Тригонометрийн функцийг шийдвэрлэх арга. Тригонометрийн тэгшитгэл

Тригонометрийн үндсэн томъёоны талаархи мэдлэгийг шаарддаг - синус ба косинусын квадратуудын нийлбэр, синус ба косинусын шүргэгчийг илэрхийлэх болон бусад. Тэднийг мартсан эсвэл мэдэхгүй хүмүүст "" нийтлэлийг уншихыг зөвлөж байна.
Тиймээс бид тригонометрийн үндсэн томъёог мэддэг тул тэдгээрийг практикт ашиглах цаг болжээ. Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхцагт зөв хандлага- жишээ нь Рубикийн шоо тайлах гэх мэт сэтгэл хөдөлгөм үйл ажиллагаа.

Нэрнээс нь харахад тригонометрийн тэгшитгэл нь тригонометрийн функцийн тэмдгийн доор үл мэдэгдэх нь байгаа тэгшитгэл гэдэг нь тодорхой байна.
Хамгийн энгийн гэж нэрлэгддэг тригонометрийн тэгшитгэлүүд байдаг. Тэдгээр нь дараах байдалтай байна: sinx = a, cos x = a, tan x = a. Ингээд авч үзье Ийм тригонометрийн тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх, тодорхой болгохын тулд бид аль хэдийн танил болсон тригонометрийн тойргийг ашиглах болно.

sinx = a

cos x = a

tan x = a

ор x = a

Аливаа тригонометрийн тэгшитгэлийг хоёр үе шаттайгаар шийддэг: бид тэгшитгэлийг хамгийн энгийн хэлбэрт оруулаад дараа нь энгийн тригонометрийн тэгшитгэл болгон шийддэг.
Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх 7 үндсэн арга байдаг.

1. Хувьсах ба орлуулах арга

2cos 2 (x + /6) – 3sin( /3 – x) +1 = 0 тэгшитгэлийг шийд.

Бууруулах томъёог ашиглан бид дараахь зүйлийг авна.

2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0

Энгийн квадрат тэгшитгэлийг хялбарчилж авахын тулд cos(x + /6)-г y-ээр солино уу.

2 жил 2 – 3 жил + 1 + 0

Үндэс нь y 1 = 1, y 2 = 1/2

Одоо урвуу дарааллаар явцгаая

Бид y-ийн олсон утгыг орлуулж, хариултын хоёр сонголтыг авна.

2. Тригонометрийн тэгшитгэлийг хүчин зүйлчлэлээр шийдвэрлэх

sin x + cos x = 1 тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ?

Баруун талд 0 үлдэхийн тулд бүгдийг зүүн тийш шилжүүлье:

sin x + cos x – 1 = 0

Тэгшитгэлийг хялбарчлахын тулд дээр дурдсан таних тэмдгүүдийг ашиглацгаая.

нүгэл х - 2 нүгэл 2 (х/2) = 0

Хүчин зүйлд тооцъё:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

Бид хоёр тэгшитгэл авдаг

3. Нэг төрлийн тэгшитгэлд буулгах

Хэрэв тэгшитгэлийн бүх гишүүн ижил өнцгийн синус ба косинустай харьцангуй байвал тэгшитгэл нь синус ба косинусын хувьд нэгэн төрлийн байна. Нэг төрлийн тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд дараах алхмуудыг гүйцэтгэнэ.

а) бүх гишүүдээ зүүн тал руу шилжүүлэх;

б) бүх нийтлэг хүчин зүйлийг хаалтнаас гаргах;

в) бүх хүчин зүйл болон хаалтыг 0-тэй тэнцүүлэх;

г) доод түвшний нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг хаалтанд авах бөгөөд энэ нь эргээд дээд зэргийн синус эсвэл косинус руу хуваагдана;

e) tg-ийн үр дүнд үүссэн тэгшитгэлийг шийд.

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2 тэгшитгэлийг шийд.

sin 2 x + cos 2 x = 1 томъёог ашиглаад баруун талд байгаа нээлттэй хоёрыг хасъя:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

cos x-т хуваах:

тг 2 х + 4 тг х + 3 = 0

tan x-г y-ээр сольж квадрат тэгшитгэл гарга.

y 2 + 4y +3 = 0, үндэс нь y 1 =1, y 2 = 3

Эндээс бид анхны тэгшитгэлийн хоёр шийдлийг олно.

x 2 = арктан 3 + k

4. Хагас өнцөгт шилжих замаар тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

3sin x – 5cos x = 7 тэгшитгэлийг шийд

x/2 руу шилжье:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

Бүгдийг зүүн тийш шилжүүлье:

2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

cos(x/2)-д хуваах:

tg 2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0

5. Туслах өнцгийн танилцуулга

Үүнийг авч үзэхийн тулд дараах хэлбэрийн тэгшитгэлийг авч үзье: a sin x + b cos x = c,

Энд a, b, c нь зарим дурын коэффициент, х нь үл мэдэгдэх коэффициент юм.

