ローレンツアトラクタ。 「ローレンツアトラクタのモデリング3次元ローレンツアトラクタ
教育のための連邦機関
州の教育機関
より高度な専門教育
「サマラ州立建築・建設大学」
情報システムと技術の施設
応用数学およびコンピューティング工学科
規律レポート
"システム分析"
「ローレンツアトラクタのモデリング」
学生によるパフォーマンスGIP-105：
N. I. ZAKONOV
先生：
PIYAVSKYS.A。
タスク
プロセスフロー図の形式で表示するC＃言語でローレンツモデルをプログラムし、標準のパラメーター値で「ローレンツバタフライ」を取得してプログラミングの正確さを確認します。
初期データ
動的カオスの最も顕著な例は、液体の熱対流の問題を解決しながら、1963年に気象学者のエドワードローレンツによって発見されました。
この現象を可能な限り単純化したローレンツは、3つの結合された1次非線形微分方程式の比較的単純なシステムでさえ、解として完全に無秩序な軌道を持つ可能性があるという事実に偶然出くわしました。
現在古典的になっているこの連立方程式の形式は次のとおりです。
これらの方程式の解（関数X（t）、Y（t）、およびZ（t））は、3次元の「位相」空間X、Y、Zにおけるシステムの軌道をパラメトリック形式で決定します。 これらの方程式の右辺の関数は一意であるため、軌道が交差することはありません。
ローレンツは、パラメーターの値について、さまざまな初期条件下でこれらの軌道の形を研究しました r = 28, y = 10と b = 8/3。 彼は、この場合、軌道が半空間x>0から半空間xまでランダムにさまよっていることを発見しました。<0, фоpмиpуя две почти плоских, пеpепутанных сложным образом спивали. Эту я проинтегрировал при начальных данных X = 3.05; Y = 1.58; Z = 15.62（値はモデリングの便宜のためにのみ取られています）そして図1にさらに示されているものを見てください。
システムソリューションの動作
パラメータのさまざまな値に対するローレンツシステムのソリューションの動作の変化を考えてみましょう r （他のパラメーターを使用できます）。
r < 1 - 振動点が原点であり、他に安定点はありません。
図2-のシステムモデル r < 1
r = 14 -軌道がらせん状に1点に近づいています
図3-のシステムモデル r = 14
14 < r< 24 - 方向に応じて、軌道は2つの安定したポイントのいずれかになります
図4-のシステムモデル 14 < r< 24
r > 24 -軌道はもはや安定した点につながりませんが、漸近的に不安定なリミットサイクルに近づきます-実際のローレンツアトラクタが表示されます。
図5-のシステムモデル r< 24
出力
ローレンツモデルは、カオス的振る舞いを伴う動的システムの実際の物理的な例です。 一連のパラメーターのさまざまな値に対するシステムの動作を調べることにより、システムの状態間に遷移があることを確信できます（システムグラフ）。
私にとって最も興味深いのは、システムが2つの静的なポイント間で振動するが、それらに到達しない振動フェーズです。
文学
1.「システム分析」の分野での実験室作業の実施に関するガイドライン/; サマルスク。 州 arch.-build。 un-t。/サマラ、20代。
でのシステムのソリューション r=24,06
でのシステムのソリューション r= 28 —実際、これはローレンツアトラクタです
でのシステムのソリューション r=100-システムの自励発振のモードが表示されます
対流の問題では、流速と温度が2次元フーリエ級数に展開され、その後の「切断」が1次および2次高調波の精度で行われるときにモデルが発生します。 さらに、流体力学方程式の縮小された完全なシステムは、ブシネスク近似で記述されます。 ソルツマンは彼の作品でほとんどの高調波の振る舞いに興味深い特徴がないことを示したので、行のトリミングはある程度正当化されます。
適用性と現実への準拠
上記の問題に関連して、連立方程式の変数とパラメーターの物理的意味を指定しましょう。
- 平らな層の対流。ここ バツ水軸の回転速度に責任があり、 yと z-水平方向および垂直方向の温度分布については、 r-正規化されたレイリー数、σ-プラントル数（動粘度係数と熱拡散係数の比）、 b対流セルの形状に関する情報が含まれています。
- 閉ループでの対流。ここ バツ-流速、 y-ループの最下点から90°離れた点での平均からの温度偏差、 z-同じですが、一番下のポイントです。 熱は最低点で供給されます。
- 水車の回転。底に穴の開いたバスケットが固定されているリムのホイールの問題が考慮されます。 ホイールの上部 対称的に水の連続的な流れが回転軸の周りを流れます。 このタスクは、「逆さま」にした前のタスクと同等ですが、温度を、リムに沿ったバスケット内の水の質量の分布密度に置き換えます。
- シングルモードレーザー。ここ バツはレーザーキャビティ内の波の振幅です。 y-分極、 z-エネルギー準位の反転分布、 bとσは、分極緩和係数に対する反転係数と電界緩和係数の比率です。 r-ポンピング強度。
