Квадрат тэгшитгэлийн нэгэн адил дискриминантыг 8-р ангиасаа алгебрийн хичээлээр судалж эхэлдэг. Квадрат тэгшитгэлийг дискриминантын тусламжтайгаар Виетийн теоремоор шийдэж болно. Квадрат тэгшитгэл, түүнчлэн ялгах томъёог судлах арга нь бодит боловсролын олон зүйлийн нэгэн адил сургуулийн сурагчдад амжилтанд хүрээгүй. Тиймээс тэд дамждаг сургуулийн жилүүд, 9-11-р ангийн боловсролыг орлодог " өндөр боловсрол"Бас бүгд дахин хайж байна - "Квадрат тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ?", "Тэгшитгэлийн язгуурыг хэрхэн олох вэ?", "Ялгаварлан танигчийг хэрхэн олох вэ?" Тэгээд...

Ялгаварлах томъёо

a*x^2+bx+c=0 квадрат тэгшитгэлийн дискриминант D нь D=b^2–4*a*c-тэй тэнцүү байна.
Квадрат тэгшитгэлийн үндэс (шийдлүүд) нь ялгаварлагчийн (D) тэмдгээс хамаарна.
D>0 – тэгшитгэл нь 2 өөр бодит язгууртай;
D=0 - тэгшитгэл нь 1 үндэстэй (тохирох 2 үндэс):
Д<0 – не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.
Ялгаварлан гадуурхалтыг тооцоолох томъёо нь маш энгийн тул олон сайтууд онлайн дискриминант тооцоолуурыг санал болгодог. Бид ийм төрлийн скриптийг хараахан олоогүй байгаа тул үүнийг хэрхэн хэрэгжүүлэхийг мэддэг хүн байвал бидэн рүү имэйлээр бичнэ үү. Энэ имэйл хаягийг спамнаас хамгаалж байна. Үүнийг үзэхийн тулд та JavaScript-г идэвхжүүлсэн байх ёстой. .

Квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг олох ерөнхий томъёо:

Бид томъёог ашиглан тэгшитгэлийн язгуурыг олно
Хэрэв квадрат хувьсагчийн коэффициентийг хосолсон бол дискриминант биш харин түүний дөрөв дэх хэсгийг тооцоолохыг зөвлөж байна.
Ийм тохиолдолд томъёог ашиглан тэгшитгэлийн язгуурыг олно

Үндэс олох хоёр дахь арга бол Вьетагийн теорем юм.

Теорем нь зөвхөн квадрат тэгшитгэлд төдийгүй олон гишүүнтэд зориулагдсан болно. Та үүнийг Википедиа эсвэл бусад цахим эх сурвалжаас уншиж болно. Гэхдээ хялбаршуулахын тулд дээрх квадрат тэгшитгэлд хамаарах хэсгийг, өөрөөр хэлбэл (a=1) хэлбэрийн тэгшитгэлийг авч үзье.
Виетийн томъёоны мөн чанар нь тэгшитгэлийн язгууруудын нийлбэр нь эсрэг тэмдгээр авсан хувьсагчийн коэффициенттэй тэнцүү байна. Тэгшитгэлийн язгуурын үржвэр нь чөлөөт гишүүнтэй тэнцүү байна. Виетийн теоремыг томъёогоор бичиж болно.
Виетийн томъёог гаргах нь маш энгийн. Квадрат тэгшитгэлийг энгийн хүчин зүйлээр бичье
Таны харж байгаагаар ухаалаг бүх зүйл нэгэн зэрэг энгийн байдаг. Үндэсийн модулийн зөрүү эсвэл язгуурын модулийн зөрүү 1, 2 байх үед Виетийн томъёог ашиглах нь үр дүнтэй байдаг. Жишээлбэл, Вьетнамын теоремын дагуу дараах тэгшитгэлүүд үндэстэй байна.




4-р тэгшитгэл хүртэл шинжилгээ нь иймэрхүү харагдах ёстой. Тэгшитгэлийн язгуурын үржвэр нь 6 тул үндэс нь (1, 6) ба (2, 3) утгууд эсвэл эсрэг тэмдэгтэй хосууд байж болно. Үндэсний нийлбэр нь 7 (эсрэг тэмдэгтэй хувьсагчийн коэффициент). Эндээс бид квадрат тэгшитгэлийн шийдүүд x=2; x=3.
Чөлөөт нэр томъёоны хуваагчдын дунд тэгшитгэлийн язгуурыг сонгох нь Виетийн томъёог биелүүлэхийн тулд тэдгээрийн тэмдгийг тохируулах нь илүү хялбар байдаг. Эхлээд үүнийг хийхэд хэцүү мэт боловч хэд хэдэн квадрат тэгшитгэл дээр дадлага хийснээр энэ арга нь дискриминантыг тооцоолох, квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг сонгодог аргаар олохоос илүү үр дүнтэй байх болно.
Таны харж байгаагаар ялгаварлан гадуурхагчийг судлах сургуулийн онол, тэгшитгэлийн шийдлийг олох аргууд нь практик утгагүй юм. "Сургуулийн хүүхдүүдэд квадрат тэгшитгэл яагаад хэрэгтэй байна вэ?", "Ялгаварлан гадуурхалтын физик утга нь юу вэ?"

Үүнийг ойлгохыг хичээцгээе Ялгаварлагч юуг дүрсэлсэн бэ?

Алгебрийн хичээлээр тэд функц, функцийг судлах схем, функцийн графикийг судалдаг. Бүх функцүүдийн дотроос парабол нь чухал байр эзэлдэг бөгөөд тэгшитгэлийг хэлбэрээр бичиж болно.
Тэгэхээр квадрат тэгшитгэлийн физик утга нь параболын тэг, өөрөөр хэлбэл функцийн графикийн абсцисса тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүд юм.
Доор тайлбарласан параболын шинж чанарыг санахыг би танаас хүсч байна. Шалгалт, шалгалт эсвэл элсэлтийн шалгалт өгөх цаг ирэх бөгөөд та лавлагааны материалд талархах болно. Квадрат хувьсагчийн тэмдэг нь график дээрх параболын салбарууд дээшлэх эсэхтэй тохирч байна (a>0),

эсвэл доош мөчиртэй парабол (а<0) .

Параболын орой нь язгууруудын дунд байрладаг

Ялгаварлагчийн физик утга:

Хэрэв дискриминант нь тэгээс их бол (D>0) парабол нь Ox тэнхлэгтэй огтлолцох хоёр цэгтэй байна.
Дискриминант нь тэг (D=0) бол орой дээрх парабол х тэнхлэгт хүрнэ.
Хамгийн сүүлчийн тохиолдол, ялгаварлан гадуурхагч нь тэгээс бага байх үед (Д<0) – график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).

Бүрэн бус квадрат тэгшитгэл

Квадрат тэгшитгэлийн бодлогуудыг сургуулийн сургалтын хөтөлбөр болон их дээд сургуулиудад хоёуланг нь судалдаг. Эдгээр нь a*x^2 + b*x + c = 0 хэлбэрийн тэгшитгэлийг илэрхийлдэг х-хувьсагч, a, b, c – тогтмолууд; а<>0 . Даалгавар бол тэгшитгэлийн үндсийг олох явдал юм.

Квадрат тэгшитгэлийн геометрийн утга

Квадрат тэгшитгэлээр дүрслэгдсэн функцийн график нь парабол юм. Квадрат тэгшитгэлийн шийд (язгуур) нь параболын абсцисса (х) тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүд юм. Үүнээс үзэхэд гурван боломжит тохиолдол байдаг:
1) парабол нь абсцисса тэнхлэгтэй огтлолцох цэггүй. Энэ нь дээд хавтгайд мөчрүүд нь дээшээ эсвэл доод мөчрүүд нь доошоо байрладаг гэсэн үг юм. Ийм тохиолдолд квадрат тэгшитгэл нь бодит үндэсгүй (хоёр нийлмэл язгууртай).

2) парабол нь Ox тэнхлэгтэй огтлолцох нэг цэгтэй байна. Ийм цэгийг параболын орой гэж нэрлэдэг бөгөөд үүн дээрх квадрат тэгшитгэл нь түүний хамгийн бага эсвэл хамгийн их утгыг олж авдаг. Энэ тохиолдолд квадрат тэгшитгэл нь нэг бодит язгууртай (эсвэл хоёр ижил язгууртай).

3) Сүүлийн тохиолдол нь практикт илүү сонирхолтой байдаг - абсцисса тэнхлэгтэй параболын огтлолцох хоёр цэг байдаг. Энэ нь тэгшитгэлийн хоёр жинхэнэ язгуур байна гэсэн үг.