Тэгшитгэлийн хоёр талыг дараахь байдлаар хуваая.



Одоо тэгшитгэлийн коэффициентүүд нь тригонометрийн томъёоны дагуу sin ба cos шинж чанартай байдаг, тухайлбал: тэдгээрийн модуль нь 1-ээс ихгүй ба квадратуудын нийлбэр = 1. Тэдгээрийг тус тусад нь cos ба sin гэж тэмдэглэе. туслах өнцөг гэж нэрлэгддэг. Дараа нь тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй болно.

cos * sin x + sin * cos x = C

эсвэл sin(x + ) = C

Энэхүү хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийн шийдэл нь

x = (-1) k * arcsin C - + k, энд



Cos болон sin гэсэн тэмдэглэгээ нь солигддог гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй.

sin 3x – cos 3x = 1 тэгшитгэлийг шийд

Энэ тэгшитгэл дэх коэффициентүүд нь:

a =, b = -1 тул хоёр талыг = 2-т хуваа

Таны хувийн нууцыг хадгалах нь бидний хувьд чухал юм. Энэ шалтгааны улмаас бид таны мэдээллийг хэрхэн ашиглах, хадгалах талаар тодорхойлсон Нууцлалын бодлогыг боловсруулсан. Манай нууцлалын практикийг хянаж үзээд асуух зүйл байвал бидэнд мэдэгдэнэ үү.

Хувийн мэдээллийг цуглуулах, ашиглах

Хувийн мэдээлэл гэдэг нь танихад ашиглаж болох өгөгдлийг хэлнэ тодорхой хүнэсвэл түүнтэй холбоотой.

Та бидэнтэй холбоо барихдаа хүссэн үедээ хувийн мэдээллээ өгөхийг шаардаж болно.

Бидний цуглуулж болох хувийн мэдээллийн төрлүүд болон эдгээр мэдээллийг хэрхэн ашиглаж болох зарим жишээг доор харуулав.

Бид ямар хувийн мэдээллийг цуглуулдаг вэ:

• Таныг сайт дээр өргөдөл гаргах үед бид таны нэр, утасны дугаар, имэйл хаяг гэх мэт янз бүрийн мэдээллийг цуглуулж болно.

Бид таны хувийн мэдээллийг хэрхэн ашигладаг вэ:

• Бидний цуглуулсан хувийн мэдээлэл нь өвөрмөц санал, урамшуулал болон бусад арга хэмжээ, удахгүй болох арга хэмжээний талаар тантай холбогдох боломжийг олгодог.
• Бид үе үе таны хувийн мэдээллийг ашиглан чухал мэдэгдэл, харилцаа холбоог илгээж болно.
• Мөн бид үзүүлж буй үйлчилгээгээ сайжруулах, танд үйлчилгээнийхээ талаар зөвлөмж өгөх зорилгоор аудит хийх, мэдээллийн дүн шинжилгээ хийх, төрөл бүрийн судалгаа хийх зэрэг хувийн мэдээллийг дотоод зорилгоор ашиглаж болно.
• Хэрэв та шагналын сугалаа, уралдаан эсвэл үүнтэй төстэй сурталчилгаанд оролцсон бол бид таны өгсөн мэдээллийг ийм хөтөлбөрийг удирдахад ашиглаж болно.

Гуравдагч этгээдэд мэдээллийг задруулах

Бид танаас хүлээн авсан мэдээллийг гуравдагч этгээдэд задруулахгүй.

Үл хамаарах зүйл:

• Шаардлагатай бол - хууль тогтоомжийн дагуу, шүүхийн журмаар, шүүхийн журмаар, ба/эсвэл ОХУ-ын нутаг дэвсгэр дэх төрийн байгууллагуудын хүсэлт, хүсэлтийн үндсэн дээр хувийн мэдээллээ задруулах. Аюулгүй байдал, хууль сахиулах болон бусад олон нийтийн ач холбогдолтой зорилгоор ийм мэдээлэл шаардлагатай эсвэл тохиромжтой гэж үзвэл бид таны тухай мэдээллийг задруулах боломжтой.
• Дахин зохион байгуулалтад орох, нэгдэх, худалдах тохиолдолд бид цуглуулсан хувийн мэдээллээ холбогдох өв залгамжлагч гуравдагч этгээдэд шилжүүлж болно.

Хувийн мэдээллийг хамгаалах

Бид таны хувийн мэдээллийг алдах, хулгайлах, зүй бусаар ашиглах, зөвшөөрөлгүй нэвтрэх, задруулах, өөрчлөх, устгахаас хамгаалахын тулд захиргааны, техникийн болон биет байдлын зэрэг урьдчилан сэргийлэх арга хэмжээг авдаг.

