Энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийн хүснэгтийг шийдвэрлэх. Тригонометрийн тэгшитгэл. The Ultimate Guide (2019)

15.10.2019 -

Олон асуудлыг шийдэхэд математикийн асуудлууд, ялангуяа 10-р ангиас өмнө тохиолдсон үйлдлүүд нь зорилгод хүргэх үйлдлүүдийн дарааллыг тодорхой тодорхойлсон байдаг. Ийм асуудалд жишээлбэл шугаман ба квадрат тэгшитгэл, шугаман ба квадрат тэгш бус байдал, бутархай тэгшитгэл, квадрат болгон бууруулсан тэгшитгэл. Дээр дурдсан асуудал бүрийг амжилттай шийдвэрлэх зарчим нь дараах байдалтай байна: та ямар төрлийн асуудлыг шийдэж байгаагаа тодорхойлох, хүссэн үр дүнд хүргэх шаардлагатай үйлдлүүдийн дарааллыг санах хэрэгтэй, жишээлбэл. хариулж, эдгээр алхмуудыг дагана уу.

Тодорхой асуудлыг шийдвэрлэхэд амжилтанд хүрэх эсвэл бүтэлгүйтэх нь үндсэндээ шийдэгдэж буй тэгшитгэлийн төрлийг хэрхэн зөв тодорхойлсон, түүний шийдлийн бүх үе шатуудын дарааллыг хэр зөв гаргахаас хамаардаг нь ойлгомжтой. Мэдээжийн хэрэг, энэ тохиолдолд ижил төстэй хувиргалт, тооцоолол хийх чадвартай байх шаардлагатай.

Нөхцөл байдал өөр байна тригонометрийн тэгшитгэл.Тэгшитгэл нь тригонометр гэдгийг батлах нь тийм ч хэцүү биш юм. Зөв хариулт өгөхөд хүргэх үйлдлүүдийн дарааллыг тодорхойлоход бэрхшээлтэй тулгардаг.

By Гадаад төрхтэгшитгэл, заримдаа түүний төрлийг тодорхойлоход хэцүү байдаг. Тэгшитгэлийн төрлийг мэдэхгүй бол хэдэн арван тригонометрийн томъёоноос зөвийг нь сонгох нь бараг боломжгүй юм.

Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд та дараахь зүйлийг туршиж үзэх хэрэгтэй.

1. тэгшитгэлд орсон бүх функцийг "ижил өнцгөөр" авчрах;
2. тэгшитгэлийг "ижил функц" болгон авчрах;
3. задлах зүүн талфакторингийн тэгшитгэл гэх мэт.

Ингээд авч үзье тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үндсэн аргууд.

I. Хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэл рүү буулгах

Шийдлийн диаграм

1-р алхам.Экспресс тригонометрийн функцмэдэгдэж байгаа бүрэлдэхүүн хэсгүүдээр дамжуулан.

Алхам 2.Томьёог ашиглан функцийн аргументыг ол:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x = arctan a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

Алхам 3.Үл мэдэгдэх хувьсагчийг ол.

Жишээ.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Шийдэл.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Хариулт: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Хувьсах солих

Шийдлийн диаграм

1-р алхам.Тригонометрийн функцүүдийн аль нэгтэй нь хамааруулан тэгшитгэлийг алгебр хэлбэрт буулга.

Алхам 2.Үүссэн функцийг t хувьсагчаар тэмдэглэнэ (шаардлагатай бол t дээр хязгаарлалт оруулна).

Алхам 3.Үүссэн алгебрийн тэгшитгэлийг бичиж, шийд.

Алхам 4.Урвуу орлуулалт хийх.

Алхам 5.Хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийд.

Жишээ.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

Шийдэл.

1) 2(1 – нүгэл 2 (х/2)) – 5син (х/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) Гүн (x/2) = t, энд |t| ≤ 1.

3) 2т 2 + 5т + 3 = 0;

t = 1 эсвэл e = -3/2, |t| нөхцөлийг хангахгүй ≤ 1.

4) sin(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Хариулт: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Тэгшитгэлийн эрэмбийг багасгах арга

Шийдлийн диаграм

1-р алхам.Зэрэг бууруулах томъёог ашиглан энэ тэгшитгэлийг шугаман тэгшитгэлээр солино.

sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

Алхам 2.Гарсан тэгшитгэлийг I ба II аргыг ашиглан шийд.

Жишээ.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Шийдэл.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Хариулт: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Нэг төрлийн тэгшитгэл

Шийдлийн диаграм

1-р алхам.Энэ тэгшитгэлийг хэлбэр болгон бууруул

a) a sin x + b cos x = 0 (эхний зэргийн нэгэн төрлийн тэгшитгэл)

эсвэл харах

б) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (хоёрдугаар зэргийн нэгэн төрлийн тэгшитгэл).

Алхам 2.Тэгшитгэлийн хоёр талыг хуваа

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

tan x-ийн тэгшитгэлийг олоорой:

a) хүрэн x + b = 0;

б) шаргал 2 x + b арктан x + c = 0.

Алхам 3.Мэдэгдэж буй аргуудыг ашиглан тэгшитгэлийг шийд.

