cos-тэй тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ. Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үндсэн аргууд
"А авах" видео хичээл нь математикийн улсын нэгдсэн шалгалтыг 60-65 оноотой амжилттай өгөхөд шаардлагатай бүх сэдвүүдийг багтаасан болно. 1-13-р бүх асуудлыг бүрэн гүйцэд Профайл Улсын нэгдсэн шалгалтматематик. Мөн математикийн улсын нэгдсэн шалгалтыг өгөхөд тохиромжтой. Улсын нэгдсэн шалгалтыг 90-100 оноотой өгөхийг хүсвэл 1-р хэсгийг 30 минутад алдаагүй шийдэх хэрэгтэй!
10-11-р анги, багш нарт зориулсан Улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлтгэх курс. Математикийн улсын нэгдсэн шалгалтын 1-р хэсгийг (эхний 12 бодлого) болон 13-р бодлого (тригонометр) шийдвэрлэхэд шаардлагатай бүх зүйл. Энэ бол Улсын нэгдсэн шалгалтын 70-аас дээш оноо бөгөөд 100 оноотой оюутан ч, хүмүүнлэгийн ухааны оюутан ч тэдэнгүйгээр хийж чадахгүй.
Шаардлагатай бүх онол. Улсын нэгдсэн шалгалтын хурдан шийдэл, бэрхшээл, нууц. FIPI Даалгаврын Банкны 1-р хэсгийн одоогийн бүх ажлуудад дүн шинжилгээ хийсэн. Хичээл нь 2018 оны Улсын нэгдсэн шалгалтын шаардлагыг бүрэн хангасан.
Хичээл нь тус бүр 2.5 цагийн 5 том сэдэвтэй. Сэдэв бүрийг эхнээс нь энгийн бөгөөд ойлгомжтойгоор өгсөн болно.
Улсын нэгдсэн шалгалтын олон зуун даалгавар. Үгийн бодлого ба магадлалын онол. Асуудлыг шийдвэрлэх энгийн бөгөөд санахад хялбар алгоритмууд. Геометр. Улсын нэгдсэн шалгалтын бүх төрлийн даалгаврын онол, лавлах материал, дүн шинжилгээ. Стереометр. Нарийн төвөгтэй шийдэл, ашигтай хууран мэхлэлт, орон зайн төсөөллийг хөгжүүлэх. Тригонометрийг эхнээс нь асуудал хүртэл 13. Шатаж байхын оронд ойлгох. Нарийн төвөгтэй ойлголтуудын тодорхой тайлбар. Алгебр. Үндэс, хүч ба логарифм, функц ба дериватив. Улсын нэгдсэн шалгалтын 2-р хэсгийн нарийн төвөгтэй асуудлыг шийдвэрлэх үндэс.
Таны хувийн нууцыг хадгалах нь бидний хувьд чухал юм. Энэ шалтгааны улмаас бид таны мэдээллийг хэрхэн ашиглах, хадгалах талаар тодорхойлсон Нууцлалын бодлогыг боловсруулсан. Манай нууцлалын практикийг хянаж үзээд асуух зүйл байвал бидэнд мэдэгдэнэ үү.
Хувийн мэдээллийг цуглуулах, ашиглах
Хувийн мэдээлэл гэдэг нь танихад ашиглаж болох өгөгдлийг хэлнэ тодорхой хүнэсвэл түүнтэй холбоо бариарай.
Та бидэнтэй холбоо барихдаа хүссэн үедээ хувийн мэдээллээ өгөхийг шаардаж болно.
Бидний цуглуулж болох хувийн мэдээллийн төрлүүд болон эдгээр мэдээллийг хэрхэн ашиглаж болох зарим жишээг доор харуулав.
Бид ямар хувийн мэдээллийг цуглуулдаг вэ:
- Таныг сайт дээр өргөдөл гаргах үед бид таны нэр, утасны дугаар, имэйл хаяг гэх мэт янз бүрийн мэдээллийг цуглуулж болно.
Бид таны хувийн мэдээллийг хэрхэн ашигладаг вэ:
- Бидний цуглуулсан хувийн мэдээлэл нь өвөрмөц санал, урамшуулал болон бусад арга хэмжээ, удахгүй болох арга хэмжээний талаар тантай холбогдох боломжийг олгодог.
- Бид үе үе таны хувийн мэдээллийг ашиглан чухал мэдэгдэл, харилцаа холбоог илгээдэг.
- Мөн бид үзүүлж буй үйлчилгээгээ сайжруулах, танд үйлчилгээнийхээ талаар зөвлөмж өгөх зорилгоор аудит хийх, мэдээллийн дүн шинжилгээ хийх, төрөл бүрийн судалгаа хийх зэрэг хувийн мэдээллийг дотоод зорилгоор ашиглаж болно.
- Хэрэв та шагналын сугалаа, уралдаан эсвэл үүнтэй төстэй сурталчилгаанд оролцсон бол бид таны өгсөн мэдээллийг ийм хөтөлбөрийг удирдахад ашиглаж болно.
Гуравдагч этгээдэд мэдээллийг задруулах
Бид танаас хүлээн авсан мэдээллийг гуравдагч этгээдэд задруулахгүй.
Үл хамаарах зүйл:
- Шаардлагатай бол - хууль тогтоомжийн дагуу, шүүхийн журмаар, шүүхийн журмаар, ба/эсвэл ОХУ-ын нутаг дэвсгэр дэх төрийн байгууллагуудын хүсэлт, хүсэлтийн үндсэн дээр хувийн мэдээллээ задруулах. Аюулгүй байдал, хууль сахиулах болон бусад олон нийтийн ач холбогдолтой зорилгоор ийм мэдээлэл шаардлагатай эсвэл тохиромжтой гэж үзвэл бид таны тухай мэдээллийг задруулах боломжтой.
