Иррационал тоо. Иррационал тоо гэж юу гэсэн үг вэ?

- π

Тиймээс иррационал тооны олонлог нь ялгаа юм I = R ∖ Q (\displaystyle \mathbb (I) =\mathbb (R) \арын налуу зураас \mathbb (Q) )бодит ба рационал тоонуудын багц.

Иррационал тоонууд, илүү нарийвчлалтай, нэгж урттай сегменттэй харьцуулшгүй сегментүүд байгаа нь эртний математикчдад аль хэдийн мэдэгдэж байсан: тэд жишээлбэл, диагональ ба квадратын хажуугийн харьцуулшгүй байдлыг мэддэг байсан бөгөөд энэ нь дөрвөлжингийн иррациональтай тэнцэх болно. дугаар 2 (\displaystyle (\sqrt (2))).

Үл хөдлөх хөрөнгө

• Хоёр эерэг иррационал тооны нийлбэр нь рационал тоо байж болно.
• Иррационал тоо нь доод ангид хамгийн их тоогүй, дээд ангид хамгийн бага тоогүй рационал тоонуудын багц дахь Дедекинд хэсгүүдийг тодорхойлдог.
• Иррационал тоонуудын багц нь тоон шулууны хаа сайгүй нягт байдаг: дурын хоёр ялгаатай тооны хооронд иррационал тоо.
• Иррационал тооны олонлог дээрх дараалал нь бодит трансцендент тооны олонлогийн дараалалтай изоморф байна. [ ]

Алгебрийн болон трансцендент тоо

Иррационал тоо бүр нь алгебр эсвэл трансцендентал байдаг. Алгебрийн тооны олонлог нь тоолж болох олонлог юм. Бодит тооны олонлог тоолох боломжгүй тул иррационал тооны олонлогийг тоолж баршгүй.

Иррационал тоонуудын багц нь хоёр дахь ангиллын олонлог юм.

Боломжит тэгш байдлыг квадрат болгоё:

Өгүүллэг

Эртний үе

Иррационал тооны тухай ойлголтыг Энэтхэгийн математикчид МЭӨ 7-р зуунд Манава (МЭӨ 750-690 он) олж мэдсэнээр далд хэлбэрээр баталсан. квадрат үндэсзарим нь натурал тоонууд 2 ба 61 гэх мэтийг тодорхой илэрхийлэх боломжгүй [ ] .

Иррационал тоо, илүү нарийвчлалтай харьцуулшгүй сегментүүд байсны анхны нотолгоо нь ихэвчлэн Метапонтумын Пифагорын Гиппасустай холбоотой байдаг (ойролцоогоор МЭӨ 470 он). Пифагорчуудын үед хангалттай жижиг, хуваагдашгүй уртын нэг нэгж байдаг гэж үздэг байсан бөгөөд энэ нь аль ч сегментэд бүхэл тооны удаа ордог. ] .

Хиппас аль тоо нь үндэслэлгүй болохыг нотолсон тодорхой мэдээлэл байхгүй байна. Домогт өгүүлснээр тэрээр таван хошууны хажуугийн уртыг судалснаар олсон байна. Тиймээс энэ нь ердийн таван өнцөгт дэх диагональ ба хажуугийн харьцаа тул үүнийг алтан харьцаа гэж үзэх нь үндэслэлтэй юм.

Грекийн математикчид үүнийг харьцуулшгүй хэмжигдэхүүнүүдийн харьцаа гэж нэрлэдэг alogos(Үгээр хэлэхийн аргагүй), гэхдээ домогт өгүүлснээр тэд Хиппасусыг зохих ёсоор хүндэтгэдэггүй байв. Хиппас далайд аялж байхдаа энэ нээлтийг хийж, бусад Пифагорчууд "орчлон ертөнцийн бүх биетүүдийг бүхэл тоо болон тэдгээрийн харьцаа болгон бууруулж болно гэсэн сургаалыг үгүйсгэсэн орчлон ертөнцийн элементийг бий болгосноос" болж шидсэн гэсэн домог байдаг. Гиппассын нээлт Пифагорын математикийг сорьсон юм ноцтой асуудал, тоо болон геометрийн объектууд нэг бөгөөд салшгүй холбоотой гэсэн бүхэл бүтэн онолын үндсэн таамаглалыг устгасан.

Хожим нь Книдын Евдокс (МЭӨ 410 эсвэл 408 он - МЭӨ 355 эсвэл 347 он) оновчтой ба иррациональ харилцааг харгалзан үзсэн пропорцын онолыг боловсруулсан. Энэ нь иррационал тооны үндсэн мөн чанарыг ойлгох үндэс суурь болсон. Тоо хэмжээ нь тоо биш, харин шугамын хэсэг, өнцөг, талбай, эзлэхүүн, цаг хугацааны интервал зэрэг объектуудын тэмдэглэгээ гэж үзэж эхэлсэн - тасралтгүй өөрчлөгдөж болох объектууд (орчин үеийн утгаараа). Нэг тооноос нөгөө тоо руу, жишээ нь 4-өөс 5 хүртэл "үсрэх" замаар л өөрчлөгддөг тоонуудын хэмжээ нь тоонуудаас ялгаатай байсан. Тоонууд нь хамгийн бага хуваагдашгүй хэмжигдэхүүнээс бүтдэг бол хэмжигдэхүүнийг тодорхойгүй хугацаагаар багасгаж болно.