Жишээ.

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.

Шийдэл.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.

3) tg x = t гэж үзье

t 2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 эсвэл t = -4 гэсэн үг

tg x = 1 эсвэл tg x = -4.

Эхний тэгшитгэлээс x = π/4 + πn, n Є Z; хоёр дахь тэгшитгэлээс x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Хариулт: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Тригонометрийн томъёо ашиглан тэгшитгэлийг хувиргах арга

Шийдлийн диаграм

1-р алхам.Бүх боломжит тригонометрийн томъёог ашиглан энэ тэгшитгэлийг I, II, III, IV аргуудаар шийдсэн тэгшитгэл болгон бууруул.

Алхам 2.Мэдэгдэж буй аргуудыг ашиглан үүссэн тэгшитгэлийг шийд.

Жишээ.

нүгэл х + гэм 2х + гэм 3х = 0.

Шийдэл.

1) (нүгэл х + гэм 3х) + нүгэл 2х = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 эсвэл 2cos x + 1 = 0;

Эхний тэгшитгэлээс 2x = π/2 + πn, n Є Z; хоёр дахь нь cos тэгшитгэл x = -1/2.

Бидэнд x = π/4 + πn/2, n Є Z; хоёр дахь тэгшитгэлээс x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Үүний үр дүнд x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Хариулт: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэх чадвар, ур чадвар маш их чухал нь тэдний хөгжилд оюутан болон багшийн зүгээс ихээхэн хүчин чармайлт шаарддаг.

Стереометр, физик гэх мэт олон асуудлууд тригонометрийн тэгшитгэлийн шийдэлтэй холбоотой байдаг.Тийм асуудлыг шийдвэрлэх үйл явц нь тригонометрийн элементүүдийг судалснаар олж авсан олон мэдлэг, чадварыг өөртөө шингээдэг.

Тригонометрийн тэгшитгэл нь математик сурах үйл явц, ерөнхийдөө хувь хүний хөгжилд чухал байр суурь эзэлдэг.

Асуулт хэвээр байна уу? Тригонометрийн тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэхээ мэдэхгүй байна уу?
Багшаас тусламж авахын тулд -.
Эхний хичээл үнэ төлбөргүй!

blog.site, материалыг бүрэн эсвэл хэсэгчлэн хуулахдаа эх сурвалжийн холбоосыг оруулах шаардлагатай.

Мэдлэгийг нэгдсэн хэрэглээний хичээл.

Хичээлийн зорилго.

Санаж үз янз бүрийн аргатригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх.
Тэгшитгэлийг шийдвэрлэх замаар сурагчдын бүтээлч чадварыг хөгжүүлэх.
Оюутнуудыг өөрийгөө хянах, харилцан хяналт тавих, боловсролын үйл ажиллагаандаа дүн шинжилгээ хийх чадварыг урамшуулах.

Тоног төхөөрөмж: дэлгэц, проектор, лавлах материал.

Хичээлийн үеэр

Танилцуулга яриа.

Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх гол арга бол тэдгээрийг хамгийн энгийн хэлбэрт оруулах явдал юм. Энэ тохиолдолд ердийн аргууд, жишээлбэл, хүчин зүйлчлэл, түүнчлэн зөвхөн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ашигладаг арга техникийг ашигладаг. Эдгээр техникүүд маш олон байдаг, жишээлбэл, янз бүрийн тригонометрийн орлуулалт, өнцгийн хувиргалт, тригонометрийн функцүүдийн хувиргалт. Аливаа тригонометрийн хувиргалтыг ялгалгүй хэрэглэх нь ихэвчлэн тэгшитгэлийг хялбаршуулдаггүй, харин гамшигт төвөгтэй болгодог. Тэгшитгэлийг шийдэх ерөнхий төлөвлөгөөг боловсруулах, тэгшитгэлийг хамгийн энгийн болгон багасгах арга замыг тоймлохын тулд эхлээд тэгшитгэлд багтсан тригонометрийн функцуудын аргументуудын өнцгийг шинжлэх хэрэгтэй.

Өнөөдөр бид тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргуудын талаар ярих болно. Зөв сонгосон арга нь шийдлийг ихээхэн хөнгөвчлөх боломжтой тул тригонометрийн тэгшитгэлийг хамгийн тохиромжтой аргыг ашиглан шийдвэрлэхийн тулд бидний судалсан бүх аргуудыг үргэлж санаж байх ёстой.

II. (Проектор ашиглан бид тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргуудыг давтана.)

1. Тригонометрийн тэгшитгэлийг алгебрийн тэгшитгэл болгон бууруулах арга.

Бүх тригонометрийн функцуудыг нэг аргументаар илэрхийлэх шаардлагатай. Үүнийг үндсэн тригонометрийн таних тэмдэг, түүний үр дагаврыг ашиглан хийж болно. Бид нэг тригонометрийн функцтэй тэгшитгэлийг олж авдаг. Үүнийг шинэ үл мэдэгдэх зүйл гэж үзвэл бид алгебрийн тэгшитгэлийг олж авна. Бид түүний үндсийг олж, хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэж, хуучин үл мэдэгдэх зүйл рүү буцна.

