เข้าใจว่าฟังก์ชันเพิ่มขึ้น. สัญญาณที่เพียงพอของการทำงานที่เพิ่มขึ้นและลดลง

โมโนโทน

คุณสมบัติที่สำคัญมากของฟังก์ชันคือความซ้ำซากจำเจ เมื่อทราบคุณสมบัติของฟังก์ชันพิเศษต่างๆ นี้แล้ว จึงสามารถกำหนดพฤติกรรมของกระบวนการทางกายภาพ เศรษฐกิจ สังคม และกระบวนการอื่นๆ อีกมากมายได้

ความซ้ำซากจำเจของฟังก์ชันประเภทต่อไปนี้มีความโดดเด่น:

1) การทำงาน เพิ่มขึ้น, ถ้าในช่วงเวลาหนึ่ง, ถ้าสำหรับสองจุดใดๆ และช่วงเวลานี้เช่นนั้น . เหล่านั้น. ค่าอาร์กิวเมนต์ที่ใหญ่กว่าจะสอดคล้องกับค่าฟังก์ชันที่ใหญ่กว่า

2) การทำงาน ลดลง, ถ้าในช่วงเวลาหนึ่ง, ถ้าสำหรับสองจุดใดๆ และช่วงเวลานี้เช่นนั้น . เหล่านั้น. ค่าอาร์กิวเมนต์ที่ใหญ่กว่าจะสอดคล้องกับค่าฟังก์ชันที่น้อยกว่า

3) การทำงาน ไม่ลดลง, ถ้าในช่วงเวลาหนึ่ง, ถ้าสำหรับสองจุดใดๆ และช่วงเวลานี้เช่นนั้น ;

4) การทำงาน ไม่เพิ่มขึ้น, ถ้าในช่วงเวลาหนึ่ง, ถ้าสำหรับสองจุดใดๆ และช่วงเวลานี้เช่นนั้น .

2. สำหรับสองกรณีแรก จะใช้คำว่า "ความซ้ำซากจำเจที่เข้มงวด" ด้วย

3. สองกรณีสุดท้ายเป็นกรณีเฉพาะและมักจะระบุเป็นองค์ประกอบของหลายฟังก์ชัน

4. แยกกัน เราสังเกตว่าการเพิ่มขึ้นและลดลงของกราฟของฟังก์ชันควรพิจารณาจากซ้ายไปขวา และไม่มีอย่างอื่นอีก

2. คู่/คี่

ฟังก์ชันนี้เรียกว่าคี่ถ้าเมื่อสัญลักษณ์ของอาร์กิวเมนต์เปลี่ยนไป ค่าของมันก็จะเปลี่ยนไปในทางตรงกันข้าม สูตรนี้มีลักษณะเช่นนี้ - ซึ่งหมายความว่าหลังจากแทนค่า "ลบ x" ลงในฟังก์ชันแทนค่า x ทั้งหมดแล้ว ฟังก์ชันจะเปลี่ยนเครื่องหมาย กราฟของฟังก์ชันดังกล่าวมีความสมมาตรเกี่ยวกับจุดกำเนิด

ตัวอย่างของฟังก์ชันคี่ เป็นต้น

ตัวอย่างเช่น จริงๆ แล้วกราฟมีความสมมาตรเกี่ยวกับจุดกำเนิด:

ฟังก์ชันนี้เรียกว่าคู่ถ้าเมื่อเครื่องหมายของอาร์กิวเมนต์เปลี่ยนไป ก็จะไม่เปลี่ยนค่าของมัน สูตรนี้มีลักษณะเช่นนี้ ซึ่งหมายความว่าหลังจากแทนที่ค่า "ลบ x" ลงในฟังก์ชันแทนค่า x ทั้งหมดแล้ว ฟังก์ชันจะไม่เปลี่ยนแปลงตามไปด้วย กราฟของฟังก์ชันดังกล่าวมีความสมมาตรรอบแกน

ตัวอย่างของฟังก์ชันคู่ เป็นต้น

ตัวอย่างเช่น ลองแสดงความสมมาตรของกราฟรอบแกน:

หากฟังก์ชันไม่ได้อยู่ในประเภทที่ระบุ จะเรียกว่าไม่เป็นคู่หรือคี่หรือ การทำงาน มุมมองทั่วไป - ฟังก์ชันดังกล่าวไม่มีความสมมาตร

ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันดังกล่าวคือฟังก์ชันเชิงเส้นที่เราพิจารณาเมื่อเร็วๆ นี้ด้วยกราฟ:

3. คุณสมบัติพิเศษฟังก์ชั่นคือ เป็นระยะ

ความจริงก็คือฟังก์ชันคาบซึ่งถือเป็นมาตรฐาน หลักสูตรของโรงเรียนเป็นเพียงฟังก์ชันตรีโกณมิติเท่านั้น เราได้พูดคุยเกี่ยวกับรายละเอียดเหล่านี้แล้วเมื่อศึกษาหัวข้อที่เกี่ยวข้อง

ฟังก์ชันคาบเป็นฟังก์ชันที่ไม่เปลี่ยนค่าเมื่อมีการเพิ่มตัวเลขที่ไม่ใช่ศูนย์คงที่บางตัวลงในอาร์กิวเมนต์

จำนวนขั้นต่ำนี้เรียกว่า ระยะเวลาของฟังก์ชันและถูกกำหนดโดยจดหมาย

สูตรนี้มีลักษณะดังนี้: .

ลองดูคุณสมบัตินี้โดยใช้ตัวอย่างกราฟไซน์:

ให้เราจำไว้ว่าคาบของฟังก์ชัน และ is และคาบ และ คือ

อย่างที่เราทราบกันดีอยู่แล้วว่าสำหรับ ฟังก์ชันตรีโกณมิติด้วยข้อโต้แย้งที่ซับซ้อน อาจมีช่วงเวลาที่ไม่เป็นมาตรฐาน มันเกี่ยวกับเกี่ยวกับฟังก์ชันของแบบฟอร์ม:

ระยะเวลาของพวกเขาเท่ากัน และเกี่ยวกับฟังก์ชั่น:

ระยะเวลาของพวกเขาเท่ากัน

อย่างที่คุณเห็น ในการคำนวณช่วงเวลาใหม่ ช่วงเวลามาตรฐานจะถูกหารด้วยปัจจัยในการโต้แย้ง ไม่ได้ขึ้นอยู่กับการปรับเปลี่ยนฟังก์ชันอื่นๆ

ข้อจำกัด

การทำงาน y=ฉ(x) ถูกเรียกว่ามีขอบเขตจากด้านล่างของเซต X⊂D(f) หากมีตัวเลข a ซึ่งสำหรับ хϵH ใดๆ ก็ตามจะมีอสมการ f(x) อยู่< a.