Хэмжигдэхүүнтэй ямар ч тоон утга хамааралгүй тул Евдокс бутархайг хоёр хэмжигдэхүүний харьцаа, пропорцийг хоёр бутархайн тэгш байдал гэж тодорхойлохдоо харьцуулсан болон үл хэмжигдэхүүнийг хоёуланг нь хамарч чадсан. Тэгшитгэлээс тоон утгыг (тоо) хассанаар тэрээр иррационал хэмжигдэхүүнийг тоо гэж нэрлэх урхинаас зайлсхийсэн. Евдоксийн онол нь Грекийн математикчдад геометрийн чиглэлээр гайхалтай ахиц дэвшил гаргах боломжийг олгож, тэдэнд зүйрлэшгүй хэмжигдэхүүнтэй ажиллахад шаардлагатай логик үндэслэлийг бий болгосон. Евклидийн элементүүдийн арав дахь ном нь иррационал хэмжигдэхүүнүүдийн ангилалд зориулагдсан болно.

Дунд насны

Дундад зууны үе нь тэг, сөрөг тоо, бүхэл тоо, бутархай гэх мэт ойлголтуудыг анх Энэтхэг, дараа нь Хятадын математикчид хүлээн авснаараа онцлог юм. Хожим нь Арабын математикчид нэгдэж, сөрөг тоог анх удаа алгебрийн объект (эерэг тоонуудын хамт) гэж үзсэн нь одоо алгебр гэж нэрлэгддэг салбарыг хөгжүүлэх боломжтой болсон.

Арабын математикчид эртний Грекийн "тоо" ба "хэмжээ" гэсэн ойлголтуудыг нэгтгэж, бодит тоонуудын нэг, илүү ерөнхий санаа болгожээ. Тэд Евклидийн харилцааны талаархи санаа бодлыг шүүмжилж, эсрэгээрээ дурын хэмжигдэхүүнүүдийн харилцааны онолыг боловсруулж, тооны тухай ойлголтыг тасралтгүй хэмжигдэхүүнүүдийн харилцаа болгон өргөжүүлсэн. Персийн математикч Аль Махани (МЭ 800 он орчим) Евклидийн ном 10 элементийн талаархи тайлбартаа квадрат иррационал тоо (хэлбэрийн тоо) болон илүү ерөнхий куб иррационал тоонуудыг судалж, ангилсан байдаг. Тэрээр рационал ба иррационал хэмжигдэхүүнүүдийг тодорхойлсон бөгөөд түүнийг иррационал тоо гэж нэрлэсэн. Тэрээр эдгээр объектуудыг хялбархан ажиллуулж байсан ч тэдгээрийг тусдаа объект гэж ярьсан, жишээлбэл:

Хэмжигдэхүүн нь үндсэндээ шугамын хэрчмүүд гэсэн Евклидийн үзэл баримтлалаас ялгаатай нь Аль Махани бүхэл тоо ба бутархайг рационал хэмжигдэхүүн, квадрат ба шоо язгуурыг иррациональ гэж үзсэн. Тэрээр дараахь хэмжигдэхүүнүүдийн иррационалийг харуулсан хүн байсан тул иррационал тооны олонлогт арифметик хандлагыг нэвтрүүлсэн.

Египетийн математикч Абу Камил (МЭ 850 он - МЭ 930 он орчим) иррационал тоог квадрат тэгшитгэлийн шийдэл эсвэл тэгшитгэл дэх коэффициент гэж хүлээн зөвшөөрөхийг хамгийн түрүүнд хүлээн зөвшөөрсөн - ерөнхийдөө квадрат эсвэл куб хэлбэрийн үндэс, түүнчлэн үндэс дөрөв дэх зэрэг. 10-р зуунд Иракийн математикч Аль Хашими иррационал болон рационал тоонуудын үржвэрийн иррациональ байдал, категори болон бусад математик хувиргалтын үр дүнгийн ерөнхий нотолгоог (харааны геометрийн үзүүлбэр гэхээсээ илүү) гаргажээ. Аль Хазин (МЭ 900 - МЭ 971) оновчтой ба иррационал хэмжигдэхүүний дараах тодорхойлолтыг өгсөн.