対流の問題に適用されるように、ローレンツモデルは非常に大まかな近似であり、現実からはほど遠いことを指摘する価値があります。 安定した解が実験的に観察された均一に回転する対流ロール（ベナールセル）のパターンを定性的に反映する通常のレジームの領域には、多かれ少なかれ適切な対応が存在します。 モデルに固有のカオスレジームは、元の三角級数の大幅なトリミングによる乱流対流を記述していません。
興味深いのは、モデルの精度が大幅に向上し、その一部が変更されていることです。これは、特に、垂直方向の振動またはさまざまな熱効果を受ける層の対流を表すために使用されます。 外部条件のこのような変化は、方程式の係数の変調につながります。 この場合、温度と速度の高周波フーリエ成分が大幅に抑制され、ローレンツモデルと実際のシステムとの間の一致が改善されます。
注目に値するのは、パラメータ値を選択する際のLorenzの運です r（\ displaystyle r）、システムは24.74より大きい値の場合にのみストレンジアトラクターに到達するため、小さい値の場合は動作が完全に異なります。
システムソリューションの動作
パラメータrのさまざまな値に対するローレンツシステムのソリューションの動作の変化を考えてみましょう。 この記事の図は、初期座標が（10,10,10）および（-10、-10,10）の点の数値シミュレーションの結果を示しています。 モデリングは、Fortran言語で記述された以下のプログラムを使用して実行され、Compaq Array Viewerを使用したFortranのグラフィカル機能が弱いため、結果のテーブルに従ってプロットされます。
- r<1 -座標の原点はアトラクタであり、他に安定した点はありません。
- 1<r<13,927 -軌道は2点にらせん状に接近し（これは減衰振動の存在に対応します）、その位置は次の式によって決定されます。
（x =±b（r − 1）y =±b（r − 1）z = r − 1（\ displaystyle（\ begin（cases）x = \ pm（\ sqrt（b（r-1）））\ \ y = \ pm（\ sqrt（b（r-1）））\\ z = r-1 \ end（cases）））
これらの点は、回転する流体ロールの構造が層に形成されるときの定常対流レジームの状態を決定します。
- r≈13,927 -軌道が原点を離れると、安定点の1つを中心に完全に回転し、開始点に戻ります-2つのホモクリニックループが表示されます。 概念 ホモクリニック軌道それが出てきて、同じ平衡位置に来ることを意味します。
- r>13,927 -方向に応じて、軌道は2つの安定したポイントのいずれかになります。 ホモクリニックループは不安定なリミットサイクルに再生され、複雑に配置された軌道のファミリーも発生します。これはアトラクターではなく、逆に、それ自体から軌道をはじきます。 類推によって、この構造は「奇妙なリペラー」（eng。 撃退する-撃退）。
- r≈24,06 -軌道はもはや安定した点につながりませんが、漸近的に不安定なリミットサイクルに近づきます-実際のローレンツアトラクタが表示されます。 ただし、両方の安定点は値まで保持されます r≈24,74.
パラメータの値が大きい場合、軌道は大幅に変更されます。 シルニコフとカプランは、非常に大規模な場合にそれを示しました rシステムは自励発振モードになり、パラメータが減少すると、一連の発振周期倍増によってカオスへの遷移が観察されます。
モデルの重要性
ローレンツモデルは、さまざまな人工的に構築されたマッピング（「のこぎり歯」、「日除け」、パイコね変換、フェイゲンバウムマッピングなど）とは対照的に、カオス的振る舞いを伴う動的システムの実際の物理的な例です。
ローレンツシステムの動作をシミュレートするプログラム
ボーランドC＃含む
data = Table [With [（N = 1000、dt = 0.01、a = 5、b = 1 + j、c = 1）、NestList [Module [（x、y、z、x1、y1、z1）、（x 、y、z）=＃; x1 = x + a（-x + y）dt; y1 = y +（b x --y --z x）dt; z1 = z +（-c z + x y）dt; （x1、y1、z1）]＆、（3.051522、1.582542、15.62388）、N]]、（j、0、5）]; Graphics3D @ MapIndexed [（Hue [0.1 First [＃2]]、Point [＃1]）＆、data]
JavaScriptとHTML5< html > < body > < canvas height = "500" width = "500" id = "cnv" > < script >var cnv=document。 getElementById（ "cnv"）; var cx=cnv。 getContext（ "2d"）; var x = 3.051522、y = 1.582542、z = 15.62388、x1、y1、z1; vardt = 0.0001; var a = 5、b = 15、c = 1; var h = parseInt（cnv。getAttribute（ "height"））; var w = parseInt（cnv。getAttribute（ "width"））; var id=cx。 createImageData（w、h）; varrd=Math。 円形; var idx = 0; i = 1000000; while（i-）（x1 = x + a *（-x + y）* dt; y1 = y +（b * x --y --z * x）* dt; z1 = z +（-c * z + x * y）* dt; x = x1; y = y1; z = z1; idx = 4 *（rd（19.3 *（y-x * 0.292893）+ 320）+ rd（-11 *（z + x * 0.292893 ）+ 392）* w）; id .data [idx + 3] = 255;）cx。 putImageData（id、0、0）;