การทำงาน y=ฉ(x) เรียกว่ามีขอบเขตจากด้านบนบนเซต X⊂D(f) หากมีตัวเลข a ซึ่งสำหรับ хϵх ใดๆ ก็ตามที่ไม่เท่าเทียมกัน f(x) ยังคงอยู่< a.

หากไม่ได้ระบุช่วงเวลา X ฟังก์ชันจะถือว่าถูกจำกัดในขอบเขตคำจำกัดความทั้งหมด ฟังก์ชันที่มีขอบเขตทั้งด้านบนและด้านล่างเรียกว่าขอบเขต

ข้อจำกัดของฟังก์ชันสามารถอ่านได้ง่ายจากกราฟ คุณสามารถวาดเส้นบางเส้น y=a และหากฟังก์ชันสูงกว่าเส้นนี้ ก็จะมีขอบเขตจากด้านล่าง

ถ้าด้านล่างก็ด้านบนตามนั้น ด้านล่างเป็นกราฟของฟังก์ชันที่ล้อมรอบด้านล่าง เพื่อนๆ ลองวาดกราฟของฟังก์ชันจำกัดด้วยตัวเองดู

หัวข้อ: คุณสมบัติของฟังก์ชัน: ช่วงของการเพิ่มขึ้นและลดลง; ค่าสูงสุดและต่ำสุด จุดสุดขีด (ค่าสูงสุดและต่ำสุดในพื้นที่) ความนูนของฟังก์ชัน

ช่วงเวลาของการเพิ่มขึ้นและลดลง

ตามเงื่อนไข (สัญญาณ) ที่เพียงพอสำหรับการเพิ่มและลดฟังก์ชัน จะพบช่วงเวลาของการเพิ่มขึ้นและลดลงของฟังก์ชัน

ต่อไปนี้เป็นสูตรของสัญญาณของฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นและลดลงในช่วงเวลาหนึ่ง:

· ถ้าเป็นอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y=ฉ(x)แง่บวกสำหรับใครก็ตาม xจากช่วงเวลา เอ็กซ์จากนั้นฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นตาม เอ็กซ์;

· ถ้าเป็นอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y=ฉ(x)เชิงลบสำหรับใครก็ตาม xจากช่วงเวลา เอ็กซ์จากนั้นฟังก์ชันจะลดลง เอ็กซ์.

ดังนั้น เพื่อกำหนดช่วงเวลาของการเพิ่มขึ้นและลดลงของฟังก์ชัน จึงจำเป็น:

· ค้นหาโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน

· ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

· แก้ความไม่เท่าเทียมกันในขอบเขตของคำจำกัดความ

ฟังก์ชั่นการเพิ่มและลด

การทำงาน ย = ฉ(x) เรียกว่าเพิ่มขึ้นในช่วงเวลา [ ก, ข] ถ้าเป็นคู่คะแนนใดๆ เอ็กซ์และ เอ็กซ์", a ≤ x ความไม่เท่าเทียมกันคงอยู่ ฉ(x) ≤ ฉ (เอ็กซ์") และเพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัด - หากเกิดความไม่เท่าเทียมกัน ฉ (x) ฉ(เอ็กซ์"- ฟังก์ชันการลดและการลดลงอย่างเคร่งครัดมีการกำหนดในทำนองเดียวกัน ตัวอย่างเช่นฟังก์ชัน ที่ = เอ็กซ์ 2 (ข้าว. , ก) เพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัดในกลุ่ม และ

(ข้าว. , b) ลดลงอย่างเคร่งครัดในส่วนนี้ มีการกำหนดฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้น ฉ (x) และลดลง ฉ (x). เพื่อให้มีฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ ฉ (x) เพิ่มขึ้นในกลุ่ม [ ก, ข] มีความจำเป็นและเพียงพอที่อนุพันธ์ของมัน ฉ"(x) ไม่เป็นลบใน [ ก, ข].

นอกจากการเพิ่มและลดฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์แล้ว เรายังพิจารณาการเพิ่มและลดฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่งด้วย การทำงาน ที่ = ฉ (x) เรียกว่าเพิ่มขึ้น ณ จุดนั้น x 0 หากมีช่วงเวลา (α, β) ที่มีจุด x 0 ซึ่งสำหรับจุดใดๆ เอ็กซ์จาก (α, β), x> x 0 ความไม่เท่าเทียมกันยังคงอยู่ ฉ (x 0) ≤ ฉ (x) และสำหรับจุดใดๆ เอ็กซ์จาก (α, β), x 0 , อสมการคงอยู่ ฉ (x) ≤ ฉ (x 0) การเพิ่มขึ้นอย่างเข้มงวดของฟังก์ชัน ณ จุดนั้นถูกกำหนดในลักษณะเดียวกัน x 0 . ถ้า ฉ"(x 0) > 0 แล้วฟังก์ชัน ฉ(x) เพิ่มขึ้นตรงจุดอย่างเคร่งครัด x 0 . ถ้า ฉ (x) เพิ่มขึ้นในแต่ละจุดของช่วงเวลา ( ก, ข) จากนั้นจะเพิ่มขึ้นในช่วงเวลานี้

เอส.บี. สเตคกิน.

สารานุกรมผู้ยิ่งใหญ่แห่งสหภาพโซเวียต - ม.: สารานุกรมโซเวียต. 1969-1978 .

ดูว่า "ฟังก์ชันเพิ่มและลด" ในพจนานุกรมอื่น ๆ คืออะไร:

แนวคิดการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ฟังก์ชัน f(x) เรียกว่าอัตราส่วนของจำนวนกลุ่มอายุต่างๆ ของประชากรที่เพิ่มขึ้นในส่วน โครงสร้างอายุของประชากร ขึ้นอยู่กับอัตราการเกิดและการตาย อายุขัย ของคน... พจนานุกรมสารานุกรมขนาดใหญ่

แนวคิดการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ฟังก์ชัน f(x) กล่าวกันว่าเพิ่มขึ้นบนเซกเมนต์ ถ้าคู่ของจุด x1 และ x2 ใดๆ a≤x1 ... พจนานุกรมสารานุกรม

แนวคิดทางคณิตศาสตร์ การวิเคราะห์. ฟังก์ชัน f(x) ถูกเรียก เพิ่มขึ้นบนเซกเมนต์ [a, b] หากเป็นคู่ของจุดใดๆ x1 และ x2 และ<или=х1 <х<или=b, выполняется неравенство f(x1)วิทยาศาสตร์ธรรมชาติ พจนานุกรมสารานุกรม

สาขาวิชาคณิตศาสตร์ที่ศึกษาอนุพันธ์และอนุพันธ์ของฟังก์ชันและการประยุกต์ในการศึกษาฟังก์ชัน การออกแบบของ D. และ. เข้าสู่วินัยทางคณิตศาสตร์ที่เป็นอิสระมีความเกี่ยวข้องกับชื่อของ I. Newton และ G. Leibniz (ครึ่งหลังของ 17 ... สารานุกรมผู้ยิ่งใหญ่แห่งสหภาพโซเวียต