Эдгээр санаануудын ихэнхийг 12-р зуунд араб бичвэрүүдийг латин хэл рүү хөрвүүлсний дараа Европын математикчид хожим баталжээ. Исламын өв залгамжлалын хуулиудаар мэргэшсэн Магребийн Арабын математикч Аль Хассар 12-р зуунд бутархай тоон болон хуваагчийг хэвтээ баараар хуваах орчин үеийн бэлгэдлийн математик тэмдэглэгээг нэвтрүүлсэн. Дараа нь 13-р зуунд Фибоначчийн бүтээлүүдэд ижил тэмдэглэгээ гарч ирэв. XIV-XVI зууны үед. Сангамаграмагийн Мадхава болон Кералагийн Одон орон, математикийн сургуулийн төлөөлөгчид зарим иррационал тоо, жишээлбэл, π-д нийлдэг хязгааргүй цувааг судалж, зарим нь иррациональ болохыг харуулсан. тригонометрийн функцууд. Жестадева эдгээр үр дүнг Юктибхаза номонд танилцуулсан. (трансцендент тоо байдаг гэдгийг нотлох), ингэснээр иррационал тоонуудын ангиллын талаархи Евклидийн ажлыг дахин эргэцүүлэн бодох болно. Энэ сэдвээр бүтээлүүд 1872 онд хэвлэгдсэн

Иррационал тоотой нягт холбоотой үргэлжилсэн бутархайг (өгөгдсөн тоог илэрхийлэх үргэлжилсэн бутархай нь зөвхөн иррациональ тохиолдолд хязгааргүй байдаг) анх 1613 онд Каталди судалж, дараа нь Эйлерийн бүтээлд дахин анхаарал хандуулсан. XIX эхэн үезуун - Лагранжийн бүтээлүүдэд. Дирихлет мөн үргэлжилсэн бутархайн онолыг хөгжүүлэхэд ихээхэн хувь нэмэр оруулсан. 1761 онд Ламберт үүнийг харуулахын тулд үргэлжилсэн бутархайг ашигласан π (\displaystyle \pi)оновчтой тоо биш, бас тэр e x (\displaystyle e^(x))Тэгээд tg ⁡ x (\displaystyle \operatorname (tg) x) 0-ээс бусад рационалын хувьд иррациональ байна x (\displaystyle x). Хэдийгээр Ламбертын нотлох баримтыг бүрэн бус гэж нэрлэж болох ч ерөнхийдөө, ялангуяа бичсэн цагийг нь авч үзвэл нэлээд хатуу гэж үздэг. 1794 онд Лежендре Бессел-Клиффордын функцийг нэвтрүүлсний дараа үүнийг харуулсан. π 2 (\displaystyle \pi ^(2))үндэслэлгүй, ухаангүй байдал хаанаас гардаг вэ? π (\displaystyle \pi)бага зэрэг дагадаг (рационал тоон квадрат нь оновчтой тоог өгнө).

Трансцендент тоо байдаг гэдгийг 1844-1851 онд Лиувилл нотолсон. Хожим нь Георг Кантор (1873) өөр аргыг ашиглан тэдний оршин тогтнолыг харуулсан бөгөөд бодит цувралын аль ч интервал нь хязгааргүй тооны трансцендент тоог агуулдаг гэж нотолсон. Чарльз Эрмит 1873 онд үүнийг нотолсон дтрансцендентал, 1882 онд Фердинанд Линдеманн энэхүү үр дүнд үндэслэн трансцендентийг харуулсан. π (\displaystyle \pi) Уран зохиол

Рационал тоо нь бутархай хэлбэрээр илэрхийлэгдэх тоо юм, хаана . Q нь бүх рационал тоонуудын багц юм.

Рационал тоог эерэг, сөрөг, тэг гэж хуваадаг.

Рационал тоо бүрийг координатын шугамын нэг цэгтэй холбож болно. Цэгүүдийн "зүүн тийш илүү" харьцаа нь эдгээр цэгүүдийн координатын "бага" харьцаатай тохирч байна. Сөрөг тоо бүр тэгээс бага, эерэг тоо бүрийг тэмдэглэж болно; Хоёр сөрөг тооноос хэмжээ нь их байгаа нь бага байна. Тэгэхээр -5.3<-4.1, т.к. |5.3|>|4.1|.

Рационал тоо бүрийг үечилсэн аравтын бутархай хэлбэрээр илэрхийлж болно. Жишээлбэл, .

Рационал тоон дээрх үйлдлүүдийн алгоритм нь тэг ба эерэг бутархай дээрх харгалзах үйлдлүүдийн тэмдгийн дүрмийн дагуу гардаг. Q-д хуваах нь тэгээр хуваагдахаас бусад тохиолдолд хийгддэг.

Аливаа шугаман тэгшитгэл, i.e. ax+b=0 хэлбэрийн тэгшитгэл нь Q олонлог дээр шийдэгдэх боловч хэлбэрийн квадрат тэгшитгэл биш. , рационал тоогоор шийдэгдэх боломжтой. Координатын шулуун дээрх цэг бүр оновчтой цэгтэй байдаггүй. МЭӨ 6-р зууны төгсгөлд. n. Пифагорын сургуульд дөрвөлжингийн диагональ нь түүний өндөртэй тохирдоггүй нь батлагдсан бөгөөд энэ нь "Тэгшитгэл нь оновчтой үндэсгүй" гэсэн үгтэй адил юм. Дээрх бүх зүйл Q олонлогийг өргөжүүлэх хэрэгцээг бий болгож, иррационал тооны тухай ойлголтыг нэвтрүүлсэн. Иррационал тооны багцыг үсгээр тэмдэглэе Ж .

