Логарифмын шинж чанарууд ба тэдгээрийн шийдлийн жишээ. Цогц гарын авлага (2019). Натурал логарифмын шинж чанарууд: график, суурь, функц, хязгаар, томъёо, тодорхойлолтын муж

Түүний тодорхойлолтоос үүдэлтэй. Тэгээд тооны логарифм бдээр суурилсан Атоог өсгөх ёстой экспонент гэж тодорхойлдог адугаарыг авахын тулд б(логарифм нь зөвхөн эерэг тоонуудад байдаг).

Энэхүү томьёоллоос харахад тооцоолол x=log a b, тэгшитгэлийг шийдвэрлэхтэй тэнцүү байна a x =b.Жишээлбэл, бүртгэл 2 8 = 3учир нь 8 = 2 3 . Логарифмын томъёолол нь хэрэв гэдгийг зөвтгөх боломжтой болгодог b=a c, дараа нь тооны логарифм бдээр суурилсан атэнцүү байна -тай. Мөн логарифмын сэдэв нь тооны хүчний сэдэвтэй нягт холбоотой болох нь тодорхой байна.

Аливаа тоонуудын нэгэн адил логарифмын тусламжтайгаар та хийж болно нэмэх, хасах үйлдлүүдБоломжтой бүх талаар өөрчлөх. Гэхдээ логарифм нь бүхэлдээ энгийн тоо биш тул энд өөрийн гэсэн тусгай дүрэм үйлчилдэг. үндсэн шинж чанарууд.

Логарифм нэмэх, хасах.

Ижил суурьтай хоёр логарифмыг авъя: log a xТэгээд log a y. Дараа нь нэмэх, хасах үйлдлүүдийг хийх боломжтой:

log a x+ log a y= log a (x·y);

log a x - log a y = log a (x:y).

бүртгэл а(x 1 . x 2 . x 3 ... х к) = log a x 1 + log a x 2 + log a x 3 + ... + log a x k.

-аас логарифмын категорийн теоремЛогарифмын өөр нэг шинж чанарыг олж авч болно. Бүртгүүлэх нь нийтлэг ойлголт юм а 1= 0, тиймээс

бүртгэл а 1 /б= бүртгэл а 1 - бүртгэл a b= - бүртгэл a b.

Энэ нь тэгш байдал байна гэсэн үг:

log a 1 / b = - log a b.

Хоёр харилцан хамааралтай тооны логарифмуудижил шалтгаанаар бие биенээсээ зөвхөн тэмдгээр ялгаатай байх болно. Тэгэхээр:

Бүртгэл 3 9= - бүртгэл 3 1 / 9 ; бүртгэл 5 1 / 125 = -лог 5 125.

1.1. Бүхэл тоон илтгэгчийн илтгэгчийг тодорхойлох

X 1 = X
X 2 = X * X
X 3 = X * X * X
…
X N = X * X * … * X - N удаа

1.2. Тэг градус.

Тодорхойлолтоор аливаа тооны тэг хүч нь 1 байна гэж ерөнхийд нь хүлээн зөвшөөрдөг.

1.3. Сөрөг зэрэг.

X -N = 1/X N

1.4. Бутархай хүч, үндэс.

X 1/N = X-ийн N үндэс.

Жишээ нь: X 1/2 = √X.

1.5. Эрх нэмэх томъёо.

X (N+M) = X N *X M

1.6.Чадлыг хасах томьёо.

X (N-M) = X N /X M

1.7. Үржүүлэх чадварыг тооцоолох томъёо.

X N*M = (X N) M

1.8. Бутархайг зэрэгт хүргэх томъёо.

(X/Y) N = X N /Y N

2. Тоо e.

e тооны утга нь дараах хязгаартай тэнцүү байна.

E = lim(1+1/N), N → ∞ гэж.

17 цифрийн нарийвчлалтай e тоо нь 2.71828182845904512.

3. Эйлерийн тэгш байдал.

Энэ тэгшитгэл нь математикт онцгой үүрэг гүйцэтгэдэг таван тоог холбодог: 0, 1, e, pi, төсөөллийн нэгж.