Izv。 大学「PND」、v。15、No。1、2007 UDC 517.9
せん断流のロレンツアトラクター
午前。 ムハメドフ
連続媒体のカオスダイナミクスの以前に提案されたモデルの枠組みの中で、ローレンツ型アトラクタに対応する流速変動の三次元レジームの実現が得られます。 解決策は、中程度の流速の脈動によって形成された、3次元の場合に縮小された層状多様体の形状を決定する一連の構造です。 ローレンツアトラクタ自体のダイナミクスは、平均流の流線に沿った速度変動の時間依存性の形で現れます。
知られているように、決定論的カオスの古典的な例の1つである、適用された流体力学的研究の結果として発見されたローレンツアトラクターは、既存の乱流力学の形式ではまだ十分に再現されていません。 著者の研究では、この問題の古典的な流体力学的解は原理的に得られないという仮説が表明され、そのような結論の正当化が提案されました。 これは、カオスダイナミクスのアトラクターモデルが連続媒体のメゾスコピック運動レベルに影響を及ぼし、このレベルは古典的なナビエ-ストークス方程式では表されないという理解に基づいていました。 これは、流体力学の数学的形式に追加のメソ構造を明示的に含めることによって、ローレンツアトラクタの問題を解決するためのオプションを拡張する提案につながりました。
現在、連続媒体のダイナミクスのアトラクタレジームは、媒体の粒子同士の機械的相互作用の概念をほとんど使用せずに、連続媒体の動きを広範囲に抽象化したモデルのフレームワーク内で構築されています。 。 場合によっては、これらの抽象化は、ネストされたヒルベルト空間の階層で動作する進化型演算子のプロパティを反映します。 その他の場合、それらは環境の状態の変化を再現する有限次元システムのダイナミクスを反映しますが、この場合、各状態は実際には対応する位相多様体の点によって表されます。 このようなモデリングは、すべての重要な構造を直接、つまり連続媒体が占める空間で再現する必要があるハイドロメカニックスの適用目的に対応していません。 理論的および実験的データの議論を考慮に入れると、
そのような表現の存在、そして環境の時空特性のダイナミクスの文脈でのアトラクタの再現は緊急の必要性であるように思われます。
この論文では、ローレンツアトラクタはモデルで提案された乱流ダイナミクスの枠組みの中で構築されています。 このモデルによれば、乱流レジームの位相空間は、流体力学的量の変動のジェットの層化です。 変動するバンドルの形状は、対応するカオスレジームのモデル化された特徴によって決定される、先験的に任意であると想定されます。 モデリングの主な目的は、媒体内のポイントの動きの不安定な軌道の複合体であるカオス構造です。 確立された各乱流レジームは、明確に定義されたカオス構造に対応すると想定されています。 混沌とした構造の軌跡では、動的変数の変動の束で定義された統合不可能な（非ホロノミック）Pfaffタイプの分布の積分曲線のセットで識別されました。
提案されたモデルの特徴は、媒体の運動を記述するラグランジュ法です。これは、一般的な場合、オイラーの変数の観点から運動を記述することに限定されません。 同時に、ラグランジュの説明は、奇妙なアトラクターを持つシステムのダイナミクスを反映するように見事に適合されていることがわかりました。 オイラーパラダイムの厳格な制限の代わりに、ラグランジュの説明は、対応する非ホロノミック分布の幾何学的オブジェクトを定義するのに役立つはるかにリラックスした条件を課します。 モデリングの重要性のこのような変更により、連続体媒体の粒子ビームのダイナミクスでさまざまなアトラクタを再現することが可能になります。
1.3モードレジームの脈動のダイナミクスの方程式を設定しましょう
（yi + 4（x、y！）（xk = Ar（x、y ^）（U（1,3、k = 1,2,3）、（1）
ここで、xkとyzは脈動の層化の空間座標と動的座標のセットを形成し、オブジェクトmkk（x、yt）（xkとAr（x、yt）Mはレジームのモード間相互作用の性質を決定します。これらのオブジェクト式（1）自体は、実際の乱流の進化によって決定される、空間座標と時間に関する動的座標の導関数の形成の規則と見なすことができます。これらのオブジェクトの不変の幾何学的意味は、脈動の束の中でそれらが決定することです。それぞれ内部接続のオブジェクトと垂直ベクトルフィールド。
上で紹介した動的座標は、媒体の流速の変動の意味を持っていると仮定します。つまり、媒体の実際の速度は、式に従って平均流速と変動の速度場に拡張できます。
u（x、y）= u0（x）+y。 （2）
質量と運動量のバランス方程式を、標準の連続の方程式とナビエ・ストークス方程式の形で取ります。
Chr+udi。 （4）
