Модулийн томъёогоор тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх. Модультай тэгш бус байдал. Шийдлийн шинэ дүр төрх

Тоонуудын модульЭнэ тоо нь сөрөг биш бол өөрөө, эсвэл сөрөг байвал эсрэг тэмдэгтэй ижил тоо гэж нэрлэдэг.

Жишээлбэл, 6 тооны модуль нь 6, -6 тооны модуль нь мөн 6 байна.

Өөрөөр хэлбэл, тооны модулийг үнэмлэхүй утга, түүний тэмдгийг харгалзахгүйгээр энэ тооны үнэмлэхүй утга гэж ойлгодог.

Үүнийг дараах байдлаар тэмдэглэв: |6|, | X|, |А| гэх мэт.

("Дугаарын модуль" хэсгээс илүү дэлгэрэнгүйг үзнэ үү).

Модультай тэгшитгэл.

Жишээ 1 . Тэгшитгэлийг шийд|10 X - 5| = 15.

Шийдэл.

Дүрмийн дагуу тэгшитгэл нь хоёр тэгшитгэлийн хослолтой тэнцүү байна.

10X - 5 = 15
10X - 5 = -15

Бид шийднэ:

10X = 15 + 5 = 20
10X = -15 + 5 = -10

X = 20: 10
X = -10: 10

X = 2
X = -1

Хариулт: X 1 = 2, X 2 = -1.

Жишээ 2 . Тэгшитгэлийг шийд|2 X + 1| = X + 2.

Шийдэл.

Модуль нь сөрөг бус тоо учраас X+ 2 ≥ 0. Үүний дагуу:

X ≥ -2.

Хоёр тэгшитгэл хийцгээе:

2X + 1 = X + 2
2X + 1 = -(X + 2)

Бид шийднэ:

2X + 1 = X + 2
2X + 1 = -X - 2

2X - X = 2 - 1
2X + X = -2 - 1

X = 1
X = -1

Хоёр тоо нь -2-оос их байна. Тэгэхээр хоёулаа тэгшитгэлийн үндэс юм.

Хариулт: X 1 = -1, X 2 = 1.

Жишээ 3 . Тэгшитгэлийг шийд

|X + 3| - 1
————— = 4
X - 1

Шийдэл.

Хэрэв хуваарь тэг биш бол тэгшитгэл нь утга учиртай болно - энэ нь хэрэв гэсэн үг юм X≠ 1. Энэ нөхцлийг харгалзан үзье. Бидний хийх эхний үйлдэл нь энгийн бөгөөд бид зөвхөн бутархайг арилгадаггүй, харин модулийг цэвэр хэлбэрээр нь авахын тулд үүнийг хувиргадаг.

|X+ 3| - 1 = 4 · ( X - 1),

|X + 3| - 1 = 4X - 4,

|X + 3| = 4X - 4 + 1,

|X + 3| = 4X - 3.

Одоо бид тэгшитгэлийн зүүн талд модулийн дор зөвхөн илэрхийлэл байна. Үргэлжлүүл.
Тооны модуль нь сөрөг бус тоо бөгөөд өөрөөр хэлбэл энэ нь тэгээс их эсвэл тэгтэй тэнцүү байх ёстой. Үүний дагуу бид тэгш бус байдлыг шийднэ:

4X - 3 ≥ 0

4X ≥ 3

X ≥ 3/4

Тиймээс бид хоёр дахь нөхцөлтэй байна: тэгшитгэлийн үндэс нь дор хаяж 3/4 байх ёстой.

Дүрмийн дагуу бид хоёр тэгшитгэлийн багцыг бүрдүүлж, тэдгээрийг шийднэ.

X + 3 = 4X - 3
X + 3 = -(4X - 3)

X + 3 = 4X - 3
X + 3 = -4X + 3

X - 4X = -3 - 3
X + 4X = 3 - 3

X = 2
X = 0

Бид хоёр хариулт авсан. Тэдгээр нь анхны тэгшитгэлийн үндэс мөн эсэхийг шалгацгаая.

Бидэнд хоёр нөхцөл байсан: тэгшитгэлийн үндэс нь 1-тэй тэнцүү байж болохгүй, хамгийн багадаа 3/4 байх ёстой. Тэр бол X ≠ 1, X≥ 3/4. Эдгээр хоёр нөхцөл хоёулаа хүлээн авсан хоёр хариултын зөвхөн нэгтэй тохирч байна - тоо 2. Энэ нь зөвхөн анхны тэгшитгэлийн үндэс гэсэн үг юм.

Хариулт: X = 2.

Модультай тэгш бус байдал.

Жишээ 1 . Тэгш бус байдлыг шийдэх| X - 3| < 4

Шийдэл.

Модулийн дүрэмд:

|А| = А, Хэрэв А ≥ 0.

|А| = -А, Хэрэв А < 0.

Модуль нь сөрөг болон сөрөг тоотой байж болно. Тиймээс бид хоёр тохиолдлыг авч үзэх хэрэгтэй: X- 3 ≥ 0 ба X - 3 < 0.

1) Хэзээ X- 3 ≥ 0 бол бидний анхны тэгш бус байдал зөвхөн модулийн тэмдэггүйгээр хэвээр үлдэнэ.
X - 3 < 4.

2) Хэзээ X - 3 < 0 в исходном неравенстве надо поставить знак минус перед всем подмодульным выражением:

-(X - 3) < 4.

Хаалтуудыг нээснээр бид дараахь зүйлийг авна.

-X + 3 < 4.

Ийнхүү эдгээр хоёр нөхцлөөс бид хоёр тэгш бус байдлын системийг нэгтгэхэд хүрсэн.

X - 3 ≥ 0
X - 3 < 4

X - 3 < 0
-X + 3 < 4

Тэдгээрийг шийдье:

X ≥ 3
X < 7

X < 3
X > -1

Тиймээс бидний хариулт бол хоёр багцын нэгдэл юм:

3 ≤ X < 7 U -1 < X < 3.

Хамгийн багыг тодорхойлно уу хамгийн өндөр үнэ цэнэ. Эдгээр нь -1 ба 7. Түүнээс гадна X-1-ээс их боловч 7-оос бага.
Түүнээс гадна, X≥ 3. Энэ нь тэгш бус байдлын шийдэл нь эдгээр туйлын тоонуудыг эс тооцвол -1-ээс 7 хүртэлх тооны бүхэл бүтэн багц болно гэсэн үг юм.

Хариулт: -1 < X < 7.

Эсвэл: X ∈ (-1; 7).

Нэмэлтүүд.

1) Бидний тэгш бус байдлыг графикаар шийдэх илүү энгийн бөгөөд богино арга бий. Үүнийг хийхийн тулд та хэвтээ тэнхлэгийг зурах хэрэгтэй (Зураг 1).

Илэрхийлэл | X - 3| < 4 означает, что расстояние от точки X 3-р цэг нь дөрвөн нэгжээс бага байна. Бид тэнхлэг дээр 3-ын тоог тэмдэглэж, зүүн ба баруун талд нь 4 хуваагдлыг тоолно. Зүүн талд бид цэг дээр ирэх болно -1, баруун талд - цэг 7. Тиймээс, оноо XБид тэдгээрийг тооцоолохгүйгээр зүгээр л харсан.

Түүгээр ч барахгүй тэгш бус байдлын нөхцлийн дагуу -1 ба 7 нь өөрөө шийдлийн багцад ороогүй болно. Тиймээс бид хариултыг авна:

1 < X < 7.

2) Гэхдээ үүнээс ч хялбар өөр нэг шийдэл бий график арга. Үүнийг хийхийн тулд бидний тэгш бус байдлыг дараах хэлбэрээр харуулах ёстой.

4 < X - 3 < 4.

Эцсийн эцэст, модулийн дүрмийн дагуу ийм байна. Сөрөг бус тоо 4 ба ижил төстэй сөрөг тоо -4 нь тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх хил хязгаар юм.

4 + 3 < X < 4 + 3

1 < X < 7.

Жишээ 2 . Тэгш бус байдлыг шийдэх| X - 2| ≥ 5

Шийдэл.

Энэ жишээ нь өмнөхөөсөө эрс ялгаатай. Зүүн тал 5-аас их буюу 5-тай тэнцүү. Геометрийн үүднээс авч үзвэл тэгш бус байдлын шийдэл нь 2-р цэгээс 5 нэгж ба түүнээс дээш зайд байгаа бүх тоонууд юм (Зураг 2). Графикаас харахад эдгээр нь бүгд -3-аас бага буюу тэнцүү, 7-оос их буюу тэнцүү тоонууд юм. Энэ нь бид хариултыг аль хэдийн хүлээн авсан гэсэн үг юм.