- Дахин зохион байгуулалтад орох, нэгдэх, худалдах тохиолдолд бид цуглуулсан хувийн мэдээллээ холбогдох өв залгамжлагч гуравдагч этгээдэд шилжүүлж болно.
Хувийн мэдээллийг хамгаалах
Бид таны хувийн мэдээллийг алдах, хулгайлах, зүй бусаар ашиглах, зөвшөөрөлгүй нэвтрэх, задруулах, өөрчлөх, устгахаас хамгаалахын тулд захиргааны, техникийн болон биет байдлын зэрэг урьдчилан сэргийлэх арга хэмжээг авдаг.
Компанийн түвшинд таны хувийн нууцыг хүндэтгэх
Таны хувийн мэдээллийг найдвартай байлгахын тулд бид нууцлал, аюулгүй байдлын стандартыг ажилтнууддаа мэдээлж, нууцлалын практикийг чанд мөрддөг.
Хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг дүрмээр бол томъёогоор шийддэг. Хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлүүд нь:
sinx = a
cosx = a
tgx = a
ctgx = a
x нь олох өнцөг,
a нь дурын тоо юм.
Эдгээр хамгийн энгийн тэгшитгэлийн шийдлүүдийг нэн даруй бичиж болох томьёо энд байна.
Синусын хувьд:
Косинусын хувьд:
x = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z
Шүргэгчийн хувьд:
x = arctan a + π n, n ∈ Z
Котангентын хувьд:
x = arcctg a + π n, n ∈ Z
Үнэндээ энэ бол хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх онолын хэсэг юм. Түүнээс гадна бүх зүйл!) Юу ч биш. Гэсэн хэдий ч, энэ сэдвийн алдааны тоо зүгээр л графикаас гадуур байна. Ялангуяа жишээ нь загвараас бага зэрэг хазайсан бол. Яагаад?
Тийм ээ, олон хүмүүс эдгээр захидлыг бичдэг учраас Тэдний утгыг огт ойлгоогүй!Тэр ямар нэг зүйл тохиолдох вий гэж болгоомжтой бичдэг ...) Үүнийг цэгцлэх хэрэгтэй. Хүмүүст зориулсан тригонометр, эсвэл тригонометрийн хувьд хүмүүс!?)
Үүнийг олж мэдье?
Нэг өнцөг нь тэнцүү байх болно arccos a, хоёрдугаарт: -arccos a.
Мөн энэ нь үргэлж ийм байдлаар ажиллах болно.Дурын хувьд А.
Хэрэв та надад итгэхгүй байгаа бол хулганаа зурган дээр гүйлгээрэй, эсвэл таблет дээрх зурган дээр хүрнэ үү.) Би дугаарыг өөрчилсөн. А сөрөг зүйлд. Ямар ч байсан бид нэг булантай arccos a, хоёрдугаарт: -arccos a.
Тиймээс хариултыг үргэлж хоёр цуврал үндэс болгон бичиж болно.
x 1 = arccos a + 2π n, n ∈ Z
x 2 = - arccos a + 2π n, n ∈ Z
Эдгээр хоёр цувралыг нэг цуврал болгон нэгтгэцгээе:
x= ± arccos a + 2π n, n ∈ Z
Тэгээд л болоо. Бид косинустай хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэх ерөнхий томъёог олж авлаа.
Хэрэв та энэ нь ямар нэгэн шинжлэх ухааны мэргэн ухаан биш гэдгийг ойлговол зүгээр л хоёр цуврал хариултын товчилсон хувилбар,Та мөн "C" даалгавруудыг гүйцэтгэх боломжтой болно. Тэгш бус байдлаар, өгөгдсөн интервалаас үндсийг сонгох замаар... Тэнд нэмэх/хасах хариулт ажиллахгүй байна. Гэхдээ хэрэв та хариултыг ажил хэрэгч байдлаар авч, хоёр тусдаа хариулт болгон задлах юм бол бүх зүйл шийдэгдэх болно.) Үнэндээ бид үүнийг судалж байгаа юм. Юу, яаж, хаана.
Хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлд
sinx = a
Бид бас хоёр цуврал үндэс авдаг. Үргэлж. Мөн энэ хоёр цувралыг бас бичиж болно нэг мөрөнд. Зөвхөн энэ мөр нь илүү төвөгтэй байх болно:
x = (-1) n arcsin a + π n, n ∈ Z
Гэхдээ мөн чанар нь хэвээрээ байна. Математикчид язгуур цувааны хоёр бичлэгийн оронд нэгийг хийх томьёог зохиожээ. Тэгээд л болоо!
Математикчдыг шалгацгаая? Та хэзээ ч мэдэхгүй ...)
Өмнөх хичээлээр синустай тригонометрийн тэгшитгэлийн шийдлийг (ямар ч томьёогүй) дэлгэрэнгүй авч үзсэн.
Хариулт нь хоёр цуврал үндэстэй болсон:
x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z
Хэрэв бид ижил тэгшитгэлийг томъёогоор шийдвэл бид дараах хариултыг авна.
x = (-1) n арксин 0.5 + π n, n ∈ Z
Үнэндээ энэ бол дуусаагүй хариулт юм.) Оюутан үүнийг мэдэх ёстой arcsin 0.5 = π /6.Бүрэн хариулт нь:
x = (-1)n π /6+ π n, n ∈ Z
Эндээс үүсдэг сонирхол Асуу. -р дамжуулан хариулах x 1; x 2 (энэ бол зөв хариулт!) болон ганцаардлаар дамжуулан X (мөн энэ бол зөв хариулт!) - тэд ижил зүйл үү, үгүй юу? Бид одоо олж мэдэх болно.)