方程式（4）には熱力学変数である圧力が含まれているため、この連立方程式はまだ完成していません。圧力は、一般的な場合、運動学の範囲を超えています。 圧力変動を記述するために、新しい動的座標が必要です。これにより、対応する乱流運動レジームを記述するために必要な自由度の数が増加します。 圧力変動の意味を持つ新しい動的変数を導入します。
p（x、y）= po（x）+y4。 （五）
したがって、連続媒体の動きを表示するために必要な動的座標の初期セットは4次元です。
ローレンツシステムのダイナミクスと同様のダイナミクスを持つ3次元システムへの縮小の可能性は、圧力が勾配の形で式（4）に入るという事実にあります。 したがって、式（4）に入る圧力勾配に最初の3つの動的座標のみが含まれている場合、速度変動の3次元ダイナミクスへの縮小を実行できます。 これを行うには、4番目の座標のダイナミクスの方程式でそれを要求するだけで十分です。
dy4 + wj（x、y）dxk = A4（x、y）dt（6）
接続形式w4（x、yj）dxkの係数は、最初の3つの動的座標のみに依存していました。 すべての励起された自由度の考慮を含む、より完全な記述の観点から、3次元レジームが不安定になる可能性があることに注意してください。 ただし、これを先験的に可能なダイナミクスを正確にモデル化することに限定します。
動的方程式（1）に含まれる未知の量wk（x、yj）dxkおよびAi（x、yj）dtの式に、バランス方程式（3）、（4）によって課せられる条件を考えてみましょう。 これを行うには、（2）と（5）を（3）と（4）に代入し、式（1）と（6）を使用します。 結果の式を単純化するために、空間座標xkがデカルトであると仮定します。 この場合、上付き文字と下付き文字を区別できず、必要に応じて上下させて共変式を記述します。 次に、式（1）の係数について次の式を取得します。
dkuk-wj = 0、（7）
Ai +（uk + yk）（djuk --wj）=-（dipo --w4i）-vDjwik。 （8）
ここで、表記Dj = dj --wk^yが導入されています。
以下では、問題の定式化を具体化します。 平均速度場が単純なせん断の流れを表すレジームを検討します。
uk=Ax3à\。 （九）
さらに、繊維状の脈動空間の形状についても仮定します。 バンドルは動的座標で線形関数として接続されていると仮定します。つまり、w ^ = waj（x）yj（a = 1、。。。、4）です。 この場合、式（8）から、2番目のオブジェクトが動的座標で多項式である構造を取得することがすぐにわかります。 つまり、垂直ベクトル場は動的座標で2次多項式になります。
Ai = Ak（x）+ Aj（x）yk + j（x）yjyk。
したがって、検討中の3モードレジームの脈動のダイナミクスの方程式を決定する未知の関数は、係数waak（x）、Ar0（x）、Ark（x）、およびA3k（x）です。式（3）および（4）。 式（4）は基本的に垂直ベクトル場の係数を決定することになりますが、接続係数の選択は連続の方程式（3）のみを制限することに注意してください。 この方程式は、接続係数を決定する際にかなりの恣意性を残し、したがって、選択された平均フローと一致する変動ダイナミクスの空間構造をモデル化する幅を残します。
2.この問題でローレンツタイプのアトラクタを取得する可能性を検討してください。 この目的のために、まず、速度の実際の値を平均速度に拡張することと、平均の周りの変動について説明します。
脈動の意味によれば、それらの時間平均はゼロに等しくなければなりません。
（y）t-0。（10）
同時に、脈動は平均値からの実際の速度値の偏差として定義されます。 平均流が与えられると仮定すると、上記の状況では、モデルカオス方程式としてカオスダイナミクスを持つ任意の連立方程式を選択することはできません。 モデル連立方程式の変数を実際の流体力学的量の脈動と見なすには、条件（10）が満たされている必要があります。 （10）が満たされない場合、これは脈動ダイナミクスに原因不明のドリフトが存在することを意味します。 したがって、採用されたモデルシステムは、考慮された作用因子、または許容される平均流の構造のいずれかと矛盾していることがわかります。
さらに、式（1）は、一般的な場合、完全に可積分ではないPfaff型システムです。 この方程式の非可積分性の特性は基本的に重要であり、乱流運動の特徴に対応しています。 つまり、移動の過程で、巨視的に小さな乱流の形成、粒子、蛾、小球は、それらの個性を失います。 この特徴は、式（1）の非可積分性によって考慮されます。 本質的に、（1）は、連続媒体によって形成された連続体の点の可能な運動軌道の集合を表します。 これらの軌道は、変動の束で定義されます。 連続媒体が占める空間へのそれらの投影は、対応する空間曲線に沿った変動の発達のダイナミクスを決定します。 後者は任意に選択できることに注意してください。これにより、任意の空間曲線に沿った変動のダイナミクスを考慮する可能性が決まります。
明確にするために、平均流の流線に沿った変動のダイナミクスを考えてみましょう。 次に、次の動的方程式があります。
xr = u0、（11）
y + w）k y3 4 \u003dAr。 （12）
このシステムを検討する前に、無次元変数に変換します。 これを行うために、元の式（4）では、粘度係数の代わりに、
レイノルズ数。 次に、この番号への明示的な依存関係を次のように置き換えて削除します
