Нээлттэй ба хаалттай багцын шинж чанарууд. Маш олон тоо. Төрөл бүрийн тоон дээрх үйлдлийн хуулиуд. А олонлогтой харьцуулахад цэгийн байрлал
"*" үйлдлийн үр дүнг Пифагорын хүснэгтийн дагуу тодорхойлно. Жишээлбэл, 3 * 4-ийн "бүтээгдэхүүн" нь 3-р мөр ба 4-р баганын уулзвар дээрх тоотой тэнцүү байна. Манай тохиолдолд энэ тоо 2. Тиймээс 3 * 4 = 2. Та ямар дүрэм гэж бодож байна вэ? Энэ хүснэгтийг бөглөхөд ашигласан уу?
Олонлогийн тоонуудад (0, 1, 2, ..., 9) “*” үйлдлийг гүйцэтгэсний үр дүн нь ижил олонлогийн тоо болохыг анхаарна уу. Ийм тохиолдолд ингэж хэлдэг иж бүрдэл үйл ажиллагааны дагуу хаалттай,мөн үйл ажиллагаа дуудагдана алгебрийн.
Хүснэгт диагональтай харьцуулахад тэгш хэмтэй байгааг та аль хэдийн анзаарсан байх
(0, 1, 4, 9, 6, 5, 6, ...). Энэ нь "*" үйлдэл нь өмчтэй гэсэн үг юм шилжих чадвар, өөрөөр хэлбэл дурын тооны хувьд аТэгээд болонлогоос (0, 1, 2, ..., 9) тэгш байдал нь: а * б =
б * а.
Хүснэгтийг ашиглан та тэгш байдал (2 * 3) * 4 = 2 * (3 * 4) үнэн эсэхийг шалгаж болно. Тэвчээртэй байж, захиалсан бүх гурвалсан тоог туршиж үзсэнээр та шинэ хагалгаа нь өмчтэй гэдэгт итгэлтэй байх болно. нэгдэл, өөрөөр хэлбэл дурын тооны хувьд а, б, в олонлогоос (0, 1, 2, ..., 9) тэгш байдал биелнэ: ( а * б) * в= а * (б * в).
Пифагорын хүснэгтэд өгсөн үржүүлгийн дагуу олонлог (0, 1, 2, ..., 9) хаалттай эсэхийг шалгана уу.
РДээрх жишээнүүд нь тоон үйлдлийг хэрхэн нэвтрүүлсэн ч энэ нь үргэлж солигдох ба ассоциатив байх болно гэсэн сэтгэгдэл төрүүлж магадгүй юм. Дүгнэлт хийх гэж яарах хэрэггүй.
Өөр нэг үйлдлийг авч үзье. Үүнийг “o” гэж тэмдэглээд “Тойрог” үйлдэл гэж нэрлэе. Үүнийг хүснэгтээр тодорхойлно.
Энэ хүснэгтийг эмхэтгэсэн загварыг олохыг хичээ. Энэ загвар дээр үндэслэн дутуу үр дүнг хүснэгтэд оруулна уу. “o” үйлдэл алгебрийн шинжтэй байх уу? “o” үйлдэл гэдгийг батлах хувирах. Гэсэн хэдий ч энэ ажиллагаа холбоогүй! Үүнийг шалгахын тулд гурван тоог сонгоно уу м, nТэгээд к, Үүний төлөө м o( nо к) ¹ ( мо n)o к.
ПТа бүхэнд өөр нэг үйлдлийг танилцуулъя: -.
Үүнийг натурал тооны олонлог дээр дараах байдлаар танилцуулъя. м - n = м n .
Жишээлбэл, 2 - 3 = 2 3 = 8; 3 - 2 = 3 2 = 9.
“-” үйлдэл нь алгебрийн шинжтэй байх уу? Дээрх жишээ нь шинэ ажиллагааг баталгаажуулахад хангалттай юм солигддоггүй.
Үйл ажиллагааны үр дүнг тооцоол
2 - (1 - 3) дараа нь 2 - (1 - 3) = тэгш байдлыг шалгана уу
= (2 - 1) - 3. Хэрэв та бүх зүйлийг зөв хийсэн бол үйлдлийг "-" гэж хэлж болно. холбоогүй.
1. Олонлог алгебр дээр нэмэх, үржүүлэх үйлдлүүд нь:
а) тэгш тоо; б) сондгой тоо?
2. Олонлог дээрх хасах үйлдэл нь алгебр мөн үү?
а) натурал тоо; б) бүхэл тоо?
3. Олонлог дээр хуваах үйлдэл нь алгебрийн үйлдэл мөн үү?
a) тэг биш бүхэл тоо;
б) тэг биш рационал тоонууд?
4. Үйл ажиллагаа гэдгийг харуул
xД y = x + y – 3
5. Үйл ажиллагаа гэдгийг харуул
x Ñ y = x + y – xy
бүх бүхэл тоонуудын олонлог дээр алгебрийн байна. Энэ үйлдэл нь ассоциатив ба/эсвэл солигддог байх уу?
6. Пифагорын хүснэгттэй адилтгаж, тоонуудын (0, 1, 2, 3, 4) "à" үйлдлийг тодорхойлсон өөрийн хүснэгтийг үүсгэ. Үр дүн м à nтооны үйлдлүүд мТэгээд nЭнэ хүснэгтэд ердийн бүтээгдэхүүний үлдсэн хэсгийг 5-д хуваасантай тэнцүү байх ёстой mn.
"a" үйлдэл алгебрийн шинжтэй байх уу? Хэрэв тийм бол энэ нь ассоциатив ба/эсвэл шилжих үү?
7. Тоон дээрх үйлдлүүдийн жишээг өөрийн гараар хий.
Аль нь алгебр байх вэ? Таны алгебрийн үйлдлүүдийн аль нь ассоциатив ба/эсвэл шилжих вэ?
Найзуудтайгаа нууц захидал харилцаа тогтоохыг хүссэн хүмүүст зориулав
ТУХАЙНэгэн өдөр Фома нэг найзаасаа цахилгаан утас авчээ.
Томас гэж хэн бэ? ТУХАЙ! Энэ маш гайхалтай зан чанар. Тэр хэний ч үгэнд ордоггүй, бүх зүйлийг өөрийнхөөрөө хийхийг хичээдэг. Тэрээр нэг талаас хуучин асуудлуудын шинэ шийдлийг олох, нөгөө талаас шинэ бэрхшээлийг даван туулахын тулд хуучин мэдлэгээ ашиглах дуртай. Төрөл бүрийн математикийн ном уншиж, тэдгээрээс стандарт бус нөхцөл байдлыг хайж, түүнээс гарах арга замыг олох дуртай. Хамгийн гол нь тэр өөрөө ийм нөхцөл байдлыг бий болгох дуртай.
Тиймээс, цахилгаан утас нь ямар нэгэн байдлаар хачирхалтай байв. Үүнд:
"яжзеирпончорсмедж."
Та энэ текстийг "уншиж" чадах уу? Фома бага зэрэг бодсоны эцэст энэ цахилгааны нууцыг ойлгов. Энэ нь зочлох урилгыг агуулсан байв. Тэр ижил сэтгэлээр хариулахаар шийдэв. Би хариу телеграм зохиож, мөн адил шифрлэв. Үр дүн нь "Би бямба гаригт ирж тантай уулзах болно", "hetyachertsvutobbusvudeirp" гэсэн хоёр мөрийн бичлэг байв.
Гэсэн хэдий ч Фома илүү сонирхолтой шифрлэлт хийхийг хүссэн. Тэрээр цахилгаан мэдээнийхээ текстийг хоёр тэнцүү хэсэгт хувааж, тус бүрийг хуучин аргаар шифрлэв.
"Би бямба гаригт ирнэ “obbuswoodeirp | чамтай уулзая", Энэ бол чөтгөр юм." |
ПШифрлэлт дууссаны дараа Фома найзтайгаа бүх захидал харилцаагаа зөвхөн шифрлэгдсэн бичвэрээр хийхийг хүсч, шифрлэлтийн аргыг үе үе өөрчилдөг байв. Тиймээс тэрээр шифрийг боловсруулах ажилд хичээнгүйлэн орсон.
Тэрээр эх бичвэрийн үсгийг эдгээр үсгүүдийн эзэлдэг албан тушаалын тоогоор солихоор шийджээ. Фома найзынхаа цахилгаанд хүлээн авсан дугааруудын жагсаалтыг энд оруулав: (1, 2, 3, ..., 18).