Бид хариултыг гэж орлоно x 1 үнэт зүйлс n =0; 1; 2; гэх мэт, бид тоолж, бид хэд хэдэн үндэс авдаг:
x 1 = π/6; 13π/6; 25π/6 гэх мэт.
-ийн хариуд ижил орлуулалтаар x 2 , бид авах:
x 2 = 5π/6; 17π/6; 29π/6 гэх мэт.
Одоо утгуудыг орлуулж үзье n (0; 1; 2; 3; 4...) дангийн ерөнхий томъёонд оруулна X . Өөрөөр хэлбэл, бид хасах нэгийг тэг хүч рүү, дараа нь эхний, хоёр дахь гэх мэт рүү өсгөнө. Мэдээжийн хэрэг, бид хоёр дахь гишүүнд 0-ийг орлуулна; 1; 2 3; 4 гэх мэт. Тэгээд бид тоолдог. Бид цувралыг авдаг:
x = π/6; 5π/6; 13π/6; 17π/6; 25π/6 гэх мэт.
Энэ бол таны харж чадах зүйл юм.) Ерөнхий томъёобидэнд өгдөг яг ижил үр дүнхоёр хариулт нь тус тусад нь байдаг. Зүгээр л бүгдийг нэг дор, дарааллаар нь. Математикчид хууртаагүй.)
Тангенс ба котангенс бүхий тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх томъёог мөн шалгаж болно. Гэхдээ бид тэгэхгүй.) Тэд аль хэдийн энгийн.
Би энэ бүх орлуулалт, баталгаажуулалтыг тусгайлан бичсэн. Энд нэг энгийн зүйлийг ойлгох нь чухал: энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэх томьёо байдаг. хариултуудын товч тойм.Үүнийг товчлохын тулд косинусын уусмалд нэмэх/хасах, синусын уусмалд (-1) n-ийг оруулах шаардлагатай болсон.
Эдгээр оруулга нь энгийн тэгшитгэлийн хариултыг бичихэд л шаардлагатай даалгавруудад ямар ч байдлаар саад болохгүй. Гэхдээ хэрэв та тэгш бус байдлыг шийдэх шаардлагатай бол эсвэл хариултын дагуу ямар нэгэн зүйл хийх шаардлагатай бол: интервал дээр үндэс сонгох, ODZ-ийг шалгах гэх мэт эдгээр оруулгууд нь хүнийг амархан тайвшруулж болно.
Тэгэхээр би яах ёстой вэ? Тийм ээ, хариултыг хоёр цувралд бичнэ үү, эсвэл тригонометрийн тойрог ашиглан тэгшитгэл/тэгш бусыг шийднэ үү. Дараа нь эдгээр оруулгууд алга болж, амьдрал илүү хялбар болно.)
Бид нэгтгэн дүгнэж болно.
Хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд бэлэн хариултын томъёо байдаг. Дөрвөн ширхэг. Тэд тэгшитгэлийн шийдлийг шууд бичихэд тохиромжтой. Жишээлбэл, та тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй:
sinx = 0.3
Амархан: x = (-1) n арксин 0.3 + π n, n ∈ Z
cosx = 0.2
Асуудалгүй: x = ± arccos 0.2 + 2π n, n ∈ Z
tgx = 1.2
Амархан: x = arctan 1,2 + π n, n ∈ Z
ctgx = 3.7
Нэг үлдсэн: x= arcctg3,7 + π n, n ∈ Z
cos x = 1.8
Хэрэв та мэдлэгээр гялалзаж байгаа бол тэр даруй хариултаа бичээрэй.
x= ± arccos 1.8 + 2π n, n ∈ Z
тэгвэл чи аль хэдийн гялалзаж байна, энэ... тэр... шалбаагнаас.) Зөв хариулт: шийдэл байхгүй. Яагаад ойлгохгүй байна уу? Нуман косинус гэж юу болохыг уншина уу. Нэмж дурдахад, хэрэв анхны тэгшитгэлийн баруун талд синус, косинус, тангенс, котангенсийн хүснэгтийн утгууд байвал - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 гэх мэт. - нуман хаалгаар дамжуулан хариулт нь дуусаагүй болно. Аркуудыг радиан болгон хувиргах ёстой.
Хэрэв та тэгш бус байдалтай тулгарвал лайк
тэгээд хариулт нь:
x πn, n ∈ Z
ховор утгагүй зүйл байдаг, тиймээ ...) Энд та тригонометрийн тойрог ашиглан шийдэх хэрэгтэй. Бид холбогдох сэдвээр юу хийх вэ.
Эдгээр мөрүүдийг баатарлаг байдлаар уншсан хүмүүст зориулав. Би таны асар их хүчин чармайлтыг үнэлэхгүй байхын аргагүй юм. Танд зориулсан урамшуулал.)
Бонус:
Байлдааны түгшүүртэй нөхцөл байдалд томьёо бичихдээ туршлагатай тэнэгүүд ч хаана байхаа мэдэхгүй эргэлздэг πn, Тэгээд хаана 2π n. Энд танд энгийн нэгэн арга байна. онд хүн бүртомъёонууд үнэ цэнэтэй πn. Нуман косинус бүхий цорын ганц томьёог эс тооцвол. Тэнд зогсож байна 2πn. Хоёр penen. Түлхүүр үг - хоёр.Үүнтэй ижил томъёонд байдаг хоёрэхэнд гарын үсэг зурна. Нэмэх ба хасах. Энд тэнд - хоёр.