สาขาวิชาคณิตศาสตร์ที่มีการศึกษาแนวคิดเกี่ยวกับอนุพันธ์และอนุพันธ์และวิธีการนำไปใช้กับการศึกษาฟังก์ชัน พัฒนาการของ D. และ. เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับการพัฒนาแคลคูลัสอินทิกรัล เนื้อหาของพวกเขาก็แยกออกไม่ได้เช่นกัน ร่วมกันสร้างรากฐาน... ... สารานุกรมคณิตศาสตร์

คำนี้มีความหมายอื่น โปรดดูที่ฟังก์ชัน คำขอ "แสดงผล" ถูกเปลี่ยนเส้นทางที่นี่ ดูความหมายอื่นด้วย... Wikipedia

อริสโตเติลและ Peripatetics- คำถามของอริสโตเติล ชีวิตของอริสโตเติล อริสโตเติลเกิดในปี 384/383 พ.ศ จ. ในเมืองสตากีรา ชายแดนติดกับมาซิโดเนีย บิดาของเขาชื่อนิโคมาคัส เป็นแพทย์รับใช้กษัตริย์อมินทัสแห่งมาซิโดเนีย บิดาของฟีลิป ร่วมกับครอบครัวของเขา หนุ่มน้อย อริสโตเติล... ... ปรัชญาตะวันตกตั้งแต่กำเนิดจนถึงปัจจุบัน

- (QCD) ทฤษฎีสนามควอนตัมของปฏิสัมพันธ์ที่รุนแรงของควาร์กและกลูออน ซึ่งสร้างขึ้นในรูปของควอนตัม อิเล็กโทรไดนามิกส์ (QED) ขึ้นอยู่กับความสมมาตรเกจ "สี" เฟอร์มิออนใน QCD ต่างจาก QED ที่มีคุณสมบัติเสริม ระดับความเป็นอิสระควอนตัม ตัวเลข,… … สารานุกรมทางกายภาพ

I Heart หัวใจ (ละติน cor, Greek cardia) เป็นอวัยวะที่มีเส้นใยกลวงซึ่งทำหน้าที่เป็นเครื่องสูบน้ำเพื่อรับประกันการเคลื่อนไหวของเลือดในระบบไหลเวียนโลหิต กายวิภาคศาสตร์ หัวใจตั้งอยู่ในส่วนประจันหน้า (Mediastinum) ในเยื่อหุ้มหัวใจระหว่าง... ... สารานุกรมทางการแพทย์

ชีวิตของพืชก็เหมือนกับสิ่งมีชีวิตอื่นๆ คือชุดของกระบวนการที่ซับซ้อนซึ่งสัมพันธ์กัน สิ่งที่สำคัญที่สุดดังที่ทราบกันดีคือการแลกเปลี่ยนสารกับสิ่งแวดล้อม สิ่งแวดล้อมเป็นแหล่งกำเนิด... ... สารานุกรมชีวภาพ

เพื่อกำหนดลักษณะของฟังก์ชันและพูดคุยเกี่ยวกับพฤติกรรม จำเป็นต้องค้นหาช่วงเวลาของการเพิ่มขึ้นและลดลง กระบวนการนี้เรียกว่าการวิจัยฟังก์ชันและการสร้างกราฟ จุดสุดขั้วจะใช้เมื่อค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชันเนื่องจากฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นหรือลดลงตามช่วงเวลา

บทความนี้เปิดเผยคำจำกัดความ กำหนดสัญญาณที่เพียงพอของการเพิ่มขึ้นและลดลงในช่วงเวลาและเงื่อนไขของการมีอยู่ของส่วนปลาย สิ่งนี้ใช้กับการแก้ไขตัวอย่างและปัญหา ส่วนเรื่องฟังก์ชันการหาอนุพันธ์ควรทำซ้ำ เนื่องจากโจทย์ต้องใช้การหาอนุพันธ์

Yandex.RTB R-A-339285-1 คำจำกัดความ 1

ฟังก์ชัน y = f (x) จะเพิ่มขึ้นในช่วงเวลา x เมื่อ x 1 ∈ X ใดๆ และ x 2 ∈ X, x 2 > x 1 เป็นไปตามความไม่เท่าเทียมกันของ f (x 2) > f (x 1) กล่าวอีกนัยหนึ่ง ค่าที่มากขึ้นของอาร์กิวเมนต์จะสอดคล้องกับค่าที่มากขึ้นของฟังก์ชัน

คำจำกัดความ 2

ฟังก์ชัน y = f (x) จะถือว่าลดลงในช่วงเวลา x เมื่อสำหรับ x 1 ∈ X ใดๆ, x 2 ∈ X, x 2 > x 1 ความเท่าเทียมกัน f (x 2) > f (x 1) ถือว่าเป็นจริง กล่าวอีกนัยหนึ่ง ค่าฟังก์ชันที่ใหญ่กว่าจะสอดคล้องกับค่าอาร์กิวเมนต์ที่น้อยกว่า พิจารณารูปด้านล่าง

ความคิดเห็น: เมื่อฟังก์ชันมีความแน่นอนและต่อเนื่องที่จุดสิ้นสุดของช่วงการเพิ่มขึ้นและลดลง นั่นคือ (a; b) โดยที่ x = a, x = b จุดต่างๆ จะรวมอยู่ในช่วงการเพิ่มขึ้นและลดลง สิ่งนี้ไม่ขัดแย้งกับคำจำกัดความ แต่หมายความว่ามันเกิดขึ้นในช่วง x

คุณสมบัติหลักของฟังก์ชันเบื้องต้นประเภท y = sin x คือความแน่นอนและความต่อเนื่องสำหรับค่าที่แท้จริงของข้อโต้แย้ง จากตรงนี้เราจะได้ว่าไซน์เพิ่มขึ้นในช่วงเวลา - π 2; π 2 ดังนั้นการเพิ่มขึ้นของส่วนจะมีรูปแบบ - π 2; พาย 2.