Дараа нь тэр шифрлэгдсэн текст нь зөвхөн үсгүүдийн өөрчлөгдсөн дарааллаар эх эхээс ялгаатай болохыг анзаарав. Үсгүүдийн дараалал хэрхэн өөрчлөгдөж байгааг ижил байрлалын дугаарыг ашиглан харахад хялбар байдаг. Жишээлбэл, Фома одоо найзынхаа цахилгааны шифрлэгдсэн текстийг жагсаалт хэлбэрээр танилцуулах боломжтой болсон: (18, 17, 16, ..., 3, 2, 1).
Эдгээр хоёр жагсаалтыг харьцуулах нь текстийг шифрлэх түлхүүрийг өгдөг. 
.
Бэлгэдлийн оруулга нь "1-ээс 18-д очно." (Үүний оронд өөр тэмдэглэгээ ихэвчлэн ашиглагддаг: 1 ® 18.)
Сумны чиглэл нь дарааллыг тодорхойлдог шифрлэлттекст. Жишээлбэл, шифрлэгдсэн текстийн эхний байрлалд гарч буй үсэг нь шифрлэгдсэн текстийн 18 дахь байрлалыг эзлэх ёстой.
Хэрэв сумны чиглэл эсрэгээр өөрчлөгдсөн бол дарааллыг ижил хоёр мөртэй хүснэгтээр тодорхойлно хуулбартекст. Жишээлбэл, шифрлэгдсэн текстийн 18 дахь байрлалд гарч буй үсэг нь шифрлэгдсэн текстийн эхний байрлалыг эзлэх ёстой.
Эцэст нь, хэрэв эхний мөр үргэлж эх тексттэй холбоотой байвал сум ашиглах шаардлагагүй болно. (Шифрлэх үед эх бичвэр нь шифрлэгдсэн текст, тайлах үед шифрлэгдсэн текст нь шифрлэгдсэн текст юм.)
Энэ бүхнийг ойлгосон Фома цахилгааныхаа хоёр дахь шифрлэлтийн түлхүүрийг хурдан бичжээ.
.
Ямар нэгэн байдлаар мэдээлэх л үлдлээ
энэ түлхүүр нь таны найзад - мөн захидал харилцааны нууцыг баталгаажуулах болно!
Хэрэв та Томасын санааг ойлгож байгаа бол түүний шифрлэгдсэн уриа энд байна.
"усны өд"
Энэ нь түлхүүрээр шифрлэгдсэн байна:
Та энэ төрлийн олон шифрлэлтийн түлхүүрүүдийг гаргаж чадна гэж таамаглаж магадгүй юм. Тэдгээрийг тус бүрийг хоёр эгнээний хүснэгт хэлбэрээр илэрхийлж болно.
.
Энд дээд мөрөнд 1-ээс бүх натурал тоог агуулна nөсөх дарааллаар. Доод шугамыг дээд шугамаас тоонуудын зарим дахин цэгцлэх замаар олж авна. Хүснэгтийг бүхэлд нь дуудаж байна захиалга солихn .
INТомас руу буцъя. Түлхүүр орлуулалтыг ашиглах
тэр нэг үгтэй мессежийг шифрлээд найз руугаа илгээсэн. Тэр тайлагдаагүй мессежийг дахин шифрлэсэн боловч өөр түлхүүр ашиглан:
.
Тэр танд давхар шифрлэгдсэн мессежийг илгээв:
"Snoas."
Энэ мессежийг тайл.
Хэрэв та орлуулалт дээр нэг алгебрийн үйлдэл хэрхэн хийгддэгийг мэддэг бол шифрийг тайлах үйл явцыг илүү хурдан хийж чадна. Энэ үйлдлийг гэж нэрлэдэг үржүүлэх орлуулалт. (Хэрэв та хүсвэл үүнийг өөр зүйл гэж нэрлэж болно, учир нь энэ нь энгийн тоог үржүүлэхтэй ямар ч холбоогүй юм.)
Үүнийг хэрхэн хийдэг жишээг харцгаая. Фома руу мессежийг шифрлэхэд ашигласан орлуулалтыг үржүүлье.
.
Үржүүлэх үйл явц нь дараалсан орлуулалтаас бүрддэг.
Эхний сэлгээнд ( А) 1 ® 5;
хоёр дахь сэлгээнд ( IN) 5 ® 1.
Үүний үр дүнд бид: 1 ® 1 авна.
Үүний нэгэн адил "2 ® 2" ба "2 ® 3" -ээс "2 ® 3" гэсэн үг. Энэ төрлийн өөр гурван аргументыг хийснээр бид бүтээгдэхүүний орлуулалтыг олж авна
.
Бүтээгдэхүүн нь тодорхойлогдсон гэдгийг анхаарна уу зөвхөн ижил тооны баганатай орлуулалтын хувьд.
Орлуулах ашиглах ABШифрлэгчийн хувьд та одоо нэг дор хийх боломжтой тайлахТомасын мессеж "snoas". Үүний зэрэгцээ өөрийгөө хянах хэрэгтэй.
Хэрэв та сонирхож байгаа бол өөрийн мессежийн кодлогчийн орлуулалтыг гаргаж, найзуудтайгаа нууц захидал харилцааг явуулж болно.
Мессежийг тайлж байхдаа та шинэ объектууд дээр алгебрийн үйлдлүүд болох орлуулалттай танилцсан.
ЭХэрэв та нарын хэн нэгэн нь зөвхөн шифрлэлт төдийгүй орлуулалтыг өөрөө сонирхож байгаа бол дараах даалгавруудыг гүйцэтгэснээр тэдэнтэй илүү сайн танилцаж болно.
1. Орлуулах бүтээгдэхүүнийг ол:
2. Хэсэг ол VAорлуулалт АТэгээд INдээр хэлэлцсэн. Орлуулах ашиглах VAкодлогч шиг, тайлахдахин нэг удаа "snoas" гэсэн мессеж. Шифрлэгдсэн текстийг өмнөх шифрлэлтийн үр дүнтэй харьцуул.
Хэрэв та 2-р даалгаврыг гүйцэтгэвэл орлуулах үржүүлгийн шинж чанартай эсэхийг мэдэх боломжтой шилжих чадвар.
Орлуулахыг үржүүлэх нь өмчтэй болохыг харуулж болно нэгдэл.
Дараагийн даалгавар руу шилжихээсээ өмнө орлуулалтын хэд хэдэн ерөнхий шинж чанарыг харцгаая.
Орлуулах
дуудсан адилхан. Үүнийг тэмдэглэв Э.
Та хялбархан тогтоож чадах тул ижил орлуулалт нь мессежийн текстийг өөрчлөхгүй. Энэ тохиолдолд мессежийг тодорхой текстээр бичсэн байна.
Нээлттэй ба хаалттай багц
Хавсралт 1 . Нээлттэй ба хаалттай багц
Цөөн хэдэн Мшулуун шугам дээр гэж нэрлэдэг нээлттэй, хэрэв түүний цэг бүр тодорхой интервалын хамт энэ багцад агуулагдаж байвал. Хаалттайнь бүх хязгаарын цэгүүдийг агуулсан олонлог юм (өөрөөр хэлбэл, энэ цэгийг агуулсан аливаа интервал нь олонлогийг дор хаяж нэг цэгээр огтолно). Жишээлбэл, сегмент нь хаалттай олонлог боловч нээлттэй биш, интервал нь эсрэгээрээ нээлттэй олонлог боловч хаалттай биш юм. Нээлттэй ч биш, хаалттай ч биш багцууд байдаг (жишээлбэл, хагас интервал). Хаалттай, нээлттэй хоёр багц байдаг - энэ нь хоосон, тэгээд л болоо З(бусад байхгүй гэдгийг батлах). Үүнийг харахад амархан Мнээх, дараа нь [` М] (эсвэл З \ М- багцад нэмэлт Мөмнө З) хаалттай байна. Үнэхээр, хэрэв [` М] хаалттай биш, тэгвэл энэ нь өөрийн гэсэн хязгаарын цэгийг агуулаагүй болно м. Харин дараа нь мТУХАЙ М, мөн агуулсан интервал бүр м, [` олонлогтой огтлолцоно М], өөрөөр хэлбэл худал хэлэхгүй байх санаатай М, мөн энэ нь үнэнтэй зөрчилдөж байна М- нээлттэй. Үүний нэгэн адил мөн шууд тодорхойлолтоос үзвэл, хэрэв Мхаагдсан бол [` М] нээх (шалгах!).