Хувьсагчдын чадлын коэффициентүүдийн дүн шинжилгээнд үндэслэн параболын байршлын талаар сонирхолтой дүгнэлт хийж болно.

1) Хэрэв а коэффициент тэгээс их байвал параболын мөчрүүд дээшээ, сөрөг байвал параболын мөчрүүд доошоо чиглэнэ.

2) Хэрэв b коэффициент тэгээс их байвал параболын орой нь зүүн хагас хавтгайд, хэрэв сөрөг утгатай байвал баруун талд байна.

Квадрат тэгшитгэлийг шийдэх томьёоны гарган авах

Тогтмолыг квадрат тэгшитгэлээс шилжүүлье

тэнцүү тэмдгийн хувьд бид илэрхийллийг авна

Хоёр талыг 4а-аар үржүүлнэ

Зүүн талд бүрэн дөрвөлжин авахын тулд хоёр талдаа b^2 нэмээд хувиргалтыг хийнэ

Эндээс бид олдог

Квадрат тэгшитгэлийн дискриминант ба үндэсийн томъёо

Дискриминант нь радикал илэрхийллийн утга бөгөөд эерэг байвал томьёогоор тооцсон тэгшитгэл нь хоёр бодит язгууртай байна. Дискриминант нь тэг байх үед квадрат тэгшитгэл нь нэг шийдэлтэй (хоёр давхцах язгууртай) бөгөөд үүнийг дээрх D=0 томъёоноос хялбархан гаргаж болно.Ялгаварлагч сөрөг байвал тэгшитгэл бодит язгуургүй болно. Гэсэн хэдий ч квадрат тэгшитгэлийн шийдлийг цогцолбор хавтгайд олдог бөгөөд тэдгээрийн утгыг томъёогоор тооцоолно.

Вьетагийн теорем

Квадрат тэгшитгэлийн хоёр язгуурыг авч үзээд тэдгээрийн үндсэн дээр квадрат тэгшитгэл байгуулъя.Вьета теорем өөрөө тэмдэглэгээнээс амархан гардаг: хэрэв бид хэлбэрийн квадрат тэгшитгэлтэй бол тэгвэл түүний язгууруудын нийлбэр нь эсрэг тэмдгээр авсан p коэффициенттэй тэнцүү ба тэгшитгэлийн язгуурын үржвэр нь q чөлөөт гишүүнтэй тэнцүү байна. Дээрх томъёоны дүрслэл нь сонгодог тэгшитгэлийн тогтмол а нь тэгээс өөр байвал тэгшитгэлийг бүхэлд нь хувааж, дараа нь Виетийн теоремыг ашиглах хэрэгтэй.

Квадрат тэгшитгэлийн хуваарь

Даалгаврыг өгье: квадрат тэгшитгэлийг хүчин зүйлээр тооц. Үүнийг хийхийн тулд эхлээд тэгшитгэлийг шийднэ (үндсийг ол). Дараа нь бид квадрат тэгшитгэлийн өргөтгөлийн томьёонд олдсон язгууруудыг орлуулна.Ингэснээр асуудлыг шийднэ.

Квадрат тэгшитгэлийн бодлого

Даалгавар 1. Квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг ол

x^2-26x+120=0 .

Шийдэл: Коэффицентүүдийг бичиж, ялгах томьёонд орлуулна уу

Энэ утгын язгуур нь 14, үүнийг тооцоолуур ашиглан олоход хялбар, эсвэл байнга хэрэглэхэд санахад хялбар байдаг, гэхдээ ая тухтай байлгах үүднээс өгүүллийн төгсгөлд би танд ихэвчлэн таарч болох тоонуудын квадратуудын жагсаалтыг өгөх болно. ийм асуудлууд.
Бид олсон утгыг үндсэн томъёонд орлуулна

мөн бид авдаг

Даалгавар 2. Тэгшитгэлийг шийд

2x 2 +x-3=0.

Шийдэл: Бид бүрэн квадрат тэгшитгэлтэй болж, коэффициентүүдийг бичиж, ялгагчийг ол


Мэдэгдэж буй томьёог ашиглан квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг олно

Даалгавар 3. Тэгшитгэлийг шийд

9х 2 -12х+4=0.

Шийдэл: Бидэнд бүрэн квадрат тэгшитгэл байна. Ялгаварлагчийг тодорхойлох

Бид үндэс нь давхцаж байгаа тохиолдол гарсан. Томъёог ашиглан үндэсийн утгыг ол

Даалгавар 4. Тэгшитгэлийг шийд

x^2+x-6=0 .

Шийдэл: x-ийн коэффициент бага байгаа тохиолдолд Виетийн теоремыг ашиглахыг зөвлөж байна. Үүний нөхцлөөр бид хоёр тэгшитгэлийг олж авна

Хоёрдахь нөхцлөөс бид бүтээгдэхүүн нь -6-тай тэнцүү байх ёстойг олж мэдэв. Энэ нь нэг үндэс нь сөрөг байна гэсэн үг юм. Бидэнд дараах боломжит хос шийдлүүд байна (-3;2), (3;-2) . Эхний нөхцлийг харгалзан бид хоёр дахь хос шийдлээс татгалздаг.
Тэгшитгэлийн үндэс нь тэнцүү байна

Бодлого 5. Тэгш өнцөгтийн периметр нь 18 см, талбай нь 77 см 2 бол талуудын уртыг ол.

Шийдэл: Тэгш өнцөгтийн периметрийн хагас нь түүний хажуугийн талуудын нийлбэртэй тэнцүү байна. x-г том тал гэж тэмдэглэе, тэгвэл 18-x нь түүний жижиг тал болно. Тэгш өнцөгтийн талбай нь эдгээр уртын үржвэртэй тэнцүү байна.
x(18-x)=77;
эсвэл
x 2 -18x+77=0.
Тэгшитгэлийн дискриминантыг олъё

Тэгшитгэлийн язгуурыг тооцоолох

Хэрэв x=11,Тэр 18 = 7 ,эсрэгээр нь бас үнэн (х=7 бол 21-ийн=9).

Бодлого 6. 10х 2 -11х+3=0 квадрат тэгшитгэлийг үржүүл.

Шийдэл: Тэгшитгэлийн язгуурыг тооцъё, үүний тулд бид ялгаварлагчийг олно

Бид олсон утгыг үндсэн томъёонд орлуулж, тооцоолно

Бид квадрат тэгшитгэлийг язгуураар задлах томъёог ашигладаг

Хаалтуудыг нээснээр бид таних тэмдгийг олж авна.

Параметртэй квадрат тэгшитгэл

Жишээ 1. Ямар параметрийн утгууд дээр А,(a-3)x 2 + (3-a)x-1/4=0 тэгшитгэл нэг үндэстэй юу?

Шийдэл: a=3 утгыг шууд орлуулснаар энэ нь шийдэлгүй болохыг харж байна. Дараа нь бид тэг дискриминанттай тэгшитгэл нь үржвэрийн 2-ын нэг язгууртай болохыг ашиглах болно. Ялгаварлагчийг бичье

Үүнийг хялбарчилж, тэгтэй тэнцүү болгоё

Бид a параметртэй холбоотой квадрат тэгшитгэлийг олж авсан бөгөөд үүний шийдлийг Виетийн теоремыг ашиглан хялбархан олж авах боломжтой. Үндэсүүдийн нийлбэр нь 7, үржвэр нь 12 байна. Энгийн хайлтаар бид 3,4 тоонууд нь тэгшитгэлийн үндэс болно гэдгийг тогтооно. Тооцооллын эхэнд бид a=3 шийдлийг аль хэдийн татгалзсан тул цорын ганц зөв шийдэл нь - a=4.Тиймээс a=4-ийн хувьд тэгшитгэл нь нэг үндэстэй байна.

Жишээ 2. Ямар параметрийн утгууд дээр А,тэгшитгэл a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0нэгээс олон үндэстэй юу?

