От какво зависи едно пружинно махало? Пружинно махало. Уравнение на плоска вълна

10.4. Закон за запазване на енергията при хармонични трептения

10.4.1. Енергоспестяване при механични хармонични вибрации

Запазване на енергията при трептене на математическо махало

По време на хармонични вибрации общата механична енергия на системата се запазва (остава постоянна).

Пълна механична енергия на математическо махало

E = W k + W p,

където W k е кинетичната енергия, W k = = mv 2 /2; W p - потенциална енергия, W p = mgh; m е масата на товара; g - модул за ускорение на свободно падане; v - модул за скорост на натоварване; h е височината на товара над равновесното положение (фиг. 10.15).

По време на хармонични трептения математическото махало преминава през редица последователни състояния, така че е препоръчително да се разглежда енергията на математическото махало в три позиции (виж фиг. 10.15):

Ориз. 10.15

1) в равновесно положение

потенциалната енергия е нула; Общата енергия съвпада с максималната кинетична енергия:

E = W k max;

2) в извънредна ситуация(2) тялото е повдигнато над първоначалното ниво до максималната височина h max, следователно потенциалната енергия също е максимална:

W p max = m g h max ;

кинетичната енергия е нула; общата енергия съвпада с максималната потенциална енергия:

E = W p max ;

3) в междинно положение(3) тялото има моментна скорост v и е повдигнато над първоначалното ниво до определена височина h, следователно общата енергия е сумата

E = m v 2 2 + m g h,

където mv 2 /2 е кинетична енергия; mgh - потенциална енергия; m е масата на товара; g - модул за ускорение на свободно падане; v - модул за скорост на натоварване; h - височина на повдигане на товара над равновесното положение.

По време на хармоничните трептения на математическото махало общата механична енергия се запазва:

E = const.

Стойностите на общата енергия на математическото махало в трите му позиции са отразени в таблицата. 10.1.

№	Позиция	Wp	седмица	E = W p + W k
1	Равновесие	0	m v макс. 2/2	m v макс. 2/2
2	Екстремни	mgh макс	0	mgh макс
3	Междинен (незабавен)	mgh	mv 2/2	mv 2/2 + mgh

Стойностите на общата механична енергия са представени в последната колона на таблицата. 10.1, имат равни стойности за всяка позиция на махалото, което е математически израз:

m v max 2 2 = m g h max;

m v max 2 2 = m v 2 2 + m g h ;

m g h max = m v 2 2 + m g h,

където m е масата на товара; g - модул за ускорение на свободно падане; v е модулът на моментната скорост на товара в позиция 3; h - височина на повдигане на товара над равновесното положение в позиция 3; v max - модул на максималната скорост на товара в позиция 1; h max - максимална височина на повдигане на товара над равновесното положение в позиция 2.

Ъгъл на отклонение на резбатаматематическо махало от вертикалата (фиг. 10.15) се определя от израза

cos α = l − hl = 1 − hl,

където l е дължината на нишката; h - височина на повдигане на товара над равновесното положение.

Максимален ъгълотклонение α max се определя от максималната височина на повдигане на товара над равновесното положение h max:

cos α max = 1 − h max l .

Пример 11. Периодът на малки трептения на математическо махало е 0,9 s. На какъв максимален ъгъл ще се отклони нишката от вертикалата, ако при преминаване на равновесното положение топката се движи със скорост 1,5 m/s? В системата няма триене.

Решение . Фигурата показва две позиции на математическото махало:

• равновесно положение 1 (характеризира се с максималната скорост на топката v max);
• крайно положение 2 (характеризира се с максималната височина на повдигане на топката h max над равновесното положение).

Необходимият ъгъл се определя от равенството

cos α max = l − h max l = 1 − h max l,

където l е дължината на нишката на махалото.

Намираме максималната височина на топката на махалото над равновесното положение от закона за запазване на общата механична енергия.

Общата енергия на махалото в равновесно положение и в крайно положение се определя по следните формули:

• в позиция на баланс -

E 1 = m v max 2 2,

където m е масата на топката на махалото; v max - модул на скоростта на топката в равновесно положение (максимална скорост), v max = 1,5 m/s;

• в крайно положение -

E 2 = mgh max,

където g е модулът на гравитационното ускорение; h max е максималната височина на повдигане на топката над равновесното положение.