Одоо бид дараах чухал теоремыг батлах болно.
Теорем. Аливаа нээлттэй багц Моновчтой төгсгөлүүдтэй (өөрөөр хэлбэл оновчтой цэгүүдийн төгсгөлүүдтэй) интервалуудын нэгдэл хэлбэрээр төлөөлж болно.
Баталгаа . Үйлдвэрчний эвлэлийг авч үзье УМанай олонлогийн дэд олонлогууд болох оновчтой төгсгөл бүхий бүх интервалууд. Энэ нэгдэл нь бүхэл бүтэн багцтай давхцаж байгааг баталцгаая. Үнэхээр, хэрэв м- зарим цэгээс М, дараа нь интервал байна ( м 1 , м 2) М Магуулсан м(энэ нь үүнээс үүдэлтэй М- нээлттэй). Ямар ч интервал дээр та оновчтой цэгийг олох боломжтой. үргэлжлүүлье ( м 1 , м) - Энэ м 3, дээр ( м, м 2) - энэ бол м 4 . Дараа нь зааж өгнө үү мэвлэлд хамрагдана У, тухайлбал, интервал ( м 3 , м 4). Тиймээс бид оноо бүрийг нотолсон м-аас Мэвлэлд хамрагдана У. Түүгээр ч зогсохгүй, энэ нь бүтээн байгуулалтаас тодорхой харагдаж байна У, агуулаагүй цэг байхгүй М, хамрагдаагүй У. гэсэн үг, УТэгээд Мтаарах.
Энэ теоремын чухал үр дагавар нь аливаа нээлттэй олонлог байдаг тоолох боломжтойинтервалуудыг нэгтгэх.
Хаана ч байхгүй нягт олонлогууд болон хэмжүүрүүд тэг. Кантор багц>
Хавсралт 2 . Хаана ч байхгүй нягт олонлогууд болон хэмжүүрүүд тэг. Канторын багц
Цөөн хэдэн Адуудсан хаана ч нягт байдаггүй, хэрэв ямар нэгэн өөр цэгийн хувьд аТэгээд бхэсэг байна [ в, г] М [ а, б], огтлолцохгүй А. Жишээлбэл, дараалсан цэгүүдийн багц а n = [ 1/(n)] нь хаана ч нягт биш, харин рационал тооны олонлог тийм биш юм.
Байрын теорем. Сегментийг хаана ч байхгүй нягт олонлогуудын тоолж болох нэгдэл хэлбэрээр дүрслэх боломжгүй.
Баталгаа . Дараалал байна гэж бодъё А кхаана ч ийм өтгөн багц And би А би = [а, б]. Дараах сегментүүдийн дарааллыг байгуулъя. Болъё I 1 – зарим сегментийг [-д суулгасан а, б] ба огтлолцдоггүй А 1 . Тодорхойлолтоор бол интервал дээр хаана ч байхгүй нягт олонлог I 1 олонлогтой огтлолцдоггүй сегмент байна А 2. Түүнийг дуудъя I 2. Цаашилбал, сегмент дээр I 2, ижил төстэй сегментийг авна I 3, огтлолцоогүй А 3 гэх мэт дараалал I күүрлэсэн сегментүүд нь нийтлэг цэгтэй байдаг (энэ нь бодит тооны гол шинж чанаруудын нэг юм). Барилгын хувьд энэ цэг нь аль ч багцад ороогүй болно А к, энэ нь эдгээр багц нь сегментийг бүхэлд нь хамардаггүй гэсэн үг юм [ а, б].
Багцыг дуудъя М 0 хэмжигдэхүүнтэй, хэрэв ямар нэгэн эерэг e хувьд дараалал байна I книйт урт e-ээс бага интервалууд, хамрах М. Аливаа тоолж болох олонлог нь тэг хэмжигдэхүүнтэй байх нь ойлгомжтой. Гэсэн хэдий ч 0 хэмжигдэхүүнтэй тоолж баршгүй олонлогууд бас байдаг. Канторын нэртэй маш алдартай нэгийг байгуулъя.
|
|
| Цагаан будаа. арван нэгэн |
Хэсэг авч үзье. Үүнийг гурван тэнцүү хэсэгт хуваая. Дунд сегментийг хаяцгаая (Зураг 11, А). Нийт урттай хоёр сегмент байх болно [2/3]. Бид тус бүртэй яг ижил үйлдлийг гүйцэтгэх болно (Зураг 11, б). Нийт урт [ 4/9] = ([ 2/3]) \ B 2 байх дөрвөн сегмент үлдэх болно. Ингэж үргэлжлүүлбэл (Зураг 11, В–д) хязгааргүй хүртэл бид урьдчилан тогтоосон эерэг хэмжигдэхүүнээс бага хэмжигдэхүүнтэй, өөрөөр хэлбэл тэг хэмжигдэхүүнийг авдаг. Энэ олонлогийн цэгүүд болон тэг ба нэгүүдийн хязгааргүй дарааллыг хооронд нь харьцах харьцааг тогтоох боломжтой. Хэрэв эхний "хаях" үед бидний цэг баруун сегмент рүү орвол дарааллын эхэнд 1, зүүн талд 0 байвал (Зураг 11, А). Дараа нь, эхний "хаях" -ын дараа бид том сегментийн жижиг хуулбарыг авдаг бөгөөд үүнтэй ижил зүйлийг хийдэг: хэрэв хаясны дараа бидний оноо баруун сегмент рүү орвол бид 1, зүүн талд байгаа бол 1-ийг тавина. – 0 гэх мэт (нэг харьцах харьцааг шалгана уу) , будаа. арван нэгэн, б, В. Тэг ба нэгийн дарааллын олонлог нь үндсэн континуумтай байдаг тул Кантор олонлогт мөн үндсэн үргэлжлэл байдаг. Түүнээс гадна, энэ нь хаана ч нягт биш гэдгийг батлахад хялбар байдаг. Гэсэн хэдий ч, энэ нь хатуу хэмжүүр тэгтэй байдаг нь худлаа (хатуу хэмжүүрийн тодорхойлолтыг үзнэ үү). Энэ баримтыг нотлох санаа нь дараах байдалтай байна: дарааллыг аваарай а n, маш хурдан тэглэх хандлагатай. Жишээлбэл, дараалал а n = [ 1/(2 2 n)]. Дараа нь бид энэ дараалал нь Cantor багцыг хамарч чадахгүй гэдгийг батлах болно (үүнийг хий!).
Хавсралт 3 . Даалгаврууд
Үйлдлүүдийг тохируулах
Багцууд АТэгээд Бгэж нэрлэдэг тэнцүү, хэрэв олонлогийн элемент бүр Абагцад хамаарна Б, мөн эсрэгээр. Зориулалт: А = Б.
Цөөн хэдэн Адуудсан дэд олонлогбагц Б, хэрэв олонлогийн элемент бүр Абагцад хамаарна Б. Зориулалт: АМ Б.
1.
Дараах хоёр багц бүрийн хувьд нэг нь нөгөөгийнхөө дэд олонлог мөн эсэхийг заана уу:
|
2. Олонлог гэдгийг батал Ахэрэв зөвхөн тухайн олонлогийн дэд олонлог бол Б, элемент бүр хамаарахгүй үед Б, хамаарахгүй А.
3. Үүнийг дурын олонлогуудын хувьд батал А, БТэгээд C
A) АМ А; б) хэрэв АМ БТэгээд БМ C, Тэр АМ C;
V) А = Б, хэрэв зөвхөн хэрэв л бол АМ БТэгээд БМ А.
багц гэж нэрлэдэг хоосон, хэрэв энэ нь ямар ч элемент агуулаагүй бол. Тэмдэглэл: Ф.
4.
Дараах багц бүр хэдэн элементтэй вэ:
|
5. Гурван элементийн олонлог хэдэн дэд олонлогтой вэ?
6. Олонлог яг a) 0-тэй байж чадах уу; б*) 7; в) 16 дэд бүлэг?
Холбообагц АТэгээд Б x, Юу xТУХАЙ Аэсвэл xТУХАЙ Б. Зориулалт: АБА Б.