2. Үржүүлгийн арга.

Өнцгийг өөрчлөхийн тулд аргументуудын бууралт, нийлбэр, зөрүүг тодорхойлох томъёо, түүнчлэн тригонометрийн функцүүдийн нийлбэрийг (ялгааг) бүтээгдэхүүн болгон хувиргах томьёо болон эсрэгээр нь ихэвчлэн хэрэгтэй байдаг.

нүгэл х + гэм 3х = нүгэл 2х + гэм 4х

3. Нэмэлт өнцгийг нэвтрүүлэх арга.

4. Бүх нийтийн орлуулалтыг ашиглах арга.

F(sinx, cosx, tanx) = 0 хэлбэрийн тэгшитгэлийг бүх нийтийн тригонометрийн орлуулалт ашиглан алгебрийн хэлбэрт оруулав.

Хагас өнцгийн шүргэгчээр синус, косинус, тангенсыг илэрхийлэх. Энэ техник нь илүү өндөр эрэмбийн тэгшитгэлд хүргэж болно. Үүний шийдэл нь хэцүү.

Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх тухай ойлголт.

Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд нэг буюу хэд хэдэн үндсэн тригонометрийн тэгшитгэл болгон хөрвүүлнэ. Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэх нь эцсийн эцэст дөрвөн үндсэн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэхэд хүргэдэг.

Тригонометрийн үндсэн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх.

Тригонометрийн үндсэн тэгшитгэлийн 4 төрөл байдаг.
sin x = a; cos x = a
tan x = a; ctg x = a
Тригонометрийн үндсэн тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд нэгж тойрог дээрх янз бүрийн x байрлалыг харахаас гадна хөрвүүлэх хүснэгт (эсвэл тооцоолуур) ашиглана.
Жишээ 1. sin x = 0.866. Хөрвүүлэх хүснэгт (эсвэл тооцоолуур) ашиглан та хариултыг авах болно: x = π/3. Нэгж тойрог нь өөр хариулт өгдөг: 2π/3. Санаж байна уу: бүх тригонометрийн функцууд нь үе үе бөгөөд тэдгээрийн утгууд давтагддаг гэсэн үг юм. Жишээлбэл, sin x ба cos x-ийн үечлэл 2πn, tg x ба ctg x-ийн үечлэл πn байна. Тиймээс хариултыг дараах байдлаар бичнэ.
x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
Жишээ 2. cos x = -1/2. Хөрвүүлэх хүснэгт (эсвэл тооцоолуур) ашиглан та хариултыг авах болно: x = 2π/3. Нэгж тойрог нь өөр хариулт өгдөг: -2π/3.
x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
Жишээ 3. tg (x - π/4) = 0.
Хариулт: x = π/4 + πn.
Жишээ 4. ctg 2x = 1.732.
Хариулт: x = π/12 + πn.

Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ашигладаг хувиргалтууд.