Хариулт: -3 ≥ X ≥ 7.

Замдаа бид ижил тэгш бус байдлыг шийдэж, чөлөөт нэр томьёог зүүн ба баруун тийш эсрэг тэмдгээр байрлуулна.

5 ≥ X - 2 ≥ 5

5 + 2 ≥ X ≥ 5 + 2

Хариулт нь адилхан: -3 ≥ X ≥ 7.

Эсвэл: X ∈ [-3; 7]

Жишээ нь шийдэгдсэн.

Жишээ 3 . Тэгш бус байдлыг шийдэх 6 X 2 - | X| - 2 ≤ 0

Шийдэл.

Тоо Xэерэг тоо, сөрөг тоо, тэг байж болно. Тиймээс бид гурван нөхцөл байдлыг харгалзан үзэх хэрэгтэй. Таны мэдэж байгаагаар тэдгээрийг хоёр тэгш бус байдалд тооцдог. X≥ 0 ба X < 0. При X≥ 0 бол бид анхны тэгш бус байдлыг зөвхөн модулийн тэмдэггүйгээр дахин бичнэ.

6х 2 - X - 2 ≤ 0.

Одоо хоёр дахь тохиолдлын талаар: хэрэв X < 0. Модулем отрицательного числа является это же число с противоположным знаком. То есть пишем число под модулем с обратным знаком и опять же освобождаемся от знака модуля:

6X 2 - (-X) - 2 ≤ 0.

Хаалтуудыг өргөжүүлэх:

6X 2 + X - 2 ≤ 0.

Тиймээс бид хоёр тэгшитгэлийн системийг хүлээн авлаа.

6X 2 - X - 2 ≤ 0
X ≥ 0

6X 2 + X - 2 ≤ 0
X < 0

Бид систем дэх тэгш бус байдлыг шийдэх хэрэгтэй - энэ нь бид хоёр квадрат тэгшитгэлийн үндсийг олох хэрэгтэй гэсэн үг юм. Үүнийг хийхийн тулд тэгш бус байдлын зүүн талыг тэгтэй тэнцүүлнэ.

Эхнийхээс эхэлье:

6X 2 - X - 2 = 0.

Квадрат тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ - "Квадрат тэгшитгэл" хэсгийг үзнэ үү. Бид хариултыг нэн даруй нэрлэх болно:

X 1 = -1/2, x 2 = 2/3.

Тэгш бус байдлын эхний системээс бид анхны тэгш бус байдлын шийдэл нь -1/2-оос 2/3 хүртэлх тооны бүхэл бүтэн багц юм. Бид шийдлүүдийн нэгдлийг бичнэ X ≥ 0:
[-1/2; 2/3].

Одоо хоёр дахь квадрат тэгшитгэлийг шийдье:

6X 2 + X - 2 = 0.

Үүний үндэс:

X 1 = -2/3, X 2 = 1/2.

Дүгнэлт: хэзээ X < 0 корнями исходного неравенства являются также все числа от -2/3 до 1/2.

Хоёр хариултыг нэгтгэж, эцсийн хариултыг авцгаая: шийдэл нь -2/3-аас 2/3 хүртэлх тооны бүхэл бүтэн багц, үүнд эдгээр туйлын тоонууд орно.

Хариулт: -2/3 ≤ X ≤ 2/3.

Эсвэл: X ∈ [-2/3; 2/3].

Найзууд аа, өнөөдөр ямар ч хонхорхой, сэтгэлийн хөдлөл байхгүй болно. Харин би чамайг ямар ч асуултгүйгээр 8-9-р ангийн алгебрийн хичээлийн хамгийн хүчтэй өрсөлдөгчдийн нэгтэй тулалдаанд илгээх болно.

Тийм ээ, та бүх зүйлийг зөв ойлгосон: бид модультай тэгш бус байдлын тухай ярьж байна. Ийм асуудлын 90 орчим хувийг шийдэж сурах дөрвөн үндсэн аргыг бид авч үзэх болно. Үлдсэн 10% нь яах вэ? За, бид тэдний талаар тусдаа хичээл дээр ярих болно. :)

Гэсэн хэдий ч, аль нэг арга техникийг шинжлэхээсээ өмнө аль хэдийн мэдэх шаардлагатай хоёр баримтыг танд сануулмаар байна. Үгүй бол та өнөөдрийн хичээлийн материалыг огт ойлгохгүй байх эрсдэлтэй.

Та аль хэдийн мэдэх ёстой зүйл

Ахмад Обвиуснесс тэгш бус байдлыг модулийн тусламжтайгаар шийдэхийн тулд хоёр зүйлийг мэдэж байх хэрэгтэй гэж сануулж байна.

1. Тэгш бус байдлыг хэрхэн шийдвэрлэх;
2. Модуль гэж юу вэ?

Хоёр дахь цэгээс эхэлье.

Модулийн тодорхойлолт

Энд бүх зүйл энгийн. Алгебрийн болон график гэсэн хоёр тодорхойлолт байдаг. Эхлэхийн тулд - алгебр:

Тодорхойлолт. $x$ тооны модуль нь сөрөг биш бол тухайн тоо, эсвэл анхны $x$ сөрөг хэвээр байвал түүний эсрэг талын тоо юм.

Үүнийг ингэж бичсэн байна.

\[\зүүн| x \right|=\left\( \эхлэх(зэрэгцүүлэх) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\төгсгөх(зэрэгцүүлэх) \баруун.\]

Энгийнээр хэлбэл, модуль нь "хасах тэмдэггүй тоо" юм. Чухам энэ хоёрдмол байдалд (зарим газарт та анхны дугаараар юу ч хийх шаардлагагүй, харин зарим газарт ямар нэгэн хасах зүйлийг арилгах хэрэгтэй) анхлан суралцаж буй оюутнуудад бүх бэрхшээл тулгардаг.

Мөн геометрийн тодорхойлолт байдаг. Үүнийг мэдэх нь бас ашигтай, гэхдээ бид геометрийн арга нь алгебрийн аргаас илүү тохиромжтой байдаг нарийн төвөгтэй, онцгой тохиолдлуудад л хандах болно (спойлер: өнөөдөр биш).

Тодорхойлолт. Тооны мөрөнд $a$ цэгийг тэмдэглэе. Дараа нь модуль $\left| x-a \right|$ нь энэ шулуун дээрх $x$ цэгээс $a$ цэг хүртэлх зай юм.

Хэрэв та зураг зурвал дараах зүйлийг авах болно.

График модулийн тодорхойлолт

Ямар нэг байдлаар модулийн тодорхойлолтоос түүний гол шинж чанар нь шууд дараах байдалтай байна. тооны модуль нь үргэлж сөрөг бус хэмжигдэхүүн юм. Энэ баримт нь өнөөдрийн бидний түүхийг бүхэлд нь хамарсан улаан утас байх болно.

Тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх. Интервалын арга

Одоо тэгш бус байдлыг харцгаая. Тэдгээрийн олон нь байдаг, гэхдээ бидний одоо хийх даалгавар бол ядаж хамгийн энгийнийг нь шийдэх явдал юм. Доош ирдэг хүмүүс шугаман тэгш бус байдал, түүнчлэн интервалын аргад.

Надад энэ сэдвээр хоёр том хичээл байна (дашрамд хэлэхэд, маш их хэрэгтэй - би тэдгээрийг судлахыг зөвлөж байна):

1. Тэгш бус байдлын интервалын арга (ялангуяа видеог үзэх);
2. Бутархай оновчтой тэгш бус байдал бол маш өргөн хүрээтэй хичээл боловч үүний дараа танд асуулт огт гарахгүй.

