Хүчин чадлын функц, тэдгээрийн шинж чанар, график. Рационал илтгэгчтэй чадлын функцууд. Эрчим хүчний функц ба түүний шинж чанарууд

"Эрчим хүчний функц. Шинж чанар. График" сэдэвт хичээл, танилцуулга.

Нэмэлт материал
Эрхэм хэрэглэгчид, сэтгэгдэл, сэтгэгдэл, хүслээ үлдээхээ бүү мартаарай! Бүх материалыг вирусны эсрэг програмаар шалгасан.

11-р ангийн Integral онлайн дэлгүүрт заах хэрэгсэл, симуляторууд
9-11-р ангийн "Тригонометр" интерактив гарын авлага
10-11-р ангийн "Логарифм" интерактив гарын авлага

Эрчим хүчний функцууд, тодорхойлолтын домэйн.

Залуус аа, сүүлийн хичээлээр бид рационал илтгэгчтэй тоонуудтай хэрхэн ажиллах талаар сурсан. Энэ хичээлээр бид чадлын функцуудыг авч үзээд илтгэгч нь оновчтой байх тохиолдлоор хязгаарлагдах болно.
Бид дараах хэлбэрийн функцуудыг авч үзэх болно: $y=x^(\frac(m)(n))$.
Эхлээд $\frac(m)(n)>1$ илтгэгч функцүүдийг авч үзье.
$y=x^2*5$ тодорхой функц өгье.
Сүүлийн хичээл дээр бидний өгсөн тодорхойлолтын дагуу: хэрэв $x≥0$ бол бидний функцийн тодорхойлолтын муж нь $(x)$ туяа болно. Функцийн графикаа бүдүүвчээр дүрсэлцгээе.

$y=x^(\frac(m)(n))$, $0 функцийн шинж чанарууд 2. Энэ нь тэгш, сондгой ч биш.
3. $$-р өснө,
б) $(2,10)$,
в) $$ туяа дээр.
Шийдэл.
Залуус аа, бид 10-р ангид сегмент дэх функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг хэрхэн олсоноо санаж байна уу?
Энэ нь зөв, бид деривативыг ашигласан. Жишээгээ шийдэж, хамгийн бага, хамгийн том утгыг олох алгоритмыг давтъя.
1. Өгөгдсөн функцийн деривативыг ол:
$y"=\frac(16)(5)*\frac(5)(2)x^(\frac(3)(2))-x^3=8x^(\frac(3)(2)) -x^3=8\sqrt(x^3)-x^3$.
2. Дериватив нь анхны функцийн тодорхойлолтын бүх мужид байдаг, тэгвэл ямар ч чухал цэг байхгүй. Тогтмол цэгүүдийг олцгооё:
$y"=8\sqrt(x^3)-x^3=0$.
$8*\sqrt(x^3)=x^3$.
$64x^3=x^6$.
$x^6-64x^3=0$.
$x^3(x^3-64)=0$.
$x_1=0$ ба $x_2=\sqrt(64)=4$.
Өгөгдсөн сегмент нь зөвхөн нэг шийдлийг агуулна $x_2=4$.
Сегментийн төгсгөл ба экстремум цэг дээр функцийнхээ утгуудын хүснэгтийг байгуулъя.
Хариулт: $y_(нэр)=-862.65$ үед $x=9$; $y_(макс.)=38.4$, $x=4$.

Жишээ. Тэгшитгэлийг шийд: $x^(\frac(4)(3))=24-x$.
Шийдэл. $y=x^(\frac(4)(3))$ функцийн график нэмэгдэж, $y=24-x$ функцийн график буурч байна. Залуус аа, та бид мэднэ: хэрэв нэг функц нэмэгдэж, нөгөө нь буурч байвал тэдгээр нь зөвхөн нэг цэг дээр огтлолцдог, өөрөөр хэлбэл бидэнд зөвхөн нэг шийдэл байна.
Жич:
$8^(\frac(4)(3))=\sqrt(8^4)=(\sqrt(8))^4=2^4=16$.
$24-8=16$.
Өөрөөр хэлбэл, $x=8$ байхад бид $16=16$ зөв тэгшитгэлийг авсан бөгөөд энэ нь бидний тэгшитгэлийн шийдэл юм.
Хариулт: $x=8$.

