ฟังก์ชันกำลัง คุณสมบัติ และกราฟ ฟังก์ชันยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นตรรกยะ ฟังก์ชันกำลังและคุณสมบัติของมัน
บทเรียนและการนำเสนอในหัวข้อ: "ฟังก์ชันกำลัง คุณสมบัติ กราฟ"
วัสดุเพิ่มเติม
เรียนผู้ใช้ อย่าลืมแสดงความคิดเห็น บทวิจารณ์ และความปรารถนาของคุณ! วัสดุทั้งหมดได้รับการตรวจสอบโดยโปรแกรมป้องกันไวรัส
เครื่องช่วยสอนและเครื่องจำลองในร้านค้าออนไลน์ Integral สำหรับเกรด 11
คู่มือแบบโต้ตอบสำหรับเกรด 9-11 "ตรีโกณมิติ"
คู่มือแบบโต้ตอบสำหรับเกรด 10-11 "ลอการิทึม"
ฟังก์ชันกำลัง โดเมนของคำจำกัดความ
เพื่อนๆ ในบทเรียนที่แล้ว เราได้เรียนรู้วิธีทำงานกับตัวเลขที่มีเลขชี้กำลังตรรกยะ ในบทนี้ เราจะดูฟังก์ชันกำลังและจำกัดตัวเองอยู่เฉพาะในกรณีที่เลขชี้กำลังเป็นตรรกยะเราจะพิจารณาฟังก์ชันในรูปแบบ: $y=x^(\frac(m)(n))$
ก่อนอื่นให้เราพิจารณาฟังก์ชันที่มีเลขชี้กำลัง $\frac(m)(n)>1$
ให้เราได้รับฟังก์ชันเฉพาะ $y=x^2*5$
ตามคำจำกัดความที่เราให้ไปในบทเรียนที่แล้ว: ถ้า $x≥0$ แล้วโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันของเราคือรังสี $(x)$ ลองพรรณนากราฟของฟังก์ชันของเราในเชิงแผนผัง
คุณสมบัติของฟังก์ชัน $y=x^(\frac(m)(n))$, $0 2. ไม่เป็นคู่หรือคี่
3. เพิ่มขึ้น $$
ข) $(2,10)$,
c) บนเรย์ $$
สารละลาย.
พวกคุณจำได้ไหมว่าเราหาค่าฟังก์ชันที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดในเซ็กเมนต์ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 10 ได้อย่างไร?
ถูกต้อง, เราใช้อนุพันธ์ มาแก้ตัวอย่างของเราแล้วทำซ้ำอัลกอริธึมเพื่อค้นหาค่าที่น้อยที่สุดและมากที่สุด
1. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนด:
$y"=\frac(16)(5)*\frac(5)(2)x^(\frac(3)(2))-x^3=8x^(\frac(3)(2)) -x^3=8\sqrt(x^3)-x^3$.
2. อนุพันธ์มีอยู่ทั่วทั้งโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันดั้งเดิม ดังนั้นจึงไม่มีจุดวิกฤต มาหาจุดคงที่:
$y"=8\sqrt(x^3)-x^3=0$.
$8*\sqrt(x^3)=x^3$.
$64x^3=x^6$.
$x^6-64x^3=0$.
$x^3(x^3-64)=0$.
$x_1=0$ และ $x_2=\sqrt(64)=4$
เซ็กเมนต์ที่กำหนดมีเพียงโซลูชันเดียว $x_2=4$
มาสร้างตารางค่าฟังก์ชันของเราที่ส่วนท้ายของส่วนและที่จุดสุดขั้ว:
คำตอบ: $y_(ชื่อ)=-862.65$ ที่ $x=9$; $y_(สูงสุด)=38.4$ ที่ $x=4$
ตัวอย่าง. แก้สมการ: $x^(\frac(4)(3))=24-x$
สารละลาย. กราฟของฟังก์ชัน $y=x^(\frac(4)(3))$ เพิ่มขึ้น และกราฟของฟังก์ชัน $y=24-x$ ลดลง พวกคุณและฉันรู้: หากฟังก์ชันหนึ่งเพิ่มขึ้นและอีกฟังก์ชันหนึ่งลดลง ฟังก์ชันเหล่านั้นจะตัดกันที่จุดเดียวเท่านั้น นั่นคือ เรามีวิธีแก้ปัญหาเพียงวิธีเดียวเท่านั้น
บันทึก:
$8^(\frac(4)(3))=\sqrt(8^4)=(\sqrt(8))^4=2^4=16$.
