Как да разберете на какво се дели например едно число?Не, всеки може да го направи с калкулатор, но без него е трудно? И за това има признаци на делимост, тези знаци наистина си струва да знаете, те ще ви помогнат бързо да разберете дали общият множител може да бъде изваден от скобата.

Признаци на делимост

Не е толкова трудно да ги запомните; най-вероятно повечето от тях вече са ви били познати, а някои ще бъдат ново полезно откритие, повече подробности в таблицата:

Забележка: В таблицата липсва тестът за делимост на 4. Ако последните две цифри се делят на 4, тогава цялото число се дели на 4.

Е, как ви харесва знакът? Съветвам ви да го запомните!

Е, да се върнем към израза, може би той може да го извади от скобата и това е достатъчно? Не, математиците са склонни да опростяват, така че докрай, изтърпи ВСИЧКО, което се изтърпи!

И така, всичко е ясно с играта, но какво да кажем за числовата част на израза? И двете числа са нечетни, така че не можете да разделите на

Можете да използвате теста за делимост: сумата от цифрите и, които съставляват числото, е равна и делимо на означава, че се дели на.

Знаейки това, можете спокойно да разделите в колона и в резултат на разделянето на получаваме (признаците за делимост са полезни!). Така можем да извадим числото извън скоби, точно като y, и в резултат имаме:

За да сте сигурни, че всичко е разширено правилно, можете да проверите разширението чрез умножение!

Общият коефициент може да се изрази и чрез мощностни термини. Тук например виждате ли общия множител?

Всички членове на този израз имат х-ове - изваждаме ги, всички са разделени на - изваждаме ги отново, вижте какво се получи: .

2. Формули за съкратено умножение

Формулите за съкратено умножение вече бяха споменати на теория; ако ви е трудно да си спомните какви са те, тогава трябва да опресните паметта си.

Е, ако се смятате за много умен и сте твърде мързеливи, за да прочетете такъв облак от информация, тогава просто прочетете, погледнете формулите и веднага вземете примерите.

Същността на това разлагане е да забележите определена формула в израза пред вас, да я приложите и по този начин да получите продукта на нещо и нещо, това е цялото разлагане. Формулите са следните:

Сега опитайте да факторизирате следните изрази, като използвате горните формули:

Ето какво трябваше да се случи:

Както може би сте забелязали, тези формули са много ефективен начинфакторизиране, не винаги е подходящо, но може да бъде много полезно!

3. Метод на групиране или групиране

Ето още един пример за вас:

Е, какво ще правиш с него? Изглежда, че нещо е разделено на и на, и нещо на и на

Но не можете да разделите всичко заедно на едно нещо, добре тук няма общ фактор, както и да гледаш, какво да го оставиш така, без да го разлагаш на фактори?

Тук трябва да проявите изобретателност, а името на тази изобретателност е групиране!

Използва се точно когато не всички членове имат общи делители. За групиране трябва намерете групи от термини, които имат общи множителии ги пренаредете така, че да може да се получи един и същ фактор от всяка група.

Разбира се, не е необходимо да ги пренареждате, но това дава яснота; за яснота можете да поставите отделни части от израза в скоби; не е забранено да ги поставяте колкото искате, основното е да не се бъркате знаците.

Всичко това не е ли много ясно? Нека обясня с пример:

В полином - поставяме члена - след члена - получаваме

групираме първите два термина заедно в отделна скоба и също групираме третия и четвъртия член, като извадим знака минус от скобата, получаваме:

Сега разглеждаме отделно всяка от двете „купчини“, на които разделихме израза със скоби.

Номерът е да го разделите на купчини, от които може да се извади най-големият фактор, или, както в този пример, да се опитате да групирате термините, така че след премахването на факторите от купчините извън скобите да имаме все още същите изрази вътре в скобите.

От двете скоби изваждаме общите множители на термините, от първата скоба, а от втората, получаваме:

Но това не е разлагане!