E (i*pi) + 1 = 0

4. Экспоненциал функц exp(x)

exp(x) = e x

5. Экспоненциал функцийн дериватив

Экспоненциал функц нь гайхалтай шинж чанартай: функцийн дериватив нь экспоненциал функцтэй тэнцүү байна.

(exp(x))" = exp(x)

6. Логарифм.

6.1. Логарифмын функцийн тодорхойлолт

Хэрэв x = b y бол логарифм нь функц болно

Y = Лог b(x).

Логарифм нь тоог ямар түвшинд өсгөх ёстойг харуулдаг - өгөгдсөн тоог (X) олж авахын тулд логарифмын суурь (b). Логарифмын функц нь тэгээс их X хувьд тодорхойлогддог.

Жишээ нь: Бүртгэл 10 (100) = 2.

6.2. Аравтын логарифм

Энэ нь 10 суурьтай логарифм юм:

Y = Лог 10 (x) .

Log(x) гэж тэмдэглэсэн: Log(x) = Log 10 (x).

Аравтын бутархай логарифм ашиглах жишээ бол децибел юм.

6.3. Децибел

Энэ зүйлийг Децибелийн тусдаа хуудсан дээр тодруулсан болно

6.4. Хоёртын логарифм

Энэ нь суурь 2 логарифм юм:

Y = Лог 2 (x).

Lg(x)-ээр тэмдэглэсэн: Lg(x) = Log 2 (X)

6.5. Байгалийн логарифм

Энэ нь e суурийн логарифм юм:

Y = Log e (x) .

Ln(x)-ээр тэмдэглэсэн: Ln(x) = Log e (X)
Натурал логарифм нь exp(X) экспоненциал функцийн урвуу функц юм.

6.6. Онцлог цэгүүд

Лога(1) = 0
Лог a (a) = 1

6.7. Бүтээгдэхүүний логарифмын томъёо

Log a (x*y) = Log a (x)+Log a (y)

6.8. Хэсгийн логарифмын томъёо

Log a (x/y) = Log a (x)-Log a (y)

6.9. Эрчим хүчний томъёоны логарифм

Log a (x y) = y*Log a (x)

6.10. Өөр суурьтай логарифм руу хөрвүүлэх томъёо

Log b (x) = (Log a (x))/Log a (b)

Жишээ:

Бүртгэл 2 (8) = Бүртгэл 10 (8) / Бүртгэл 10 (2) =
0.903089986991943552 / 0.301029995663981184 = 3

7. Амьдралд хэрэгтэй томьёо

Ихэнхдээ эзэлхүүнийг талбай эсвэл урт болгон хувиргах, урвуу асуудал - талбайг эзэлхүүн болгон хувиргах асуудал гардаг. Жишээлбэл, хавтанг шоо (шоо метр) хэлбэрээр зардаг бөгөөд бид хэр их хананы талбайг тодорхой эзэлхүүнтэй хавтангаар бүрхэж болохыг тооцоолох хэрэгтэй, самбаруудын тооцоог үзнэ үү, шоо дөрвөлжин хэр олон самбар байна. Эсвэл хананы хэмжээсийг мэддэг бол тоосгоны тоог тооцоолох хэрэгтэй, тоосгоны тооцоог үзнэ үү.

Эх сурвалжийн идэвхтэй холбоосыг суулгасан тохиолдолд сайтын материалыг ашиглахыг зөвшөөрнө.

Тооны логарифм Н дээр суурилсан А экспонент гэж нэрлэдэг X , та үүнийг барих хэрэгтэй А дугаарыг авахын тулд Н

Тэгсэн бол
,
,

Логарифмын тодорхойлолтоос харахад ийм байна
, өөрөөр хэлбэл
- энэ тэгш байдал нь үндсэн логарифмын ижилсэл юм.

10 суурь хүртэлх логарифмийг аравтын логарифм гэнэ. Оронд нь
бичих
.

Суурь руу логарифмууд д байгалийн гэж нэрлэдэг бөгөөд зориулалтын байна
.

Логарифмын үндсэн шинж чанарууд.

Нэгийн логарифм нь аль ч суурийн хувьд тэгтэй тэнцүү байна.