คำจำกัดความ 3

เรียกจุด x 0 จุดสูงสุดสำหรับฟังก์ชัน y = f (x) เมื่อค่าทั้งหมดของ x ความไม่เท่าเทียมกัน f (x 0) ≥ f (x) นั้นถูกต้อง ฟังก์ชั่นสูงสุดคือค่าของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่ง และเขียนแทนด้วย y m a x

จุด x 0 เรียกว่าจุดต่ำสุดสำหรับฟังก์ชัน y = f (x) เมื่อค่าทั้งหมดของ x ความไม่เท่าเทียมกัน f (x 0) ≤ f (x) นั้นถูกต้อง ฟังก์ชั่นขั้นต่ำคือค่าของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่ง และมีการกำหนดรูปแบบ y m i n

พิจารณาพื้นที่ใกล้เคียงของจุด x 0 จุดสุดขั้วและค่าของฟังก์ชันที่สอดคล้องกับจุดปลายสุด พิจารณารูปด้านล่าง

Extrema ของฟังก์ชันที่มีค่ามากที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชัน พิจารณารูปด้านล่าง

ภาพแรกแสดงสิ่งที่คุณต้องการค้นหา มูลค่าสูงสุดฟังก์ชั่นจากเซ็กเมนต์ [a; ข ] . พบโดยใช้จุดสูงสุดและเท่ากับค่าสูงสุดของฟังก์ชัน และรูปที่สองก็เหมือนกับการหาจุดสูงสุดที่ x = b

เงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับฟังก์ชันเพื่อเพิ่มและลด

ในการค้นหาค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดของฟังก์ชัน จำเป็นต้องใช้เครื่องหมายของค่าสุดโต่งในกรณีที่ฟังก์ชันตรงตามเงื่อนไขเหล่านี้ สัญญาณแรกถือว่าใช้บ่อยที่สุด

เงื่อนไขแรกที่เพียงพอสำหรับภาวะสุดขั้ว

คำจำกัดความที่ 4

กำหนดให้ฟังก์ชัน y = f (x) ซึ่งสามารถหาอนุพันธ์ได้ในย่าน ε ของจุด x 0 และมีความต่อเนื่องที่จุดที่กำหนด x 0 จากที่นี่เราได้รับสิ่งนั้น

• เมื่อ f " (x) > 0 ด้วย x ∈ (x 0 - ε ; x 0) และ f " (x)< 0 при x ∈ (x 0 ; x 0 + ε) , тогда x 0 является точкой максимума;
• เมื่อฉ "(x)< 0 с x ∈ (x 0 - ε ; x 0) и f " (x) >0 สำหรับ x ∈ (x 0 ; x 0 + ε) ดังนั้น x 0 คือจุดต่ำสุด

กล่าวอีกนัยหนึ่งเราได้รับเงื่อนไขในการตั้งเครื่องหมาย:

• เมื่อฟังก์ชันต่อเนื่องที่จุด x 0 แล้วจะมีอนุพันธ์ที่มีเครื่องหมายเปลี่ยนแปลง นั่นคือจาก + เป็น - ซึ่งหมายถึงจุดนั้นเรียกว่าค่าสูงสุด
• เมื่อฟังก์ชันต่อเนื่องที่จุด x 0 แล้วจะมีอนุพันธ์ที่มีเครื่องหมายเปลี่ยนจาก - เป็น + ซึ่งหมายความว่าจุดนั้นเรียกว่าค่าต่ำสุด

ในการกำหนดจุดสูงสุดและต่ำสุดของฟังก์ชันอย่างถูกต้อง คุณต้องปฏิบัติตามอัลกอริทึมในการค้นหา:

• ค้นหาโดเมนของคำจำกัดความ
• ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันในบริเวณนี้
• ระบุศูนย์และจุดที่ฟังก์ชันไม่มีอยู่
• การกำหนดเครื่องหมายของอนุพันธ์ตามช่วงเวลา
• เลือกจุดที่ฟังก์ชันเปลี่ยนเครื่องหมาย

ลองพิจารณาอัลกอริธึมด้วยการแก้ตัวอย่างหลายๆ ตัวอย่างในการค้นหาเอ็กซ์ตรีมของฟังก์ชัน

ตัวอย่างที่ 1

ค้นหาจุดสูงสุดและต่ำสุดของฟังก์ชันที่กำหนด y = 2 (x + 1) 2 x - 2 .

สารละลาย

โดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันนี้คือจำนวนจริงทั้งหมด ยกเว้น x = 2 ก่อนอื่น เรามาค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันแล้วได้:

y " = 2 x + 1 2 x - 2 " = 2 x + 1 2 " (x - 2) - (x + 1) 2 (x - 2) " (x - 2) 2 = = 2 2 (x + 1) (x + 1) " (x - 2) - (x + 1) 2 1 (x - 2) 2 = 2 2 (x + 1) (x - 2 ) - (x + 2) 2 (x - 2) 2 = = 2 · (x + 1) · (x - 5) (x - 2) 2

จากที่นี่เราจะเห็นว่าค่าศูนย์ของฟังก์ชันคือ x = - 1, x = 5, x = 2 นั่นคือแต่ละวงเล็บจะต้องเท่ากับศูนย์ ลองทำเครื่องหมายบนแกนตัวเลขแล้วได้:

ตอนนี้เรากำหนดสัญญาณของอนุพันธ์จากแต่ละช่วงเวลา จำเป็นต้องเลือกจุดที่รวมอยู่ในช่วงเวลาและแทนที่ลงในนิพจน์ ตัวอย่างเช่น คะแนน x = - 2, x = 0, x = 3, x = 6

เราเข้าใจแล้ว

y " (- 2) = 2 · (x + 1) · (x - 5) (x - 2) 2 x = - 2 = 2 · (- 2 + 1) · (- 2 - 5) (- 2 - 2) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0 ซึ่งหมายความว่าช่วง - ∞ - 1 มีอนุพันธ์ที่เป็นบวก ในทำนองเดียวกัน เราพบว่า

ปี " (0) = 2 · (0 + 1) · 0 - 5 0 - 2 2 = 2 · - 5 4 = - 5 2< 0 y " (3) = 2 · (3 + 1) · (3 - 5) (3 - 2) 2 = 2 · - 8 1 = - 16 < 0 y " (6) = 2 · (6 + 1) · (6 - 5) (6 - 2) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0

เนื่องจากช่วงที่สองกลายเป็นน้อยกว่าศูนย์ หมายความว่าอนุพันธ์ของช่วงดังกล่าวจะเป็นลบ ตัวที่สามมีเครื่องหมายลบ ตัวที่สี่มีเครื่องหมายบวก ในการพิจารณาความต่อเนื่อง คุณต้องใส่ใจกับสัญญาณของอนุพันธ์ หากมีการเปลี่ยนแปลง แสดงว่าเป็นจุดสุดขั้ว

เราพบว่า ณ จุด x = - 1 ฟังก์ชันจะต่อเนื่องกัน ซึ่งหมายความว่าอนุพันธ์จะเปลี่ยนเครื่องหมายจาก + เป็น - ตามเครื่องหมายแรก เรามีว่า x = - 1 เป็นจุดสูงสุด ซึ่งหมายความว่าเราได้

y m a x = y (- 1) = 2 (x + 1) 2 x - 2 x = - 1 = 2 (- 1 + 1) 2 - 1 - 2 = 0

จุด x = 5 แสดงว่าฟังก์ชันมีความต่อเนื่อง และอนุพันธ์จะเปลี่ยนเครื่องหมายจาก – เป็น + ซึ่งหมายความว่า x = -1 คือจุดต่ำสุด และการกำหนดจะมีรูปแบบ

มี ฉัน n = y (5) = 2 (x + 1) 2 x - 2 x = 5 = 2 (5 + 1) 2 5 - 2 = 24

การแสดงกราฟิก

คำตอบ: y m a x = y (- 1) = 0, y m i n = y (5) = 24

ควรให้ความสนใจกับความจริงที่ว่าการใช้เกณฑ์แรกเพียงพอสำหรับสุดขีดนั้นไม่จำเป็นต้องมีความแตกต่างของฟังก์ชันที่จุด x 0 ซึ่งช่วยลดความยุ่งยากในการคำนวณ

ตัวอย่างที่ 2

ค้นหาจุดสูงสุดและต่ำสุดของฟังก์ชัน y = 1 6 x 3 = 2 x 2 + 22 3 x - 8

สารละลาย.