Пмагареразлагането трябва да остане само умножение, но засега нашият полином е просто разделен на две части...

НО! Този полином има общ множител. Това

отвъд скобата и получаваме крайния продукт

Бинго! Както можете да видите, тук вече има продукт и извън скобите няма събиране или изваждане, разлагането е пълно, т.к. Нямаме какво повече да извадим от скобите.

Може да изглежда като чудо, че след изваждането на множителите от скоби, останахме с еднакви изрази в скоби, които отново извадихме от скоби.

И това изобщо не е чудо, факт е, че примерите в учебниците и в Единния държавен изпит са специално направени така, че повечето изрази в задачи за опростяване или факторизацияс правилния подход към тях те лесно се опростяват и рязко се свиват като чадър, когато натиснете бутон, така че търсете точно този бутон във всеки израз.

Разсеях се, какво правим с опростяването? Сложният полином придоби по-проста форма: .

Съгласете се, не е толкова обемист, колкото беше?

4. Избиране на пълен квадрат.

Понякога, за да се приложат формули за съкратено умножение (повторете темата), е необходимо да се трансформира съществуващ полином, представяйки един от членовете му като сбор или разлика на два члена.

В какъв случай трябва да направите това, ще научите от примера:

Полином в тази форма не може да бъде разширен с помощта на формули за съкратено умножение, така че трябва да бъде трансформиран. Може би в началото няма да ви е очевидно кой член на какъв трябва да бъде разделен, но с времето ще се научите веднага да виждате формулите за съкратено умножение, дори и да не присъстват изцяло, и бързо ще определите какво липсва тук преди пълна формула, междувременно учи, студент или по-скоро ученик.

За пълната формула за разликата на квадрат тук трябва вместо това. Нека си представим третия член като разлика, получаваме: Към израза в скоби можете да приложите формулата за квадрат на разликата (да не се бърка с разликата на квадратите!!!), имаме: , към този израз можем да приложим формулата за разликата на квадратите (да не се бърка с разликата на квадрат!!!), като си представим как, получаваме: .

Факторизираният израз не винаги изглежда по-прост и по-малък, отколкото е бил преди разширяването, но в тази форма той става по-гъвкав, в смисъл, че не е нужно да се притеснявате за промяна на знаци и други математически глупости. Е, за да решите сами, следните изрази трябва да бъдат разложени на множители.

Примери:

Отговори:​

5. Факторизиране на квадратен трином

За разлагането на квадратен трином на множители вижте допълнителни примери за разлагане.

Примери за 5 метода за факторизиране на полином

1. Изваждане на общия множител извън скоби. Примери.

Спомняте ли си какъв е законът за разпределение? Това е правилото:

Пример:

Разложете полинома на множители.

Решение:

Друг пример:

Факторизирайте го.

Решение:

Ако целият термин се извади от скобите, вместо това в скобите остава единица!

2. Формули за съкратено умножение. Примери.

Формулите, които използваме най-често са разлика на квадрати, разлика на кубове и сбор на кубове. Спомняте ли си тези формули? Ако не, спешно повторете темата!

Пример:

Факторирайте израза.

Решение:

В този израз е лесно да се открие разликата между кубчетата:

Пример:

Решение:

3. Метод на групиране. Примери

Понякога можете да разменяте термини, така че един и същ фактор да може да бъде извлечен от всяка двойка съседни термини. Този общ множител може да бъде изваден от скобата и оригиналният полином ще се превърне в продукт.

Пример:

Разложете полинома на множители.

Решение:

Нека групираме термините, както следва:
.

В първата група изваждаме общия множител извън скоби, а във втората - :
.

Сега общият множител може също да бъде изваден от скоби:
.

4. Метод за избор на пълен квадрат. Примери.

Ако полиномът може да се представи като разликата на квадратите на два израза, остава само да се приложи формулата за съкратено умножение (разлика на квадратите).

Пример:

Разложете полинома на множители.

