Тэгш өнцөгт гурвалжны талбайг ер бусын аргаар хэрхэн олох вэ. Гипотенуз ба хөлийн томъёог ашиглан тэгш өнцөгт гурвалжны талбайг ер бусын аргаар хэрхэн олох вэ

Геометрийн хичээл дээр ахлах сургуульБид бүгд гурвалжингийн талаар хэлсэн. Гэсэн хэдий ч дотроо сургуулийн сургалтын хөтөлбөрБид зөвхөн хамгийн шаардлагатай мэдлэгийг хүлээн авч, тооцоолох хамгийн түгээмэл, стандарт аргуудыг сурдаг. Энэ хэмжээг олох ер бусын арга бий юу?

Оршил болгон аль гурвалжинг тэгш өнцөгт гэж үздэгийг санаж, мөн талбайн тухай ойлголтыг тэмдэглэе.

Тэгш өнцөгт гурвалжин нь нэг өнцөг нь 90 0-тэй тэнцүү хаалттай геометрийн дүрс юм. Тодорхойлолт дахь салшгүй ойлголтууд нь хөл ба гипотенуз юм. Хөл гэдэг нь холболтын цэг дээр тэгш өнцөг үүсгэдэг хоёр талыг хэлнэ. Гипотенуз нь зөв өнцгийн эсрэг тал юм. Тэгш өнцөгт гурвалжин нь тэгш өнцөгт хэлбэртэй байж болно (хоёр тал нь ижил хэмжээтэй байх болно), гэхдээ хэзээ ч тэгш талт болохгүй (бүх талууд ижил урттай). Бид өндөр, медиан, вектор болон бусад математикийн нэр томъёоны тодорхойлолтыг нарийвчлан авч үзэхгүй. Тэдгээрийг лавлах номноос олоход хялбар байдаг.

Тэгш өнцөгт гурвалжны талбай. Тэгш өнцөгтөөс ялгаатай нь дүрэм

шийдвэрт талуудын хийсэн ажил хамаарахгүй. Хэрэв бид хуурай хэллэгээр ярих юм бол гурвалжны талбай нь тоогоор илэрхийлэгдсэн онгоцны нэг хэсгийг эзлэх энэ зургийн өмч гэж ойлгогдоно. Ойлгоход нэлээд хэцүү, та санал нийлэх болно. Тодорхойлолтыг гүнзгийрүүлэх гэж оролдох хэрэггүй, энэ бол бидний зорилго биш юм. Гол зүйл рүүгээ явцгаая - тэгш өнцөгт гурвалжны талбайг хэрхэн олох вэ? Бид өөрсдөө тооцоо хийхгүй, зөвхөн томъёог зааж өгөх болно. Үүнийг хийхийн тулд тэмдэглэгээг тодорхойлъё: A, B, C - гурвалжны талууд, хөлүүд - AB, BC. ACB өнцөг нь шулуун байна. S нь гурвалжны талбай, h n n нь гурвалжны өндөр, nn нь түүнийг доошлуулсан тал юм.

Арга 1. Хэрэв хөлнийх нь хэмжээ тодорхой бол тэгш өнцөгт гурвалжны талбайг хэрхэн олох вэ

Арга 2. Тэгш өнцөгт гурвалжны талбайг ол

Арга 3. Тэгш өнцөгтийг ашиглан талбайг тооцоолох

Бид тэгш өнцөгт гурвалжинг дөрвөлжин болгож (хэрэв гурвалжин бол

тэгш өнцөгт) эсвэл тэгш өнцөгт. Бид хоёр ижил тэгш өнцөгт гурвалжнаас бүрдсэн энгийн дөрвөн өнцөгтийг олж авдаг. Энэ тохиолдолд тэдгээрийн аль нэгнийх нь талбай нь үүссэн зургийн талбайн талтай тэнцүү байх болно. Тэгш өнцөгтийн S-ийг талуудын үржвэрээр тооцоолно. Энэ утгыг M гэж тэмдэглэе. Хүссэн талбайн утга нь M талтай тэнцүү байх болно.

