Бэйс гэж хэн бэ? энэ нь менежменттэй ямар холбоотой вэ? - бүрэн шударга асуулт гарч ирж магадгүй юм. Одоохондоо миний үгийг хүлээж аваарай: энэ маш чухал!.. бас сонирхолтой (наад зах нь надад).

Ихэнх менежерүүдийн үйл ажиллагаа явуулдаг парадигм нь юу вэ: Хэрэв би ямар нэг зүйлийг ажиглавал түүнээс ямар дүгнэлт хийж чадах вэ? Бэйс юу заадаг вэ: энэ зүйлийг ажиглахад надад юу байх ёстой вэ? Бүх шинжлэх ухаан яг ийм байдлаар хөгждөг бөгөөд энэ тухай тэрээр бичдэг (би санамжаас иш татав): толгойдоо онолгүй хүн янз бүрийн үйл явдлын (ажиглалтын) нөлөөн дор нэг санаанаас нөгөө санаа руу зугтдаг. Сайн онолоос илүү практик зүйл байхгүй гэж тэд хэлээгүй.

Практикаас жишээ. Миний доод албан тушаалтан алдаа гаргасан бөгөөд миний хамтрагч (өөр хэлтсийн дарга) хайхрамжгүй ажилтанд удирдлагын нөлөө үзүүлэх (өөрөөр хэлбэл шийтгэх / загнах) шаардлагатай гэж хэлдэг. Мөн энэ ажилтан сард 4-5 мянган ижил төрлийн үйл ажиллагаа явуулдаг бөгөөд энэ хугацаанд 10-аас илүүгүй алдаа гаргадаг гэдгийг би мэднэ. Та парадигмын ялгааг мэдэрч байна уу? Хамтран ажиллагсад маань ажиглалтанд хариу үйлдэл үзүүлж, ажилтан тодорхой тооны алдаа гаргадаг гэдгийг би урьдчилж мэддэг тул өөр нэг нь энэ мэдлэгт нөлөөлөөгүй ... Одоо, хэрэв сарын эцэст ийм алдаа гарсан бол тухайлбал, 15 ийм алдаа!.. Энэ нь аль хэдийн стандартын шаардлага хангаагүй шалтгааныг судлах үндэслэл болно.

Байесийн аргын ач холбогдлын талаар та итгэлтэй байна уу? Сонирхсон уу? Тийм гэж найдаж байна". Тэгээд одоо тосонд ялаа. Харамсалтай нь Байесийн санааг шууд өгөх нь ховор. Нийтлэг уран зохиолоор дамжуулан эдгээр санаануудтай танилцаж, уншсаны дараа олон асуулт үлдсэн тул би үнэхээр азгүй байсан. Тэмдэглэл бичихээр төлөвлөж байхдаа би өмнө нь Bayes дээр тэмдэглэсэн бүх зүйлээ цуглуулж, мөн Интернет дээр бичсэн зүйлийг судалж үзсэн. Би та бүхний анхааралд энэ сэдвээр хамгийн сайн таамаглалыг танилцуулж байна. Байезийн магадлалын танилцуулга.

Бэйсийн теоремын гарал үүсэл

Дараах туршилтыг авч үзье: бид сегмент дээр байрлах дурын тоог нэрлэж, энэ тоо жишээлбэл, 0.1-ээс 0.4-ийн хооронд байвал тэмдэглэнэ (Зураг 1a). Энэ үйл явдлын магадлал нь сегмент дээр тоо гарч ирэх тохиолдолд сегментийн уртыг сегментийн нийт урттай харьцуулсан харьцаатай тэнцүү байна. адил магадлалтай. Математикийн хувьд үүнийг бичиж болно х(0,1 <= x <= 0,4) = 0,3, или кратко Р(X) = 0.3, хаана Р- магадлал, X- муж дахь санамсаргүй хэмжигдэхүүн, X– муж дахь санамсаргүй хэмжигдэхүүн. Энэ нь сегментийг цохих магадлал 30% байна.

Цагаан будаа. 1. Магадлалын график тайлбар

Одоо x квадратыг авч үзье (Зураг 1b). Бид хос тоог нэрлэх ёстой гэж бодъё ( x, y), тус бүр нь тэгээс их, нэгээс бага байна. Тийм магадлал x(эхний тоо) нь сегмент дотор байх болно (цэнхэр талбай 1), цэнхэр талбайн талбайг бүхэл бүтэн талбайн талбайн харьцаатай тэнцүү, өөрөөр хэлбэл (0.4 - 0.1) * (1 - 0) ) / (1 * 1) = 0, 3, өөрөөр хэлбэл ижил 30%. Тийм магадлал yсегмент дотор байрлах (ногоон талбай 2) нь ногоон талбайн талбайг бүхэл бүтэн талбайн талбайн харьцаатай тэнцүү байна. х(0,5 <= y <= 0,7) = 0,2, или кратко Р(Ю) = 0,2.

Та үнэт зүйлсийн талаар нэгэн зэрэг юу сурч болох вэ? xТэгээд y. Жишээлбэл, тэр үед ийм магадлал хэд вэ xТэгээд yхаргалзах өгөгдсөн сегментүүдэд байна уу? Үүнийг хийхийн тулд та 3-р талбайн талбайн (ногоон ба цэнхэр судалтай огтлолцол) талбайн нийт талбайн харьцааг тооцоолох хэрэгтэй. х(X, Ю) = (0,4 – 0,1) * (0,7 – 0,5) / (1 * 1) = 0,06.

Одоо бид ямар магадлал байгааг мэдэхийг хүсч байна гэж бодъё yинтервалд байна if xхүрээнд аль хэдийн орсон байна. Энэ нь үнэн хэрэгтээ бидэнд шүүлтүүр байдаг бөгөөд бид хосуудыг дуудах үед ( x, y), дараа нь бид олох нөхцлийг хангахгүй байгаа хосуудыг нэн даруй хаядаг xөгөгдсөн интервалд, дараа нь шүүсэн хосуудаас бид үүнийг тооцдог yбидний нөхцөлийг хангаж, магадлалыг хосуудын тооны харьцаа гэж үздэг yДээрх сегментэд шүүсэн хосуудын нийт тоонд оршдог (өөрөөр хэлбэл xсегментэд оршдог). Бид энэ магадлалыг гэж бичиж болно х(Ю|X цагт Xхүрээг цохих." Мэдээжийн хэрэг, энэ магадлал нь 3-р талбайн цэнхэр 1-ийн талбайн харьцаатай тэнцүү байна. 3-р талбайн талбай нь (0.4 - 0.1) * (0.7 - 0.5) = 0.06, мөн цэнхэр талбайн талбай 1 ( 0.4 - 0.1) * (1 - 0) = 0.3, дараа нь тэдгээрийн харьцаа 0.06 / 0.3 = 0.2 байна. Өөрөөр хэлбэл олох магадлал yгэж заасан сегмент дээр xсегментэд хамаарна х(Ю|X) = 0,2.

Өмнөх догол мөрөнд бид жинхэнэ утгыг томъёолсон: х(Ю|X) = х(X, Ю) / p( X). Үүнд: "Охих магадлал цагтхүрээнд Xнэгэн зэрэг цохих магадлалын харьцаатай тэнцүү хүрээг цохих Xхүрээнд болон цагтхүрээ рүү, цохих магадлал руу Xхүрээнд."

Үүнтэй адилаар магадлалыг авч үзье х(X|Ю). Бид хосуудыг дууддаг ( x, y) болон эдгээрийг шүүнэ үү y 0.5-аас 0.7 хооронд байвал магадлал xгэсэн тохиолдолд интервалд байна yсегментэд хамаарах нь 3-р бүсийн талбайн ногоон бүсийн 2-ын талбайн харьцаатай тэнцүү байна. х(X|Ю) = х(X, Ю) / х(Ю).

магадлал гэдгийг анхаарна уу х(X, Ю) Мөн х(Y, X) тэнцүү бөгөөд хоёулаа 3-р бүсийн талбайг бүхэл бүтэн квадратын талбайн харьцаатай тэнцүү, гэхдээ магадлал х(Ю|X) Мөн х(X|Ю) тэнцүү биш; магадлал байхад х(Ю|X) нь 3-р бүсийн талбайн 1-р бүстэй харьцуулсан харьцаатай тэнцүү байна х(X|Ю) – 3-р бүсээс 2-р бүс хүртэл. Мөн анхаарна уу х(X, Ю) гэж ихэвчлэн тэмдэглэдэг х(X&Ю).

Тиймээс бид хоёр тодорхойлолтыг танилцуулав: х(Ю|X) = х(X, Ю) / p( X) Мөн х(X|Ю) = х(X, Ю) / х(Ю)

Эдгээр тэгш байдлыг дараах хэлбэрээр дахин бичье. х(X, Ю) = х(Ю|X) * p( X) Мөн х(X, Ю) = х(X|Ю) * х(Ю)

Зүүн талууд тэнцүү тул баруун талууд нь тэнцүү байна: х(Ю|X) * p( X) = х(X|Ю) * х(Ю)

Эсвэл бид сүүлчийн тэгш байдлыг дараах байдлаар дахин бичиж болно.

Энэ бол Бэйсийн теорем!