Тригонометрийн тэгшитгэлийг хувиргахын тулд алгебрийн хувиргалт (факторжуулалт, нэгэн төрлийн нэр томъёог багасгах гэх мэт) болон тригонометрийн ижил төстэй байдлыг ашигладаг.
Жишээ 5: Тригонометрийн адилтгалуудыг ашиглан sin x + sin 2x + sin 3x = 0 тэгшитгэлийг 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0 тэгшитгэлд хөрвүүлэв. Иймд дараах үндсэн тригонометрийн тэгшитгэлүүд гарч ирнэ. шийдвэрлэх шаардлагатай: cos x = 0; sin(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.
Мэдэгдэж буй функцийн утгыг ашиглан өнцгийг олох.
- Тригонометрийн тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэж сурахаасаа өмнө мэдэгдэж буй функцийн утгыг ашиглан өнцгийг хэрхэн олох талаар сурах хэрэгтэй. Үүнийг хөрвүүлэх хүснэгт эсвэл тооцоолуур ашиглан хийж болно.
- Жишээ нь: cos x = 0.732. Тооцоологч х = 42.95 градусын хариултыг өгнө. Нэгж тойрог нь нэмэлт өнцгийг өгөх бөгөөд косинус нь мөн 0.732 байна.
Нэгж тойрог дээр уусмалыг хойш тавь.
- Та тригонометрийн тэгшитгэлийн шийдлийг нэгж тойрог дээр зурж болно. Нэгж тойрог дээрх тригонометрийн тэгшитгэлийн шийдэл нь жирийн олон өнцөгтийн орой юм.
- Жишээ: Нэгж тойрог дээрх x = π/3 + πn/2 шийдлүүд квадратын оройг илэрхийлнэ.
- Жишээ: Нэгж тойрог дээрх x = π/4 + πn/3 шийдлүүд ердийн зургаан өнцөгтийн оройг илэрхийлнэ.
Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга.
- Хэрэв өгөгдсөн тригонометрийн тэгшитгэл нь зөвхөн нэг тригонометрийн функцийг агуулж байвал уг тэгшитгэлийг үндсэн тригонометрийн тэгшитгэл болгон шийд. Хэрэв өгөгдсөн тэгшитгэлд хоёр ба түүнээс дээш тригонометрийн функц багтсан бол ийм тэгшитгэлийг шийдвэрлэх 2 арга байдаг (түүний хувиргалтын боломжоос хамааран).
  - Арга 1.
- Энэ тэгшитгэлийг дараах хэлбэрийн тэгшитгэл болгон хувирга: f(x)*g(x)*h(x) = 0, f(x), g(x), h(x) нь үндсэн тригонометрийн тэгшитгэлүүд юм.
- Жишээ 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
- Шийдэл. sin 2x = 2*sin x*cos x давхар өнцгийн томьёог ашиглан sin 2x-ийг орлуул.
- 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. Одоо cos x = 0 ба (sin x + 1) = 0 гэсэн хоёр үндсэн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийд.
- Жишээ 7. cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
- Шийдэл: Тригонометрийн адилтгалуудыг ашиглан энэ тэгшитгэлийг cos 2x(2cos x + 1) = 0 хэлбэрийн тэгшитгэл болгон хувирга. Одоо cos 2x = 0 ба (2cos x + 1) = 0 гэсэн хоёр үндсэн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийд.
- Жишээ 8. sin x - sin 3x = cos 2x. (0< x < 2π)
- Шийдэл: Тригонометрийн адилтгалуудыг ашиглан энэ тэгшитгэлийг дараах хэлбэрийн тэгшитгэл болгон хувирга. -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Одоо хоёр үндсэн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийд: cos 2x = 0 ба (2sin x + 1) = 0 .
  - Арга 2.
- Өгөгдсөн тригонометрийн тэгшитгэлийг зөвхөн нэг тригонометрийн функц агуулсан тэгшитгэл болгон хувирга. Дараа нь энэ тригонометрийн функцийг үл мэдэгдэх функцээр солино, жишээлбэл, t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tan x = t; tg (x/2) = t гэх мэт).
- Жишээ 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0)< x < 2π).
- Шийдэл. Энэ тэгшитгэлд (cos^2 x)-г (1 - sin^2 x)-ээр солино (тодорхойлолтын дагуу). Хувиргасан тэгшитгэл нь:
- 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. sin x-г t-ээр солино. Одоо тэгшитгэл нь: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Энэ нь t1 = -1 ба t2 = 9/5 гэсэн хоёр үндэстэй квадрат тэгшитгэл юм. Хоёрдахь үндэс t2 нь функцийн мужийг (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
- Жишээ 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
- Шийдэл. tg x-г t-ээр солино. Анхны тэгшитгэлийг дараах байдлаар дахин бичнэ үү: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Одоо t-ийг олоод дараа нь t = tan x-ийн хувьд х-г ол.

Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга

Танилцуулга 2

Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга 5

Алгебр 5

Ижил нэртэй тригонометрийн функцүүдийн тэгшитгэлийн нөхцөлийг ашиглан тэгшитгэлийг шийдвэрлэх 7

Факторчилол 8

Нэг төрлийн тэгшитгэлийн бууралт 10

Туслах өнцгийн танилцуулга 11

Бүтээгдэхүүнийг нийлбэр 14 болгон хөрвүүлнэ

Бүх нийтийн сэлгээ 14

Дүгнэлт 17

Оршил

Аравдугаар анги хүртэл зорилгодоо хүрэх олон дасгалын үйл ажиллагааны дарааллыг дүрмээр бол тодорхой тодорхойлсон байдаг. Жишээлбэл, шугаман ба квадрат тэгшитгэл ба тэгш бус байдал, бутархай тэгшитгэл ба квадрат болгон бууруулж болох тэгшитгэл гэх мэт. Дээр дурдсан жишээ бүрийг шийдвэрлэх зарчмыг нарийвчлан судлахгүйгээр бид тэдгээрийг амжилттай шийдвэрлэхэд шаардлагатай ерөнхий зүйлийг тэмдэглэв.

Ихэнх тохиолдолд та ямар төрлийн даалгавар болохыг тогтоож, зорилгодоо хүрэх үйлдлүүдийн дарааллыг санаж, эдгээр үйлдлийг гүйцэтгэх хэрэгтэй. Оюутны тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга техникийг эзэмшсэн амжилт, бүтэлгүйтэл нь тэгшитгэлийн төрлийг зөв тодорхойлж, түүний шийдлийн бүх үе шатуудын дарааллыг хэр сайн санаж байгаагаас хамаарна. Мэдээжийн хэрэг, оюутан ижил төстэй хувиргалт, тооцоолол хийх чадвартай гэж үздэг.

Сургуулийн хүүхэд тригонометрийн тэгшитгэлтэй тулгарах үед огт өөр нөхцөл байдал үүсдэг. Түүгээр ч барахгүй тэгшитгэл нь тригонометрийн шинж чанартай болохыг тогтооход хэцүү биш юм. Хийх үйлдлүүдийн дарааллыг олоход бэрхшээлтэй тулгардаг эерэг үр дүн. Энд оюутан хоёр асуудалтай тулгардаг. Тэгшитгэлийн гадаад төрхөөр төрлийг тодорхойлоход хэцүү байдаг. Мөн төрлийг нь мэдэхгүй бол хэдэн арван боломжит томъёоноос хүссэн томъёогоо сонгох нь бараг боломжгүй юм.

