การจำแนกประเภท เช่น สมการกำลังสอง เริ่มมีการศึกษาในหลักสูตรพีชคณิตในชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 คุณสามารถแก้สมการกำลังสองโดยใช้การแบ่งแยกและใช้ทฤษฎีบทของเวียตนาม วิธีการศึกษาสมการกำลังสองตลอดจนสูตรจำแนกนั้นค่อนข้างไม่ประสบความสำเร็จในการสอนให้กับเด็กนักเรียนเช่นเดียวกับหลาย ๆ อย่างในการศึกษาจริง ดังนั้นพวกเขาจึงผ่านไป ปีการศึกษาการศึกษาในชั้นประถมศึกษาปีที่ 9-11 เข้ามาแทนที่” อุดมศึกษา"และทุกคนก็มองอีกครั้ง - “จะแก้สมการกำลังสองได้อย่างไร”, “จะหารากของสมการได้อย่างไร”, “จะหาตัวจำแนกได้อย่างไร” และ...

สูตรจำแนก

ค่าจำแนก D ของสมการกำลังสอง a*x^2+bx+c=0 เท่ากับ D=b^2–4*a*c
ราก (คำตอบ) ของสมการกำลังสองขึ้นอยู่กับเครื่องหมายของการแบ่งแยก (D):
D>0 – สมการนี้มีรากจริงที่แตกต่างกัน 2 แบบ
D=0 - สมการมี 1 ราก (2 รากที่ตรงกัน):
ดี<0 – не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.
สูตรคำนวณการแบ่งแยกนั้นค่อนข้างง่าย เว็บไซต์หลายแห่งจึงมีเครื่องคิดเลขออนไลน์ให้เลือกใช้ เรายังไม่ทราบสคริปต์ประเภทนี้ ดังนั้นหากใครทราบวิธีใช้งาน โปรดเขียนถึงเราทางอีเมล ที่อยู่อีเมลนี้จะถูกป้องกันจากสแปมบอท คุณต้องเปิดใช้งาน JavaScript เพื่อดู .

สูตรทั่วไปสำหรับการค้นหารากของสมการกำลังสอง:

เราค้นหารากของสมการโดยใช้สูตร
หากมีการจับคู่ค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปรกำลังสองก็แนะนำให้คำนวณไม่ใช่ค่าจำแนก แต่เป็นส่วนที่สี่
ในกรณีเช่นนี้ รากของสมการจะพบได้โดยใช้สูตร

วิธีที่สองในการหารากคือทฤษฎีบทของเวียตนาม

ทฤษฎีบทนี้ไม่ได้ถูกกำหนดไว้เฉพาะสำหรับสมการกำลังสองเท่านั้น แต่ยังสำหรับพหุนามด้วย คุณสามารถอ่านสิ่งนี้ได้ใน Wikipedia หรือแหล่งข้อมูลอิเล็กทรอนิกส์อื่น ๆ อย่างไรก็ตาม เพื่อให้ง่ายขึ้น ลองพิจารณาส่วนที่เกี่ยวข้องกับสมการกำลังสองข้างต้น ซึ่งก็คือสมการในรูปแบบ (a=1)
แก่นแท้ของสูตรของเวียตาคือผลรวมของรากของสมการเท่ากับค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปร โดยมีเครื่องหมายตรงกันข้าม ผลคูณของรากของสมการเท่ากับเทอมอิสระ ทฤษฎีบทของเวียตต้าสามารถเขียนเป็นสูตรได้
ที่มาของสูตรของ Vieta นั้นค่อนข้างง่าย มาเขียนสมการกำลังสองผ่านตัวประกอบง่ายๆ กันดีกว่า
อย่างที่คุณเห็น ทุกสิ่งที่ชาญฉลาดนั้นเรียบง่ายในเวลาเดียวกัน การใช้สูตรของเวียตต้าจะมีประสิทธิภาพเมื่อความแตกต่างในโมดูลัสของรากหรือความแตกต่างในโมดูลัสของรากคือ 1, 2 ตัวอย่างเช่น สมการต่อไปนี้ตามทฤษฎีบทของเวียตนามมีราก




จนถึงสมการที่ 4 การวิเคราะห์ควรมีลักษณะเช่นนี้ ผลคูณของรากของสมการคือ 6 ดังนั้นรากอาจเป็นค่า (1, 6) และ (2, 3) หรือจับคู่กับเครื่องหมายตรงกันข้าม ผลรวมของรากคือ 7 (สัมประสิทธิ์ของตัวแปรที่มีเครื่องหมายตรงข้าม) จากตรงนี้ เราสรุปได้ว่าคำตอบของสมการกำลังสองคือ x=2; x=3.
การเลือกรากของสมการจากตัวหารของพจน์อิสระจะง่ายกว่า โดยปรับเครื่องหมายเพื่อให้สมกับสูตรเวียตนาม ในตอนแรก ดูเหมือนว่าจะทำได้ยาก แต่ด้วยการฝึกฝนสมการกำลังสองหลายๆ ตัว เทคนิคนี้จะมีประสิทธิภาพมากกว่าการคำนวณการแบ่งแยกและการค้นหารากของสมการกำลังสองด้วยวิธีดั้งเดิม
อย่างที่คุณเห็นทฤษฎีของโรงเรียนเกี่ยวกับการศึกษาการเลือกปฏิบัติและวิธีการค้นหาคำตอบของสมการนั้นไร้ความหมายเชิงปฏิบัติ - “ เหตุใดเด็กนักเรียนจึงต้องการสมการกำลังสอง”, “ ความหมายทางกายภาพของผู้เลือกปฏิบัติคืออะไร”

ลองคิดดูสิ ผู้เลือกปฏิบัติอธิบายอะไร?

ในหลักสูตรพีชคณิต นักเรียนจะศึกษาฟังก์ชัน รูปแบบการศึกษาฟังก์ชัน และการสร้างกราฟของฟังก์ชัน ในบรรดาฟังก์ชันทั้งหมด พาราโบลาครองตำแหน่งที่สำคัญ ซึ่งสามารถเขียนสมการได้ในรูปแบบ
ดังนั้นความหมายทางกายภาพของสมการกำลังสองคือค่าศูนย์ของพาราโบลา นั่นคือจุดตัดกันของกราฟของฟังก์ชันที่มีแกนแอบซิสซา Ox
ฉันขอให้คุณจำคุณสมบัติของพาราโบลาที่อธิบายไว้ด้านล่าง เวลาจะมาถึงการสอบ การทดสอบ หรือการสอบเข้า และคุณจะรู้สึกขอบคุณสำหรับเอกสารอ้างอิง เครื่องหมายของตัวแปรกำลังสองสอดคล้องกับว่ากิ่งของพาราโบลาบนกราฟจะสูงขึ้นหรือไม่ (a>0)

หรือพาราโบลาที่มีกิ่งก้านลงมา (ก<0) .

จุดยอดของพาราโบลาอยู่ตรงกลางระหว่างราก

ความหมายทางกายภาพของผู้เลือกปฏิบัติ:

หากค่าจำแนกมากกว่าศูนย์ (D>0) พาราโบลาจะมีจุดตัดกันสองจุดกับแกน Ox
ถ้าค่าจำแนกเป็นศูนย์ (D=0) พาราโบลาที่จุดยอดจะแตะแกน x
และกรณีสุดท้ายเมื่อ discriminant มีค่าน้อยกว่าศูนย์ (D<0) – график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).

สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์

มีการศึกษาปัญหาสมการกำลังสองทั้งในหลักสูตรของโรงเรียนและในมหาวิทยาลัย พวกเขาหมายถึงสมการในรูปแบบ a*x^2 + b*x + c = 0 โดยที่ เอ็กซ์-ตัวแปร a, b, c – ค่าคงที่; ก<>0 . ภารกิจคือการหารากของสมการ

ความหมายทางเรขาคณิตของสมการกำลังสอง

กราฟของฟังก์ชันที่แสดงด้วยสมการกำลังสองคือพาราโบลา ผลเฉลย (ราก) ของสมการกำลังสองคือจุดตัดของพาราโบลากับแกนแอบซิสซา (x) ตามมาว่ามีความเป็นไปได้สามกรณี:
1) พาราโบลาไม่มีจุดตัดกับแกนแอบซิสซา ซึ่งหมายความว่าอยู่ในระนาบบนที่มีกิ่งก้านอยู่ด้านบนหรือด้านล่างมีกิ่งก้านอยู่ด้านล่าง ในกรณีเช่นนี้ สมการกำลังสองไม่มีรากจริง (มีรากที่ซับซ้อนสองอัน)

2) พาราโบลามีจุดตัดกับแกน Ox หนึ่งจุด จุดดังกล่าวเรียกว่าจุดยอดของพาราโบลา และสมการกำลังสองที่จุดนั้นจะได้ค่าต่ำสุดหรือสูงสุด ในกรณีนี้ สมการกำลังสองมีรากจริงหนึ่งราก (หรือรากที่เหมือนกันสองราก)

3) กรณีสุดท้ายน่าสนใจกว่าในทางปฏิบัติ - มีจุดตัดกันสองจุดของพาราโบลากับแกนแอบซิสซา ซึ่งหมายความว่ามีรากจริงสองอันของสมการ

จากการวิเคราะห์ค่าสัมประสิทธิ์ยกกำลังของตัวแปร สามารถสรุปข้อสรุปที่น่าสนใจเกี่ยวกับการวางตำแหน่งของพาราโบลาได้

1) ถ้าสัมประสิทธิ์ a มากกว่าศูนย์ กิ่งของพาราโบลาจะชี้ขึ้น ถ้าเป็นลบ กิ่งของพาราโบลาจะชี้ลง

2) ถ้าสัมประสิทธิ์ b มากกว่าศูนย์ จุดยอดของพาราโบลาจะอยู่ที่ครึ่งระนาบด้านซ้าย หากใช้ค่าลบ ก็จะอยู่ทางขวา

ที่มาของสูตรการแก้สมการกำลังสอง

ลองถ่ายโอนค่าคงที่จากสมการกำลังสองกัน

สำหรับเครื่องหมายเท่ากับ เราจะได้นิพจน์

คูณทั้งสองข้างด้วย 4a

เพื่อให้ได้กำลังสองที่สมบูรณ์ทางด้านซ้าย ให้บวก b^2 ทั้งสองข้างแล้วทำการแปลง

จากที่นี่เราพบว่า

สูตรสำหรับการแบ่งแยกและรากของสมการกำลังสอง

discriminant คือค่าของนิพจน์ราก หากเป็นบวก สมการจะมีรากจริง 2 อัน ซึ่งคำนวณโดยสูตร เมื่อตัวแยกแยะเป็นศูนย์ สมการกำลังสองจะมีวิธีแก้ปัญหา 1 ตัว (รากที่ตรงกันสองตัว) ซึ่งสามารถหาได้อย่างง่ายดายจากสูตรข้างต้นสำหรับ D=0 เมื่อตัวจำแนกเป็นลบ สมการนั้นจะไม่มีรากจริง อย่างไรก็ตาม การแก้สมการกำลังสองจะพบได้ในระนาบเชิงซ้อน และค่าของมันจะคำนวณโดยใช้สูตร

ทฤษฎีบทของเวียตตา

ลองพิจารณารากสองตัวของสมการกำลังสองและสร้างสมการกำลังสองบนพื้นฐานของมัน ทฤษฎีบทของ Vieta เป็นไปตามสัญกรณ์อย่างง่ายดาย: หากเรามีสมการกำลังสองในรูปแบบนี้ จากนั้นผลรวมของรากจะเท่ากับค่าสัมประสิทธิ์ p ที่ถ่ายด้วยเครื่องหมายตรงข้าม และผลคูณของรากของสมการเท่ากับเทอมอิสระ q การแสดงสูตรข้างต้นจะมีลักษณะดังนี้ หากในสมการคลาสสิก ค่าคงที่ a ไม่ใช่ศูนย์ คุณจะต้องหารสมการทั้งหมดด้วยค่านั้น จากนั้นจึงใช้ทฤษฎีบทของเวียตนาม

ตารางการแยกตัวประกอบสมการกำลังสอง

ปล่อยให้งานถูกกำหนด: แยกตัวประกอบสมการกำลังสอง เมื่อต้องการทำเช่นนี้ อันดับแรกเราต้องแก้สมการ (หาราก) ต่อไป เราจะแทนค่ารากที่พบลงในสูตรการขยายตัวของสมการกำลังสอง นี่จะช่วยแก้ปัญหาได้

โจทย์สมการกำลังสอง

ภารกิจที่ 1 ค้นหารากของสมการกำลังสอง

x^2-26x+120=0 .

วิธีแก้: เขียนค่าสัมประสิทธิ์แล้วแทนที่ลงในสูตรแยกแยะ

รากของค่านี้คือ 14 หาได้ง่ายด้วยเครื่องคิดเลขหรือจำไว้ด้วยการใช้บ่อย อย่างไรก็ตาม เพื่อความสะดวกในตอนท้ายของบทความ ฉันจะให้รายการตัวเลขกำลังสองที่มักพบได้ ปัญหาดังกล่าว
เราแทนค่าที่พบลงในสูตรรูท

และเราได้รับ

ภารกิจที่ 2 แก้สมการ

2x 2 +x-3=0

วิธีแก้: เรามีสมการกำลังสองที่สมบูรณ์ เขียนค่าสัมประสิทธิ์แล้วค้นหาตัวแยกแยะ


การใช้สูตรที่รู้จักทำให้เราหารากของสมการกำลังสองได้

ภารกิจที่ 3 แก้สมการ

9x 2 -12x+4=0.

วิธีแก้: เรามีสมการกำลังสองที่สมบูรณ์ การพิจารณาเลือกปฏิบัติ

เรามีกรณีที่รากตรงกัน ค้นหาค่าของรากโดยใช้สูตร

ภารกิจที่ 4 แก้สมการ

x^2+x-6=0 .

วิธีแก้: ในกรณีที่มีค่าสัมประสิทธิ์ x น้อย แนะนำให้ใช้ทฤษฎีบทของเวียตนาม ตามเงื่อนไขของมันเราได้สมการสองสมการ

จากเงื่อนไขที่สอง เราพบว่าผลคูณต้องเท่ากับ -6 ซึ่งหมายความว่ารากอันใดอันหนึ่งเป็นลบ เรามีคู่วิธีแก้ปัญหาที่เป็นไปได้ดังต่อไปนี้ (-3;2), (3;-2) เมื่อคำนึงถึงเงื่อนไขแรก เราจะปฏิเสธคู่ที่สองของคำตอบ
รากของสมการเท่ากัน

ปัญหาที่ 5. ค้นหาความยาวของด้านข้างของสี่เหลี่ยมผืนผ้าถ้าเส้นรอบรูปของมันคือ 18 ซม. และพื้นที่ของมันคือ 77 ซม. 2

วิธีแก้ปัญหา: ครึ่งหนึ่งของเส้นรอบรูปของสี่เหลี่ยมผืนผ้าเท่ากับผลรวมของด้านประชิด ลองแสดงว่า x เป็นด้านที่ใหญ่กว่า แล้ว 18-x คือด้านที่เล็กกว่า พื้นที่ของสี่เหลี่ยมเท่ากับผลคูณของความยาวเหล่านี้:
x(18-x)=77;
หรือ
x 2 -18x+77=0.
ลองหาการแบ่งแยกของสมการกัน

การคำนวณรากของสมการ

ถ้า x=11,ที่ 18's=7 ,สิ่งที่ตรงกันข้ามก็เป็นจริงเช่นกัน (ถ้า x=7 แล้ว 21=9)

ปัญหาที่ 6 แยกตัวประกอบสมการกำลังสอง 10x 2 -11x+3=0

วิธีแก้: ลองคำนวณรากของสมการกัน เพื่อหาค่าแยกแยะ

เราแทนที่ค่าที่พบลงในสูตรรูทแล้วคำนวณ

เราใช้สูตรในการสลายสมการกำลังสองด้วยราก

การเปิดวงเล็บเราได้รับตัวตน

สมการกำลังสองพร้อมพารามิเตอร์

ตัวอย่างที่ 1 ค่าพารามิเตอร์ใด เอสมการ (a-3)x 2 + (3-a)x-1/4=0 มีหนึ่งรูทหรือไม่?

วิธีแก้ไข: โดยการแทนที่ค่า a=3 โดยตรง เราจะพบว่ามันไม่มีวิธีแก้ปัญหา ต่อไป เราจะใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าสมการที่มีการแบ่งแยกเป็นศูนย์จะมีรากของการคูณ 2 หนึ่งตัว ลองเขียนการแบ่งแยกออกมา

ลองทำให้มันง่ายขึ้นและจัดให้เป็นศูนย์

เราได้รับสมการกำลังสองเทียบกับพารามิเตอร์ a ซึ่งสามารถหาคำตอบได้อย่างง่ายดายโดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตนาม ผลรวมของรากคือ 7 และผลิตภัณฑ์ของมันคือ 12 จากการค้นหาอย่างง่าย เราพบว่าตัวเลข 3,4 จะเป็นรากของสมการ เนื่องจากเราได้ปฏิเสธวิธีแก้ปัญหา a=3 ไปแล้วในตอนเริ่มต้นการคำนวณ วิธีเดียวที่ถูกต้องคือ - ก=4.ดังนั้น สำหรับ a=4 สมการจะมีหนึ่งราก

ตัวอย่างที่ 2 ค่าพารามิเตอร์ใด เอสมการ ก(ก+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0มีมากกว่าหนึ่งรากใช่ไหม?