Ийм энгийн (бараг тавтологийн) хувиргалтууд үнэхээр агуу теоремыг бий болгож байна уу!? Дүгнэлт хийх гэж яарах хэрэггүй. Бид юу авсан талаар дахин ярилцъя. Тодорхой анхны (а априори) магадлал байсан Р(X), санамсаргүй хэмжигдэхүүн Xсегментэд жигд тархсан нь мужид багтдаг X. Үйл явдал болсон Ю, үүний үр дүнд бид ижил санамсаргүй хэмжигдэхүүний арын магадлалыг авсан X: Р(X|Y) бөгөөд энэ магадлал нь ялгаатай байна Р(X) коэффициентээр. Үйл явдал Юнотлох баримт гэж нэрлэгддэг, их бага хэмжээгээр батлах эсвэл үгүйсгэх X. Энэ коэффициентийг заримдаа гэж нэрлэдэг нотлох баримтын хүч. Нотлох баримт нь хүчтэй байх тусам Y-г ажигласан баримт өмнөх магадлалыг өөрчлөх тусам арын магадлал өмнөхөөсөө ялгаатай байна. Хэрэв нотлох баримт сул байвал арын магадлал өмнөхтэй бараг тэнцүү байна.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн Бэйсийн томъёо

Өмнөх хэсэгт бид интервал дээр тодорхойлсон x ба y тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд Bayes-ийн томъёог гаргаж авсан. Тус бүр нь хоёр боломжит утгыг авсан салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүнтэй жишээг авч үзье. Эмнэлгийн ердийн үзлэгээр дөчин насандаа эмэгтэйчүүдийн 1% нь хөхний хорт хавдраар өвчилдөг болохыг тогтоожээ. Хорт хавдартай эмэгтэйчүүдийн 80% нь маммографийн эерэг үр дүнг авдаг. Эрүүл эмэгтэйчүүдийн 9.6% нь маммографийн эерэг үр дүнг авдаг. Шалгалтын үеэр энэ насны эмэгтэйд маммографийн эерэг үр дүн гарсан. Тэр үнэхээр хөхний хорт хавдартай байх магадлал хэр вэ?

Үндэслэл/тооцооллын шугам нь дараах байдалтай байна. Хорт хавдартай өвчтөнүүдийн 1% -д маммографи эерэг үр дүн өгнө = 1% * 80% = 0.8%. Эрүүл эмэгтэйчүүдийн 99% нь маммографи 9.6% эерэг үр дүн = 99% * 9.6% = 9.504% өгнө. Нийт 10.304% (9.504% + 0.8%) маммографийн эерэг үр дүн гарсан бөгөөд зөвхөн 0.8% нь өвчтэй, үлдсэн 9.504% нь эрүүл байна. Тиймээс маммограмм эерэг гарсан эмэгтэйд хорт хавдар тусах магадлал 0.8% / 10.304% = 7.764% байна. Та 80% эсвэл тийм гэж бодож байсан уу?

Бидний жишээн дээр Bayes томъёо дараах хэлбэртэй байна.

Энэ томъёоны "физик" утгын талаар дахин ярилцъя. X– санамсаргүй хэмжигдэхүүн (оношлогоо), утгыг авах: X 1- өвчтэй ба X 2- эрүүл; Ю– санамсаргүй хэмжигдэхүүн (хэмжилтийн үр дүн – маммограф), утгыг авах: Ү 1- эерэг үр дүн ба Y2- сөрөг үр дүн; p(X 1)– маммографийн өмнө өвчний магадлал (априори магадлал) 1% -тай тэнцүү; R(Ю 1 |X 1 ) - өвчтөн өвчтэй бол эерэг үр дүн гарах магадлал (нөхцөлт магадлал, учир нь энэ нь даалгаврын нөхцөлд тусгагдсан байх ёстой) 80% -тай тэнцүү; R(Ю 1 |X 2 ) – хэрэв өвчтөн эрүүл бол эерэг үр дүн гарах магадлал (мөн нөхцөлт магадлал) 9.6%; p(X 2)– маммографийн өмнө өвчтөн эрүүл байх магадлал (априори магадлал) 99%; p(X 1|Ю 1 ) – маммографийн эерэг үр дүнг өгсөн өвчтөн өвчтэй байх магадлал (арын магадлал).

Арын магадлал (бидний хайж байгаа зүйл) нь арай илүү төвөгтэй коэффициенттэй өмнөх магадлал (анхны) пропорциональ байгааг харж болно. . Дахин онцолж хэлье. Миний бодлоор энэ бол Байесийн хандлагын үндсэн тал юм. Хэмжилт ( Ю) тухайн объектын талаарх бидний мэдлэгийг тодруулсан эхэндээ (a priori) тодорхой хэмжээний мэдээлэл нэмсэн.

Жишээ

Хамтарсан материалаа нэгтгэхийн тулд хэд хэдэн асуудлыг шийдэж үзээрэй.

Жишээ 1. 3 сав байна; эхнийх нь 3 цагаан бөмбөг, 1 хар; хоёр дахь нь - 2 цагаан бөмбөг, 3 хар; Гурав дахь нь 3 цагаан бөмбөг байна. Хэн нэгэн савны аль нэгэнд санамсаргүй байдлаар ойртож, тэндээс 1 бөмбөг гаргаж авдаг. Энэ бөмбөг цагаан өнгөтэй болсон. Бөмбөгийг 1, 2, 3-р савнаас сугалах арын магадлалыг ол.

Шийдэл. Бид гурван таамаглалтай: H 1 = (эхний савыг сонгосон), H 2 = (хоёр дахь савыг сонгосон), H 3 = (гурав дахь савыг сонгосон). Урныг санамсаргүй байдлаар сонгосон тул таамаглалын априори магадлал тэнцүү байна: P(H 1) = P (H 2) = P (H 3) = 1/3.

Туршилтын үр дүнд А = үйл явдал гарч ирэв (сонгосон савнаас цагаан бөмбөг зурсан). H 1, H 2, H 3 таамаглалын дагуу А үйл явдлын нөхцөлт магадлал: P(A|H 1) = 3/4, P(A|H 2) = 2/5, P(A|H 3) = 1. Жишээлбэл, эхний тэгш байдал нь: "Эхний савыг сонгосон тохиолдолд цагаан бөмбөг зурах магадлал 3/4 байна (эхний саванд 4 бөмбөг байгаа бөгөөд тэдгээрийн 3 нь цагаан өнгөтэй байдаг)."

Bayes-ийн томъёог ашиглан бид таамаглалын арын магадлалыг олно.

Ийнхүү А үйл явдал тохиолдсон тухай мэдээлэлд үндэслэн таамаглалуудын магадлал өөрчлөгдсөн: H 3 таамаглал хамгийн их магадлалтай, H 2 таамаглал хамгийн бага магадлалтай болсон.

Жишээ 2.Хоёр буудагч нэг бай руу бие даан буудаж, тус бүр нь нэг бууддаг. Эхний мэргэн буучийн хувьд бай онох магадлал 0.8, хоёр дахь нь 0.4 байна. Буудсаны дараа байнд нэг нүх олдсон. Энэ нүх нь эхний мэргэн буучийнх байх магадлалыг ол (Үр дүн (хоёр нүх давхцсан) магадлал багатай тул хаясан).

Шийдэл. Туршилтын өмнө дараахь таамаглал дэвшүүлж болно: H 1 = (эхний ч, хоёр дахь сум ч онохгүй), H 2 = (хоёул сум онох болно), H 3 - (эхний мэргэн буудагч онох боловч хоёр дахь нь онохгүй. ), H 4 = (эхний мэргэн бууч онохгүй, хоёр дахь нь онох болно). Таамаглалын өмнөх магадлал:

P(H 1) = 0.2*0.6 = 0.12; P(H2) = 0.8*0.4 = 0.32; P (H 3) = 0.8 * 0.6 = 0.48; P(H 4) = 0.2*0.4 = 0.08.

Эдгээр таамаглалуудын дагуу ажиглагдсан үйл явдлын нөхцөлт магадлал A = (зорилтонд нэг нүх байна) тэнцүү байна: P(A|H 1) = P(A|H 2) = 0; P(A|H 3) = P(A|H 4) = 1

Туршилтын дараа H 1 ба H 2 таамаглалууд боломжгүй болж, Бэйсийн томъёоны дагуу H 3 ба H 4 таамаглалуудын арын магадлал дараах байдалтай байна.

Спамын эсрэг

Bayes-ийн томъёо нь спам шүүлтүүрийг боловсруулахад өргөн хэрэглэгддэг. Та аль имэйлийг спам болохыг тодорхойлохын тулд компьютер сургахыг хүсч байна гэж бодъё. Бид Байесийн тооцооллыг ашиглан толь бичиг, хэллэгийг үргэлжлүүлнэ. Эхлээд таамаглалын орон зайг бий болгоё. Аливаа үсгийн талаар хоёр таамаг дэвшүүлье: H A бол спам, H B бол спам биш, харин ердийн, шаардлагатай үсэг.

Эхлээд спамын эсрэг ирээдүйн системээ "сургаж" үзье. Өөрт байгаа бүх үсгээ аваад тус бүр нь 10 үсэгтэй хоёр “овоо” болгоё. Нэгд нь спам имэйлийг оруулаад H A овоо гэж нэрлэе, нөгөөд нь шаардлагатай захидал харилцааг оруулаад H B овоолго гэж нэрлэе. Одоо харцгаая: спам, шаардлагатай үсэгнээс ямар үг, хэллэг, ямар давтамжтай байдаг вэ? Бид эдгээр үг, хэллэгийг нотлох баримт гэж нэрлээд E 1 , E 2 гэж тэмдэглэнэ ... H A ба H B овоолгуудад түгээмэл хэрэглэгддэг үгс (жишээлбэл, "дуртай", "таны" гэсэн үгс) ойролцоогоор гарч ирдэг. ижил давтамж. Тиймээс захидалд эдгээр үгс байгаа нь түүнийг аль овоолго руу хуваарилах талаар юу ч хэлж чадахгүй (сул нотлох баримт). Эдгээр үгсийг төвийг сахисан "спам" магадлалын оноог 0.5 гэж тооцъё.

"Ярианы англи хэл" гэсэн хэллэгийг зөвхөн 10 үсгээр, спам үсгээр (жишээ нь, бүх 10 спам үсгийн 7-д) шаардлагатай (10-аас 3-т) үсгээр бичнэ. Энэ хэллэгт спамын хувьд илүү өндөр үнэлгээ өгье: 7/10, энгийн имэйлийн хувьд бага үнэлгээ: 3/10. Үүний эсрэгээр, "найз" гэдэг үг ердийн үсгээр (10-аас 6) илүү их гарч ирдэг нь тогтоогджээ. Тэгээд бид богино захидал хүлээн авлаа: "Миний найз! Чиний англи хэл хэр байна?". Түүний "спамми" байдлыг үнэлэхийг хичээцгээе. Бид овоо бүрд хамаарах үсгийн ерөнхий тооцооллыг P(H A), P(H B)-ийг бага зэрэг хялбаршуулсан Bayes томьёо болон ойролцоо тооцооллыг ашиглан өгнө.