<сг = 1_<юг, ю4 = со4, х = х^Иё, у = у^Кё, и0 = и0^Иё, рг = Иер0. (13)
変数のアンダースコアを省略すると、（12）から次のようになります。
y \ u003d DiO-および！kdkiO-dgro + y3（-dziO +<г - дкюЗ^ + ю\кю*к) + у3ук<3к. (14)
（13）を分析してみましょう。 使用されるモデルは、発達した乱流を想定していることに注意してください。つまり、レイノルズ数は十分に大きいと見なす必要があります。 次に、無次元量が1のオーダーの値を持っている場合、（13）に従った実際の次元量は、ダイナミクスの発現のスケールを示します。 特に、（13）から、空間スケールが小さいことがわかります。 したがって、使用されるモデルは、まず、連続媒体のメゾスコピックレベルの分解能での乱流混合プロセスのモデルと見なす必要があります。
ここで、（11）と（12）の分析に移りましょう。 選択した平均流に対して、式（11）が単純な積分を持っていることは容易に理解できます。 対応する平均電流流線方程式は、x1座標軸に平行な直線です。 （12）から空間座標を削除すると、一般的な場合、非自律微分方程式のシステムが得られます。 この場合、接続係数と圧力勾配がx1座標に依存しない場合、システム（14）は自律的になり、残りの空間座標x2とx3をパラメーターとして含みます。 この場合、空間的に不均一な準定常脈動ダイナミクスの直接モデリングに実際の方法が開かれます。 このようなシミュレーションの例を以下に示します。
この段落の結論として、Pfaffシステム（1）、（6）によって与えられる非ホロノミック分布の出現は、安定した強い乱流の状態で、媒体の粒子は安定した形成です。 この新しい安定性に必要な条件は、点の運動の軌道が不安定であるという要件です。これは、レイノルズ数の値が大きいことを意味します。 数Reの小さな値にアプローチを拡張する試みは根拠がありません。
3.平均流の軌道に沿った速度変動がローレンツ型の正準システムによって記述される例の構築に目を向けましょう。 簡単にするために、すべての接続係数が一定であると仮定します。 この場合、平均流の流線に沿って空間的に均一なダイナミクスが得られますが、それでも、任意の線に沿って空間的に均一ではありません。 この仮定を準均質近似と呼びます。
私たちの仕事は、方程式（14）に正規のローレンツシステムの形式を与えることです。 これに対する最初の目に見える障害は、動的座標と対応する変数を特定することの不確実性です。
正規システムから。 モード間相互作用のさまざまなタイプのメカニズムにより、これらの識別のいずれかをシミュレートできると仮定して、次のオプションを選択します。 式（14）の構造を次の形式にします。
y1 = a（-y1 + y2）、（15）
y2 =（r-（r））y1-y2-y1y3、（16）
y3 = -y（y3 +（r））+ y1y2、（17）
ここで、通常の用語は明示的に選択されており、セクション2で述べたことに従って、脈動の表現から除外する必要があります。
x \ u003d o（-x + y）、y \ u003d rx --y --xr、r \ u003d -y r+xy。 （18）
このために、システム（18）の変数の時間平均が存在すると仮定します。 変換に関するこのシステムの不変性に基づく
x ^ -x、y ^ -y、z ^ z（19）
最初の2つの変数の平均はゼロであると予想するのは自然なことです。 その後、置換
x⩽x、y⩽y、z⩽z+（z）（20）
（18）は、連立方程式（15）-（17）を示します。
この点で、ローレンツシステムのパラメーターのさまざまな値について、最初の2つの変数のゼロと非ゼロの両方の平均値で解が可能であることに注意してください。 これを念頭に置いて、その後の検討をこれらの可能性の最初のものに限定します。 また、3番目の式（20）の項が時間平均の意味を持たない場合にも、置換（20）を実行できることに注意してください。 この場合、その後の解釈のために、平均化手順の新しい定義が必要になる場合があります。 一般的なケースでは、適切な定義には、検討中の現象の時間スケールの改良が必要になります。 このような再定義には、初期データとシステムパラメータの変動の両方をより詳細に検討する必要があることは明らかです。 カオスアトラクタの相互作用のよく知られている効果は、モーションパラメータの小さな変動の平均を決定する際にあいまいさがどのように発生するかを示しています。
考察に戻りましょう。 システム（15）-（17）と（14）の係数を比較すると、次のようになります。
（DiO-u£dki0-c / ro）=
（-3] u0 + --dkyu] + u ^）=
V -U（g））（-o
g-（g）-1 0 V 0 0 -y
また、（7）から
dk u0 = 0、0。
（21）と（24）を考えてみましょう。 式（9）を代入すると、（24）が同じように満たされ、（21）が平均圧力勾配の決定にのみ還元されることが簡単にわかります。 この場合、勾配は平均流速に垂直であることがわかります。これは、ローレンツ正準システムの変数と速度変動成分の選択された識別の結果です。
式（23）と（25）に目を向けましょう。 （23）から、接続オブジェクトの添え字対称化されたコンポーネントの単一値式を取得します。 反対称部分は（25）からある程度恣意的に決定されます。 これらの方程式の一般的な解は、次の式で与えられます。