วิธีแก้ไข: ก่อนอื่นมาพิจารณาจุดเอกพจน์ก่อน โดยจะเป็นค่า a=0 และ a=-3 เมื่อ a=0 สมการจะง่ายขึ้นเป็นรูปแบบ 6x-9=0; x=3/2 และจะมีหนึ่งรูท สำหรับ a= -3 เราจะได้ข้อมูลประจำตัว 0=0
มาคำนวณการแบ่งแยกกัน

และหาค่าของ a ที่เป็นบวก

จากเงื่อนไขแรก เราได้ a>3 ประการที่สอง เราพบการแบ่งแยกและรากของสมการ


ให้เรากำหนดช่วงเวลาที่ฟังก์ชันรับค่าบวก โดยการแทนจุด a=0 เราจะได้ 3>0 . ดังนั้น นอกช่วง (-3;1/3) ฟังก์ชันจะเป็นลบ อย่าลืมประเด็น ก=0,ซึ่งควรตัดออกเพราะสมการเดิมมีรากเดียว
เป็นผลให้เราได้รับสองช่วงเวลาที่ตรงตามเงื่อนไขของปัญหา

ในทางปฏิบัติจะมีงานที่คล้ายกันมากมายลองคิดงานด้วยตัวเองและอย่าลืมคำนึงถึงเงื่อนไขที่ไม่เกิดร่วมกัน ศึกษาสูตรการแก้สมการกำลังสองให้ดีซึ่งมักจำเป็นในการคำนวณในปัญหาและวิทยาศาสตร์ต่างๆ

ให้สมการกำลังสอง ax 2 + bx + c = 0
ให้เราใช้กับขวานตรีโกณมิติกำลังสอง 2 + bx + c การแปลงแบบเดียวกับที่เราทำในมาตรา 13 เมื่อเราพิสูจน์ทฤษฎีบทว่ากราฟของฟังก์ชัน y = ax 2 + bx + c เป็นพาราโบลา
เรามี

โดยปกติแล้วนิพจน์ b 2 - 4ac จะแสดงด้วยตัวอักษร D และเรียกว่าการแบ่งแยกของสมการกำลังสอง ax 2 + bx + c = 0 (หรือการแบ่งแยกของขวานตรีโกณมิติกำลังสอง + bx + c)

ดังนั้น

ซึ่งหมายความว่าสมการกำลังสอง ax 2 + พวกเขา + c = O สามารถเขียนใหม่ได้ในรูปแบบ

สมการกำลังสองใดๆ ก็สามารถแปลงเป็นรูปแบบ (1) ได้ ซึ่งเป็นวิธีที่สะดวก ดังที่เราจะได้เห็นในตอนนี้ เพื่อที่จะหาจำนวนรากของสมการกำลังสองและค้นหารากเหล่านี้

การพิสูจน์. ถ้า D< 0, то правая часть уравнения (1) — отрицательное число; в то же время ด้านซ้ายสมการ (1) รับค่าที่ไม่เป็นลบสำหรับค่าใด ๆ ของ x ซึ่งหมายความว่าไม่มีค่า x ใดที่จะเป็นไปตามสมการ (1) ดังนั้นสมการ (1) จึงไม่มีราก

ตัวอย่างที่ 1แก้สมการ 2x 2 + 4x + 7 = 0
สารละลาย. ที่นี่ a = 2, b = 4, c = 7,
ง = ข 2 -4ac = 4 2 . 4. 2. 7 = 16-56 = -40.
ตั้งแต่ D< 0, то по теореме 1 данное квадратное уравнение не имеет корней.

การพิสูจน์. ถ้า D = 0 สมการ (1) จะอยู่ในรูปแบบ

เป็นรากเดียวของสมการ

หมายเหตุ 1. คุณจำได้ไหมว่า x = - คือจุดหักมุมของจุดยอดของพาราโบลา ซึ่งทำหน้าที่เป็นกราฟของฟังก์ชัน y = ax 2 + พวกเขา + c ทำไมสิ่งนี้
ค่ากลายเป็นรากเดียวของสมการกำลังสอง ax 2 + พวกเขา + c - 0? “หีบศพ” จะเปิดออกง่ายๆ: ถ้า D เป็น 0 ตามที่เรากำหนดไว้ก่อนหน้านี้

กราฟของฟังก์ชันเดียวกัน คือพาราโบลาที่มีจุดยอดอยู่ที่จุดหนึ่ง (ดูรูปที่ 98) ซึ่งหมายความว่า สมการกำลังสองของจุดยอดของพาราโบลาและรากของสมการกำลังสองสำหรับ D = 0 เป็นจำนวนเดียวกัน

ตัวอย่างที่ 2แก้สมการ 4x 2 - 20x + 25 = 0
สารละลาย. โดยที่ a = 4, b = -20, c = 25, D = b 2 - 4ac = (-20) 2 - 4 4. 25 = 400 - 400 = 0

เนื่องจาก D = 0 ดังนั้นตามทฤษฎีบทที่ 2 สมการกำลังสองนี้มีรากเดียว สูตรนี้พบรูทนี้

คำตอบ: 2.5

โน้ต 2. โปรดทราบว่า 4x 2 - 20x +25 เป็นกำลังสองสมบูรณ์: 4x 2 - 20x + 25 = (2x - 5) 2
หากเราสังเกตเห็นสิ่งนี้ทันที เราคงจะแก้สมการได้ดังนี้: (2x - 5) 2 = 0 ซึ่งหมายถึง 2x - 5 = 0 ซึ่งจากนี้เราจะได้ x = 2.5 โดยทั่วไปถ้า D = 0 แสดงว่า

ax 2 + bx + c = - เราสังเกตไว้ก่อนหน้านี้ในหมายเหตุ 1
ถ้า D > 0 แล้วสมการกำลังสอง ax 2 + bx + c = 0 มีสองราก ซึ่งหาได้จากสูตร

การพิสูจน์. ให้เราเขียนสมการกำลังสองใหม่ ax 2 + b x + c = 0 ในรูปแบบ (1)

มาใส่กันเถอะ
ตามเงื่อนไข D > 0 ซึ่งหมายความว่าด้านขวาของสมการเป็นจำนวนบวก จากนั้นจากสมการ (2) เราจะได้สิ่งนั้น

ดังนั้น สมการกำลังสองที่ให้มาจึงมีรากอยู่สองประการ:

หมายเหตุ 3 ในทางคณิตศาสตร์ ไม่ค่อยเกิดขึ้นเลยที่คำที่แนะนำไม่มีภูมิหลังในชีวิตประจำวัน เรามาลองสิ่งใหม่กันดีกว่า
แนวคิด - เลือกปฏิบัติ จำคำว่า "การเลือกปฏิบัติ" มันหมายความว่าอะไร? มันหมายถึงความอัปยศอดสูของบางคนและการยกระดับของผู้อื่นเช่น ทัศนคติที่แตกต่างกัน
ให้กับผู้คนต่างๆ ทั้งสองคำ (เลือกปฏิบัติและการเลือกปฏิบัติ) มาจากภาษาละติน discriminans - "เลือกปฏิบัติ" ผู้แยกแยะแยกแยะสมการกำลังสองด้วยจำนวนราก

ตัวอย่างที่ 3แก้สมการ 3x 2 + 8x - 11 = 0
สารละลาย. ที่นี่ a = 3, b = 8, c = - 11,
ง = ข 2 - 4เอซี = 8 2 - 4 3. (-11) = 64 + 132 = 196
เนื่องจาก D > 0 จากนั้นตามทฤษฎีบท 3 สมการกำลังสองนี้จึงมีราก 2 อัน รากเหล่านี้พบได้ตามสูตร (3)

อันที่จริง เราได้พัฒนากฎต่อไปนี้:

กฎสำหรับการแก้สมการ
ขวาน 2 + bx + c = 0

กฎนี้เป็นกฎสากล โดยใช้ได้กับทั้งสมการกำลังสองที่สมบูรณ์และไม่สมบูรณ์ อย่างไรก็ตาม สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์มักจะแก้ไม่ได้โดยใช้กฎนี้ แต่จะสะดวกกว่าในการแก้สมการเหมือนที่เราทำในย่อหน้าก่อนๆ