Хэрэв та бичсэн бол хоёрНумын косинусын өмнө тэмдэг тавьснаар төгсгөлд юу болохыг санах нь илүү хялбар болно хоёр penen. Мөн энэ нь эсрэгээрээ тохиолддог. Тухайн хүн тэмдгийг алдах болно ± , төгсгөлд нь хүрдэг, зөв бичдэг хоёрПиен, тэгвэл тэр ухаан орох болно. Цаашид ямар нэг зүйл байна хоёртэмдэг! Хүн эхэндээ эргэж ирээд алдаагаа засна! Үүн шиг.)
Хэрэв танд энэ сайт таалагдаж байвал...
Дашрамд хэлэхэд, би танд зориулж хэд хэдэн сонирхолтой сайт байна.)
Та жишээ шийдвэрлэх дадлага хийж, өөрийнхөө түвшинг олж мэдэх боломжтой. Шуурхай баталгаажуулалт бүхий туршилт. Сурцгаая - сонирхолтой!)
Та функц, деривативтай танилцах боломжтой.
Синус, косинус, тангенс, котангенс гэсэн үндсэн тригонометрийн функцүүдийн хоорондын хамаарлыг өгөв. тригонометрийн томъёо. Тригонометрийн функцүүдийн хооронд маш олон холболт байдаг тул энэ нь тригонометрийн томъёоны элбэг дэлбэг байдлыг тайлбарлаж байна. Зарим томьёо нь ижил өнцгийн тригонометрийн функцуудыг холбодог, бусад нь олон өнцгийн функцуудыг холбодог, бусад нь градусыг багасгах боломжийг олгодог, дөрөвдүгээрт - бүх функцийг хагас өнцгийн тангенсаар илэрхийлэх гэх мэт.
Энэ нийтлэлд бид тригонометрийн ихэнх асуудлыг шийдвэрлэхэд хангалттай бүх үндсэн тригонометрийн томьёог дарааллаар нь жагсаах болно. Цээжлэх, ашиглахад хялбар болгох үүднээс бид тэдгээрийг зориулалтын дагуу бүлэглэж, хүснэгтэд оруулна.
Хуудасны навигаци.
Тригонометрийн үндсэн шинж чанарууд
Тригонометрийн үндсэн шинж чанарууднэг өнцгийн синус, косинус, тангенс, котангенс хоорондын хамаарлыг тодорхойлох. Эдгээр нь синус, косинус, тангенс, котангенсийн тодорхойлолт, мөн нэгж тойргийн тухай ойлголтоос үүдэлтэй. Эдгээр нь нэг тригонометрийн функцийг бусад аль ч хэлбэрээр илэрхийлэх боломжийг олгодог.
Эдгээр тригонометрийн томьёо, тэдгээрийн гарал үүсэл, хэрэглээний жишээнүүдийн дэлгэрэнгүй тайлбарыг нийтлэлээс үзнэ үү.
Бууруулах томъёо
Бууруулах томъёосинус, косинус, тангенс, котангенсийн шинж чанаруудаас дагах, өөрөөр хэлбэл тэдгээр нь үечилсэн шинж чанарыг тусгадаг. тригонометрийн функцууд, тэгш хэмийн шинж чанар, түүнчлэн өгөгдсөн өнцгөөр шилжих шинж чанар. Эдгээр тригонометрийн томъёонууд нь дурын өнцгөөр ажиллахаас тэгээс 90 градусын өнцөгтэй ажиллахад шилжих боломжийг олгодог.
Эдгээр томъёоны үндэслэл, тэдгээрийг цээжлэх мнемоник дүрэм, тэдгээрийн хэрэглээний жишээг нийтлэлээс судалж болно.
Нэмэлт томъёо
Тригонометрийн нэмэх томъёоХоёр өнцгийн нийлбэр эсвэл зөрүүний тригонометрийн функцууд тэдгээр өнцгийн тригонометрийн функцээр хэрхэн илэрхийлэгдэж байгааг харуул. Эдгээр томьёо нь дараах тригонометрийн томьёог гаргах үндэс болдог.
Давхар, гурвалсан гэх мэт томьёо. өнцөг
Давхар, гурвалсан гэх мэт томьёо. өнцөг (тэдгээрийг олон өнцгийн томъёо гэж нэрлэдэг) нь давхар, гурвалсан гэх мэт тригонометрийн функцуудыг хэрхэн харуулдаг. өнцөг () нь нэг өнцгийн тригонометрийн функцээр илэрхийлэгдэнэ. Тэдний гарал үүсэл нь нэмэлт томъёонд суурилдаг.
Илүү нарийвчилсан мэдээллийг нийтлэлийн томъёонд давхар, гурав дахин гэх мэтээр цуглуулсан болно. өнцөг
Хагас өнцгийн томъёо
Хагас өнцгийн томъёоХагас өнцгийн тригонометрийн функцүүд бүхэл өнцгийн косинусаар хэрхэн илэрхийлэгдэж байгааг харуул. Эдгээр тригонометрийн томьёо нь давхар өнцгийн томъёоноос гардаг.
Тэдний дүгнэлт, хэрэглээний жишээг нийтлэлээс олж болно.
Зэрэг бууруулах томъёо
Зэрэг бууруулах тригонометрийн томъёоЭдгээр нь тригонометрийн функцүүдийн байгалийн хүчнээс эхний зэрэгтэй, гэхдээ олон өнцөгт синус ба косинус руу шилжих шилжилтийг хөнгөвчлөх зорилготой юм. Өөрөөр хэлбэл, тэдгээр нь тригонометрийн функцүүдийн хүчийг эхнийх хүртэл багасгах боломжийг олгодог.