$24-8=16$.
นั่นคือ $x=8$ เราได้ความเสมอภาคที่ถูกต้อง $16=16$ นี่คือคำตอบของสมการของเรา
คำตอบ: $x=8$.
ตัวอย่าง.
สร้างกราฟฟังก์ชัน: $y=(x-3)^\frac(3)(4)+2$
สารละลาย.
กราฟของฟังก์ชันได้มาจากกราฟของฟังก์ชัน $y=x^(\frac(3)(4))$ โดยเลื่อนไปทางขวา 3 หน่วยและขึ้น 2 หน่วย 
ตัวอย่าง. เขียนสมการแทนเจนต์บนเส้นตรง $y=x^(-\frac(4)(5))$ ที่จุด $x=1$
สารละลาย. สมการแทนเจนต์ถูกกำหนดโดยสูตรที่เรารู้:
$y=f(ก)+ฉ"(ก)(x-a)$.
ในกรณีของเรา $a=1$
$f(a)=f(1)=1^(-\frac(4)(5))=1$.
มาหาอนุพันธ์กัน:
$y"=-\frac(4)(5)x^(-\frac(9)(5))$.
มาคำนวณกัน:
$f"(a)=-\frac(4)(5)*1^(-\frac(9)(5))=-\frac(4)(5)$.
ลองหาสมการแทนเจนต์:
$y=1-\frac(4)(5)(x-1)=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$.
คำตอบ: $y=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$
ปัญหาที่ต้องแก้ไขอย่างอิสระ
1. ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชัน: $y=x^\frac(4)(3)$ บนส่วน:ก) $$
ข) $(4.50)$.
c) บนเรย์ $$
3. แก้สมการ: $x^(\frac(1)(4))=18-x$.
4. สร้างกราฟของฟังก์ชัน: $y=(x+1)^(\frac(3)(2))-1$
5. สร้างสมการแทนเจนต์ของเส้นตรง $y=x^(-\frac(3)(7))$ ที่จุด $x=1$
ฟังก์ชั่นพลังงานคุณสมบัติและกราฟ วัสดุสาธิต บทเรียน-บรรยาย แนวคิดของฟังก์ชัน คุณสมบัติของฟังก์ชัน ฟังก์ชันกำลัง คุณสมบัติ และกราฟ ชั้นประถมศึกษาปีที่ 10 สงวนลิขสิทธิ์. ลิขสิทธิ์ด้วย ลิขสิทธิ์ด้วย
ความก้าวหน้าของบทเรียน: การทำซ้ำ การทำงาน. คุณสมบัติของฟังก์ชัน การเรียนรู้เนื้อหาใหม่ 1. คำจำกัดความของฟังก์ชันกำลัง คำจำกัดความของฟังก์ชันกำลัง 2. คุณสมบัติและกราฟของฟังก์ชันกำลัง คุณสมบัติและกราฟของฟังก์ชันกำลัง การรวมเนื้อหาที่ศึกษา การนับวาจา การนับวาจา สรุปบทเรียน การบ้าน การบ้าน การบ้าน.