хөндлөн гарах замаарбагц АТэгээд Биймээс бүрдсэн олонлог гэж нэрлэдэг x, Юу xТУХАЙ АТэгээд xТУХАЙ Б. Зориулалт: АЗ Б.
Ялгаагаарбагц АТэгээд Биймээс бүрдсэн олонлог гэж нэрлэдэг x, Юу xТУХАЙ АТэгээд xП Б. Зориулалт: А \ Б.
7. Өгөгдсөн багц А = {1,3,7,137}, Б = {3,7,23}, C = {0,1,3, 23}, Д= (0,7,23,1998). Багцуудыг олох:
| A) АБА Б; | б) АЗ Б; | V) ( АЗ Б) БОЛОН Д; |
| G) C Z ( ДЗ Б); | г) ( АБА Б)Z ( CБА Д); | д) ( АБА ( БЗ C))З Д; |
| болон) ( CЗ А) БОЛОН (( АБА ( CЗ Д))З Б); | h) ( АБА Б) \ (CЗ Д); | Тэгээд) А \ (Б \ (C \ Д)); |
| Хэнд) (( А \ (ББА Д)) \ C) БОЛОН Б. |
8. Болъё Атэгш тоонуудын олонлог юм, ба Б– 3-т хуваагдах тооны олонлог. Ол АЗ Б.
9. Үүнийг ямар ч багцын хувьд нотлох А, Б, C
A) АБА Б = ББА А, АЗ Б = БЗ А;
б) АБА ( ББА C) = (АБА Б) БОЛОН C, А Z ( БЗ C) = (АЗ Б)З C;
V) А Z ( ББА C) = (АЗ Б) БОЛОН ( АЗ C), АБА ( БЗ C) = (АБА Б)Z ( АБА C);
G) А \ (ББА C) = (А \ Б)Z ( А \ C), А \ (БЗ C) = (А \ Б) БОЛОН ( А \ C).
10. Энэ нь ямар ч багцын хувьд үнэн үү А, Б, C
| A) А Z ZH = F, А I F = А; | б) АБА А = А, АЗ А = А; | V) АЗ Б = АЮ АМ Б; |
| G) ( А \ Б) БОЛОН Б = А; 7 г) А \ (А \ Б) = АЗ Б; | д) А \ (Б \ C) = (А \ Б) БОЛОН ( АЗ C); | |
| болон) ( А \ Б) БОЛОН ( Б \ А) = АБА Б? |
Зураглалыг тохируулах
Хэрэв элемент бүр xбагц Xяг нэг элемент таарч байна е(x) багц Ю, тэгвэл өгөгдсөн гэж хэлдэг харуулах еолон хүнээс Xолны дунд Ю. Үүний зэрэгцээ, хэрэв е(x) = y, дараа нь элемент yдуудсан арга замбүрэлдэхүүн xхаруулах үед е, болон элемент xдуудсан прототипбүрэлдэхүүн yхаруулах үед е. Зориулалт: е: X ® Ю.
11. Олонлогоос (7,8,9) олонлог (0,1) хүртэлх бүх боломжит зураглалыг зур.
Болъё е: X ® Ю, yТУХАЙ Ю, АМ X, БМ Ю. Элементийн бүрэн прототип y харуулах үед еолонлог гэж нэрлэдэг ( xТУХАЙ X | е(x) = y). Зориулалт: е - 1 (y). Олон түмний дүр төрх АМ X харуулах үед еолонлог гэж нэрлэдэг ( е(x) | xТУХАЙ А). Зориулалт: е(А). Багцын прототип БМ Ю олонлог гэж нэрлэдэг ( xТУХАЙ X | е(x) ТУХАЙ Б). Зориулалт: е - 1 (Б).
12. Үзүүлэхийн тулд е: (0,1,3,4) ® (2,5,7,18), зургаар өгөгдсөн, ол е({0,3}), е({1,3,4}), е - 1 (2), е - 1 ({2,5}), е - 1 ({5,18}).
| a B C) |
13. Болъё е: X ® Ю, А 1 , А 2 М X, Б 1 , Б 2 М Ю. Энэ нь үргэлж үнэн байдаг гэж үү
A) е(X) = Ю;
б) е - 1 (Ю) = X;
V) е(А 1 I А 2) = е(А 1) Мөн е(А 2);
G) е(А 1 Вт А 2) = е(А 1) З е(А 2);
г) е - 1 (Б 1 I Б 2) = е - 1 (Б 1) Мөн е - 1 (Б 2);
д) е - 1 (Б 1 Вт Б 2) = е - 1 (Б 1) З е - 1 (Б 2);
g) хэрэв е(А 1 сая е(А 2), дараа нь А 1 сая А 2 ;
h) хэрэв е - 1 (Б 1 сая е - 1 (Б 2), дараа нь Б 1 сая Б 2 ?
Найрлагазураглал е: X ® ЮТэгээд g: Ю ® Зэлементийг холбосон зураглал гэж нэрлэдэг xбагц Xбүрэлдэхүүн g(е(x)) багц З. Зориулалт: g° е.
14. Дурын зураглалын хувьд үүнийг батална уу е: X ® Ю, g: Ю ® ЗТэгээд h: З ® Вдараах үйлдлийг гүйцэтгэнэ. h° ( g° е) = (h° g)° е.
15. Болъё е: (1,2,3,5) ® (0,1,2), g: (0,1,2) ® (3,7,37,137), h: (3,7,37,137) ® (1,2,3,5) – зурагт үзүүлсэн зураглал:
| е: g: h: |
Дараах дэлгэцийн зургийг зур.
A) g° е; б) h° g; V) е° h° g; G) g° h° е.
Дэлгэц е: X ® Юдуудсан хоёрдмол утгатай, хэрэв тус бүрийн хувьд yТУХАЙ Юяг нэг байна xТУХАЙ Xтиймэрхүү е(x) = y.
16. Болъё е: X ® Ю, g: Ю ® З. гэж үнэн үү еТэгээд gтэгвэл хоёрдмол утгатай g° ехоёрдмол утгаар?
17. Болъё е: (1,2,3) ® (1,2,3), g: (1,2,3) ® (1,2,3), – зурагт үзүүлсэн зураглал:
18. Дараах хоёр багц тус бүрд эхнийхээс хоёр дахь бүлэгт хуваагдал байгаа эсэхийг олж мэд (тэг нь натурал тоо гэж үзвэл):
а) натурал тоонуудын багц;
б) тэгш натурал тоонуудын олонлог;
в) 3-гүй натурал тоонуудын багц.
Метрийн орон зайбагц гэж нэрлэдэг Xөгөгдсөн зүйлтэй хэмжүүр r: X× X ® З
1) " x,yТУХАЙ X r ( x,y) i 0, ба r ( x,y) = 0 зөвхөн хэрэв байгаа бол x = y (сөрөг бус байдал ); 2) " x,yТУХАЙ X r ( x,y) = r ( y,x) (тэгш хэм ); 3) " x,y,zТУХАЙ X r ( x,y) + r ( y,z) би r ( x,z) (гурвалжны тэгш бус байдал ). 19 19. X
A) X = З, r ( x,y) = | x - y| ;
б) X = З 2 , r 2 (( x 1 ,y 1),(x 2 ,y 2)) = C (( x 1 - x 2) 2 + (y 1 - y 2) 2 };
V) X = C[а,ба,б] функцууд,
Нээлттэй(тус тус, хаалттай) радиустай бөмбөг rсансарт Xцэг дээр төвлөрсөн xбагц гэж нэрлэдэг У r (x) = {yТУХАЙ x:r ( x,y) < r) (тус тусад нь, Б r (x) = {yТУХАЙ X:r ( x,y) Ј r}).
Дотоод цэгбагц УМ X У
нээлттэй хүрээлэн буй орчинэнэ цэг.
Хязгаарлалтын цэгбагц ФМ X Ф.
хаалттай
20. Үүнийг нотол
21. Үүнийг нотол
б) олонлогийн нэгдэл А богино холбоос А
Дэлгэц е: X ® Юдуудсан Үргэлжилсэн
22.
23. Үүнийг нотол
Ф (x) = inf yТУХАЙ Ф r ( x,y
Ф.
24. Болъё е: X ® Ю– . Үүний урвуу үргэлжилсэн гэж үнэн үү?
Тасралтгүй нэгийг харьцах зураглал е: X ® Ю гомеоморфизм. Орон зай X, Югомеоморф.
25.