Тригонометрийн функцүүдийн нийлбэр ба ялгааны томъёо
Гол зорилго тригонометрийн функцүүдийн нийлбэр ба ялгааны томъёоТригонометрийн илэрхийллийг хялбарчлахад маш хэрэгтэй функцүүдийн бүтээгдэхүүн рүү очих явдал юм. Эдгээр томъёог тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд өргөн ашигладаг, учир нь тэдгээр нь синусын болон косинусын нийлбэр ба зөрүүг хүчин зүйлээр тооцох боломжийг олгодог.
Синус, косинус ба синусын косинусын үржвэрийн томъёо
Тригонометрийн функцүүдийн үржвэрээс нийлбэр эсвэл зөрүү рүү шилжих шилжилтийг синус, косинус ба синусын косинусын үржвэрийн томъёог ашиглан гүйцэтгэнэ.
cleverstudents зохиогчийн эрх
Бүх эрх хуулиар хамгаалагдсан.
Зохиогчийн эрхийн хуулиар хамгаалагдсан. Зохиогчийн эрх эзэмшигчийн урьдчилан бичгээр зөвшөөрөл авалгүйгээр www.site-ын ямар ч хэсгийг, түүний дотор дотоод материал, гадаад төрхийг ямар ч хэлбэрээр хуулбарлахыг хориглоно.
Тригонометрийн тэгшитгэл бол амар сэдэв биш юм. Тэд хэтэрхий олон янз байдаг.) Жишээ нь:
sin 2 x + cos3x = ctg5x
sin(5x+π /4) = ор(2x-π /3)
sinx + cos2x + tg3x = ctg4x
гэх мэт...
Гэхдээ эдгээр (болон бусад бүх) тригонометрийн мангасууд нь нийтлэг бөгөөд заавал байх ёстой хоёр шинж чанартай байдаг. Нэгдүгээрт - та итгэхгүй байх болно - тэгшитгэлд тригонометрийн функцууд байдаг.) Хоёрдугаарт: x-тэй бүх илэрхийлэл олддог. эдгээр ижил функцүүдийн хүрээнд.Зөвхөн тэнд! Хэрэв X хаа нэгтээ гарч ирвэл гадна,Жишээлбэл, sin2x + 3x = 3,Энэ нь аль хэдийн холимог төрлийн тэгшитгэл байх болно. Ийм тэгшитгэлийг шаарддаг хувь хүний хандлага. Бид тэдгээрийг энд авч үзэхгүй.
Бид энэ хичээл дээр бас муу тэгшитгэлийг шийдэхгүй.) Энд бид шийдвэрлэх болно Хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлүүд.Яагаад? Тийм ээ, учир нь шийдэл ямар чтригонометрийн тэгшитгэл нь хоёр үе шатаас бүрдэнэ. Эхний шатанд муу тэгшитгэлийг янз бүрийн хувиргалтаар дамжуулан энгийн тэгшитгэл болгон бууруулдаг. Хоёрдугаарт, энэ хамгийн энгийн тэгшитгэлийг шийддэг. Өөр арга байхгүй.
Тиймээс, хэрэв танд хоёр дахь шатанд асуудал байгаа бол эхний шат нь тийм ч их утгагүй болно.)
Энгийн тригонометрийн тэгшитгэлүүд ямар харагддаг вэ?
sinx = a
cosx = a
tgx = a
ctgx = a
Энд А ямар ч тоог илэрхийлнэ. Ямар ч.
Дашрамд хэлэхэд функц дотор цэвэр X биш байж болно, гэхдээ зарим төрлийн илэрхийлэл, жишээ нь:
cos(3x+π /3) = 1/2
гэх мэт. Энэ нь амьдралыг хүндрүүлдэг боловч тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргад нөлөөлдөггүй.
Тригонометрийн тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ?
Тригонометрийн тэгшитгэлийг хоёр аргаар шийдэж болно. Эхний арга: логик ба тригонометрийн тойрог ашиглах. Бид энэ замыг эндээс харах болно. Хоёрдахь арга - санах ой, томъёог ашиглах - дараагийн хичээл дээр хэлэлцэх болно.
Эхний арга нь ойлгомжтой, найдвартай, мартахад хэцүү.) Энэ нь тригонометрийн тэгшитгэл, тэгш бус байдал, бүх төрлийн төвөгтэй стандарт бус жишээнүүдийг шийдвэрлэхэд тохиромжтой. Логик нь ой санамжаас илүү хүчтэй!)
Тригонометрийн тойрог ашиглан тэгшитгэлийг шийдвэрлэх.
Бид энгийн логик, тригонометрийн тойрог ашиглах чадварыг багтаасан. Та яаж гэдгийг мэдэхгүй байна уу? Гэсэн хэдий ч ... Тригонометрийн хувьд танд хэцүү байх болно ...) Гэхдээ энэ нь хамаагүй. "Тригонометрийн тойрог...... Энэ юу вэ?" гэсэн хичээлүүдийг үзээрэй. болон "Тригонометрийн тойрог дээрх өнцгийг хэмжих". Тэнд бүх зүйл энгийн байдаг. Сурах бичгээс ялгаатай ...)
Өө, чи мэдэж байна уу!? Тэр ч байтугай "Тригонометрийн тойрогтой практик ажил" -ыг эзэмшсэн!? Баяр хүргэе. Энэ сэдэв танд ойр, ойлгомжтой байх болно.) Хамгийн таатай нь тригонометрийн тойрогт таны ямар тэгшитгэлийг шийдэх нь хамаагүй. Синус, косинус, тангенс, котангенс - түүний хувьд бүх зүйл адилхан. Ганцхан шийдлийн зарчим бий.