Хэрэв та энэ бүгдийг мэдэж байгаа бол "тэгш бус байдлаас тэгшитгэл рүү шилжье" гэсэн хэллэг нь таныг хана мөргөх гэсэн тодорхойгүй хүсэл төрүүлэхгүй бол та бэлэн байна: хичээлийн гол сэдэвт тавтай морил. :)

1. “Модуль нь функцээс бага” хэлбэрийн тэгш бус байдал

Энэ бол модулиудтай холбоотой хамгийн нийтлэг бэрхшээлүүдийн нэг юм. Маягтын тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхэд шаардлагатай:

\[\зүүн| f\right| \ltg\]

$f$ ба $g$ функцууд нь юу ч байж болох ч ихэвчлэн олон гишүүнт байдаг. Ийм тэгш бус байдлын жишээ:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & \left| 2x+3 \баруун| \lt x+7; \\ & \left| ((x)^(2))+2x-3 \баруун|+3\зүүн(x+1 \баруун) \lt 0; \\ & \left| ((x)^(2))-2\зүүн| x \right|-3 \right| \lt 2. \\\төгсгөл(зэрэгцүүлэх)\]

Эдгээрийг бүгдийг нь дараах схемийн дагуу нэг мөрөнд шууд утгаараа шийдэж болно.

\[\зүүн| f\right| \lt g\Баруун сум -g \lt f \lt g\quad \зүүн(\Баруун сум \зүүн\( \эхлэх(эгцлэх) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\төгсгөл(зэрэгцүүлэх) \баруун.\баруун)\]

Бид модулиас салж байгааг харахад хялбар боловч хариуд нь давхар тэгш бус байдал (эсвэл энэ нь ижил зүйл юм, хоёр тэгш бус байдлын систем) авдаг. Гэхдээ энэ шилжилт нь бүх зүйлийг харгалзан үздэг болзошгүй асуудлууд: модулийн доорх тоо эерэг байвал арга нь ажилладаг; сөрөг байвал энэ нь ажилласаар байна; $f$ эсвэл $g$-ийн оронд хамгийн хангалтгүй функцтэй байсан ч энэ арга ажиллах болно.

Мэдээжийн хэрэг асуулт гарч ирнэ: илүү хялбар байж болохгүй гэж үү? Харамсалтай нь энэ боломжгүй. Энэ бол модулийн бүх санаа юм.

Гэсэн хэдий ч философи хийхэд хангалттай. Хэд хэдэн асуудлыг шийдье:

Даалгавар. Тэгш бус байдлыг шийд:

\[\зүүн| 2x+3 \баруун| \lt x+7\]

Шийдэл. Тиймээс, бидний өмнө "модуль нь бага" хэлбэрийн сонгодог тэгш бус байдал байна - өөрчлөх зүйл ч байхгүй. Бид алгоритмын дагуу ажилладаг:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & \left| f\right| \lt g\Баруун сум -g \lt f \lt g; \\ & \left| 2x+3 \баруун| \lt x+7\Баруун сум -\зүүн(x+7 \баруун) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\төгсгөл(зэрэгцүүлэх)\]

"Хасах" тэмдэгтэй хашилтыг нээх гэж яарах хэрэггүй: та яарсны улмаас доромжилсон алдаа гаргах магадлалтай.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\зүүн\( \эхлэх(зэрэгцүүлэх) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \төгсгөх(зэрэгцүүлэх) \баруун.\]

\[\зүүн\( \эхлэх(зэрэгцүүлэх) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \төгсгөх(зэрэгцүүлэх) \баруун.\]

\[\зүүн\( \эхлэх(зэрэгцүүлэх) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \төгсгөх(зэрэгцүүлэх) \баруун.\]

Асуудлыг хоёр үндсэн тэгш бус байдал болгон бууруулсан. Зэрэгцээ тооны шулуун дээрх шийдлүүдийг тэмдэглэе.

Олон хүний ​​уулзвар

Эдгээр олонлогуудын огтлолцол нь хариулт болно.

Хариулт: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$

Даалгавар. Тэгш бус байдлыг шийд:

\[\зүүн| ((x)^(2))+2x-3 \баруун|+3\зүүн(x+1 \баруун) \lt 0\]

Шийдэл. Энэ даалгавар нь арай илүү төвөгтэй юм. Нэгдүгээрт, хоёр дахь гишүүнийг баруун тийш шилжүүлж модулийг тусгаарлацгаая.

\[\зүүн| ((x)^(2))+2x-3 \баруун| \lt -3\зүүн(x+1 \баруун)\]

Мэдээжийн хэрэг, бид "модуль нь жижиг" хэлбэрийн тэгш бус байдал үүссэн тул бид аль хэдийн мэдэгдэж байсан алгоритмыг ашиглан модулийг устгадаг.

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\left(x+1 \баруун)\]

Одоо анхаарлаа хандуулаарай: энэ бүх хаалтанд хэн нэгэн намайг жаахан гажуудсан гэж хэлэх болно. Гэхдээ бидний гол зорилго гэдгийг дахин сануулъя тэгш бус байдлыг зөв шийдэж хариултыг авна. Дараа нь та энэ хичээлд дурдсан бүх зүйлийг төгс эзэмшсэн бол та үүнийг хүссэнээрээ гажуудуулж болно: хаалт нээх, хасах гэх мэт.

Эхлэхийн тулд бид зүүн талд байгаа давхар хасахаас салах болно.

\[-\left(-3\left(x+1 \баруун) \баруун)=\left(-1 \баруун)\cdot \left(-3 \баруун)\cdot \left(x+1 \баруун) =3\зүүн(x+1 \баруун)\]

Одоо давхар тэгш бус байдлын бүх хаалтыг нээцгээе.

Давхар тэгш бус байдал руу шилжье. Энэ удаад тооцоо илүү ноцтой байх болно:

\[\left\( \эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \төгсгөл(зэрэгцүүлэх) \баруун\]

\[\left\( \эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \төгсгөл( тэгшлэх)\баруун.\]

Хоёр тэгш бус байдал хоёулаа квадрат бөгөөд интервалын аргыг ашиглан шийдэж болно (тийм учраас би хэлж байна: хэрэв та энэ юу болохыг мэдэхгүй бол модуль авахгүй байх нь дээр). Эхний тэгш бус байдлын тэгшитгэл рүү шилжье:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\left(x+5 \баруун)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Таны харж байгаагаар гаралт нь бүрэн бус квадрат тэгшитгэл бөгөөд үүнийг энгийн аргаар шийдэж болно. Одоо системийн хоёр дахь тэгш бус байдлыг харцгаая. Тэнд та Виетийн теоремыг ашиглах хэрэгтэй болно.

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \баруун)\left(x+2 \баруун)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Бид үүссэн тоонуудыг хоёр зэрэгцээ шугам дээр тэмдэглэв (эхний тэгш бус байдлын хувьд тусад нь, хоёр дахь нь тусдаа):

Дахин хэлэхэд, бид тэгш бус байдлын системийг шийдэж байгаа тул бид сүүдэрлэсэн олонлогуудын огтлолцлыг сонирхож байна: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Энэ бол хариулт юм.

Хариулт: $x\in \left(-5;-2 \right)$

Эдгээр жишээнүүдийн дараа шийдлийн схем маш тодорхой байна гэж би бодож байна.

1. Бусад бүх нэр томъёог тэгш бус байдлын эсрэг тал руу шилжүүлэх замаар модулийг тусгаарла. Ингээд $\left| хэлбэрийн тэгш бус байдлыг олж авна f\right| \ltg$.
2. Дээр дурдсан схемийн дагуу модулийг арилгах замаар энэ тэгш бус байдлыг шийднэ үү. Хэзээ нэгэн цагт давхар тэгш бус байдлаас хоёр систем рүү шилжих шаардлагатай болно бие даасан илэрхийлэл, тус бүрийг тусад нь аль хэдийн шийдэж болно.
3. Эцэст нь, эдгээр хоёр бие даасан илэрхийллийн шийдлүүдийг огтолцох л үлдлээ - тэгээд л бид эцсийн хариултыг авах болно.

Тэгш бус байдлын хувьд ижил төстэй алгоритм байдаг дараагийн төрөл, модуль байх үед илүү олон онцлог. Гэсэн хэдий ч хэд хэдэн ноцтой "гэхдээ" байдаг. Бид одоо эдгээр "гэхдээ" талаар ярих болно.

2. “Модуль нь функцээс их” хэлбэрийн тэгш бус байдал

Тэд дараах байдлаар харагдаж байна.

\[\зүүн| f\right| \gtg\]

Өмнөхтэй төстэй юу? бололтой. Гэсэн хэдий ч ийм асуудлыг огт өөр аргаар шийддэг. Албан ёсоор схем нь дараах байдалтай байна.

\[\зүүн| f\right| \gt g\Баруун сум \left[ \эхлэх(зэрэгцүүлэх) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\төгсгөл(зөв) \баруун.\]

Өөрөөр хэлбэл, бид хоёр тохиолдлыг авч үздэг.

1. Нэгдүгээрт, бид зүгээр л модулийг үл тоомсорлож, ердийн тэгш бус байдлыг шийддэг;
2. Дараа нь үндсэндээ бид хасах тэмдгээр модулийг өргөтгөж, дараа нь тэгш бус байдлын хоёр талыг −1-ээр үржүүлж, би тэмдэгтэй байна.

Энэ тохиолдолд сонголтуудыг дөрвөлжин хаалтаар хослуулсан, i.e. Бидний өмнө хоёр шаардлагыг хослуулсан.

Дахин анхаарна уу: энэ бол систем биш, харин бүхэлдээ Хариултанд олонлогууд огтлолцохоос илүү нийлдэг. Энэ үндсэн ялгааөмнөх цэгээс!