/ ae、x2 --bxx --aix1 + sd、x3 bx1 --cx2 \
eix2-/ dix3 -eix1 + bix3（/-1）dix1-bix2 V ra1x2-eix3（-p + 1）dix1 + aix3 eix1-aix2）
残りの式（22）に目を向けましょう。 この行列方程式は、9つの2次代数方程式のシステムです。
b2-c（p + /）+
ae-bp + Yur \ u003d r-（r）、
eb-a / + o43 = 0、
ae-bp + b + 1021 = o、
C / + e2 + b2-（1-/）（1-p）+ o42 \ u003d -1
Ec + ab + u43 = 0、
A / + eb + a-A + u31 = 0、
Ec + ab + u42 = 0、
Cp-（1-/）（1-p）+ e2 + a2 + u33 \u003d-y。
その中の未知数は、6つの接続係数（26）、圧力テンソルの9つの成分、平均速度を決定する1つの係数、およびローレンツシステムの3つのパラメーターです。 したがって、このシステムのソリューションは、かなりのパラメトリックな恣意性で決定されます。 検討中の3次元レジームでは、圧力勾配テンソルω> 4rは任意であり、その具体化により、接続係数の任意の事前固定された選択に対して目的のダイナミクスをシミュレートすることができます。 多次元レジームの場合、圧力テンソルのコンポーネントは、すべての励起された自由度のダイナミクスを考慮に入れた、より完全な連立方程式に含まれます。 この場合、圧力テンソルは任意ではなくなります。 この点で、物理的に合理的な仮定が多次元ダイナミクスを考慮したより完全な方程式でそれらの表現を見つける必要があると仮定して、圧力テンソルを決定するためのさまざまな特定のオプションを検討することは興味深いです。 圧力勾配テンソルが対角線であり、y2座標に対応する成分がゼロであると仮定します。 この場合、（22）には次の正確な解析解があります。
o！1 = .1-a、o43 = .1-y + 1、.1 =（K-a）a-A2、K = r-（r）、（27）
K-a t Ka、K-AK
a = A、b = a --K、c = --- .1、p =-、f = --K、e =----。 （28）
得られた解（27）、（28）を考えてみましょう。 平均電流速度勾配の大きさを決定する量A、r、a、y、およびローレンツモデルシステムの3つのパラメーターは、その中で任意のままでした。 他のすべてのモーション特性は、上記の一連の量の関数として表されます。 これらの量の特定の値を選択することにより、脈動のダイナミクスを変化させ、式（26）、（27）を使用して、接続オブジェクトのコンポーネントの対応する値を見つけることができます。 各オブジェクトが脈動の相互作用の性質を決定することを考慮に入れると、さまざまなタイプの相互作用自体を変えることが可能になります。 特に、圧力テンソル成分の大きさを変えるため。 場合によっては、これらのコンポーネントを同じようにゼロにすることができることに注意してください。 ソリューション（27）、（28）の特徴は、ローレンツダイナミクスが発生するシステムパラメーターの値の範囲内にとどまりながら、圧力テンソル成分をゼロにすることが不可能であることが判明したことです。 （ただし、これは、脈動ダイナミクスが規則的であるパラメータ値の領域で非常に可能です。）
見積もりをしてみましょう。 モデルシステムのパラメーターを、パラメーターa = 10、r = 28、y=8/3のローレンツアトラクターに対応させます。 この場合、計算は脈動が特徴的な時間t〜0.7を持っていることを示しています。 計算された時間間隔b=0 + 50内で、脈動値は間隔y1 = -17.3 + 19.8、y2 = -22.8 + 27.2、およびy3 = -23.2+23.7に属します。
速度変動の絶対値と平均速度勾配を比較してみましょう。 （13）から、脈動は相対値を数l / dで割ることによって得られますが、平均速度勾配は変化しません。 速度勾配を大きさの順に1に等しい値とします。
はA〜1です。次に、Re = 2000の値、つまり、の下限臨界値で、脈動に対して、勾配値の50％に等しい桁を取得します。 Re = 40000の場合、速度変動は平均速度勾配の許容値の10%%にしか達しません。 これは、平均速度と脈動の間の妥当な比率が、特定の範囲のRe数でのみ確保できることを示しています。
4.媒体内の点の動きを考慮すると、新しいデータが明らかになります。 準同次近似のローレンツダイナミクスの場合、点の運動方程式は次の形式になります。
r-（z）-l 0 0 0 -Y
Aox3 -A（r-（z））x3
このシステムは、一定の係数で線形であることがわかります。 その一般的な解決策は、基本的な統合によって簡単に取得できます。 したがって、ポイントの移動の軌跡の定性的な特徴のみに注意します。 運動速度の特性方程式から、2つの負の根と1つの正の根があることがわかります。 したがって、空間内の各ポイントで、2つの圧縮方向と1つの引張方向が区別されます。 ダイナミクスのこれらの機能は、同じ平均速度の流れに対応するアトラクタを分類するために使用できる不変の特性です。