P(H A) = A/(A+B), Хаана A = p a1 *p a2 *…*p an , B = p b1 *p b2 *…*p b n = (1 – p a1)*(1 – p a2)*… *(1 – p an).

Хүснэгт 1. Хялбаршуулсан (болон бүрэн бус) Бэйсийн бичих тооцоо.

Тиймээс бидний таамагласан захидал "спам"-ыг онцолсон оноо авах магадлалыг авсан. Бид захидлыг нэг овоолго руу хаяхаар шийдэж болох уу? Шийдвэр гаргах босгыг тогтооцгооё:

• Хэрэв P(H i) ≥ T байвал үсэг нь H i овоолгод хамаарна гэж бид үзнэ.
• Хэрэв P(H i) ≤ L байвал үсэг нь овоолгод хамаарахгүй.
• Хэрэв L ≤ P(H i) ≤ T байвал шийдвэр гаргах боломжгүй.

Та T = 0.95 ба L = 0.05-ыг авч болно. Учир нь тухайн захидлын хувьд болон 0.05< P(H A) < 0,95, и 0,05 < P(H В) < 0,95, то мы не сможем принять решение, куда отнести данное письмо: к спаму (H A) или к нужным письмам (H B). Можно ли улучшить оценку, используя больше информации?

Тиймээ. Нотлох баримт бүрийн оноог Бэйсийн яг үнэндээ санал болгосон шиг өөр аргаар тооцъё. Байцгаая:

F a нь спам имэйлийн нийт тоо;

F ai нь гэрчилгээтэй үсгийн тоо юм бибөөн спам дотор;

F b - шаардлагатай үсгийн нийт тоо;

F bi нь гэрчилгээтэй үсгийн тоо юм бишаардлагатай (холбогдох) үсгээр.

Дараа нь: p ai = F ai /F a, p bi = F bi /F b. P(H A) = A/(A+B), P(H B) = B/(A+B), Хаана A = p a1 *p a2 *…*p an , B = p b1 *p b2 *…*p b n

Нотлох баримтын p ai, p bi гэсэн үгсийн үнэлгээ нь бодитой болж, хүний ​​оролцоогүйгээр тооцоолох боломжтой гэдгийг анхаарна уу.

Хүснэгт 2. Захидал дахь боломжит шинж чанарууд дээр үндэслэн илүү нарийвчлалтай (гэхдээ бүрэн бус) Bayes тооцоолсон

Бид маш тодорхой үр дүнг хүлээн авсан - том давуу талтай, үсэг P(H B) = 0.997> T = 0.95 тул хүссэн үсэг гэж ангилж болно. Үр дүн яагаад өөрчлөгдсөн бэ? Бид илүү их мэдээлэл ашигласан тул овоолго бүрийн үсгийн тоог харгалзан үзсэн бөгөөд дашрамд хэлэхэд p ai ба p bi гэсэн тооцоог илүү зөв тодорхойлсон. Нөхцөлт магадлалыг тооцоолсноор тэднийг Бэйсийн өөрийнх нь адил тодорхойлсон. Өөрөөр хэлбэл, p a3 нь захидалд "найз" гэсэн үг гарч ирэх магадлал бөгөөд хэрэв энэ захидал аль хэдийн H A спам овоолгод харьяалагддаг бол. Үр дүн нь тийм ч удаан гараагүй - бид илүү итгэлтэйгээр шийдвэр гаргах боломжтой юм шиг байна.

Байс компанийн луйврын эсрэг

Bayesian аргын нэгэн сонирхолтой хэрэглээг MAGNUS8 тайлбарлав.

Миний одоогийн төсөл (үйлдвэрлэлийн аж ахуйн нэгжийн луйврыг илрүүлэх IS) нь залилан хийх боломжтой гэсэн таамаглалыг шууд бусаар гэрчлэх хэд хэдэн баримт байгаа / байхгүй үед луйвар (луйвар) гарах магадлалыг тодорхойлохын тулд Bayes томъёог ашигладаг. Алгоритм нь өөрөө суралцдаг (санал хүсэлттэй), i.e. эдийн засгийн аюулгүй байдлын албаны шалгалтын явцад залилан мэхэлсэн нь бодитоор батлагдсан эсвэл нотлогдоогүй тохиолдолд түүний коэффициентийг (нөхцөлт магадлал) дахин тооцоолно.

Алгоритм зохиохдоо ийм аргууд нь хөгжүүлэгчээс нэлээд өндөр математикийн соёл шаарддаг гэдгийг хэлэх нь зүйтэй болов уу. Тооцооллын томьёог гаргаж авах ба/эсвэл хэрэгжүүлэхэд гарсан өчүүхэн алдаа нь бүхэл бүтэн аргыг хүчингүй болгож, гутаах болно. Хүний сэтгэлгээ нь магадлалын ангилалтай ажиллахад дасан зохицдоггүй тул завсрын болон эцсийн магадлалын параметрүүдийн "бие махбодийн утгыг" ойлгох "харагдах байдал" байхгүй тул магадлалын аргууд үүнд онцгой өртөмтгий байдаг. Энэ ойлголт нь зөвхөн магадлалын онолын үндсэн ойлголтуудад л байдаг бөгөөд дараа нь та магадлалын онолын хуулийн дагуу нарийн төвөгтэй зүйлсийг маш болгоомжтой нэгтгэж, гаргаж авах хэрэгтэй - нийтлэг ойлголт нь нийлмэл объектуудад туслахаа болино. Энэ нь ялангуяа магадлалын философийн талаархи орчин үеийн номнуудын хуудсан дээр нэлээд ноцтой арга зүйн тулалдаан, мөн энэ сэдвээр олон тооны софизм, парадокс, сониуч таавартай холбоотой юм.

Надад тулгарсан өөр нэг нюанс бол харамсалтай нь энэ сэдвээр ПРАКТИКТ АШИГТАЙ бараг бүх зүйл англи хэл дээр бичигдсэн байдаг. Орос хэл дээрх эх сурвалжуудад зөвхөн хамгийн анхдагч тохиолдлуудад үзүүлэх жишээнүүдийг агуулсан алдартай онол байдаг.

Би сүүлчийн тайлбартай бүрэн санал нийлж байна. Жишээлбэл, Google "Байесийн магадлал" гэх мэт зүйлийг хайж олоход ойлгомжтой зүйл гаргаж чадаагүй. Хятадад Байесийн статистик бүхий номыг хориглосон гэж тэр мэдээлсэн нь үнэн. (Статистикийн профессор Эндрю Гельман Колумбын Их Сургуулийн блог дээр түүний "Regression and Multilevel/Ierarchical Models бүхий Өгөгдлийн шинжилгээ" номыг Хятадад хэвлэхийг хориглосон тухай мэдээлсэн. Тэндхийн хэвлэн нийтлэгч "Улс төрийн янз бүрийн мэдрэмжийн улмаас уг номыг эрх баригчид зөвшөөрөөгүй" гэж мэдээлэв. текст дэх материал.") Үүнтэй төстэй шалтгаан нь Орост Байесийн магадлалын тухай ном байхгүй болоход хүргэсэн болов уу?

Хүний мэдээллийг боловсруулах консерватизм

Магадлал нь тодорхойгүй байдлын түвшинг тодорхойлдог. Магадлал нь Бэйсийн болон бидний зөн совингийн аль алиных нь үзэж байгаагаар бол зүгээр л тэг ба түүний хоорондох тоо бөгөөд энэ нь зарим талаараа идеалчлагдсан хүн уг мэдэгдлийг үнэн гэдэгт итгэх түвшинг илэрхийлдэг. Хүн зарим талаараа идеалчлагдсан байдаг шалтгаан нь түүний бие биенээ үгүйсгэдэг хоёр үйл явдлын магадлалын нийлбэр нь түүний аль нэг үйл явдал болох магадлалтай тэнцүү байх ёстой. Нэмэлт шинж чанар нь ийм үр дагавартай тул цөөхөн бодит хүмүүс бүгдийг нь хангаж чаддаг.

Байесийн теорем нь нэмэлт магадлалын шинж чанарын өчүүхэн үр дагавар бөгөөд маргаангүй бөгөөд бүх магадлалчид, Байесийн болон бусад хүмүүсийн тохиролцсон байдаг. Үүнийг бичих нэг арга бол дараах байдалтай байна. Хэрэв P(H A |D) нь өгөгдсөн D утгыг ажигласны дараа А таамаглал байх дараагийн магадлал, P(H A) нь D утга ажиглагдахаас өмнөх өмнөх магадлал, P(D|H A ) нь a гэсэн магадлал юм. Хэрэв H A үнэн, P(D) нь өгөгдсөн D утгын болзолгүй магадлал бол өгөгдсөн D утга ажиглагдах болно.

(1) P(H A |D) = P(D|H A) * P(H A) / P(D)

P(D)-ийг авч үзэж буй бие биенээ үгүйсгэсэн таамаглалуудын бүрэн багц дээр арын магадлалыг нэгтгэхэд хүргэдэг хэвийн болгох тогтмол гэж хамгийн сайн төсөөлдөг. Үүнийг тооцоолох шаардлагатай бол дараах байдалтай байж болно.

Гэхдээ ихэвчлэн P (D) -ийг тооцоолохын оронд хасдаг. Үүнийг арилгах тохиромжтой арга бол Байесийн теоремыг магадлалын харьцаа хэлбэрт шилжүүлэх явдал юм.

H A-тай харилцан хамааралгүй H B гэсэн өөр таамаглалыг авч үзээд, H A-ийн талаарх таны бодлыг өөрчилсөн өгөгдсөн хэмжигдэхүүн дээр үндэслэн энэ талаарх бодлоо өөрчил. Байесийн теорем ингэж хэлжээ.