Шийдэл: Эхлээд ганц цэгүүдийг авч үзье, тэдгээр нь a=0 ба a=-3 утгууд болно. a=0 үед тэгшитгэлийг 6x-9=0 хэлбэрт хялбаршуулна; x=3/2 ба нэг үндэс байх болно. a= -3-ын хувьд бид 0=0 ижил төстэй байдлыг олж авна.
Дискриминантыг тооцоолъё

эерэг байх а-ийн утгыг ол

Эхний нөхцлөөс бид a>3 авна. Хоёрдугаарт бид тэгшитгэлийн ялгаварлагч ба язгуурыг олно


Функц эерэг утгыг авах интервалуудыг тодорхойлъё. a=0 цэгийг орлуулснаар бид олж авна 3>0 . Тэгэхээр (-3;1/3) интервалаас гадуур функц сөрөг байна. Гол санааг бүү мартаарай a=0,Анхны тэгшитгэл нь нэг язгууртай тул үүнийг хасах хэрэгтэй.
Үүний үр дүнд бид асуудлын нөхцлийг хангасан хоёр интервалыг олж авдаг

Практикт ижил төстэй олон даалгавар байх болно, даалгавраа өөрөө тодорхойлохыг хичээ, бие биенээ үгүйсгэдэг нөхцөлүүдийг анхаарч үзэхээ бүү мартаарай. Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх томъёог сайтар судлаарай, тэдгээр нь янз бүрийн асуудал, шинжлэх ухааны тооцоололд ихэвчлэн хэрэгтэй байдаг.

ax 2 + bx + c = 0 квадрат тэгшитгэлийг өгье.
y = ax 2 + bx + c функцийн график нь парабол гэсэн теоремыг батлахдаа § 13-т хийсэн хувиргалтуудыг квадрат гурвалсан 2 + bx + c-д хэрэглэцгээе.
Бидэнд байгаа

Ихэвчлэн b 2 - 4ac илэрхийлэлийг D үсгээр тэмдэглэж, ax 2 + bx + c = 0 квадрат тэгшитгэлийн дискриминант гэж нэрлэдэг (эсвэл квадрат гурвалсан ax + bx + c-ийн дискриминант).

Тиймээс

Энэ нь квадрат тэгшитгэлийг ax 2 + тэд + c = O хэлбэрээр дахин бичиж болно гэсэн үг юм.

Аливаа квадрат тэгшитгэлийг (1) хэлбэрт хувиргаж болох бөгөөд энэ нь квадрат тэгшитгэлийн язгуурын тоог тодорхойлж, эдгээр язгуурыг олоход тохиромжтой гэдгийг бид одоо үзэх болно.

Баталгаа. Хэрэв Д< 0, то правая часть уравнения (1) — отрицательное число; в то же время зүүн талтэгшитгэл (1) нь x-ийн аль ч утгын хувьд сөрөг бус утгыг авна. Энэ нь (1) тэгшитгэлийг хангах x-ийн нэг ч утга байхгүй, тиймээс (1) тэгшитгэлд үндэс байхгүй гэсэн үг юм.

Жишээ 1. 2х 2 + 4х + 7 = 0 тэгшитгэлийг шийд.
Шийдэл. Энд a = 2, b = 4, c = 7,
D = b 2 -4ac = 4 2 . 4. 2. 7 = 16-56 = -40.
Түүнээс хойш Д< 0, то по теореме 1 данное квадратное уравнение не имеет корней.

Баталгаа. Хэрэв D = 0 бол тэгшитгэл (1) хэлбэрийг авна

тэгшитгэлийн цорын ганц үндэс юм.

Тайлбар 1. x = - нь параболын оройн абсцисса бөгөөд y = ax 2 + them + c функцийн график болдог гэдгийг та санаж байна уу? Яагаад энэ
утга нь квадрат тэгшитгэлийн цорын ганц үндэс болж хувирав ax 2 + тэдгээрийг + c - 0? "Авс" нь энгийнээр нээгддэг: хэрэв D нь 0 бол бидний өмнө нь тогтоосон шиг,

Ижил функцийн график нь цэг дээр оройтой парабол юм (жишээлбэл, 98-р зургийг үз). Энэ нь параболын оройн абсцисса ба D = 0 квадрат тэгшитгэлийн цорын ганц язгуур нь ижил тоо гэсэн үг юм.

Жишээ 2. 4х 2 - 20х + 25 = 0 тэгшитгэлийг шийд.
Шийдэл. Энд a = 4, b = -20, c = 25, D = b 2 - 4ac = (-20) 2 - 4 байна. 4 . 25 = 400 - 400 = 0.

D = 0 тул теорем 2-оор энэ квадрат тэгшитгэл нэг язгууртай байна. Энэ үндсийг томъёогоор олно

Хариулт: 2.5.

Тайлбар 2. 4x 2 - 20x +25 нь төгс квадрат гэдгийг анхаарна уу: 4x 2 - 20x + 25 = (2x - 5) 2.
Хэрэв бид үүнийг шууд анзаарсан бол бид тэгшитгэлийг дараах байдлаар шийдэх байсан: (2x - 5) 2 = 0, энэ нь 2x - 5 = 0 гэсэн үг бөгөөд үүнээс бид x = 2.5-ыг авна. Ерөнхийдөө хэрэв D = 0 байвал

ax 2 + bx + c = - бид үүнийг 1-р тэмдэглэл дээр тэмдэглэсэн.
Хэрэв D > 0 бол ax 2 + bx + c = 0 квадрат тэгшитгэл нь хоёр язгууртай бөгөөд тэдгээрийг томъёогоор олдог.

Баталгаа. ax 2 + b x + c = 0 квадрат тэгшитгэлийг (1) хэлбэрээр дахин бичье.

тавья
Нөхцөлөөр бол D > 0 нь тэгшитгэлийн баруун тал эерэг тоо гэсэн үг. Дараа нь (2) тэгшитгэлээс бид үүнийг олж авна

Тэгэхээр өгөгдсөн квадрат тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй байна.

Тайлбар 3. Математикийн хувьд танилцуулсан нэр томъёо нь өдөр тутмын суурь ойлголтгүй байх нь ховор тохиолддог. Шинэ зүйл авч үзье
үзэл баримтлал - ялгаварлагч. "Ялгаварлан гадуурхах" гэдэг үгийг санаарай. Энэ нь юу гэсэн үг вэ? Энэ нь заримыг нь доромжилж, заримыг нь өргөмжилсөн гэсэн үг, өөрөөр хэлбэл. өөр хандлага
янз бүрийн хүмүүст. Хоёр үг (ялгаварлан гадуурхах ба ялгаварлан гадуурхах) Латин ялгаварлан гадуурхах - "ялгаварлах" гэсэн үгнээс гаралтай. Дискриминант нь квадрат тэгшитгэлийг язгуурын тоогоор нь ялгадаг.

Жишээ 3. 3x 2 + 8x - 11 = 0 тэгшитгэлийг шийд.
Шийдэл. Энд a = 3, b = 8, c = - 11,
D = b 2 - 4ac = 8 2 - 4. 3. (-11) = 64 + 132 = 196.
D > 0 тул теорем 3-аар энэ квадрат тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй. Эдгээр үндсийг (3) томъёоны дагуу олно.

Үнэндээ бид дараах дүрмийг боловсруулсан.

Тэгшитгэлийг шийдвэрлэх дүрэм
сүх 2 + bx + c = 0

Энэ дүрэм нь бүх нийтийнх бөгөөд энэ нь бүрэн ба бүрэн бус квадрат тэгшитгэлд хамаарна. Гэсэн хэдий ч бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг ихэвчлэн энэ дүрмийг ашиглан шийддэггүй, өмнөх догол мөрөнд бичсэн шиг тэдгээрийг шийдвэрлэх нь илүү тохиромжтой.

Жишээ 4.Тэгшитгэлийг шийдэх:

a) x 2 + 3x - 5 = 0; б) - 9х 2 + 6х - 1 = 0; в) 2х 2 -х + 3.5 = 0.

Шийдэл а) Энд a = 1, b = 3, c = - 5,
D = b 2 - 4ac = Z 2 - 4. 1 . (- 5) = 9 + 20 = 29.

D > 0 учраас энэ квадрат тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй. Бид эдгээр үндсийг (3) томъёог ашиглан олдог.

B) Туршлагаас харахад тэргүүлэх коэффициент нь эерэг байх квадрат тэгшитгэлтэй харьцах нь илүү тохиромжтой байдаг. Тиймээс эхлээд тэгшитгэлийн хоёр талыг -1-ээр үржүүлж, бид олж авна

9х 2 - 6х + 1 = 0.
Энд a = 9, b = -6, c = 1, D = b 2 - 4ac = 36 - 36 = 0 байна.
D = 0 тул энэ квадрат тэгшитгэл нь нэг үндэстэй. Энэ язгуурыг x = - томъёогоор олно. гэсэн үг,

Энэ тэгшитгэлийг өөрөөр шийдэж болно: оноос хойш
9x 2 - 6x + 1 = (Зх - IJ, тэгвэл бид (Зх - I) 2 = 0 тэгшитгэлийг авна, эндээс бид Зх - 1 = 0, өөрөөр хэлбэл x = байна.

в) Энд a = 2, b = - 1, c = 3.5, D = b 2 - 4ac = 1 - 4. 2. 3.5= 1 - 28 = - 27. Д< 0, то данное квадратное уравнение не имеет корней.