Бүтээгдэхүүний логарифм нь хүчин зүйлийн логарифмын нийлбэртэй тэнцүү байна.

3) Хэсгийн логарифм нь логарифмын зөрүүтэй тэнцүү байна

Хүчин зүйл
логарифмаас суурь руу шилжих модуль гэж нэрлэдэг а суурь дээр логарифм руу б .

2-5-р шинж чанарыг ашиглан логарифм дээрх энгийн арифметик үйлдлийн үр дүнд нийлмэл илэрхийллийн логарифмыг багасгах боломжтой байдаг.

Жишээлбэл,

Логарифмын ийм хувиргалтыг логарифм гэж нэрлэдэг. Логарифмын урвуу хувиргалтыг потенциац гэж нэрлэдэг.

Бүлэг 2. Дээд математикийн элементүүд.

1. Хязгаарлалт

Функцийн хязгаар
нь хязгаарлагдмал А тоо юм xx 0 урьдчилан тодорхойлсон тус бүрийн хувьд
, ийм тоо байна
тэр даруйдаа
, Тэр
.

Хязгаарлалттай функц нь үүнээс хязгааргүй бага хэмжээгээр ялгаатай:
, хаана- b.m.v., i.e.
.

Жишээ. Функцийг авч үзье
.

Хичээж байхдаа
, функц y тэг рүү чиглэдэг:

1.1. Хязгаарын тухай үндсэн теоремууд.

Тогтмол утгын хязгаар нь энэ тогтмол утгатай тэнцүү байна

.

Хязгаарлагдмал тооны функцын нийлбэрийн (ялгаа) хязгаар нь эдгээр функцүүдийн хязгаарын нийлбэр (ялгаа)-тай тэнцүү байна.

Хязгаарлагдмал тооны функцын үржвэрийн хязгаар нь эдгээр функцүүдийн хязгаарын үржвэртэй тэнцүү байна.

Хэрэв хуваагчийн хязгаар тэг биш бол хоёр функцийн хязгаарын хязгаар нь эдгээр функцүүдийн хязгаарын хуваарьтай тэнцүү байна.

Гайхамшигтай хязгаарууд

,
, Хаана

1.2. Хязгаарлалтын тооцооны жишээ

Гэсэн хэдий ч бүх хязгаарыг тийм ч хялбархан тооцдоггүй. Ихэнхдээ хязгаарыг тооцоолох нь тодорхойгүй байдлын төрлийг илрүүлэхэд хүргэдэг. эсвэл .

.

2. Функцийн дериватив

Бидэнд функцтэй байцгаая
, сегмент дээр тасралтгүй
.

Аргумент бага зэрэг нэмэгдлээ
. Дараа нь функц нь нэмэгдлийг хүлээн авах болно
.

Аргументын утга функцийн утгатай тохирч байна
.

Аргументын утга
функцийн утгатай тохирч байна.

Тиймээс, .

Энэ харьцааны хязгаарыг олъё
. Хэрэв энэ хязгаар байгаа бол өгөгдсөн функцийн дериватив гэж нэрлэдэг.

Тодорхойлолт 3 Өгөгдсөн функцийн дериватив
аргументаар аргументийн өсөлт нь дур зоргоороо тэг рүү чиглэх үед функцийн өсөлтийг аргументийн өсөлттэй харьцуулсан харьцааны хязгаар гэж нэрлэдэг.

Функцийн дериватив
дараах байдлаар тодорхойлж болно:

; ; ; .

Тодорхойлолт 4 Функцийн деривативыг олох үйлдлийг гэнэ ялгах.

2.1. Деривативын механик утга.

Зарим хатуу бие эсвэл материаллаг цэгийн шулуун хөдөлгөөнийг авч үзье.

Хэзээ нэгэн цагт зөвшөөр хөдлөх цэг
зайтай байсан эхлэх байрлалаас
.

Хэсэг хугацааны дараа
тэр хол нүүсэн
. Хандлага =- материаллаг цэгийн дундаж хурд
. Үүнийг харгалзан энэ харьцааны хязгаарыг олъё
.