Координатын шугам дээр би оновчтой координатгүй бүх цэгүүдийн иррационал координатуудтай байдаг. , энд r нь бодит тооны олонлог юм. Аравтын бутархай нь бодит тоог тодорхойлох бүх нийтийн арга юм. Үе үе аравтын бутархай нь рационал тоог, үе бус аравтын бутархай нь иррационал тоог тодорхойлдог. Тэгэхээр 2.03(52) нь рационал тоо, 2.03003000300003... (дараагийн “3” тоо бүрийн үеийг нэг тэгээр бичнэ) иррационал тоо.

Q ба R олонлогууд нь эерэг шинж чанартай байдаг: дурын хоёр рационал тооны хооронд рационал тоо байдаг, жишээлбэл, esoi a.

Аливаа иррационал тооны хувьд α Та оновчтой ойролцооллыг дутагдалтай ба илүүдэлтэй аль алиныг нь ямар ч нарийвчлалтайгаар зааж болно: a< α

Зарим рационал тооны үндсийг авах үйлдлээс иррационал тоо гарч ирнэ. Байгалийн зэрэглэлийн үндсийг гаргаж авах нь алгебрийн үйлдэл, i.e. түүний танилцуулга нь хэлбэрийн алгебрийн тэгшитгэлийн шийдэлтэй холбоотой юм . Хэрэв n нь сондгой бол, өөрөөр хэлбэл. n=2k+1, энд , тэгвэл тэгшитгэл нэг язгууртай байна. Хэрэв n тэгш бол n=2k, энд , тэгвэл a=0 хувьд тэгшитгэл нь нэг язгууртай байна x=0, a хувьд.<0 корней нет, при a>0 нь эсрэг талын хоёр үндэстэй. Үндэсийг гаргаж авах нь байгалийн хүчийг өсгөх урвуу үйлдэл юм.

Сөрөг бус a тооны n-р зэргийн арифметик язгуур (богино язгуур) нь сөрөг бус тоо b бөгөөд энэ нь тэгшитгэлийн язгуур юм. Тооны n-р язгуурыг тэмдгээр тэмдэглэнэ. n=2 үед язгуур 2-ын зэргийг заагаагүй: .

Жишээлбэл, учир нь 2 2 =4 ба 2>0; , учир нь 3 3 =27 ба 3>0; байхгүй учраас -4<0.

n=2k ба a>0-ийн хувьд (1) тэгшитгэлийн язгуурыг ба гэж бичнэ. Жишээлбэл, x 2 =4 тэгшитгэлийн үндэс нь 2 ба -2 байна.

n сондгойн хувьд (1) тэгшитгэл нь дурын язгууртай. Хэрэв a≥0 бол энэ тэгшитгэлийн үндэс нь байна. Хэрвээ<0, то –а>0 ба тэгшитгэлийн үндэс юм. Тэгэхээр x 3 = 27 тэгшитгэл нь үндэстэй.

Иррационал тооны багцыг ихэвчлэн том үсгээр тэмдэглэдэг Би (\displaystyle \mathbb (I))сүүдэргүй тод хэв маягаар. Тиймээс: I = R ∖ Q (\displaystyle \mathbb (I) =\mathbb (R) \арын налуу зураас \mathbb (Q) ), өөрөөр хэлбэл иррационал тооны олонлог нь бодит ба рационал тооны олонлогуудын ялгаа юм.

Иррационал тоонууд, илүү нарийвчлалтай, нэгж урттай сегменттэй харьцуулшгүй сегментүүд байгаа нь эртний математикчдад аль хэдийн мэдэгдэж байсан: тэд жишээлбэл, диагональ ба квадратын хажуугийн харьцуулшгүй байдлыг мэддэг байсан бөгөөд энэ нь дөрвөлжингийн иррациональтай тэнцэх болно. дугаар.

Нэвтэрхий толь бичиг YouTube

• 1 / 5

  Оновчгүй зүйл нь:

  Оновчгүй байдлын нотолгооны жишээ

  2-ын үндэс

  Үүний эсрэгээр гэж үзье: 2 (\displaystyle (\sqrt (2)))оновчтой, өөрөөр хэлбэл бутархай хэлбэрээр илэрхийлэгддэг m n (\displaystyle (\frac (m)(n))), Хаана m (\displaystyle m)нь бүхэл тоо бөгөөд n (\displaystyle n)- натурал тоо.