Арга 4. "Пифагорын өмд." Пифагорын алдартай теорем

Бид бүгд түүний томъёололыг санаж байна: "хөлний квадратуудын нийлбэр ...". Гэхдээ хүн бүр чаддаггүй

Зарим "өмд" үүнд ямар хамаатай юм бэ? Үнэн хэрэгтээ Пифагор эхлээд тэгш өнцөгт гурвалжны талуудын хоорондын хамаарлыг судалжээ. Квадратуудын талуудын харьцааны хэв маягийг олж мэдээд тэрээр бид бүгдэд мэддэг томьёог гаргаж чадсан. Үүнийг аль нэг талын хэмжээ нь тодорхойгүй тохиолдолд хэрэглэж болно.

Арга 5. Хэроны томъёог ашиглан тэгш өнцөгт гурвалжны талбайг хэрхэн олох вэ

Энэ нь бас нэлээд энгийн тооцооны арга юм. Томъёо нь гурвалжны талбайг талуудын тоон утгуудаар илэрхийлдэг. Тооцооллын хувьд та гурвалжны бүх талын хэмжээг мэдэх хэрэгтэй.

S = (p-AC)*(p-BC), энд p = (AB+BC+AC)*0.5

Дээрхээс гадна гурвалжин шиг нууцлаг дүрсийн хэмжээг олох өөр олон арга бий. Үүнд: бичээстэй эсвэл хүрээлэгдсэн тойргийн аргаар тооцоолох, оройн координатыг ашиглан тооцоолох, вектор ашиглах, үнэмлэхүй утга, синус, тангенс.

Нэг өнцөг нь 90° байх гурвалжинг тэгш өнцөгт гурвалжин гэнэ. Хоёр тал нь мэдэгдэж байвал түүний талбайг олж болно. Мэдээжийн хэрэг та урт замыг сонгож болно - гипотенузыг олж, талбайг ашиглан тооцоолно, гэхдээ ихэнх тохиолдолд энэ нь зөвхөн нэмэлт цаг зарцуулдаг. Тийм ч учраас тэгш өнцөгт гурвалжны талбайн томъёо дараах байдалтай байна.

Тэгш өнцөгт гурвалжны талбай нь хөлний бүтээгдэхүүний хагастай тэнцүү байна.

Тэгш өнцөгт гурвалжны талбайг тооцоолох жишээ.
Хөлтэй тэгш өнцөгт гурвалжин өгөгдсөн а= 8 см, б= 6 см.
Бид талбайг тооцоолно:
Талбай: 24 см 2

Пифагорын теорем нь тэгш өнцөгт гурвалжинд мөн хамаарна. – хоёр хөлийн квадратуудын нийлбэр нь гипотенузын квадраттай тэнцүү байна.
Тэгш өнцөгт гурвалжны талбайн томъёог ердийн тэгш өнцөгт гурвалжныхтай адил тооцоолно.

Тэгш өнцөгт гурвалжны талбайг тооцоолох жишээ:
Хөлтэй гурвалжин өгөгдсөн а= 4 см, б= 4 см Талбайг тооцоол:
Талбайг тооцоолно уу: = 8 см 2

Хэрэв нөхцөлийг нэг хөлөөр өгвөл гипотенузаар тэгш өнцөгт гурвалжны талбайн томъёог ашиглаж болно. Пифагорын теоремоос бид үл мэдэгдэх хөлний уртыг олдог. Жишээлбэл, гипотенузыг өгсөн вба хөл а, хөл бтэнцүү байх болно:
Дараа нь ердийн томъёог ашиглан талбайг тооцоол. Гипотенуз дээр үндэслэн тэгш өнцөгт гурвалжны талбайн томъёог тооцоолох жишээ нь дээр дурдсантай ижил байна.

Гурвалжныг шийдвэрлэх томъёоны талаархи мэдлэгийг нэгтгэхэд туслах сонирхолтой асуудлыг авч үзье.
Даалгавар: Тэгш өнцөгт гурвалжны талбай нь 180 квадрат метр. Гурвалжны хоёр дахь хэсгээс 31 см бага бол түүний жижиг хөлийг ол.
Шийдэл: хөлийг нь зааж өгье аТэгээд б. Одоо өгөгдлийг талбайн томъёонд орлъё: нэг хөл нь нөгөөгөөсөө жижиг гэдгийг бид бас мэднэ а – б= 31 см
Эхний нөхцлөөс бид үүнийг олж авдаг
Орлуулж үзье энэ нөхцөлхоёр дахь тэгшитгэлд:

Бид талуудыг олсон тул хасах тэмдгийг арилгана.
Энэ нь хөл нь болж байна а= 40 см, a б= 9 см.