Математикчид бол практик, хэмнэлттэй хүмүүс юм. Яагаад квадрат тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд ийм урт дүрмийг ашигладаг гэж тэд шууд бичсэн нь дээр гэж хэлдэг. ерөнхий томъёо:

Хэрэв D = b 2 - 4ac дискриминант нь сөрөг тоо болох нь тогтоогдвол бичсэн томьёо нь утгагүй болно (квадрат язгуур тэмдгийн дор сөрөг тоо байна), энэ нь үндэс байхгүй гэсэн үг юм. Хэрэв ялгаварлагч нь тэгтэй тэнцүү бол бид үүнийг авна

Энэ нь нэг үндэс (тэд мөн энэ тохиолдолд квадрат тэгшитгэл нь хоёр ижил үндэстэй гэж хэлдэг:

Эцэст нь, хэрэв b 2 - 4ac > 0 байвал дээр дурдсантай ижил томъёогоор (3) тооцоолсон x 1 ба x 2 гэсэн хоёр язгуурыг авна.

Энэ тохиолдолд тоо нь өөрөө эерэг (эерэг тооны квадрат язгуур гэх мэт) бөгөөд түүний урд байгаа давхар тэмдэг нь нэг тохиолдолд (x 1-ийг олох үед) энэ эерэг тоог b тоонд нэмдэг гэсэн үг юм. өөр тохиолдолд (х 2 олох үед) энэ нь эерэг тоо юм
тооноос унших - b.

Танд сонголт хийх эрх чөлөө бий. Та дээр дурдсан дүрмийг ашиглан квадрат тэгшитгэлийг нарийвчлан шийдэхийг хүсч байна уу? Хэрэв та хүсвэл (4) томъёог даруй бичиж, шаардлагатай дүгнэлтийг гарга.

Жишээ 5. Тэгшитгэлийг шийдэх:

Шийдэл, a) Мэдээжийн хэрэг, та үүнийг харгалзан (4) эсвэл (3) томъёог ашиглаж болно энэ тохиолдолд Гэхдээ бүхэл тоотой харьцах нь илүү хялбар бөгөөд хамгийн чухал нь илүү тааламжтай байхад яагаад бутархайтай зүйл хийдэг вэ? Хуваарилагч нараас салцгаая. Үүнийг хийхийн тулд тэгшитгэлийн хоёр талыг 12-оор үржүүлэх хэрэгтэй, өөрөөр хэлбэл тэгшитгэлийн коэффициент болж буй бутархайн хамгийн бага нийтлэг хуваагчаар үржүүлэх хэрэгтэй. Бид авдаг

үүнээс 8x 2 + 10x - 7 = 0.

Одоо (4) томъёог ашиглацгаая.

B) Бид дахин бутархай коэффициент бүхий тэгшитгэлтэй болно: a = 3, b = - 0.2, c = 2.77. Тэгшитгэлийн хоёр талыг 100-аар үржүүлээд бүхэл тооны коэффициент бүхий тэгшитгэл гарна.
300x 2 - 20x + 277 = 0.
Дараа нь бид (4) томъёог ашиглана:

Энгийн тооцоолол нь ялгаварлагч (радикал илэрхийлэл) нь сөрөг тоо гэдгийг харуулж байна. Энэ нь тэгшитгэл нь үндэсгүй гэсэн үг юм.

Жишээ 6.Тэгшитгэлийг шийд
Шийдэл. Энд өмнөх жишээнээс ялгаатай нь товчилсон томъёоны (4) дагуу биш, харин дүрмийн дагуу ажиллахыг илүүд үздэг.

Бидэнд a = 5, b = -, c = 1, D = b 2 - 4ac = (-) 2 - 4 байна. 5 . 1 = 60 - 20 = 40. D > 0 учраас квадрат тэгшитгэл нь хоёр язгууртай бөгөөд бид үүнийг (3) томъёог ашиглан хайх болно.

Жишээ 7.Тэгшитгэлийг шийд
x 2 - (2p + 1)x + (p 2 +p-2) = 0

Шийдэл. Энэхүү квадрат тэгшитгэл нь өнөөг хүртэл авч үзсэн бүх квадрат тэгшитгэлээс ялгаатай нь коэффициентүүд нь тодорхой тоо биш, харин үсгийн илэрхийлэл юм. Ийм тэгшитгэлийг үсгийн коэффициент бүхий тэгшитгэл эсвэл параметртэй тэгшитгэл гэж нэрлэдэг. Энэ тохиолдолд параметр (үсэг) p нь хоёр дахь коэффициент болон тэгшитгэлийн чөлөөт гишүүнд багтана.
Ялгаварлагчийг олцгооё:

Жишээ 8. px 2 + (1 - p) x - 1 = 0 тэгшитгэлийг шийд.
Шийдэл. Энэ нь мөн p параметртэй тэгшитгэл боловч өмнөх жишээнээс ялгаатай нь (4) эсвэл (3) томъёог ашиглан шууд шийдвэрлэх боломжгүй юм. Баримт нь заасан томьёо нь квадрат тэгшитгэлд хамаарах боловч өгөгдсөн тэгшитгэлийн талаар бид хараахан хэлж чадахгүй байна. Үнэхээр, хэрэв p = 0 бол яах вэ? Дараа нь
тэгшитгэл нь 0 хэлбэрийг авна. x 2 + (1-0)x- 1 = 0, өөрөөр хэлбэл x - 1 = 0, үүнээс бид x = 1-ийг олж авдаг. Хэрэв та үүнийг баттай мэдэж байгаа бол квадратын язгуурын томъёог ашиглаж болно. тэгшитгэл:

Квадрат тэгшитгэл. Ялгаварлан гадуурхагч. Шийдэл, жишээ.

Анхаар!
Нэмэлт байдаг
Тусгай хэсгийн 555 дахь материал.
Маш "их биш..." хүмүүст зориулав.
Мөн "маш их ..." гэсэн хүмүүст)

Квадрат тэгшитгэлийн төрлүүд

Квадрат тэгшитгэл гэж юу вэ? Энэ юу шиг харагдаж байна? Хугацааны хувьд квадрат тэгшитгэлтүлхүүр үг нь "дөрвөлжин".Энэ нь тэгшитгэлд гэсэн үг юм Заавал x квадрат байх ёстой. Үүнээс гадна тэгшитгэл нь зөвхөн X (эхний зэрэглэлд) ба зөвхөн тоог агуулж болно (эсвэл үгүй ​​ч байж болно!) (чөлөөт гишүүн).Мөн хоёроос их чадалд X байх ёсгүй.

Математикийн хувьд квадрат тэгшитгэл нь дараахь хэлбэрийн тэгшитгэл юм.

Энд a, b ба c- зарим тоо. б ба в- туйлын ямар ч, гэхдээ А- тэгээс бусад бүх зүйл. Жишээлбэл:

Энд А =1; б = 3; в = -4

Энд А =2; б = -0,5; в = 2,2

Энд А =-3; б = 6; в = -18

За ойлголоо...

Эдгээр квадрат тэгшитгэлд зүүн талд байна бүрэн багцгишүүд. X коэффициент бүхий квадрат А, x-ийг коэффициенттэй эхний зэрэглэлд шилжүүлнэ бТэгээд чөлөөт гишүүн С.

Ийм квадрат тэгшитгэл гэж нэрлэдэг дүүрэн.

Тэгээд хэрэв б= 0, бид юу авах вэ? Бидэнд байгаа X нь эхний хүчийг алдах болно.Энэ нь тэгээр үржихэд тохиолддог.) Энэ нь жишээлбэл:

5х 2 -25 = 0,

2х 2 -6х=0,

-x 2 +4x=0

гэх мэт. Хэрэв хоёулаа коэффициент байвал бТэгээд втэгтэй тэнцүү бол энэ нь бүр ч хялбар болно:

2х 2 =0,

-0.3x 2 =0

Ямар нэг зүйл дутуу байгаа ийм тэгшитгэлийг нэрлэдэг бүрэн бус квадрат тэгшитгэл.Энэ нь нэлээд логик юм.) Бүх тэгшитгэлд x квадрат байгааг анхаарна уу.

Дашрамд хэлэхэд яагаад Атэгтэй тэнцүү байж болохгүй гэж үү? Та оронд нь орлоно Атэг.) Манай X квадрат алга болно! Тэгшитгэл нь шугаман болно. Мөн шийдэл нь огт өөр ...

Энэ бол квадрат тэгшитгэлийн бүх үндсэн төрлүүд юм. Бүрэн ба бүрэн бус.

Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх.

Бүрэн квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх.

Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд хялбар байдаг. Томъёо, ойлгомжтой, энгийн дүрмийн дагуу. Эхний шатанд өгөгдсөн тэгшитгэлийг стандарт хэлбэрт оруулах шаардлагатай, жишээлбэл. маягт руу:

Хэрэв тэгшитгэлийг энэ хэлбэрээр аль хэдийн өгсөн бол та эхний шатыг хийх шаардлагагүй.) Хамгийн гол нь бүх коэффициентийг зөв тодорхойлох, А, бТэгээд в.

Квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг олох томъёо дараах байдалтай байна.

Үндэс тэмдгийн доорх илэрхийллийг дуудна ялгаварлагч. Гэхдээ түүний тухай доороос илүү ихийг өгүүлье. Таны харж байгаагаар бид X-г олохын тулд ашигладаг зөвхөн a, b ба c. Тэдгээр. квадрат тэгшитгэлийн коэффициентүүд. Зүгээр л утгыг болгоомжтой орлуулах хэрэгтэй a, b ба cБид энэ томъёогоор тооцоолно. Орлуулж үзье өөрийн шинж тэмдгээр! Жишээлбэл, тэгшитгэлд:

А =1; б = 3; в= -4. Энд бид үүнийг бичнэ:

Жишээ нь бараг шийдэгдсэн:

Энэ бол хариулт юм.

Бүх зүйл маш энгийн. Юу вэ, та алдаа гаргах боломжгүй гэж бодож байна уу? За, тийм ээ, яаж ...

Хамгийн түгээмэл алдаа бол тэмдгийн утгыг төөрөгдүүлэх явдал юм a, b ба c. Өөрөөр хэлбэл, тэдгээрийн шинж тэмдгээр биш (хаана андуурч байна вэ?), Харин сөрөг утгыг үндсийг тооцоолох томъёонд орлуулах замаар. Энд туслах зүйл бол тодорхой тоогоор томъёоны нарийвчилсан бичлэг юм. Хэрэв тооцоололд асуудал гарвал Үүнийг хийх!

Бид дараах жишээг шийдэх хэрэгтэй гэж бодъё.

Энд а = -6; б = -5; в = -1

Та анх удаа хариулт авах нь ховор гэдгийг мэддэг гэж бодъё.

За, битгий залхуу бай. Нэмэлт мөр бичихэд 30 секунд зарцуулагдана. Мөн алдааны тоо огцом буурах болно. Тиймээс бид бүх хаалт, тэмдгүүдийн хамт дэлгэрэнгүй бичнэ.

Ийм анхааралтай бичих нь үнэхээр хэцүү юм шиг санагддаг. Гэхдээ энэ нь зөвхөн тийм юм шиг санагддаг. Үүнийг нэг туршаад. За, эсвэл сонго. Аль нь дээр вэ, хурдан эсвэл зөв үү? Түүнээс гадна би чамайг баярлуулах болно. Хэсэг хугацааны дараа бүх зүйлийг маш болгоомжтой бичих шаардлагагүй болно. Энэ нь өөрөө бие даан ажиллах болно. Ялангуяа та доор тайлбарласан практик техникийг ашигладаг бол. Олон тооны хасах зүйлтэй энэ муу жишээг амархан, алдаагүйгээр шийдэж болно!

Гэхдээ ихэнхдээ квадрат тэгшитгэлүүд арай өөр харагддаг. Жишээлбэл, иймэрхүү:

Та үүнийг таньсан уу?) Тийм ээ! Энэ бүрэн бус квадрат тэгшитгэл.

Бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх.

Тэдгээрийг мөн ерөнхий томъёогоор шийдэж болно. Энд тэд юутай тэнцүү болохыг та зүгээр л зөв ойлгох хэрэгтэй. a, b ба c.

Та үүнийг олж мэдсэн үү? Эхний жишээнд a = 1; b = -4;А в? Энэ нь огт байхгүй! За, тийм ээ, зөв. Математикийн хувьд энэ нь тийм гэсэн үг юм c = 0 ! Тэгээд л болоо. Томъёоны оронд тэгийг орлуулаарай в,мөн бид амжилтанд хүрнэ. Хоёр дахь жишээн дээр мөн адил. Зөвхөн энд тэг байхгүй -тай, А б !

Гэхдээ бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг илүү энгийнээр шийдэж болно. Ямар ч томьёогүйгээр. Эхний бүрэн бус тэгшитгэлийг авч үзье. Та зүүн талд юу хийж чадах вэ? Та X-г хаалтнаас гаргаж болно! Үүнийг гаргаж авцгаая.

Тэгээд үүнээс юу вэ? Мөн хүчин зүйлүүдийн аль нэг нь тэгтэй тэнцүү байвал бүтээгдэхүүн нь тэгтэй тэнцүү байна! Надад итгэхгүй байна уу? За тэгвэл үржүүлбэл тэг өгөх хоёр тэгээс өөр тоо гар!
Ажиллахгүй байна? Ингээд л болоо...
Тиймээс бид итгэлтэйгээр бичиж болно: x 1 = 0, x 2 = 4.

Бүгд. Эдгээр нь бидний тэгшитгэлийн үндэс байх болно. Аль аль нь тохиромжтой. Тэдгээрийн аль нэгийг нь анхны тэгшитгэлд орлуулахад бид 0 = 0 зөв таних тэмдгийг олж авна. Таны харж байгаагаар шийдэл нь ерөнхий томъёог ашиглахаас хамаагүй хялбар юм. Дашрамд хэлэхэд, аль X нь эхнийх, аль нь хоёрдугаарт орохыг огт хайхрамжгүй болгоё. Энэ нь дарааллаар бичихэд тохиромжтой, x 1- юу нь бага ба x 2- энэ нь илүү агуу юм.

Хоёр дахь тэгшитгэлийг бас энгийнээр шийдэж болно. 9-ийг баруун тийш шилжүүлнэ үү. Бид авах:

9-ээс үндсийг нь гаргаж авахад л үлдлээ, тэгээд л болоо. Энэ нь гарах болно:

Мөн хоёр үндэс . x 1 = -3, x 2 = 3.

Бүрэн бус бүх квадрат тэгшитгэлийг ингэж шийддэг. Хаалтанд X-г оруулах, эсвэл зүгээр л тоог баруун тийш шилжүүлж, үндсийг нь гаргаж авна.
Эдгээр техникийг төөрөлдүүлэх нь туйлын хэцүү байдаг. Зүгээр л учир нь эхний тохиолдолд та ямар нэгэн байдлаар ойлгомжгүй X-ийн үндсийг задлах хэрэгтэй болно, хоёр дахь тохиолдолд хаалтнаас гаргах зүйл байхгүй ...

Ялгаварлан гадуурхагч. Ялгаварлах томъёо.

Шидэт үг ялгаварлагч ! Энэ үгийг сонсоогүй ахлах сургуулийн сурагч ховор байх! "Бид ялгаварлан гадуурхах замаар шийддэг" гэсэн хэллэг нь өөртөө итгэх итгэл, итгэлийг төрүүлдэг. Яагаад гэвэл ялгаварлагчаас заль мэхийг хүлээх шаардлагагүй! Ашиглахад хялбар бөгөөд асуудалгүй.) Шийдвэрлэх хамгийн ерөнхий томъёог танд сануулж байна ямар чквадрат тэгшитгэл:

Үндэс тэмдгийн доорх илэрхийлэлийг дискриминант гэж нэрлэдэг. Ихэвчлэн ялгаварлагчийг үсгээр тэмдэглэдэг Д. Ялгаварлах томъёо:

D = b 2 - 4ac

Мөн энэ илэрхийлэл нь юугаараа гайхалтай вэ? Яагаад тусгай нэр авах ёстой байсан бэ? Юу ялгаварлагчийн утга нь юу вэ?Эцэст нь -б,эсвэл 2аэнэ томъёонд тэд тусгайлан юу ч гэж нэрлэдэггүй ... Үсэг, үсэг.

Энэ нь энд байна. Энэ томьёог ашиглан квадрат тэгшитгэлийг шийдэхэд боломжтой ердөө гурван тохиолдол.

1. Ялгаварлагч эерэг байна.Энэ нь үндсийг нь гаргаж авах боломжтой гэсэн үг юм. Үндэс нь сайн олборлосон уу, муу уу гэдэг нь өөр асуудал. Зарчмын хувьд юу олборлож байгаа нь чухал. Тэгвэл таны квадрат тэгшитгэл хоёр үндэстэй. Хоёр өөр шийдэл.

2. Дискриминант нь тэг байна.Дараа нь танд нэг шийдэл байх болно. Учир нь тоологч дээр тэг нэмэх, хасах нь юу ч өөрчлөгдөхгүй. Хатуухан хэлэхэд энэ нь нэг үндэс биш, гэхдээ хоёр ижил. Гэхдээ хялбаршуулсан хувилбараар ярих нь заншилтай байдаг нэг шийдэл.

3. Ялгаварлагч сөрөг байна.Сөрөг тооны квадрат язгуурыг авах боломжгүй. За яахав. Энэ нь ямар ч шийдэл байхгүй гэсэн үг юм.