โดเมนของคำจำกัดความและโดเมนของค่าของฟังก์ชัน ค่าทั้งหมดของตัวแปรอิสระจะสร้างโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน x y=f(x) f โดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน โดเมนของค่าของฟังก์ชันทั้งหมด ค่าที่ตัวแปรตามสร้างโดเมนของค่าของฟังก์ชัน Function คุณสมบัติของฟังก์ชัน
กราฟของฟังก์ชัน ให้ฟังก์ชันถูกกำหนดโดยที่ xY y x.75 3 0.6 4 0.5 กราฟของฟังก์ชันคือเซตของจุดทั้งหมดของระนาบพิกัด ซึ่ง abscissas ซึ่งเท่ากับค่าของอาร์กิวเมนต์ และพิกัดจะเท่ากับค่าที่สอดคล้องกันของฟังก์ชัน การทำงาน. คุณสมบัติของฟังก์ชัน
Y x โดเมนของคำจำกัดความและช่วงของค่าของฟังก์ชัน 4 y=f(x) โดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน: โดเมนของค่าของฟังก์ชัน: ฟังก์ชัน คุณสมบัติของฟังก์ชัน
ฟังก์ชันคู่ y x y=f(x) กราฟของฟังก์ชันคู่มีความสมมาตรเทียบกับแกนของ op-amp ฟังก์ชัน y=f(x) ถูกเรียกแม้ว่า f(-x) = f(x) สำหรับ x ใดๆ จากโดเมนของนิยามของฟังก์ชัน ฟังก์ชัน คุณสมบัติของฟังก์ชัน
ฟังก์ชันคี่ y x y=f(x) กราฟของฟังก์ชันคี่มีความสมมาตรโดยคำนึงถึงจุดกำเนิด O(0;0) ฟังก์ชัน y=f(x) เรียกว่าคี่ ถ้า f(-x) = -f(x) สำหรับ x ใดๆ จากขอบเขตฟังก์ชัน นิยามฟังก์ชัน คุณสมบัติของฟังก์ชัน
นิยามของฟังก์ชันยกกำลัง ฟังก์ชันโดยที่ p เป็นจำนวนจริงที่กำหนดเรียกว่าฟังก์ชันยกกำลัง p y=x p P=x y 0 ความก้าวหน้าของบทเรียน
ฟังก์ชันกำลัง x y 1. โดเมนของคำจำกัดความและช่วงของค่าของฟังก์ชันกำลังของแบบฟอร์มโดยที่ n – จำนวนธรรมชาติ, เป็นจำนวนจริงทั้งหมด 2. ฟังก์ชันเหล่านี้เป็นเลขคี่ กราฟของพวกเขามีความสมมาตรเกี่ยวกับจุดกำเนิด คุณสมบัติและกราฟของฟังก์ชันกำลัง
ฟังก์ชันกำลังที่มีเลขชี้กำลังบวกที่เป็นตรรกยะ โดเมนของคำจำกัดความคือจำนวนบวกทั้งหมดและหมายเลข 0 ช่วงของค่าของฟังก์ชันที่มีเลขชี้กำลังดังกล่าวก็เป็นจำนวนบวกทั้งหมดและหมายเลข 0 ฟังก์ชันเหล่านี้ไม่เป็นคู่หรือคี่ . y x คุณสมบัติและกราฟของฟังก์ชันกำลัง
ฟังก์ชันกำลังพร้อมเหตุผล ตัวบ่งชี้เชิงลบ. โดเมนของคำจำกัดความและช่วงของค่าของฟังก์ชันดังกล่าวเป็นจำนวนบวกทั้งหมด ฟังก์ชันไม่เป็นคู่หรือคี่ ฟังก์ชันดังกล่าวลดลงตลอดขอบเขตคำจำกัดความทั้งหมด y x คุณสมบัติและกราฟของฟังก์ชันกำลัง ความคืบหน้าของบทเรียน
ให้ข้อมูลอ้างอิงเกี่ยวกับฟังก์ชันเลขชี้กำลัง - คุณสมบัติพื้นฐาน กราฟ และสูตร หัวข้อต่อไปนี้ได้รับการพิจารณา: โดเมนของคำจำกัดความ เซตของค่า ความซ้ำซ้อน ฟังก์ชันผกผัน อนุพันธ์ อินทิกรัล การขยายอนุกรมกำลัง และการแทนโดยใช้จำนวนเชิงซ้อน
คำนิยาม
ฟังก์ชันเลขชี้กำลังเป็นลักษณะทั่วไปของผลิตภัณฑ์ของจำนวน n เท่ากับ:
ย (n) = n = a·a·a···a,
ถึงเซตของจำนวนจริง x:
ย (x) = ก.
โดยที่ a เป็นจำนวนจริงคงที่ ซึ่งเรียกว่า พื้นฐานของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง.
ฟังก์ชันเลขชี้กำลังที่มีฐาน a ก็เรียกอีกอย่างหนึ่งว่า เลขชี้กำลังของฐาน a.