Суралцагчдад тригонометрийн тэгшитгэлийн нийлмэл төөрдөг байшинг олоход нь туслахын тулд эхлээд шинэ хувьсагч нэвтрүүлэхэд квадрат тэгшитгэл болгон бууруулсан тэгшитгэлүүдтэй танилцдаг. Дараа нь тэд нэгэн төрлийн тэгшитгэлүүд болон тэдгээрт буурдаг тэгшитгэлүүдийг шийддэг. Дүрмээр бол бүх зүйл тэгшитгэлээр төгсдөг бөгөөд үүнийг шийдвэрлэхийн тулд зүүн талыг хүчин зүйл болгон авч, дараа нь хүчин зүйл бүрийг тэгтэй тэнцүүлэх шаардлагатай.

Хичээл дээр хэлэлцсэн хэдэн арван тэгшитгэл нь оюутныг тригонометрийн "далайн" замаар бие даан аялал хийхэд хангалттай биш гэдгийг ойлгосон багш өөрийн гэсэн хэд хэдэн зөвлөмжийг нэмж оруулав.

Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд та дараахь зүйлийг туршиж үзэх хэрэгтэй.

Тэгшитгэлд багтсан бүх функцийг "ижил өнцгөөр" авчрах;

Тэгшитгэлийг "ижил функц" болгон багасгах;

Тэгшитгэлийн зүүн талын хүчин зүйл гэх мэт.

Гэхдээ тригонометрийн тэгшитгэлийн үндсэн төрлүүд, тэдгээрийн шийдлийг олох хэд хэдэн зарчмуудыг мэддэг байсан ч олон оюутнууд өмнө нь шийдэгдсэнээс арай өөр тэгшитгэл болгонд гацсан хэвээр байна. Энэ эсвэл өөр тэгшитгэлтэй байхын тулд юуг хичээх ёстой, яагаад нэг тохиолдолд давхар өнцгийн томьёо, нөгөө тохиолдолд хагас өнцөг, гурав дахь тохиолдолд нэмэх томъёог ашиглах шаардлагатай байгаа нь тодорхойгүй хэвээр байна.

Тодорхойлолт 1.Тригонометрийн тэгшитгэл гэдэг нь тригонометрийн функцүүдийн тэмдгийн дор үл мэдэгдэх зүйлийг агуулсан тэгшитгэл юм.

Тодорхойлолт 2.Тригонометрийн тэгшитгэлд багтсан бүх тригонометрийн функцууд ижил аргументтай байвал тэгш өнцөгттэй гэж нэрлэдэг. Тригонометрийн тэгшитгэл нь зөвхөн нэг тригонометрийн функцийг агуулж байвал ижил функцтэй гэж нэрлэдэг.

Тодорхойлолт 3.Тригонометрийн функцуудыг агуулсан мономиалын хүч нь түүнд багтсан тригонометрийн функцүүдийн чадлын илтгэгчийн нийлбэр юм.

Тодорхойлолт 4.Хэрэв түүнд орсон бүх мономиалууд ижил зэрэгтэй байвал тэгшитгэлийг нэгэн төрлийн гэж нэрлэдэг. Энэ зэргийг тэгшитгэлийн дараалал гэж нэрлэдэг.

Тодорхойлолт 5.Зөвхөн функц агуулсан тригонометрийн тэгшитгэл нүгэлТэгээд cos, тригонометрийн функцтэй харьцах бүх мономиалууд ижил зэрэгтэй, тригонометрийн функцүүд нь өөрөө ижил өнцөгтэй, мономиалуудын тоо тэгшитгэлийн дарааллаас 1-ээр их байвал нэгэн төрлийн гэж нэрлэдэг.

Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга.

Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх нь хоёр үе шатаас бүрдэнэ: тэгшитгэлийг хамгийн энгийн хэлбэрт оруулах, хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх. Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх долоон үндсэн арга байдаг.

I. Алгебрийн арга.Энэ аргыг алгебраас сайн мэддэг. (Хувьсагчийг орлуулах, орлуулах арга).

Тэгшитгэлийг шийдэх.

Тэмдэглэгээг танилцуулъя x=2 нүгэл3 т, бид авдаг

Энэ тэгшитгэлийг шийдснээр бид дараахь зүйлийг олж авна.
эсвэл

тэдгээр. бичиж болно

Шинж тэмдэг илэрсэн тул үүссэн уусмалыг бүртгэх үед зэрэг
үүнийг бичих нь утгагүй юм.

Хариулт:

гэж тэмдэглэе

Бид квадрат тэгшитгэлийг авдаг
. Үүний үндэс нь тоо юм
Тэгээд
. Тиймээс энэ тэгшитгэлийг хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэл болгон бууруулдаг
Тэгээд
. Тэдгээрийг шийдэж, бид үүнийг олж мэднэ
эсвэл
.

Хариулт:
;
.

гэж тэмдэглэе

нөхцөлийг хангахгүй байна

гэсэн үг

Хариулт:

Тэгшитгэлийн зүүн талыг хувиргая:

Тиймээс энэ анхны тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичиж болно.