Үнэнийг хэлэхэд, хэзээ энгийн шийдэлКвадрат тэгшитгэлийн хувьд дискриминантын тухай ойлголт онцгой шаардлагагүй. Бид коэффициентийн утгыг томъёонд орлуулж, тоолно. Тэнд бүх зүйл өөрөө тохиолддог, хоёр үндэс, нэг, аль нь ч байхгүй. Гэсэн хэдий ч мэдлэггүйгээр илүү төвөгтэй ажлуудыг шийдвэрлэхэд ялгаварлагчийн утга, томьёохангалтгүй. Ялангуяа параметр бүхий тэгшитгэлд. Ийм тэгшитгэлүүд нь Улсын шалгалт, Улсын нэгдсэн шалгалтанд зориулсан нисэх онгоц юм!)

Тэгэхээр, квадрат тэгшитгэлийг хэрхэн шийдвэрлэхТаны санаж байсан ялгаварлагчаар дамжуулан. Эсвэл та сурсан, энэ нь бас муу биш юм.) Та хэрхэн зөв тодорхойлохоо мэддэг a, b ба c. Та яаж мэдэх вэ? анхааралтайтэдгээрийг үндсэн томъёонд орлуулах ба анхааралтайүр дүнг тоол. Энд байгаа түлхүүр үг гэдгийг та ойлгож байна анхааралтай уу?

Одоо алдааны тоог эрс багасгадаг практик аргуудыг анхаарч үзээрэй. Анхаарал болгоомжгүйгээс болж үүсдэг тэр л зүйлүүд... Үүний төлөө сүүлдээ өвдөж, гомдоодог...

Эхний уулзалт . Квадрат тэгшитгэлийг шийдэхээсээ өмнө залхуу байж, стандарт хэлбэрт оруулах хэрэггүй. Энэ юу гэсэн үг вэ?
Бүх хувиргалтын дараа та дараах тэгшитгэлийг авна гэж бодъё.

Үндэс томъёог бичих гэж бүү яар! Та магадлалыг бараг л хольж хутгана a, b ба c.Жишээг зөв зохио. Эхлээд X квадрат, дараа нь квадратгүй, дараа нь чөлөөт гишүүн. Үүн шиг:

Мөн дахин, бүү яар! X квадратын өмнөх хасах нь таныг үнэхээр бухимдуулж чадна. Мартах амархан... Хасах зүйлээ хая. Хэрхэн? Тиймээ, өмнөх сэдвээр заасны дагуу! Бид бүхэл тэгшитгэлийг -1-ээр үржүүлэх хэрэгтэй. Бид авах:

Харин одоо та үндэсийн томъёог аюулгүй бичиж, ялгаварлагчийг тооцоолж, жишээг шийдэж дуусгах боломжтой. Өөрийнхөө төлөө шийд. Та одоо 2 ба -1 үндэстэй байх ёстой.

Хоёр дахь хүлээн авалт. Үндэсийг шалгана уу! Вьетагийн теоремын дагуу. Битгий ай, би бүгдийг тайлбарлах болно! Шалгаж байна сүүлчийн зүйлтэгшитгэл. Тэдгээр. бидний язгуур томьёог бичдэг байсан. Хэрэв (энэ жишээн дээрх шиг) коэффициент a = 1, үндсийг нь шалгах нь амархан. Тэднийг үржүүлэхэд хангалттай. Үр дүн нь чөлөөт гишүүн байх ёстой, i.e. манай тохиолдолд -2. Анхаарна уу, 2 биш, харин -2! Чөлөөт гишүүн таны тэмдгээр . Хэрэв энэ нь болохгүй бол тэд аль хэдийн хаа нэгтээ залхаасан гэсэн үг. Алдааг хай.

Хэрэв энэ нь ажиллаж байгаа бол та үндсийг нэмэх хэрэгтэй. Сүүлийн ба эцсийн шалгалт. Коэффицент нь байх ёстой б-тай эсрэг танил. Манай тохиолдолд -1+2 = +1. Коэффицент б X-ийн өмнө байгаа нь -1-тэй тэнцүү байна. Тиймээс, бүх зүйл зөв байна!
Зөвхөн х квадрат нь цэвэр, коэффициенттэй жишээнүүдэд энэ нь маш энгийн байдаг нь харамсалтай a = 1.Гэхдээ ядаж ийм тэгшитгэлийг шалгаарай! Алдаа багасах болно.

Гурав дахь хүлээн авалт . Хэрэв таны тэгшитгэл бутархай коэффициенттэй бол бутархайг зайлуул! Тэгшитгэлийг "Тэгшитгэлийг хэрхэн шийдвэрлэх вэ? Биеийн хувиргалт" хичээлд тайлбарласны дагуу нийтлэг хуваагчаар үржүүлнэ. Бутархайтай ажиллахад яагаад ч юм алдаа гарсаар л байдаг...

Дашрамд хэлэхэд би муу жишээг олон тооны хасах зүйлээр хялбарчлахаа амласан. Гуйя! Тэр энд байна.

Хасах тал дээр төөрөлдөхгүйн тулд бид тэгшитгэлийг -1-ээр үржүүлнэ. Бид авах:

Тэгээд л болоо! Шийдэх нь таашаал юм!

Ингээд сэдвийг тоймлон хүргэе.

Практик зөвлөгөө:

1. Шийдвэрлэхийн өмнө квадрат тэгшитгэлийг стандарт хэлбэрт оруулж, байгуулна Зөв.

2. Хэрвээ X квадратын өмнө сөрөг коэффициент байвал тэгшитгэлийг бүхэлд нь -1-ээр үржүүлж арилгана.

3. Хэрэв коэффициентүүд нь бутархай бол бид бүхэл тэгшитгэлийг харгалзах хүчин зүйлээр үржүүлж бутархайг арилгана.

4. Хэрэв x квадрат нь цэвэр бол түүний коэффициент нэгтэй тэнцүү бол шийдлийг Виетийн теоремыг ашиглан хялбархан шалгаж болно. Үүнийг хий!

Одоо бид шийдэж чадна.)

Тэгшитгэлийг шийдэх:

8х 2 - 6х + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Хариултууд (эмх замбараагүй):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1.2 =2

x 1 = 2
x 2 = -0.5

x - дурын тоо

x 1 = -3
x 2 = 3

шийдэл байхгүй

x 1 = 0.25
x 2 = 0.5

Бүх зүйл таарч байна уу? Агуу их! Квадрат тэгшитгэл бол таны зүйл биш юм толгой өвдөх. Эхний гурав нь ажилласан, харин бусад нь ажилласангүй? Тэгвэл асуудал нь квадрат тэгшитгэлд биш юм. Асуудал нь тэгшитгэлийн ижил хувиргалтуудад байна. Холбоосыг хараарай, энэ нь тустай.

Бүрэн бүтэхгүй байна уу? Эсвэл огт болохгүй байна уу? Дараа нь 555-р хэсэг танд туслах болно.Эдгээр бүх жишээг энд задалсан болно. Үзүүлсэн голшийдэл дэх алдаа. Мэдээжийн хэрэг, бид янз бүрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ижил хувиргалтыг ашиглах талаар бас ярьдаг. Маш их тусалдаг!

Хэрэв танд энэ сайт таалагдаж байвал...

Дашрамд хэлэхэд, би танд зориулж хэд хэдэн сонирхолтой сайт байна.)

Та жишээ шийдвэрлэх дадлага хийж, өөрийнхөө түвшинг олж мэдэх боломжтой. Шуурхай баталгаажуулалт бүхий туршилт. Сурцгаая - сонирхолтой!)

Та функц, деривативтай танилцах боломжтой.

Ном зүйн тайлбар:Гасанов А.Р., Курамшин А.А., Элков А.А., Шилненков Н.В., Уланов Д.Д., Шмелева О.В. Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргууд // Залуу эрдэмтэн. 2016. No 6.1. P. 17-20..03.2019).



Манай төсөл бол квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга замуудын тухай юм. Төслийн зорилго: Квадрат тэгшитгэлийг сургуулийн сургалтын хөтөлбөрт тусгаагүй аргаар шийдэж сурах. Даалгавар: бүгдийг олох боломжит арга замуудквадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх, тэдгээрийг хэрхэн ашиглах талаар суралцах, эдгээр аргуудыг ангийнхандаа танилцуулах.

"Квадрат тэгшитгэл" гэж юу вэ?

Квадрат тэгшитгэл- хэлбэрийн тэгшитгэл сүх2 + bx + c = 0, Хаана а, б, в- зарим тоо ( a ≠ 0), x- үл мэдэгдэх.

a, b, c тоонуудыг квадрат тэгшитгэлийн коэффициент гэж нэрлэдэг.