Закон за запазване на общата механична енергия:

m v max 2 2 = m g h max .

Нека изразим от тук максималната височина на издигане на топката над равновесното положение:

h max = v max 2 2 g .

Определяме дължината на нишката от формулата за периода на трептене на математическо махало

T = 2 π l g ,

тези. дължина на нишката

l = T 2 g 4 π 2 .

Нека заместим h max и l в израза за косинуса на желания ъгъл:

cos α max = 1 − 2 π 2 v max 2 g 2 T 2

и извършете изчислението, като вземете предвид приблизителното равенство π 2 = 10:

cos α max = 1 − 2 ⋅ 10 ⋅ (1,5) 2 10 2 ⋅ (0,9) 2 = 0,5 .

От това следва, че максималният ъгъл на отклонение е 60°.

Строго погледнато, при ъгъл от 60° трептенията на топката не са малки и е незаконно да се използва стандартната формула за периода на трептене на математическото махало.

Запазване на енергията при трептене на пружинно махало

Пълна механична енергия на пружинно махалосе състои от кинетична енергия и потенциална енергия:

E = W k + W p,

където W k е кинетична енергия, W k = mv 2 /2; W p - потенциална енергия, W p = k (Δx ) 2 /2; m е масата на товара; v - модул за скорост на натоварване; k е коефициентът на твърдост (еластичност) на пружината; Δx - деформация (напрежение или компресия) на пружината (фиг. 10.16).

В Международната система от единици енергията на механична осцилаторна система се измерва в джаули (1 J).

По време на хармонични трептения пружинното махало преминава през редица последователни състояния, така че е препоръчително да се разглежда енергията на пружинното махало в три позиции (виж фиг. 10.16):

1) в равновесно положение(1) скоростта на тялото има максимална стойност v max, следователно кинетичната енергия също е максимална:

W k max = m v max 2 2 ;

потенциалната енергия на пружината е нула, тъй като пружината не е деформирана; Общата енергия съвпада с максималната кинетична енергия:

E = W k max;

2) в извънредна ситуация(2) пружината има максимална деформация (Δx max), така че потенциалната енергия също има максимална стойност:

W p max = k (Δ x max) 2 2 ;

кинетичната енергия на тялото е нула; общата енергия съвпада с максималната потенциална енергия:

E = W p max ;

3) в междинно положение(3) тялото има моментна скорост v, пружината има някаква деформация в този момент (Δx), така че общата енергия е сумата

E = m v 2 2 + k (Δ x) 2 2,

където mv 2 /2 е кинетична енергия; k (Δx) 2 /2 - потенциална енергия; m е масата на товара; v - модул за скорост на натоварване; k е коефициентът на твърдост (еластичност) на пружината; Δx - деформация (опън или компресия) на пружината.

Когато товарът на пружинно махало се измести от равновесното му положение, върху него се въздейства възстановяваща сила, чиято проекция върху посоката на движение на махалото се определя по формулата

F x = −kx,

където x е изместването на товара на махалото на пружината от равновесното положение, x = ∆x, ∆x е деформацията на пружината; k е коефициентът на твърдост (еластичност) на пружината на махалото.

По време на хармонични трептения на пружинно махало общата механична енергия се запазва:

E = const.

Стойностите на общата енергия на пружинното махало в трите му позиции са отразени в таблицата. 10.2.

№	Позиция	Wp	седмица	E = W p + W k
1	Равновесие	0	m v макс. 2/2	m v макс. 2/2
2	Екстремни	k (Δx max) 2 /2	0	k (Δx max) 2 /2
3	Междинен (незабавен)	k (Δx) 2/2	mv 2/2	mv 2 /2 + k (Δx ) 2 /2

Стойностите на общата механична енергия, представени в последната колона на таблицата, имат еднакви стойности за всяка позиция на махалото, което е математически израз закон за запазване на пълната механична енергия:

m v max 2 2 = k (Δ x max) 2 2 ;

m v max 2 2 = m v 2 2 + k (Δ x) 2 2 ;

k (Δ x max) 2 2 = m v 2 2 + k (Δ x) 2 2 ,

където m е масата на товара; v е модулът на моментната скорост на товара в позиция 3; Δx - деформация (опън или компресия) на пружината в позиция 3; v max - модул на максималната скорост на товара в позиция 1; Δx max - максимална деформация (опън или компресия) на пружината в позиция 2.