Иймээс материаллаг цэгийн хөдөлгөөний агшин зуурын хурдыг тодорхойлох нь цаг хугацааны хувьд замын деривативыг олох хүртэл буурдаг.

2.2. Деривативын геометрийн утга

Графикаар тодорхойлогдсон функцтэй болцгооё
.

Цагаан будаа. 1. Деривативын геометрийн утга

Хэрэв
, дараа нь зааж өгнө үү
, цэг рүү ойртож, муруйн дагуу хөдөлнө
.

Тиймээс
, өөрөөр хэлбэл аргументийн өгөгдсөн утгын деривативын утга тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй өгөгдсөн цэг дээрх шүргэгчийн үүсгэсэн өнцгийн тангенстай тоон хувьд тэнцүү
.

2.3. Үндсэн ялгах томъёоны хүснэгт.

Эрчим хүчний функц

Экспоненциал функц

Логарифм функц

Тригонометрийн функц

Урвуу тригонометрийн функц

2.4. Ялгах дүрэм.

-ийн дериватив

Функцийн нийлбэрийн (ялгаа) дериватив

Хоёр функцийн үржвэрийн дериватив

Хоёр функцийн хуваалтын дериватив

2.5. Нарийн төвөгтэй функцийн дериватив.

Функцийг өгье
хэлбэрээр төлөөлөх боломжтой

Тэгээд
, хувьсагч хаана байна тэгвэл завсрын аргумент юм

Комплекс функцийн дериватив нь өгөгдсөн функцийн завсрын аргументийн деривативын үржвэртэй, x-тэй холбоотой завсрын аргументийн деривативтай тэнцүү байна.

Жишээ 1.

Жишээ 2.

3. Дифференциал функц.

Байг
, зарим интервалаар ялгах боломжтой
орхи цагт Энэ функц нь деривативтай

,

тэгвэл бид бичиж болно

(1),

Хаана - хязгааргүй бага хэмжигдэхүүн,

хэзээнээс

Бүх тэгш байдлын нөхцөлийг (1) үржүүлэв
бидэнд байгаа:

Хаана
- b.m.v. илүү өндөр дараалал.

Хэмжээ
функцийн дифференциал гэж нэрлэдэг
болон томилогдсон

.

3.1. Дифференциалын геометрийн утга.

Функцийг өгье
.

Зураг 2. Дифференциалын геометрийн утга.

.

Мэдээжийн хэрэг, функцийн дифференциал
өгөгдсөн цэг дэх шүргэгчийн ординатын өсөлттэй тэнцүү байна.

3.2. Төрөл бүрийн эрэмбийн дериватив ба дифференциал.

Хэрвээ тэнд
, Дараа нь
анхны дериватив гэж нэрлэдэг.

Эхний деривативын деривативыг хоёрдугаар эрэмбийн дериватив гэж нэрлээд бичнэ
.

Функцийн n-р эрэмбийн дериватив
(n-1)-р дарааллын дериватив гэж нэрлэгддэг ба дараах байдлаар бичнэ.

.

Функцийн дифференциалын дифференциалыг хоёр дахь дифференциал буюу хоёрдугаар эрэмбийн дифференциал гэнэ.

.

.

3.3 Биологийн асуудлыг ялгах аргыг ашиглан шийдвэрлэх.

Даалгавар 1. Судалгаанаас харахад бичил биетний колонийн өсөлт нь хуульд захирагддаг
, Хаана Н - бичил биетний тоо (мянганаар), т - цаг (өдөр).

б) Энэ хугацаанд колонийн хүн ам өсөх эсвэл буурах уу?

Хариулт. Колонийн хэмжээ нэмэгдэх болно.

Даалгавар 2. Нуурын усыг үе үе шинжилж, эмгэг төрүүлэгч бактерийн агууламжийг хянаж байдаг. дамжуулан т шинжилгээ хийснээс хойш хэд хоногийн дараа бактерийн концентрацийг харьцаагаар тодорхойлно

.

Нуурт хэзээ нянгийн хамгийн бага концентраци үүсч, усанд сэлэх боломжтой болох вэ?

Шийдэл: Функц нь дериватив нь тэг байхад max эсвэл min-д хүрнэ.