Ерөнхийдөө олон оюутнууд холбоо, уулзвартай андуурч байгаа тул энэ асуудлыг нэг удаа, бүрмөсөн цэгцэлье.

• "∪" нь эвлэлийн тэмдэг юм. Үндсэндээ энэ нь бидэнд ирсэн загварлаг "U" үсэг юм Англи хэлэндбөгөөд энэ нь "Union" гэсэн үгийн товчлол юм, i.e. "Холбоонууд".
• "∩" нь уулзварын тэмдэг юм. Энэ новш хаанаас ч гараагүй, зүгээр л "∪"-ийн эсрэг заалт мэт харагдсан.

Үүнийг санахад илүү хялбар болгохын тулд нүдний шил хийхдээ эдгээр тэмдгүүдэд хөлөө зурж өгөөрэй (зүгээр л намайг хар тамхи, архидалтыг сурталчилсан гэж битгий буруутгаарай: хэрэв та энэ хичээлийг нухацтай судалж байгаа бол та аль хэдийн хар тамхичин болсон гэсэн үг юм):

Олонлогуудын уулзвар ба нэгдлийн хоорондох ялгаа

Орос хэл рүү орчуулбал энэ нь дараахь зүйлийг илэрхийлнэ: нэгдэл (нийтлэл) нь хоёр багцын элементүүдийг агуулдаг тул тэдгээр нь тус бүрээс багагүй байх болно; Харин огтлолцол (систем) нь зөвхөн эхний болон хоёр дахь багцад нэгэн зэрэг байгаа элементүүдийг агуулдаг. Тиймээс олонлогуудын огтлолцол нь эх олонлогоос хэзээ ч их байдаггүй.

Тэгэхээр илүү тодорхой болсон уу? Гайхалтай. Дасгал руугаа явцгаая.

Даалгавар. Тэгш бус байдлыг шийд:

\[\зүүн| 3x+1 \баруун| \gt 5-4x\]

Шийдэл. Бид схемийн дагуу ажиллаж байна:

\[\зүүн| 3x+1 \баруун| \gt 5-4x\Баруун сум \зүүн[ \эхлэх(эгцлэх) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \баруун) \\\төгсгөх(эгцлэх) \ зөв.\]

Бид хүн амын тэгш бус байдал бүрийг шийддэг:

\[\left[ \эхлэх(зэрэгцүүлэх) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \төгсгөх(зэрэгцүүлэх) \баруун.\]

\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \эхлэх(зэрэгцүүлэх) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \төгсгөл (зөвшүүлэх) \баруун.\]

Бид үүссэн багц бүрийг тоон мөрөнд тэмдэглээд дараа нь нэгтгэнэ.

Багцуудын нэгдэл

Хариулт нь $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$ байх нь ойлгомжтой.

Хариулт: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Даалгавар. Тэгш бус байдлыг шийд:

\[\зүүн| ((x)^(2))+2x-3 \баруун| \gt x\]

Шийдэл. За? Юу ч биш - бүх зүйл адилхан. Бид модультай тэгш бус байдлаас хоёр тэгш бус байдлын багц руу шилждэг.

\[\зүүн| ((x)^(2))+2x-3 \баруун| \gt x\Баруун сум \left[ \эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\төгсгөл(зэрэгцүүлэх) \баруун.\]

Бид тэгш бус байдал бүрийг шийддэг. Харамсалтай нь тэнд үндэс нь тийм ч сайн биш байх болно:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\&D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Хоёр дахь тэгш бус байдал нь бас жаахан зэрлэг юм:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\&D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Одоо та эдгээр тоог хоёр тэнхлэг дээр тэмдэглэх хэрэгтэй - тэгш бус байдал бүрт нэг тэнхлэг. Гэсэн хэдий ч цэгүүдийг тэмдэглэсэн байх ёстой зөв дарааллаар: тоо их байх тусам цэг баруун тийш шилжинэ.

Мөн энд тохиргоо биднийг хүлээж байна. Хэрэв бүх зүйл тодорхой байвал $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (эхний тоологч дахь нөхцөлүүд) бутархай нь секундын хүртэгчийн гишүүн нөхцлөөс бага тул нийлбэр нь мөн бага байна) $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt) (21))(2)$ бас ямар ч бэрхшээл гарахгүй (эерэг тоо нь мэдээж илүү сөрөг), дараа нь сүүлийн хосын хувьд бүх зүйл тийм ч тодорхой биш байна. $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ эсвэл $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$ аль нь илүү вэ? Тоон шугам дээрх цэгүүдийг байрлуулах, үнэн хэрэгтээ хариулт нь энэ асуултын хариултаас хамаарна.

Тиймээс харьцуулж үзье:

\[\begin(матриц) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\төгсгөл(матриц)\]

Бид үндсийг тусгаарлаж, тэгш бус байдлын хоёр талд сөрөг бус тоонуудыг авсан тул бид хоёр талыг квадрат болгох эрхтэй.

\[\begin(матриц) ((\left(2+\sqrt(13) \баруун))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \баруун))^(2)) \ \ 4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\төгсгөл(матриц)\]

Миний бодлоор $4\sqrt(13) \gt 3$, тиймээс $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, тэнхлэг дээрх эцсийн цэгүүдийг дараах байдлаар байрлуулна.

Муухай үндэстэй тохиолдол

Бид олонлогийг шийдэж байгаа тул хариулт нь сүүдэртэй олонлогуудын огтлолцол биш нэгдэл байх болно гэдгийг сануулъя.

Хариулт: $x\in \left(-\infty;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2) );+\infty \right)$

Таны харж байгаагаар манай схем энгийн бөгөөд маш хэцүү асуудлуудын аль алинд нь маш сайн ажилладаг. Цорын ганц зүйл" сул тал"Энэ хандлагын хувьд та зөв харьцуулах хэрэгтэй иррационал тоо(мөн надад итгээрэй: энэ нь зөвхөн үндэс биш юм). Гэхдээ тусдаа (мөн маш ноцтой) хичээлийг харьцуулах асуудалд зориулах болно. Тэгээд бид цаашаа явна.

3. Сөрөг бус “сүүлтэй” тэгш бус байдал

Одоо бид хамгийн сонирхолтой хэсэг рүүгээ орлоо. Эдгээр нь хэлбэрийн тэгш бус байдал юм:

\[\зүүн| f\right| \gt\left| g\right|\]

Ерөнхийдөө бидний одоо ярих алгоритм нь зөвхөн модулийн хувьд зөв юм. Энэ нь баруун ба зүүн талд сөрөг бус илэрхийлэл байгаа бүх тэгш бус байдалд ажилладаг.

Эдгээр даалгавруудыг юу хийх вэ? Зүгээр л сана:

Сөрөг бус "сүүл" -тэй тэгш бус байдлын хувьд хоёр талыг аль аль нь байгалийн хүчинд өсгөж болно. Нэмэлт хязгаарлалт байхгүй болно.

Юуны өмнө бид квадрат болгох сонирхолтой байх болно - энэ нь модулиуд болон үндсийг шатаадаг:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\left(\sqrt(f) \баруун))^(2))=f. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Үүнийг квадратын үндсийг авах гэж бүү андуураарай:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\left| f \right|\ne f\]

Оюутан модуль суулгахаа мартсан үед тоо томшгүй олон алдаа гарсан! Гэхдээ энэ бол огт өөр түүх (эдгээр нь үндэслэлгүй тэгшитгэлүүд юм) тул бид одоо энэ талаар ярихгүй. Хэд хэдэн асуудлыг илүү сайн шийдье:

Даалгавар. Тэгш бус байдлыг шийд:

\[\зүүн| x+2 \right|\ge \left| 1-2x \баруун|\]

Шийдэл. Хоёр зүйлийг нэн даруй анзааръя:

1. Энэ бол хатуу тэгш бус байдал биш юм. Тооны шугам дээрх цэгүүдийг цоолно.
2. Тэгш бус байдлын хоёр тал нь мэдээж сөрөг биш (энэ нь модулийн шинж чанар юм: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).

Тиймээс бид модулийг арилгахын тулд тэгш бус байдлын хоёр талыг квадрат болгож, ердийн интервалын аргыг ашиглан асуудлыг шийдэж болно.

\[\эхлэх(зүүн) & ((\left(\left| x+2 \right| \баруун))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \баруун| \баруун)) )^(2)); \\ & ((\left(x+2 \баруун))^(2))\ge ((\left(2x-1 \баруун))^(2)). \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Сүүлийн алхамд би бага зэрэг хуурсан: модулийн тэгш байдлыг ашиглан нэр томъёоны дарааллыг өөрчилсөн (үнэндээ би $1-2x$ илэрхийллийг −1-ээр үржүүлсэн).