システム（29）および（30）の一般的な解決策からわかるように、平均流流線を横切る方向の中間点の可能な変位は制限されません。 つまり、x3軸への投影で規則的なドリフトが発生します。 この場合、平均電流の流線に垂直に移動する点は、高速の領域に分類されます。 この場合、Reの数が増加し、変動の相対的な大きさが減少します。 行われた準均質近似の枠組みでは、この効果は変動の相対的な減少につながり、最終的には変動への縮退につながります。
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カザン州立大学が2006年1月23日に受理
工業大学2006年8月15日改訂
単純なシフトの流れにおけるローレンツアトラクター
連続体媒体のカオスダイナミクスのシミュレーションのために前に与えられたモデルのフレームには、ローレンツアトラクターが表されています。 シミュレーションは、速度脈動の3次元レジームに関連する繊維束の形状を定義する構造の助けを借りて行われます。 ローレンツダイナミクスは、平均的な流れの線に沿った脈動の時間依存性として現れます。
ムハメドフ・アルファリド・マビエビッチ-カザン（1953年）に生まれました。 カザン州立大学物理学部重力相対性理論（1976年）を卒業。 カザン州立工科大学理論応用力学科の博士課程の学生は、V.I。にちなんで名付けられました。 A.N.トゥポレフ このトピックに関する12の論文の著者、およびモノグラフ「数学の科学的検索と方法論」（カザン：KSTU Publishing House、2005年、G.D。Tarzimanovaとの共著）。 科学的関心のある分野-カオスダイナミクスの数学モデル、ファイバー多様体の幾何学、現代数学の方法論。
これまで、静的な形状であるフラクタルを研究してきました。 私たちのアプローチは、落下する水の流れ、乱流の煙の渦巻き、気象システム、ジェットエンジンの出口の流れなどの自然現象を考慮する必要がない限り、非常に受け入れられます。 これらの場合、単一のフラクタルは特定の現象のスナップショットに対応します。 時間の経過とともに変化する構造は、動的システムとして定義されます。 フラクタルの動的な反対がカオスであることは直感的に明らかです。 これは、カオスが動的システムで発生する極端な予測不可能性の状態を表し、フラクタル性が幾何学的構成に固有の極端な不規則性またはギザギザを表すことを意味します。
私たちの周りの世界の現象を説明する多くの混沌とした動的システムは非常に複雑であり、従来の数学的分析の方法では完全に表現できないことがすぐに明らかになりました。 どうやら、無限級数や特殊関数を使用している場合でも、閉じた形で解の数式を取得する方法はありません。
「カオスダイナミクス」という用語の背後にあるものを非常に明確に示している有名な例を考えてみましょう。 1961年にマサチューセッツ工科大学のエドワードローレンツは、気象システムの数値研究、特に大気中の対流のモデリングに従事していました。
米。 6.1。 ローレンツアトラクタ
彼は次の微分方程式系を解くプログラムを書きました。
さらなる計算では、パラメータは一定であり、値を取ります
ローレンツ自身が所有する実験の説明によると、彼は長い間解の値を計算し、その後計算を停止しました。 彼は、カウント間隔の途中に現れる解の特異性に興味を持っていたので、その瞬間から計算を繰り返しました。 再カウントの初期値がこの時点で以前に取得した値と正確に等しい場合、再カウントの結果は明らかに初期カウントの結果と一致します。
米。 6.2。 ローレンツ数値実験の結果
ローレンツはこれらの値をわずかに変更し、有効な小数点以下の桁数を減らしました。 このようにして導入されたエラーは非常に小さかった。 しかし、最も予想外だったのは先だった。 しばらくの間、新しく計算された解は古い解とよく一致しました。 しかし、カウントが進むにつれて、不一致が大きくなり、新しいソリューションが古いソリューションとまったく似ていないことが徐々に明らかになりました（図6.1、6.2を参照）。
ローレンツは、実験の重要性に気付く前に、計算を繰り返してチェックしました（おそらくコンピューターを信頼していません）。 彼が観察したことは、現在、初期条件への有意な依存性と呼ばれています。これは、カオスダイナミクスに固有の基本的な機能です。 実質的な依存関係は、バタフライ効果と呼ばれることもあります。 このタイトルは、1979年に発行された「予測可能性：ブラジルで蝶の羽ばたきが竜巻の形成につながる可能性がある」という長い記事を作成することが不可能であることを示しています。
ローレンツ実験の大きな重要性にもかかわらず、このテキストは微分方程式によって記述された力学系に関連するモデルを考慮しません。 それどころか、カオスダイナミクスの最も単純なモデルを検討します。 これは、上記の奇妙なローレンツアトラクタのような連続的なものではなく、離散的な力学系のみを研究することに限定することを意味します。 しかし、動揺しないでください。 離散力学系の振る舞いにおけるカオス力学の発見は、連続の場合と同じように予想外です。 多くのよく知られた壮観なグラフィカルな例は、個別のシステムに正確に対応しています。 その中で、有名でユビキタスなマンデルブロ集合とそれに付随するジュリア集合について言及することができます。
詳細公開日：2018年7月10日11:13 AM：ウィンドウズ。 ライセンス：無料です。
バージョン： 1.1.0.0.