,

6 хоногийн дараа хамгийн их эсвэл мин болохыг тодорхойлъё. Үүнийг хийхийн тулд хоёр дахь деривативыг авч үзье.

Хариулт: 6 хоногийн дараа бактерийн хамгийн бага концентраци байх болно.

(Грек хэлнээс λόγος - "үг", "харилцаа" ба ἀριθμός - "тоо") тоонууд бдээр суурилсан а(лог α б) ийм тоо гэж нэрлэдэг в, Мөн б= а в, өөрөөр хэлбэл α-г бүртгэнэ б=вТэгээд b=aвтэнцүү байна. Хэрэв a > 0, a ≠ 1, b > 0 байвал логарифм утга учиртай болно.

Өөрөөр хэлбэл логарифмтоо бдээр суурилсан Атоог өсгөх ёстой илтгэгч болгон томъёолсон адугаарыг авахын тулд б(логарифм нь зөвхөн эерэг тоонуудад байдаг).

Энэ томьёоллоос харахад x= log α гэсэн тооцоо гарч байна б, a x =b тэгшитгэлийг шийдвэрлэхтэй тэнцүү байна.

Жишээлбэл:

log 2 8 = 3 учир 8 = 2 3 .

Логарифмын заасан томъёолол нь нэн даруй тодорхойлох боломжтой гэдгийг онцлон тэмдэглэе логарифмын утга, логарифмын тэмдгийн доорх тоо нь суурийн тодорхой чадлын үүргийг гүйцэтгэх үед. Үнэн хэрэгтээ логарифмын томъёолол нь хэрэв гэдгийг зөвтгөх боломжтой болгодог b=a c, дараа нь тооны логарифм бдээр суурилсан атэнцүү байна -тай. Мөн логарифмын сэдэв нь тухайн сэдэвтэй нягт холбоотой болох нь ойлгомжтой тооны хүч.

Логарифмыг тооцоолох гэж нэрлэдэг логарифм. Логарифм гэдэг нь логарифм авах математик үйлдэл юм. Логарифм авахдаа хүчин зүйлийн үржвэрийг нэр томъёоны нийлбэр болгон хувиргадаг.

Потенциацинь логарифмын урвуу математик үйлдэл юм. Потенциацийн үед өгөгдсөн суурь нь потенциацийг гүйцэтгэсэн илэрхийлэлийн зэрэг хүртэл нэмэгддэг. Энэ тохиолдолд нэр томъёоны нийлбэр нь хүчин зүйлийн бүтээгдэхүүн болж хувирдаг.

Бодит логарифмыг ихэвчлэн 2 (хоёртын тоо), Эйлерийн тоо e ≈ 2.718 (натурал логарифм) ба 10 (аравтын тоо) суурьтай ашигладаг.

Энэ үе шатанд үүнийг анхаарч үзэхийг зөвлөж байна логарифмын дээжбүртгэл 7 2 , ln √ 5, lg0.0001.

Мөн lg(-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 гэсэн оруулгууд нь утгагүй, учир нь эхнийх нь логарифмын тэмдгийн дор сөрөг тоо, хоёрдугаарт сөрөг тоо байна. сууринд, гуравдугаарт логарифмын тэмдгийн дор сөрөг тоо, суурь дээр нэгж байна.

Логарифмыг тодорхойлох нөхцөл.

Бид олж авах a > 0, a ≠ 1, b > 0 нөхцөлүүдийг тусад нь авч үзэх нь зүйтэй. логарифмын тодорхойлолт.Эдгээр хязгаарлалтыг яагаад авсан бэ гэдгийг авч үзье. Үүнд x = log α хэлбэрийн тэгш байдал бидэнд тусална б, дээр өгөгдсөн логарифмын тодорхойлолтоос шууд гардаг үндсэн логарифмын ижилсэл гэж нэрлэдэг.

Нөхцөлийг авч үзье a≠1. Аль ч зэрэгт нэг нь нэгтэй тэнцүү тул x=log α тэнцүү байна бүед л оршин тогтнох боломжтой b=1, гэхдээ log 1 1 нь ямар ч бодит тоо байх болно. Энэ хоёрдмол байдлыг арилгахын тулд бид авдаг a≠1.