Тиймээс бид аливаа энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг авдаг. Наад зах нь энэ:
cosx = 0.5
Бид X-г олох хэрэгтэй. Хүний хэлээр ярих юм бол хэрэгтэй косинус нь 0.5 (x) өнцгийг ол.
Бид өмнө нь тойргийг хэрхэн ашиглаж байсан бэ? Бид үүн дээр өнцөг зурсан. градус эсвэл радианаар. Тэгээд тэр даруй харсан Энэ өнцгийн тригонометрийн функцууд. Одоо эсрэгээр нь хийцгээе. 0.5-тай тэнцэх тойрог дээр косинусыг шууд зуръя бид харна булан. Хариултаа бичих л үлдлээ.) Тийм ээ, тийм!
Тойрог зурж, косинусыг 0.5-тай тэнцүү гэж тэмдэглэ. Мэдээжийн хэрэг косинусын тэнхлэг дээр. Үүн шиг:
Одоо энэ косинусын бидэнд өгч буй өнцгийг зуръя. Зурган дээр хулганаа аваач (эсвэл таблет дээрх зурган дээр хүрнэ үү) ба Та нар харж болнояг энэ булан X.
Аль өнцгийн косинус 0.5 вэ?
x = π /3
cos 60°= учир( π /3) = 0,5
Зарим хүмүүс эргэлзэж инээх болно, тийм ээ... Бүх зүйл тодорхой болчихсон байхад тойрог хийх нь зүйтэй болов уу... Мэдээжийн хэрэг, инээж болно ...) Гэхдээ энэ бол алдаатай хариулт юм. Өөрөөр хэлбэл хангалтгүй. Тойрог сонирхогчид энд 0.5 косинусыг өгдөг бусад олон өнцөг байдаг гэдгийг ойлгодог.
Хэрэв та хөдөлж буй талыг эргүүлбэл OA бүрэн эргэлт, А цэг рүү орох болно анхны байрлал. Ижил косинус нь 0.5-тай тэнцүү байна. Тэдгээр. өнцөг өөрчлөгдөнө 360° буюу 2π радианаар, мөн косинус - үгүй.Шинэ өнцөг 60° + 360° = 420° нь мөн бидний тэгшитгэлийн шийдэл байх болно, учир нь
Хязгааргүй олон тооны ийм бүрэн эргэлтүүдийг хийж болно... Мөн эдгээр бүх шинэ өнцөг нь бидний тригонометрийн тэгшитгэлийн шийдэл байх болно. Тэд бүгд хариуд нь ямар нэгэн байдлаар бичих хэрэгтэй. Бүгд.Үгүй бол шийдвэрийг тооцохгүй, тийм ээ...)
Математик үүнийг энгийн бөгөөд дэгжин хийж чадна. Нэг богино хариултаар бичнэ үү хязгааргүй олонлогшийдвэрүүд. Энэ нь бидний тэгшитгэлийн хувьд дараах байдалтай байна.
x = π /3 + 2π n, n ∈ Z
Би үүнийг тайлах болно. Одоо ч бичнэ утга учиртайТэнэг байдлаар нууцлаг үсэг зурахаас илүү тааламжтай, тийм үү?)
π /3 - энэ бол бидэнтэй ижил булан юм харсантойрог дээр ба тодорхойлсонкосинусын хүснэгтийн дагуу.
2π Энэ нь радиан дахь нэг бүрэн эргэлт юм.
n - энэ бол бүрэн гүйцэд тоо, өөрөөр хэлбэл. бүхэлд ньэрг / мин Энэ нь ойлгомжтой n 0, ±1, ±2, ±3.... гэх мэттэй тэнцүү байж болно. Богино оруулгад заасны дагуу:
n ∈ Z
n харьяалагддаг ( ∈ ) бүхэл тооны багц ( З ). Дашрамд хэлэхэд, захидлын оронд n үсэг хэрэглэж болно к, м, т гэх мэт.
Энэ тэмдэглэгээ нь та ямар ч бүхэл тоо авч болно гэсэн үг юм n . Хамгийн багадаа -3, дор хаяж 0, хамгийн багадаа +55. Юу ч хүссэн. Хэрэв та хариултанд энэ тоог орлуулбал тодорхой өнцөг гарч ирэх бөгөөд энэ нь бидний хатуу тэгшитгэлийн шийдэл болох нь гарцаагүй.)
Эсвэл өөрөөр хэлбэл, x = π /3 хязгааргүй олонлогийн цорын ганц үндэс юм. Бусад бүх үндэсийг авахын тулд π /3 () дээр хэдэн ч бүтэн эргэлт нэмэхэд хангалттай. n ) радианаар. Тэдгээр. 2πn радиан.
Бүгд үү? Үгүй Би таашаалыг зориуд уртасгадаг. Илүү сайн санахын тулд.) Бид тэгшитгэлийнхээ хариултуудын зөвхөн хэсгийг л авсан. Би шийдлийн эхний хэсгийг дараах байдлаар бичнэ.
x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z
x 1 - зөвхөн нэг үндэс биш, харин бүхэл бүтэн цуврал үндэс, богино хэлбэрээр бичсэн.
Гэхдээ косинусыг 0.5 өгдөг өнцөгүүд бас байдаг!