Компанийн түвшинд таны хувийн нууцыг хүндэтгэх

Таны хувийн мэдээллийг найдвартай байлгахын тулд бид нууцлал, аюулгүй байдлын стандартыг ажилтнууддаа мэдээлж, нууцлалын практикийг чанд мөрддөг.

Таны хувийн нууцыг хадгалах нь бидний хувьд чухал юм. Энэ шалтгааны улмаас бид таны мэдээллийг хэрхэн ашиглах, хадгалах талаар тодорхойлсон Нууцлалын бодлогыг боловсруулсан. Манай нууцлалын практикийг хянаж үзээд асуух зүйл байвал бидэнд мэдэгдэнэ үү.

Хувийн мэдээллийг цуглуулах, ашиглах

Хувийн мэдээлэл гэдэг нь тодорхой хүнийг таних эсвэл холбоо барихад ашиглаж болох өгөгдлийг хэлнэ.

Та бидэнтэй холбоо барихдаа хүссэн үедээ хувийн мэдээллээ өгөхийг шаардаж болно.

Бидний цуглуулж болох хувийн мэдээллийн төрлүүд болон эдгээр мэдээллийг хэрхэн ашиглаж болох зарим жишээг доор харуулав.

Бид ямар хувийн мэдээллийг цуглуулдаг вэ:

• Таныг сайт дээр өргөдөл гаргах үед бид таны нэр, утасны дугаар, имэйл хаяг гэх мэт янз бүрийн мэдээллийг цуглуулж болно.

Бид таны хувийн мэдээллийг хэрхэн ашигладаг вэ:

• Бидний цуглуулсан хувийн мэдээлэл нь өвөрмөц санал, урамшуулал болон бусад арга хэмжээ, удахгүй болох арга хэмжээний талаар тантай холбогдох боломжийг олгодог.
• Бид үе үе таны хувийн мэдээллийг ашиглан чухал мэдэгдэл, харилцаа холбоог илгээж болно.
• Мөн бид үзүүлж буй үйлчилгээгээ сайжруулах, танд үйлчилгээнийхээ талаар зөвлөмж өгөх зорилгоор аудит хийх, мэдээллийн дүн шинжилгээ хийх, төрөл бүрийн судалгаа хийх зэрэг хувийн мэдээллийг дотоод зорилгоор ашиглаж болно.
• Хэрэв та шагналын сугалаа, уралдаан эсвэл үүнтэй төстэй сурталчилгаанд оролцсон бол бид таны өгсөн мэдээллийг ийм хөтөлбөрийг удирдахад ашиглаж болно.

Гуравдагч этгээдэд мэдээллийг задруулах

Бид танаас хүлээн авсан мэдээллийг гуравдагч этгээдэд задруулахгүй.

Үл хамаарах зүйл:

• Шаардлагатай бол - хууль тогтоомжийн дагуу, шүүхийн журмаар, шүүхийн журмаар, ба/эсвэл ОХУ-ын нутаг дэвсгэр дэх төрийн байгууллагуудын хүсэлт, хүсэлтийн үндсэн дээр хувийн мэдээллээ задруулах. Аюулгүй байдал, хууль сахиулах болон бусад олон нийтийн ач холбогдолтой зорилгоор ийм мэдээлэл шаардлагатай эсвэл тохиромжтой гэж үзвэл бид таны тухай мэдээллийг задруулах боломжтой.
• Дахин зохион байгуулалтад орох, нэгдэх, худалдах тохиолдолд бид цуглуулсан хувийн мэдээллээ холбогдох өв залгамжлагч гуравдагч этгээдэд шилжүүлж болно.

Хувийн мэдээллийг хамгаалах

Бид таны хувийн мэдээллийг алдах, хулгайлах, зүй бусаар ашиглах, зөвшөөрөлгүй нэвтрэх, задруулах, өөрчлөх, устгахаас хамгаалахын тулд захиргааны, техникийн болон биет байдлын зэрэг урьдчилан сэргийлэх арга хэмжээг авдаг.

Компанийн түвшинд таны хувийн нууцыг хүндэтгэх

Таны хувийн мэдээллийг найдвартай байлгахын тулд бид нууцлал, аюулгүй байдлын стандартыг ажилтнууддаа мэдээлж, нууцлалын практикийг чанд мөрддөг.

Мэдлэгийг нэгдсэн хэрэглээний хичээл.

Хичээлийн зорилго.

1. Санаж үз янз бүрийн аргатригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх.
2. Тэгшитгэлийг шийдвэрлэх замаар сурагчдын бүтээлч чадварыг хөгжүүлэх.
3. Оюутнуудыг өөрийгөө хянах, харилцан хяналт тавих, боловсролын үйл ажиллагаандаа дүн шинжилгээ хийх чадварыг урамшуулах.

Тоног төхөөрөмж: дэлгэц, проектор, лавлах материал.

Хичээлийн үеэр

Танилцуулга яриа.

Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх гол арга бол тэдгээрийг хамгийн энгийн хэлбэрт оруулах явдал юм. Энэ тохиолдолд ердийн аргууд, жишээлбэл, хүчин зүйлчлэл, түүнчлэн зөвхөн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ашигладаг арга техникийг ашигладаг. Эдгээр техникүүд маш олон байдаг, жишээлбэл, янз бүрийн тригонометрийн орлуулалт, өнцгийн хувиргалт, тригонометрийн функцүүдийн хувиргалт. Аливаа тригонометрийн хувиргалтыг ялгалгүй хэрэглэх нь ихэвчлэн тэгшитгэлийг хялбаршуулдаггүй, харин гамшигт төвөгтэй болгодог. Тэгшитгэлийг шийдэх ерөнхий төлөвлөгөөг боловсруулах, тэгшитгэлийг хамгийн энгийн болгон багасгах арга замыг тоймлохын тулд эхлээд тэгшитгэлд багтсан тригонометрийн функцуудын аргументуудын өнцгийг шинжлэх хэрэгтэй.

Өнөөдөр бид тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргуудын талаар ярих болно. Зөв сонгосон арга нь шийдлийг ихээхэн хөнгөвчлөх боломжтой тул тригонометрийн тэгшитгэлийг хамгийн тохиромжтой аргыг ашиглан шийдвэрлэхийн тулд бидний судалсан бүх аргуудыг үргэлж санаж байх ёстой.

II. (Проектор ашиглан бид тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргуудыг давтана.)

1. Тригонометрийн тэгшитгэлийг алгебрийн тэгшитгэл болгон бууруулах арга.

Бүх тригонометрийн функцуудыг нэг аргументаар илэрхийлэх шаардлагатай. Үүнийг үндсэн тригонометрийн таних тэмдэг, түүний үр дагаврыг ашиглан хийж болно. Бид нэг тригонометрийн функцтэй тэгшитгэлийг олж авдаг. Үүнийг шинэ үл мэдэгдэх зүйл гэж үзвэл бид алгебрийн тэгшитгэлийг олж авна. Бид түүний үндсийг олж, хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэж, хуучин үл мэдэгдэх зүйл рүү буцна.

2. Үржүүлгийн арга.

Өнцгийг өөрчлөхийн тулд аргументуудын бууралт, нийлбэр, зөрүүг тодорхойлох томъёо, түүнчлэн тригонометрийн функцүүдийн нийлбэрийг (ялгааг) бүтээгдэхүүн болгон хувиргах томьёо болон эсрэгээр нь ихэвчлэн хэрэгтэй байдаг.

нүгэл х + гэм 3х = нүгэл 2х + гэм 4х

3. Нэмэлт өнцгийг нэвтрүүлэх арга.

4. Бүх нийтийн орлуулалтыг ашиглах арга.

F(sinx, cosx, tanx) = 0 хэлбэрийн тэгшитгэлийг бүх нийтийн тригонометрийн орлуулалт ашиглан алгебрийн хэлбэрт оруулав.

Хагас өнцгийн шүргэгчээр синус, косинус, тангенсыг илэрхийлэх. Энэ техник нь илүү өндөр эрэмбийн тэгшитгэлд хүргэж болно. Үүний шийдэл нь хэцүү.

Тригонометрийн тэгшитгэл- сэдэв нь хамгийн энгийн зүйл биш юм. Тэд хэтэрхий олон янз байдаг.) ​​Жишээ нь:

sin 2 x + cos3x = ctg5x

sin(5x+π /4) = ор(2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

гэх мэт...

Гэхдээ эдгээр (болон бусад бүх) тригонометрийн мангасууд нь нийтлэг бөгөөд заавал байх ёстой хоёр шинж чанартай байдаг. Нэгдүгээрт - та итгэхгүй байх болно - тэгшитгэлд тригонометрийн функцууд байдаг.) ​​Хоёрдугаарт: x-тэй бүх илэрхийлэл олддог. эдгээр ижил функцүүдийн хүрээнд.Зөвхөн тэнд! Хэрэв X хаа нэгтээ гарч ирвэл гадна,Жишээлбэл, sin2x + 3x = 3,Энэ нь аль хэдийн холимог төрлийн тэгшитгэл байх болно. Ийм тэгшитгэлийг шаарддаг хувь хүний ​​хандлага. Бид тэдгээрийг энд авч үзэхгүй.

Бид энэ хичээл дээр бас муу тэгшитгэлийг шийдэхгүй.) Энд бид шийдвэрлэх болно Хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлүүд.Яагаад? Тийм ээ, учир нь шийдэл ямар чтригонометрийн тэгшитгэл нь хоёр үе шатаас бүрдэнэ. Эхний шатанд муу тэгшитгэлийг янз бүрийн хувиргалтаар дамжуулан энгийн тэгшитгэл болгон бууруулдаг. Хоёрдугаарт, энэ хамгийн энгийн тэгшитгэлийг шийддэг. Өөр арга байхгүй.