Нөхцөл байдлын зайлшгүй шаардлагатайг баталцгаая a>0. At a=0логарифмын томъёоллын дагуу зөвхөн үед л оршин байж болно b=0. Тэгээд үүний дагуу бүртгэл 0 0тэгээс тэгээс өөр ямар ч хүчин чадал нь тэг учраас тэгээс өөр ямар ч бодит тоо байж болно. Энэ хоёрдмол байдлыг нөхцөлөөр арилгаж болно a≠0. Тэгээд хэзээ а<0 Рационал ба иррационал илтгэгчтэй зэрэг нь зөвхөн сөрөг бус суурийн хувьд тодорхойлогддог тул бид логарифмын рационал ба иррационал утгын шинжилгээнээс татгалзах хэрэгтэй болно. Энэ шалтгааны улмаас нөхцөлийг тогтоожээ a>0.

Мөн сүүлчийн нөхцөл b>0тэгш бус байдлаас үүдэлтэй a>0, учир нь x=log α б, эерэг суурьтай зэрэглэлийн утга аүргэлж эерэг байдаг.

Логарифмын онцлог.

Логарифмонцлогтойгоор тодорхойлогддог онцлог, энэ нь шаргуу тооцооллыг ихээхэн хөнгөвчлөхийн тулд тэдгээрийг өргөнөөр ашиглахад хүргэсэн. "Логарифмын ертөнцөд" шилжих үед үржүүлэх нь илүү хялбар нэмэх, хуваах нь хасах, экспонентаци болон үндсийг задлах нь тус бүр нь экспонентээр үржүүлэх, хуваах болгон хувиргадаг.

Логарифмын томъёолол ба тэдгээрийн утгын хүснэгтийг (тригонометрийн функцүүдийн хувьд) анх 1614 онд Шотландын математикч Жон Непьер хэвлүүлсэн. Бусад эрдэмтдийн томруулж, нарийвчилсан логарифмын хүснэгтүүд нь шинжлэх ухаан, инженерийн тооцоололд өргөн хэрэглэгддэг байсан бөгөөд электрон тооны машин, компьютер ашиглах хүртэл хамааралтай хэвээр байв.

Зааварчилгаа

Өгөгдсөн логарифм илэрхийллийг бич. Хэрэв илэрхийлэл нь 10-ын логарифмыг ашигладаг бол түүний тэмдэглэгээг богиносгож, дараах байдлаар харагдана: lg b нь аравтын логарифм юм. Хэрэв логарифмын суурь нь e тоотой бол дараах илэрхийллийг бичнэ үү: ln b – натурал логарифм. Ямар ч үр дүн нь b тоог олж авахын тулд суурь тоог өсгөх ёстой хүчин чадал гэдгийг ойлгодог.

Хоёр функцийн нийлбэрийг олохдоо тэдгээрийг нэг нэгээр нь ялгаж, үр дүнг нэмэхэд хангалттай: (u+v)" = u"+v";

Хоёр функцийн үржвэрийн деривативыг олохдоо эхний функцийн деривативыг хоёр дахь функцээр үржүүлж, хоёрдугаар функцийн деривативыг эхний функцээр үржүүлсэнийг нэмэх шаардлагатай: (u*v)" = u"*v. +v"*u;

Хоёр функцийн үржвэрийн деривативыг олохын тулд ногдол ашгийн деривативын үржвэрийн үржвэрийн үржвэрийн үржвэрийг хуваагч функцээр үржүүлсэн үржвэрийг хасаж, хуваах шаардлагатай. энэ бүгдийг хуваагч функцээр квадрат. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Өгөгдсөн бол нарийн төвөгтэй функц, дараа нь үүсмэлийг үржүүлэх шаардлагатай дотоод функцба гадаад нэгний дериватив. y=u(v(x)), дараа нь y"(x)=y"(u)*v"(x) гэж үзье.