注釈：ローレンツシステムを分析するためのプログラムが示されています。これにより、安定したアトラクタ、2つの不安定なアトラクタ、フォーカス、安定したフォーカスと不安定なフォーカスを持つホモクリニックループ、ローレンツアトラクタ、リミットサイクル、リミットサイクルが2倍になりました。
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ローレンツシステムは、非線形自律微分方程式の3次元システムです。 力学系は、1963年にエドワードローレンツによって調査されました。 ローレンツ連立方程式にそのような関心を引き起こした主な理由は、そのカオス的振る舞いです。 連立方程式は次のように記述されます。
ここで、q、r、b> 0です。システムの統合の結果、次の規則性が明らかになりました。
r>0およびrの場合<1 система имеем только одну критическую точку. Она является одновременно локальным и глобальным аттрактором. Любое начальное состояние приближается к началу координат при t стремящемся к бесконечности (рис.1).
米。 一。安定したアトラクタ、r>0およびr<1
rが1に近い場合、重大な減速が発生します。 rが1より大きい場合、最初の分岐が発生します。 座標の原点は安定性を失い、2つのアトラクタがそれから分岐し（図2）、グローバルおよびローカルの両方で安定します。
米。 2.2。2つの安定したアトラクタ、r> 1
rの場合<1,345 точки равновесия представляются узлами (рис.3), а при r>1.345-焦点（図4）。
米。 3.3。 2つのノード、r = 1.3
米。 4.4。 2つの焦点、r = 10
rが13.926に増加すると、tが無限大になる傾向があるため、原点から発生する2つの不安定な軌道が原点に戻り、グローバルアトラクターではなくなります。
r = 13.927の場合、ポイントは1つの近傍から別の近傍に振動したり戻ったりする可能性があります。 この振る舞いは準安定カオスまたはホモクリニックループと呼ばれます（図5）。
米。 五。ホモクリニックループ、r = 13.927
r> 13.927の場合、方向に応じて、軌道は2つの安定したポイントのいずれかになります。 ホモクリニックループは不安定なリミットサイクルに生まれ変わり、複雑に構造化された軌道のファミリーも発生しますが、これはアトラクターではありません。 2つの不安定なサイクルの形成を伴うホモクリニック軌道の分岐があります（図6）。
米。 6.6。2つの不安定なサイクル、r> 13.927
r = 24.06の値では、軌道は安定したポイントにつながりませんが、漸近的に不安定なリミットサイクルに近づきます-実際のローレンツアトラクターが表示されます（図7）。
米。 7。ローレンツアトラクタ、r = 24.06
r> 24.06の場合、別の分岐が発生します。 ただし、両方の安定点はr=24.74まで持続します。
r = 24.74では、r> 24.74が「ストレンジアトラクター」のままであるときに、ホップ分岐の反転が発生します（図8）。
米。 8.8。ローレンツストレンジアトラクター、r> 24.74
rが100に増加した場合、自励発振レジームが観察されます（図9）。
米。 九。自励発振モード、r = 100
rが225に増加すると、サイクル倍増分岐のカスケードが発生します（図10）。
米。 10.10。サイクルダブリング、r = 225
米。 十一。2つの非対称周期解、r = 300
rの値が大きい場合、システムには対称的なサイクルがあります（図12）。
米。 12.12。対称サイクル、r = 400
Turbo C ++開発環境に実装されているプログラム「ローレンツ-ローレンツシステムを研究するためのプログラム」を使用すると、ローレンツシステムをシミュレートできます。 位相ポートレートの作成と解の時間tへの依存性のグラフは、3次のルンゲクッタ法に基づいています。 プログラムインターフェイスを図13に示します。
米。 13.13。
ローレンツプログラムを使用してローレンツシステムの動作をモデル化するには、次の手順を実行します（図14）。
- 初期座標（x0、y0、z0）を決定します。
- 積分ステップhと反復回数iを設定します。
- 係数q、r、bの値を設定します。
- （オプションで）「詳細」インジケーターを設定して、ソリューションの詳細を取得します。
- 「計算」ボタンを押します。
- （オプション）結果の画像をダブルクリックして、クリップボードにコピーします。
米。 14。
ローレンツプログラムによるローレンツシステムの振る舞いのモデル化の例を図15に示します。
米。 15.
文学
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プログラムのリスト
- MassTextReplacer-テキストファイルを一括変更するためのプログラム。
- ローレンツ-ローレンツシステムを研究するためのプログラム。