Пример 12. Пружинно махало извършва хармонични трептения. Колко пъти кинетичната му енергия е по-голяма от потенциалната в момента, когато изместването на тялото от равновесното положение е една четвърт от амплитудата?

Решение . Нека сравним две позиции на пружинното махало:

• крайно положение 1 (характеризира се с максималното изместване на товара на махалото от равновесното положение x max);
• междинна позиция 2 (характеризираща се с междинни стойности на изместване от равновесното положение x и скорост v →).

Общата енергия на махалото в крайни и междинни позиции се определя по следните формули:

• в крайно положение -

E 1 = k (Δ x max) 2 2,

където k е коефициентът на твърдост (еластичност) на пружината; ∆x max - амплитуда на трептенията (максимално изместване от равновесното положение), ∆x max = A;

• в междинна позиция -

E 2 = k (Δ x) 2 2 + m v 2 2,

където m е масата на товара на махалото; ∆x - изместване на товара от равновесното положение, ∆x = A /4.

Законът за запазване на общата механична енергия за пружинно махало има следния вид:

k (Δ x max) 2 2 = k (Δ x) 2 2 + m v 2 2 .

Нека разделим двете страни на записаното равенство на k (∆x) 2 /2:

(Δ x max Δ x) 2 = 1 + m v 2 2 ⋅ 2 k Δ x 2 = 1 + W k W p ,

където W k е кинетичната енергия на махалото в междинна позиция, W k = mv 2 /2; W p - потенциална енергия на махалото в междинно положение, W p = k (∆x) 2 /2.

Нека изразим необходимото енергийно съотношение от уравнението:

W k W p = (Δ x max Δ x) 2 − 1

и изчислете стойността му:

W k W p = (A A / 4) 2 − 1 = 16 − 1 = 15 .

В посочения момент отношението на кинетичната и потенциалната енергия на махалото е 15.

Определение

Честота на трептене($\nu$) е един от параметрите, които характеризират трептенията. Това е реципрочната стойност на периода на трептене ($T$):

\[\nu =\frac(1)(T)\left(1\right).\]

По този начин честотата на трептенията е физическо количество, равно на броя на повторенията на трептенията за единица време.

\[\nu =\frac(N)(\Delta t)\left(2\right),\]

където $N$ е броят на пълните колебателни движения; $\Delta t$ е времето, през което са възникнали тези колебания.

Честотата на цикличните трептения ($(\omega )_0$) е свързана с честотата $\nu $ по формулата:

\[\nu =\frac((\omega )_0)(2\pi )\left(3\right).\]

Единицата за честота в Международната система от единици (SI) е херц или реципрочна секунда:

\[\left[\nu \right]=с^(-1)=Hz.\]

Пружинно махало

Определение

Пружинно махалонаречена система, която се състои от еластична пружина, към която е прикрепен товар.

Да приемем, че масата на товара е $m$, а коефициентът на еластичност на пружината е $k$. Масата на пружината в такова махало обикновено не се взема предвид. Ако разгледаме хоризонталните движения на товара (фиг. 1), тогава той се движи под въздействието на еластична сила, ако системата бъде извадена от равновесие и оставена на произвола. В този случай често се смята, че силите на триене могат да бъдат пренебрегнати.

Уравнения на трептенията на пружинно махало

Пружинно махало, което осцилира свободно, е пример за хармоничен осцилатор. Нека осцилира по оста X. Ако трептенията са малки, законът на Хук е изпълнен, тогава записваме уравнението на движение на товара като:

\[\ddot(x)+(\omega )^2_0x=0\left(4\right),\]

където $(\omega )^2_0=\frac(k)(m)$ е цикличната честота на трептене на пружинното махало. Решението на уравнение (4) е функция синус или косинус от формата:

където $(\omega )_0=\sqrt(\frac(k)(m))>0$ е цикличната честота на трептенията на пружинното махало, $A$ е амплитудата на трептенията; $((\omega )_0t+\varphi)$ - фаза на трептене; $\varphi $ и $(\varphi )_1$ са началните фази на трептенията.