26. Ямар хосуудад зориулагдсан бэ? X, Ю е: X ® Ю, аль хамт наалддаггүйоноо (жишээ нь. е(x) № е(y) цагт x № y хөрөнгө оруулалт)?
27*. орон нутгийн гомеоморфизм(жишээ нь цэг бүрт xонгоц ба е(x) torus ийм хорооллууд байдаг УТэгээд В, Юу егомеоморфийн газрын зураг Удээр В).
Метрийн орон зай ба тасралтгүй зураглал
Метрийн орон зайбагц гэж нэрлэдэг Xөгөгдсөн зүйлтэй хэмжүүр r: X× X ® З, дараах аксиомуудыг хангана.
1) " x,yТУХАЙ X r ( x,y) i 0, ба r ( x,y) = 0 зөвхөн хэрэв байгаа бол x = y (сөрөг бус байдал ); 2) " x,yТУХАЙ X r ( x,y) = r ( y,x) (тэгш хэм ); 3) " x,y,zТУХАЙ X r ( x,y) + r ( y,z) би r ( x,z) (гурвалжны тэгш бус байдал ). 28. Дараах хосууд ( X, r ) нь метрийн орон зай юм:
A) X = З, r ( x,y) = | x - y| ;
б) X = З 2 , r 2 (( x 1 ,y 1),(x 2 ,y 2)) = C (( x 1 - x 2) 2 + (y 1 - y 2) 2 };
V) X = C[а,б] – үргэлжилсэн багц [ дээр а,б] функцууд,
Нээлттэй(тус тус, хаалттай) радиустай бөмбөг rсансарт Xцэг дээр төвлөрсөн xбагц гэж нэрлэдэг У r (x) = {yТУХАЙ x:r ( x,y) < r) (тус тусад нь, Б r (x) = {yТУХАЙ X:r ( x,y) Ј r}).
Дотоод цэгбагц УМ Xагуулагдсан цэг юм Утэгээс өөр радиустай зарим бөмбөгтэй хамт.
Бүх цэгүүд нь дотоод хэсэгтэй олонлогийг нэрлэдэг нээлттэй. Өгөгдсөн цэгийг агуулсан нээлттэй олонлогийг дуудна хүрээлэн буй орчинэнэ цэг.
Хязгаарлалтын цэгбагц ФМ Xаль ч хөрш нь олонлогийн хязгааргүй олон цэгүүдийг агуулсан цэг юм Ф.
Бүх хязгаарын цэгүүдийг агуулсан олонлогийг дуудна хаалттай(энэ тодорхойлолтыг Хавсралт 1-д өгсөн тодорхойлолттой харьцуулна уу).
29. Үүнийг нотол
a) олонлог нь түүний нэмэлт хаалттай тохиолдолд л нээлттэй байна;
б) хаалттай олонлогуудын төгсгөлтэй нэгдэл ба тоолж болох огтлолцол хаалттай;
в) нээлттэй олонлогуудын тоолж болох нэгдэл ба төгсгөлтэй огтлолцол нээлттэй байна.
30. Үүнийг нотол
a) аливаа багцын хязгаарын олонлог нь хаалттай олонлог юм;
б) олонлогийн нэгдэл Аба түүний хязгаарын багц ( богино холбоос А) нь хаалттай олонлог юм.
Дэлгэц е: X ® Юдуудсан Үргэлжилсэн, хэрэв нээлттэй олонлог бүрийн урвуу дүрс нээлттэй байвал.
31. Энэ тодорхойлолт нь шугам дээрх функцүүдийн тасралтгүй байдлын тодорхойлолттой нийцэж байгааг батал.
32. Үүнийг нотол
a) r-г тохируулах зай Ф (x) = inf yТУХАЙ Ф r ( x,y) тасралтгүй функц;
б) а) зүйл дэх функцийн тэгийн олонлог нь хаалтын үетэй давхцаж байна Ф.
33. Болъё е: X ® Ю
Тасралтгүй нэгийг харьцах зураглал е: X ® Ю, урвуу нь мөн тасралтгүй гэж нэрлэдэг гомеоморфизм. Орон зай X, ЮИйм зураглал байгаа , гэж нэрлэдэг гомеоморф.
34. Дараах багцуудын хос бүрийн хувьд гомеоморф эсэхийг тодорхойлно уу.
35. Ямар хосуудад зориулагдсан бэ? X, Юөмнөх асуудлын зайг тасралтгүй зураглал байна е: X ® Ю, аль хамт наалддаггүйоноо (жишээ нь. е(x) № е(y) цагт x № y– ийм зураглал гэж нэрлэдэг хөрөнгө оруулалт)?
36*. Онгоцноос торус хүртэлх тасралтгүй зураглалыг гаргаж ирээрэй орон нутгийн гомеоморфизм(жишээ нь цэг бүрт xонгоц ба е(x) torus ийм хорооллууд байдаг УТэгээд В, Юу егомеоморфийн газрын зураг Удээр В).
Бүрэн байдал. Байрын теорем
Болъё X- метрийн орон зай. Дараалал x nтүүний элементүүдийг нэрлэдэг суурь, Хэрэв
|
37. Конвергент дараалал нь үндсэн гэдгийг батал. Эсрэг заалт үнэн үү?
Метрийн орон зай гэж нэрлэгддэг бүрэн, хэрэв үндсэн дараалал бүр түүнд нийлдэг бол.
38. Сансрын гомеоморфоос бүрэн бүтэн болох нь үнэн үү?
39. Бүрэн орон зайн хаалттай дэд орон зай өөрөө бүрэн гэдгийг батлах; дурын орон зайн бүрэн дэд орон зай түүнд хаалттай байна.
40. Бүрэн хэмжигдэхүүн орон зайд тэг рүү чиглэсэн радиустай үүрлэсэн хаалттай бөмбөлгүүдийн дараалал нийтлэг элементтэй болохыг батал.
41. Өмнөх асуудалд орон зайн бүрэн бүтэн байдлын нөхцөл эсвэл бөмбөлгүүдийн радиусыг тэг болгох хандлагыг арилгах боломжтой юу?
Дэлгэц еметрийн орон зай Xөөртөө дуудсан шахалтын, Хэрэв
|
42. Агшилтын зураг тасралтгүй гэдгийг батал.
43. a) Бүрэн хэмжүүрийн орон зайн агшилтын зураглал нь яг нэг тогтмол цэгтэй болохыг батал.
б) Орос улсын 1:20 000 000 масштабтай газрын зургийг 1: 5 000 000 масштабтай ОХУ-ын газрын зураг дээр байрлуул.Хоёр газрын зураг дээрх зургууд нь давхцаж буй цэг байгааг нотол.
44*. Асуудлын илэрхийлэл үнэн байх бүрэн бус хэмжигдэхүүн орон зай байна уу?
Метрийн орон зайн дэд олонлогийг нэрлэдэг хаа сайгүй нягт, хэрэв түүний хаалт нь бүхэл бүтэн орон зайтай давхцаж байвал; хаана ч нягт байдаггүй– хэрэв түүний хаалт нь хоосон бус нээлттэй дэд бүлэггүй бол (энэ тодорхойлолтыг Хавсралт 2-т өгсөн тодорхойлолттой харьцуулна уу).
45. a) Болъё а, б, а, б О ЗТэгээд а < a < b < б. Үргэлжилсэн функцүүдийн олонлог нь [ дээр байгаа гэдгийг батал. а,б], монотон дээр, бүх тасралтгүй функцүүдийн орон зайд хаана ч нягт байхгүй [ а,б] жигд хэмжигдэхүүнтэй.
б) зөвшөөр а, б, в, e O ЗТэгээд а < б, в> 0, e > 0. Дараа нь [ дээр үргэлжилсэн функцүүдийн олонлог. а,б], ийм байна
|
46. (Байрын ерөнхий теорем .) Бүрэн хэмжүүрийн орон зайг хаана ч байхгүй нягт олонлогуудын тоолж болох тооны нэгдэл хэлбэрээр илэрхийлэх боломжгүй гэдгийг батал.
47. Ямар ч хоосон бус интервал дээрх тасралтгүй, монотон биш ба интервал дээр тодорхойлогдсон дифференциал функцүүдийн олонлог нь бүх тасралтгүй функцүүдийн орон зайд хаа сайгүй нягт байдгийг жигд хэмжигдэхүүнээр батал.