Хариултаа бичсэн зураг руугаа буцаж орцгооё. Тэр энд байна:
Зурган дээр хулганаа аваачиж, бид харж байнаөөр өнцөг мөн 0.5 косинусыг өгдөг.Энэ нь юутай тэнцүү гэж та бодож байна вэ? Гурвалжингууд нь адилхан ... Тийм ээ! Энэ нь өнцөгтэй тэнцүү байна X , зөвхөн сөрөг чиглэлд хойшлогдож байна. Энэ бол булан -Х. Гэхдээ бид x-г аль хэдийн тооцоолсон. π /3 эсвэл 60°. Тиймээс бид аюулгүйгээр бичиж болно:
x 2 = - π /3
Мэдээжийн хэрэг, бид бүрэн эргэлтээр олж авсан бүх өнцгийг нэмнэ.
x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z
Энэ бол одоо.) Тригонометрийн тойрог дээр бид харсан(мэдээж хэн ойлгох вэ)) Бүгд 0.5 косинусыг өгдөг өнцөг. Мөн бид эдгээр өнцгүүдийг богино математик хэлбэрээр бичсэн. Хариулт нь хоёр төгсгөлгүй цуврал язгуурыг бий болгосон:
x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z
Энэ бол зөв хариулт юм.
Найдвар, тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх ерөнхий зарчимтойрог ашиглах нь ойлгомжтой. Өгөгдсөн тэгшитгэлээс косинусыг (синус, тангенс, котангенс) тойрог дээр тэмдэглэж, түүнд тохирох өнцгийг зурж, хариултыг бичнэ.Мэдээжийн хэрэг, бид ямар булангуудыг олох хэрэгтэй харсантойрог дээр. Заримдаа энэ нь тийм ч тодорхой биш байдаг. Энд логик хэрэгтэй гэж би хэлсэн.)
Жишээлбэл, өөр тригонометрийн тэгшитгэлийг авч үзье.
0.5 тоо нь тэгшитгэлийн цорын ганц боломжтой тоо биш гэдгийг анхаарна уу!) Үүнийг бичих нь надад үндэс, бутархай гэхээсээ илүү тохиромжтой.
Бид ерөнхий зарчмаар ажилладаг. Бид тойрог зурж, тэмдэглэнэ (мэдээж синус тэнхлэг дээр!) 0.5. Бид энэ синустай тохирох бүх өнцгийг нэг дор зурдаг. Бид энэ зургийг авна:
Эхлээд өнцгийг нь авч үзье X эхний улиралд. Бид синусын хүснэгтийг эргэн санаж, энэ өнцгийн утгыг тодорхойлно. Энэ бол энгийн асуудал:
x = π /6
Бид бүрэн эргэлтийн талаар санаж, цэвэр ухамсартайгаар эхний цуврал хариултуудыг бичнэ үү.
x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
Ажлын тал нь дууссан. Харин одоо бид тодорхойлох хэрэгтэй хоёр дахь булан ...Энэ нь косинусыг ашиглахаас илүү төвөгтэй, тийм ээ... Гэхдээ логик биднийг аварна! Хоёр дахь өнцгийг хэрхэн тодорхойлох вэ x-ээр дамжуулан? Тиймээ хялбар! Зурган дээрх гурвалжин нь адилхан, улаан булан X өнцөгтэй тэнцүү X . Зөвхөн энэ нь сөрөг чиглэлд π өнцгөөс тоологддог. Тийм ч учраас улаан өнгөтэй байна.) Мөн хариултын хувьд эерэг хагас тэнхлэгийн OX-ээс зөв хэмжсэн өнцөг хэрэгтэй, өөрөөр хэлбэл. 0 градусын өнцгөөс.
Бид курсорыг зургийн дээр байрлуулж, бүх зүйлийг харна. Зургийг хүндрүүлэхгүйн тулд би эхний буланг арилгасан. Бидний сонирхож буй өнцөг (ногооноор зурсан) дараахтай тэнцүү байна.
π - x
X бид үүнийг мэднэ π /6 . Тиймээс хоёр дахь өнцөг нь:
π - π /6 = 5π /6
Дахин хэлэхэд бид бүрэн хувьсгалыг нэмж, хоёр дахь цуврал хариултыг бичнэ үү.
x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z
Тэгээд л болоо. Бүрэн хариулт нь хоёр цуврал үндэсээс бүрдэнэ.
x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z
Тангенс ба котангенс тэгшитгэлийг тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэх ижил ерөнхий зарчмыг ашиглан хялбархан шийдэж болно. Хэрэв та тригонометрийн тойрог дээр тангенс ба котангенс хэрхэн зурахаа мэддэг бол мэдээжийн хэрэг.
Дээрх жишээнүүдэд би синус ба косинусын хүснэгтийн утгыг ашигласан: 0.5. Тэдгээр. оюутны мэддэг утгын нэг ёстой.Одоо боломжоо өргөжүүлье бусад бүх үнэт зүйлс.Шийдээрэй, шийдээрэй!)
Тиймээс бид энэ тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй гэж үзье.
Ийм косинусын утга нь товч хүснэгтүүдҮгүй Бид энэ аймшигт баримтыг үл тоомсорлодог. Тойрог зурж, косинусын тэнхлэг дээр 2/3-ыг тэмдэглэж, харгалзах өнцгийг зур. Бид энэ зургийг авдаг.
Эхлээд эхний улирлын өнцгийг харцгаая. Хэрвээ бид x нь хэдтэй тэнцүү болохыг мэдсэн бол тэр даруй хариултыг бичих болно! Бид мэдэхгүй... Бүтэлгүйтэл!? Тайвшир! Математик нь өөрийн хүмүүсийг асуудалд оруулдаггүй! Тэр энэ тохиолдолд нуман косинусуудыг гаргаж ирэв. Мэдэхгүй? Дэмий. Энэ нь таны бодож байгаагаас хамаагүй хялбар гэдгийг олж мэдээрэй. Энэ линк дээр "урвуу тригонометрийн функцууд"-ын талаар нэг ч зальтай шившлэг байхгүй ... Энэ сэдвээр энэ нь илүүц юм.