  Боломжит тэгш байдлыг квадрат болгоё:

  2 = m n ⇒ 2 = m 2 n 2 ⇒ m 2 = 2 n 2 (\displaystyle (\sqrt (2))=(\frac (m)(n))\Баруун сум 2=(\frac (m^(2)) ))(n^(2)))\Баруун сум m^(2)=2n^(2)).

  Өгүүллэг

  Эртний үе

  Иррационал тооны тухай ойлголтыг Энэтхэгийн математикчид МЭӨ 7-р зуунд Манава (МЭӨ 750 он - МЭӨ 690 он) 2 ба 61 гэх мэт зарим натурал тоонуудын квадрат язгуурыг тодорхой илэрхийлэх боломжгүй гэдгийг олж мэдсэнээр далд хэлбэрээр баталсан. [ ] .

  Иррационал тоо байгаагийн анхны нотолгоог ихэвчлэн Пифагорын хүн болох Метапонтын Гиппас (МЭӨ 500 оны орчим) гэж үздэг. Пифагорчуудын үед хангалттай жижиг, хуваагдашгүй уртын нэг нэгж байдаг гэж үздэг байсан бөгөөд энэ нь аль ч сегментэд бүхэл тооны удаа ордог. ] .

  Хиппас аль тоо нь үндэслэлгүй болохыг нотолсон тодорхой мэдээлэл байхгүй байна. Домогт өгүүлснээр тэрээр таван хошууны хажуугийн уртыг судалснаар олсон байна. Тиймээс энэ нь алтан харьцаа байсан гэж үзэх үндэслэлтэй. ] .

  Грекийн математикчид үүнийг харьцуулшгүй хэмжигдэхүүнүүдийн харьцаа гэж нэрлэдэг alogos(Үгээр хэлэхийн аргагүй), гэхдээ домогт өгүүлснээр тэд Хиппасусыг зохих ёсоор хүндэтгэдэггүй байв. Хиппас далайд аялж байхдаа энэ нээлтийг хийж, бусад Пифагорчууд "орчлон ертөнцийн бүх биетүүдийг бүхэл тоо болон тэдгээрийн харьцаа болгон бууруулж болно гэсэн сургаалыг үгүйсгэсэн орчлон ертөнцийн элементийг бий болгосноос" болж шидсэн гэсэн домог байдаг. Хиппасыг нээсэн нь Пифагорын математикийн хувьд ноцтой асуудал үүсгэж, тоонууд болон геометрийн биетүүд нэг бөгөөд салшгүй холбоотой гэсэн үндсэн таамаглалыг устгасан.

  Тоо, ялангуяа натурал тоог ойлгох нь математикийн хамгийн эртний "ур чадвар"-ын нэг юм. Олон соёл иргэншил, тэр ч байтугай орчин үеийнх ч байгалийг дүрслэн харуулахад асар их ач холбогдол өгдөг тул тоонуудын тодорхой ид шидийн шинж чанаруудтай холбоотой байдаг. Хэдийгээр орчин үеийн шинжлэх ухаан, математик эдгээр "шидэт" шинж чанаруудыг баталж чадахгүй ч тооны онолын ач холбогдлыг үгүйсгэх аргагүй юм.

  Түүхийн хувьд эхлээд төрөл бүрийн натурал тоонууд гарч ирсэн бөгөөд дараа нь нэлээд хурдан бутархай, эерэг иррационал тоонууд нэмэгджээ. Бодит тооны олонлогийн эдгээр дэд олонлогуудын дараа тэг ба сөрөг тоог нэвтрүүлсэн. Сүүлийн багц буюу нийлмэл тоонуудын багц нь орчин үеийн шинжлэх ухаан хөгжихийн хэрээр л гарч ирсэн.

  Орчин үеийн математикт тоонуудыг түүхэн дарааллаар нь оруулдаггүй, гэхдээ үүнтэй нэлээд ойрхон байдаг.

  Натурал тоо $\mathbb(N)$

  Натурал тоонуудын багцыг ихэвчлэн $\mathbb(N)=\lbrace 1,2,3,4... \rbrace $ гэж тэмдэглэдэг ба $\mathbb(N)_0$-г тэмдэглэхийн тулд ихэвчлэн тэгээр дүүргэдэг.

  $\mathbb(N)$ нь \mathbb(N)$ доторх дурын $a,b,c\-д дараах шинж чанаруудтай нэмэх (+) ба үржүүлэх ($\cdot$) үйлдлүүдийг тодорхойлдог.

  1. $a+b\in \mathbb(N)$, $a\cdot b \mathbb(N)$-д $\mathbb(N)$ олонлогийг нэмэх, үржүүлэх үйлдлүүдийн дор хаав.
  2. $a+b=b+a$, $a\cdot b=b\cdot a$ шилжих чадвар
  3. $(a+b)+c=a+(b+c)$, $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ нэгдэл
  4. $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ тархалт
  5. $a\cdot 1=a$ нь үржүүлэхэд саармаг элемент юм

  $\mathbb(N)$ олонлог нь үржүүлэхэд зориулагдсан төвийг сахисан элемент агуулсан боловч нэмэхэд зориулагдаагүй тул энэ олонлогт тэг нэмэх нь нэмэхэд зориулсан саармаг элементийг агуулсан байх болно.