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((\зүүн(2х-1 \баруун))^(2))-((\зүүн(x+2 \баруун))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ баруун)\right)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(зохицуулах)\]

Бид интервалын аргыг ашиглан шийддэг. Тэгш бус байдлаас тэгшитгэл рүү шилжье:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & \left(x-3 \баруун)\left(3x+1 \баруун)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Бид олсон үндсийг тоон мөрөнд тэмдэглэнэ. Дахин нэг удаа: анхны тэгш бус байдал нь хатуу биш учраас бүх цэгүүд сүүдэртэй байна!

Модулийн тэмдгээс ангижрах

Ялангуяа зөрүүд хүмүүст сануулъя: бид тэгшитгэл рүү шилжихээс өмнө бичигдсэн сүүлчийн тэгш бус байдлын тэмдгүүдийг авдаг. Мөн бид ижил тэгш бус байдалд шаардлагатай газруудыг будна. Манай тохиолдолд $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$ байна.

За одоо бүх зүйл дууслаа. Асуудал шийдэгдсэн.

Хариулт: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.

Даалгавар. Тэгш бус байдлыг шийд:

\[\зүүн| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \баруун|\]

Шийдэл. Бид бүгдийг адилхан хийдэг. Би тайлбар өгөхгүй - зүгээр л үйлдлүүдийн дарааллыг хараарай.

дөрвөлжин:

\[\эхлэх(зүүн) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \баруун| \баруун))^(2))\le ((\left(\left) | ((x)^(2))+3x+4 \баруун| \баруун))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \баруун))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \right)))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \баруун))^(2))-((\left(((x)^(2))+3x+4 \ баруун))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \баруун)\times \\ & \times \left(((x)) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \баруун)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \баруун)\le 0. \\\төгсгөл(эгц)\]

Интервалын арга:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & \left(-2x-3 \баруун)\left(2((x)^(2))+4x+5 \баруун)=0 \\ & -2x-3=0\ Баруун сум x=-1.5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Баруун сум D=16-40 \lt 0\Баруун сум \varnothing . \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Тооны мөрөнд зөвхөн нэг үндэс байна:

Хариулт нь бүхэл бүтэн интервал юм

Хариулт: $x\in \left[ -1.5;+\infty \right)$.

Сүүлийн даалгаврын тухай жижиг тэмдэглэл. Миний оюутнуудын нэг нь үнэн зөв тэмдэглэснээр энэ тэгш бус байдлын дэд модуль илэрхийлэл хоёулаа эерэг байдаг тул эрүүл мэндэд хор хөнөөл учруулахгүйгээр модулийн тэмдгийг орхиж болно.

Гэхдээ энэ бол огт өөр сэтгэлгээний түвшин, өөр хандлага юм - үүнийг үр дагаврын арга гэж нэрлэж болно. Энэ тухай - тусдаа хичээл дээр. Одоо өнөөдрийн хичээлийн эцсийн хэсэг рүү шилжиж, үргэлж ажилладаг бүх нийтийн алгоритмыг харцгаая. Өмнөх бүх аргууд хүчгүй байсан ч гэсэн. :)

4. Сонголтуудыг тоолох арга

Хэрэв эдгээр бүх аргууд тус болохгүй бол яах вэ? Хэрэв тэгш бус байдлыг сөрөг бус сүүл болгон бууруулж чадахгүй бол модулийг тусгаарлах боломжгүй бол ерөнхийдөө өвдөлт, уйтгар гуниг, гунигтай байдаг уу?

Дараа нь бүх математикийн "хүнд их буу" гарч ирдэг - харгис хүчний арга. Модультай тэгш бус байдлын хувьд дараах байдалтай байна.

1. Бүх дэд модуль илэрхийллийг бичиж, тэдгээрийг тэгтэй тэнцүүлэх;
2. Үүссэн тэгшитгэлийг шийдэж, нэг тооны шулуун дээр олдсон үндсийг тэмдэглэ;
3. Шулуун шугамыг хэд хэдэн хэсэгт хуваах бөгөөд тэдгээрийн дотор модуль бүр нь тогтмол тэмдэгтэй тул өвөрмөц байдлаар илэрдэг;
4. Ийм хэсэг бүр дээрх тэгш бус байдлыг шийд (найдвартай байдлын үүднээс 2-р алхамд олж авсан үндэс-хязгаарыг тусад нь авч үзэх боломжтой). Үр дүнг нэгтгэх - энэ нь хариулт байх болно. :)

Тэгэхээр яаж? Сул уу? Амархан! Зөвхөн удаан хугацаанд. Практик дээр харцгаая:

Даалгавар. Тэгш бус байдлыг шийд:

\[\зүүн| x+2 \баруун| \lt \left| x-1 \right|+x-\frac(3)(2)\]

Шийдэл. Энэ новш нь $\left| шиг тэгш бус байдал руу буцдаггүй f\right| \lt g$, $\left| f\right| \gt g$ эсвэл $\left| f\right| \lt \left| g \right|$, тиймээс бид урагшлах болно.

Бид дэд модуль илэрхийлэлүүдийг бичиж, тэдгээрийг тэгтэй тэнцүүлж, үндсийг нь олдог.

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & x+2=0\Баруун сум x=-2; \\ & x-1=0\Баруун сум x=1. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Нийтдээ бид тооны шугамыг гурван хэсэгт хуваадаг хоёр үндэстэй бөгөөд тэдгээрийн дотор модуль бүр өвөрмөц байдлаар илэрдэг.

Тооны шугамыг дэд модуль функцүүдийн тэгээр хуваах

Хэсэг бүрийг тусад нь авч үзье.

1. $x \lt -2$ гэж үзье. Дараа нь дэд модуль илэрхийлэл хоёулаа сөрөг байх ба анхны тэгш бус байдлыг дараах байдлаар дахин бичнэ.

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & -\зүүн(x+2 \баруун) \lt -\зүүн(x-1 \баруун)+x-1.5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x- 1.5 \\ & x \gt 1.5 \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Бид маш энгийн хязгаарлалттай болсон. Үүнийг $x \lt -2$ гэсэн анхны таамаглалаар огтолцгооё.

\[\зүүн\( \эхлэх(зэрэгцүүлэх) & x \lt -2 \\ & x \gt 1.5 \\\төгсгөл(зэрэгцүүлэх) \баруун.\Баруун сум x\ \varnothing \]

Мэдээжийн хэрэг, $x$ хувьсагч нь нэгэн зэрэг -2-оос бага, 1.5-аас их байж болохгүй. Энэ чиглэлээр ямар ч шийдэл байхгүй.

1.1. Хилийн тохиолдлыг тусад нь авч үзье: $x=-2$. Энэ тоог анхны тэгш бус байдалд орлуулаад шалгая: энэ үнэн үү?

\[\эхлэх(эгцлэх) & ((\зүүн. \зүүн| x+2 \баруун| \lt \зүүн| x-1 \баруун|+x-1.5 \баруун|)_(x=-2) ) \ \ & 0 \lt \left| -3\right|-2-1.5; \\ & 0 \лт 3-3.5; \\ & 0 \lt -0.5\Баруун сум \varnothing . \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Тооцооллын гинжин хэлхээ биднийг буруу тэгш бус байдалд хүргэсэн нь ойлгомжтой. Тиймээс анхны тэгш бус байдал нь мөн худал бөгөөд $x=-2$ хариултанд ороогүй болно.

2. Одоо $-2 \lt x \lt 1$ байя. Зүүн модуль нь "нэмэх" тэмдэгтэй нээгдэх боловч баруун тал нь "хасах" тэмдэгтэй нээгдэх болно. Бидэнд байгаа:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & x+2 \lt -\зүүн(x-1 \баруун)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Дахин бид анхны шаардлагатай огтлолцож байна:

\[\зүүн\( \эхлэх(зэрэгцүүлэх) & x \lt -2.5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\төгсгөл(зэрэгцүүлэх) \баруун.\Баруун сум x\ \varnothing \]

Дахин хэлэхэд −2.5-аас бага ба −2-оос их тоо байхгүй тул шийдлийн багц хоосон байна.

2.1. Мөн дахин онцгой тохиолдол: $x=1$. Бид анхны тэгш бус байдлыг орлуулна:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((\зүүн. \зүүн| x+2 \баруун| \lt \зүүн| x-1 \баруун|+x-1.5 \баруун|)_(x=1)) \\ & \left| 3\баруун| \lt \left| 0\right|+1-1.5; \\ & 3 \lt -0.5; \\ & 3 \lt -0.5\Баруун сум \varnothing . \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Өмнөх "онцгой тохиолдол"-той адил $x=1$ тоог хариултанд оруулаагүй нь тодорхой.