, өөрөөр хэлбэл

Томилогдсон
, бид авдаг
Энэ квадрат тэгшитгэлийг шийдэхэд бид дараах байдалтай байна.

нөхцөлийг хангахгүй байна

Бид анхны тэгшитгэлийн шийдлийг бичнэ.

Хариулт:

Орлуулах
Энэ тэгшитгэлийг квадрат тэгшитгэл болгон бууруулна
. Үүний үндэс нь тоо юм
Тэгээд
. Учир нь
, тэгвэл өгөгдсөн тэгшитгэл нь үндэсгүй болно.

Хариулт: үндэс байхгүй.

II. Ижил нэртэй тригонометрийн функцуудын тэгшитгэлийн нөхцөлийг ашиглан тэгшитгэлийг шийдвэрлэх.

A)
, Хэрэв

б)
, Хэрэв

V)
, Хэрэв

Эдгээр нөхцлүүдийг ашиглан дараах тэгшитгэлийг шийдвэрлэх талаар бодож үзээрэй.

a) хэсэгт хэлсэн зүйлийг ашигласнаар бид тэгшитгэл нь зөвхөн, хэрэв тийм бол шийдэлтэй болохыг олж мэдэв
.

Энэ тэгшитгэлийг шийдэж, бид олдог
.

Бидэнд хоёр бүлэг шийдэл байна:

.

7) Тэгшитгэлийг шийд:
.

b) зүйлийн нөхцөлийг ашиглан бид үүнийг гаргаж байна
.

Эдгээр квадрат тэгшитгэлийг шийдэж, бид дараахь зүйлийг олж авна.

8) Тэгшитгэлийг шийд
.

Энэ тэгшитгэлээс бид үүнийг гаргаж байна. Энэ квадрат тэгшитгэлийг шийдэж, бид үүнийг олно

.

III. Factorization.

Бид энэ аргыг жишээн дээр авч үздэг.

9) Тэгшитгэлийг шийд
.

Шийдэл. Тэгшитгэлийн бүх гишүүнийг зүүн тийш шилжүүлье: .

Тэгшитгэлийн зүүн талд байгаа илэрхийллийг хувиргаж, үржвэр болгоё.
.

1)
2)

Учир нь
Тэгээд
тэг утгыг хүлээн зөвшөөрөхгүй

нэгэн зэрэг, дараа нь бид хоёр хэсгийг хуваана

-д зориулсан тэгшитгэлүүд
,

Хариулт:

10) Тэгшитгэлийг шийд:

Шийдэл.

эсвэл

Хариулт:

11) Тэгшитгэлийг шийд

Шийдэл:

1)
2)
3)

Хариулт:

IV. Нэг төрлийн тэгшитгэлд буулгах.

Нэг төрлийн тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд танд дараахь зүйлс хэрэгтэй болно.

Түүний бүх гишүүдийг зүүн тийш шилжүүлэх;

Бүх нийтлэг хүчин зүйлсийг хаалтанд оруулах;

Бүх хүчин зүйлүүд болон хаалтуудыг тэгтэй тэнцүүлэх;

Тэгтэй тэнцүү хаалтууд нь бага зэрэгтэй нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг өгдөг бөгөөд үүнийг дараахь байдлаар хуваана.
(эсвэл
) ахлах зэрэгт;

Үүссэн алгебрийн тэгшитгэлийг шийд
.

Жишээнүүдийг харцгаая:

12) Тэгшитгэлийг шийд:

Шийдэл.

Тэгшитгэлийн хоёр талыг хуваая
,

Тэмдэглэлүүдийг танилцуулж байна
, нэр

Энэ тэгшитгэлийн үндэс:

Тиймээс 1)
2)

Хариулт:

13) Тэгшитгэлийг шийд:

Шийдэл. Давхар өнцгийн томьёо болон үндсэн тригонометрийн ижил төстэй байдлыг ашиглан бид энэ тэгшитгэлийг хагас аргумент болгон бууруулна.

Ижил төстэй нэр томъёог багасгасны дараа бид дараах байдалтай байна:

Нэг төрлийн сүүлчийн тэгшитгэлийг хуваах
, бид авдаг

Би зааж өгнө
, бид квадрат тэгшитгэлийг авна
, тэдгээрийн үндэс нь тоо юм

Тиймээс

Илэрхийлэл
цагт тэг болно
, өөрөөр хэлбэл цагт
,
.

Бидний олж авсан тэгшитгэлийн шийдэлд эдгээр тоо ороогүй болно.

Хариулт:
, .

В. Туслах өнцгийн танилцуулга.

Маягтын тэгшитгэлийг авч үзье

Хаана a, b, c- коэффициентүүд, x- үл мэдэгдэх.

Энэ тэгшитгэлийн хоёр талыг хувааж үзье

Одоо тэгшитгэлийн коэффициентүүд нь синус ба косинусын шинж чанартай байдаг, тухайлбал: тэдгээрийн модуль нэгээс хэтрэхгүй, квадратуудын нийлбэр нь 1-тэй тэнцүү байна.

Дараа нь бид тэдгээрийг зохих ёсоор тодорхойлж болно
(Энд - туслах өнцөг) ба бидний тэгшитгэл дараах хэлбэртэй байна.