Честота на трептене на пружинно махало

От формула (3) и $(\omega )_0=\sqrt(\frac(k)(m))$ следва, че честотата на трептене на пружинното махало е равна на:

\[\nu =\frac(1)(2\pi )\sqrt(\frac(k)(m))\ \left(6\right).\]

Формула (6) е валидна, ако:

• пружината в махалото се счита за безтегловна;
• товарът, прикрепен към пружината, е абсолютно твърдо тяло;
• няма усукващи вибрации.

Израз (6) показва, че честотата на трептене на пружинното махало се увеличава с намаляване на масата на товара и увеличаване на коефициента на еластичност на пружината. Честотата на трептене на пружинното махало не зависи от амплитудата. Ако трептенията не са малки, еластичната сила на пружината не се подчинява на закона на Хук, тогава се появява зависимост на честотата на трептене от амплитудата.

Примери за задачи с решения

Пример 1

Упражнение.Периодът на трептене на пружинно махало е $T=5\cdot (10)^(-3)s$. Каква е честотата на трептене в този случай? Каква е цикличната честота на вибрациите на тази маса?

Решение.Честотата на трептене е реципрочната на периода на трептене, следователно за решаване на проблема е достатъчно да се използва формулата:

\[\nu =\frac(1)(T)\left(1.1\right).\]

Нека изчислим необходимата честота:

\[\nu =\frac(1)(5\cdot (10)^(-3))=200\ \left(Hz\right).\]

Цикличната честота е свързана с честотата $\nu $ като:

\[(\omega )_0=2\pi \nu \ \left(1.2\right).\]

Нека изчислим цикличната честота:

\[(\omega )_0=2\pi \cdot 200\приблизително 1256\ \left(\frac(rad)(s)\right).\]

Отговор.$1)\ \nu =200$ Hz. 2) $(\omega )_0=1256\ \frac(rad)(s)$

Пример 2

Упражнение.Масата на товара, окачен на еластична пружина (фиг. 2), се увеличава с $\Delta m$, докато честотата намалява с $n$ пъти. Каква е масата на първия товар?

\[\nu =\frac(1)(2\pi )\sqrt(\frac(k)(m))\ \left(2.1\right).\]

За първото натоварване честотата ще бъде равна на:

\[(\nu )_1=\frac(1)(2\pi )\sqrt(\frac(k)(m))\ \left(2.2\right).\]

За второто зареждане:

\[(\nu )_2=\frac(1)(2\pi )\sqrt(\frac(k)(m+\Delta m))\ \left(2.2\right).\]

Съгласно условията на задачата $(\nu )_2=\frac((\nu )_1)(n)$ намираме отношението $\frac((\nu )_1)((\nu )_2): \frac((\nu )_1)((\nu )_2)=\sqrt(\frac(k)(m)\cdot \frac(m+\Delta m)(k))=\sqrt(1+\frac (\Делта m)( m))=n\ \вляво(2,3\вдясно).$

Нека получим от уравнение (2.3) необходимата маса на товара. За да направите това, нека повдигнем на квадрат двете страни на израз (2.3) и изразим $m$:

Отговор.$m=\frac(\Delta m)(n^2-1)$

Определение 1

Свободните вибрации могат да възникнат под въздействието на вътрешни сили само след като цялата система бъде извадена от равновесно положение.

За да възникнат трептения по хармоничния закон, е необходимо силата, връщаща тялото в равновесно положение, да е пропорционална на изместването на тялото от равновесното положение и насочена в посока, обратна на изместването.

F (t) = m a (t) = - m ω 2 x (t) .

Връзката казва, че ω е честотата на хармонично трептене. Това свойство е характерно за еластичната сила в границите на приложимост на закона на Хук:

F y p r = - k x .

Определение 2

Силите от всякакво естество, които отговарят на условието, се наричат квазиеластичен.

Тоест товар с маса m, прикрепен към пружина с твърдост k с фиксиран край, показана на фигура 2. 2. 1, представляват система, способна да извършва хармонични свободни вибрации при липса на триене.

Определение 3

Тежест, поставена върху пружина, се нарича линеен хармоничен осцилатор.