Дээрх үр дүнг ашиглан та бараг бүх функцийг ялгаж чадна. Тиймээс хэд хэдэн жишээг харцгаая:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2) *x));
Нэг цэгт деривативыг тооцоолоход бас асуудал гардаг. y=e^(x^2+6x+5) функцийг өгье, та x=1 цэг дээрх функцийн утгыг олох хэрэгтэй.
1) Функцийн деривативыг ол: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Өгөгдсөн y"(1)=8*e^0=8 цэг дээрх функцийн утгыг тооцоол.

Сэдвийн талаархи видео

Хэрэгтэй зөвлөгөө

Анхан шатны деривативын хүснэгтийг сур. Энэ нь цагийг ихээхэн хэмнэх болно.

Эх сурвалжууд:

• тогтмолын дериватив

Тэгэхээр, иррационал тэгшитгэл ба оновчтой тэгшитгэлийн хооронд ямар ялгаа байдаг вэ? Хэрэв үл мэдэгдэх хувьсагч тэмдгийн доор байгаа бол квадрат язгуур, тэгвэл тэгшитгэлийг иррациональ гэж үзнэ.

Зааварчилгаа

Ийм тэгшитгэлийг шийдвэрлэх гол арга бол хоёр талыг барих арга юм тэгшитгэлдөрвөлжин болгон. Гэсэн хэдий ч. Энэ бол байгалийн зүйл, таны хийх ёстой хамгийн эхний зүйл бол тэмдгийг арилгах явдал юм. Энэ арга нь техникийн хувьд хэцүү биш боловч заримдаа асуудалд хүргэж болзошгүй юм. Жишээлбэл, тэгшитгэл нь v(2x-5)=v(4x-7). Хоёр талыг квадрат болгосноор 2x-5=4x-7 болно. Ийм тэгшитгэлийг шийдэх нь хэцүү биш юм; x=1. Гэхдээ 1-ийн тоог өгөхгүй тэгшитгэл. Яагаад? Тэгшитгэлд x-ийн утгын оронд нэгийг оруулаад баруун, зүүн тал нь утгагүй илэрхийллийг агуулна, өөрөөр хэлбэл. Энэ утга нь квадрат язгуурт тохирохгүй. Тиймээс 1 нь гадны язгуур тул энэ тэгшитгэл нь үндэсгүй болно.

Тиймээс иррационал тэгшитгэлийг хоёр талыг нь квадрат болгох аргыг ашиглан шийддэг. Тэгшитгэлийг шийдсэний дараа гаднах үндсийг таслах шаардлагатай. Үүнийг хийхийн тулд олсон үндсийг анхны тэгшитгэлд орлуулна.

Өөр нэгийг авч үзье.
2х+вх-3=0
Мэдээжийн хэрэг, энэ тэгшитгэлийг өмнөхтэй ижил тэгшитгэл ашиглан шийдэж болно. Нэгдлүүдийг зөөх тэгшитгэл, квадрат язгуургүй, баруун талд, дараа нь квадратын аргыг хэрэглэнэ. Үүссэн рационал тэгшитгэл ба язгуурыг шийд. Гэхдээ бас өөр, илүү гоёмсог. Шинэ хувьсагч оруулах; vх=y. Үүний дагуу та 2y2+y-3=0 хэлбэрийн тэгшитгэлийг хүлээн авна. Энэ нь энгийн квадрат тэгшитгэл юм. Түүний үндсийг олох; y1=1 ба y2=-3/2. Дараа нь хоёрыг шийд тэгшитгэл vх=1; vх=-3/2. Хоёр дахь тэгшитгэл нь үндэсгүй бөгөөд эхнийхээс бид x=1 болохыг олж мэднэ. Үндэсийг нь шалгахаа бүү мартаарай.

Тодорхойлолтыг шийдвэрлэх нь маш энгийн. Үүнийг хийхийн тулд тавьсан зорилгодоо хүрэх хүртэл ижил төстэй өөрчлөлтүүдийг хийх шаардлагатай. Тиймээс энгийн арифметик үйлдлүүдийн тусламжтайгаар тавьсан асуудлыг шийдэх болно.

Танд хэрэгтэй болно

• - цаас;
• - үзэг.