Жишээ.
Функцийн график зур: $y=(x-3)^\frac(3)(4)+2$.
Шийдэл.
Манай функцын графикийг $y=x^(\frac(3)(4))$ функцийн графикаас 3 нэгж баруун тийш, 2 нэгж дээш шилжүүлж гаргав.

Жишээ. $x=1$ цэг дээрх $y=x^(-\frac(4)(5))$ шулууны шүргэгчийн тэгшитгэлийг бич.
Шийдэл. Шүргэх тэгшитгэлийг бидний мэддэг томъёогоор тодорхойлно.
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
Манай тохиолдолд $a=1$.
$f(a)=f(1)=1^(-\frac(4)(5))=1$.
Деривативыг олцгооё:
$y"=-\frac(4)(5)x^(-\frac(9)(5))$.
Тооцоолъё:
$f"(a)=-\frac(4)(5)*1^(-\frac(9)(5))=-\frac(4)(5)$.
Шүргэх тэгшитгэлийг олъё:
$y=1-\frac(4)(5)(x-1)=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$.
Хариулт: $y=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$.

Бие даан шийдвэрлэх асуудал

1. Функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг ол: $y=x^\frac(4)(3)$ сегмент дээр:
a) $$.
б) $(4.50)$.
в) $$ туяа дээр.
3. Тэгшитгэлийг шийд: $x^(\frac(1)(4))=18-x$.
4. Функцийн графикийг байгуул: $y=(x+1)^(\frac(3)(2))-1$.
5. $y=x^(-\frac(3)(7))$ шулуун шугамын $x=1$ цэгийн шүргэгчийн тэгшитгэлийг үүсгэ.

Эрчим хүчний функц, түүний шинж чанар, график Үзүүлэх материал Хичээл-лекц Функцийн тухай ойлголт. Функцийн шинж чанарууд. Хүчин чадлын функц, түүний шинж чанар, график. 10-р анги Бүх эрх хуулиар хамгаалагдсан. Зохиогчийн эрх бүхий зохиогчийн эрх

Хичээлийн явц: Давталт. Чиг үүрэг. Функцийн шинж чанарууд. Шинэ материал сурах. 1. Хүчин чадлын функцийн тодорхойлолт.Чадмын функцийн тодорхойлолт. 2. Хүчин чадлын функцын шинж чанар, график. Судалсан материалыг нэгтгэх. Амаар тоолох. Амаар тоолох. Хичээлийн хураангуй. Гэрийн даалгавар.

Функцийн тодорхойлолтын муж ба утгын муж Бие даасан хувьсагчийн бүх утгууд нь x y=f(x) f функцийн тодорхойлолтын мужийг бүрдүүлдэг. хамааралтай хувьсагч нь функцийн утгын домэйныг бүрдүүлдэг утгууд. Функциональ шинж чанарууд

Функцийн график ХҮ у x.75 3 0.6 4 0.5 Функцийн график нь аргументийн утгуудтай тэнцүү, абсциссууд нь координатын хавтгайн бүх цэгүүдийн олонлог юм. Ординатууд нь функцийн харгалзах утгатай тэнцүү байна. Чиг үүрэг. Функциональ шинж чанарууд

Y x Функцийн тодорхойлолт ба утгын муж 4 y=f(x) Функцийн тодорхойлолтын муж: Функцийн утгын муж: Функц. Функциональ шинж чанарууд

Тэгш функц y x y=f(x) Тэгш функцийн график нь op-amp-ийн тэнхлэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй байна y=f(x) функц нь f(-x) = f(x) байсан ч дуудагдана Функцийн тодорхойлолтын мужаас дурын х Функц. Функциональ шинж чанарууд

Сондгой функц y x y=f(x) Сондгой функцийн график нь гарал үүсэлтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй байна O(0;0) f(-x) = -f(x) бол y=f(x) функцийг сондгой гэж нэрлэнэ. бүсийн функцийн тодорхойлолтуудаас дурын х-н хувьд Функц. Функциональ шинж чанарууд