(2) P(H B |D) = P(D|H B) * P(H B) / P(D)

Одоо 1-р тэгшитгэлийг 2-т хуваая; үр дүн нь иймэрхүү байх болно:

Энд Ω 1 нь H A-аас H B хүртэлх арын магадлал, Ω 0 нь өмнөх магадлал, L нь магадлалын харьцаа гэж статистикчдад танил болсон хэмжигдэхүүн юм. 3-р тэгшитгэл нь Бэйсийн теоремын 1-р тэгшитгэлтэй ижил хамааралтай хувилбар бөгөөд ялангуяа таамаглал бүхий туршилтуудад илүү ашигтай байдаг. Байесистууд Бэйсийн теорем нь шинэ нотолгоонд тулгуурлан үзэл бодлоо хэрхэн засах тухай албан ёсны оновчтой дүрэм гэж үздэг.

Бид Байесийн теоремоор тодорхойлсон идеал зан үйлийг хүмүүсийн бодит зан үйлтэй харьцуулахыг сонирхож байна. Энэ нь юу гэсэн үг болохыг ойлгохын тулд тантай туршилт хийж үзье. Энэ уутанд 1000 покер чип багтсан. Надад ийм хоёр уут байгаа бөгөөд нэг нь 700 улаан, 300 цэнхэр чипс, нөгөөд нь 300 улаан, 700 цэнхэр чипс байдаг. Би зоос шидээд алийг нь хэрэглэхээ шийдлээ. Тэгэхээр, хэрэв бидний бодол ижил байвал таны одоогийн байдлаар илүү улаан чипс агуулсан уут авах магадлал 0.5 байна. Одоо та чип бүрийн дараа өгөөжтэй санамсаргүй түүвэр хийнэ. 12 чипэнд 8 улаан, 4 цэнхэр өнгөтэй болно. Одоо таны мэддэг бүх зүйл дээр үндэслэн хамгийн олон улаантай цүнхийг буух магадлал хэд вэ? 0.5-аас дээш байгаа нь тодорхой байна. Та оноогоо бичиж дуустал үргэлжлүүлэн уншиж болохгүй.

Хэрэв та жирийн нэгэн сорилттой адил бол таны оноо 0.7-0.8 хооронд буурсан байна. Хэрэв бид тохирох тооцоог хийвэл хариулт нь 0.97 байх болно. Байесийн теоремыг мэддэг байсан ч консерватизмын нөлөөг урьд өмнө нь харуулж байгаагүй хүн ийм өндөр үнэлгээ авах нь үнэхээр ховор байдаг.

Хэрэв уутанд улаан чипсийн эзлэх хувь Р, дараа нь хүлээн авах магадлал rулаан чипс ба ( n -r) цэнхэр nбуцаан олголттой дээж - p r (1–p)n-r. Тэгэхээр, цүнх болон покер чипс нь ердийн туршилтанд, хэрэв НАулаан чипсийн эзлэх хувь байна гэсэн үг р АТэгээд НБ– хувьцаа байна гэсэн үг РБ, тэгвэл магадлалын харьцаа:

Байесийн томьёог хэрэглэхдээ түүний хийсэн боловч хийгээгүй бусад ажиглалтын магадлалыг бус зөвхөн бодит ажиглалтын магадлалыг авч үзэх хэрэгтэй. Энэ зарчим нь Бэйсийн теоремын статистик болон статистикийн бус хэрэглээнд өргөн нөлөө үзүүлдэг; Энэ нь Байесийн сэтгэхүйн хамгийн чухал техникийн хэрэгсэл юм.

Байесын хувьсгал

Таны найз нөхөд, хамтран ажиллагсад "Бэйсийн теорем" эсвэл "Бэйсийн дүрэм" эсвэл Байесийн үндэслэл гэж нэрлэгддэг зүйлийн талаар ярьж байна. Тэд үүнийг үнэхээр сонирхож байгаа тул та интернетэд ороод Бэйсийн теоремын тухай хуудсыг олоод... Энэ бол тэгшитгэл юм. Ингээд л болоо... Математикийн ойлголт яагаад оюун санаанд ийм урам зоригийг бий болгодог вэ? Эрдэмтдийн дунд ямар төрлийн "Байезийн хувьсгал" болж байгаа бөгөөд туршилтын аргыг хүртэл түүний онцгой тохиолдол гэж тодорхойлж болно гэж маргаж байна вэ? Байесчуудын мэддэг нууц юу вэ? Тэд ямар гэрлийг харж байна вэ?

Шинжлэх ухаанд Байесын хувьсгал болоогүй, учир нь улам олон танин мэдэхүйн эрдэмтэд сэтгэцийн үзэгдлүүд Байесийн бүтэцтэй болохыг гэнэт анзаарч эхэлсэн; Салбар бүрийн эрдэмтэд Байезийн аргыг хэрэглэж эхэлснээс биш; гэхдээ шинжлэх ухаан өөрөө Бэйсийн теоремын онцгой тохиолдол учраас; туршилтын нотолгоо бол Байесын нотолгоо юм. Байесын хувьсгалчид туршилт хийж, таны онолыг "баталгаажуулж" эсвэл "няцаах" нотлох баримтыг олж авбал тэрхүү баталгаажуулалт эсвэл няцаалт нь Байесийн дүрмийн дагуу явагддаг гэж маргадаг. Жишээлбэл, таны онол аливаа үзэгдлийг тайлбарлахаас гадна тухайн үзэгдлийг урьдчилан таамаглах боломжтой бусад тайлбарууд байдаг гэдгийг анхаарч үзэх хэрэгтэй.

Өмнө нь шинжлэх ухааны хамгийн алдартай философи бол Байесийн хувьсгалаар солигдсон хуучин философи байв. Карл Попперын онолыг бүрэн худалчлах боломжтой боловч хэзээ ч бүрэн баталгаажуулахгүй гэсэн санаа бол Байезийн дүрмийн өөр нэг онцгой тохиолдол юм; хэрэв p(X|A) ≈ 1 – хэрэв онол нь зөв таамаглал дэвшүүлбэл ~X-г ажиглах нь А-г маш хүчтэй худалдах болно.Нөгөө талаас, хэрэв p(X|A) ≈ 1 болон бид X-г ажиглавал энэ нь баттай батлагдаагүй болно. онол; p(X|B) ≈ 1 гэсэн өөр ямар нэг В нөхцөл боломжтой байж болох бөгөөд үүний дагуу X ажиглалт А-ийн талд биш харин В-ийн талд гэрчилнэ. Х ажиглалт А-г баттай батлахын тулд бид дараах зүйлийг хийх ёстой. p(X|A) ≈ 1 ба p(X|~A) ≈ 0 гэдгийг бид мэдэхгүй, учир нь бид бүх боломжит хувилбаруудыг авч үзэх боломжгүй. Жишээлбэл, Эйнштейний харьцангуйн ерөнхий онол Ньютоны сайн дэмжигдсэн таталцлын онолыг давахдаа Ньютоны онолын бүх таамаглалыг Эйнштейний таамаглалын онцгой тохиолдол болгосон.

Үүнтэй адилаар Попперын санааг худалчлах ёстой гэсэн санааг Байесын магадлалыг хадгалах дүрмийн илрэл гэж тайлбарлаж болно; Хэрэв X үр дүн онолын эерэг нотолгоо бол ~X үр дүн онолыг тодорхой хэмжээгээр үгүйсгэх ёстой. Хэрэв та X ба ~X-ийг хоёуланг нь онолыг "баталгааж байна" гэж тайлбарлахыг оролдвол Байезийн дүрмүүд үүнийг боломжгүй гэж үздэг! Онолын магадлалыг нэмэгдүүлэхийн тулд та онолын магадлалыг бууруулж болох туршилтанд хамрагдах ёстой; Энэ бол шинжлэх ухаан дахь шарлатануудыг тодорхойлох дүрэм биш, харин Байезийн магадлалын теоремын үр дагавар юм. Нөгөөтэйгүүр, зөвхөн хуурамчаар үйлдэх хэрэгтэй, баталгаажуулах шаардлагагүй гэсэн Попперын санаа буруу юм. Бэйсийн теорем нь хуурамчаар үйлдэх нь батлахтай харьцуулахад маш хүчтэй нотолгоо гэдгийг харуулж байгаа боловч хуурамчаар үйлдэх нь магадлалын шинж чанартай хэвээр байна; энэ нь үндсэндээ өөр дүрмээр зохицуулагддаггүй бөгөөд Попперын хэлснээр баталгаажуулахаас ялгаагүй юм.

Тиймээс танин мэдэхүйн шинжлэх ухааны олон үзэгдлүүд, эрдэмтдийн ашигладаг статистик аргууд, шинжлэх ухааны арга нь бүгд Бэйсийн теоремын онцгой тохиолдлууд болохыг бид олж мэдсэн. Энэ бол Байесын хувьсгал юм.

Bayesian Conspiracy-д тавтай морил!

Байесийн магадлалын талаархи уран зохиол

2. Бэйсийн олон төрлийн хэрэглээг эдийн засгийн чиглэлээр Нобелийн шагналт Каннеман (ба түүний нөхдүүд) гайхалтай номонд дүрсэлсэн байдаг. Зөвхөн энэ маш том номын тухай товч хураангуйдаа би Пресвитериан сайдын нэрийг 27 удаа дурьдсаныг тоолсон. Хамгийн бага томъёо. (.. Надад үнэхээр таалагдсан. Үнэн, энэ нь жаахан төвөгтэй, маш олон математик байдаг (мөн үүнгүйгээр бид хаана байх байсан бэ), гэхдээ тусдаа бүлгүүд (жишээ нь, 4-р бүлэг. Мэдээлэл) сэдвээр тодорхой байна. Би үүнийг санал болгож байна. Математик танд хэцүү байсан ч бусад мөр бүрийг уншиж, математикийг алгасаж, ашигтай үр тариа хайж олоорой ...

14. (2017 оны 1-р сарын 15-ны өдрийн нэмэлт), Тони Криллийн номны нэг бүлэг. Таны мэдэх ёстой 50 санаа. Математик.

Нобелийн шагналт физикч Ричард Фейнман нэгэн гүн ухаантны тухай ярихдаа: "Намайг бухимдуулж байгаа зүйл бол шинжлэх ухааны хувьд философи биш, харин түүний эргэн тойронд бий болсон сүр жавхлант байдал юм. Философичид өөрсдийгөө шоолж инээдэг болоосой! Хэрэв тэд: "Би ийм байна гэж хэлж байна, гэхдээ фон Лейпциг үүнийг өөр гэж бодсон, тэр бас энэ талаар ямар нэг юм мэддэг" гэж хэлж чадахсан бол. Зөвхөн тэднийх гэдгийг тодруулахаа санаж байсан бол .