  Эдгээр хоёр үйлдлээс гадна "бага" харьцаа ($

  1. $a b$ трихотоми
  2. хэрэв $a\leq b$ ба $b\leq a$ бол $a=b$ тэгш хэмийн эсрэг
  3. хэрэв $a\leq b$ болон $b\leq c$ бол $a\leq c$ нь шилжилт хөдөлгөөнтэй байна.
  4. хэрэв $a\leq b$ бол $a+c\leq b+c$
  5. хэрэв $a\leq b$ бол $a\cdot c\leq b\cdot c$

  Бүхэл тоо $\mathbb(Z)$

  Бүхэл тоонуудын жишээ:
  $1, -20, -100, 30, -40, 120...$

  $a+x=b$ тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд $a$ ба $b$ нь мэдэгдэж байгаа натурал тоо, $x$ нь үл мэдэгдэх натурал тоо байх тул шинэ үйлдэл - хасах(-) -ийг нэвтрүүлэх шаардлагатай. Хэрэв энэ тэгшитгэлийг хангах $x$ натурал тоо байвал $x=b-a$. Гэсэн хэдий ч, энэ тодорхой тэгшитгэл нь $\mathbb(N)$ олонлог дээр шийдэлтэй байх албагүй тул практикийн үүднээс авч үзэхийн тулд натурал тоонуудын багцыг өргөтгөж, ийм тэгшитгэлийн шийдийг оруулах шаардлагатай. Энэ нь бүхэл тооны багцыг нэвтрүүлэхэд хүргэдэг: $\mathbb(Z)=\lbrace 0,1,-1,2,-2,3,-3...\rbrace$.

  $\mathbb(N)\subset \mathbb(Z)$ тул өмнө нь нэвтрүүлсэн $+$ ба $\cdot$ үйлдлүүд болон $ 1 харьцаанууд гэж үзэх нь логик юм. $0+a=a+0=a$ нэмэхэд саармаг элемент байдаг
  2. $a+(-a)=(-a)+a=0$ $a$-д $-a$ эсрэг тоо байна.
  

  Өмч 5.:
  5. хэрэв $0\leq a$ ба $0\leq b$ бол $0\leq a\cdot b$

  $\mathbb(Z)$ олонлог нь мөн хасах үйлдлийн дор хаагдана, өөрөөр хэлбэл $(\forall a,b\in \mathbb(Z))(a-b\in \mathbb(Z))$.

  Рационал тоо $\mathbb(Q)$

  Рационал тоонуудын жишээ:
  $\frac(1)(2), \frac(4)(7), -\frac(5)(8), \frac(10)(20)...$

  Одоо $a\cdot x=b$ хэлбэрийн тэгшитгэлийг авч үзье, $a$ ба $b$ нь мэдэгдэж буй бүхэл тоо, $x$ нь үл мэдэгдэх тоо юм. Шийдэл боломжтой байхын тулд хуваах үйлдлийг ($:$) нэвтрүүлэх шаардлагатай бөгөөд шийдэл нь $x=b:a$, өөрөөр хэлбэл $x=\frac(b)(a)$ хэлбэртэй байна. . $x$ нь $\mathbb(Z)$-д үргэлж хамаарахгүй тул бүхэл тооны багцыг өргөтгөх шаардлагатай гэсэн асуудал дахин гарч ирнэ. Энэ нь $\frac(p)(q)$ элементүүдтэй $\mathbb(Q)$ рационал тоонуудын багцыг танилцуулж, $p\in \mathbb(Z)$ болон $q\in \mathbb(N)$ байна. $\mathbb(Z)$ олонлог нь элемент тус бүр нь $q=1$ байх дэд олонлог тул $\mathbb(Z)\дэд олонлог \mathbb(Q)$ болон нэмэх, үржүүлэх үйлдлүүд нь дараах дагуу энэ олонлогт хүрдэг. $\mathbb(Q)$ багц дээрх дээрх бүх шинж чанарыг хадгалах дараах дүрмүүд:
  $\frac(p_1)(q_1)+\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot q_2+p_2\cdot q_1)(q_1\cdot q_2)$
  $\frac(p-1)(q_1)\cdot \frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot p_2)(q_1\cdot q_2)$

  Хэсгийг дараах байдлаар танилцуулав.
  $\frac(p_1)(q_1):\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1)(q_1)\cdot \frac(q_2)(p_2)$

  $\mathbb(Q)$ олонлог дээр $a\cdot x=b$ тэгшитгэл нь $a\neq 0$ тус бүрд өвөрмөц шийдэлтэй байна (тэгээр хуваах нь тодорхойгүй). Энэ нь $\frac(1)(a)$ эсвэл $a^(-1)$ урвуу элемент байна гэсэн үг:
  $(\forall a\in \mathbb(Q)\setminus\lbrace 0\rbrace)(\байна \frac(1)(a))(a\cdot \frac(1)(a)=\frac(1) (a)\cdot a=a)$

  $\mathbb(Q)$ багцын дарааллыг дараах байдлаар өргөжүүлж болно.
  $\frac(p_1)(q_1)

  $\mathbb(Q)$ олонлог нь нэг чухал шинж чанартай: дурын хоёр рационал тооны хооронд бусад хязгааргүй олон рационал тоо байдаг тул натурал болон бүхэл тоонуудын олонлогоос ялгаатай нь хоёр зэргэлдээ рационал тоо байдаггүй.