Зааварчилгаа

Ийм хувиргалтуудын хамгийн энгийн нь алгебрийн товчилсон үржүүлэх (нийлбэрийн квадрат (ялгаа), квадратуудын зөрүү, нийлбэр (ялгаа), нийлбэрийн шоо (ялгаа) гэх мэт) юм. Үүнээс гадна олон тооны тригонометрийн томъёо байдаг бөгөөд тэдгээр нь үндсэндээ ижил төстэй шинж чанартай байдаг.

Үнэн хэрэгтээ хоёр гишүүний нийлбэрийн квадрат нь эхнийхийн квадрат дээр нэмэх нь эхнийх нь хоёр дахь үржвэрийн үржвэр, хоёр дахьын квадратыг нэмсэнтэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл (a+b)^2= (a+) b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

Хоёуланг нь хялбарчил

Шийдлийн ерөнхий зарчим

Тодорхой интеграл гэж юу болохыг математик анализ эсвэл дээд математикийн сурах бичгээс давт. Мэдэгдэж байгаагаар тодорхой интегралын шийдэл нь дериватив нь интеграл өгөх функц юм. Энэ функцийг антидериватив гэж нэрлэдэг. Энэ зарчимд үндэслэн үндсэн интегралуудыг байгуулна.
Хүснэгтийн интегралуудын аль нь тохирохыг интеграл хэлбэрээр тодорхойлно энэ тохиолдолд. Үүнийг нэн даруй тодорхойлох нь үргэлж боломжгүй байдаг. Ихэнхдээ интегралыг хялбарчлахын тулд хэд хэдэн хувиргалт хийсний дараа хүснэгт хэлбэр нь мэдэгдэхүйц болдог.

Хувьсагчийг солих арга

Хэрэв интеграл нь аргумент нь олон гишүүнт тригонометрийн функц бол хувьсагчдыг өөрчлөх аргыг ашиглаж үзнэ үү. Үүнийг хийхийн тулд интегралын аргумент дахь олон гишүүнтийг шинэ хувьсагчаар солино. Шинэ болон хуучин хувьсагчдын хоорондын хамаарал дээр үндэслэн интеграцийн шинэ хязгаарыг тодорхойлно. Энэ илэрхийлэлийг ялгаснаар шинэ дифференциалыг . Тиймээс та авах болно шинэ төрөлөмнөх интегралын аль ч хүснэгттэй ойролцоо эсвэл бүр харгалзах.

Хоёр дахь төрлийн интегралыг шийдвэрлэх

Хэрэв интеграл нь хоёр дахь төрлийн интеграл, интегралын вектор хэлбэр бол эдгээр интегралаас скаляр руу шилжих дүрмийг ашиглах шаардлагатай болно. Ийм дүрмийн нэг бол Остроградский-Гаусын харилцаа юм. Энэ хууль нь тодорхой векторын функцийн роторын урсгалаас өгөгдсөн векторын талбарын дивергенцийг давсан гурвалсан интеграл руу шилжих боломжийг бидэнд олгодог.

Интеграцийн хязгаарыг орлуулах

Эсрэг деривативыг олсны дараа интеграцийн хязгаарыг орлуулах шаардлагатай. Нэгдүгээрт, дээд хязгаарын утгыг эсрэг деривативын илэрхийлэлд орлуулна. Та хэд хэдэн дугаар авах болно. Дараа нь үүссэн тооноос доод хязгаараас олж авсан өөр тоог эсрэг дериватив болгон хасна. Хэрэв интеграцийн хязгаарын нэг нь хязгааргүй бол түүнийг эсрэг дериватив функцэд орлуулахдаа хязгаарт очиж, илэрхийлэл юунд чиглэж байгааг олох шаардлагатай.
Хэрэв интеграл нь хоёр хэмжээст эсвэл гурван хэмжээст бол интегралыг хэрхэн үнэлэхийг ойлгохын тулд та интегралын хязгаарыг геометрээр илэрхийлэх шаардлагатай болно. Үнэн хэрэгтээ, гурван хэмжээст интегралын хувьд интегралын хязгаар нь нэгтгэж буй эзлэхүүнийг хязгаарладаг бүхэл бүтэн хавтгай байж болно.