開集合と閉集合のプロパティ。 クロージャを設定します。 閉じたセットと開いたセット。 バイナリ代数演算

意味：沢山の Aと呼ばれる 閉まっている 操作に関して*、この操作をセットの任意の要素に適用した結果の場合 Aセットの要素でもあります A。 （もしあれば a、bÎ A, a*bÎ A、次にセット A操作中はクローズ*）

演算に関して集合の閉包性を証明するには、すべてのケースを直接列挙してこれを検証するか（例1b）、一般的な形式で推論を実行する（例2）必要があります。 閉鎖に異議を唱えるには、閉鎖違反を示す一例を挙げれば十分です（例1a）。

例1.

なりましょう A = {0;1}.

a）演算*として、加算（+）の算術演算を取ります。 セットを探索する A加算（+）の操作に関する閉鎖性の場合：

0 +1=1О A; 0 +0=0О A; 1 +0=1О A; 1 +1=2П A.

ある場合（1 + 1）は、集合の要素に演算（+）を適用した結果です。 Aセットに属していない A。 これに基づいて、セットは A加算演算では閉じません。

b）ここで、演算*として、乗算（×）の演算を取ります。

0×1=0О A; 0×0=0О A; 1×0=0О A; 1×1=1О A.

セットの任意の要素 A乗算演算を適用した結果もセットの要素です A。 その結果、 A乗算の演算で閉じられます。

例2.

7の倍数である整数のセットを4つの算術演算で閉じるかどうかを調べます。

Z 7 = {7n, nÎ Z ）は、7の倍数である数値のセットです。

それは明らかです Z 7は、除算演算に関して閉じられていません。たとえば、

7О Z 7、14О Z 7が7：14=½Ï Z 7 .

セットの近さを証明しましょう Z 加算演算については7。 なりましょう m, k任意の整数の場合、7 mÎ Z 7と7 kÎ Z 7。 合計7を検討してください m+ 7 k= 7∙(m+ k).

我々は持っています mÎ Z , kÎ Z . Z 加算zの下で閉じられます m+ k = l-整数、つまり lÎ Z Þ7 lÎ Z 7 .

したがって、任意の整数の場合 mと kそれを証明した（7 m+ 7 k） Î Z 7。 したがって、セット Z 7は追加で閉鎖されます。 減算と乗算の下での閉鎖性も同様に証明されます（自分で行います）。

1.

a）偶数のセット（言い換えると、2で割り切れる整数のセット（ Z 2));

b）負の整数のセット（ Z –);

の） A = {0;1};

G） C= {–1;0;1}.

2. 足し算、引き算、掛け算、割り算の算術演算に関して、次のセットを調べて閉じます。

a）奇数のセット。

b）最後の桁がゼロである自然数のセット。

の） B = {1};

G） D = {–1;1}.

3.

a）多く N 自然数;

b）セット Q 有理数;

の） D = {–1;1};

d）奇数のセット。

4. べき乗に関して、次のセットの閉包性を調べます。

a）多く Z 整数;

b）セット R 実数;

c）偶数のセット。

G） C = {–1; 0; 1}.

5. セットしましょう G有理数のみで構成される、は加算により閉じられます。

a）数字4が含まれていることがわかっている場合は、集合Gに含まれている3つの数字を示します。

b）セットが G 5と12の数字が含まれている場合は、2の数字が含まれます。

6. セットしましょう Kは整数のみで構成され、減算によって閉じられます。

a）セットに含まれる3つの数字を示してください K、番号5が含まれていることがわかっている場合。

b）セットが K数字の7と3が含まれている場合は、数字の6が含まれます。

7. 自然数で構成され、演算で閉じられていない集合の例を挙げてください。

a）追加;

b）乗算。

8. 番号4を含み、操作の下で閉じられたセットの例を挙げてください。

a）足し算と引き算。

一致するかどうかにかかわらず、2つのセットXとYが与えられるとします。

意味。 最初がXに属し、2番目がYに属する、順序付けられた要素のペアのセットは、と呼ばれます。 セットのデカルト積と表示されます。

例。 なりましょう
,
、 それから

.

もしも
,
、 それから
.

例。 なりましょう
、ここで、Rはすべての実数のセットです。 それで
平面内の点のすべてのデカルト座標のセットです。

例。 なりましょう
が特定の集合族である場合、これらの集合のデカルト積は、長さnのすべての順序付けられた文字列の集合です。

の場合、。 からのアイテム
長さnの行ベクトルです。

1つの二項演算による代数的構造

1バイナリ代数演算

なりましょう
は任意の有限または無限集合です。

意味。 バイナリ 代数手術 （ 合成の法則）
デカルト正方形の任意ですが固定されたマッピングと呼ばれます
の
、つまり

(1)

(2)

したがって、任意の順序対

。 事実
、シンボリックに次のように記述されます
.