Хүчин чадлын функцийн тодорхойлолт p нь өгөгдсөн бодит тоо байх функцийг чадлын функц гэнэ. p y=x p P=x y 0 Хичээлийн явц

Хүч чадлын функц x y 1. Хэлбэрийн чадлын функцүүдийн тодорхойлолтын муж ба утгын хүрээ, энд n – натурал тоо, бүгд бодит тоонууд юм. 2. Эдгээр функцууд нь сондгой. Тэдний график нь гарал үүслийн хувьд тэгш хэмтэй байна. Хүчин чадлын функцүүдийн шинж чанарууд ба графикууд

Рационал эерэг үзүүлэлттэй чадлын функцууд Тодорхойлолтын муж нь бүх эерэг тоо ба 0 тоо юм. Ийм илтгэгчтэй функцүүдийн утгын хүрээ нь мөн бүх эерэг тоо ба 0 тоо юм. Эдгээр функцууд нь тэгш эсвэл сондгой биш юм. . y x Хүчин чадлын функцүүдийн шинж чанар ба график

Рациональ бүхий чадлын функц сөрөг үзүүлэлт. Эдгээр функцүүдийн тодорхойлолтын хүрээ ба утгын хүрээ нь бүгд эерэг тоонууд юм. Функц нь тэгш, сондгой биш юм. Ийм функцууд нь бүхэл бүтэн тодорхойлолтын хүрээнд багасдаг. y x Хүчин чадлын функцүүдийн шинж чанар ба график Хичээлийн явц

Экспоненциал функцийн талаархи лавлагаа өгөгдлийг өгдөг - үндсэн шинж чанар, график, томъёо. Дараахь асуудлуудыг авч үзнэ: тодорхойлолтын хүрээ, утгын багц, нэг хэвийн байдал, урвуу функц, дериватив, интеграл, чадлын цуваа өргөтгөх, комплекс тоо ашиглан дүрслэх.

Тодорхойлолт

Экспоненциал функцнь a-тай тэнцүү n тооны үржвэрийн ерөнхий дүгнэлт юм.
y (n) = a n = a·a·a···a,
бодит тоон x олонлогт:
y (x) = сүх.
Энд a нь тогтмол бодит тоо бөгөөд үүнийг дууддаг экспоненциал функцийн үндэс.
a суурьтай экспоненциал функцийг мөн нэрлэдэг суурийн илтгэгч a.

Ерөнхий дүгнэлтийг дараах байдлаар гүйцэтгэнэ.
Байгалийн хувьд x = 1, 2, 3,... , экспоненциал функц нь x хүчин зүйлийн үржвэр юм:
.
Түүгээр ч зогсохгүй энэ нь тоонуудыг үржүүлэх дүрмийн дагуу (1.5-8) () шинж чанартай байдаг. Бүхэл тоонуудын тэг ба сөрөг утгуудын хувьд экспоненциал функцийг (1.9-10) томъёогоор тодорхойлно. Бутархай утгуудын хувьд x = m/n рационал тоонуудын хувьд (1.11) томъёогоор тодорхойлно. Бодит байдлын хувьд экспоненциал функц нь дарааллын хязгаар гэж тодорхойлогддог:
,
х-д нийлэх рационал тоонуудын дурын дараалал энд байна: .
Энэ тодорхойлолтоор экспоненциал функц нь бүгдэд зориулагдсан бөгөөд байгалийн x-ийн адил шинж чанарыг (1.5-8) хангана.

Экспоненциал функцийн тодорхойлолт ба түүний шинж чанарын баталгааны математикийн нарийн томьёоллыг "Экспоненциал функцийн шинж чанарын тодорхойлолт ба нотолгоо" хуудсанд өгсөн болно.

Экспоненциал функцийн шинж чанарууд

Экспоненциал функц y = a x нь бодит тооны олонлог () дээр дараах шинж чанартай байна.
(1.1) тодорхойлогдсон ба тасралтгүй, төлөө , бүх ;
(1.2) нь ≠ 1 олон утгатай;
(1.3) үед хатуу нэмэгддэг, -д хатуу буурдаг,
тогтмол байна;
(1.4) үед;
үед;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

Бусад ашигтай томъёо.
.
Өөр экспонент суурьтай экспоненциал функц руу хөрвүүлэх томъёо:

b = e үед бид экспоненциалаар дамжуулан экспоненциал функцийн илэрхийлэлийг олж авна.