3. Мөрийн сүүлчийн хэсэг: $x \gt 1$. Энд бүх модулиуд нэмэх тэмдгээр нээгдэнэ:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \төгсгөл(зохицуулах)\ ]

Мөн бид дахин олсон олонлогийг анхны хязгаарлалттай огтолж байна:

\[\зүүн\( \эхлэх(зэрэгцүүлэх) & x \gt 4.5 \\ & x \gt 1 \\\төгсгөл(зэрэгцүүлэх) \баруун.\Баруун сум x\зүүн(4.5;+\infty \баруун)\ ]

Эцэст нь! Бид хариулт болох интервалыг олсон.

Хариулт: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$

Эцэст нь хэлэхэд, бодит асуудлыг шийдэхдээ таныг тэнэг алдаанаас аварч болох нэг тэмдэглэл:

Модуль бүхий тэгш бус байдлын шийдлүүд нь ихэвчлэн тооны шугам дээрх тасралтгүй олонлогуудыг илэрхийлдэг - интервал ба сегмент. Тусгаарлагдсан цэгүүд хамаагүй бага түгээмэл байдаг. Түүнээс гадна шийдлийн хил (сегментийн төгсгөл) нь авч үзэж буй хүрээний хилтэй давхцах тохиолдол цөөнгүй тохиолддог.

Тиймээс, хэрэв хариултанд хил хязгаарыг (ижил "онцгой тохиолдлууд") оруулаагүй бол эдгээр хилийн зүүн ба баруун талд байгаа хэсгүүд бараг л хариултанд орохгүй. Мөн эсрэгээр: хил нь хариултанд орсон бөгөөд энэ нь түүний эргэн тойронд байгаа зарим хэсэг нь бас хариулт байх болно гэсэн үг юм.

Шийдлүүдээ хянахдаа үүнийг санаарай.

Модулиудын тэгш бус байдлыг илрүүлэх арга (дүрэм) нь дэд модуль функцүүдийн тогтмол тэмдгийн интервалыг ашиглан модулиудыг дараалан задлахаас бүрдэнэ. Эцсийн хувилбарт асуудлын нөхцлийг хангасан интервал эсвэл интервалууд олдсон хэд хэдэн тэгш бус байдлыг олж авдаг.

Практикт нийтлэг жишээнүүдийг шийдвэрлэхэд шилжье.

Модультай шугаман тэгш бус байдал

Шугаман гэж бид хувьсагч нь тэгшитгэлд шугаман байдлаар ордог тэгшитгэлийг хэлнэ.

Жишээ 1. Тэгш бус байдлын шийдийг ол

Шийдэл:
Асуудлын нөхцлөөс харахад модулиуд x=-1 ба x=-2 үед тэг болж хувирна. Эдгээр цэгүүд тоон шугамыг интервалд хуваана

Эдгээр интервал бүрт бид өгөгдсөн тэгш бус байдлыг шийддэг. Үүнийг хийхийн тулд бид юуны түрүүнд дэд модуль функцүүдийн тогтмол тэмдэг бүхий хэсгүүдийн график зургийг зурдаг. Тэдгээрийг функц тус бүрийн шинж тэмдэг бүхий хэсгүүдээр дүрсэлсэн байдаг

эсвэл бүх функцийн тэмдэг бүхий интервалууд.

Эхний интервалаар бид модулиудыг өргөжүүлдэг

Бид хоёр талыг хасах нэгээр үржүүлж, тэгш бус байдлын тэмдэг нь эсрэгээр өөрчлөгдөнө. Хэрэв та энэ дүрэмд дасахад хэцүү бол та тэмдгийн ард хэсэг бүрийг хөдөлгөж, хасах тэмдгийг арилгах боломжтой. Эцсийн эцэст та хүлээн авах болно

Тэгшитгэлийг шийдсэн талбайтай x>-3 олонлогийн огтлолцол нь (-3;-2) интервал болно. Шийдвэрийг олоход хялбар гэж үздэг хүмүүст эдгээр хэсгүүдийн огтлолцлыг графикаар зурж болно

Талбайн нийтлэг уулзвар нь шийдэл байх болно. Хэрэв хатуу тэгш бус байвал ирмэгийг оруулаагүй болно. Хэрэв хатуу биш бол орлуулах замаар шалгана уу.

Хоёр дахь интервал дээр бид авдаг

Хөндлөн огтлол нь интервал (-2; -5/3) байх болно. Графикийн хувьд шийдэл нь иймэрхүү харагдах болно

Гурав дахь интервал дээр бид авдаг

Энэ нөхцөлхүссэн домайн дахь шийдлүүдийг өгдөггүй.

(-3;-2) ба (-2;-5/3) хоёр шийдэл нь x=-2 цэг дээр хиллэдэг тул бид үүнийг бас шалгана.

Иймд x=-2 цэг нь шийдэл болно. Үүнийг харгалзан үзсэн ерөнхий шийдэл (-3;5/3) шиг харагдах болно.

Жишээ 2. Тэгш бус байдлын шийдийг ол
|x-2|-|x-3|>=|x-4|

Шийдэл:
Дэд модуль функцүүдийн тэг нь x=2, x=3, x=4 цэгүүд болно. Эдгээр цэгээс бага аргументын утгуудын хувьд дэд модуль функцүүд сөрөг, том утгын хувьд эерэг байна.

Цэгүүд нь бодит тэнхлэгийг дөрвөн интервалд хуваана. Бид модулиудыг тогтмол тэмдгийн интервалын дагуу өргөжүүлж, тэгш бус байдлыг шийддэг.

1) Эхний интервалд бүх дэд модуль функцүүд сөрөг байдаг тул модулиудыг өргөжүүлэхдээ бид тэмдгийг эсрэгээр нь өөрчилдөг.

Олдсон х утгуудын авч үзсэн интервалтай огтлолцол нь цэгүүдийн багц болно

2) x=2 ба x=3 цэгүүдийн хоорондох интервал дээр эхний дэд модуль функц эерэг, хоёр, гурав дахь нь сөрөг байна. Модулиудыг өргөжүүлснээр бид олж авна

Бидний шийдэж буй интервалтай огтлолцвол нэг шийдийг өгдөг тэгш бус байдал – x=3.

3) x=3 ба x=4 цэгүүдийн хоорондох интервал дээр эхний болон хоёр дахь дэд модуль функцууд эерэг, гурав дахь нь сөрөг байна. Үүний үндсэн дээр бид авдаг

Энэ нөхцөл нь бүхэл интервал нь модулиар тэгш бус байдлыг хангах болно гэдгийг харуулж байна.

4) x>4 утгын хувьд бүх функц эерэг тэмдэгтэй байна. Модулиудыг өргөжүүлэхдээ бид тэдгээрийн тэмдгийг өөрчлөхгүй.

Интервалтай огтлолцсон олсон нөхцөл нь дараах шийдлүүдийн багцыг өгнө

Тэгш бус байдлыг бүх интервал дээр шийдэж байгаа тул х-ийн бүх олдсон утгуудын нийтлэг утгыг олоход л үлддэг. Шийдэл нь хоёр интервалтай байх болно

Энэ жишээг дуусгаж байна.

Жишээ 3. Тэгш бус байдлын шийдийг ол
||x-1|-5|>3-2x

Шийдэл:
Бид модулиас модультай тэгш бус байдалтай байна. Ийм тэгш бус байдал нь модулиудыг илүү гүнд байрлах модулиудаас эхлээд үүрлэх үед илэрдэг.

X-1 дэд модуль функц нь x=1 үед тэг болж хувирна. 1-ээс дээш жижиг утгуудын хувьд сөрөг, x>1 бол эерэг байна. Үүний үндсэн дээр бид дотоод модулийг өргөжүүлж, интервал тус бүрийн тэгш бус байдлыг харгалзан үздэг.

Эхлээд хасах хязгаараас нэг хүртэлх интервалыг авч үзье

x=-4 үед дэд модуль функц нь тэг болно. Жижиг утгын хувьд эерэг, том утгын хувьд сөрөг байна. X-ийн модулийг өргөжүүлье<-4:

Бидний авч үзэж буй газартай огтлолцохдоо бид шийдлийн багцыг олж авдаг

Дараагийн алхам бол модулийг интервал дээр өргөжүүлэх явдал юм (-4;1)

Модулийн өргөтгөлийн талбайг харгалзан бид шийдлийн интервалыг олж авдаг

Санаж байгаарай: хэрэв модулиудтай ийм зөрчилдөөнтэй үед та нийтлэг цэгтэй хиллэдэг хоёр интервалыг авдаг бол дүрмээр бол энэ нь бас шийдэл юм.