โดเมนของฟังก์ชันคือจำนวนจริงทั้งหมด สามารถเขียนเป็นระบบสมการได้ดังนี้

1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 ,x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 , x ≥ 0

จากนั้นคุณจะต้องค้นหาอนุพันธ์:

y " = 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 " , x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 " , x >0 ปี " = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 , x< 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0

จุด x = 0 ไม่มีอนุพันธ์เนื่องจากค่าของขีดจำกัดด้านเดียวแตกต่างกัน เราได้รับสิ่งนั้น:

ลิม y "x → 0 - 0 = ลิม y x → 0 - 0 - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 = - 1 2 (0 - 0) 2 - 4 (0 - 0) - 22 3 = - 22 3 ลิม y "x → 0 + 0 = ลิม y x → 0 - 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 = 1 2 (0 + 0) 2 - 4 (0 + 0) + 22 3 = + 22 3

ตามมาว่าฟังก์ชันมีความต่อเนื่องที่จุด x = 0 จากนั้นเราคำนวณ

ลิม y x → 0 - 0 = ลิม x → 0 - 0 - 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 = = - 1 6 · (0 - 0) 3 - 2 · (0 - 0) 2 - 22 3 (0 - 0) - 8 = - 8 ลิม y x → 0 + 0 = ลิม x → 0 - 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 = = 1 6 (0 + 0) 3 - 2 · (0 + 0) 2 + 22 3 · (0 + 0) - 8 = - 8 ปี (0) = 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = 1 6 · 0 3 - 2 0 2 + 22 3 0 - 8 = - 8

มีความจำเป็นต้องคำนวณเพื่อค้นหาค่าของอาร์กิวเมนต์เมื่ออนุพันธ์กลายเป็นศูนย์:

1 2 x 2 - 4 x - 22 3 , x< 0 D = (- 4) 2 - 4 · - 1 2 · - 22 3 = 4 3 x 1 = 4 + 4 3 2 · - 1 2 = - 4 - 2 3 3 < 0 x 2 = 4 - 4 3 2 · - 1 2 = - 4 + 2 3 3 < 0

1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0 D = (- 4) 2 - 4 1 2 22 3 = 4 3 x 3 = 4 + 4 3 2 1 2 = 4 + 2 3 3 > 0 x 4 = 4 - 4 3 2 1 2 = 4 - 2 3 3 > 0

คะแนนที่ได้รับทั้งหมดจะต้องทำเครื่องหมายเป็นเส้นตรงเพื่อกำหนดเครื่องหมายของแต่ละช่วงเวลา ดังนั้นจึงจำเป็นต้องคำนวณอนุพันธ์ ณ จุดใดก็ได้ในแต่ละช่วงเวลา ตัวอย่างเช่น เราสามารถหาคะแนนที่มีค่า x = - 6, x = - 4, x = - 1, x = 1, x = 4, x = 6 เราเข้าใจแล้ว

y " (- 6) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 6 = - 1 2 · - 6 2 - 4 · (- 6) - 22 3 = - 4 3< 0 y " (- 4) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 4 = - 1 2 · (- 4) 2 - 4 · (- 4) - 22 3 = 2 3 >0 ปี "(- 1) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 1 = - 1 2 (- 1) 2 - 4 (- 1) - 22 3 = 23 6< 0 y " (1) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 1 = 1 2 · 1 2 - 4 · 1 + 22 3 = 23 6 >0 ปี "(4) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 4 = 1 2 4 2 - 4 4 + 22 3 = - 2 3< 0 y " (6) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 6 = 1 2 · 6 2 - 4 · 6 + 22 3 = 4 3 > 0

ภาพบนเส้นตรงมีลักษณะเช่นนี้

ซึ่งหมายความว่าเราได้ข้อสรุปว่าจำเป็นต้องใช้สัญญาณแรกของภาวะสุดขั้ว ให้เราคำนวณและพบว่า

x = - 4 - 2 3 3 , x = 0 , x = 4 + 2 3 3 จากนั้นจุดสูงสุดจะมีค่า x = - 4 + 2 3 3 , x = 4 - 2 3 3

มาดูการคำนวณขั้นต่ำกัน:

มี ฉัน n = y - 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 ปี ฉัน n = y (0) = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = - 8 ปี ฉัน n = y 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 + 2 3 3 = - 8 27 3

ลองคำนวณค่าสูงสุดของฟังก์ชันกัน เราเข้าใจแล้ว

ใช่ ม a x = y - 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 + 2 3 3 = 8 27 3 ใช่ ม a x = y 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 - 2 3 3 = 8 27 3

การแสดงกราฟิก

คำตอบ:

มี ฉัน n = y - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 ปี ฉัน n = y (0) = - 8 ปี ฉัน n = y 4 + 2 3 3 = - 8 27 3 ปี a x = y - 4 + 2 3 3 = 8 27 3 ปี a x = ปี 4 - 2 3 3 = 8 27 3

ถ้าให้ฟังก์ชัน f "(x 0) = 0 แล้วถ้า f "" (x 0) > 0 เราจะได้ว่า x 0 เป็นจุดต่ำสุดถ้า f "" (x 0)< 0 , то точкой максимума. Признак связан с нахождением производной в точке x 0 .