ตัวอย่างที่ 4แก้สมการ:

ก) x 2 + 3x - 5 = 0; ข) - 9x 2 + 6x - 1 = 0; ค) 2x 2 -x + 3.5 = 0

วิธีแก้ปัญหา a) ที่นี่ a = 1, b = 3, c = - 5,
D = ข 2 - 4ac = Z 2 - 4 1. (- 5) = 9 + 20 = 29

เนื่องจาก D > 0 สมการกำลังสองนี้มีรากสองอัน เราค้นหารากเหล่านี้โดยใช้สูตร (3)

B) ตามที่ประสบการณ์แสดงให้เห็น จะสะดวกกว่าในการจัดการกับสมการกำลังสองซึ่งสัมประสิทธิ์นำเป็นค่าบวก ดังนั้น ก่อนอื่นเราคูณทั้งสองข้างของสมการด้วย -1 เราก็จะได้

9x 2 - 6x + 1 = 0
โดยที่ a = 9, b = -6, c = 1, D = b 2 - 4ac = 36 - 36 = 0
เนื่องจาก D = 0 สมการกำลังสองนี้มีรากเดียว พบรูทนี้โดยสูตร x = - วิธี,

สมการนี้สามารถแก้ได้แตกต่างออกไป: เนื่องจาก
9x 2 - 6x + 1 = (Зх - IJ จากนั้นเราจะได้สมการ (Зх - I) 2 = 0 จากที่เราค้นหา Зх - 1 = 0 เช่น x = .

c) ที่นี่ a = 2, b = - 1, c = 3.5, D = b 2 - 4ac = 1 - 4 2. 3.5= 1 - 28 = - 27 เนื่องจาก D< 0, то данное квадратное уравнение не имеет корней.

นักคณิตศาสตร์เป็นคนที่ปฏิบัติได้จริงและประหยัด ทำไมพวกเขาถึงบอกว่าใช้กฎที่ยาวขนาดนี้ในการแก้สมการกำลังสองจึงควรเขียนทันทีจะดีกว่า สูตรทั่วไป:

หากปรากฎว่าตัวจำแนก D = b 2 - 4ac เป็นจำนวนลบ แสดงว่าสูตรที่เขียนไม่สมเหตุสมผล (ภายใต้เครื่องหมายรากที่สองจะมีจำนวนลบ) ซึ่งหมายความว่าไม่มีราก หากปรากฎว่าผู้จำแนกมีค่าเท่ากับศูนย์ เราก็จะได้

นั่นคือหนึ่งราก (พวกเขายังบอกด้วยว่าสมการกำลังสองในกรณีนี้มีสองรากที่เหมือนกัน:

ในที่สุด หากปรากฎว่า b 2 - 4ac > 0 เราจะได้สองราก x 1 และ x 2 ซึ่งคำนวณโดยใช้สูตรเดียวกัน (3) ตามที่ระบุข้างต้น

ตัวเลขในกรณีนี้คือจำนวนบวก (เช่นเดียวกับรากที่สองของจำนวนบวก) และเครื่องหมายคู่ที่อยู่ด้านหน้าหมายความว่าในกรณีหนึ่ง (เมื่อค้นหา x 1) จำนวนบวกนี้จะถูกบวกเข้ากับตัวเลข - b และ ในอีกกรณีหนึ่ง (เมื่อหา x 2) นี่คือจำนวนบวก
อ่านจากตัวเลข - ข

คุณมีอิสระในการเลือก คุณต้องการแก้สมการกำลังสองโดยละเอียดโดยใช้กฎที่เขียนไว้ข้างต้นหรือไม่ หากต้องการ ให้จดสูตร (4) ทันทีแล้วใช้หาข้อสรุปที่จำเป็น

ตัวอย่างที่ 5. แก้สมการ:

วิธีแก้ไข ก) แน่นอน คุณสามารถใช้สูตร (4) หรือ (3) โดยคำนึงถึงสิ่งนั้นเข้า ในกรณีนี้ แต่ทำไมต้องใช้เศษส่วนในเมื่อง่ายกว่าและที่สำคัญที่สุดคือสนุกกว่าในการจัดการกับจำนวนเต็ม? กำจัดตัวส่วนออกไป. ในการทำเช่นนี้ คุณต้องคูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 12 ซึ่งก็คือด้วยตัวส่วนร่วมที่ต่ำที่สุดของเศษส่วนที่ใช้เป็นสัมประสิทธิ์ของสมการ เราได้รับ

โดยที่ 8x 2 + 10x - 7 = 0

ตอนนี้ลองใช้สูตร (4)

B) เรามีสมการที่มีค่าสัมประสิทธิ์เศษส่วนอีกครั้ง: a = 3, b = - 0.2, c = 2.77 ลองคูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 100 จากนั้นเราจะได้สมการที่มีสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม:
300x 2 - 20x + 277 = 0
ต่อไปเราใช้สูตร (4):

การคำนวณอย่างง่ายแสดงให้เห็นว่าการแบ่งแยก (นิพจน์ราก) เป็นจำนวนลบ ซึ่งหมายความว่าสมการไม่มีราก

ตัวอย่างที่ 6แก้สมการ
สารละลาย. ในที่นี้ ไม่เหมือนกับตัวอย่างก่อนหน้านี้ การดำเนินการตามกฎดีกว่าที่จะปฏิบัติตามสูตรย่อ (4)

เรามี a = 5, b = -, c = 1, D = b 2 - 4ac = (-) 2 - 4 5. 1 = 60 - 20 = 40 เนื่องจาก D > 0 สมการกำลังสองจึงมีราก 2 อัน ซึ่งเราจะหาโดยใช้สูตร (3)

ตัวอย่างที่ 7แก้สมการ
x 2 - (2p + 1)x + (p 2 +p-2) = 0

สารละลาย. สมการกำลังสองนี้แตกต่างจากสมการกำลังสองทั้งหมดที่พิจารณาจนถึงตอนนี้ตรงที่ว่าสัมประสิทธิ์ไม่ใช่ตัวเลขเฉพาะ แต่เป็นนิพจน์ตัวอักษร สมการดังกล่าวเรียกว่าสมการที่มีค่าสัมประสิทธิ์ตัวอักษรหรือสมการพร้อมพารามิเตอร์ ในกรณีนี้ พารามิเตอร์ (ตัวอักษร) p จะรวมอยู่ในค่าสัมประสิทธิ์ที่สองและเทอมอิสระของสมการ
เรามาค้นหาความแตกต่างกัน:

ตัวอย่างที่ 8. แก้สมการ px 2 + (1 - p) x - 1 = 0
สารละลาย. นี่เป็นสมการที่มีพารามิเตอร์ p เช่นกัน แต่ไม่เหมือนกับตัวอย่างก่อนหน้านี้ ไม่สามารถแก้ไขได้ทันทีโดยใช้สูตร (4) หรือ (3) ความจริงก็คือสูตรที่ระบุใช้ได้กับสมการกำลังสอง แต่เรายังไม่สามารถพูดสิ่งนี้เกี่ยวกับสมการที่กำหนดได้ จริงๆ แล้วถ้า p = 0 ล่ะ? แล้ว
สมการจะอยู่ในรูปแบบ 0 x 2 + (1-0)x- 1 = 0 เช่น x - 1 = 0 ซึ่งเราจะได้ x = 1 ทีนี้ ถ้าคุณรู้แน่ว่า คุณก็สามารถใช้สูตรสำหรับรากของกำลังสองได้ สมการ:

สมการกำลังสอง เลือกปฏิบัติ วิธีแก้ปัญหาตัวอย่าง

ความสนใจ!
มีเพิ่มเติม
วัสดุมาตราพิเศษ 555
สำหรับผู้ที่ "ไม่ค่อย..." มากนัก
และสำหรับผู้ที่ “มากๆ…”)

ประเภทของสมการกำลังสอง

สมการกำลังสองคืออะไร? มันดูเหมือนอะไร? ในระยะ สมการกำลังสองคำหลักคือ "สี่เหลี่ยม".ซึ่งหมายความว่าในสมการ อย่างจำเป็นจะต้องมี x กำลังสอง นอกจากนี้ สมการอาจมี (หรืออาจจะไม่!) มีเพียง X (ยกกำลังแรก) และเพียงตัวเลขเท่านั้น (สมาชิกฟรี).และไม่ควรมี X ยกกำลังมากกว่า 2

ในแง่คณิตศาสตร์ สมการกำลังสองคือสมการที่มีรูปแบบดังนี้

ที่นี่ ก ข และค- ตัวเลขบางตัว ข และ ค- อะไรก็ได้ แต่. ก– สิ่งอื่นใดที่ไม่ใช่ศูนย์ ตัวอย่างเช่น:

ที่นี่ ก =1; ข = 3; ค = -4

ที่นี่ ก =2; ข = -0,5; ค = 2,2

ที่นี่ ก =-3; ข = 6; ค = -18

คุณก็เข้าใจ...