рисуване 2 . 2 . 1 . Трептения на товар върху пружина. Няма триене.

Кръгова честота

Кръговата честота ω 0 се намира чрез прилагане на формулата на втория закон на Нютон:

m a = - k x = m ω 0 2 x .

Така получаваме:

Определение 4

Честотата ω 0 се нарича собствена честота на трептящата система.

Периодът на хармоничните трептения на товара върху пружината Т се определя от формулата:

T = 2 π ω 0 = 2 π m k .

Хоризонталното разположение на системата за пружинно натоварване, силата на гравитацията се компенсира от опорната реакционна сила. При окачване на товар на пружина посоката на гравитацията върви по линията на движение на товара. Равновесното положение на опъната пружина е равно на:

x 0 = m g k , докато се появяват трептения около ново равновесно състояние. Формулите за собствената честота ω 0 и периода на трептене T в горните изрази са валидни.

Определение 5

Като се има предвид съществуващата математическа връзка между ускорението на тялото a и координатата x, поведението на осцилаторната система се характеризира със строго описание: ускорението е втората производна на координатата на тялото x по отношение на времето t:

Описанието на втория закон на Нютон с натоварване върху пружина ще бъде написано като:

m a - m x = - k x, или x ¨ + ω 0 2 x = 0, където свободната честота ω 0 2 = k m.

Ако физическите системи зависят от формулата x ¨ + ω 0 2 x = 0, тогава те са в състояние да извършват свободни осцилаторни хармонични движения с различни амплитуди. Това е възможно, защото се използва x = x m cos (ω t + φ 0).

Определение 6

Извиква се уравнение от вида x ¨ + ω 0 2 x = 0 уравнения на свободните вибрации. Техните физически свойства могат да определят само естествената честота на трептенията ω 0 или периода T.

Амплитудата x m и началната фаза φ 0 се намират с помощта на метод, който ги извежда от равновесното състояние на началния момент от времето.

Пример 1

При наличие на изместен товар от равновесното положение на разстояние ∆ l и момент от време, равен на t = 0, той се спуска без начална скорост. Тогава x m = ∆ l, φ 0 = 0. Ако товарът е бил в равновесно положение, тогава първоначалната скорост ± υ 0 се предава по време на натискане, следователно x m = m k υ 0, φ 0 = ± π 2.

Амплитудата x m с начална фаза φ 0 се определя от наличието на начални условия.

Фигура 2. 2. 2. Модел на свободни трептения на товар върху пружина.

Механичните осцилаторни системи се отличават с наличието на еластични деформационни сили във всяка от тях. Фигура 2. 2. 2 е показан ъглов аналог на хармоничен осцилатор, извършващ торсионни трептения. Дискът е разположен хоризонтално и виси на еластична нишка, прикрепена към центъра на масата му. Ако се завърти под ъгъл θ, тогава възниква момент на сила на еластична усукваща деформация M y p p:

M y p r = - x θ.

Този израз не съответства на закона на Хук за деформация на усукване. Стойността x е подобна на твърдостта на пружината k. Записът на втория закон на Нютон за въртеливото движение на диск приема формата

I ε = M y p p = - x θ или I θ ¨ = - x θ, където инерционният момент е означен с I = IC, а ε е ъгловото ускорение.

По същия начин с формулата на пружинно махало:

ω 0 = x I , T = 2 π I x .

Използването на торсионно махало се наблюдава при механичните часовници. Нарича се балансьор, в който моментът на еластичните сили се създава с помощта на спирална пружина.

Фигура 2. 2. 3. Торсионно махало.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Пружинното махало е материална точка с маса, прикрепена към абсолютно еластична безтегловна пружина с твърдост . Има два най-прости случая: хоризонтален (фиг. 15, А) и вертикално (фиг. 15, b) махала.

а) Хоризонтално махало(Фиг. 15, а). Когато товарът се движи
от равновесното положение по количеството действа върху него в хоризонтална посока възстановяване на еластичната сила
(закон на Хук).

Предполага се, че хоризонталната опора, по която се плъзга товарът
по време на своите вибрации, той е абсолютно гладък (без триене).