ลักษณะทั่วไปดำเนินการดังนี้
สำหรับธรรมชาติ x = 1, 2, 3,...
ฟังก์ชันเลขชี้กำลังคือผลคูณของตัวประกอบ x:
.
นอกจากนี้ยังมีคุณสมบัติ (1.5-8) () ซึ่งเป็นไปตามกฎการคูณตัวเลข สำหรับค่าศูนย์และค่าลบของจำนวนเต็ม ฟังก์ชันเลขชี้กำลังถูกกำหนดโดยใช้สูตร (1.9-10) สำหรับค่าเศษส่วน x = m/n จำนวนตรรกยะ จะถูกกำหนดโดยสูตร (1.11) สำหรับค่าจริง ฟังก์ชันเลขชี้กำลังถูกกำหนดให้เป็นขีดจำกัดของลำดับ:
,
โดยที่ลำดับของจำนวนตรรกยะมาบรรจบกันเป็น x:
ด้วยคำจำกัดความนี้ ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลถูกกำหนดไว้สำหรับ all และเป็นไปตามคุณสมบัติ (1.5-8) เช่นเดียวกับค่า x ตามธรรมชาติ
สูตรทางคณิตศาสตร์ที่เข้มงวดของคำจำกัดความของฟังก์ชันเอ็กซ์โปเนนเชียลและการพิสูจน์คุณสมบัติของฟังก์ชันมีให้ในหน้า “คำจำกัดความและการพิสูจน์คุณสมบัติของฟังก์ชันเอ็กซ์โปเนนเชียล”
คุณสมบัติของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง y = a x มีคุณสมบัติต่อไปนี้บนเซตของจำนวนจริง ():
(1.1)
กำหนดและต่อเนื่อง สำหรับ , สำหรับทั้งหมด ;
(1.2)
สำหรับ ≠ 1
มีหลายความหมาย
(1.3)
เพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัดที่ , ลดลงอย่างเคร่งครัดที่ ,
คงที่ที่ ;
(1.4)
ที่ ;
ที่ ;
(1.5)
;
(1.6)
;
(1.7)
;
(1.8)
;
(1.9)
;
(1.10)
;
(1.11)
,
.
สูตรที่มีประโยชน์อื่นๆ
.
สูตรการแปลงเป็นฟังก์ชันเลขชี้กำลังที่มีฐานเลขชี้กำลังต่างกัน:
เมื่อ b = e เราได้นิพจน์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลังผ่านเลขชี้กำลัง:
ค่านิยมส่วนตัว
, , , , .
รูปนี้แสดงกราฟของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
ย (x) = ก
สำหรับสี่ค่า ฐานระดับ:ก= 2
, ก = 8
, ก = 1/2
และ ก = 1/8
. จะเห็นได้ว่าสำหรับ > 1
ฟังก์ชันเอ็กซ์โปเนนเชียลจะเพิ่มขึ้นแบบซ้ำซากจำเจ ยิ่งฐานของระดับ a มีขนาดใหญ่เท่าใด การเติบโตก็จะยิ่งแข็งแกร่งขึ้นเท่านั้น ที่ 0
< a < 1
ฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลจะลดลงแบบซ้ำซากจำเจ ยิ่งเลขชี้กำลัง a น้อย ค่าการลดลงก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น
จากน้อยไปมากจากมากไปน้อย
ฟังก์ชันเอ็กซ์โปเนนเชียลสำหรับเป็นแบบโมโนโทนิกอย่างเคร่งครัด ดังนั้นจึงไม่มีเอ็กซ์ตรีม คุณสมบัติหลักแสดงไว้ในตาราง
| y = a x , a > 1 | y = ขวาน 0 < a < 1 | |
| โดเมน | - ∞ < x < + ∞ | - ∞ < x < + ∞ |
| ช่วงของค่า | 0 < y < + ∞ | 0 < y < + ∞ |
| โมโนโทน | เพิ่มขึ้นอย่างน่าเบื่อ | ลดลงอย่างน่าเบื่อ |
| ศูนย์, y = 0 | เลขที่ | เลขที่ |
| จุดตัดกับแกนพิกัด x = 0 | ย = 1 | ย = 1 |
| + ∞ | 0 | |
| 0 | + ∞ |
ฟังก์ชันผกผัน
ค่าผกผันของฟังก์ชันเลขชี้กำลังที่มีฐาน a คือลอการิทึมของฐาน a
ถ้าอย่างนั้น
.