Тиймээс, хэрэв танд хоёр дахь шатанд асуудал байгаа бол эхний шат нь тийм ч их утгагүй болно.)

Энгийн тригонометрийн тэгшитгэлүүд ямар харагддаг вэ?

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

Энд А ямар ч тоог илэрхийлнэ. Ямар ч.

Дашрамд хэлэхэд функц дотор цэвэр X биш байж болох ч зарим төрлийн илэрхийлэл байж болно, жишээ нь:

cos(3x+π /3) = 1/2

гэх мэт. Энэ нь амьдралыг хүндрүүлдэг боловч тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргад нөлөөлдөггүй.

Тригонометрийн тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ?

Тригонометрийн тэгшитгэлийг хоёр аргаар шийдэж болно. Эхний арга: логик ба тригонометрийн тойрог ашиглах. Бид энэ замыг эндээс харах болно. Хоёрдахь арга - санах ой, томъёог ашиглах - дараагийн хичээл дээр хэлэлцэх болно.

Эхний арга нь ойлгомжтой, найдвартай, мартахад хэцүү.) Энэ нь тригонометрийн тэгшитгэл, тэгш бус байдал, бүх төрлийн төвөгтэй стандарт бус жишээнүүдийг шийдвэрлэхэд тохиромжтой. Логик нь ой санамжаас илүү хүчтэй!)

Тригонометрийн тойрог ашиглан тэгшитгэлийг шийдвэрлэх.

Бид энгийн логик, тригонометрийн тойрог ашиглах чадварыг багтаасан. Та яаж гэдгийг мэдэхгүй байна уу? Гэсэн хэдий ч ... Тригонометрийн хувьд танд хэцүү байх болно ...) Гэхдээ энэ нь хамаагүй. "Тригонометрийн тойрог...... Энэ юу вэ?" гэсэн хичээлүүдийг үзээрэй. болон "Тригонометрийн тойрог дээрх өнцгийг хэмжих". Тэнд бүх зүйл энгийн байдаг. Сурах бичгээс ялгаатай нь...)

Өө, чи мэдэж байна уу!? Тэр ч байтугай "Тригонометрийн тойрогтой практик ажил" -ыг эзэмшсэн!? Баяр хүргэе. Энэ сэдэв танд ойр, ойлгомжтой байх болно.) Ялангуяа тааламжтай зүйл бол тригонометрийн тойрогт таны ямар тэгшитгэлийг шийдэх нь хамаагүй. Синус, косинус, тангенс, котангенс - түүний хувьд бүх зүйл адилхан. Ганцхан шийдлийн зарчим бий.

Тиймээс бид аливаа энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг авдаг. Наад зах нь энэ:

cosx = 0.5

Бид X-г олох хэрэгтэй. Хүний хэлээр ярих юм бол хэрэгтэй косинус нь 0.5 (x) өнцгийг ол.

Бид өмнө нь тойргийг хэрхэн ашиглаж байсан бэ? Бид үүн дээр өнцөг зурсан. градус эсвэл радианаар. Тэгээд тэр даруй харсан Энэ өнцгийн тригонометрийн функцууд. Одоо эсрэгээр нь хийцгээе. 0.5-тай тэнцүү тойрог дээр косинусыг шууд зуръя бид харна булан. Хариултаа бичих л үлдлээ.) Тийм ээ, тийм!

Тойрог зурж, косинусыг 0.5-тай тэнцүү гэж тэмдэглэ. Мэдээжийн хэрэг косинусын тэнхлэг дээр. Үүн шиг:

Одоо энэ косинусын бидэнд өгч буй өнцгийг зуръя. Зурган дээр хулганаа аваач (эсвэл таблет дээрх зураг дээр хүрнэ үү) ба Та нар харж болнояг энэ булан X.

Аль өнцгийн косинус 0.5 вэ?

x = π /3

cos 60°= учир( π /3) = 0,5

Зарим хүмүүс эргэлзэж инээх болно, тиймээ... Бүх зүйл тодорхой болчихсон байхад тойрог хийх нь зүйтэй болов уу... Мэдээжийн хэрэг, инээж болно ...) Гэхдээ энэ бол алдаатай хариулт юм. Өөрөөр хэлбэл хангалтгүй. Тойрог сонирхогчид энд 0.5 косинусыг өгдөг бусад олон өнцөг байдаг гэдгийг ойлгодог.

Хэрэв та хөдөлж буй талыг эргүүлбэл OA бүрэн эргэлт, А цэг рүү орох болно анхны байрлал. Ижил косинус нь 0.5-тай тэнцүү байна. Тэдгээр. өнцөг өөрчлөгдөнө 360° буюу 2π радианаар, мөн косинус - үгүй.Шинэ өнцөг 60° + 360° = 420° нь мөн бидний тэгшитгэлийн шийдэл байх болно, учир нь

Хязгааргүй олон тооны ийм бүрэн эргэлтүүдийг хийж болно... Мөн эдгээр бүх шинэ өнцөг нь бидний тригонометрийн тэгшитгэлийн шийдэл байх болно. Тэд бүгд хариуд нь ямар нэгэн байдлаар бичих хэрэгтэй. Бүгд.Үгүй бол шийдвэрийг тооцохгүй, тийм ээ...)