Хувийн үнэт зүйлс

, , , , .

Зураг дээр экспоненциал функцийн графикуудыг харуулав
y (x) = сүх
дөрвөн утгын хувьд зэрэглэлийн суурь: a = 2 , a = 8 , a = 1/2 ба a = 1/8 . Эндээс харахад > 1 экспоненциал функц нь монотоноор нэмэгддэг. А зэрэглэлийн суурь нь том байх тусам өсөлт нь хүчтэй болно. At 0 < a < 1 экспоненциал функц нь монотоноор буурдаг. a экспонент бага байх тусам бууралт хүчтэй болно.

Өсөх, уруудах

Экспоненциал функц нь хатуу монотон тул экстремумгүй. Үүний үндсэн шинж чанарыг хүснэгтэд үзүүлэв.

	y = a x , a > 1	у = сүх, 0 < a < 1
Домэйн	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Утгын хүрээ	0 < y < + ∞	0 < y < + ∞
Монотон	монотоноор нэмэгддэг	монотоноор буурдаг
Тэг, у = 0	Үгүй	Үгүй
Ординатын тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүд, x = 0	у= 1	у= 1
	+ ∞	0
	0	+ ∞

Урвуу функц

a суурьтай экспоненциал функцийн урвуу нь а суурийн логарифм юм.

Хэрэв бол
.
Хэрэв бол
.

Экспоненциал функцийг ялгах

Экспоненциал функцийг ялгахын тулд түүний суурийг e тоо болгон бууруулж, деривативын хүснэгт болон ялгах дүрмийг хэрэглэнэ. нарийн төвөгтэй функц.

Үүнийг хийхийн тулд логарифмын шинж чанарыг ашиглах хэрэгтэй
ба деривативын хүснэгтээс томъёо:
.

Экспоненциал функцийг өгье:
.
Бид үүнийг үндсэн e-д авчирдаг:

Нарийн төвөгтэй функцуудыг ялгах дүрмийг хэрэгжүүлье. Үүнийг хийхийн тулд хувьсагчийг танилцуулна уу

Дараа нь

Деривативын хүснэгтээс бид (х хувьсагчийг z-ээр солино уу):
.
Тогтмол тул x-тэй харьцах z-ийн дериватив нь тэнцүү байна
.
Нарийн төвөгтэй функцийг ялгах дүрмийн дагуу:
.

Экспоненциал функцийн дериватив

.
n-р эрэмбийн дериватив:
.
Томьёог гарган авах > > >

Экспоненциал функцийг ялгах жишээ

Функцийн деривативыг ол
у= 3 5 х

Шийдэл

Экспоненциал функцийн суурийг e тоогоор илэрхийлье.
3 = e ln 3
Дараа нь
.
Хувьсагч оруулна уу
.
Дараа нь

Деривативын хүснэгтээс бид дараахь зүйлийг олно.
.
Учир нь 5 лн 3тогтмол бол z-ийн x-тэй холбоотой дериватив нь дараахтай тэнцүү байна.
.
Нарийн төвөгтэй функцийг ялгах дүрмийн дагуу бид:
.

Хариулах

Интеграл

Комплекс тоо ашигласан илэрхийлэл

Комплекс тооны функцийг авч үзье z:
е (z) = a z
Энд z = x + iy; би 2 = - 1 .
А комплекс тогтмолыг r модуль ба φ аргументаар илэрхийлье.
a = r e i φ
Дараа нь


.
φ аргумент нь өвөрмөц байдлаар тодорхойлогдоогүй байна. IN ерөнхий үзэл
φ = φ 0 + 2 πn,
Энд n нь бүхэл тоо. Тиймээс функц f (z)бас тодорхойгүй байна. Үүний гол ач холбогдлыг ихэвчлэн авч үздэг
.