Гурвалжин бол нэг өнцөг нь 90°-тай тэнцүү хавтгай геометрийн дүрс юм. Түүнээс гадна геометрийн хувьд ийм дүрсийн талбайг тооцоолох шаардлагатай байдаг. Үүнийг хэрхэн яаж хийхийг бид танд хэлэх болно.

Тэгш өнцөгт гурвалжны талбайг тодорхойлох хамгийн энгийн томъёо

Анхны өгөгдөл, энд: a ба b нь гурвалжны зөв өнцгөөс сунаж тогтсон талууд юм.

Энэ нь талбай нь зөв өнцгөөс гарсан хоёр талын бүтээгдэхүүний хагастай тэнцүү байна. Мэдээжийн хэрэг ердийн гурвалжны талбайг тооцоолоход Хероны томъёо байдаг, гэхдээ утгыг тодорхойлохын тулд та гурван талын уртыг мэдэх хэрэгтэй. Үүний дагуу та гипотенузыг тооцоолох хэрэгтэй бөгөөд энэ нь нэмэлт цаг юм.

Хероны томъёог ашиглан тэгш өнцөгт гурвалжны талбайг ол

Энэ бол алдартай бөгөөд анхны томъёо боловч үүний тулд та Пифагорын теоремыг ашиглан хоёр хөл дээрх гипотенузыг тооцоолох хэрэгтэй болно.

Энэ томъёонд: a, b, c нь гурвалжны талууд, p нь хагас периметр юм.

Гипотенуз ба өнцгийг ашиглан тэгш өнцөгт гурвалжны талбайг ол

Хэрэв таны асуудалд хөлний аль нь ч мэдэгдэхгүй бол хамгийн их ашиглаарай энгийн аргаарЧи чадахгүй. Үнэ цэнийг тодорхойлохын тулд та хөлний уртыг тооцоолох хэрэгтэй. Үүнийг зөвхөн гипотенуз ба зэргэлдээх өнцгийн косинусыг ашиглан хийж болно.

b=c×cos(α)

Нэг хөлний уртыг мэдсэний дараа Пифагорын теоремыг ашиглан зөв өнцгөөс гарах хоёр дахь талыг тооцоолж болно.

b 2 =c 2 -a 2

Энэ томъёонд c ба а нь гипотенуз ба хөл юм. Одоо та эхний томъёог ашиглан талбайг тооцоолж болно. Үүнтэй адилаар та хоёр дахь болон өнцгийг харгалзан нэг хөлийг тооцоолж болно. Энэ тохиолдолд шаардлагатай талуудын аль нэг нь хөлний бүтээгдэхүүн ба өнцгийн тангенстай тэнцүү байх болно. Талбайг тооцоолох өөр аргууд байдаг боловч үндсэн теоремууд болон дүрмийг мэддэг тул хүссэн утгыг хялбархан олох боломжтой.

Хэрэв танд гурвалжны аль ч тал байхгүй, харин зөвхөн медиан ба нэг өнцөг байгаа бол талуудын уртыг тооцоолж болно. Үүнийг хийхийн тулд тэгш өнцөгт гурвалжинг хоёр хуваахын тулд медианы шинж чанарыг ашиглана. Үүний дагуу, хэрэв энэ нь хурц өнцгөөс гарч ирвэл гипотенузын үүрэг гүйцэтгэдэг. Пифагорын теоремыг ашиглаад зөв өнцгөөс ирж буй гурвалжны талуудын уртыг тодорхойл.

Таны харж байгаагаар үндсэн томьёо болон Пифагорын теоремыг мэдсэнээр та зөвхөн нэг өнцөг, аль нэг талын урттай тэгш өнцөгт гурвалжны талбайг тооцоолж болно.