Решение:Пример:

\begin(масив)(*(35)(l))
((x)^(2))+6(x)-7=\под скоба(((x)^(2))+2\cdot 3\cdot x+9)_(квадрат\сума\ ((\left (x+3 \right))^(2)))-9-7=((\left(x+3 \right))^(2))-16= \\
=\left(x+3+4 \right)\left(x+3-4 \right)=\left(x+7 \right)\left(x-1 \right) \\
\край (масив)

Разложете полинома на множители.

Решение:

\begin(масив)(*(35)(l))
((x)^(4))-4((x)^(2))-1=\под скоба(((x)^(4))-2\cdot 2\cdot ((x)^(2) )+4)_(квадрат\ разлики((\left(((x)^(2))-2 \right))^(2)))-4-1=((\left(((x)^ (2))-2 \right))^(2))-5= \\
=\left(((x)^(2))-2+\sqrt(5) \right)\left(((x)^(2))-2-\sqrt(5) \right) \\
\край (масив)

5. Факторизиране на квадратен трином. Пример.

Квадратният трином е многочлен от формата, където - неизвестното, - някои числа и.

Стойностите на променливата, които карат квадратния трином да изчезва, се наричат ​​корени на тринома. Следователно корените на тричлен са корените на квадратно уравнение.

Теорема.

Пример:

Нека разложим на множители квадратния трином: .

Първо, нека решим квадратното уравнение: Сега можем да напишем факторизирането на този квадратен трином:

Сега вашето мнение...

Описахме подробно как и защо да факторизираме полином.

Дадохме много примери как да стане това на практика, посочихме клопки, дадохме решения...

Какво казваш?

Какво мислите за тази статия? Използвате ли тези техники? Разбирате ли същността им?

Напишете в коментарите и... се подгответе за изпита!

Досега той е най-важният в живота ви.

Съществува някои по различни начини факторизиране на полином. Най-често на практика се използва не един, а няколко метода наведнъж. Тук не може да има конкретен ред на действията, във всеки пример всичко е индивидуално. Но можете да опитате да се придържате към следния ред:

1. Ако има общ фактор, тогава го извадете от скобата;

2. След това се опитайте да разложите полинома на множители, като използвате формули за съкратено умножение;

3. Ако след това все още не сме получили необходимия резултат, трябва да опитаме да използваме метода на групиране.

Формули за съкратено умножение

1. a^2 - b^2 = (a+b)*(a-b);

2. (a+b)^2 = a^2+2*a*b+b^2;

3. (a-b)^2 = a^2-2*a*b+b^2;

4. a^3+b^3 = (a+b)*(a^2 - a*b+b^2);

5. a^3 - b^3 = (a-b)*(a^2 + a*b+b^2);

Сега, за да подсилим това, нека да разгледаме няколко примера:

Пример 1.

Разложете полинома на множители: (a^2+1)^2 - 4*a^2

Първо прилагаме съкратената формула за умножение „разлика на квадратите“ и отваряме вътрешните скоби.

(a^2+1)^2 - 4*a^2 = ((a^2+1)-2*a)*((a^2+1)+2*a) = (a^2+1 -2*a)*(a^2+1+2*a);

Обърнете внимание, че в скоби сме получили изрази за квадрат на сумата и квадрат на разликата на два израза. Нека ги приложим и да получим отговора.

a^2+1-2*a)*(a^2+1+2*a) = (a-1)^2*(a+1)^2;

Отговор:(a-1)^2*(a+1)^2;

Пример 2.

Разложете на множители полинома 4*x^2 - y^2 + 4*x +2*y.

Както виждаме директно, нито един от методите не е подходящ тук. Но има два квадрата, те могат да бъдат групирани. Да опитаме.

4*x^2 - y^2 + 4*x +2*y = (4*x^2 - y^2) +(4*x +2*y);

Получихме формулата за разликата на квадратите в първата скоба, а във втората скоба има общ множител две. Нека приложим формулата и извадим общия множител.