Цуврал өргөтгөл

.

Лавлагаа:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Инженер, коллежийн оюутнуудад зориулсан математикийн гарын авлага, "Лан", 2009 он.

Сөрөг бүхэл тоон үзүүлэлттэй зэрэглэлийн функцүүдийн шинж чанар, графикийг эргэн санацгаая.

n-ийн хувьд:

Жишээ функц:

Ийм функцүүдийн бүх графикууд нь хоёр тогтмол цэгээр дамждаг: (1;1), (-1;1). Энэ төрлийн функцүүдийн онцлог нь тэдгээрийн паритет нь op-amp тэнхлэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй байдаг.

Цагаан будаа. 1. Функцийн график

сондгой n хувьд:

Жишээ функц:

Ийм функцүүдийн бүх графикууд нь хоёр тогтмол цэгээр дамждаг: (1;1), (-1;-1). Энэ төрлийн функцүүдийн онцлог нь графикууд нь гарал үүслийн хувьд тэгш хэмтэй байдаг;

Цагаан будаа. 2. Функцийн график

Үндсэн тодорхойлолтыг эргэн санацгаая.

Рационал эерэг илтгэгчтэй сөрөг бус a тооны хүчийг тоо гэнэ.

Рационал сөрөг илтгэгчтэй эерэг а тооны хүчийг тоо гэнэ.

Тэгш байдлын хувьд:

Жишээлбэл: ; - Тодорхойлолтоор сөрөг рациональ илтгэгчтэй зэрэглэлийн илэрхийлэл байхгүй; илтгэгч нь бүхэл тоо учраас оршин байна,

Рационал сөрөг илтгэгчтэй чадлын функцуудыг авч үзье.

Жишээлбэл:

Энэ функцийн графикийг зурахын тулд та хүснэгт үүсгэж болно. Бид үүнийг өөрөөр хийх болно: эхлээд хуваагчийн графикийг барьж, судлах болно - энэ нь бидэнд мэдэгдэж байна (Зураг 3).

Цагаан будаа. 3. Функцийн график

Хуваарийн функцийн график нь тогтмол цэгээр (1;1) дамждаг. Анхны функцийн графикийг зурахад энэ цэг хэвээр үлдэх ба язгуур нь тэг рүү чиглэдэг бол функц нь хязгааргүй байх хандлагатай байдаг. Мөн эсрэгээр, x нь хязгааргүйд хүрэх хандлагатай байдаг тул функц нь тэг рүү чиглэдэг (Зураг 4).

Цагаан будаа. 4. Функцийн график

Судалж буй функцүүдийн бүлгээс өөр нэг функцийг авч үзье.

Тодорхойлолтоор энэ нь чухал юм

Хуваагч дахь функцийн графикийг авч үзье: , энэ функцийн график нь бидэнд мэдэгдэж байгаа бөгөөд энэ нь өөрийн тодорхойлолтын мужид нэмэгдэж, (1;1) цэгээр дамжин өнгөрдөг (Зураг 5).

Цагаан будаа. 5. Функцийн график

Анхны функцийн графикийг зурахад (1;1) цэг хэвээр байх ба язгуур нь мөн тэг рүү чиглэдэг бол функц нь хязгааргүй байх хандлагатай байдаг. Мөн эсрэгээр, x нь хязгааргүйд хүрэх хандлагатай байдаг тул функц нь тэг рүү чиглэдэг (Зураг 6).

Цагаан будаа. 6. Функцийн график

Үзэж буй жишээнүүд нь график хэрхэн урсаж, судалж буй функцийн шинж чанарууд юу болохыг ойлгоход тусална - сөрөг рационал экспонент бүхий функц.

Энэ бүлгийн функцүүдийн графикууд (1;1) цэгээр дамждаг бөгөөд функц нь тодорхойлолтын бүх мужид буурдаг.

Функцийн хамрах хүрээ:

Функц нь дээрээс хязгаарлагдахгүй, доороос нь хязгаарлагддаг. Функц нь хамгийн их эсвэл хамгийн бага утгатай байдаггүй.