原則として、二項演算は記号で示されます
等 以前と同様に、操作
は「加算」を意味し、演算「」は「乗算」を意味します。 それらは表記法の形で、そしておそらく公理で異なりますが、それは文脈から明らかです。 表現
製品と呼ばれ、
-要素の合計 と .

意味。 沢山の
の場合、操作の下で閉じたと呼ばれます。

例。 非負の整数のセットを検討してください
。 の二項演算として
通常の加算演算を検討します
と乗算。 その後、セット
,
これらの操作により閉鎖されます。

コメント。 定義から次のように、代数演算*の割り当て
、セットの閉包度に相当します
この操作に関して。 セットであることが判明した場合
与えられた操作*に関して閉じられていない場合、この場合、操作*は代数的ではないと言います。 たとえば、自然数のセットに対する減算の演算は代数的ではありません。

なりましょう
と
2セット。

意味。 外法 構成セットで マッピングと呼ばれます

, (3)

それらの。 任意の要素がそれによって法則
および任意の要素
要素が割り当てられます
。 事実
、記号で示されます
また
.

例。 行列の乗算
番号ごと
セットの外部合成の法則です
。 の数の掛け算
合成の法則と外部の法則の両方と見なすことができます。

分配法則合成の法則について*
、 もしも

合成の法則は 分配法則合成の法則に関して*Yの場合

例。 行列の乗算
番号ごと
は、行列の加算と数値の加算の両方に関して分配的です。なぜなら、。

1. 二項演算のプロパティ

セットに対する2進代数演算
と呼ばれる：

コメント。 可換性と結合性の特性は独立しています。

例。 整数のセットを考えてみましょう。 操作オン ルールに従って定義する
。 数字を選びましょう
これらの番号に対して操作を実行します。

それらの。 演算は可換ですが、結合法則ではありません。

例。 セットを検討してください
次元の正方行列です
実係数で。 二項演算として*
行列の乗算の演算を考えてみましょう。 なりましょう
、 それから
、 しかし
、つまり 正方行列のセットに対する乗算の​​演算は結合法則ですが、可換ではありません。

意味。 エレメント
と呼ばれる 独身また 中性問題の操作に関して
、 もしも

補題。 もしも セットの単位元です
演算*で閉じた場合、それは一意です。

証拠 . なりましょう セットの単位元です
、操作*で閉じられます。 でそれを仮定しましょう
もう1つの要素があります
、 それから
、 なぜなら は単一の要素であり、
、 なぜなら 単一の要素です。 その結果、
セットの唯一の単位元です
.

意味。 エレメント
と呼ばれる 逆行するまた 対称要素に
、 もしも

例。 整数のセットを検討してください 加算演算あり
。 エレメント
、次に対称要素
要素があります
。 本当、。

知っている 数学的分析高校１年生には、理解できない珍しいことがたくさんあります。 そのような最初の「新しい」トピックの1つは 開集合と閉集合。 このトピックを説明してみましょう。

定義と問題の定式化に進む前に、使用された表記法の意味を思い出し、 数量詞 :
∈はに属する
∅は空集合です
Εは実数のセットです
x*-固定小数点
A*は境界点のセットです
： - そのような
⇒-したがって
それぞれの∀
∃-存在します
Uε（x）はεのxの近傍です
Uºε（x）は、εのxのパンクチャされた近傍です。

それで、
定義1：任意のy∈Mに対して、εのyの近傍が厳密にMよりも小さくなるようなε> 0が存在する場合、集合M∈Εはオープンと呼ばれます。
数量詞を使用すると、定義は次のように記述できます。
∀у∈М∃ε>0の場合、М∈Εは開いています：Uε（y）< M

簡単に言うと、オープンセットは内部ポイントで構成されます。 開集合の例は、空集合、行、間隔（a、b）です。

定義2：点x *∈Eは、点xの近傍に集合Mとその補集合の両方からの点が含まれている場合、集合Mの境界点と呼ばれます。
今、数量詞を使って：
∀Uε（x）∩M≠∅かつ∀Uε（x）∩E\ Mの場合、x*∈Eは境界点です。

定義3：すべての境界点がセットに属している場合、そのセットは閉じていると呼ばれます。 例-セグメント

同時に開いているセットと閉じているセットがあることは注目に値します。 これは、たとえば、実数のセット全体と空のセットです（後で、これらが2つの可能な一意のケースであることが証明されます）。