• a нь эхний коэффициент гэж нэрлэгддэг;
• b-ийг хоёр дахь коэффициент гэж нэрлэдэг;
• в - чөлөөт гишүүн.

Квадрат тэгшитгэлийг анх хэн зохион бүтээсэн бэ?

Шугаман ба квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх зарим алгебрийн аргуудыг 4000 жилийн өмнө эртний Вавилонд мэддэг байсан. МЭӨ 1800-1600 оны хооронд үүссэн эртний Вавилоны шавар шахмалуудыг олсон нь квадрат тэгшитгэлийн судалгааны хамгийн эртний нотолгоо юм. Ижил шахмалууд нь тодорхой төрлийн квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргуудыг агуулдаг.

Зөвхөн эхний төдийгүй хоёрдугаар зэргийн тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгцээ нь эрт дээр үед ч гэсэн газар нутгийн талбайг олох, цэргийн шинж чанартай газар шорооны ажилтай холбоотой асуудлыг шийдвэрлэх хэрэгцээ шаардлагаас үүдэлтэй байв. одон орон, математикийн хөгжлийн нэгэн адил.

Вавилоны бичвэрт дурдсан эдгээр тэгшитгэлийг шийдэх дүрэм нь орчин үеийнхтэй үндсэндээ давхцаж байгаа боловч вавилончууд энэ дүрэмд хэрхэн хүрсэн нь тодорхойгүй байна. Өнөөг хүртэл олдсон бараг бүх дөрвөлжин бичвэрүүд нь зөвхөн жор хэлбэрээр гаргасан шийдлийн асуудлуудыг өгдөг бөгөөд тэдгээрийг хэрхэн олсон тухай ямар ч заалт байхгүй. Гэсэн хэдий ч өндөр түвшинВавилон дахь алгебрийн хөгжил, дөрвөлжин бичвэрт сөрөг тооны тухай ойлголт байхгүй ба ерөнхий аргуудквадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх.

МЭӨ 4-р зууны үеийн Вавилоны математикчид. эерэг язгууртай тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд квадратын нөхөх аргыг ашигласан. МЭӨ 300 орчим Евклид илүү ерөнхий геометрийн шийдлийн аргыг гаргаж ирэв. Сөрөг язгууртай тэгшитгэлийн шийдлийг алгебрийн томъёо хэлбэрээр олсон анхны математикч бол Энэтхэгийн эрдэмтэн юм. Брахмагупта(Энэтхэг, МЭ 7-р зуун).

Брахмагупта нэг каноник хэлбэрт шилжүүлсэн квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх ерөнхий дүрмийг гаргажээ.

ax2 + bx = c, a>0

Энэ тэгшитгэлийн коэффициентүүд нь сөрөг байж болно. Брахмагуптагийн дүрэм үндсэндээ биднийхтэй адил юм.

Хэцүү асуудлыг шийдэх олон нийтийн тэмцээн Энэтхэгт түгээмэл байсан. Энэтхэгийн эртний номнуудын нэгэнд ийм уралдааны тухай: "Нар оддыг гялалзуулж, гялалзуулдаг шиг эрдэмт хүн олон нийтийн цуглаан дээр алгебрийн бодлого дэвшүүлж, түүгээр алдар нэрээ гялалзуулна" гэж бичсэн байдаг. Асуудлыг ихэвчлэн яруу найргийн хэлбэрээр танилцуулдаг байв.

Алгебрийн зохиолд Аль-Хорезмишугаман ба квадрат тэгшитгэлийн ангиллыг өгсөн болно. Зохиогч 6 төрлийн тэгшитгэлийг тоолж, дараах байдлаар илэрхийлэв.

1) "Квадратууд нь үндэстэй тэнцүү", өөрөөр хэлбэл ax2 = bx.

2) "Квадратууд нь тоонуудтай тэнцүү", өөрөөр хэлбэл ax2 = c.

3) "Үндэс нь тоотой тэнцүү", өөрөөр хэлбэл ax2 = c.

4) "Квадрат ба тоонууд нь язгууртай тэнцүү", өөрөөр хэлбэл ax2 + c = bx.

5) "Квадрат ба үндэс нь тоотой тэнцүү" өөрөөр хэлбэл ax2 + bx = c.

6) "Үндэс ба тоо нь квадраттай тэнцүү", өөрөөр хэлбэл bx + c == ax2.

Сөрөг тоо хэрэглэхээс зайлсхийсэн Аль-Хорезмигийн хувьд эдгээр тэгшитгэл бүрийн нөхцөл нь хасах биш харин нэмэх юм. Энэ тохиолдолд эерэг шийдэлгүй тэгшитгэлийг тооцохгүй нь ойлгомжтой. Зохиогч аль-жабр ба аль-мукабалын техникийг ашиглан эдгээр тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргуудыг тодорхойлсон. Мэдээжийн хэрэг, түүний шийдвэр биднийхтэй бүрэн нийцэхгүй байна. Энэ нь цэвэр риторик гэдгийг дурдахгүй, жишээлбэл, нэгдүгээр төрлийн бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ Аль-Хорезми 17-р зууныг хүртэл бүх математикчдын нэгэн адил тэг шийдийг харгалздаггүй болохыг тэмдэглэх нь зүйтэй. тодорхой учраас тэр байх практик асуудлуудхамаагүй. Аль-Хорезми бүрэн квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ тодорхой тоон жишээнүүд, дараа нь тэдгээрийн геометрийн нотолгоог ашиглан тэдгээрийг шийдвэрлэх дүрмийг тодорхойлсон.

Европ дахь Аль-Хорезмигийн загвараар квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх хэлбэрийг анх 1202 онд бичсэн "Абакийн ном"-д тусгасан болно. Италийн математикч Леонард Фибоначчи. Зохиогч нь асуудлыг шийдэх шинэ алгебрийн жишээг бие даан боловсруулж, Европт сөрөг тоог нэвтрүүлэхэд анх удаа хандсан.

Энэ ном нь зөвхөн Италид төдийгүй Герман, Франц болон Европын бусад орнуудад алгебрийн мэдлэгийг түгээхэд хувь нэмэр оруулсан. Энэ номны олон асуудлыг 14-17-р зууны бараг бүх Европын сурах бичигт ашигласан. Ерөнхий дүрэм b, c тэмдэг ба коэффициентүүдийн боломжит бүх хослолын хувьд x2 + bх = с нэг каноник хэлбэрт буулгасан квадрат тэгшитгэлийн шийдлийг 1544 онд Европт томъёолсон. М.Штифель.

Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх томъёоны гарал үүсэлтэй ерөнхий үзэлВьетнамд байдаг, гэхдээ Вьетнам зөвхөн эерэг үндсийг хүлээн зөвшөөрсөн. Италийн математикчид Тарталиа, Кардано, Бомбелли 16-р зууны анхны хүмүүсийн нэг. Эерэг зүйлээс гадна сөрөг үндсийг харгалзан үздэг. Зөвхөн 17-р зуунд. хүчин чармайлтын ачаар Жирард, Декарт, Ньютонболон бусад эрдэмтдийн үзэж байгаагаар квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга нь орчин үеийн хэлбэрийг авдаг.

Квадрат тэгшитгэлийг шийдэх хэд хэдэн аргыг авч үзье.

-аас квадрат тэгшитгэлийг шийдэх стандарт аргууд сургуулийн сургалтын хөтөлбөр:

1. Тэгшитгэлийн зүүн талын хүчин зүйл.
2. Бүрэн квадратыг сонгох арга.
3. Томьёог ашиглан квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх.
4. Квадрат тэгшитгэлийн график шийдэл.
5. Виетийн теоремыг ашиглан тэгшитгэлийг шийдвэрлэх.

Виетийн теоремыг ашиглан багасгасан ба буураагүй квадрат тэгшитгэлийн шийдлийн талаар илүү дэлгэрэнгүй авч үзье.

Дээрх квадрат тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд үржвэр нь чөлөөт гишүүнтэй тэнцүү, нийлбэр нь эсрэг тэмдэгтэй хоёр дахь коэффициенттэй тэнцүү хоёр тоог олоход хангалттай гэдгийг санаарай.

Жишээ.x 2 -5x+6=0

Үржвэр нь 6, нийлбэр нь 5 тоонуудыг олох хэрэгтэй. Эдгээр тоо нь 3 ба 2 болно.

Хариулт: x 1 =2, x 2 =3.

Гэхдээ та энэ аргыг эхний коэффициент нь нэгтэй тэнцүү биш тэгшитгэлд ашиглаж болно.