Сибирийн харилцаа холбоо, мэдээлэл зүйн улсын их сургууль

Дээд математикийн тэнхим

"Магадлалын онол ба математикийн статистик" гэсэн чиглэлээр

“Нийт магадлалын томьёо ба Бэйсийн томъёо (Бэйс) ба тэдгээрийн хэрэглээ”

Дууссан:

Дарга: Профессор Б.П.Зеленцов

Новосибирск, 2010 он

Танилцуулга 3

1. Нийт магадлалын томъёо 4-5

2. Бэйсийн томъёо (Бэйс) 5-6

3. Шийдэлтэй холбоотой асуудлууд 7-11

4. Бэйсийн томьёо (Bayes) 11-ийн хэрэглээний үндсэн чиглэл

Дүгнэлт 12

Уран зохиол 13

Оршил

Магадлалын онол бол математикийн сонгодог салбаруудын нэг юм. Энэ нь урт удаан түүхтэй. Энэхүү шинжлэх ухааны салбарын үндэс суурийг агуу математикчид тавьжээ. Би жишээ нь Фермат, Бернулли, Паскалийг нэрлэнэ.
Хожим нь магадлалын онолын хөгжлийг олон эрдэмтдийн бүтээлээр тодорхойлсон.
Манай улсын эрдэмтэд магадлалын онолд ихээхэн хувь нэмэр оруулсан:
П.Л.Чебышев, А.М.Ляпунов, А.А.Марков, А.Н.Колмогоров. Магадлалын болон статистикийн аргууд одоо хэрэглээнд гүнзгий нэвтэрсэн. Тэдгээрийг физик, технологи, эдийн засаг, биологи, анагаах ухаанд ашигладаг. Компьютерийн технологийн хөгжилтэй холбоотойгоор тэдний үүрэг ялангуяа нэмэгдсэн.

Жишээлбэл, физикийн үзэгдлийг судлахын тулд ажиглалт эсвэл туршилт хийдэг. Тэдгээрийн үр дүнг ихэвчлэн ажиглагдаж болохуйц зарим хэмжигдэхүүний утгын хэлбэрээр тэмдэглэдэг. Туршилтыг давтан хийхдээ бид үр дүнгийн тархалтыг олж хардаг. Жишээлбэл, тодорхой нөхцөлийг (температур, чийгшил гэх мэт) хадгалахын зэрэгцээ ижил хэмжигдэхүүнийг ижил төхөөрөмжөөр давтан хийх замаар бид бие биенээсээ бага зэрэг ялгаатай үр дүнг олж авдаг. Давтан хэмжилт хийсэн ч гэсэн дараагийн хэмжилтийн үр дүнг нарийн таамаглах боломжгүй юм. Энэ утгаараа хэмжилтийн үр дүн нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн гэж тэд хэлдэг. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний илүү тод жишээ бол сугалаанд хожсон тасалбарын тоо юм. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний бусад олон жишээг өгч болно. Гэсэн хэдий ч тохиолдлын ертөнцөд тодорхой хэв маяг илчлэгддэг. Ийм хэв маягийг судлах математикийн төхөөрөмжийг магадлалын онолоор хангадаг.
Иймд магадлалын онол нь санамсаргүй үйл явдал болон холбогдох санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн математик шинжилгээг авч үздэг.

1. Нийт магадлалын томъёо.

Бүлэг үйл явдал байг Х 1 ,Х 2 ,..., Hn, дараах шинж чанаруудтай:

1) бүх үйл явдлууд хосоороо нийцэхгүй байна: H i

Hj =Æ; би , j =1,2,...,n ; би ¹ j ;

2) тэдгээрийн нэгдэл нь W энгийн үр дүнгийн орон зайг бүрдүүлдэг:

.

Зураг 8

Энэ тохиолдолд бид үүнийг хэлэх болно Х 1 , Х 2 ,...,Hnхэлбэр үйл явдлын бүрэн бүлэг. Ийм үйл явдлуудыг заримдаа нэрлэдэг таамаглал .

Болъё А- зарим үйл явдал: АÌW (Венн диаграммыг Зураг 8-д үзүүлэв). Дараа нь барьж байна Нийт магадлалын томъёо:

П (А) = П (А /Х 1)П (Х 1) + П (А /Х 2)П (Х 2) + ...+П (А /Hn)П (Hn) =

Баталгаа. Мэдээжийн хэрэг: A=

, болон бүх үйл явдал ( би = 1,2,...,n) хосоороо нийцэхгүй байна. Эндээс магадлалын нэмэх теоремыг ашиглан бид олж авна

П (А) = П (

) + П () +...+ П (

Хэрэв бид үүнийг үржүүлэх теоремоор тооцвол П (

) = П (А/Хби) П (Хби) ( би = 1,2,...,n), тэгвэл сүүлийн томьёоноос дээрх нийт магадлалын томьёог гаргахад хялбар болно.

Жишээ. Тус дэлгүүрт гурван үйлдвэрийн үйлдвэрлэсэн цахилгаан чийдэн худалдаалагдаж байгаа бөгөөд нэгдүгээр үйлдвэрт 30%, хоёрдугаарт 50%, гуравдугаарт 20% байна. Тэдний бүтээгдэхүүний согог 5%, 3%, 2% байна. Дэлгүүрт санамсаргүй байдлаар сонгосон чийдэн гэмтэлтэй болох магадлал хэд вэ?

Үйл явдал болъё Х 1 нь сонгосон чийдэнг анхны үйлдвэрт үйлдвэрлэдэг. Ххоёр дахь нь 2, Х 3 - гурав дахь үйлдвэрт. Мэдээжийн хэрэг:

П (Х 1) = 3/10, П (Х 2) = 5/10, П (Х 3) = 2/10.

Үйл явдал болъё Асонгосон чийдэн нь гэмтэлтэй болсон; A/H iүед үйлдвэрлэсэн чийдэнгээс гэмтэлтэй чийдэнг сонгосон үйл явдлыг хэлнэ би-р ургамал. Асуудлын мэдэгдлээс дараах байдалтай байна.

П (А / Х 1) = 5/10; П (А / Х 2) = 3/10; П (А / Х 3) = 2/10

Нийт магадлалын томъёог ашиглан бид олж авна

2. Бэйсийн томъёо (Бэйс)

Болъё Х 1 ,Х 2 ,...,Hn- үйл явдлын бүрэн бүлэг ба АМ W бол ямар нэгэн үйл явдал юм. Дараа нь нөхцөлт магадлалын томъёоны дагуу

(1)

Энд П (Hk /А) – үйл явдлын нөхцөлт магадлал (таамаглал) Hkэсвэл тийм магадлал Hkүйл явдал болсон тохиолдолд хэрэгжинэ Аболсон.

Магадлалын үржүүлэх теоремын дагуу (1) томъёоны хүртэгчийг дараах байдлаар илэрхийлж болно.

П = П = П (А /Hk)П (Hk)

Томъёоны (1) хуваагчийг илэрхийлэхийн тулд та нийт магадлалын томъёог ашиглаж болно

П (А)

Одоо (1) -ээс бид томъёог авч болно Бэйсийн томъёо :

Бэйсийн томьёо нь таамаглал биелэх магадлалыг тооцдог Hkүйл явдал болсон тохиолдолд Аболсон. Бэйсийн томъёог бас нэрлэдэг таамаглалын магадлалын томъёо.Магадлал П (Hk) таамаглалын өмнөх магадлал гэнэ Hk, магадлал П (Hk /А) – арын магадлал.

Теорем. Туршилтын дараах таамаглал үүсэх магадлал нь туршилтын өмнөх таамаглалын магадлал ба туршилтын явцад тохиолдсон үйл явдлын харгалзах нөхцөлт магадлалыг энэ үйл явдлын нийт магадлалд хуваасантай тэнцүү байна.

Жишээ.Цахилгаан чийдэнгийн талаархи дээрх асуудлыг авч үзье, зүгээр л асуудлын асуултыг өөрчил. Хэрэглэгч энэ дэлгүүрээс цахилгаан чийдэн худалдаж авлаа гэж бодъё. Энэ чийдэнг хоёрдугаар үйлдвэрт үйлдвэрлэсэн байх магадлалыг ол. Хэмжээ П (Х 2) = 0.5 Энэ тохиолдолд худалдан авсан чийдэнг хоёр дахь үйлдвэрт үйлдвэрлэсэн тохиолдлын априори магадлал юм. Худалдан авсан чийдэн нь гэмтэлтэй гэсэн мэдээллийг хүлээн авсны дараа бид энэ үйл явдлын арын магадлалыг тооцоолох замаар хоёр дахь үйлдвэрт энэ чийдэнг үйлдвэрлэх боломжийн талаарх тооцоогоо засаж болно.

Нийт магадлалын томъёог гаргахдаа таамаглалын магадлалыг туршилтаас өмнө мэддэг байсан гэж үзсэн. Бэйсийн томъёо нь шинэ мэдээлэл, тухайлбал үйл явдлын гэрэлд анхны таамаглалыг дахин үнэлэх боломжийг олгодог. болсон. Тиймээс Бэйсийн томъёог таамаглалыг боловсронгуй болгох томъёо гэж нэрлэдэг.

Теорем (Бэйсийн томъёо). Хэрэв үйл явдал таамаглалуудын аль нэгээр л тохиолдож болно
, үйл явдлын бүрэн бүлэг бүрдүүлдэг, дараа нь таамаглал магадлал үйл явдал гэж заасан тохиолдсон, томъёогоор тооцоолсон

,
.

Баталгаа.

Байесийн томъёо буюу таамаглалыг үнэлэх Байезийн хандлага нь эдийн засагт чухал үүрэг гүйцэтгэдэг учир нь удирдлагын шийдвэр, статистик шинжилгээнд судалж буй шинж чанаруудын үл мэдэгдэх тархалтын параметрийн тооцоо зэргийг засах боломжтой болгодог.