ถ้าอย่างนั้น
.
การหาความแตกต่างของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
หากต้องการแยกความแตกต่างของฟังก์ชันเอ็กซ์โปเนนเชียล ฐานจะต้องลดลงเหลือจำนวน e ใช้ตารางอนุพันธ์และกฎการหาอนุพันธ์ ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน.
ในการทำเช่นนี้ คุณต้องใช้คุณสมบัติของลอการิทึม
และสูตรจากตารางอนุพันธ์คือ
.
ให้ฟังก์ชันเลขชี้กำลังได้รับ:
.
เรานำมันไปที่ฐาน e:
ลองใช้กฎการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อนกันดีกว่า เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้แนะนำตัวแปร
แล้ว
จากตารางอนุพันธ์ที่เรามี (แทนที่ตัวแปร x ด้วย z):
.
เนื่องจากเป็นค่าคงที่ อนุพันธ์ของ z เทียบกับ x จะเท่ากับ
.
ตามกฎการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน:
.
อนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
.
อนุพันธ์ของลำดับที่ n:
.
การหาสูตร > > >
ตัวอย่างการสร้างความแตกต่างของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
ย = 3 5 x
สารละลาย
ลองแสดงฐานของฟังก์ชันเอ็กซ์โปเนนเชียลผ่านตัวเลข e กัน
3 = อี อิน 3
แล้ว
.
ป้อนตัวแปร
.
แล้ว
จากตารางอนุพันธ์เราพบว่า:
.
เพราะว่า 5อิน3เป็นค่าคงที่ ดังนั้นอนุพันธ์ของ z เทียบกับ x จะเท่ากับ:
.
ตามกฎการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อน เราจะได้:
.
คำตอบ
บูรณาการ
นิพจน์ที่ใช้จำนวนเชิงซ้อน
พิจารณาฟังก์ชันจำนวนเชิงซ้อน z:
ฉ (z) = ก
โดยที่ z = x + iy; ฉัน 2 = - 1
.
ให้เราแสดงค่าคงที่เชิงซ้อน a ในรูปของโมดูลัส r และอาร์กิวเมนต์ φ:
a = r e ฉัน φ
แล้ว
.
อาร์กิวเมนต์ φ ไม่ได้ถูกกำหนดไว้โดยเฉพาะ ใน ปริทัศน์
φ = φ 0 + 2 πn,
โดยที่ n คือจำนวนเต็ม ดังนั้นฟังก์ชัน f (ซ)ยังไม่ชัดเจน ความสำคัญหลักมักได้รับการพิจารณา
.
การขยายซีรีส์
.
อ้างอิง:
ใน. บรอนสไตน์, เค.เอ. Semendyaev คู่มือคณิตศาสตร์สำหรับวิศวกรและนักศึกษา "Lan", 2552
ให้เรานึกถึงคุณสมบัติและกราฟของฟังก์ชันกำลังด้วยเลขชี้กำลังจำนวนเต็มลบ
สำหรับคู่ n :
ฟังก์ชั่นตัวอย่าง:
กราฟทั้งหมดของฟังก์ชันดังกล่าวจะผ่านจุดคงที่สองจุด: (1;1), (-1;1) ลักษณะเฉพาะของฟังก์ชันประเภทนี้คือความเท่าเทียมกันกราฟมีความสมมาตรสัมพันธ์กับแกน op-amp
ข้าว. 1. กราฟของฟังก์ชัน
สำหรับคี่ n :
ฟังก์ชั่นตัวอย่าง:
กราฟทั้งหมดของฟังก์ชันดังกล่าวผ่านจุดคงที่สองจุด: (1;1), (-1;-1) ลักษณะเฉพาะของฟังก์ชันประเภทนี้คือ มีลักษณะแปลก กราฟมีความสมมาตรโดยคำนึงถึงจุดกำเนิด
ข้าว. 2. กราฟของฟังก์ชัน
ให้เราจำคำจำกัดความพื้นฐาน
กำลังของจำนวนที่ไม่เป็นลบ a ที่มีเลขชี้กำลังบวกตรรกยะเรียกว่าตัวเลข
กำลังของจำนวนบวก a ที่มีเลขชี้กำลังลบตรรกยะเรียกว่าตัวเลข
เพื่อความเท่าเทียมกัน:
ตัวอย่างเช่น: 
; - ตามนิยามแล้วนิพจน์ไม่มีอยู่จริงของระดับที่มีเลขชี้กำลังตรรกยะลบ มีอยู่เพราะเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็ม 
มาดูการพิจารณาฟังก์ชันกำลังด้วยเลขชี้กำลังลบที่เป็นตรรกยะกันดีกว่า
ตัวอย่างเช่น:
หากต้องการพล็อตกราฟของฟังก์ชันนี้ คุณสามารถสร้างตารางได้ เราจะทำมันแตกต่างออกไป: ก่อนอื่นเราจะสร้างและศึกษากราฟของตัวส่วน - เรารู้จักมัน (รูปที่ 3)
ข้าว. 3. กราฟของฟังก์ชัน
กราฟของฟังก์ชันตัวส่วนจะผ่านจุดคงที่ (1;1) เมื่อพล็อตกราฟของฟังก์ชันดั้งเดิม จุดนี้ยังคงอยู่ ในขณะที่รากมีแนวโน้มเป็นศูนย์เช่นกัน แต่ฟังก์ชันมีแนวโน้มเป็นอนันต์ และในทางกลับกัน เมื่อ x มีแนวโน้มที่จะเป็นอนันต์ ฟังก์ชันก็จะมีแนวโน้มเป็นศูนย์ (รูปที่ 4)
ข้าว. 4. กราฟฟังก์ชัน
ลองพิจารณาฟังก์ชันอื่นจากตระกูลฟังก์ชันที่กำลังศึกษาอยู่
เป็นสิ่งสำคัญตามคำนิยาม
ลองพิจารณากราฟของฟังก์ชันในตัวส่วน: เรารู้จักกราฟของฟังก์ชันนี้ โดยจะเพิ่มขอบเขตคำจำกัดความและผ่านจุด (1;1) (รูปที่ 5)
ข้าว. 5. กราฟของฟังก์ชัน
เมื่อพล็อตกราฟของฟังก์ชันดั้งเดิม จุด (1;1) จะยังคงอยู่ ในขณะที่รากมีแนวโน้มเป็นศูนย์เช่นกัน แต่ฟังก์ชันมีแนวโน้มเป็นอนันต์ และในทางกลับกัน เมื่อ x มีแนวโน้มที่จะเป็นอนันต์ ฟังก์ชันก็จะมีแนวโน้มเป็นศูนย์ (รูปที่ 6)
ข้าว. 6. กราฟของฟังก์ชัน
ตัวอย่างที่พิจารณาช่วยให้เข้าใจว่ากราฟไหลอย่างไรและคุณสมบัติของฟังก์ชันที่กำลังศึกษาคืออะไร - ฟังก์ชันที่มีเลขชี้กำลังตรรกยะลบ
กราฟของฟังก์ชันในตระกูลนี้ผ่านจุด (1;1) ฟังก์ชันจะลดลงตลอดขอบเขตคำจำกัดความทั้งหมด
ขอบเขตฟังก์ชัน: 
ฟังก์ชันไม่ได้จำกัดจากด้านบน แต่ถูกจำกัดจากด้านล่าง ฟังก์ชันไม่มีค่าสูงสุดหรือค่าน้อยที่สุด
ฟังก์ชั่นมีความต่อเนื่องและรับค่าบวกทั้งหมดจากศูนย์ถึงบวกอนันต์
ฟังก์ชั่นนูนลง (รูปที่ 15.7)
จุด A และ B อยู่บนเส้นโค้ง มีการวาดส่วนผ่านจุดเหล่านั้น เส้นโค้งทั้งหมดอยู่ใต้ส่วนนั้น เงื่อนไขนี้เป็นไปตามจุดสองจุดบนเส้นโค้งตามอำเภอใจ ดังนั้นฟังก์ชันจึงนูนลง ข้าว. 7.