(4*x^2 - y^2) +(4*x +2*y)= (2*x - y)*(2*x+y) +2*(2*x+y);

Вижда се, че има две еднакви скоби. Нека ги извадим като общ множител.

(2*x - y)*(2*x+y) +2*(2*x+y) = (2*x+y)*(2*x - y)+2)= (2*x+ y) )*(2*x-y+2);

Отговор:(2*x+y)*(2*x-y+2);

Както можете да видите, няма универсален метод. С опита ще дойдат умения и разлагането на полиноми ще бъде много лесно.

Разлагането на полиноми на множители е трансформация на идентичност, в резултат на която полином се трансформира в произведение на няколко фактора - полиноми или мономи.

Има няколко начина за разлагане на полиноми.

Метод 1. Изваждане на общия множител извън скоби.

Тази трансформация се основава на разпределителния закон на умножението: ac + bc = c(a + b). Същността на трансформацията е да се изолира общият фактор в двата разглеждани компонента и да се „извади“ извън скобите.

Нека разложим на множители полинома 28x 3 – 35x 4.

Решение.

1. Намерете общ делител на елементите 28x3 и 35x4. За 28 и 35 ще бъде 7; за x 3 и x 4 – x 3. С други думи, нашият общ множител е 7х3.

2. Всеки от елементите представяме като произведение на фактори, един от които
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x.

3. Изваждаме общия множител извън скоби
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x = 7x 3 (4 – 5x).

Метод 2. Използване на формули за съкратено умножение. „Майсторството“ да използвате този метод е да забележите една от съкратените формули за умножение в израза.

Нека разложим полинома на множители x 6 – 1.

Решение.

1. Можем да приложим формулата за разликата на квадратите към този израз. За да направите това, представете си x 6 като (x 3) 2, а 1 като 1 2, т.е. 1. Изразът ще приеме формата:
(x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1).

2. Можем да приложим формулата за сбор и разлика на кубове към получения израз:
(x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Така,
x 6 – 1 = (x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Метод 3. Групиране. Методът на групиране е да се комбинират компонентите на полином по такъв начин, че да е лесно да се извършват операции върху тях (събиране, изваждане, изваждане на общ множител).

Нека разложим полинома на множители x 3 – 3x 2 + 5x – 15.

Решение.

1. Нека групираме компонентите по следния начин: 1-ви с 2-ри и 3-ти с 4-ти
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15).

2. В получения израз изваждаме общите множители извън скоби: x 2 в първия случай и 5 във втория.
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3).

3. Изваждаме общия множител x – 3 извън скобите и получаваме:
x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3)(x 2 + 5).

Така,
x 3 – 3x 2 + 5x – 15 = (x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3) ∙ (x 2 + 5 ).

Да осигурим материала.

Разложете полинома на множители a 2 – 7ab + 12b 2 .

Решение.

1. Нека представим монома 7ab като сумата 3ab + 4ab. Изразът ще приеме формата:
a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2.

Нека отворим скобите и да получим:
a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2.

2. Нека групираме компонентите на полинома по следния начин: 1-ва с 2-ра и 3-та с 4-та. Получаваме:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2).

3. Нека извадим общите фактори извън скобите:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) = a(a – 3b) – 4b(a – 3b).

4. Нека извадим общия множител (a – 3b) извън скобите:
a(a – 3b) – 4b(a – 3b) = (a – 3 b) ∙ (a – 4b).

Така,
a 2 – 7ab + 12b 2 =
= a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2 =
= (a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) =
= a(a – 3b) – 4b(a – 3b) =
= (a – 3 b) ∙ (a – 4b).

уебсайт, при пълно или частично копиране на материал се изисква връзка към източника.

Полиномите са най-важният вид математически израз. Въз основа на полиноми са конструирани много уравнения, неравенства и функции. Задачи различни нивасложностите често съдържат етапи на многостранна трансформация на полиноми. Тъй като математически всеки полином е алгебрична сума от няколко мономи, най-драматичната и необходима промяна е да се трансформира серията от полином в продукт на два (или повече) фактора. В уравнения, които имат способността да нулират една от частите, преобразуването на полинома в множители прави възможно да се приравни част на нула и по този начин да се реши цялото уравнение.