Үүнийг хийхийн тулд та зүгээр л шалгах хэрэгтэй.

Энэ тохиолдолд бид x=-4 цэгийг орлуулна.

Тэгэхээр x=-4 нь шийдэл юм.
x>1-ийн дотоод модулийг өргөжүүлье

х-д сөрөг дэд модуль функц<6.
Модулийг өргөжүүлснээр бид олж авдаг

(1;6) интервалтай хэсгийн энэ нөхцөл нь шийдлийн хоосон багцыг өгнө.

x>6-ийн хувьд бид тэгш бус байдлыг олж авна

Мөн шийдэж, бид хоосон багц авсан.
Дээр дурдсан бүх зүйлийг харгалзан модультай тэгш бус байдлын цорын ганц шийдэл нь дараах интервал байх болно.

Квадрат тэгшитгэл агуулсан модулиудтай тэгш бус байдал

Жишээ 4. Тэгш бус байдлын шийдийг ол
|x^2+3x|>=2-x^2

Шийдэл:
Дэд модуль функц нь x=0, x=-3 цэгүүдэд алга болно. Хасах нэгийг энгийн орлуулалт

(-3;0) интервалд тэгээс бага, түүнээс цааш эерэг болохыг бид тогтооно.
Дэд модуль функц эерэг байгаа хэсэгт модулийг өргөжүүлье

Квадрат функц эерэг байх бүс нутгийг тодорхойлоход л үлддэг. Үүнийг хийхийн тулд бид үндсийг нь тодорхойлно квадрат тэгшитгэл

Тохиромжтой болгох үүднээс (-2;1/2) интервалд хамаарах x=0 цэгийг орлуулна. Функц нь энэ интервалд сөрөг байна, энэ нь шийдэл нь дараах х олонлог болно гэсэн үг юм

Энд шийдэл бүхий хэсгүүдийн ирмэгийг хаалтанд тэмдэглэсэн бөгөөд үүнийг дараахь дүрмийг харгалзан зориудаар хийсэн болно.

САНААРАЙ: Хэрэв модультай тэгш бус байдал эсвэл энгийн тэгш бус байдал хатуу байвал олсон талбайн ирмэгүүд нь шийдэл биш, харин тэгш бус байдал нь хатуу биш бол () ирмэгүүд нь шийд (дөрвөлжин хаалтаар тэмдэглэгдсэн) болно.

Энэ дүрмийг олон багш ашигладаг: хэрэв хатуу тэгш бус байдал өгөгдсөн бөгөөд тооцооллын явцад та шийдэлд дөрвөлжин хаалт ([,]) бичвэл тэд автоматаар үүнийг буруу хариулт гэж үзэх болно. Түүнчлэн, тест хийхдээ модулиудтай хатуу бус тэгш бус байдал өгөгдсөн бол шийдлүүдийн дунд дөрвөлжин хаалт бүхий хэсгийг хайж олох хэрэгтэй.

(-3;0) интервал дээр модулийг өргөжүүлснээр бид функцийн тэмдгийг эсрэгээр нь өөрчилдөг.

Тэгш бус байдлыг илчлэх талбарыг харгалзан шийдэл нь хэлбэртэй байна

Өмнөх талбайтай хамт энэ нь хоёр хагас интервалыг өгөх болно

Жишээ 5. Тэгш бус байдлын шийдийг ол
9x^2-|x-3|>=9x-2

Шийдэл:
Х=3 цэгт дэд модуль функц нь тэгтэй тэнцүү байх хатуу бус тэгш бус байдал өгөгдсөн. Жижиг утгын хувьд энэ нь сөрөг, том утгын хувьд эерэг байна. X интервал дээр модулийг өргөжүүлнэ үү<3.

Тэгшитгэлийн дискриминантыг олох

болон үндэс

Тэг цэгийг орлуулснаар [-1/9;1] интервал дээр квадрат функц сөрөг байх тул интервал нь шийдэл болохыг олж мэднэ. Дараа нь бид модулийг x>3 дээр өргөжүүлнэ

Математик шинжлэх ухааны мэргэн ухааны бэлгэдэл юм,

шинжлэх ухааны хатуу ба энгийн байдлын загвар,

шинжлэх ухааны шилдэг, гоо сайхны стандарт.

Оросын философич, профессор А.В. Волошинов

Модультай тэгш бус байдал

Сургуулийн математикийн шийдвэрлэхэд хамгийн хэцүү асуудал бол тэгш бус байдал юм, модулийн тэмдгийн дор хувьсагчийг агуулсан. Ийм тэгш бус байдлыг амжилттай шийдвэрлэхийн тулд та модулийн шинж чанарын талаар сайн мэдлэгтэй байх ёстой бөгөөд тэдгээрийг ашиглах ур чадвартай байх ёстой.

Үндсэн ойлголт ба шинж чанарууд

Бодит тооны модуль (үнэмлэхүй утга).гэж тэмдэглэсэн бөгөөд дараах байдлаар тодорхойлогдоно.

TO энгийн шинж чанаруудмодуль нь дараахь харилцааг агуулна.

БА .

Анхаар, Сүүлийн хоёр шинж чанар нь тэгш хэмийн хувьд хүчинтэй байна.

Түүнээс гадна, хэрэв, хаана, дараа нь болон

Илүү төвөгтэй модулийн шинж чанарууд, тэгшитгэл ба тэгш бус байдлыг модулиар шийдвэрлэхэд үр дүнтэй ашиглах боломжтой, Дараах теоремоор томъёолно.

Теорем 1.Аливаа аналитик функцүүдийн хувьдТэгээд тэгш бус байдал нь үнэн юм.

Теорем 2.Тэгш байдал тэгш бус байдалтай адил.

Теорем 3.Тэгш байдал тэгш бус байдалтай адил.

Сургуулийн математикийн хамгийн түгээмэл тэгш бус байдал, модулийн тэмдгийн доор үл мэдэгдэх хувьсагчдыг агуулсан, хэлбэрийн тэгш бус байдал юммөн хаана зарим эерэг тогтмол.

Теорем 4.Тэгш бус байдал давхар тэгш бус байдалтай тэнцүү байна, ба тэгш бус байдлын шийдэлтэгш бус байдлын багцыг шийдвэрлэх хүртэл бууруулнаМөн .

Энэ теорем нь 6 ба 7-р теоремуудын онцгой тохиолдол юм.

Илүү төвөгтэй тэгш бус байдал, модуль агуулсан нь хэлбэрийн тэгш бус байдал юм, Мөн .

Ийм тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх аргуудыг дараах гурван теоремыг ашиглан томъёолж болно.

Теорем 5.Тэгш бус байдал тэгш бус байдлын хоёр системийн хослолтой тэнцүү байна

Би (1)

Баталгаа.Түүнээс хойш

Энэ нь (1)-ийн хүчинтэй байдлыг илэрхийлнэ.

Теорем 6.Тэгш бус байдал тэгш бус байдлын системтэй тэнцүү байна

Баталгаа.Учир нь, дараа нь тэгш бус байдлаасүүнийг дагадаг . Энэ нөхцөлд тэгш бус байдалба энэ тохиолдолд тэгш бус байдлын хоёр дахь систем (1) зөрчилтэй болно.

Теорем нь батлагдсан.

Теорем 7.Тэгш бус байдал нь нэг тэгш бус байдал ба хоёр тэгш бус байдлын системийн хослолтой тэнцүү байна

Би (3)

Баталгаа.-ээс хойш тэгш бус байдал үргэлж гүйцэтгэсэн, Хэрэв .

зөвшөөрөх, дараа нь тэгш бус байдалтэгш бус байдалтай тэнцүү байх болно, үүнээс хоёр тэгш бус байдлын багц гарч ирнэМөн .

Теорем нь батлагдсан.

“Тэгш бус байдал, модулийн тэмдгийн дор хувьсагчийг агуулсан."

Модулиар тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх

Ихэнх энгийн аргатэгш бус байдлыг модулийн тусламжтайгаар шийдвэрлэх арга, модулийн өргөтгөл дээр суурилсан. Энэ арга нь бүх нийтийнх юм, гэхдээ дотор ерөнхий тохиолдолтүүний хэрэглээ нь маш төвөгтэй тооцоолол хийхэд хүргэдэг. Тиймээс оюутнууд ийм тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх бусад (илүү үр дүнтэй) арга, техникийг мэддэг байх ёстой. Тухайлбал, теоремуудыг хэрэглэх ур чадвартай байх шаардлагатай, энэ нийтлэлд өгсөн.