Жишээ.3x 2 +2х-5=0

Эхний коэффициентийг аваад чөлөөт гишүүнээр үржүүлнэ: x 2 +2x-15=0

Энэ тэгшитгэлийн үндэс нь үржвэр нь - 15, нийлбэр нь - 2-той тэнцүү тоонууд байх болно. Эдгээр тоо нь 5 ба 3. Анхны тэгшитгэлийн язгуурыг олохын тулд үүссэн язгууруудыг эхний коэффициентэд хуваана.

Хариулт: x 1 =-5/3, x 2 =1

6. "Шидэх" аргыг ашиглан тэгшитгэлийг шийдвэрлэх.

a≠0 байх ax 2 + bx + c = 0 квадрат тэгшитгэлийг авч үзье.

Хоёр талыг а-аар үржүүлснээр a 2 x 2 + abx + ac = 0 тэгшитгэлийг олж авна.

ax = y, эндээс x = y/a; дараа нь өгөгдсөнтэй тэнцэх y 2 + by + ac = 0 тэгшитгэлд хүрнэ. Бид 1 ба 2-ын үндсийг Виетийн теоремыг ашиглан олно.

Эцэст нь бид x 1 = y 1 /a ба x 2 = y 2 / a-г авна.

Энэ аргын тусламжтайгаар a коэффициентийг "шидсэн" мэт чөлөөт нэр томъёогоор үржүүлдэг тул үүнийг "шидэх" арга гэж нэрлэдэг. Энэ аргыг Виетийн теоремыг ашиглан тэгшитгэлийн язгуурыг хялбархан олох боломжтой, хамгийн чухал нь ялгаварлагч нь яг квадрат байх үед ашигладаг.

Жишээ.2x 2 - 11x + 15 = 0.

Коэффицент 2-г чөлөөт гишүүн рүү “шидээд” орлуулалт хийгээд y 2 - 11y + 30 = 0 тэгшитгэлийг гаргацгаая.

Вьетагийн урвуу теоремын дагуу

y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2.5; y 2 ​​= 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3.

Хариулт: x 1 =2.5; X 2 = 3.

7. Квадрат тэгшитгэлийн коэффициентийн шинж чанарууд.

ax 2 + bx + c = 0 квадрат тэгшитгэлийг a ≠ 0 өгье.

1. Хэрэв a+ b + c = 0 (өөрөөр хэлбэл тэгшитгэлийн коэффициентүүдийн нийлбэр тэг) бол x 1 = 1 байна.

2. Хэрэв a - b + c = 0, эсвэл b = a + c бол x 1 = - 1 болно.

Жишээ.345x 2 - 137x - 208 = 0.

a + b + c = 0 (345 - 137 - 208 = 0) тул x 1 = 1, x 2 = -208/345 болно.

Хариулт: x 1 =1; X 2 = -208/345 .

Жишээ.132x 2 + 247x + 115 = 0

Учир нь a-b+c = 0 (132 - 247 +115=0), тэгвэл x 1 = - 1, x 2 = - 115/132

Хариулт: x 1 = - 1; X 2 =- 115/132

Квадрат тэгшитгэлийн коэффициентүүдийн бусад шинж чанарууд байдаг. гэхдээ тэдгээрийн хэрэглээ нь илүү төвөгтэй байдаг.

8. Номограмм ашиглан квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх.

Зураг 1. Номограмм

Энэ бол хуучин бөгөөд одоо мартагдсан квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга бөгөөд цуглуулгын 83-р хуудсанд байрлуулсан: Bradis V.M. Дөрвөн оронтой математикийн хүснэгтүүд. - М., Боловсрол, 1990.

Хүснэгт XXII. Тэгшитгэлийг шийдвэрлэх номограмм z 2 + pz + q = 0. Энэхүү номограмм нь квадрат тэгшитгэлийг шийдэхгүйгээр түүний коэффициентүүдээс тэгшитгэлийн үндсийг тодорхойлох боломжийг олгодог.

Номограммын муруйн хуваарийг томъёоны дагуу бүтээв (Зураг 1):

Итгэж байна OS = p, ED = q, OE = a(бүгд см-ээр), 1-р зурагт гурвалжны ижил төстэй байдал САНТэгээд CDFБид пропорцийг авдаг

Энэ нь орлуулалт болон хялбаршуулсаны дараа тэгшитгэлийг гаргана z 2 + pz + q = 0,болон захидал zмуруй хуваарийн аль ч цэгийн тэмдгийг хэлнэ.

Цагаан будаа. 2 Номограмм ашиглан квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

Жишээ.

1) тэгшитгэлийн хувьд z 2 - 9z + 8 = 0номограмм нь z 1 = 8.0 ба z 2 = 1.0 үндэсийг өгдөг

Хариулт: 8.0; 1.0.

2) Номограмм ашиглан бид тэгшитгэлийг шийддэг

2z 2 - 9z + 2 = 0.

Энэ тэгшитгэлийн коэффициентийг 2-т хуваавал z 2 - 4.5z + 1 = 0 тэгшитгэлийг авна.

Номограмм нь z 1 = 4 ба z 2 = 0.5 үндэсийг өгдөг.

Хариулт: 4; 0.5.

9. Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх геометрийн арга.

Жишээ.X 2 + 10x = 39.

Эх хувилбарт энэ бодлогыг "Квадрат ба арван язгуур нь 39-тэй тэнцүү байна" гэж томъёолсон.

Х талтай дөрвөлжин талбайг авч үзье, тэгш өнцөгтүүдийг түүний тал дээр барьсан бөгөөд тэдгээрийн нөгөө тал нь 2.5 байх тул тус бүрийн талбай нь 2.5x байна. Үр дүнгийн зургийг дараа нь ABCD шинэ дөрвөлжин болгон нэмж, булангуудад дөрвөн тэнцүү квадратыг барьж, тус бүрийн тал нь 2.5, талбай нь 6.25 байна.

Цагаан будаа. 3 График арга x 2 + 10x = 39 тэгшитгэлийн шийдэл

ABCD квадратын S талбайг: анхны квадрат х 2, дөрвөн тэгш өнцөгт (4∙2,5х = 10х) ба дөрвөн нэмэлт квадрат (6,25∙4 = 25) талбайн нийлбэрээр илэрхийлж болно. S = x 2 + 10x = 25. x 2 + 10x-ийг 39 тоогоор сольсноор бид S = 39 + 25 = 64 гэсэн утгатай бөгөөд энэ нь квадратын тал нь ABCD, өөрөөр хэлбэл. сегмент AB = 8. Анхны квадратын шаардлагатай х талын хувьд бид олж авна

10. Безоутын теоремыг ашиглан тэгшитгэлийг шийдвэрлэх.

Безутын теорем. P(x) олон гишүүнтийг x - α хоёр гишүүнд хуваахад үлдэгдэл нь P(α)-тай тэнцүү байна (өөрөөр хэлбэл, x = α үед P(x)-ийн утга).

Хэрэв α тоо нь P(x) олон гишүүнтийн үндэс бол энэ олон гишүүнт x -α-д үлдэгдэлгүй хуваагдана.

Жишээ.x²-4x+3=0

Р(x)= x²-4x+3, α: ±1,±3, α =1, 1-4+3=0. P(x)-ийг (x-1) хуваана: (x²-4x+3)/(x-1)=x-3

x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0

x-1=0; x=1, эсвэл x-3=0, x=3; Хариулт: x1 =2, x2 =3.

Дүгнэлт:Бутархай рационал тэгшитгэл, өндөр чадлын тэгшитгэл, биквадрат тэгшитгэл, ахлах сургуульд тригонометр, экспоненциал, логарифмын тэгшитгэл зэрэг илүү төвөгтэй тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд квадрат тэгшитгэлийг хурдан бөгөөд оновчтой шийдвэрлэх чадвар чухал юм. Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх бүх олсон аргуудыг судалсны дараа бид ангийнхандаа стандарт аргуудаас гадна шилжүүлгийн аргаар (6) шийдэж, коэффициентийн (7) өмчийг ашиглан тэгшитгэлийг шийдвэрлэхийг зөвлөж болно, учир нь тэдгээр нь илүү хүртээмжтэй байдаг. ойлгоход.

Уран зохиол:

1. Брэдис В.М. Дөрвөн оронтой математикийн хүснэгтүүд. - М., Боловсрол, 1990.
2. Алгебр 8-р анги: 8-р ангийн сурах бичиг. Ерөнхий боловсрол байгууллагууд Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G., Neshkov K. I., Суворова S. B. ed. С.А.Теляковский 15-р хэвлэл, шинэчилсэн найруулга. - М.: Боловсрол, 2015 он
3. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
4. Глэйзер Г.И. Сургуулийн математикийн түүх. Багш нарт зориулсан гарын авлага. / Ред. В.Н. Бага. - М.: Боловсрол, 1964 он.