ในสมการกำลังสองทางด้านซ้ายนี้จะมี ชุดเต็มสมาชิก. X กำลังสองด้วยสัมประสิทธิ์ เอ, x ยกกำลังแรกด้วยสัมประสิทธิ์ ขและ สมาชิกฟรี

สมการกำลังสองดังกล่าวเรียกว่า เต็ม.

และถ้า ข= 0 เราได้อะไร? เรามี X จะหายไปยกกำลังแรกสิ่งนี้เกิดขึ้นเมื่อคูณด้วยศูนย์) ปรากฎว่า:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

และอื่นๆ และถ้าทั้งสองค่าสัมประสิทธิ์ ขและ คเท่ากับศูนย์ แล้วยังง่ายกว่า:

2x 2 = 0,

-0.3x 2 =0

สมการดังกล่าวที่มีบางสิ่งหายไปเรียกว่า สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ซึ่งค่อนข้างสมเหตุสมผล) โปรดทราบว่า x กำลังสองมีอยู่ในสมการทั้งหมด

โดยวิธีการทำไม กไม่สามารถเท่ากับศูนย์ได้ใช่ไหม? และคุณทดแทนแทน กศูนย์) X กำลังสองของเราจะหายไป! สมการจะกลายเป็นเส้นตรง และวิธีแก้ปัญหาก็แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง...

นั่นคือสมการกำลังสองประเภทหลักทั้งหมด สมบูรณ์และไม่สมบูรณ์

การแก้สมการกำลังสอง

การแก้สมการกำลังสองที่สมบูรณ์

สมการกำลังสองแก้ได้ง่าย ตามสูตรและกติกาง่ายๆชัดเจน ในระยะแรกจำเป็นต้องนำสมการที่กำหนดมาเป็นรูปแบบมาตรฐานเช่น ไปที่แบบฟอร์ม:

หากคุณให้สมการในรูปแบบนี้แล้ว คุณไม่จำเป็นต้องทำขั้นตอนแรก) สิ่งสำคัญคือต้องกำหนดค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดให้ถูกต้อง ก, ขและ ค.

สูตรการหารากของสมการกำลังสองมีลักษณะดังนี้:

เรียกว่านิพจน์ภายใต้เครื่องหมายรูท เลือกปฏิบัติ. แต่เพิ่มเติมเกี่ยวกับเขาด้านล่าง อย่างที่คุณเห็นในการค้นหา X เราใช้ เฉพาะ a, b และ c. เหล่านั้น. สัมประสิทธิ์จากสมการกำลังสอง เพียงทดแทนค่าต่างๆ อย่างระมัดระวัง ก ข และคเราคำนวณเป็นสูตรนี้ มาทดแทนกันเถอะ ด้วยสัญญาณของคุณเอง! ตัวอย่างเช่น ในสมการ:

ก =1; ข = 3; ค= -4. ที่นี่เราเขียนมันลงไป:

ตัวอย่างนี้เกือบจะได้รับการแก้ไขแล้ว:

นี่คือคำตอบ

ทุกอย่างง่ายมาก แล้วคุณคิดว่ามันเป็นไปไม่ได้ที่จะทำผิดพลาดเหรอ? ใช่แล้วยังไง...

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยที่สุดคือความสับสนกับค่าสัญญาณ ก ข และค. หรือไม่ใช่ด้วยสัญญาณของพวกเขา (จะสับสนได้ที่ไหน) แต่ด้วยการแทนที่ค่าลบเป็นสูตรในการคำนวณราก สิ่งที่ช่วยได้คือการบันทึกสูตรโดยละเอียดพร้อมตัวเลขเฉพาะ หากมีปัญหาในการคำนวณ ทำอย่างนั้น!

สมมติว่าเราจำเป็นต้องแก้ตัวอย่างต่อไปนี้:

ที่นี่ ก = -6; ข = -5; ค = -1

สมมติว่าคุณรู้ว่าคุณไม่ค่อยได้รับคำตอบในครั้งแรก

เอาล่ะ อย่าขี้เกียจนะ การเขียนบรรทัดเพิ่มเติมจะใช้เวลาประมาณ 30 วินาที และจำนวนข้อผิดพลาด จะลดลงอย่างรวดเร็ว. ดังนั้นเราจึงเขียนโดยละเอียดพร้อมวงเล็บและเครื่องหมายทั้งหมด:

ดูเหมือนเป็นเรื่องยากมากที่จะเขียนออกมาอย่างระมัดระวัง แต่ดูเหมือนเป็นเช่นนั้นเท่านั้น ให้มันลอง. ดีหรือเลือก อะไรจะดีไปกว่า รวดเร็ว หรือถูกต้อง? นอกจากนี้ฉันจะทำให้คุณมีความสุข หลังจากนั้นไม่นาน ก็ไม่จำเป็นต้องเขียนทุกอย่างลงอย่างระมัดระวัง มันจะได้ผลด้วยตัวมันเอง โดยเฉพาะอย่างยิ่งหากคุณใช้เทคนิคเชิงปฏิบัติตามที่อธิบายไว้ด้านล่างนี้ ตัวอย่างที่ชั่วร้ายที่มีข้อเสียมากมายนี้สามารถแก้ไขได้อย่างง่ายดายและไม่มีข้อผิดพลาด!

แต่บ่อยครั้งที่สมการกำลังสองดูแตกต่างออกไปเล็กน้อย ตัวอย่างเช่นเช่นนี้:

คุณจำได้ไหม?) ใช่! นี้ สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์.

การแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์

สามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรทั่วไป คุณแค่ต้องเข้าใจให้ถูกต้องว่ามันเท่ากับอะไรตรงนี้ ก ข และค.

คุณคิดออกแล้วหรือยัง? ในตัวอย่างแรก ก = 1; ข = -4;ก ค? มันไม่ได้อยู่ที่นั่นเลย! ใช่แล้ว ถูกต้องแล้ว ในทางคณิตศาสตร์ก็หมายความว่าอย่างนั้น ค = 0 ! นั่นคือทั้งหมดที่ แทนศูนย์ลงในสูตรแทน ค,และเราจะประสบความสำเร็จ เช่นเดียวกับตัวอย่างที่สอง มีเพียงเราเท่านั้นที่ไม่มีศูนย์ที่นี่ กับ, ก ข !

แต่สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์สามารถแก้ไขได้ง่ายกว่ามาก โดยไม่มีสูตรใดๆ ลองพิจารณาสมการที่ไม่สมบูรณ์อันแรก ด้านซ้ายทำอะไรได้บ้าง? คุณสามารถเอา X ออกจากวงเล็บได้! เอามันออกไปเถอะ

แล้วจากนี้ล่ะ? และความจริงที่ว่าผลคูณเท่ากับศูนย์ก็ต่อเมื่อปัจจัยใดๆ เท่ากับศูนย์เท่านั้น! ไม่เชื่อฉันเหรอ? เอาล่ะ คิดเลขที่ไม่ใช่ศูนย์สองตัวที่เมื่อคูณแล้วจะได้ศูนย์!
ไม่ทำงาน, ไม่เป็นผล? แค่นั้นแหละ...
ดังนั้นเราจึงเขียนได้อย่างมั่นใจ: x 1 = 0, x 2 = 4.

ทั้งหมด. พวกนี้จะเป็นรากของสมการของเรา ทั้งสองมีความเหมาะสม เมื่อแทนค่าใดค่าหนึ่งลงในสมการดั้งเดิม เราจะได้ข้อมูลประจำตัวที่ถูกต้อง 0 = 0 อย่างที่คุณเห็น วิธีแก้ปัญหานั้นง่ายกว่าการใช้สูตรทั่วไปมาก โปรดทราบว่า X ตัวไหนจะเป็นตัวแรกและตัวไหนจะเป็นตัวที่สอง - ไม่แยแสเลย สะดวกที่จะเขียนตามลำดับ x1- อะไรที่เล็กกว่าและ x2- สิ่งที่ยิ่งใหญ่กว่า

สมการที่สองสามารถแก้ได้ง่ายๆ เช่นกัน เลื่อน 9 ไปทางด้านขวา เราได้รับ:

สิ่งที่เหลืออยู่คือการแยกรูตออกจาก 9 เท่านี้ก็เรียบร้อย มันจะเปิดออก:

สองรากเช่นกัน . x 1 = -3, x 2 = 3.