Жишээ 1.Тэгш бус байдлыг шийдэх

. (4)

Шийдэл.Бид тэгш бус байдлыг (4) "сонгодог" арга буюу модулиудыг илрүүлэх аргыг ашиглан шийдэх болно. Энэ зорилгоор бид тооны тэнхлэгийг хуваанацэгүүд болон интервалд хувааж, гурван тохиолдлыг авч үзье.

1. Хэрэв , тэгвэл , , , тэгш бус байдал (4) хэлбэрийг авнаэсвэл .

Тохиолдол энд авч үзсэн тул энэ нь тэгш бус байдлын шийдэл юм (4).

2. Хэрэв, Дараа нь тэгш бус байдлаас (4) бид олж авнаэсвэл . Интервалуудын огтлолцолоос хойшТэгээд хоосон, тэгвэл авч үзэж буй шийдлүүдийн интервал дээр тэгш бус байдал байхгүй болно (4).

3. Хэрэв, тэгвэл (4) тэгш бус байдал хэлбэрийг авнаэсвэл . Энэ нь ойлгомжтой нь мөн тэгш бус байдлын шийдэл юм (4).

Хариулт: , .

Жишээ 2.Тэгш бус байдлыг шийдэх.

Шийдэл.Ингэж бодъё. Учир нь, тэгвэл өгөгдсөн тэгш бус байдал хэлбэрийг авнаэсвэл . Түүнээс хойш мөн эндээс энэ нь дараах болноэсвэл .

Гэсэн хэдий ч, тиймээс эсвэл.

Жишээ 3.Тэгш бус байдлыг шийдэх

. (5)

Шийдэл.Учир нь, тэгвэл (5) тэгш бус байдал нь тэгш бус байдалтай тэнцүү байнаэсвэл . Эндээс, 4-р теоремын дагуу, бидэнд тэгш бус байдлын багц бийМөн .

Хариулт: , .

Жишээ 4.Тэгш бус байдлыг шийдэх

. (6)

Шийдэл.гэж тэмдэглэе. Дараа нь (6) тэгш бус байдлаас бид , , эсвэл тэгш бус байдлыг олж авна.

Эндээс, интервалын аргыг ашиглан, бид авдаг. Учир нь, тэгвэл энд тэгш бус байдлын систем байна

(7) системийн эхний тэгш бус байдлын шийдэл нь хоёр интервалын нэгдэл юмМөн , Хоёр дахь тэгш бус байдлын шийдэл нь давхар тэгш бус байдал юм. Энэ нь гэсэн үг, (7) тэгш бус байдлын системийн шийдэл нь хоёр интервалын нэгдэл юмМөн .

Хариулт: ,

Жишээ 5.Тэгш бус байдлыг шийдэх

. (8)

Шийдэл. Тэгш бус байдлыг (8) дараах байдлаар хувиргацгаая.

Эсвэл .

Интервалын аргыг ашиглах, тэгш бус байдлын шийдлийг олж авна (8).

Хариулт: .

Анхаарна уу. Хэрэв бид 5-р теоремын нөхцөлд ба гэж тавьбал .

Жишээ 6.Тэгш бус байдлыг шийдэх

. (9)

Шийдэл. Тэгш бус байдлаас (9) гарч ирнэ. Тэгш бус байдлыг (9) дараах байдлаар хувиргацгаая.

Эсвэл

Түүнээс хойш, дараа нь эсвэл .

Хариулт: .

Жишээ 7.Тэгш бус байдлыг шийдэх

. (10)

Шийдэл.Түүнээс хойш ба , дараа нь эсвэл .

Энэ талаар тэгш бус байдал (10) хэлбэрийг авна

Эсвэл

. (11)

Үүнийг дагадаг эсвэл . , тэгвэл тэгш бус байдал (11) нь мөн гэсэн утгатай буюу.

Хариулт: .

Анхаарна уу. Хэрэв бид теорем 1-ийг тэгш бус байдлын зүүн талд хэрэглэвэл (10), тэгвэл бид авна . Үүнээс болон тэгш бус байдлаас (10) гарч ирнэ, юу эсвэл . Учир нь, тэгвэл (10) тэгш бус байдал хэлбэрийг авнаэсвэл .

Жишээ 8.Тэгш бус байдлыг шийдэх

. (12)

Шийдэл.Түүнээс хойш ба тэгш бус байдлаас (12) энэ нь гарч ирнээсвэл . Гэсэн хэдий ч, тиймээс эсвэл. Эндээс бид эсвэл .

Хариулт: .

Жишээ 9.Тэгш бус байдлыг шийдэх

. (13)

Шийдэл.Теорем 7-д зааснаар (13) тэгш бус байдлын шийдэл нь эсвэл.

Одоо байг. Энэ тохиолдолд тэгш бус байдал (13) хэлбэрийг авнаэсвэл .

Хэрэв та интервалуудыг нэгтгэвэлМөн , Дараа нь бид (13) хэлбэрийн тэгш бус байдлын шийдлийг олж авна.

Жишээ 10.Тэгш бус байдлыг шийдэх

. (14)

Шийдэл.Тэгш бус байдлыг (14) тэнцүү хэлбэрээр дахин бичье: . Хэрэв бид теорем 1-ийг энэ тэгш бус байдлын зүүн талд хэрэглэвэл тэгш бус байдлыг олж авна.

Эндээс болон 1-р теоремоос энэ нь дагалддаг, аливаа утгын хувьд тэгш бус байдал (14) хангагдсан байна.

Хариулт: дурын тоо.

Жишээ 11.Тэгш бус байдлыг шийдэх

. (15)

Шийдэл. Теорем 1-ийг тэгш бус байдлын зүүн талд хэрэглэх нь (15), бид авдаг . Энэ ба тэгш бус байдал (15) нь тэгшитгэлийг гаргана, хэлбэртэй байна.

Теорем 3-ын дагуу, тэгшитгэл тэгш бус байдалтай адил. Эндээс бид авдаг.

Жишээ 12.Тэгш бус байдлыг шийдэх

. (16)

Шийдэл. Теорем 4-ийн дагуу (16) тэгш бус байдлаас бид тэгш бус байдлын системийг олж авна

Тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх үедТеорем 6-г ашиглаад тэгш бус байдлын системийг олъёүүнээс үүдэлтэй.

Тэгш бус байдлыг авч үзье. Теорем 7-ын дагуу, Бид тэгш бус байдлын багцыг олж авдагМөн . Хүн амын хоёр дахь тэгш бус байдал нь аливаа бодит байдалд хүчинтэй.

Тиймээс, тэгш бус байдлын шийдэл (16) байна.

Жишээ 13.Тэгш бус байдлыг шийдэх

. (17)

Шийдэл.Теорем 1-ийн дагуу бид бичиж болно

(18)

Тэгш бус байдлыг (17) харгалзан үзвэл тэгш бус байдал (18) хоёулаа тэнцүү болж хувирдаг гэж бид дүгнэж байна. тэгшитгэлийн систем байдаг

Теорем 3-аар энэ тэгшитгэлийн систем нь тэгш бус байдлын системтэй тэнцүү байна

эсвэл

Жишээ 14.Тэгш бус байдлыг шийдэх

. (19)

Шийдэл.Түүнээс хойш. Тэгш бус байдлын хоёр талыг (19) илэрхийллээр үржүүлье, энэ нь аливаа утгын хувьд зөвхөн эерэг утгыг авна. Дараа нь бид (19) хэлбэрийн тэгш бус байдалтай тэнцэх тэгш бус байдлыг олж авна

Эндээс бид эсвэл , хаана . Түүнээс хойш ба тэгвэл тэгш бус байдлын шийдэл (19) байнаМөн .

Хариулт: , .

Модулиар тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх аргуудыг илүү гүнзгий судлахын тулд сурах бичигт хандахыг зөвлөж байна., санал болгосон уран зохиолын жагсаалтад оруулсан болно.

1. Коллежид элсэгчдэд зориулсан математикийн асуудлын цуглуулга / Ed. М.И. Сканави. – М.: Энх тайван ба боловсрол, 2013. – 608 х.

2. Супрун В.П. Ахлах сургуулийн сурагчдад зориулсан математик: тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх, нотлох арга. – М .: Ленанд / URSS, 2018. – 264 х.

3. Супрун В.П. Ахлах ангийн сурагчдад зориулсан математик: стандарт бус аргуудасуудал шийдэх. – М.: CD "Librocom" / URSS, 2017. – 296 х.

Асуулт хэвээр байна уу?

Багшаас тусламж авахын тулд бүртгүүлнэ үү.

вэб сайт, материалыг бүрэн эсвэл хэсэгчлэн хуулахдаа эх сурвалжийн холбоос шаардлагатай.