Жишээ. Цахилгаан чийдэнг хоёр үйлдвэрт үйлдвэрлэдэг. Эхний үйлдвэр нь нийт цахилгаан чийдэнгийн 60%, хоёр дахь нь 40% -ийг үйлдвэрлэдэг. Эхний үйлдвэрийн бүтээгдэхүүн нь стандарт чийдэнгийн 70%, хоёр дахь нь 80% -ийг агуулдаг. Дэлгүүр нь хоёр үйлдвэрээс бүтээгдэхүүн хүлээн авдаг. Дэлгүүрт худалдаж авсан чийдэн нь стандарт болсон. Анхны үйлдвэрт чийдэнг үйлдвэрлэсэн байх магадлалыг ол.

Тохирох тэмдэглэгээг оруулан асуудлын нөхцөлийг бичье.

Өгөгдсөн: үйл явдал Энэ чийдэн нь стандарт юм.

Таамаглал
Энэ чийдэнг анхны үйлдвэрт үйлдвэрлэсэн

Таамаглал
Энэ чийдэнг хоёр дахь үйлдвэрт үйлдвэрлэсэн

Хай
.

Шийдэл.

5. Давтан бие даасан шалгалт. Бернуллигийн томъёо

Диаграмыг харцгаая бие даасан туршилтуудэсвэл Бернулли схем, энэ нь шинжлэх ухааны чухал ач холбогдолтой, олон төрлийн практик хэрэглээтэй.

Үүнийг үйлдвэрлэе бие даасан туршилтууд, тус бүрд нь зарим үйл явдал тохиолдож болно .

Тодорхойлолт. Туршилтууд гэж нэрлэдэгбие даасан , хэрэв тэдгээр нь тус бүрт үйл явдал тохиолдвол

, үйл явдал гарч ирсэн эсэхээс үл хамааран
бусад туршилтуудад.

Жишээ. Туршилтын вандан дээр 20 улайсдаг чийдэнг байрлуулсан бөгөөд 1000 цагийн турш ачаалалтай туршсан. Дэнлүүний туршилтыг давах магадлал нь 0.8 бөгөөд бусад чийдэнгүүдэд тохиолдсон зүйлээс үл хамаарна.

Энэ жишээнд туршилт гэдэг нь дэнлүүний ачааллыг 1000 цагийн турш тэсвэрлэх чадварыг шалгахыг хэлнэ. Тиймээс туршилтын тоо тэнцүү байна
. Туршилт бүрт зөвхөн хоёр үр дүн гарах боломжтой:

Тодорхойлолт. Хэд хэдэн бие даасан туршилтууд, тус бүр нь үйл явдал юм
ижил магадлалтайгаар тохиолддог
, тестийн дугаараас үл хамааран гэж нэрлэдэгБернулли схем.

Эсрэг үйл явдлын магадлал тэмдэглэнэ
, мөн дээр дурдсанчлан,

Теорем. Бернулли схемийн нөхцөлд магадлал нь at бие даасан туршилтын үйл явдал гарч ирнэ
томъёогоор тодорхойлогддог удаа

Хаана
бие даасан туршилтын тоо;

үйл явдлын тохиолдлын тоо
;

үйл явдал болох магадлал
тусдаа шүүх хуралдаанд;

үйл явдал болохгүй байх магадлал
тусдаа шүүх хуралдаанд;

Бэйсийн томъёо

Бэйсийн теорем- ажиглалтын үндсэн дээр үйл явдлын зарим хэсэгчилсэн мэдээлэл л мэдэгдэж байгаа нөхцөлд тохиолдох үйл явдлын магадлалыг тодорхойлдог энгийн магадлалын онолын гол теоремуудын нэг. Байесийн томьёог ашиглан урьд өмнө мэдэгдэж байсан мэдээлэл болон шинэ ажиглалтын өгөгдлийг хоёуланг нь харгалзан магадлалыг илүү нарийвчлалтай дахин тооцоолох боломжтой.

"Биет утга" ба нэр томъёо

Байесийн томьёо нь "шалтгаан ба үр дагаврыг дахин зохицуулах" боломжийг олгодог: үйл явдлын мэдэгдэж буй баримтыг харгалзан, өгөгдсөн шалтгаанаас үүдэлтэй байх магадлалыг тооцоол.

Энэ тохиолдолд "шалтгаан" -ын үйлдлийг тусгасан үйл явдлуудыг ихэвчлэн нэрлэдэг таамаглал, тэд байгаа тул гэж таамаглаж байнаүүнд хүргэсэн үйл явдлууд. Таамаглал үнэн байх нөхцөлгүй магадлалыг гэнэ априори(шалтгаан нь хэр магадлалтай вэ бүх), мөн нөхцөлт - үйл явдлын баримтыг харгалзан - a posteriori(шалтгаан нь хэр магадлалтай вэ үйл явдлын мэдээллийг харгалзан үзсэн).

Үр дагавар

Байесийн томъёоны чухал үр дагавар нь үйл явдлын нийт магадлалын томъёо юм хэд хэдэнүл нийцэх таамаглал ( зөвхөн тэднээс!).

- үйл явдал болох магадлал Б, хэд хэдэн таамаглалаас хамаарна А би, хэрэв эдгээр таамаглалын найдвартай байдлын зэрэг нь мэдэгдэж байгаа бол (жишээлбэл, туршилтаар хэмжсэн);

Томъёоны гарал үүсэл

Хэрэв үйл явдал зөвхөн шалтгаанаас шалтгаална А би, дараа нь ийм зүйл тохиолдсон бол шалтгаануудын аль нэг нь тохиолдсон байх ёстой гэсэн үг, i.e.

Бэйсийн томъёоны дагуу

Шилжүүлгээр П(Б) баруун талд бид хүссэн илэрхийлэлийг олж авна.

Спам шүүлтүүрийн арга

Байесийн теорем дээр үндэслэсэн арга нь спам шүүлтэнд амжилттай хэрэглэгдэх болсон.

Тодорхойлолт

Шүүлтүүрийг сургахдаа үсгээр таарсан үг бүрийн хувьд түүний "жин" -ийг тооцоолж, хадгалдаг - энэ үгтэй захидал спам байх магадлал (хамгийн энгийн тохиолдолд - магадлалын сонгодог тодорхойлолтын дагуу: "спам дахь харагдах байдал / нийт харагдах байдал").

Шинээр ирсэн захидлыг шалгахдаа спам байх магадлалыг дээрх томьёог ашиглан янз бүрийн таамаглалаар тооцдог. Энэ тохиолдолд "таамаглал" гэдэг нь үг бөгөөд үг бүрийн хувьд "таамаглалын найдвартай байдал" нь үсэг дээрх энэ үгийн %, "таамаглалаас үйл явдлын хамаарал" юм. П(Б | А би) - үгийн өмнө нь тооцоолсон "жин". Өөрөөр хэлбэл, энэ тохиолдолд захидлын "жин" нь түүний бүх үгсийн дундаж "жин"-ээс өөр зүйл биш юм.

Захидлыг "жин" нь хэрэглэгчийн тодорхойлсон тодорхой хэмжээнээс (ихэвчлэн 60-80%) хэтэрсэн эсэхээс хамаарч "спам" эсвэл "спам" биш гэж ангилдаг. Захидал дээр шийдвэр гарсны дараа түүнд орсон үгсийн "жин"-ийг мэдээллийн санд шинэчилдэг.

Онцлог шинж чанартай

Энэ арга нь энгийн (алгоритмууд нь энгийн), тохиромжтой ("хар жагсаалт" болон үүнтэй төстэй хиймэл техникгүйгээр хийх боломжийг олгодог), үр дүнтэй (хангалттай том дээж дээр сургасны дараа энэ нь спамыг 95-97% бууруулдаг, мөн алдаа гарсан тохиолдолд дахин сургаж болно). Ерөнхийдөө үүнийг өргөнөөр ашиглах бүх заалт байдаг бөгөөд энэ нь практикт тохиолддог зүйл юм - бараг бүх орчин үеийн спам шүүлтүүрүүд нь түүний үндсэн дээр бүтээгдсэн байдаг.

Гэсэн хэдий ч энэ арга нь үндсэн сул талтай: энэ таамаглал дээр үндэслэсэн, Юу Зарим үгс спам дээр илүү түгээмэл байдаг бол зарим нь ердийн имэйлд илүү түгээмэл байдаг, хэрэв энэ таамаглал буруу бол үр дүнгүй болно. Гэсэн хэдий ч практикээс харахад хүн ч гэсэн ийм спамыг "нүдээр" илрүүлж чадахгүй - зөвхөн захидлыг уншиж, утгыг нь ойлгох замаар л илрүүлж чадахгүй.

Хэрэгжүүлэхтэй холбоотой өөр нэг үндсэн бус сул тал бол энэ арга нь зөвхөн тексттэй ажиллах явдал юм. Энэхүү хязгаарлалтыг мэдээд спам илгээгчид зар сурталчилгааны мэдээллийг зурган дээр оруулж эхэлсэн боловч захидал дахь текст дутуу эсвэл утгагүй байв. Үүнийг эсэргүүцэхийн тулд та текстийг таних хэрэгслийг (зөвхөн зайлшгүй шаардлагатай үед ашигладаг "үнэтэй" процедур), эсвэл хуучин шүүлтүүрийн аргууд - "хар жагсаалт" болон ердийн хэллэгийг ашиглах хэрэгтэй (ийм үсэг нь ихэвчлэн хэвшмэл хэлбэртэй байдаг).

бас үзнэ үү

Тэмдэглэл

Холбоосууд

Уран зохиол

• Киви шувуу. Эрхэм хүндэт Бэйсийн теорем. // Computerra сэтгүүл, 2001 оны 8-р сарын 24.
• Пол Грэм. Спамын төлөвлөгөө (Англи хэл). // Пол Грахамын хувийн вэбсайт.

Викимедиа сан. 2010 он.