ข้าว. 7. ความนูนของฟังก์ชัน
สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจว่าฟังก์ชันของตระกูลนี้มีขอบเขตจากด้านล่างเป็นศูนย์ แต่ไม่มีค่าที่น้อยที่สุด
ตัวอย่างที่ 1 - หาค่าสูงสุดและต่ำสุดของฟังก์ชันในช่วงเวลา \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) x^(2n)\ )=+\infty \]
กราฟ (รูปที่ 2)
รูปที่ 2 กราฟของฟังก์ชัน $f\left(x\right)=x^(2n)$
คุณสมบัติของฟังก์ชันยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังคี่ตามธรรมชาติ
โดเมนของคำจำกัดความคือจำนวนจริงทั้งหมด
$f\left(-x\right)=((-x))^(2n-1)=(-x)^(2n)=-f(x)$ -- ฟังก์ชันเป็นเลขคี่
$f(x)$ ต่อเนื่องตลอดโดเมนคำจำกัดความทั้งหมด
พิสัยเป็นจำนวนจริงทั้งหมด
$f"\left(x\right)=\left(x^(2n-1)\right)"=(2n-1)\cdot x^(2(n-1))\ge 0$
ฟังก์ชันนี้จะเพิ่มขึ้นทั่วทั้งขอบเขตคำจำกัดความ
$f\left(x\right)0$ สำหรับ $x\in (0,+\infty)$
$f(""\left(x\right))=(\left(\left(2n-1\right)\cdot x^(2\left(n-1\right))\right))"=2 \left(2n-1\right)(n-1)\cdot x^(2n-3)$
\ \
ฟังก์ชันนี้มีลักษณะเว้าสำหรับ $x\in (-\infty ,0)$ และนูนสำหรับ $x\in (0,+\infty)$
กราฟ (รูปที่ 3)
รูปที่ 3 กราฟของฟังก์ชัน $f\left(x\right)=x^(2n-1)$
ฟังก์ชันยกกำลังพร้อมเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม
ก่อนอื่น เรามาแนะนำแนวคิดของปริญญาที่มีเลขชี้กำลังจำนวนเต็มกันก่อน
คำจำกัดความ 3
กำลังของจำนวนจริง $a$ ที่มีเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม $n$ ถูกกำหนดโดยสูตร:
รูปที่ 4.
ให้เราพิจารณาฟังก์ชันยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม คุณสมบัติ และกราฟของมัน
คำจำกัดความที่ 4
$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$ เรียกว่าฟังก์ชันยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม
ถ้าดีกรีมากกว่าศูนย์ เราก็มาถึงกรณีของฟังก์ชันกำลังที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติ เราได้พูดคุยกันแล้วข้างต้น สำหรับ $n=0$ เราจะได้ฟังก์ชันเชิงเส้น $y=1$ เราจะปล่อยให้ผู้อ่านพิจารณา ยังคงต้องพิจารณาคุณสมบัติของฟังก์ชันกำลังด้วยเลขชี้กำลังจำนวนเต็มลบ
คุณสมบัติของฟังก์ชันยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังจำนวนเต็มลบ
โดเมนของคำจำกัดความคือ $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$
ถ้าเลขชี้กำลังเป็นคู่ ฟังก์ชันก็จะเป็นเลขคู่ ถ้าเป็นเลขคี่ แสดงว่าฟังก์ชันเป็นเลขคี่
$f(x)$ ต่อเนื่องตลอดโดเมนคำจำกัดความทั้งหมด
ขอบเขต:
ถ้าเลขชี้กำลังเป็นเลขคู่ แล้ว $(0,+\infty)$; ถ้าเป็นเลขคี่ แล้ว $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$
สำหรับเลขชี้กำลังคี่ ฟังก์ชันจะลดลงเป็น $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$ ถ้าเลขชี้กำลังเป็นเลขคู่ ฟังก์ชันจะลดลงเป็น $x\in (0,+\infty)$ และเพิ่มขึ้นเป็น $x\in \left(-\infty ,0\right)$
$f(x)\ge 0$ ทั่วทั้งโดเมนของคำจำกัดความ