Предишни видео уроци ни показаха, че в линейната алгебра има три основни начина за преобразуване на полиноми в множители. Това е изваждане на общия множител извън скоби, прегрупиране в подобни термини и използване на формули за съкратено умножение. Ако всички членове на полином имат определена обща основа, тогава тя може лесно да бъде извадена от скоби, оставяйки остатъците от деленията под формата на модифициран полином в скоби. Но по-често, отколкото не, един фактор не отговаря на всички мономи, засягайки само част от тях. В същото време друга част от мономите може да има свои собствени общо основание. В такива случаи се използва метод на групиране - по същество поставяне на няколко фактора извън скоби и създаване на сложен израз, който може да бъде трансформиран по други начини. И накрая, има цял набор от специални формули. Всички те са формирани чрез абстрактни изчисления с помощта на метода на просто умножение член по член. По време на изчисленията много елементи в първоначалния израз се редуцират, оставяйки малки полиноми. За да не извършвате интензивни изчисления всеки път, можете да използвате готови формули, техните обратни версии или обобщени заключения на тези формули.

На практика често се случва в едно упражнение да се комбинират няколко техники, включително и от категорията на трансформиращите полиноми. Нека разгледаме един пример. Разложете на множители по бином:

Изваждаме общия множител 3x извън скоби:

3x3 - 3xy2 = 3x(x2 - y2)

Както можете да видите във видеото, вторите скоби съдържат разликата на квадратите. Прилагаме обратната формула за съкратено умножение, получавайки:

3x(x2 - y2) = 3x(x + y)(x - y)

Друг пример. Нека трансформираме израза като:

18а2 - 48а + 32

Намаляваме числовите коефициенти, като изваждаме двата от скобите:

18a2 - 48a + 32 = 2(9a2 - 24a + 16)

За да намерите подходяща формула за съкратено умножение за този случай, е необходимо леко да коригирате израза, като го коригирате към условията на формулата:

2(9a2 - 24a + 16) = 2((3a)2 - 2(3a)4 + (4)2)

Понякога не е толкова лесно да видите формулата в объркващ израз. Необходимо е да се използват методи за разлагане на израз на съставни елементи или добавяне на въображаеми двойки конструкции, като +x-x. Когато коригираме израз, трябва да спазваме правилата за непрекъснатост на знаците и запазване на смисъла на израза. В същото време трябва да се опитате да приведете полинома в пълно съответствие с абстрактната версия на формулата. Използвайки нашия пример, прилагаме формулата за разликата на квадрат:

2((3a)2 - 2(3a)4 + (4)2) = 2(3a - 4)

Нека решим едно по-сложно упражнение. Нека разложим полинома на множители:

У3 - 3у2 + 6у - 8

Като начало, нека извършим удобно групиране - първият и четвъртият елемент в една група, вторият и третият - във втората:

U3 - 3y2 + 6y - 8 = (y3 - 8) - (3y2 - 6y)

Моля, обърнете внимание, че знаците във вторите скоби са се променили на противоположни, тъй като сме преместили минуса извън израза. В първите скоби можем да напишем това:

(y3 - (2)3) - (3y2 - 6y)

Това ви позволява да приложите формулата за съкратено умножение, за да намерите разликата на кубовете:

(y3 - (2)3) - (3y2 - 6y) = (y - 2)(y2 + 2y + 4) - (3y2 - 6y)

Изваждаме общия множител 3y от вторите скоби, след което изваждаме скобите (y - 2) от целия израз (бином) и представяме подобни членове:

(y - 2)(y2 + 2y + 4) - (3y2 - 6y) = (y - 2)(y2 + 2y + 4) - 3y(y - 2) =
= (y - 2)(y2 + 2y + 4 - 3y) = (y - 2)(y2 - y + 4)