48*. Болъё е– интервал дээр ялгах функц. Хаа сайгүй нягт олонлог цэг дээр түүний дериватив тасралтгүй болохыг батал. Энэ бол тодорхойлолт юм Лебесгхэмжүүр нь тэг. Хэрэв тоолж болох тооны интервалыг төгсгөлтэй нэгээр орлуулсан бол бид тодорхойлолтыг авна Жордановахэмжүүр нь тэг.
Натурал тооны багц нь объектыг тоолоход хэрэглэгддэг 1, 2, 3, 4, ... тоонуудаас бүрдэнэ. Бүх натурал тоонуудын багцыг ихэвчлэн үсгээр тэмдэглэдэг Н :
Н = {1, 2, 3, 4, ..., n, ...} .
Натурал тоог нэмэх хуулиуд
1. Дурын натурал тоонуудын хувьд аТэгээд бтэгш байдал үнэн а + б = б + а . Энэ шинж чанарыг нэмэхийн солилцооны хууль гэж нэрлэдэг.
2. Дурын натурал тоонуудын хувьд а, б, в тэгш байдал үнэн (а + б) + в = а + (б + в) . Энэ шинж чанарыг нэмэхийн нэгдсэн (ассоциатив) хууль гэж нэрлэдэг.
Натурал тоог үржүүлэх хуулиуд
3. Дурын натурал тоонуудын хувьд аТэгээд бтэгш байдал үнэн ab = ба. Энэ өмчийг үржүүлэхийн солих хууль гэж нэрлэдэг.
4. Дурын натурал тоонуудын хувьд а, б, в тэгш байдал үнэн (аб)в = а(бв) . Энэ өмчийг үржүүлэхийн нэгдсэн (ассоциатив) хууль гэж нэрлэдэг.
5. Аливаа утгын хувьд а, б, в тэгш байдал үнэн (а + б)в = ac + МЭӨ . Энэ өмчийг үржүүлгийн тархалтын хууль (нэмэлттэй харьцуулахад) гэж нэрлэдэг.
6. Аливаа утгын хувьд атэгш байдал үнэн а*1 = а. Энэ өмчийг нэгээр үржүүлэх хууль гэж нэрлэдэг.
Хоёр натурал тоог нэмэх буюу үржүүлсний үр дүн үргэлж натурал тоо байдаг. Өөрөөр хэлбэл, эдгээр үйлдлүүдийг натурал тоонуудын багцад үлдэх үед хийж болно. Үүнийг хасах, хуваах талаар хэлэх боломжгүй: жишээлбэл, 3-ын тооноос натурал тоонуудын багцад үлдэж, 7-г хасах боломжгүй; 15-ын тоог 4-т бүрэн хувааж болохгүй.
Натурал тоон хуваагдах шинж тэмдэг
Нийлбэрийн хуваагдах чадвар.Хэрэв гишүүн бүр нь тоонд хуваагддаг бол нийлбэр нь тухайн тоонд хуваагдана.
Бүтээгдэхүүний хуваагдах чадвар.Хэрэв бүтээгдэхүүн дэх хүчин зүйлүүдийн дор хаяж нэг нь тодорхой тоонд хуваагддаг бол тухайн бүтээгдэхүүн нь мөн энэ тоонд хуваагдана.
Эдгээр нөхцлүүд нь нийлбэр болон бүтээгдэхүүний хувьд хангалттай боловч шаардлагатай биш юм. Жишээлбэл, 12*18 үржвэр нь 36-д хуваагддаг боловч 12, 18-ын аль нь ч 36-д хуваагддаггүй.
2-т хуваагдах эсэхийг шалгах.Натурал тоо 2-т хуваагдахын тулд сүүлийн орон нь тэгш байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай.
5-д хуваагдах эсэхийг шалгах.Натурал тоо 5-д хуваагдахын тулд түүний сүүлчийн орон нь 0 эсвэл 5 байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай.
10-д хуваагдах эсэхийг шалгах.Натурал тоо 10-д хуваагдахын тулд нэгжийн цифр нь 0 байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай.
4-т хуваагдах эсэхийг шалгах.Дор хаяж гурван оронтой натурал тоо 4-т хуваагдахын тулд сүүлийн цифрүүд нь 00, 04, 08 байх эсвэл энэ тооны сүүлийн хоёр оронтой тооноос бүрдэх хоёр оронтой тоо нь 4-т хуваагдах шаардлагатай бөгөөд хангалттай. 4.
2-т хуваагдах эсэхийг шалгах (9-д).Натурал тоо 3-т (9-д) хуваагдахын тулд цифрүүдийн нийлбэр нь 3-т (9-д) хуваагдах шаардлагатай бөгөөд хангалттай.
Бүхэл тоонуудын багц
Цэг дэх гарал үүсэл бүхий тооны шулууныг авч үзье О. Үүн дээр байгаа тэг тооны координат нь цэг болно О. Өгөгдсөн чиглэлд тооны шулуун дээр байрлах тоог эерэг тоо гэж нэрлэдэг. Тоон шулуун дээр цэг өгье Акоординаттай 3. Энэ нь эерэг тоо 3-тай тохирч байна. Одоо цэгээс нэгж сегментийг гурван удаа зуръя. О, өгөгдсөнөөс эсрэг чиглэлд. Дараа нь бид санаагаа олж авна А", цэг хүртэл тэгш хэмтэй Агарал үүсэлтэй харьцуулахад О. Цэгийн координат А"тоо байх болно - 3. Энэ тоо нь 3 тооны эсрэг тоо юм. Өгөгдсөнөөс эсрэг чиглэлд тооны шулуун дээр байрлах тоог сөрөг тоо гэнэ.
Натурал тоонуудын эсрэг тоо нь тооны багцыг бүрдүүлдэг Н" :
Н" = {- 1, - 2, - 3, - 4, ...} .
Хэрэв бид багцуудыг нэгтгэвэл Н , Н" ба синглтон багц {0} , дараа нь бид багц авна З бүх бүхэл тоо:
З = {0} ∪ Н ∪ Н" .
Бүхэл тоонуудын хувьд дээрх нэмэх ба үржүүлэх хууль бүгд үнэн бөгөөд натурал тоонуудын хувьд үнэн байдаг. Үүнээс гадна дараах хасах хуулиудыг нэмж оруулсан болно.
а - б = а + (- б) ;
а + (- а) = 0 .
Рационал тоонуудын багц
Бүхэл тоонуудыг тэгтэй тэнцүү биш дурын тоонд хуваах үйлдлийг боломжтой болгохын тулд бутархай хэсгүүдийг оруулав.
Хаана аТэгээд б- бүхэл тоо ба бтэгтэй тэнцүү биш.
Хэрэв бид бүх эерэг ба сөрөг бутархайн олонлогийг бүхэл тооны олонлогт нэмбэл оновчтой тооны олонлогийг авна. Q :
.
Түүнээс гадна бүхэл тоо бүр нь оновчтой тоо байдаг, учир нь жишээлбэл, 5-ыг тоологч ба хуваагч нь бүхэл тоо хэлбэрээр төлөөлж болно. Энэ нь рационал тоон дээр үйлдлүүдийг гүйцэтгэхэд чухал бөгөөд тэдгээрийн аль нэг нь бүхэл тоо байж болно.
Рационал тоон дээрх арифметик үйлдлийн хуулиуд
Бутархайн үндсэн шинж чанар.Хэрэв өгөгдсөн бутархайн хуваагч ба хуваагчийг ижил натурал тоогоор үржүүлж эсвэл хуваавал өгөгдсөнтэй тэнцүү бутархай авна.
Энэ шинж чанарыг бутархайг багасгахад ашигладаг.
Бутархай нэмэх.Энгийн бутархайн нэмэлтийг дараах байдлаар тодорхойлно.
.
Өөрөөр хэлбэл, өөр өөр хуваарьтай бутархайг нэмэхийн тулд бутархайг нийтлэг хуваагч болгон бууруулна. Практикт өөр өөр хуваарьтай бутархайг нэмэх (хасах) үед бутархайг хамгийн бага нийтлэг хуваагч хүртэл багасгадаг. Жишээлбэл, иймэрхүү:
Ижил тоологчтой бутархайг нэмэхийн тулд тоологчийг нэмж, хуваагчийг хэвээр үлдээхэд хангалттай.
Бутархайг үржүүлэх.Энгийн бутархайн үржүүлгийг дараах байдлаар тодорхойлно.