б) Вертикално махало(фиг. 15, b). Равновесното положение в този случай се характеризира с условието:

Където - големината на еластичната сила, действаща върху товара
когато пружината е статично опъната с под въздействието на гравитацията на товара
.

А

Фиг. 15. Пружинно махало: А– хоризонтални и b– вертикален

Ако опънете пружината и освободите товара, тя ще започне да се люлее вертикално. Ако изместването в даден момент от времето е
, тогава еластичната сила сега ще бъде записана като
.

И в двата разгледани случая пружинното махало извършва хармонични трептения с период

(27)

и циклична честота

. (28)

Използвайки примера на пружинно махало, можем да заключим, че хармоничните трептения са движение, причинено от сила, която нараства пропорционално на изместването . По този начин, ако възстановяващата сила прилича на закона на Хук
(тя получи иметоквазиеластична сила ), тогава системата трябва да извършва хармонични трептения.В момента на преминаване на равновесното положение върху тялото не действа възстановяваща сила, но тялото по инерция преминава през равновесното положение и възстановяващата сила променя посоката си в противоположна.

Математическо махало

Фиг. 16. Математическо махало

Математическо махалое идеализирана система под формата на материална точка, окачена на безтегловна неразтеглива нишка с дължина , който прави малки трептения под въздействието на гравитацията (фиг. 16).

Трептения на такова махало при малки ъгли на отклонение
(не надвишава 5º) може да се счита за хармонична, а цикличната честота на математическо махало:

, (29)

и период:

. (30)

2.3. Енергия на тялото при хармонични трептения

Енергията, предадена на осцилаторната система по време на първоначалния тласък, ще се трансформира периодично: потенциалната енергия на деформираната пружина ще се трансформира в кинетичната енергия на движещия се товар и обратно.

Нека пружинното махало извършва хармонични трептения с началната фаза
, т.е.
(фиг. 17).

Фиг. 17. Закон за запазване на механичната енергия

когато пружинно махало трепти

При максималното отклонение на товара от равновесното положение, общата механична енергия на махалото (енергията на деформирана пружина с твърдост ) е равно на
. При преминаване на равновесното положение (
) потенциалната енергия на пружината ще стане равна на нула, а общата механична енергия на трептящата система ще се определи като
.

Фигура 18 показва графики на зависимостите на кинетичната, потенциалната и пълната енергия в случаите, когато хармоничните вибрации се описват чрез тригонометрични функции на синус (пунктирана линия) или косинус (плътна линия).

Фиг. 18. Графики на времевата зависимост на кинетиката

и потенциална енергия по време на хармонични трептения

От графиките (фиг. 18) следва, че честотата на промяна на кинетичната и потенциалната енергия е два пъти по-висока от собствената честота на хармоничните трептения.

Определение

Пружинно махалонаречена система, която се състои от еластична пружина, към която е прикрепен товар.

Да приемем, че масата на товара е $m$, а коефициентът на еластичност на пружината е $k$. Масата на пружината в такова махало обикновено не се взема предвид. Ако разгледаме вертикалните движения на товара (фиг. 1), тогава той се движи под въздействието на гравитацията и еластичната сила, ако системата бъде извадена от равновесие и оставена на произвола.

Уравнения на трептенията на пружинно махало

Пружинно махало, което осцилира свободно, е пример за хармоничен осцилатор. Да приемем, че махалото се колебае по оста X. Ако трептенията са малки, законът на Хук е изпълнен, тогава уравнението на движение на товара има формата:

\[\ddot(x)+(\omega )^2_0x=0\left(1\right),\]

където $(нu)^2_0=\frac(k)(m)$ е цикличната честота на трептения на пружинното махало. Решението на уравнение (1) е функцията:

където $(\omega )_0=\sqrt(\frac(k)(m))>0$ е цикличната честота на трептенията на махалото, $A$ е амплитудата на трептенията; $((\omega )_0t+\varphi)$ - фаза на трептене; $\varphi $ и $(\varphi )_1$ са началните фази на трептенията.