Дараа нь

Мөн түүний шийдвэр

Оруулсан тэмдэглэгээ нь бие биенээ сольж болно гэдгийг анхаарна уу.

14) Тэгшитгэлийг шийд:

Шийдэл. Энд
, тиймээс бид тэгшитгэлийн хоёр талыг хуваана

Хариулт:

15) Тэгшитгэлийг шийд

Шийдэл. Учир нь
, тэгвэл энэ тэгшитгэл нь тэгшитгэлтэй тэнцүү байна

Учир нь
, тэгвэл тийм өнцөг байна
,
(тэдгээр.
).

Бидэнд байгаа

Учир нь
, дараа нь бид эцэст нь авна:

Маягтын тэгшитгэлүүд нь зөвхөн болон зөвхөн тохиолдолд л шийдэлтэй байдаг гэдгийг анхаарна уу

16) Тэгшитгэлийг шийд:

Энэ тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд бид тригонометрийн функцуудыг ижил аргументтай бүлэглэнэ

Тэгшитгэлийн хоёр талыг хоёр хуваа

Тригонометрийн функцүүдийн нийлбэрийг үржвэр болгон хувиргацгаая.

Хариулт:

VI. Бүтээгдэхүүнийг нийлбэр болгон хувиргах.

Тохирох томъёог энд ашигласан болно.

17) Тэгшитгэлийг шийд:

Шийдэл. Зүүн талыг нийлбэр болгон хувиргацгаая.

VII.Бүх нийтийн орлуулалт.

Эдгээр томъёо нь хүн бүрт үнэн байдаг

Орлуулах
бүх нийтийн гэж нэрлэдэг.

18) Тэгшитгэлийг шийд:

Шийдэл: солих ба
дамжуулан тэдний илэрхийлэл
болон тэмдэглэнэ
.

Бид оновчтой тэгшитгэлийг олж авдаг
, энэ нь квадрат болж хувирдаг
.

Энэ тэгшитгэлийн үндэс нь тоонууд юм
.

Тиймээс асуудлыг хоёр тэгшитгэлийг шийдвэрлэх хүртэл багасгасан
.

Бид үүнийг олдог
.

Утга харах
шалгах замаар шалгадаг анхны тэгшитгэлийг хангахгүй - орлуулах өгөгдсөн үнэ цэнэ танхны тэгшитгэлд оруулна.

Хариулт:
.

Сэтгэгдэл. 18-р тэгшитгэлийг өөр аргаар шийдэж болно.

Энэ тэгшитгэлийн хоёр талыг 5-д хуваая (өөрөөр хэлбэл
):
.

Учир нь
, тэгвэл ийм тоо байна
, Юу
Тэгээд
. Тиймээс тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.
эсвэл
. Эндээс бид үүнийг олж мэднэ
Хаана
.

19) Тэгшитгэлийг шийд
.

Шийдэл. Функцуудаас хойш
Тэгээд
байна хамгийн өндөр үнэ цэнэ, 1-тэй тэнцүү бол тэдгээрийн нийлбэр нь 2 байвал
Тэгээд
, нэгэн зэрэг, өөрөөр хэлбэл
.

Хариулт:
.

Энэ тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ функцүүдийн хязгаарлагдмал байдлыг ашигласан болно.

Дүгнэлт.

"Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх нь" сэдвээр ажиллахдаа багш бүр дараах зөвлөмжийг дагаж мөрдөх нь зүйтэй.

Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргуудыг системчлэх.

Тэгшитгэлд дүн шинжилгээ хийх алхмуудыг өөрөө сонго, тодорхой шийдлийн аргыг ашиглах нь зүйтэй гэсэн шинж тэмдгүүдийг сонго.

Энэ аргыг хэрэгжүүлэхдээ өөрийн үйл ажиллагааг бие даан хянах арга замуудын талаар бодож үзээрэй.

Судалж буй арга тус бүрт "өөрийн" тэгшитгэл зохиож сур.

Хавсралт No1

Нэг төрлийн эсвэл нэг төрлийн болж буурдаг тэгшитгэлийг шийд.

1.	Төлөөлөгч
	Төлөөлөгч

	Төлөөлөгч
5.	Төлөөлөгч
	Төлөөлөгч
7.	Төлөөлөгч
	Төлөөлөгч

Олон асуудлыг шийдэхэд математикийн асуудлууд, ялангуяа 10-р ангиас өмнө тохиолдсон үйлдлүүд нь зорилгод хүргэх үйлдлүүдийн дарааллыг тодорхой тодорхойлсон байдаг. Ийм бодлогод жишээлбэл, шугаман ба квадрат тэгшитгэл, шугаман ба квадрат тэгш бус байдал, бутархай тэгшитгэл, квадрат болж буурдаг тэгшитгэл орно. Дээр дурдсан асуудал бүрийг амжилттай шийдвэрлэх зарчим нь дараах байдалтай байна: та ямар төрлийн асуудлыг шийдэж байгаагаа тодорхойлох, хүссэн үр дүнд хүргэх шаардлагатай үйлдлүүдийн дарааллыг санах хэрэгтэй, жишээлбэл. хариулж, эдгээр алхмуудыг дагана уу.