ตัวอย่างที่ 3

ค้นหาค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดของฟังก์ชัน y = 8 x x + 1

สารละลาย

อันดับแรก เราจะหาโดเมนของคำจำกัดความ เราเข้าใจแล้ว

ง(ย) : x ≥ 0 x ≠ - 1 ⇔ x ≥ 0

มีความจำเป็นต้องแยกความแตกต่างของฟังก์ชันหลังจากที่เราได้รับ

y " = 8 x x + 1 " = 8 x " (x + 1) - x (x + 1) " (x + 1) 2 = = 8 1 2 x (x + 1) - x 1 (x + 1) 2 = 4 x + 1 - 2 x (x + 1) 2 x = 4 - x + 1 (x + 1) 2 x

ที่ x = 1 อนุพันธ์จะกลายเป็นศูนย์ ซึ่งหมายความว่าจุดนั้นเป็นจุดสุดขั้วที่เป็นไปได้ เพื่อชี้แจงให้ชัดเจน จำเป็นต้องค้นหาอนุพันธ์อันดับสองและคำนวณค่าที่ x = 1 เราได้รับ:

y "" = 4 - x + 1 (x + 1) 2 x " = = 4 (- x + 1) " (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 x " (x + 1) 4 x = = 4 (- 1) (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 " x + (x + 1) 2 x " (x + 1) 4 x = = 4 - (x + 1) 2 x - (- x + 1) 2 x + 1 (x + 1) " x + (x + 1) 2 2 x (x + 1) 4 x = = - (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 x + x + 1 2 x (x + 1) 4 x = = 2 3 x 2 - 6 x - 1 x + 1 3 x 3 ⇒ y "" (1 ) = 2 3 1 2 - 6 1 - 1 (1 + 1) 3 (1) 3 = 2 · - 4 8 = - 1< 0

ซึ่งหมายความว่าเมื่อใช้เงื่อนไข 2 ที่เพียงพอสำหรับจุดสุดโต่ง เราจะได้ว่า x = 1 เป็นจุดสูงสุด มิฉะนั้น รายการจะมีลักษณะดังนี้ y m a x = y (1) = 8 1 1 + 1 = 4

การแสดงกราฟิก

คำตอบ: y ม x = y (1) = 4 ..

คำจำกัดความที่ 5

ฟังก์ชัน y = f (x) มีอนุพันธ์จนถึงลำดับที่ n ในย่าน ε ของจุดที่กำหนด x 0 และอนุพันธ์ของมันขึ้นอยู่กับลำดับที่ n + ที่จุด x 0 จากนั้น f " (x 0) = f "" (x 0) = f " " " (x 0) = . - - = ฉ n (x 0) = 0 .

ตามมาว่าเมื่อ n เป็นเลขคู่ แล้ว x 0 จะถือเป็นจุดเปลี่ยนเว้า เมื่อ n เป็นเลขคี่ แล้ว x 0 คือจุดสุดขั้ว และ f (n + 1) (x 0) > 0 แล้ว x 0 คือจุดต่ำสุด f (n + 1) (x 0)< 0 , тогда x 0 является точкой максимума.

ตัวอย่างที่ 4

ค้นหาจุดสูงสุดและต่ำสุดของฟังก์ชัน y = 1 16 (x + 1) 3 (x - 3) 4.

สารละลาย

ฟังก์ชันดั้งเดิมเป็นฟังก์ชันตรรกยะทั้งหมด ซึ่งหมายความว่าโดเมนของคำจำกัดความคือจำนวนจริงทั้งหมด จำเป็นต้องแยกแยะฟังก์ชั่น เราเข้าใจแล้ว

y " = 1 16 x + 1 3 " (x - 3) 4 + (x + 1) 3 x - 3 4 " = = 1 16 (3 (x + 1) 2 (x - 3) 4 + (x + 1) 3 4 (x - 3) 3) = = 1 16 (x + 1) 2 (x - 3) 3 (3 x - 9 + 4 x + 4) = 1 16 (x + 1) 2 (x - 3) 3 (7 x - 5)

อนุพันธ์นี้จะเป็นศูนย์ที่ x 1 = - 1, x 2 = 5 7, x 3 = 3 นั่นคือคะแนนอาจเป็นจุดสุดขั้วที่เป็นไปได้ จำเป็นต้องใช้เงื่อนไขที่เพียงพอประการที่สามสำหรับส่วนปลายสุด การค้นหาอนุพันธ์อันดับสองช่วยให้คุณระบุค่าสูงสุดและต่ำสุดของฟังก์ชันได้อย่างแม่นยำ อนุพันธ์อันดับสองคำนวณที่จุดสุดขั้วที่เป็นไปได้ เราเข้าใจแล้ว

y "" = 1 16 x + 1 2 (x - 3) 3 (7 x - 5) " = 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) y "" (- 1) = 0 ปี "" 5 7 = - 36864 2401< 0 y "" (3) = 0

ซึ่งหมายความว่า x 2 = 5 7 คือจุดสูงสุด เมื่อใช้เกณฑ์เพียงพอข้อที่ 3 เราจะพบว่าสำหรับ n = 1 และ f (n + 1) 5 7< 0 .

มีความจำเป็นต้องกำหนดลักษณะของจุด x 1 = - 1, x 3 = 3 ในการทำเช่นนี้คุณต้องค้นหาอนุพันธ์อันดับสามและคำนวณค่าที่จุดเหล่านี้ เราเข้าใจแล้ว

ปี " " " = 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) " = = 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) ปี " " " (- 1) = 96 ≠ 0 ปี " " " (3) = 0

ซึ่งหมายความว่า x 1 = - 1 คือจุดเปลี่ยนเว้าของฟังก์ชัน เนื่องจากสำหรับ n = 2 และ f (n + 1) (- 1) ≠ 0 จำเป็นต้องตรวจสอบจุด x 3 = 3 ในการทำเช่นนี้ เราจะค้นหาอนุพันธ์อันดับ 4 และทำการคำนวณ ณ จุดนี้:

ปี (4) = 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) " = = 1 2 (105 x 3 - 405 x 2 + 315 x + 57) ปี (4) ( 3) = 96 > 0

จากสิ่งที่ตัดสินใจไว้ข้างต้น เราสรุปได้ว่า x 3 = 3 คือจุดต่ำสุดของฟังก์ชัน

การแสดงกราฟิก

คำตอบ: x 2 = 5 7 คือจุดสูงสุด x 3 = 3 คือจุดต่ำสุดของฟังก์ชันที่กำหนด

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

จากสัญญาณที่เพียงพอ จะพบช่วงเวลาของฟังก์ชันเพิ่มขึ้นและลดลง

ต่อไปนี้เป็นข้อความของสัญญาณ:

• ถ้าเป็นอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ย = ฉ(x)แง่บวกสำหรับใครก็ตาม xจากช่วงเวลา เอ็กซ์จากนั้นฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นตาม เอ็กซ์;
• ถ้าเป็นอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ย = ฉ(x)เชิงลบสำหรับใครก็ตาม xจากช่วงเวลา เอ็กซ์จากนั้นฟังก์ชันจะลดลง เอ็กซ์.

ดังนั้น เพื่อกำหนดช่วงเวลาของการเพิ่มขึ้นและลดลงของฟังก์ชัน จึงจำเป็น:

• ค้นหาโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน

• ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

• ไปยังช่วงเวลาที่เป็นผลให้เพิ่มจุดขอบเขตที่กำหนดฟังก์ชันและต่อเนื่อง

ลองดูตัวอย่างเพื่ออธิบายอัลกอริทึม

ตัวอย่าง.