นี่คือวิธีการแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ทั้งหมด โดยการวาง X ออกจากวงเล็บ หรือเพียงเลื่อนตัวเลขไปทางขวาแล้วแยกรากออก
เป็นเรื่องยากมากที่จะสร้างความสับสนให้กับเทคนิคเหล่านี้ เพียงเพราะในกรณีแรก คุณจะต้องแยกรากของ X ซึ่งไม่สามารถเข้าใจได้ และในกรณีที่สอง ไม่มีอะไรจะออกจากวงเล็บ...

เลือกปฏิบัติ สูตรจำแนก

คำวิเศษ เลือกปฏิบัติ ! นักเรียนมัธยมปลายไม่เคยได้ยินคำนี้มาก่อน! วลีที่ว่า “เราแก้ปัญหาด้วยการเลือกปฏิบัติ” สร้างแรงบันดาลใจให้เกิดความมั่นใจและความมั่นใจ เพราะไม่จำเป็นต้องคาดหวังกลอุบายจากผู้เลือกปฏิบัติ! มันใช้งานง่ายและไร้ปัญหา) ฉันเตือนคุณถึงสูตรการแก้ปัญหาทั่วไปที่สุด ใดๆสมการกำลังสอง:

การแสดงออกภายใต้เครื่องหมายรากเรียกว่าการเลือกปฏิบัติ โดยทั่วไปแล้วการเลือกปฏิบัติจะแสดงด้วยตัวอักษร ดี. สูตรจำแนก:

ง = ข 2 - 4เอซี

และอะไรที่น่าทึ่งเกี่ยวกับสำนวนนี้? เหตุใดจึงสมควรได้รับชื่อพิเศษ? อะไร ความหมายของการเลือกปฏิบัติ?หลังจากนั้น -ข,หรือ 2กในสูตรนี้พวกเขาไม่ได้เรียกมันว่าอะไรโดยเฉพาะ... ตัวอักษรและตัวอักษร

นี่คือสิ่งที่ เมื่อแก้สมการกำลังสองโดยใช้สูตรนี้ก็เป็นไปได้ เพียงสามกรณี

1. การเลือกปฏิบัติเป็นบวกซึ่งหมายความว่าสามารถแยกรากออกมาได้ ไม่ว่ารากจะถูกสกัดออกมาได้ดีหรือไม่ดีก็เป็นอีกคำถามหนึ่ง สิ่งสำคัญคือสิ่งที่สกัดออกมาในหลักการ แล้วสมการกำลังสองของคุณมีสองราก สองโซลูชั่นที่แตกต่างกัน

2. การเลือกปฏิบัติเป็นศูนย์แล้วคุณจะมีทางออกหนึ่ง เนื่องจากการบวกหรือลบศูนย์ในตัวเศษจึงไม่เปลี่ยนแปลงอะไรเลย พูดอย่างเคร่งครัดนี่ไม่ใช่รากเดียว แต่ สองอันเหมือนกัน. แต่ในเวอร์ชันที่เรียบง่ายเป็นเรื่องปกติที่จะพูดถึง ทางออกหนึ่ง

3. การเลือกปฏิบัติเป็นลบไม่สามารถหารากที่สองของจำนวนลบได้ โอเค. ซึ่งหมายความว่าไม่มีวิธีแก้ไข

พูดตรงๆ เมื่อไหร่. วิธีแก้ปัญหาง่ายๆสมการกำลังสอง แนวคิดเรื่องการแบ่งแยกไม่จำเป็นเป็นพิเศษ เราแทนค่าสัมประสิทธิ์ลงในสูตรแล้วนับ ทุกสิ่งทุกอย่างเกิดขึ้นที่นั่นด้วยตัวของมันเอง มี 2 ราก 1 และไม่มีเลย แต่เมื่อต้องแก้ไขงานที่ซับซ้อนมากขึ้นโดยไม่มีความรู้ ความหมายและสูตรของการเลือกปฏิบัติไม่พอ. โดยเฉพาะในสมการที่มีพารามิเตอร์ สมการดังกล่าวเป็นการแสดงผาดโผนสำหรับการสอบของรัฐและการสอบ Unified State!)

ดังนั้น, วิธีแก้สมการกำลังสองผ่านการเลือกปฏิบัติที่คุณจำได้ หรือคุณได้เรียนรู้ซึ่งก็ไม่เลวเช่นกัน) คุณรู้วิธีกำหนดอย่างถูกต้อง ก ข และค. คุณรู้ไหมว่าทำอย่างไร? อย่างตั้งใจแทนที่พวกมันลงในสูตรรูทและ อย่างตั้งใจนับผลลัพธ์ คุณเข้าใจว่าคำสำคัญที่นี่คือ อย่างตั้งใจ?

ตอนนี้ให้สังเกตเทคนิคเชิงปฏิบัติที่ช่วยลดจำนวนข้อผิดพลาดได้อย่างมาก อันเกิดจากการไม่ตั้งใจ...ซึ่งต่อมากลับกลายเป็นความเจ็บปวดและขุ่นเคือง...

นัดแรก . อย่าเกียจคร้านก่อนที่จะแก้สมการกำลังสองและทำให้มันอยู่ในรูปแบบมาตรฐาน สิ่งนี้หมายความว่า?
สมมติว่าหลังจากการแปลงทั้งหมดคุณจะได้สมการต่อไปนี้:

อย่ารีบเขียนสูตรรูต! คุณเกือบจะได้รับโอกาสปะปนกันอย่างแน่นอน ก ข และคสร้างตัวอย่างอย่างถูกต้อง อย่างแรก X กำลังสอง จากนั้นไม่มีกำลังสอง ตามด้วยพจน์อิสระ แบบนี้:

และอีกครั้งอย่ารีบเร่ง! ลบหน้า X กำลังสองอาจทำให้คุณเสียใจได้ ลืมง่าย...กำจัดลบทิ้งไป ยังไง? ใช่แล้ว ตามที่สอนในหัวข้อที่แล้ว! เราจำเป็นต้องคูณสมการทั้งหมดด้วย -1 เราได้รับ:

แต่ตอนนี้คุณสามารถเขียนสูตรสำหรับรากได้อย่างปลอดภัย คำนวณการแบ่งแยก และแก้ไขตัวอย่างให้เสร็จสิ้น ตัดสินใจด้วยตัวเอง ตอนนี้คุณควรมีรูต 2 และ -1

แผนกต้อนรับที่สอง เช็คต้นตอ! ตามทฤษฎีบทของเวียตตา ไม่ต้องกลัว ฉันจะอธิบายทุกอย่าง! กำลังตรวจสอบ สิ่งสุดท้ายสมการ เหล่านั้น. อันที่เราใช้เขียนสูตรรูตลงไป ถ้า (ดังตัวอย่างนี้) ค่าสัมประสิทธิ์ ก = 1การตรวจสอบรากเป็นเรื่องง่าย มันก็เพียงพอแล้วที่จะคูณพวกมัน ผลลัพธ์ควรเป็นสมาชิกฟรีเช่น ในกรณีของเรา -2 โปรดทราบว่าไม่ใช่ 2 แต่เป็น -2! สมาชิกฟรี ด้วยสัญญาณของคุณ . หากไม่ได้ผลก็หมายความว่าพวกเขาทำผิดพลาดอยู่ที่ไหนสักแห่งแล้ว มองหาข้อผิดพลาด

หากได้ผลคุณจะต้องเพิ่มราก การตรวจสอบครั้งสุดท้ายและครั้งสุดท้าย ค่าสัมประสิทธิ์ควรจะเป็น ขกับ ตรงข้าม คุ้นเคย. ในกรณีของเรา -1+2 = +1 ค่าสัมประสิทธิ์ ขซึ่งอยู่ก่อน X เท่ากับ -1 ดังนั้นทุกอย่างถูกต้อง!
น่าเสียดายที่นี่เป็นเพียงตัวอย่างที่ x กำลังสองมีค่าบริสุทธิ์และมีค่าสัมประสิทธิ์เท่านั้น ก = 1แต่อย่างน้อยก็ตรวจสอบสมการดังกล่าว! ข้อผิดพลาดก็จะน้อยลงเรื่อยๆ

แผนกต้อนรับที่สาม . หากสมการของคุณมีค่าสัมประสิทธิ์เศษส่วน ให้กำจัดเศษส่วนออก! คูณสมการด้วยตัวส่วนร่วมตามที่อธิบายไว้ในบทเรียน "จะแก้สมการได้อย่างไร การแปลงอัตลักษณ์" เมื่อทำงานกับเศษส่วน ข้อผิดพลาดก็คืบคลานเข้ามาด้วยเหตุผลบางประการ...