Като цяло има определен алгоритъм на действия при решаването на такива упражнения.
1. Търсим общи множители за целия израз;
2. Групираме подобни мономи и търсим общи множители за тях;
3. Опитваме се да поставим в скоби най-подходящия израз;
4. Прилага формули за съкратено умножение;
5. Ако на даден етап процесът не продължи, въвеждаме имагинерна двойка изрази от вида -x+x или други самоотменящи се конструкции;
6. Представяме подобни термини и намаляваме ненужните елементи

Всички точки от алгоритъма рядко са приложими в една задача, но общият ход на решаване на всяко упражнение по темата може да се следва в даден ред.

Раздели: Математика

Тип урок:

• според начина на провеждане - уъркшоп;
• с дидактична цел - урок по прилагане на знания и умения.

Мишена:развийте способността да разлагате полином на множители.

Задачи:

• Дидактически: систематизира, разширява и задълбочава знанията и уменията на учениците, прилага различни методи за разлагане на полином. Развийте способността да прилагате разлагане на полином чрез комбинация различни техники. Приложете знания и умения по темата: „Разлагане на полином на множители“ за изпълнение на задачи както на основно ниво, така и на задачи с повишена сложност.
• Развитие: да развият умствена дейност чрез решаване на различни видове проблеми, да се научат да намират и анализират най-рационалните методи за решаване, да допринесат за формирането на способността да обобщават фактите, които се изучават, да изразяват мислите си ясно и ясно.
• Образователни: развиват умения за самостоятелна и екипна работа, умения за самоконтрол.

Методи на работа:

• глаголен;
• визуален;
• практичен.

Оборудване на урока:интерактивна бяла дъска или шрайбпроектор, таблици със съкратени формули за умножение, инструкции, листовки за работа в групи.

Структура на урока:

1. Организиране на времето. 1 минута
2. Формулиране на темата, целта и задачите на практическото занятие. 2 минути
3. Проверка на домашните. 4 минути
4. Актуализиране на основните знания и умения на учениците. 12 минути
5. Физкултурна минута. 2 минути
6. Инструкция за изпълнение на задачите от семинара. 2 минути
7. Изпълнение на задачи в групи. 15 минути
8. Проверка и обсъждане на задачите. Анализ на работата. 3 минути
9. Поставяне на домашна работа. 1 минута
10. Резервни работни места. 3 минути

По време на часовете

1. Организационен момент

Учителят проверява готовността на класната стая и учениците за урока.

2. Формулиране на темата, целта и задачите на уъркшоп урока

• Съобщение за последния урок по темата.
• Мотивация образователни дейностистуденти.
• Формулиране на целта и поставяне на цели на урока (заедно с учениците).

3. Проверка на домашните

На дъската има примери за решения на домашни упражнения No 943 (a, c); № 945 (c, d). Пробите са направени от ученици от класа. (Тази група ученици беше идентифицирана в предишния урок; те формализираха решението си по време на почивката). Учениците се подготвят да „защитят“ решения.

Учител:

Проверява наличието на домашни в тетрадките на учениците.

Кани учениците да отговорят на въпроса: „Какви трудности предизвика изпълнението на задачата?“

Предлага да провери решението си с решението на дъската.

Кани учениците на дъската да отговорят на въпроси, които учениците имат на място при проверка по образци.

Коментира отговорите на учениците, допълва отговорите и пояснява (ако е необходимо).

Обобщава изпълнението на домашната работа.

Ученици:

Настояще домашна работаза учителя.

Разменят си тетрадките (по двойки) и си проверяват.

Отговорете на въпросите на учителя.

Проверете решението си с мостри.

Те действат като опоненти, правят допълнения, корекции, записват различен метод, ако методът за решаване в тетрадката се различава от метода на дъската.

Помолете учениците и учителя за необходимите обяснения.

Намерете начини за проверка на получените резултати.

Участвайте в оценката на качеството на изпълнените задачи на дъската.