ค้นหาช่วงเวลาของฟังก์ชันเพิ่มและลด

สารละลาย.

ขั้นตอนแรกคือการหาคำจำกัดความของฟังก์ชัน ในตัวอย่างของเรา นิพจน์ในตัวส่วนไม่ควรเป็นศูนย์ ดังนั้น .

มาดูฟังก์ชันอนุพันธ์กันดีกว่า:

เพื่อกำหนดช่วงเวลาของการเพิ่มขึ้นและลดลงของฟังก์ชันตามเกณฑ์ที่เพียงพอ เราจะแก้อสมการ และ บนขอบเขตของคำจำกัดความ ลองใช้ลักษณะทั่วไปของวิธีช่วงเวลา รากที่แท้จริงเพียงรากเดียวของตัวเศษคือ x = 2และตัวส่วนไปที่ศูนย์ที่ x = 0- จุดเหล่านี้จะแบ่งโดเมนของคำจำกัดความออกเป็นระยะโดยที่อนุพันธ์ของฟังก์ชันยังคงมีเครื่องหมายอยู่ ลองทำเครื่องหมายจุดเหล่านี้บนเส้นจำนวน ตามอัตภาพเราแสดงด้วยเครื่องหมายบวกและลบช่วงเวลาที่อนุพันธ์เป็นบวกหรือลบ ลูกศรด้านล่างแสดงการเพิ่มขึ้นหรือลดลงของฟังก์ชันในช่วงเวลาที่สอดคล้องกันตามแผนผัง

ดังนั้น, และ .

ตรงจุด x = 2ฟังก์ชันถูกกำหนดและต่อเนื่อง ดังนั้นจึงควรเพิ่มทั้งช่วงเวลาที่เพิ่มขึ้นและลดลง ตรงจุด x = 0ไม่ได้กำหนดฟังก์ชันไว้ ดังนั้นเราจึงไม่รวมจุดนี้ไว้ในช่วงเวลาที่ต้องการ

เรานำเสนอกราฟของฟังก์ชันเพื่อเปรียบเทียบผลลัพธ์ที่ได้รับ

คำตอบ:ฟังก์ชั่นเพิ่มขึ้นด้วย , ลดลงตามช่วงเวลา (0; 2] .

- จุดปลายสุดของฟังก์ชันของตัวแปรหนึ่งตัว เงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับสุดขั้ว

ปล่อยให้ฟังก์ชัน f(x) ซึ่งกำหนดและต่อเนื่องในช่วงเวลานั้นไม่ใช่เสียงเดียวในนั้น มีหลายส่วน [ , ] ของช่วงเวลาที่ฟังก์ชันที่จุดภายในได้ค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดคือ ระหว่างและ.

ฟังก์ชัน f(x) กล่าวกันว่ามีค่าสูงสุด (หรือต่ำสุด) ณ จุดหนึ่ง หากจุดนี้สามารถล้อมรอบด้วยย่านใกล้เคียงดังกล่าวได้ (x 0 - ,x 0 +) ที่มีอยู่ในช่วงเวลาที่ฟังก์ชันกำหนดว่าความไม่เท่าเทียมกัน ยึดถือทุกจุด

ฉ(x)< f(x 0)(или f(x)>ฉ(x 0))

กล่าวอีกนัยหนึ่งจุด x 0 ให้ฟังก์ชัน f(x) สูงสุด (ขั้นต่ำ) หากค่า f(x 0) กลายเป็นค่าที่ใหญ่ที่สุด (เล็กที่สุด) ของค่าที่ฟังก์ชันยอมรับในบางส่วน (อย่างน้อยก็เล็ก) ย่านใกล้เคียงของจุดนี้ โปรดทราบว่าคำจำกัดความสูงสุด (ขั้นต่ำ) ถือว่าฟังก์ชันถูกระบุทั้งสองด้านของจุด x 0

หากมีย่านใกล้เคียงที่ (ที่ x=x 0) ความไม่เท่าเทียมกันที่เข้มงวด

ฉ(x) ฉ(x 0)

จากนั้นพวกเขาก็บอกว่าฟังก์ชันมีค่าสูงสุด (ขั้นต่ำ) ของตัวเองที่จุด x 0 ไม่เช่นนั้นฟังก์ชันจะมีค่าสูงสุด (ขั้นต่ำ) ของตัวเอง

หากฟังก์ชันมีค่าสูงสุดที่จุด x 0 และ x 1 ดังนั้น เมื่อใช้ทฤษฎีบทไวเออร์สตราสที่สองกับช่วง เราจะเห็นว่าฟังก์ชันนั้นถึงค่าที่น้อยที่สุดในช่วงเวลานี้ ณ จุดใดจุดหนึ่ง x 2 ระหว่าง x 0 ถึง x 1 และมี ขั้นต่ำที่นั่น ในทำนองเดียวกัน ระหว่างจุดต่ำสุดสองจุดจะต้องมีค่าสูงสุดอย่างแน่นอน ในกรณีที่ง่ายที่สุด (และในทางปฏิบัติที่สำคัญที่สุด) เมื่อฟังก์ชันโดยทั่วไปมีเพียงจำนวนสูงสุดและต่ำสุดที่จำกัด ฟังก์ชันก็จะสลับกัน

โปรดทราบว่าในการแสดงถึงค่าสูงสุดหรือต่ำสุด ยังมีคำที่รวมค่าเหล่านั้นเข้าด้วยกัน - สุดขั้ว

แนวคิดเรื่องค่าสูงสุด (สูงสุด f(x)) และค่าต่ำสุด (ต่ำสุด f(x)) เป็นคุณสมบัติเฉพาะตัวของฟังก์ชันและเกิดขึ้นที่จุดใดจุดหนึ่ง x 0 แนวคิดของค่าที่ใหญ่ที่สุด (sup f(x)) และค่าที่เล็กที่สุด (inf f(x)) อ้างถึงเซ็กเมนต์ที่มีขอบเขตและเป็นคุณสมบัติส่วนกลางของฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์

จากรูปที่ 1 เห็นได้ชัดว่าที่จุด x 1 และ x 3 มีจุดสูงสุดเฉพาะจุด และที่จุด x 2 และ x 4 มีค่าต่ำสุดเฉพาะจุด อย่างไรก็ตาม ฟังก์ชันถึงค่าต่ำสุดที่จุด x=a และค่าสูงสุดที่จุด x=b

ให้เราสร้างปัญหาในการค้นหาค่าทั้งหมดของอาร์กิวเมนต์ที่ทำให้ฟังก์ชันมีความสุดขั้ว เมื่อแก้โจทย์แล้วอนุพันธ์จะมีบทบาทหลัก