Функц нь тасралтгүй бөгөөд тэгээс нэмэх хязгаар хүртэлх бүх эерэг утгыг авдаг.

Функц нь доошоо гүдгэр (Зураг 15.7)

А ба В цэгүүдийг муруй дээр авч, тэдгээрийн дундуур сегментийг зурж, бүх муруй нь сегментийн доор байрладаг. энэ нөхцөлмуруй дээрх дурын хоёр цэгийн хувьд хангагдсан тул функц нь доошоо гүдгэр байна. Цагаан будаа. 7.

Цагаан будаа. 7. Функцийн гүдгэр байдал

Энэ гэр бүлийн функцууд нь доороос тэгээр хязгаарлагддаг боловч хамгийн бага утгатай биш гэдгийг ойлгох нь чухал юм.

Жишээ 1 - \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) x^(2n)\ )=+\infty \] интервал дээрх функцийн хамгийн их ба хамгийн бага утгыг ол.

График (Зураг 2).

Зураг 2. $f\left(x\right)=x^(2n)$ функцийн график

Байгалийн сондгой илтгэгчтэй чадлын функцийн шинж чанарууд

Тодорхойлолтын талбар нь бүх бодит тоо юм.

$f\left(-x\right)=((-x))^(2n-1)=(-x)^(2n)=-f(x)$ -- функц нь сондгой.

$f(x)$ нь тодорхойлолтын бүх домайн дээр тасралтгүй байна.

Хүрээ нь бүх бодит тоо юм.

$f"\left(x\right)=\left(x^(2n-1)\right)"=(2n-1)\cdot x^(2(n-1))\ge 0$

Функц нь тодорхойлолтын бүх домэйн дээр нэмэгддэг.

$f\left(x\right)0$, $x\in (0,+\infty)$.

$f(""\зүүн(x\баруун))=(\зүүн(\зүүн(2n-1\баруун)\cdot x^(2\left(n-1\баруун))\баруун))"=2 \left(2n-1\right)(n-1)\cdot x^(2n-3)$

\ \

Функц нь $x\in (-\infty ,0)$ хувьд хотгор, $x\in (0,+\infty)$ хувьд гүдгэр байна.

График (Зураг 3).

Зураг 3. $f\left(x\right)=x^(2n-1)$ функцийн график

Бүхэл тоон үзүүлэлттэй чадлын функц

Эхлээд бүхэл тоон үзүүлэлттэй зэрэг гэдэг ойлголтыг танилцуулъя.

Тодорхойлолт 3

Бүхэл тоо бүхий $a$ бодит тооны хүчийг $n$ томъёогоор тодорхойлно.

Зураг 4.

Одоо бүхэл тоон илтгэгчтэй чадлын функц, түүний шинж чанар, графикийг авч үзье.

Тодорхойлолт 4

$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$ нь бүхэл тоон үзүүлэлттэй чадлын функц гэж нэрлэгддэг.

Хэрэв зэрэг нь тэгээс их байвал натурал илтгэгчтэй чадлын функцийн тухайд очно. Бид үүнийг дээр аль хэдийн хэлэлцсэн. $n=0$-ын хувьд бид $y=1$ шугаман функцийг авна. Бид түүний санал бодлыг уншигчдад үлдээх болно. Сөрөг бүхэл тоон үзүүлэлттэй чадлын функцийн шинж чанарыг авч үзэх хэвээр байна

Сөрөг бүхэл илтгэгчтэй чадлын функцийн шинж чанарууд

Тодорхойлолтын домайн нь $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$ байна.

Хэрэв экспонент тэгш бол функц нь сондгой бол функц нь сондгой;

$f(x)$ нь тодорхойлолтын бүх домайн дээр тасралтгүй байна.

Хамрах хүрээ:

Экспонент нь тэгш бол $(0,+\infty)$; сондгой бол $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

Хачирхалтай илтгэгчийн хувьд функц нь $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$ болж буурдаг. Тэгш илтгэгчийн хувьд функц нь $x\in (0,+\infty)$ болж буурна. ба $x\in \left(-\infty ,0\right)$ болж нэмэгдэнэ.

$f(x)\ge 0$ тодорхойлолтын бүх домайн дээр