開集合と閉集合に関連するいくつかの定理を証明しましょう。

定理1：集合Aを開いてみましょう。 次に、集合Aの補数は閉集合です。

B = E \ A

Bが閉じていないと仮定しましょう。 次に、Bに属さないためAに属する境界点x *があります。境界点の定義により、x *の近傍はBとAの両方と交点を持ちます。ただし、一方、 x *は開集合Aの内部点であるため、点x *の近傍全体がAにあります。したがって、集合AとBは空でない集合で交差すると結論付けます。 これは不可能であるため、私たちの仮定は間違っており、Bは閉集合などです。
数量詞では、証明を短く書くことができます。
Bが開いていると仮定すると、次のようになります。
（1）∃х∈А*：х∈A⇒∀Uε（x）∩В≠∅（境界点の定義）
（2）∃х∈А*：х∈A⇒∀Uε（x）⊂А≠∅（開集合の定義）
（1）と（2）から⇒A∩B≠∅。 しかし、A∩B=A∩E\A=0。矛盾。 B-閉じた、h.t.d。

定理2：集合Aを閉じます。 次に、集合Aの補集合は開集合です。
証明：集合Aの補集合を集合Bとして示します。
B = E \ A
矛盾して証明します。
Bが閉集合であると仮定します。 その場合、境界点はBにあります。ただし、Aも閉集合であるため、すべての境界点もそれに属します。 ただし、ポイントはセットとその補集合に同時に属することはできません。 矛盾。 Bは開集合、h.t.d。
数量詞では、次のようになります。
Bが閉じているとすると、次のようになります。
（1）∀х∈А*：х∈A（条件から）
（1）∀х∈А*：х∈В（仮定から）
（1）と（2）から⇒A∩B≠∅。 しかし、A∩B=A∩E\A=0。矛盾。 B-開いている、h.t.d。

定理3：集合Aを閉じて開いてみましょう。 次に、A=EまたはA=∅
証明：詳細に書き始めましょう。ただし、すぐに数量詞を使用してください。
集合Cが閉じて開いていて、C≠∅でC≠Eであると仮定します。そうすると、C⊆Eであることが明らかです。
（1）∃x∈A*：x∈C⇒∀Uε（x）∩E\ C≠∅（Cに属する境界点の定義）
（2）∃х∈А*：х∈A⇒∀Uε（x）⊂В（開集合Cの定義）
（1）と（2）から、E \C∩C≠∅となるが、これは正しくない。 矛盾。 Cは同時に開くことも閉じることもできません。

数学的分析は基本的な数学であり、私たちにとって複雑で珍しいものです。 しかし、記事を読んだ後、何かがより明確になることを願っています。 幸運を！

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実数直線の種類を設定する

セットAに対するポイント位置

一方向の近所

実数直線のトポロジー

数値セット

数字の基本セットは次のとおりです。 セクションと 間隔（a; b）。

番号セットAは呼び出されます 上からの境界、任意の1つのAに対して£Mとなるような数Mが存在する場合。この場合の数Mはと呼ばれます。 上面また メジャーセット。

上限セットA、supAは呼ばれます...

...その主要なものの中で最小のもの;

…任意のaнAおよびMの任意の近傍の£Mが集合Aの要素であるような数M。

同様に、概念 下からの境界», « マイナー"（下限）、および" 最小»（正確な下限）。

実数直線の完全性（同等の定式化）

1.ネストされたセグメントのプロパティ。 セグメントÉÉ…ÉÉ…が与えられるようにします。それらには少なくとも1つの共通点があります。 セグメントの長さを任意に小さく選択できる場合、そのようなポイントは一意です。

系：存在定理の二分法。 セグメントを与えましょう。 それを半分に分割し、半分の1つを選択します（目的のプロパティを持つように）。 この半分はで示されます。 このプロセスを無期限に継続します。 長さが0に近づくネストされたセグメントのシステムを取得します。したがって、それらには1つの共通点があります。 それが必要なものになることを証明することは残っています。

2.上で制限された空でないセットには、上限が存在します。

3.一方が他方の左側にある2つの空でないセットの場合、それらを分離するポイントが存在します（セクションの存在）。

近所：

U（x）=（a、b）、a< x < b; Ue(x) = (x – e; x + e), e > 0;

U（¥）=（–¥; a）U（b;¥）、Ue（¥）=（–¥; –e）U（e; +¥）、e> 0;

U（+¥）=（e; +¥）; U（–¥）=（–¥; –e）。

パンクした近所：

Ǔ（x）=（a、x）U（x、b）= U（x）\（x）; Ǔe（x）=（x – e; x）U（x; x + e）= Ue（x）\（x）

Ue–（x）=（x – e; x]、e> 0; Ue +（x）=）