ก่อนอื่นให้เราสมมติว่าฟังก์ชัน f(x) มีอนุพันธ์จำกัดในช่วง (a,b) ถ้า ณ จุด x 0 ฟังก์ชันมีจุดสุดขั้ว ดังนั้น เมื่อนำทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ไปใช้กับช่วง (x 0 - , x 0 +) ที่กล่าวถึงข้างต้น เราจะสรุปได้ว่า f (x) = 0 นี่คือเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับจุดสุดขีด . ควรหาค่าสุดโต่งเฉพาะจุดที่อนุพันธ์มีค่าเท่ากับศูนย์เท่านั้น

อย่างไรก็ตาม เราไม่ควรคิดว่าทุกจุดที่อนุพันธ์มีค่าเท่ากับศูนย์จะทำให้ฟังก์ชันมีความสุดขั้ว เงื่อนไขที่จำเป็นที่เพิ่งระบุไว้นั้นไม่เพียงพอ

สุดขีดของฟังก์ชัน

คำจำกัดความ 2

จุด $x_0$ เรียกว่าจุดสูงสุดของฟังก์ชัน $f(x)$ หากมีย่านใกล้เคียงของจุดนี้ โดยที่ $x$ ทั้งหมดในย่านนี้จะมีความไม่เท่าเทียมกัน $f(x)\le f(x_0) $ ถือ

คำจำกัดความ 3

จุด $x_0$ เรียกว่าจุดสูงสุดของฟังก์ชัน $f(x)$ หากมีย่านใกล้เคียงของจุดนี้ โดยที่ $x$ ทั้งหมดในย่านนี้จะมีความไม่เท่าเทียมกัน $f(x)\ge f(x_0) $ ถือ

แนวคิดเรื่องปลายสุดของฟังก์ชันมีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับแนวคิดเรื่องจุดวิกฤติของฟังก์ชัน ให้เราแนะนำคำจำกัดความของมัน

คำจำกัดความที่ 4

$x_0$ เรียกว่าจุดวิกฤติของฟังก์ชัน $f(x)$ ถ้า:

1) $x_0$ - จุดภายในของโดเมนคำจำกัดความ

2) $f"\left(x_0\right)=0$ หรือไม่มีอยู่

สำหรับแนวคิดเรื่องสุดขั้ว เราสามารถกำหนดทฤษฎีบทเรื่องความเพียงพอ และ เงื่อนไขที่จำเป็นการดำรงอยู่ของเขา

ทฤษฎีบท 2

สภาพที่เพียงพอสำหรับสุดขั้ว

ให้จุด $x_0$ เป็นจุดวิกฤตสำหรับฟังก์ชัน $y=f(x)$ และอยู่ในช่วง $(a,b)$ ในแต่ละช่วง $\left(a,x_0\right)\ and\ (x_0,b)$ อนุพันธ์ $f"(x)$ มีอยู่และรักษาเครื่องหมายคงที่ จากนั้น:

1) ถ้าในช่วง $(a,x_0)$ อนุพันธ์คือ $f"\left(x\right)>0$ และในช่วง $(x_0,b)$ อนุพันธ์คือ $f"\left( x\ขวา)

2) ถ้าในช่วง $(a,x_0)$ อนุพันธ์ $f"\left(x\right)0$ แล้วจุด $x_0$ คือจุดต่ำสุดสำหรับฟังก์ชันนี้

3) ถ้าทั้งสองอยู่ในช่วง $(a,x_0)$ และในช่วงเวลา $(x_0,b)$ อนุพันธ์ $f"\left(x\right) >0$ หรืออนุพันธ์ $f"\left(x \ขวา)

ทฤษฎีบทนี้แสดงไว้ในรูปที่ 1

ภาพที่ 1 สภาพที่เพียงพอสำหรับการมีอยู่ของภาวะสุดโต่ง

ตัวอย่างสุดขั้ว (รูปที่ 2)

รูปที่ 2 ตัวอย่างจุดสุดขั้ว

กฎสำหรับการศึกษาฟังก์ชันสำหรับสุดขั้ว

2) ค้นหาอนุพันธ์ $f"(x)$;

7) สรุปการมีอยู่ของค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดในแต่ละช่วง โดยใช้ทฤษฎีบทที่ 2

ฟังก์ชั่นการเพิ่มและลด

ก่อนอื่นเรามาแนะนำคำจำกัดความของฟังก์ชันเพิ่มและลดกันก่อน

คำจำกัดความที่ 5

ฟังก์ชัน $y=f(x)$ ที่กำหนดในช่วงเวลา $X$ บอกว่าจะเพิ่มขึ้นหากจุดใดๆ $x_1,x_2\in X$ ที่ $x_1

คำนิยาม 6

ฟังก์ชัน $y=f(x)$ ที่กำหนดในช่วงเวลา $X$ บอกว่าจะลดลงหากจุดใดๆ $x_1,x_2\in X$ สำหรับ $x_1f(x_2)$

ศึกษาฟังก์ชันของการเพิ่มขึ้นและลดลง

คุณสามารถศึกษาฟังก์ชันการเพิ่มและลดโดยใช้อนุพันธ์ได้

ในการตรวจสอบฟังก์ชันสำหรับช่วงเวลาที่เพิ่มขึ้นและลดลง คุณต้องดำเนินการดังต่อไปนี้:

1) ค้นหาโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน $f(x)$;

2) ค้นหาอนุพันธ์ $f"(x)$;

3) หาจุดที่มีความเท่าเทียมกัน $f"\left(x\right)=0$;

4) ค้นหาจุดที่ $f"(x)$ ไม่มีอยู่;

5) ทำเครื่องหมายบนเส้นพิกัดจุดที่พบทั้งหมดและโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันนี้

6) หาเครื่องหมายของอนุพันธ์ $f"(x)$ ในแต่ละช่วงผลลัพธ์

7) สรุป: ในช่วงที่ $f"\left(x\right)0$ ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้น

ตัวอย่างโจทย์ศึกษาฟังก์ชันของการเพิ่มขึ้น ลดลง และการมีอยู่ของจุดสุดขั้ว

ตัวอย่างที่ 1

ตรวจสอบฟังก์ชันสำหรับการเพิ่มขึ้นและลดลง และการมีอยู่ของจุดสูงสุดและต่ำสุด: $f(x)=(2x)^3-15x^2+36x+1$

เนื่องจาก 6 แต้มแรกเท่ากัน เรามาดำเนินการกันก่อน

1) โดเมนของคำจำกัดความ - จำนวนจริงทั้งหมด

2) $f"\ซ้าย(x\right)=6x^2-30x+36$;

3) $f"\left(x\right)=0$;

\ \ \

4) $f"(x)$ มีอยู่ที่ทุกจุดของโดเมนของคำจำกัดความ

5) เส้นพิกัด:

รูปที่ 3.

6) หาเครื่องหมายของอนุพันธ์ $f"(x)$ ในแต่ละช่วง:

\ \}