อย่างไรก็ตามฉันสัญญาว่าจะทำให้ตัวอย่างที่ชั่วร้ายง่ายขึ้นด้วยข้อเสียมากมาย โปรด! นี่เขา.

เพื่อไม่ให้สับสนกับเครื่องหมายลบ เราจะคูณสมการด้วย -1 เราได้รับ:

นั่นคือทั้งหมด! การแก้ปัญหาคือความสุข!

เรามาสรุปหัวข้อกัน

คำแนะนำการปฏิบัติ:

1. ก่อนที่จะแก้โจทย์ เรานำสมการกำลังสองมาอยู่ในรูปแบบมาตรฐานและสร้างมันขึ้นมา ขวา.

2. หากมีสัมประสิทธิ์ลบอยู่หน้า X กำลังสอง เราจะกำจัดมันโดยการคูณสมการทั้งหมดด้วย -1

3. ถ้าสัมประสิทธิ์เป็นเศษส่วน เราจะกำจัดเศษส่วนโดยการคูณสมการทั้งหมดด้วยตัวประกอบที่เกี่ยวข้อง

4. ถ้า x กำลังสองบริสุทธิ์ ค่าสัมประสิทธิ์ของมันจะเท่ากับ 1 สามารถตรวจสอบคำตอบได้อย่างง่ายดายโดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตต้า ทำมัน!

ตอนนี้เราตัดสินใจได้แล้ว)

แก้สมการ:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

คำตอบ (อยู่ในความระส่ำระสาย):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1.2 =2

x 1 = 2
x 2 = -0.5

x - ตัวเลขใด ๆ

x 1 = -3
x 2 = 3

ไม่มีวิธีแก้ปัญหา

x 1 = 0.25
x 2 = 0.5

ทุกอย่างพอดีหรือเปล่า? ยอดเยี่ยม! สมการกำลังสองไม่ใช่สิ่งที่คุณชอบ ปวดศีรษะ. สามตัวแรกได้ผล แต่ที่เหลือไม่ได้ผลเหรอ? ปัญหาไม่ได้อยู่ที่สมการกำลังสอง ปัญหาอยู่ที่การแปลงสมการที่เหมือนกัน ลองดูตามลิงค์ครับ เป็นประโยชน์ครับ

ไม่ค่อยได้ผลใช่ไหม? หรือมันไม่ได้ผลเลย? แล้วมาตรา 555 จะช่วยท่าน ตัวอย่างทั้งหมดนี้แจกแจงไว้ตรงนั้น แสดงแล้ว หลักข้อผิดพลาดในการแก้ปัญหา แน่นอนว่าเรายังพูดถึงการใช้การแปลงที่เหมือนกันในการแก้สมการต่างๆ ช่วยได้มาก!

หากคุณชอบเว็บไซต์นี้...

ฉันมีเว็บไซต์ที่น่าสนใจอีกสองสามแห่งสำหรับคุณ)

คุณสามารถฝึกแก้ตัวอย่างและค้นหาระดับของคุณ การทดสอบด้วยการยืนยันทันที มาเรียนรู้กันเถอะ - ด้วยความสนใจ!)

คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์ได้

คำอธิบายบรรณานุกรม: Gasanov A. R. , Kuramshin A. A. , Elkov A. A. , Shilnenkov N. V. , Ulanov D. D. , Shmeleva O. V. วิธีการแก้สมการกำลังสอง // นักวิทยาศาสตร์รุ่นเยาว์ 2559. ฉบับที่ 6.1. พ.17-20..03.2019).



โครงงานของเราเกี่ยวกับวิธีแก้สมการกำลังสอง เป้าหมายของโครงการ: เรียนรู้การแก้สมการกำลังสองด้วยวิธีที่ไม่รวมอยู่ในหลักสูตรของโรงเรียน ภารกิจ: ค้นหาทุกสิ่ง วิธีที่เป็นไปได้การแก้สมการกำลังสองและเรียนรู้วิธีใช้ด้วยตนเองและแนะนำวิธีการเหล่านี้ให้เพื่อนร่วมชั้นของคุณ

“สมการกำลังสอง” คืออะไร?

สมการกำลังสอง- สมการของแบบฟอร์ม ขวาน2 + bx + ค = 0, ที่ไหน ก, ข, ค- ตัวเลขบางส่วน ( ก ≠ 0), x- ไม่ทราบ

ตัวเลข a, b, c เรียกว่าสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสอง

• a เรียกว่าสัมประสิทธิ์แรก
• b เรียกว่าสัมประสิทธิ์ที่สอง
• ค - สมาชิกฟรี

ใครเป็นคนแรกที่ "ประดิษฐ์" สมการกำลังสอง?

เทคนิคพีชคณิตบางอย่างสำหรับการแก้สมการเชิงเส้นและสมการกำลังสองเป็นที่รู้จักเมื่อ 4,000 ปีก่อนในบาบิโลนโบราณ การค้นพบแผ่นดินเหนียวของชาวบาบิโลนโบราณ ซึ่งมีอายุระหว่าง 1800 ถึง 1600 ปีก่อนคริสตกาล เป็นหลักฐานที่เก่าแก่ที่สุดของการศึกษาสมการกำลังสอง แท็บเล็ตชนิดเดียวกันนี้ใช้สรุปวิธีการแก้สมการกำลังสองบางประเภท

ความจำเป็นในการแก้สมการไม่เพียงแต่ในระดับแรกเท่านั้น แต่ยังรวมถึงระดับที่สองด้วยแม้ในสมัยโบราณก็มีสาเหตุมาจากความจำเป็นในการแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการหาพื้นที่แปลงที่ดินและงานขุดค้นที่มีลักษณะทางทหารด้วย เช่นเดียวกับพัฒนาการทางดาราศาสตร์และคณิตศาสตร์นั่นเอง

กฎสำหรับการแก้สมการเหล่านี้ที่กำหนดไว้ในตำราของชาวบาบิโลนนั้นโดยพื้นฐานแล้วเกิดขึ้นพร้อมกับสมการสมัยใหม่ แต่ไม่มีใครรู้ว่าชาวบาบิโลนมาถึงกฎนี้ได้อย่างไร ตำราแบบฟอร์มอักษรคูนิฟอร์มเกือบทั้งหมดที่พบจนถึงตอนนี้มีเพียงปัญหาเกี่ยวกับวิธีแก้ปัญหาที่วางอยู่ในรูปแบบของสูตรอาหารเท่านั้น โดยไม่มีข้อบ่งชี้ว่าพบได้อย่างไร ถึงอย่างไรก็ตาม ระดับสูงพัฒนาการของพีชคณิตในบาบิโลน ตำรารูปลิ่มขาดแนวคิดเรื่องจำนวนลบและ วิธีการทั่วไปการแก้สมการกำลังสอง

นักคณิตศาสตร์ชาวบาบิโลนตั้งแต่ประมาณศตวรรษที่ 4 ก่อนคริสต์ศักราช ใช้วิธีการเสริมกำลังสองเพื่อแก้สมการที่มีรากที่เป็นบวก ประมาณ 300 ปีก่อนคริสตกาล Euclid คิดวิธีแก้โจทย์เรขาคณิตแบบทั่วไปขึ้นมา นักคณิตศาสตร์คนแรกที่พบคำตอบของสมการที่มีรากเป็นลบในรูปแบบของสูตรพีชคณิตคือนักวิทยาศาสตร์ชาวอินเดีย พระพรหมคุปตะ(อินเดีย คริสต์ศตวรรษที่ 7)

พระพรหมคุปตะได้วางกฎทั่วไปสำหรับการแก้สมการกำลังสองที่ลดลงให้เหลือรูปแบบบัญญัติเดียว:

ax2 + bx = c, a>0

ค่าสัมประสิทธิ์ในสมการนี้อาจเป็นค่าลบได้เช่นกัน กฎของพรหมคุปต์โดยพื้นฐานแล้วเหมือนกับของเรา