4. Актуализиране на основните знания и умения на учениците

1. Устна работа

Учител:

Отговори на въпросите:

1. Какво означава да факторизираш полином?
2. Колко метода на разлагане знаете?
3. Как се казват?
4. Кое е най-често срещаното?

2. Полиномите са написани на дъската:

1. 14x 3 – 14x 5

2. 16x 2 – (2 + x) 2

3. 9 – x 2 – 2хy – y 2

4. x 3 - 3x - 2

Учителкани учениците да разделят на множители полиноми № 1-3:

• Вариант I – чрез прилагане на общ множител;
• II вариант – използване на формули за съкратено умножение;
• Вариант III - по групов метод.

Един ученик е помолен да разложи на множители полином № 4 (индивидуална задача с повишена трудност, задачата се изпълнява във формат А 4). След това на дъската излиза примерно решение на задачи No 1-3 (изпълнено от учителя), примерно решение на задача No 4 (изпълнено от ученика).

3. Загрейте

Учителят дава инструкции за разлагане и избор на буквата, свързана с правилния отговор. Като добавите буквите, получавате името на най-великия математик от 17 век, който има огромен принос в развитието на теорията за решаване на уравнения. (Декарт)

5. Урок по физическо възпитание Изявления се четат на учениците. Ако твърдението е вярно, тогава учениците трябва да вдигнат ръце, а ако е невярно, тогава да седнат на чиновете си. (Приложение 2)

6. Инструкция за изпълнение на задачите от семинара.

На интерактивната дъска има таблица с инструкции или отделен плакат.

При факторизиране на полином трябва да се спазва следният ред:

1. поставете общия множител извън скоби (ако има такъв);

2. приложете формули за съкратено умножение (ако е възможно);

3. прилага метода на групиране;

4. проверка на резултата, получен чрез умножение.

Учител:

Представя инструкции на учениците (фокусира се върху стъпка 4).

Предлага изпълнение на задачи от семинара в групи.

Раздава работен лист на групите, листове с копир за изготвяне на задачи в тетрадки и последващата им проверка.

Определя време за работа в групи и работа в тетрадки.

Ученици:

Прочети инструкциите.

Учителите слушат внимателно.

Седнали на групи (4-5 души).

Подгответе се за практическа работа.

7. Изпълнение на задачи в групи

Работни листове със задачи за групи. (Приложение 3)

Учител:

Управлява самостоятелна работав групи.

Оценява се способността на учениците за самостоятелна работа, умението за работа в група и качеството на дизайна на работния лист.

Ученици:

Изпълнете задачи върху листове копир, включени в работната тетрадка.

Обсъдете начини за вземане на рационални решения.

Подгответе работен лист от групата.

Подгответе се за защита на завършена работа.

8. Проверка и обсъждане на изпълнението на задачата

Отговори на интерактивната дъска.

Учител:

Събира преписи от решения.

Управлява отчитането на учениците върху работни листове.

Предлага самооценка на вашата работа, сравняване на отговорите от тетрадки, работни листове и образци на дъската.

Напомня ми критериите за оценяване на работата и за участие в нейното изпълнение.

Осигурява разяснения относно възникващи въпроси, свързани с решения или самооценка.

Обобщава първите резултати от практическата работа и размисъл.

Обобщава (съвместно с учениците) урока.

В него се казва, че окончателните резултати ще бъдат обобщени след проверка на копията на работата, изпълнена от учениците.

Ученици:

Дайте копия на учителя.

Работните листове са прикрепени към дъската.

Доклад за завършване на работата.

Извършвайте самопроверка и самооценка на изпълнението на работата.

9. Поставяне на домашна работа

Домашната работа е написана на дъската: No 1016 (a, b); 1017 (c,d); № 1021 (g,d,f)*

Учител:

Предлага да напише задължителната част от задачата за вкъщи.

Дава коментар за изпълнението му.

Кани по-подготвените ученици да запишат № 1021 (g, e, f) *.

Казва ви да се подготвите за следващия урок за преглед