Бусад толь бичгүүдээс "Байес Формула" гэж юу болохыг харна уу:

Дараах хэлбэртэй томъёо: a1, A2,..., An нь үл нийцэх үйл явдал, f.v-ийн хэрэглээний ерөнхий схем. ж.: хэрэв В үйл явдал өөр хэлбэрээр тохиолдож болно Туршилтын өмнө мэдэгдэж байсан P(A1), ... магадлал бүхий A1, A2, ..., An n таамаглалыг хийсэн нөхцөл. Геологийн нэвтэрхий толь бичиг

Тодорхой таамаглалын таамаглалаар энэ үйл явдлын нөхцөлт магадлал, түүнчлэн эдгээр таамаглалуудын магадлалаар дамжуулан сонирхолтой үйл явдлын магадлалыг тооцоолох боломжийг танд олгоно. Томъёо Магадлалын орон зайг өгье, бүтэн бүлгийг хосоор нь... ... Википедиа

Тодорхой таамаглалын таамаглалаар энэ үйл явдлын нөхцөлт магадлал, түүнчлэн эдгээр таамаглалуудын магадлалаар дамжуулан сонирхолтой үйл явдлын магадлалыг тооцоолох боломжийг танд олгоно. Томъёо Магадлалын орон зайг өгье, үйл явдлын бүрэн бүлэгт ... ... Википедиа

- (эсвэл Бэйсийн томьёо) нь магадлалын онолын гол теоремуудын нэг бөгөөд зөвхөн шууд бус нотлох баримт (өгөгдөл) байгаа үед ямар нэгэн үйл явдал (таамаглал) болсон байх магадлалыг тодорхойлох боломжийг олгодог бөгөөд энэ нь буруу байж болох юм... Википедиа

Байесийн теорем нь ажиглалтын үндсэн дээр үйл явдлын зарим хэсэгчилсэн мэдээлэл л мэдэгдэж байгаа нөхцөлд тохиолдох үйл явдлын магадлалыг тодорхойлдог элементар магадлалын онолын үндсэн теоремуудын нэг юм. Байесийн томъёог ашиглан та... ... Википедиа

Бэйс, Томас Томас Бэйс Хүндэтгэлтэн Томас Байес Төрсөн огноо: 1702 (1702) Төрсөн газар ... Википедиа

Томас Бэйс Хүндэтгэлтэн Томас Байес Төрсөн огноо: 1702 Төрсөн газар: Лондон ... Википедиа

Байесийн дүгнэлт нь нотлох баримтыг хүлээн авах үед таамаглалын үнэнийг магадлалын тооцооллыг боловсронгуй болгоход Байесийн томъёог ашигладаг статистик дүгнэлтийн аргуудын нэг юм. Bayesian update-ийг ашиглах нь ялангуяа... ... Википедиа-д чухал ач холбогдолтой

Энэ нийтлэлийг сайжруулах нь зүйтэй болов уу?: Бичсэн зүйлийг баталгаажуулах эрх бүхий эх сурвалжийн зүүлт тайлбарын холбоосыг олж, цэгцлээрэй. Зүүлт тайлбар нэмсний дараа эх сурвалжийн талаар илүү нарийвчлалтай зааж өгнө үү. Пере... Википедиа

Хоригдлууд хувиа хичээсэн ашиг сонирхлоо дагаж бие биенээсээ урвах уу, эсвэл чимээгүй байж, нийт ялыг багасгах уу? Хоригдлуудын асуудал

Номууд

• Бодлого дахь магадлалын онол, математик статистик: 360 гаруй бодлого, дасгал, Борзых Д.. Санал болгож буй гарын авлагад янз бүрийн түвшний нарийн төвөгтэй асуудлууд багтсан болно. Гэсэн хэдий ч гол анхаарал нь дунд зэргийн нарийн төвөгтэй ажлуудад чиглэгддэг. Энэ нь оюутнуудыг...

Нийт магадлалын томьёог томъёолж, батал. Түүний хэрэглээний жишээг өг.

Хэрэв H 1, H 2, ..., H n үйл явдлууд нь хосоороо үл нийцэх бөгөөд эдгээр үзэгдлүүдийн ядаж нэг нь туршилт бүрийн явцад заавал тохиолдвол аливаа А үйл явдлын хувьд дараахь тэгшитгэлийг хангана.

P(A)= P H1 (A)P(H 1)+ P H2 (A)P(H 2)+…+ P Hn (A)P(H n) – нийт магадлалын томъёо. Энэ тохиолдолд H 1, H 2, …, H n-ийг таамаглал гэж нэрлэдэг.

Нотолгоо:Үйл явдал А нь сонголтуудад хуваагдана: AH 1, AH 2, ..., AH n. (A нь H 1 гэх мэтийн хамт ирдэг) Өөрөөр хэлбэл, бидэнд A = AH 1 + AH 2 +…+ AH n байна. H 1 , H 2 , …, H n нь хосоороо үл нийцдэг тул AH 1 , AH 2 , …, AH n үйл явдлууд бас үл нийцдэг. Нэмэх дүрмийг ашигласнаар бид дараахыг олно: P(A)= P(AH 1)+ P(AH 2)+…+ P(AH n). Баруун талд байгаа P(AH i) нэр томъёо бүрийг P Hi (A)P(H i) бүтээгдэхүүнээр орлуулснаар бид шаардлагатай тэгш байдлыг олж авна.

Жишээ:

Бидэнд хоёр багц хэсэг байгаа гэж бодъё. Эхний багцын хэсэг нь стандарт байх магадлал 0.8, хоёр дахь нь 0.9 байна. Санамсаргүй байдлаар авсан хэсэг нь стандарт байх магадлалыг олъё.

P(A) = 0.5*0.8 + 0.5*0.9 = 0.85.

Байесийн томьёог томъёолж, нотлох. Түүний хэрэглээний жишээг өг.

Бэйсийн томъёо:

Энэ нь А үйл явдал тодорхой болсон тестийн үр дүнгийн дараа таамаглалын магадлалыг дахин тооцоолох боломжийг танд олгоно.

Нотолгоо:Бүтэн бүлгийг бүрдүүлсэн H 1 , H 2 , …, H n үл нийцэх үйл явдлуудын аль нэг нь тохиолдсон тохиолдолд А үйл явдал тохиолдох болтугай. Эдгээр үйл явдлуудын аль нь болох нь урьдаас тодорхойгүй тул тэдгээрийг таамаглал гэж нэрлэдэг.

А үйл явдал тохиолдох магадлалыг нийт магадлалын томъёогоор тодорхойлно.

P(A)= P H1 (A)P(H 1)+ P H2 (A)P(H 2)+…+ P Hn (A)P(H n) (1)

Туршилт явагдсан ба үүний үр дүнд А үйл явдал үүссэн гэж үзье.А үйл явдал аль хэдийн болсон тул таамаглалуудын магадлал хэрхэн өөрчлөгдсөнийг тодорхойлъё. Өөрөөр хэлбэл, нөхцөлт магадлалыг хайх болно

P A (H 1), P A (H 2), ..., P A (H n).

Үржүүлэх теоремоор бид:

P(AH i) = P(A) P A (H i) = P(H i)P Hi (A)

Энд (1) томъёоны дагуу P(A)-г орлуулъя, бид олж авна

Жишээ:

Гурван ижил төстэй хайрцаг байна. Эхний хайрцагт n=12 цагаан бөмбөлөг, хоёрдугаарт m=4 цагаан, n-m=8 хар бөмбөлөг, гуравдугаарт n=12 хар бөмбөг байна. Санамсаргүй байдлаар сонгосон хайрцагнаас цагаан бөмбөг авдаг. Бөмбөгийг хоёр дахь хайрцгаас сугалах P магадлалыг ол.

Шийдэл.

4) Магадлалын томъёог гаргакцувралд амжилтnБернулли схемийн дагуу туршилтууд.

Энэ нь үйлдвэрлэсэн тохиолдолд хэргийг авч үзье nижил, бие даасан туршилтууд тус бүр нь зөвхөн 2 үр дүнтэй байдаг ( A;). Тэдгээр. зарим туршлага давтагддаг nудаа, туршилт бүрт зарим үйл явдал Амагадлалаар гарч ирж болно P(A)=qэсвэл магадлалаар харагдахгүй байна P()=q-1=p .

Туршилтын цуврал бүрийн анхан шатны үйл явдлын орон зай нь цэгүүд эсвэл тэмдэгтүүдийн дарааллыг агуулдаг АМөн . Ийм магадлалын орон зайг Бернулли схем гэж нэрлэдэг. Даалгавар бол тухайн зүйлийг баталгаажуулах явдал юм кмагадлалыг ол n-туршилтын үйл явдлын олон давталт Аирнэ кнэг удаа.

Илүү тодорхой болгохын тулд үйл явдлын тохиолдол бүр дээр санал нэгдээрэй Аамжилт, дэвшилгүй гэж үзэх А -бүтэлгүйтэл гэх мэт. Бидний зорилго бол магадлалыг олох явдал юм nяг туршилтууд камжилтанд хүрэх болно; Энэ үйл явдлыг түр хугацаагаар гэж тэмдэглэе Б.

Үйл явдал INүйл явдлын сонголтуудын цувралын нийлбэр байдлаар толилуулж байна IN.Тодорхой сонголтыг тэмдэглэхийн тулд та амжилттай дууссан туршилтуудын тоог зааж өгөх хэрэгтэй. Жишээлбэл, боломжит хувилбаруудын нэг нь юм

. Бүх хувилбарын тоо нь тодорхой тэнцүү бөгөөд туршилтуудын бие даасан байдлаас шалтгаалан хувилбар бүрийн магадлал нь тэнцүү байна. Тиймээс үйл явдлын магадлал INтэнцүү . Үүссэн илэрхийллийн хамаарлыг онцлон тэмдэглэх nТэгээд к,гэж тэмдэглэе . Тэгэхээр, .

5) Лапласын интеграл ойролцоо томъёог ашиглан А үзэгдлийн харьцангуй давтамжийн хазайлтыг нэг туршилтаар А тохиолдох магадлал p-ээс тооцоолох томьёог гарга.