Өөрөөр хэлбэл, бутархайг бутархайгаар үржүүлэхийн тулд та эхний бутархайг хоёр дахь бутархайгаар үржүүлж, үржвэрийг шинэ бутархайн хуваарьт бичиж, эхний бутархайг хуваагчаар үржүүлэх хэрэгтэй. хоёр дахь бутархайн хуваагчийг гаргаж, үржвэрийг шинэ бутархайн хуваарьт бичнэ.
Бутархайг хуваах.Энгийн бутархайн хуваагдлыг дараах байдлаар тодорхойлно.
Өөрөөр хэлбэл бутархайг бутархайд хуваахын тулд эхний бутархайг хоёр дахь бутархайн хуваагчаар үржүүлж, үржвэрийг шинэ бутархайн хуваагчаар бичиж, эхний бутархайг хуваагчаар үржүүлэх хэрэгтэй. хоёр дахь бутархайн хуваагчийг гаргаж, үржвэрийг шинэ бутархайн хуваарьт бичнэ.
Бутархайг натурал илтгэгчтэй зэрэгтэй болгох.Энэ үйлдлийг дараах байдлаар тодорхойлно.
Өөрөөр хэлбэл, бутархайг нэг зэрэгт хүргэхийн тулд хүртэгчийг тэр хэмжээнд, хуваагчийг тэр хэмжээнд өсгөнө.
Үе үе аравтын бутархай
Теорем.Аливаа рационал тоог төгсгөлтэй эсвэл хязгааргүй үечилсэн бутархай хэлбэрээр илэрхийлж болно.
Жишээлбэл,
.
Тооны аравтын бутархайн аравтын бутархайн дараа дараалан давтагдах бүлгийг цэг, тэмдэглэгээнд ийм үетэй төгсгөлтэй буюу хязгааргүй аравтын бутархайг үе гэж нэрлэдэг.
Энэ тохиолдолд аливаа төгсгөлтэй аравтын бутархайг тухайн хугацаанд тэгтэй хязгааргүй үечилсэн бутархай гэж үзнэ, жишээлбэл:
Хоёр рационал тоог нэмэх, хасах, үржүүлэх, хуваах (тэгээр хуваахаас бусад) үр дүн нь бас оновчтой тоо юм.
Бодит тоонуудын багц
Бүхэл тооны олонлогтой холбон авч үзсэн тооны шулуун дээр рационал тоо хэлбэрээр координатгүй цэгүүд байж болно. Тиймээс квадрат нь 2 байх рационал тоо байхгүй. Иймээс энэ тоо нь рационал тоо биш юм. Мөн квадрат нь 5, 7, 9 гэсэн рационал тоо байхгүй. Тиймээс , , тоонууд иррациональ байна. Энэ тоо нь бас үндэслэлгүй юм.
Ямар ч иррационал тоог үечилсэн бутархай хэлбэрээр илэрхийлж болохгүй. Тэдгээрийг үечилсэн бус бутархай хэлбэрээр илэрхийлдэг.
Рационал ба иррационал тооны олонлогуудын нэгдэл нь бодит тоонуудын олонлог юм Р .
Тоолдог олонлог нь элементүүдийг натурал тоогоор дугаарлаж болох хязгааргүй олонлог буюу натурал тооны олонлогтой дүйцэх олонлог юм.
Заримдаа натурал тооны олонлогийн аль нэг дэд олонлогтой тэнцүү үндсэн олонлогуудыг тоолох боломжтой гэж нэрлэдэг, өөрөөр хэлбэл бүх төгсгөлтэй олонлогуудыг мөн тоолох боломжтой гэж нэрлэдэг.
Тоолж болох олонлог нь "хамгийн жижиг" хязгааргүй олонлог юм, өөрөөр хэлбэл ямар ч хязгааргүй олонлогт тоолж болох дэд олонлог байдаг.
Үл хөдлөх хөрөнгө:
1. Тоолж болох олонлогийн аль ч дэд олонлог хамгийн их тоологдох боломжтой.
2. Хязгаарлагдмал буюу тоолж болох олонлогийн нэгдэл нь тоолж болно.
3. Хязгаарлагдмал тооны тоолж болох олонлогийн шууд үржвэр нь тоолж болно.
4. Тоолж болох олонлогийн бүх төгсгөлтэй дэд олонлогуудын олонлог нь тоологдох боломжтой.
5. Тоолж болох олонлогийн бүх дэд олонлогийн олонлог нь тасралтгүй бөгөөд ялангуяа тоолох боломжгүй.
Тоолж болох олонлогуудын жишээ:
Анхны тоо Натурал тоо, Бүхэл тоо, Рационал тоо, Алгебрийн тоо, Үеийн цагираг, Тооцоолох тоо, Арифметик тоо.
Бодит тооны онол.
(Бодит = бодит - залуус бидэнд зориулсан сануулга.)
R олонлог нь рационал ба иррационал тоонуудыг агуулдаг.
Рационал биш бодит тоонуудыг иррационал тоо гэж нэрлэдэг
Теорем: Квадрат нь 2-той тэнцүү рационал тоо байхгүй
Рационал тоо: ½, 1/3, 0,5, 0,333.
Иррационал тоо: 2-ын үндэс=1.4142356…, π=3.1415926…
Бодит тоонуудын R олонлог нь дараахь шинж чанартай байдаг.
1. Захиалгатай: дурын хоёр өөр тооны хувьд а ба бхоёр харилцааны нэг нь байдаг а эсвэл a>b
2. R олонлог нягт: хоёр өөр тооны хооронд а ба бхязгааргүй тооны бодит тоог агуулдаг X,өөрөөр хэлбэл тэгш бус байдлыг хангасан тоонууд a Мөн 3-р үл хөдлөх хөрөнгө байгаа, гэхдээ энэ нь асар том, уучлаарай Хязгаарлагдмал багцууд. Дээд ба доод хилийн шинж чанарууд. Хязгаарлагдмал багц- тодорхой утгаараа хязгаарлагдмал хэмжээтэй олонлог. дээр хязгаарлагдсанХэрэв бүх элементүүд нь хэтрэхгүй тоо байвал: Бодит тоонуудын багцыг дуудна доор хязгаарлагдсан, хэрэв тоо байвал, бүх элементүүд дор хаяж: Дээр ба доор хязгаарлагдсан олонлогийг нэрлэдэг хязгаарлагдмал. Хязгаарлагдаагүй олонлогийг дуудна хязгааргүй. Тодорхойлолтоос харахад олонлог нь зөвхөн, хэрэв байгаа бол хязгааргүй болно дээрээс хязгаарлагдахгүйэсвэл доор хязгаарлагдахгүй. Тооны дараалал. Тогтвортой байдлын хязгаар. Хоёр цагдаагийн тухай Лемма. Тооны дараалалтоон орон зайн элементүүдийн дараалал юм. Бодит тоонуудын олонлог эсвэл комплекс тоонуудын олонлог байг. Дараа нь олонлогийн элементүүдийн дарааллыг дуудна тоон дараалал. Жишээ. Функц гэдэг нь рационал тоонуудын хязгааргүй дараалал юм. Энэ дарааллын элементүүд эхнийхээс эхлэн хэлбэртэй байна. Дарааллын хязгаар- энэ нь тоо нэмэгдэх тусам дарааллын гишүүд ойртож буй объект юм. Тодруулбал, тоон дарааллын хувьд хязгаар гэдэг нь тухайн цэгээс эхлэн дарааллын бүх гишүүн оршдог аль ч орчмын тоог хэлнэ. Хоёр цагдаагийн тухай теорем... Хэрэв функц нь тухайн цэгийн ойр орчмын бүх хүмүүсийн хувьд , мөн функцүүд нь -д ижил хязгаартай байвал ижил утгатай тэнцүү функцийн хязгаар байна. Одоо битүү ба нээлттэй олонлогийн зарим онцлог шинж чанарыг нотлон харуулъя. Теорем 1. Хязгаарлагдмал буюу тоолж болох тооны нээлттэй олонлогуудын нийлбэр нь нээлттэй олонлог юм. Хязгаарлагдмал тооны нээлттэй олонлогуудын үржвэр нь нээлттэй олонлог юм. Хязгаарлагдмал буюу тоолж болох тооны нээлттэй багцын нийлбэрийг авч үзье. Хэрэв , тэгвэл Р нь Let since нээлттэй олонлогийн ядаж нэгд хамаарах бөгөөд Р-ийн зарим -хөрш мөн адил хамаарна.