Математик үүнийг энгийн бөгөөд дэгжин хийж чадна. Нэг богино хариултаар бичнэ үү хязгааргүй олонлогшийдвэрүүд. Энэ нь бидний тэгшитгэлийн хувьд дараах байдалтай байна.

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

Би үүнийг тайлах болно. Одоо ч бичнэ утга учиртайТэнэг байдлаар нууцлаг үсэг зурахаас илүү тааламжтай, тийм үү?)

π /3 - энэ бол бидэнтэй ижил булан юм харсантойрог дээр ба тодорхойлсонкосинусын хүснэгтийн дагуу.

2π Энэ нь радиан дахь нэг бүрэн эргэлт юм.

n - энэ бол бүрэн гүйцэд тоо, өөрөөр хэлбэл. бүхэлд ньэрг / мин Энэ нь ойлгомжтой n 0, ±1, ±2, ±3.... гэх мэттэй тэнцүү байж болно. Богино оруулгад заасны дагуу:

n ∈ Z

n харьяалагддаг ( ∈ ) бүхэл тооны багц ( З ). Дашрамд хэлэхэд, захидлын оронд n үсэг хэрэглэж болно к, м, т гэх мэт.

Энэ тэмдэглэгээ нь та ямар ч бүхэл тоо авч болно гэсэн үг юм n . Хамгийн багадаа -3, хамгийн багадаа 0, хамгийн багадаа +55. Юу ч хүссэн. Хэрэв та хариултанд энэ тоог орлуулбал тодорхой өнцөг гарах бөгөөд энэ нь бидний хатуу тэгшитгэлийн шийдэл байх нь гарцаагүй.)

Эсвэл өөрөөр хэлбэл, x = π /3 хязгааргүй олонлогийн цорын ганц үндэс юм. Бусад бүх үндэсийг авахын тулд π /3 () дээр хэдэн ч бүтэн эргэлт нэмэхэд хангалттай. n ) радианаар. Тэдгээр. 2πn радиан.

Бүгд? Үгүй Би таашаалыг зориуд уртасгадаг. Илүү сайн санахын тулд.) Бид тэгшитгэлийнхээ хариултуудын зөвхөн хэсгийг л авсан. Би шийдлийн эхний хэсгийг дараах байдлаар бичнэ.

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 1 - зөвхөн нэг үндэс биш, харин бүхэл бүтэн цуврал үндэс, богино хэлбэрээр бичсэн.

Гэхдээ бас 0.5 косинус өгдөг өнцөгүүд байдаг!

Хариултаа бичсэн зураг руугаа буцъя. Тэр энд байна:

Зурган дээр хулганаа аваачиж, бид харж байнаөөр өнцөг мөн 0.5 косинусыг өгдөг.Энэ нь юутай тэнцүү гэж та бодож байна вэ? Гурвалжингууд нь адилхан ... Тийм ээ! Энэ нь өнцөгтэй тэнцүү байна X , зөвхөн сөрөг чиглэлд хойшлогдож байна. Энэ бол булан -Х. Гэхдээ бид x-г аль хэдийн тооцоолсон. π /3 эсвэл 60°. Тиймээс бид аюулгүйгээр бичиж болно:

x 2 = - π /3

Мэдээжийн хэрэг, бид бүрэн эргэлтээр олж авсан бүх өнцгийг нэмнэ.

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Энэ бол одоо.) Тригонометрийн тойрог дээр бид харсан(мэдээж хэн ойлгох вэ)) Бүгд 0.5 косинус өгдөг өнцгүүд. Мөн бид эдгээр өнцгүүдийг богино математик хэлбэрээр бичсэн. Хариулт нь хоёр төгсгөлгүй цуврал язгуурыг бий болгосон:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Энэ бол зөв хариулт юм.

Найдвар, тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх ерөнхий зарчимтойрог ашиглах нь ойлгомжтой. Өгөгдсөн тэгшитгэлээс косинусыг (синус, тангенс, котангенс) тойрог дээр тэмдэглэж, түүнд тохирох өнцгийг зурж, хариултыг бичнэ.Мэдээжийн хэрэг, бид ямар булангуудаа тодорхойлох хэрэгтэй харсантойрог дээр. Заримдаа энэ нь тийм ч тодорхой биш байдаг. Энд логик хэрэгтэй гэж би хэлсэн.)

Жишээлбэл, өөр тригонометрийн тэгшитгэлийг авч үзье.