Хэрэв та мэдэж байгаа бол "X бол косинус нь 2/3-тай тэнцүү өнцөг" гэж өөртөө хэлээрэй. Тэгээд тэр даруй нуман косинусын тодорхойлолтоор бид дараахь зүйлийг бичиж болно.
Бид нэмэлт хувьсгалуудын талаар санаж, тригонометрийн тэгшитгэлийн язгуурын эхний цувралыг тайван бичнэ.
x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z
Хоёрдахь өнцгийн хоёр дахь цуврал үндэс нь бараг автоматаар бичигдсэн байдаг. Бүх зүйл адилхан, зөвхөн X (arccos 2/3) хасах тэмдэгтэй байх болно:
x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z
Тэгээд л болоо! Энэ бол зөв хариулт юм. Хүснэгтийн утгуудаас ч хялбар. Юу ч санах шаардлагагүй.) Дашрамд хэлэхэд, хамгийн анхааралтай нь энэ зураг нь нуман косинусаар шийдлийг харуулж байгааг анзаарах болно. Үндсэндээ cosx = 0.5 тэгшитгэлийн зурагнаас ялгаагүй.
Яг! Ерөнхий зарчимТийм ч учраас энэ нь нийтлэг байдаг! Би зориуд бараг ижилхэн хоёр зураг зурсан. Тойрог нь бидэнд өнцгийг харуулж байна X косинусаар. Энэ нь хүснэгтийн косинус мөн эсэх нь хүн бүрт мэдэгддэггүй. Энэ ямар өнцөг, π /3, эсвэл нумын косинус гэж юу вэ - энэ нь биднээс хамаарна.
Синустай ижил дуу. Жишээлбэл:
Дахин тойрог зурж, синусыг 1/3-тай тэнцүү болгож, өнцгийг зур. Энэ бол бидний олж авсан зураг юм:
Мөн дахин зураг нь тэгшитгэлийнхтэй бараг ижил байна sinx = 0.5.Дахин бид эхний улиралд булангаас эхэлдэг. Синус нь 1/3 бол X хэдтэй тэнцүү вэ? Асуудалгүй!
Одоо эхний багц үндэс бэлэн боллоо:
x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z
Хоёрдахь өнцгийг авч үзье. Хүснэгтийн 0.5 утгатай жишээнд энэ нь дараахтай тэнцүү байв.
π - x
Энд бас яг адилхан байх болно! Зөвхөн x нь ялгаатай, arcsin 1/3. Тэгээд юу гэж!? Та хоёр дахь үндэсийг аюулгүйгээр бичиж болно:
x 2 = π - нумын 1/3 + 2π n, n ∈ Z
Энэ бол бүрэн зөв хариулт юм. Хэдийгээр энэ нь тийм ч танил биш юм шиг санагддаг. Гэхдээ энэ нь ойлгомжтой, би найдаж байна.)
Тойрог ашиглан тригонометрийн тэгшитгэлийг ингэж шийддэг. Энэ зам нь ойлгомжтой бөгөөд ойлгомжтой. Тэр бол өгөгдсөн интервал дахь үндсийг сонгох тригонометрийн тэгшитгэлд, тригонометрийн тэгш бус байдалд хадгалдаг хүн юм - тэдгээрийг ерөнхийдөө бараг үргэлж тойрог хэлбэрээр шийддэг. Товчхондоо, стандартаас арай илүү хэцүү аливаа ажилд.
Мэдлэгээ практикт хэрэгжүүлье?)
Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийд:
Нэгдүгээрт, илүү энгийн, энэ хичээлээс шууд.
Одоо илүү төвөгтэй болсон.
Зөвлөгөө: энд та тойргийн талаар бодох хэрэгтэй болно. Хувь хүний хувьд.)
Тэгээд одоо тэд гаднаасаа энгийн ... Тэднийг мөн онцгой тохиолдол гэж нэрлэдэг.
синкс = 0
синкс = 1
cosx = 0
cosx = -1
Санамж: энд хоёр цуврал хариулт хаана байна, хаана нэг хариулт байна гэж дугуйлан бодож олох хэрэгтэй... Тэгээд хоёр хариултын оронд нэгийг хэрхэн бичих вэ. Тийм ээ, ингэснээр хязгааргүй тооноос нэг ч үндэс алга болохгүй!)
За, маш энгийн):
синкс = 0,3
cosx = π
tgx = 1,2
ctgx = 3,7
Зөвлөгөө: Энд та арксин ба арккосин гэж юу болохыг мэдэх хэрэгтэй байна уу? Арктангенс, арккотангенс гэж юу вэ? Хамгийн энгийн тодорхойлолтууд. Гэхдээ та ямар ч хүснэгтийн утгыг санах шаардлагагүй!)
Хариултууд нь мэдээж эмх замбараагүй байна):
x 1= arcsin0,3 + 2π n, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0.3 + 2
Бүх зүйл болохгүй байна уу? Болдог. Хичээлээ дахин унш. Зөвхөн бодолтойгоор(ийм хоцрогдсон үг байдаг...) Тэгээд линкээр орж үзээрэй. Гол холбоосууд нь тойргийн тухай юм. Үүнгүйгээр тригонометр бол нүдийг нь таглаж зам хөндлөн гарахтай адил юм. Заримдаа энэ нь ажилладаг.)
Хэрэв танд энэ сайт таалагдаж байвал...
Дашрамд хэлэхэд, би танд зориулж хэд хэдэн сонирхолтой сайт байна.)
Та жишээ шийдвэрлэх дадлага хийж, өөрийнхөө түвшинг олж мэдэх боломжтой. Шуурхай баталгаажуулалт бүхий туршилт. Сурцгаая - сонирхолтой!)
Та функц, деривативтай танилцах боломжтой.