П-ийн ижил -хөрш нь мөн g нийлбэрт хамаарах бөгөөд үүнээс g нь нээлттэй олонлог болно. Одоо эцсийн бүтээгдэхүүнийг авч үзье ба P g-д харьяалагдана. Дээр дурдсанчлан Р-ийн зарим -хөрш мөн g-д харьяалагддаг болохыг баталъя. P нь g-д харьяалагддаг тул P нь хүн бүрт хамаарна. - нь нээлттэй олонлог байдаг тул аль нэгнийх нь хувьд -д хамаарах цэгийн хөрш байдаг. Хэрэв энэ тоог хамгийн бага нь төгсгөлтэй тоотой тэнцүү гэж үзвэл P цэгийн -хөрш нь хүн бүрт, улмаар g-д хамаарах болно. Тоолж болох тооны нээлттэй багцын үржвэр нь нээлттэй олонлог гэж бид хэлж болохгүй гэдгийг анхаарна уу. Теорем 2. CF олонлог нээлттэй, CO олонлог хаалттай байна. Эхний мэдэгдлийг баталъя. P-г CF-д хамааруулъя. Зарим P хороолол нь CF-д харьяалагддаг гэдгийг батлах шаардлагатай. Энэ нь хэрэв P-ийн аль ч хөршид F цэгүүд байсан бол нөхцлөөр хамааралгүй P цэг нь F-ийн хязгаарын цэг байх бөгөөд хаалттай байдлаасаа шалтгаалан хамаарах ёстой гэсэн баримтаас үүдэлтэй. зөрчилдөөн. Теорем 3. Хязгаарлагдмал буюу тоолж болох тооны битүү олонлогийн үржвэр нь битүү олонлог юм. Хязгаарлагдмал тооны битүү олонлогийн нийлбэр нь битүү олонлог юм. Жишээлбэл, багц гэдгийг баталъя хаалттай. Нэмэлт багц руу шилжихэд бид бичиж болно Теоремоор олонлогууд нээлттэй, 1-р теоремоор олонлог мөн нээлттэй байх тул нэмэлт g олонлог хаалттай байна. Тоолж болох тооны хаалттай олонлогуудын нийлбэр нь мөн нээлттэй олонлог болж хувирахыг анхаарна уу. Теорем 4. Олонлог нь нээлттэй олонлог ба хаалттай олонлог юм. Дараах тэгш байдлыг шалгахад хялбар байдаг. Эдгээрээс өмнөх теоремуудын хүчинд 4-р теорем гарч ирнэ. Хэрэв g цэг бүр М системийн олонлогийн аль нэгэнд багтсан бол g олонлог тодорхой олонлогийн M системд хамрагдана гэж бид хэлэх болно. Теорем 5 (Борел). Хэрэв битүү хязгаарлагдмал F олонлог нь нээлттэй О олонлогуудын хязгааргүй a системээр бүрхэгдсэн бол энэ хязгааргүй системээс F-ийг хамарсан хязгааргүй тооны нээлттэй олонлогуудыг гаргаж авах боломжтой. Бид энэ теоремыг урвуу аргаар баталж байна. Системээс хязгаарлагдмал тооны нээлттэй багц байхгүй гэж үзье, бид үүнийг зөрчилд оруулав. F нь хязгаарлагдмал олонлог тул F-ийн бүх цэгүүд ямар нэгэн хязгаарлагдмал хоёр хэмжээст интервалд хамаарна. Энэ битүү интервалыг дөрвөн тэнцүү хэсэгт хувааж, интервалуудыг хагасаар хуваацгаая. Бид үүссэн дөрвөн интервал бүрийг хаахын тулд авна. Эдгээр дөрвөн хаалттай интервалын аль нэгэнд байрлах F цэгүүд нь теорем 2-ын дагуу битүү олонлогийг төлөөлөх бөгөөд эдгээр хаалттай олонлогуудын ядаж нэгийг нь системээс хязгаарлагдмал тооны нээлттэй олонлогоор хамрах боломжгүй. Энэ нөхцөл байдал үүссэн газарт бид дээр дурдсан дөрвөн хаалттай интервалын аль нэгийг авна. Бид дахин энэ интервалыг дөрвөн тэнцүү хэсэгт хувааж, дээрхтэй ижил аргаар тайлбарла. Тиймээс бид дараагийнх бүр нь өмнөхийн дөрөвний хэсгийг төлөөлөх үүрлэсэн интервалуудын системийг олж авах бөгөөд дараах нөхцөл байдал үүснэ: дурын k-д хамаарах F цэгүүдийн багцыг системээс хязгаарлагдмал тооны нээлттэй олонлогоор хамрах боломжгүй. а. k-ийн хязгааргүй өсөлтөөр интервалууд нь бүх интервалд хамаарах тодорхой P цэг хүртэл хязгааргүй багасах болно. Аливаа k-ийн хувьд тэдгээр нь хязгааргүй тооны цэгүүдийг агуулж байдаг тул P цэг нь F-ийн хязгаарлах цэг бөгөөд F нь хаалттай олонлог тул F-д хамаарна. Ийнхүү Р цэг нь a системд хамаарах зарим нэг задгай олонлогоор бүрхэгдсэн байна. P цэгийн зарим хөрш нь мөн нээлттэй О олонлогт хамаарах болно. Хангалттай том k утуудын хувьд D интервалууд нь дээрх P цэгийн хөрш дотор багтах болно. Тиймээс эдгээр нь зөвхөн нэгээр бүрэн хамрагдах болно. a системийн нээлттэй олонлог О ба энэ нь аливаа k-д хамаарах цэгүүдийг a-д хамаарах хязгаарлагдмал тооны нээлттэй олонлогоор хамрах боломжгүй гэсэн баримттай зөрчилддөг. Ийнхүү теорем батлагдсан болно. Теорем 6. Нээлттэй олонлогийг нийтлэг цэггүй хосоор нь тоолж болох тооны хагас задгай интервалын нийлбэрээр илэрхийлж болно. Хавтгай дахь хагас задгай интервалыг бид хэлбэрийн тэгш бус байдлаар тодорхойлсон хязгаарлагдмал интервал гэж нэрлэдэг гэдгийг санаарай. Талууд нь тэнхлэгүүдтэй параллель, хажуугийн урт нь нэгтэй тэнцүү квадратуудын торыг хавтгай дээр зурцгаая. Эдгээр квадратуудын олонлог нь тоолж болох олонлог юм. Эдгээр квадратуудаас бүх цэгүүд нь өгөгдсөн нээлттэй О олонлогт хамаарах квадратуудыг сонгоцгооё. Ийм квадратуудын тоо хязгаарлагдмал эсвэл тоолох боломжтой эсвэл тийм квадратууд огт байхгүй байж магадгүй. Бид сүлжээний үлдсэн квадрат бүрийг дөрвөн ижил квадрат болгон хувааж, шинээр олж авсан квадратуудаас бүх цэгүүд нь О-д хамаарахыг дахин сонгоно. Бид үлдсэн квадрат бүрийг дөрвөн тэнцүү хэсэгт хувааж, бүх цэгүүд нь байгаа квадратуудыг сонгоно. O-д хамаарах гэх мэт. О олонлогийн P цэг бүр сонгогдсон квадратуудын аль нэгэнд орох бөгөөд бүх цэгүүд нь О-д хамаарах болно гэдгийг харуулъя. Үнэн хэрэгтээ Р-ээс О-ийн хил хүртэлх эерэг зайг d гэж үзье. Диагональ нь -ээс бага квадратуудад хүрэхэд бид P цэг аль хэдийн бүх эзлэхүүн нь О-д хамаарах дөрвөлжин болж унасан гэдгийг баталж чадна. Хэрэв сонгосон квадратуудыг хагас задгай гэж үзвэл тэдгээр нь гарахгүй. хос хосоороо нийтлэг цэгүүдтэй байх ба теорем нь батлагдсан. Хагас нээлттэй интервалуудын эцсийн нийлбэр нь нээлттэй олонлог биш нь ойлгомжтой тул сонгосон квадратуудын тоог заавал тоолж болно. Дээрх барилгын ажлын үр дүнд олж авсан хагас задгай квадратуудыг DL-ээр тэмдэглээд бид бичиж болно.