  Иррационал тоо $\mathbb(I)$

  Иррационал тоонуудын жишээ:
  $0.333333...$
  $\sqrt(2) \ойролцоогоор 1.41422135...$
  $\pi\ойролцоогоор 3.1415926535...$

  Аливаа хоёр рационал тооны хооронд хязгааргүй олон тооны бусад рационал тоо байдаг тул рационал тоонуудын багц нь маш нягт тул үүнийг цаашид өргөжүүлэх шаардлагагүй гэж буруу дүгнэхэд хялбар байдаг. Пифагор хүртэл өөрийн үед ийм алдаа гаргажээ. Гэвч түүний үеийнхэн $x\cdot x=2$ ($x^2=2$) тэгшитгэлийн шийдлийг рационал тооны олонлог дээр судлахдаа энэ дүгнэлтийг аль хэдийн няцаасан байдаг. Ийм тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд квадрат язгуурын тухай ойлголтыг нэвтрүүлэх шаардлагатай бөгөөд дараа нь энэ тэгшитгэлийн шийдэл нь $x=\sqrt(2)$ хэлбэртэй байна. $x^2=a$ гэх мэт тэгшитгэл нь $a$ нь мэдэгдэж байгаа рационал тоо, $x$ нь үл мэдэгдэх нь байдаг бөгөөд энэ нь рационал тооны олонлогийн шийдэлтэй байдаггүй бөгөөд дахин өргөтгөх хэрэгцээ гарч ирдэг. тогтоосон. Иррационал тооны багц үүсч, $\sqrt(2)$, $\sqrt(3)$, $\pi$... зэрэг тоонууд энэ олонлогт хамаарна.

  Бодит тоо $\mathbb(R)$

  Рационал ба иррационал тооны олонлогуудын нэгдэл нь бодит тоонуудын олонлог юм. $\mathbb(Q)\дэд олонлог \mathbb(R)$ тул шинээр олонлогт оруулсан арифметик үйлдлүүд болон харилцаанууд шинж чанараа хадгална гэж үзэх нь дахин логик юм. Үүний албан ёсны баталгаа нь маш хэцүү тул дээр дурдсан арифметик үйлдлүүд болон бодит тооны олонлог дээрх харилцааны шинж чанаруудыг аксиом болгон танилцуулав. Алгебрийн хувьд ийм объектыг талбар гэж нэрлэдэг тул бодит тооны олонлогийг эрэмбэлэгдсэн талбар гэж нэрлэдэг.

  Бодит тооны олонлогийн тодорхойлолт бүрэн байхын тулд $\mathbb(Q)$ болон $\mathbb(R)$ олонлогуудыг ялгах нэмэлт аксиомыг нэвтрүүлэх шаардлагатай. $S$ нь бодит тооны олонлогийн хоосон бус дэд олонлог гэж бодъё. $b\in \mathbb(R)$ элементийг $\forall x\in S$ нь $x\leq b$-г агуулж байвал $S$ олонлогийн дээд хязгаар гэнэ. Дараа нь бид $S$ багцыг дээр нь хязгаарласан гэж хэлдэг. $S$ багцын хамгийн жижиг дээд хязгаарыг дээд хязгаар гэж нэрлэх ба $\sup S$ гэж тэмдэглэнэ. Доод хязгаар, доор хязгаарлагдсан багц, infinum $\inf S$ гэсэн ойлголтуудыг мөн адил танилцуулсан. Одоо алга болсон аксиомыг дараах байдлаар томъёоллоо.

  Бодит тооны олонлогийн хоосон бус, дээд хязгаарлагдмал аливаа дэд олонлог дээд утгатай байна.
  Дээр дурдсан аргаар тодорхойлсон бодит тоонуудын талбар нь өвөрмөц гэдгийг мөн баталж болно.