Тэгшитгэлийн харагдах байдал дээр үндэслэн түүний төрлийг тодорхойлох нь заримдаа хэцүү байдаг. Тэгшитгэлийн төрлийг мэдэхгүй бол хэдэн арван тригонометрийн томъёоноос зөвийг нь сонгох нь бараг боломжгүй юм.

Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд та дараахь зүйлийг туршиж үзэх хэрэгтэй.

1. тэгшитгэлд орсон бүх функцийг "ижил өнцгөөр" авчрах;
2. тэгшитгэлийг "ижил функц" болгон авчрах;
3. тэгшитгэлийн зүүн талын хүчин зүйл гэх мэт.

Ингээд авч үзье тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үндсэн аргууд.

I. Хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэл рүү буулгах

Шийдлийн диаграм

1-р алхам.Тригонометрийн функцийг мэдэгдэж буй бүрэлдэхүүн хэсгүүдээр илэрхийл.

Алхам 2.Томьёог ашиглан функцийн аргументыг ол:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x = arctan a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

Алхам 3.Үл мэдэгдэх хувьсагчийг ол.

Жишээ.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Шийдэл.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Хариулт: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Хувьсах солих

Шийдлийн диаграм

1-р алхам.Тригонометрийн функцүүдийн аль нэгтэй нь хамааруулан тэгшитгэлийг алгебр хэлбэрт буулга.

Алхам 2.Үүссэн функцийг t хувьсагчаар тэмдэглэнэ (шаардлагатай бол t дээр хязгаарлалт оруулна).

Алхам 3.Үүссэн алгебрийн тэгшитгэлийг бичиж, шийд.

Алхам 4.Урвуу орлуулалт хийх.

Алхам 5.Хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийд.

Жишээ.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

Шийдэл.

1) 2(1 – нүгэл 2 (х/2)) – 5син (х/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) Гүн (x/2) = t, энд |t| ≤ 1.

3) 2т 2 + 5т + 3 = 0;

t = 1 эсвэл e = -3/2, |t| нөхцөлийг хангахгүй ≤ 1.

4) sin(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Хариулт: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Тэгшитгэлийн эрэмбийг багасгах арга

Шийдлийн диаграм

1-р алхам.Зэрэг бууруулах томъёог ашиглан энэ тэгшитгэлийг шугаман тэгшитгэлээр солино.

sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

Алхам 2.Гарсан тэгшитгэлийг I ба II аргыг ашиглан шийд.

Жишээ.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Шийдэл.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Хариулт: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Нэг төрлийн тэгшитгэл

Шийдлийн диаграм

1-р алхам.Энэ тэгшитгэлийг хэлбэр болгон бууруул

a) a sin x + b cos x = 0 (эхний зэргийн нэгэн төрлийн тэгшитгэл)

эсвэл харах

б) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (хоёрдугаар зэргийн нэгэн төрлийн тэгшитгэл).

Алхам 2.Тэгшитгэлийн хоёр талыг хуваа

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

tan x-ийн тэгшитгэлийг олоорой:

a) хүрэн x + b = 0;

б) шаргал 2 x + b арктан x + c = 0.

Алхам 3.Мэдэгдэж буй аргуудыг ашиглан тэгшитгэлийг шийд.

Жишээ.

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.

Шийдэл.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.

3) tg x = t гэж үзье

t 2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 эсвэл t = -4 гэсэн үг

tg x = 1 эсвэл tg x = -4.

Эхний тэгшитгэлээс x = π/4 + πn, n Є Z; хоёр дахь тэгшитгэлээс x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Хариулт: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Тригонометрийн томъёо ашиглан тэгшитгэлийг хувиргах арга

Шийдлийн диаграм

Алхам 2.Мэдэгдэж буй аргуудыг ашиглан үүссэн тэгшитгэлийг шийд.

Жишээ.

нүгэл х + гэм 2х + гэм 3х = 0.

Шийдэл.

1) (нүгэл х + гэм 3х) + нүгэл 2х = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 эсвэл 2cos x + 1 = 0;

Эхний тэгшитгэлээс 2x = π/2 + πn, n Є Z; хоёр дахь тэгшитгэлээс cos x = -1/2.

Бидэнд x = π/4 + πn/2, n Є Z; хоёр дахь тэгшитгэлээс x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Үүний үр дүнд x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Хариулт: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Тригонометрийн тэгшитгэл нь математик сурах үйл явц, ерөнхийдөө хувь хүний хөгжилд чухал байр суурь эзэлдэг.

Асуулт хэвээр байна уу? Тригонометрийн тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэхээ мэдэхгүй байна уу?
Багшаас тусламж авахын тулд бүртгүүлнэ үү.
Эхний хичээл үнэ төлбөргүй!

вэб сайт, материалыг бүрэн эсвэл хэсэгчлэн хуулахдаа эх сурвалжийн холбоос шаардлагатай.

Энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийн хүснэгтийг шийдвэрлэх. Тригонометрийн тэгшитгэл. The Ultimate Guide (2019)

Сүүлийн үеийн оруулгууд