В експоненциална форма трептенията на пружинно махало могат да бъдат записани като:

Формули за периода и честотата на трептене на пружинно махало

Ако законът на Хук е изпълнен при еластични вибрации, тогава периодът на трептене на пружинно махало се изчислява по формулата:

Тъй като честотата на трептене ($\nu $) е реципрочната на периода, тогава:

\[\nu =\frac(1)(T)=\frac(1)(2\pi )\sqrt(\frac(k)(m))\left(5\right).\]

Формули за амплитудата и началната фаза на пружинно махало

Познавайки уравнението на трептенията на пружинно махало (1 или 2) и началните условия, можете напълно да опишете хармоничните трептения на пружинно махало. Началните условия се определят от амплитудата ($A$) и началната фаза на трептенията ($\varphi $).

Амплитудата може да се намери като:

началната фаза в този случай:

където $v_0$ е скоростта на товара при $t=0\ c$, когато координатата на товара е $x_0$.

Вибрационна енергия на пружинно махало

При едномерното движение на пружинно махало има само един път между две точки на неговото движение, следователно условието за потенциална сила е изпълнено (всяка сила може да се счита за потенциална, ако зависи само от координатите). Тъй като силите, действащи върху пружинно махало, са потенциални, можем да говорим за потенциална енергия.

Оставете пружинното махало да се колебае в хоризонталната равнина (фиг. 2). Нека приемем позицията на неговото равновесие като нулева потенциална енергия на махалото, където поставяме началото на координатите. Не вземаме предвид силите на триене. Използвайки формулата, свързваща потенциалната сила и потенциалната енергия за едномерния случай:

като се има предвид, че за пружинно махало $F=-kx$,

тогава потенциалната енергия ($E_p$) на пружинното махало е равна на:

Записваме закона за запазване на енергията за пружинно махало като:

\[\frac(m(\dot(x))^2)(2)+\frac(m((\omega )_0)^2x^2)(2)=const\ \left(10\right), \]

където $\dot(x)=v$ е скоростта на товара; $E_k=\frac(m(\dot(x))^2)(2)$ е кинетичната енергия на махалото.

От формула (10) могат да се направят следните изводи:

• Максималната кинетична енергия на махалото е равна на неговата максимална потенциална енергия.
• Средната за времето кинетична енергия на осцилатора е равна на неговата средна за времето потенциална енергия.

Примери за задачи с решения

Пример 1

Упражнение.Малка топка с маса $m=0,36$ kg е закрепена към хоризонтална пружина, чийто коефициент на еластичност е равен на $k=1600\ \frac(N)(m)$. Какво беше първоначалното изместване на топката от равновесното положение ($x_0$), ако тя осцилира през него със скорост $v=1\ \frac(m)(s)$?

Решение.Да направим рисунка.

Според закона за запазване на механичната енергия (тъй като приемаме, че няма сили на триене), пишем:

където $E_(pmax)$ е потенциалната енергия на топката при нейното максимално изместване от равновесното положение; $E_(kmax\ )$ е кинетичната енергия на топката в момента на преминаване през равновесното положение.

Потенциалната енергия е равна на:

В съответствие с (1.1), приравняваме десните части на (1.2) и (1.3), имаме:

\[\frac(mv^2)(2)=\frac(k(x_0)^2)(2)\left(1.4\right).\]

От (1.4) изразяваме търсената стойност:

Нека изчислим първоначалното (максималното) изместване на товара от равновесното положение:

Отговор.$x_0=1,5$ мм

Пример 2

Упражнение.Пружинното махало осцилира според закона: $x=A(\cos \left(\omega t\right),\ \ )\ $където $A$ и $\omega $ са константи. Когато възстановяващата сила за първи път достигне $F_0,$ потенциалната енергия на товара е $E_(p0)$. В кой момент от времето ще се случи това?

Решение.Възстановяващата сила за пружинно махало е еластичната сила, равна на:

Намираме потенциалната енергия на вибрациите на товара като:

В момента, който трябва да бъде намерен $F=F_0$; $E_p=E_(p0)$, означава:

\[\frac(E_(p0))(F_0)=-\frac(A)(2)(\cos \left(\omega t\right)\ )\to t=\frac(1)(\omega ) \arc(\cos \left(-\frac(2E_(p0))(AF_0)\right)\ ).\]

Отговор.$t=\frac(1)(\omega )\ arc(\cos \left(-\frac(2E_(p0))(AF_0)\right)\ )$