0.5 тоо нь тэгшитгэлийн цорын ганц боломжит тоо биш гэдгийг анхаарна уу!) Үүнийг бичих нь үндэс, бутархайгаас илүү тохиромжтой.

Бид ерөнхий зарчмаар ажилладаг. Бид тойрог зурж, тэмдэглэнэ (мэдээж синус тэнхлэг дээр!) 0.5. Бид энэ синустай тохирох бүх өнцгийг нэг дор зурдаг. Бид энэ зургийг авна:

Эхлээд өнцгийг нь авч үзье X эхний улиралд. Бид синусын хүснэгтийг эргэн санаж, энэ өнцгийн утгыг тодорхойлно. Энэ бол энгийн асуудал:

x = π /6

Бид бүрэн эргэлтийн талаар санаж, цэвэр ухамсартайгаар эхний цуврал хариултуудыг бичнэ үү.

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

Ажлын тал нь дууссан. Харин одоо бид тодорхойлох хэрэгтэй хоёр дахь булан ...Энэ нь косинусыг ашиглахаас илүү төвөгтэй, тийм ээ... Гэхдээ логик биднийг аварна! Хоёр дахь өнцгийг хэрхэн тодорхойлох вэ х-ээр дамжуулан? Тиймээ хялбар! Зурган дээрх гурвалжин нь адилхан, улаан булан X өнцөгтэй тэнцүү X . Зөвхөн энэ нь сөрөг чиглэлд π өнцгөөс тоологддог. Тийм ч учраас улаан өнгөтэй байна.) Мөн хариултын хувьд эерэг хагас тэнхлэгийн OX-ээс зөв хэмжсэн өнцөг хэрэгтэй, өөрөөр хэлбэл. 0 градусын өнцгөөс.

Бид курсорыг зургийн дээр байрлуулж, бүх зүйлийг харна. Зургийг хүндрүүлэхгүйн тулд би эхний буланг арилгасан. Бидний сонирхож буй өнцөг (ногооноор зурсан) дараахтай тэнцүү байна.

π - x

X бид үүнийг мэднэ π /6 . Тиймээс хоёр дахь өнцөг нь:

π - π /6 = 5π /6

Дахин хэлэхэд бид бүрэн хувьсгалыг нэмж, хоёр дахь цуврал хариултыг бичнэ үү.

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Тэгээд л болоо. Бүрэн хариулт нь хоёр цуврал үндэсээс бүрдэнэ.

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Тангенс ба котангенс тэгшитгэлийг тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх ижил ерөнхий зарчмыг ашиглан хялбархан шийдэж болно. Хэрэв та тригонометрийн тойрог дээр тангенс ба котангенс хэрхэн зурахаа мэддэг бол мэдээжийн хэрэг.

Дээрх жишээнүүдэд би синус ба косинусын хүснэгтийн утгыг ашигласан: 0.5. Тэдгээр. оюутны мэддэг утгын нэг ёстой.Одоо боломжоо өргөжүүлье бусад бүх үнэт зүйлс.Шийдээрэй, шийдээрэй!)

Тиймээс бид энэ тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй гэж үзье.

Богино хүснэгтэд ийм косинусын утга байдаггүй. Бид энэ аймшигт баримтыг үл тоомсорлодог. Тойрог зурж, косинусын тэнхлэг дээр 2/3-ыг тэмдэглэж, харгалзах өнцгийг зур. Бид энэ зургийг авдаг.

Эхлээд эхний улирлын өнцгийг харцгаая. Хэрвээ бид x нь хэдтэй тэнцүү болохыг мэдсэн бол тэр даруй хариултыг бичих болно! Бид мэдэхгүй... Бүтэлгүйтэл!? Тайвшир! Математик нь өөрийн хүмүүсийг асуудалд оруулдаггүй! Тэр энэ тохиолдолд нуман косинусуудыг гаргаж ирэв. Мэдэхгүй? Дэмий. Энэ нь таны бодож байгаагаас хамаагүй хялбар гэдгийг олж мэдээрэй. Энэ линк дээр "урвуу тригонометрийн функц"-ийн талаар нэг ч зальтай шившлэг байхгүй ... Энэ сэдэв дээр энэ нь илүүц юм.

Хэрэв та мэдэж байгаа бол "X нь косинус нь 2/3-тай тэнцүү өнцөг" гэж өөртөө хэлээрэй. Тэгээд тэр даруй нуман косинусын тодорхойлолтоор бид дараахь зүйлийг бичиж болно.

Бид нэмэлт хувьсгалуудын талаар санаж, тригонометрийн тэгшитгэлийнхээ язгуурын эхний цувралыг тайвнаар бичнэ.

x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Хоёрдахь өнцгийн хоёр дахь цуврал үндэс нь бараг автоматаар бичигдсэн байдаг. Бүх зүйл адилхан, зөвхөн X (arccos 2/3) хасахтай байна:

x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Тэгээд л болоо! Энэ бол зөв хариулт юм. Хүснэгтийн утгуудаас ч хялбар. Юу ч санах шаардлагагүй.) Дашрамд хэлэхэд, хамгийн анхааралтай нь энэ зураг нь нумын косинусаар шийдлийг харуулж байгааг анзаарах болно. Үндсэндээ cosx = 0.5 тэгшитгэлийн зурагнаас ялгаагүй.