Өгөгдсөн e>0-ийн хувьд n ба p-ийн өгөгдсөн утгууд бүхий Бернулли схемийн нөхцөлд бид үйл явдлын магадлалыг тооцдог бөгөөд k нь n туршилтын амжилтын тоо юм. Энэ тэгш бус байдал нь |k-np|£en-тэй тэнцүү, i.e. -en £ k-np £ en эсвэл np-en £ k £ np+en. Тиймээс бид k 1 £ k £ k 2 үйл явдлын магадлалын тооцоог олж авах тухай ярьж байна, k 1 = np-en, k 2 = np+en. Лапластын интеграл ойролцоо томъёог ашигласнаар бид дараахь зүйлийг олж авна: P( » Лапласын функцийн сондгой байдлыг харгалзан бид P( » 2Ф) ойролцоо тэгш байдлыг олж авна.

Анхаарна уу : учир нь n=1 нөхцөлөөр n-ийн оронд нэгийг орлуулж эцсийн хариултыг авна.

6) Болъё X- зөвхөн сөрөг бус утгыг авдаг, математикийн хүлээлттэй салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүн м. Үүнийг нотол П(X≥ 4) ≤ м/ 4 .

m= (1-р гишүүн эерэг байх тул хасвал бага байх болно) ³ (солих а 4 гэхэд энэ нь зөвхөн бага байх болно) ³ = =4× П(X³4). Эндээс П(X≥ 4) ≤ м/ 4 .

(4-ийн оронд ямар ч тоо байж болно).

7) Хэрэв гэдгийг нотлох XТэгээд Юнь хязгаарлагдмал багц утгыг авдаг бие даасан дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд юм M(XY)=M(X)M(Y)

x 1	x 2	…
х 1	p2	…

дуудсан дугаар М(XY)= x 1 p 1 + x 2 p 2 + …

Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүн XТэгээд Юбие даасан байвал тэдгээрийн бүтээгдэхүүний математик хүлээлт нь тэдний математик хүлээлтийн үржвэртэй тэнцүү байна (математик хүлээлтийг үржүүлэх теорем).

Нотолгоо:Боломжит утгууд Xгэж тэмдэглэе x 1 , x 2, …, боломжит утгууд Ө - ө 1, ө 2, …А p ij =P(X=x i , Y=y j). XY M(XY)=Хэмжигдэхүүний бие даасан байдлаас шалтгаалан XТэгээд Юбидэнд байгаа: P(X= x i , Y=y j)= P(X=x i) P(Y=y j).Томилогдсон P(X=x i)=r i , P(Y=y j)=s j, бид энэ тэгшитгэлийг хэлбэрээр дахин бичнэ p ij =r i s j

Тиймээс, М(XY)= =. Үүссэн тэгш байдлыг хувиргаснаар бид дараахь зүйлийг олж авна. M(XY)=()() = M(X)M(Y), Q.E.D.

8) Хэрэв гэдгийг нотлох XТэгээд Юнь хязгаарлагдмал багц утгыг авдаг салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд юм М(X+Ю) = М(X) +М(Ю).

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуультай математикийн хүлээлт

x 1	x 2	…
х 1	p2	…

дуудсан дугаар М(XY)= x 1 p 1 + x 2 p 2 + …

Хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн математик хүлээлт нь нэр томъёоны математик хүлээлтийн нийлбэртэй тэнцүү байна: M(X+Y)= M(X)+M(Y).

Нотолгоо:Боломжит утгууд Xгэж тэмдэглэе x 1 , x 2, …, боломжит утгууд Ө - ө 1, ө 2, …А p ij =P(X=x i , Y=y j).Хэмжээний тархалтын хууль X+Yхаргалзах хүснэгтэд илэрхийлнэ. M(X+Y)= .Энэ томъёог дараах байдлаар дахин бичиж болно. M(X+Y)= .Баруун талын эхний нийлбэрийг . Илэрхийлэл нь аливаа үйл явдал тохиолдох магадлал (X=x i, Y=y 1), (X=x i, Y=y 2), ... Иймд энэ илэрхийлэл P(X=x i) -тэй тэнцүү байна. . Эндээс . Үүний нэгэн адил, . Үүний үр дүнд бидэнд: M(X+Y)= M(X)+M(Y) нь нотлогдох шаардлагатай болсон.

9) Болъё X– параметр бүхий бином тархалтын хуулийн дагуу тархсан дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн nТэгээд Р. Үүнийг нотол M(X)=nр, D(X)=nр(1-р).

Үүнийг үйлдвэрлэе nбие даасан туршилтууд, тус бүр нь А тохиолдол бүрт магадлалаар тохиолдож болно Р, тэгэхээр эсрэг үйл явдлын магадлал Ā тэнцүү q=1-х. Дараахь зүйлийг авч үзье. хэмжээ X- үйл явдлын тохиолдлын тоо АВ nтуршилтууд. Туршилт бүрийн хувьд X-ийг А үйл явдлын үзүүлэлтүүдийн нийлбэр гэж төсөөлье. X=X 1 +X 2 +…+X n. Одоо үүнийг баталъя M(X i)=p, D(X i)=np. Үүнийг хийхийн тулд хуваарилалтын хуулийг авч үзье sl. тоо хэмжээ, энэ нь дараах байдалтай байна.

X
Р	Р	q

Энэ нь ойлгомжтой M(X)=p, санамсаргүй хэмжигдэхүүн X 2 нь ижил тархалтын хуультай тул D(X)=M(X 2)-M 2 (X)=р-р 2 =р(1-р)=рq. Тиймээс, M(X i)=p, D(Х i)=pq. Математикийн хүлээлтийг нэмэх теоремын дагуу M(X)=M(X 1)+..+M(X n)=nр.Санамсаргүй хувьсагчаас хойш Шибие даасан байна, дараа нь хэлбэлзэл нь мөн нэмж: D(X)=D(X 1)+…+D(X n)=npq=np(1-р).

10) Болъё X– λ параметртэй Пуассоны хуулийн дагуу тархсан дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн. Үүнийг нотол М(X) = λ .

Пуассоны хуулийг дараах хүснэгтээр өгөв.

Эндээс бидэнд:

Ийнхүү Пуассоны тархалтыг тодорхойлдог λ параметр нь X утгын математикийн хүлээлтээс өөр зүйл биш юм.

11) X нь p параметртэй геометрийн хуулийн дагуу тархсан дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн байя. M (X) = гэдгийг батал.

Геометрийн тархалтын хууль нь 1-р амжилттай болсон А үйл явдал хүртэл Бернулли туршилтуудын дараалалтай холбоотой. Нэг туршилтанд А үйл явдал тохиолдох магадлал нь p, эсрэг үйл явдал q = 1-p. Х санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль - туршилтын тоо нь дараахь хэлбэртэй байна.

X			…	n	…
Р	Р	pq	…	pq n-1	…

Хаалтанд бичсэн цувааг геометр прогрессийн гишүүнээр ялгах замаар олж авна

Тиймээс, .

12) X ба Ү санамсаргүй хэмжигдэхүүний корреляцийн коэффициент нөхцөлийг хангаж байгааг батал.

Тодорхойлолт:Хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүний корреляцийн коэффициент нь тэдгээрийн ковариацыг эдгээр хувьсагчдын стандарт хазайлтын үржвэрт харьцуулсан харьцаа юм: . .

Нотолгоо: Z = санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг авч үзье. Түүний дисперсийг тооцоолъё. Зүүн тал нь сөрөг биш тул баруун тал нь сөрөг биш юм. Иймд , |ρ|≤1.

13) Нягттай тасралтгүй тархалттай тохиолдолд дисперсийг хэрхэн тооцдог вэ е(x)? Үүнийг санамсаргүй хэмжигдэхүүнээр батал Xнягтралтай тархалт Д(X) байхгүй, математикийн хүлээлт М(X) байдаг.

Нягтын функц f(x) ба математикийн хүлээлт m = M(X) бүхий абсолют тасралтгүй X санамсаргүй хэмжигдэхүүний диссерцийг дискрет хувьсагчийн адил тэгшитгэлээр тодорхойлно.

.

Абсолют тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн X интервал дээр төвлөрч байгаа тохиолдолд,

∞ - интеграл нь хуваагддаг тул дисперс байхгүй.

14) Тархалтын нягтын функцтэй хэвийн санамсаргүй хэмжигдэхүүн Х-ийн хувьд гэдгийг батал математикийн хүлээлт M(X) = μ.

μ нь математикийн хүлээлт гэдгийг баталцгаая.

Тасралтгүй эргэлтийн математик хүлээлтийг тодорхойлохын тулд,

Шинэ хувьсагчийг танилцуулъя . Эндээс. Интеграцийн шинэ хязгаар нь хуучинтай тэнцүү байгааг харгалзан бид олж авна

Интеграл функцийн сондгой байдлаас шалтгаалан эхний гишүүн нь тэгтэй тэнцүү байна. Нөхцөлүүдийн хоёр дахь нь тэнцүү байна μ (Пуассоны интеграл ).

Тэгэхээр, M(X)=μ, өөрөөр хэлбэл хэвийн тархалтын математик хүлээлт нь параметртэй тэнцүү байна μ.

15) Тархалтын нягтын функцтэй хэвийн санамсаргүй хэмжигдэхүүн Х-ийн хувьд гэдгийг батал диспресси D(X) = σ 2 .

Томъёо нь тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний хэвийн магадлалын тархалтын нягтыг тодорхойлдог.

Энэ нь хэвийн тархалтын стандарт хазайлт гэдгийг баталцгаая. Шинэ хувьсагчийг танилцуулъя z=(x-μ)/ .Эндээс . Интеграцийн шинэ хязгаар нь хуучинтай тэнцүү байгааг харгалзан бид хэсэг хэсгээр нь нэгтгэж, u=z, бид олох Иймд, .Тиймээс, хэвийн тархалтын стандарт хазайлт нь параметртэй тэнцүү байна.

16) Параметртэй экспоненциал хуулийн дагуу тархсан тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний хувьд математикийн хүлээлт нь .

Зарим эерэг параметрийн хувьд λ>0 нягтын функц дараах хэлбэртэй байвал зөвхөн сөрөг бус утгыг авдаг санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь экспоненциал хуулийн дагуу тархсан гэж нэрлэдэг.

Математикийн хүлээлтийг олохын тулд бид томъёог ашигладаг