  Цогцолбор тоо $\mathbb(C)$

  Комплекс тоонуудын жишээ:
  $(1, 2), (4, 5), (-9, 7), (-3, -20), (5, 19),...$
  $1 + 5i, 2 - 4i, -7 + 6i...$ энд $i = \sqrt(-1)$ эсвэл $i^2 = -1$

  Комплекс тоонуудын багц нь бодит тоонуудын бүх эрэмблэгдсэн хосуудыг төлөөлдөг, өөрөөр хэлбэл $\mathbb(C)=\mathbb(R)^2=\mathbb(R)\times \mathbb(R)$ бөгөөд эдгээрийн үйлдлүүд дээр нэмэх, үржүүлэх үйлдлийг дараах байдлаар тодорхойлно.
  $(a,b)+(c,d)=(a+b,c+d)$
  $(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)$

  Нарийн төвөгтэй тоо бичих хэд хэдэн хэлбэр байдаг бөгөөд тэдгээрийн хамгийн түгээмэл нь $z=a+ib$, $(a,b)$ нь хос бодит тоо, $i=(0,1)$ тоо юм. төсөөллийн нэгж гэж нэрлэдэг.

  $i^2=-1$ гэдгийг харуулахад амархан. $\mathbb(R)$ олонлогийг $\mathbb(C)$ олонлог болгон өргөтгөснөөр сөрөг тоонуудын квадрат язгуурыг тодорхойлох боломжтой болсон нь комплекс тооны олонлогийг нэвтрүүлэх үндэслэл болсон юм. Мөн $\mathbb(C)_0=\lbrace (a,0)|a\ in \mathbb(R)\rbrace$-ээр өгөгдсөн $\mathbb(C)$ олонлогийн дэд олонлогийг харуулахад хялбар байдаг. бодит тоонуудын бүх аксиомыг хангадаг тул $\mathbb(C)_0=\mathbb(R)$, эсвэл $R\дэд олонлог\mathbb(C)$.

  $\mathbb(C)$ олонлогийн нэмэх ба үржүүлэх үйлдлүүдийн алгебрийн бүтэц нь дараах шинж чанартай байна.
  1. нэмэх, үржүүлэхийн солих чадвар
  2. нэмэх ба үржүүлэхийн холбоо
  3. $0+i0$ - нэмэхэд зориулсан саармаг элемент
  4. $1+i0$ - үржүүлэхэд зориулсан саармаг элемент
  5. Үржүүлэх нь нэмэхийн хувьд хуваарилалт юм
  6. Нэмэх ба үржүүлэхийн аль алинд нь нэг урвуу байдаг.

  Бүх натурал тоонуудын олонлогийг N үсгээр тэмдэглэдэг. Натурал тоо гэдэг нь бидний биетийг тоолоход ашигладаг тоонууд юм: 1,2,3,4, ... Зарим эх сурвалжид 0 тоог мөн натурал тоо гэж үздэг.

  Бүх бүхэл тоонуудын багцыг Z үсгээр тэмдэглэнэ. Бүхэл тоонууд нь бүх натурал, тэг ба сөрөг тоонууд юм.

  1,-2,-3, -4, …

  Одоо бүх бүхэл тооны олонлог дээр бүх энгийн бутархайн олонлогийг нэмье: 2/3, 18/17, -4/5 гэх мэт. Дараа нь бид бүх рационал тоонуудын багцыг авна.

  Рационал тоонуудын багц

  Бүх рационал тоонуудын олонлогийг Q үсгээр тэмдэглэнэ.Бүх рационал тооны олонлог (Q) нь m/n, -m/n хэлбэрийн тоо болон 0 тооноос тогтсон олонлог юм. Аливаа натурал тоо дараах байдлаар үйлчилж болно. н, м. Бүх рационал тоог төгсгөлтэй эсвэл хязгааргүй PERIODIC аравтын бутархай хэлбэрээр илэрхийлж болно гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Мөн эсрэгээр нь төгсгөлтэй эсвэл хязгааргүй үечилсэн аравтын бутархайг рационал тоо болгон бичиж болно.

  Харин жишээ нь 2.0100100010... тоо юу вэ? Энэ нь төгсгөлгүй ҮЕИЙН БИШ бутархай бутархай юм. Мөн энэ нь оновчтой тоонд хамаарахгүй.

  Сургуулийн алгебрийн хичээлд зөвхөн бодит (эсвэл бодит) тоог судалдаг. Бүх бодит тоонуудын багцыг R үсгээр тэмдэглэнэ. R олонлог нь бүх рационал ба бүх иррационал тооноос бүрдэнэ.

  Иррационал тооны тухай ойлголт

  Иррационал тоонууд нь бүгд хязгааргүй аравтын үе бус бутархай юм. Иррационал тоонд тусгай тэмдэглэгээ байдаггүй.

  Жишээлбэл, натурал тоонуудын квадрат биш натурал тоонуудын квадрат язгуурыг гаргаж авсан бүх тоо иррациональ байх болно. (√2, √3, √5, √6 гэх мэт).

  Гэхдээ дөрвөлжин үндсийг гаргаж авснаар иррационал тоонууд олддог гэж битгий бодоорой. Жишээлбэл, "pi" тоо нь бас иррациональ бөгөөд үүнийг хуваах замаар олж авдаг. Хичнээн хичээсэн ч аль ч натурал тооны квадрат язгуурыг авч чадахгүй.