Яг! Ерөнхий зарчимТийм ч учраас энэ нь нийтлэг байдаг! Би зориуд бараг ижилхэн хоёр зураг зурсан. Тойрог нь бидэнд өнцгийг харуулж байна X косинусаар. Энэ нь хүснэгтийн косинус мөн эсэх нь хүн бүрт мэдэгддэггүй. Энэ ямар өнцөг, π /3, эсвэл нуман косинус гэж юу вэ - энэ нь биднээс хамаарна.

Синустай ижил дуу. Жишээлбэл:

Дахин тойрог зурж, синусыг 1/3-тай тэнцүү болгож, өнцгийг зур. Энэ бол бидний олж авсан зураг юм:

Мөн дахин зураг нь тэгшитгэлийнхтэй бараг ижил байна sinx = 0.5.Дахин бид эхний улиралд булангаас эхэлдэг. Синус нь 1/3 бол X хэдтэй тэнцүү вэ? Асуудалгүй!

Одоо эхний багц үндэс бэлэн боллоо.

x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Хоёрдахь өнцгийг авч үзье. Хүснэгтийн 0.5 утгатай жишээн дээр энэ нь дараахтай тэнцүү байв.

π - x

Энд бас яг адилхан байх болно! Зөвхөн x нь өөр, arcsin 1/3. Тэгээд юу гэж!? Та хоёр дахь үндэсийг аюулгүйгээр бичиж болно:

x 2 = π - нумын 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Энэ бол бүрэн зөв хариулт юм. Хэдийгээр энэ нь тийм ч танил биш юм шиг санагддаг. Гэхдээ энэ нь ойлгомжтой, би найдаж байна.)

Тойрог ашиглан тригонометрийн тэгшитгэлийг ингэж шийддэг. Энэ зам нь ойлгомжтой бөгөөд ойлгомжтой. Тэр бол өгөгдсөн интервал дахь үндсийг сонгох тригонометрийн тэгшитгэлд, тригонометрийн тэгш бус байдалд хадгалдаг хүн юм - тэдгээрийг ерөнхийдөө бараг үргэлж тойрог хэлбэрээр шийддэг. Товчхондоо, стандартаас арай илүү хэцүү аливаа ажилд.

Мэдлэгээ практикт хэрэгжүүлье?)

Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэх:

Нэгдүгээрт, илүү энгийн, энэ хичээлээс шууд.

Одоо илүү төвөгтэй болсон.

Зөвлөгөө: энд та тойргийн талаар бодох хэрэгтэй болно. Хувь хүний ​​хувьд.)

Тэгээд одоо тэд гаднаасаа энгийн ... Тэднийг бас онцгой тохиолдол гэж нэрлэдэг.

синкс = 0

синкс = 1

cosx = 0

cosx = -1

Санамж: энд хоёр цуврал хариулт хаана байна, хаана нэг хариулт байна... Тэгээд хоёр цуврал хариултын оронд нэгийг хэрхэн бичих вэ гэдгийг дугуйлж олох хэрэгтэй. Тийм ээ, ингэснээр хязгааргүй тооны нэг ч үндэс алга болохгүй!)

За, маш энгийн):

синкс = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Зөвлөгөө: Энд та арксин ба арккосин гэж юу болохыг мэдэх хэрэгтэй байна уу? Арктангенс, арккотангенс гэж юу вэ? Хамгийн энгийн тодорхойлолтууд. Гэхдээ та ямар ч хүснэгтийн утгыг санах шаардлагагүй!)

Хариултууд нь мэдээж замбараагүй):

x 1= arcsin0,3 + 2π n, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0.3 + 2

Бүх зүйл болохгүй байна уу? Болдог. Хичээлээ дахин унш. Зөвхөн бодолтойгоор(ийм хоцрогдсон үг байдаг...) Тэгээд линкээр орж үзээрэй. Гол холбоосууд нь тойргийн тухай юм. Үүнгүйгээр тригонометр бол нүдийг нь таглаж зам хөндлөн гарахтай адил юм. Заримдаа энэ нь ажилладаг.)

Хэрэв танд энэ сайт таалагдаж байвал...

Дашрамд хэлэхэд, би танд зориулж хэд хэдэн сонирхолтой сайт байна.)

Та жишээ шийдвэрлэх дадлага хийж, өөрийнхөө түвшинг олж мэдэх боломжтой. Шуурхай баталгаажуулалт бүхий туршилт. Сурцгаая - сонирхолтой!)

Та функц, деривативтай танилцах боломжтой.