การแข่งขันสาธารณะในการแก้ปัญหายากๆ เป็นเรื่องปกติในอินเดีย หนังสืออินเดียเก่าเล่มหนึ่งกล่าวถึงการแข่งขันดังกล่าวว่า “เมื่อดวงอาทิตย์ส่องแสงเจิดจ้าเหนือดวงดาว ผู้รอบรู้ก็จะเปล่งประกายในการประชุมสาธารณะด้วยการเสนอและแก้ไขปัญหาพีชคณิตฉันนั้น” ปัญหามักถูกนำเสนอในรูปแบบบทกวี

ในบทความเกี่ยวกับพีชคณิต อัล-คอวาริซมีมีการจำแนกประเภทของสมการเชิงเส้นและสมการกำลังสอง ผู้เขียนนับสมการได้ 6 ประเภท แสดงได้ดังนี้

1) “กำลังสองเท่ากับราก” เช่น ax2 = bx

2) “กำลังสองเท่ากับตัวเลข” เช่น ax2 = c

3) “รากเท่ากับจำนวน” เช่น ax2 = c

4) “กำลังสองและตัวเลขเท่ากับราก” เช่น ax2 + c = bx

5) “กำลังสองและรากเท่ากับจำนวน” เช่น ax2 + bx = c

6) “รากและตัวเลขเท่ากับกำลังสอง” เช่น bx + c == ax2

สำหรับอัล-คอวาริซมี ผู้หลีกเลี่ยงการใช้จำนวนลบ เงื่อนไขของสมการแต่ละสมการเหล่านี้จะบวกและลบไม่ได้ ในกรณีนี้ สมการที่ไม่มีคำตอบเชิงบวกจะไม่ถูกนำมาพิจารณาอย่างชัดเจน ผู้เขียนกำหนดวิธีการแก้สมการเหล่านี้โดยใช้เทคนิคอัลญับร์และอัลมูคาบัล แน่นอนว่าการตัดสินใจของเขาไม่ตรงกับการตัดสินใจของเราเลย ไม่ต้องพูดถึงว่าเป็นวาทศิลป์ล้วนๆ ควรสังเกตว่าเมื่อแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของประเภทแรก Al-Khorezmi เช่นเดียวกับนักคณิตศาสตร์ทุกคนจนถึงศตวรรษที่ 17 จะไม่คำนึงถึงวิธีแก้ปัญหาเป็นศูนย์ อาจเป็นเพราะโดยเฉพาะ ปัญหาในทางปฏิบัติมันไม่สำคัญ เมื่อแก้สมการกำลังสองที่สมบูรณ์ Al-Khwarizmi จะกำหนดกฎสำหรับการแก้สมการโดยใช้ตัวอย่างตัวเลขเฉพาะ จากนั้นจึงทำการพิสูจน์เรขาคณิต

แบบฟอร์มสำหรับการแก้สมการกำลังสองตามแบบจำลองของอัลควาริซมีในยุโรปมีการกำหนดไว้ครั้งแรกใน “หนังสือลูกคิด” ที่เขียนขึ้นในปี 1202 นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี ลีโอนาร์ด ฟีโบนัชชี. ผู้เขียนได้พัฒนาตัวอย่างพีชคณิตใหม่ในการแก้ปัญหาอย่างอิสระและเป็นคนแรกในยุโรปที่เข้าใกล้การแนะนำจำนวนลบ

หนังสือเล่มนี้มีส่วนช่วยในการเผยแพร่ความรู้เกี่ยวกับพีชคณิตไม่เพียงแต่ในอิตาลี แต่ยังในเยอรมนี ฝรั่งเศส และประเทศอื่นๆ ในยุโรปด้วย ปัญหามากมายจากหนังสือเล่มนี้ถูกนำมาใช้ในตำราเรียนยุโรปเกือบทั้งหมดในศตวรรษที่ 14-17 กฎทั่วไปการแก้สมการกำลังสองลดลงเป็นรูปแบบบัญญัติเดียว x2 + bх = с สำหรับการรวมกันของเครื่องหมายและสัมประสิทธิ์ b, c ที่เป็นไปได้ทั้งหมด ได้รับการจัดทำขึ้นในยุโรปในปี 1544 เอ็ม. สตีเฟล.

ที่มาของสูตรการแก้สมการกำลังสองค่ะ ปริทัศน์เวียดนามมีสิ่งนั้น แต่เวียตยอมรับเพียงรากเหง้าที่เป็นบวกเท่านั้น นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี ทาร์ทาเกลีย, คาร์ดาโน, บอมเบลลีหนึ่งในกลุ่มแรกในศตวรรษที่ 16 นอกจากรากที่เป็นบวกแล้ว ยังคำนึงถึงรากที่เป็นลบด้วย เฉพาะในศตวรรษที่ 17 เท่านั้น ขอบคุณความพยายาม จิราร์ด, เดการ์ต, นิวตันและนักวิทยาศาสตร์คนอื่นๆ วิธีการแก้สมการกำลังสองมีรูปแบบที่ทันสมัย

ลองดูหลายวิธีในการแก้สมการกำลังสอง

วิธีมาตรฐานในการแก้สมการกำลังสองจาก หลักสูตรของโรงเรียน:

1. แยกตัวประกอบทางด้านซ้ายของสมการ
2. วิธีการเลือกกำลังสองที่สมบูรณ์
3. การแก้สมการกำลังสองโดยใช้สูตร
4. คำตอบกราฟิกของสมการกำลังสอง
5. การแก้สมการโดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตนาม

ให้เราดูรายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับการแก้สมการกำลังสองที่ลดลงและไม่ได้ลดลงโดยใช้ทฤษฎีบทของ Vieta

จำไว้ว่าในการแก้สมการกำลังสองข้างต้น ก็เพียงพอแล้วที่จะหาตัวเลขสองตัวที่มีผลคูณเท่ากับเทอมอิสระ และผลรวมเท่ากับสัมประสิทธิ์ที่สองที่มีเครื่องหมายตรงกันข้าม

ตัวอย่าง.x 2 -5x+6=0

คุณต้องค้นหาตัวเลขที่มีผลคูณเป็น 6 และมีผลรวมเป็น 5 ตัวเลขเหล่านี้จะเป็น 3 และ 2

คำตอบ: x 1 =2,x 2 =3.

แต่คุณสามารถใช้วิธีนี้กับสมการที่มีค่าสัมประสิทธิ์แรกไม่เท่ากับหนึ่งได้

ตัวอย่าง.3x 2 +2x-5=0

นำสัมประสิทธิ์แรกมาคูณด้วยพจน์อิสระ: x 2 +2x-15=0

รากของสมการนี้จะเป็นตัวเลขที่มีผลคูณเท่ากับ - 15 และมีผลรวมเท่ากับ - 2 ตัวเลขเหล่านี้คือ 5 และ 3 หากต้องการค้นหารากของสมการดั้งเดิม ให้หารรากผลลัพธ์ด้วยสัมประสิทธิ์แรก

คำตอบ: x 1 =-5/3,x 2 =1

6. การแก้สมการโดยใช้วิธี "โยน"

พิจารณาสมการกำลังสอง ax 2 + bx + c = 0 โดยที่ a≠0

เมื่อคูณทั้งสองข้างด้วย a เราจะได้สมการ a 2 x 2 + abx + ac = 0

ให้ขวาน = y โดยที่ x = y/a; จากนั้นเราก็มาถึงสมการ y 2 + โดย + ac = 0 ซึ่งเทียบเท่ากับสมการที่กำหนด เราหารากของ 1 และ 2 โดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตนาม

ในที่สุดเราก็ได้ x 1 = y 1 /a และ x 2 = y 2 /a

ด้วยวิธีนี้ ค่าสัมประสิทธิ์ a จะถูกคูณด้วยเทอมอิสระ ราวกับว่า "โยน" ลงไป ซึ่งเหตุนี้จึงเรียกว่าวิธี "โยน" วิธีการนี้ใช้เมื่อสามารถหารากของสมการได้ง่ายโดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตา และที่สำคัญที่สุดคือเมื่อตัวแยกแยะเป็นกำลังสองที่แน่นอน

ตัวอย่าง.2x 2 - 11x + 15 = 0.

ลอง "โยน" สัมประสิทธิ์ 2 ไปยังเทอมอิสระแล้วทำการทดแทนและรับสมการ y 2 - 11y + 30 = 0

ตามทฤษฎีบทผกผันของเวียตตา

y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2.5; y 2 ​​= 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3

คำตอบ: x 1 =2.5; เอ็กซ์ 2 = 3.

7. คุณสมบัติของสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสอง

ให้สมการกำลังสอง ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0 ให้ได้

1. ถ้า a+ b + c = 0 (เช่น ผลรวมของสัมประสิทธิ์ของสมการเป็นศูนย์) ดังนั้น x 1 = 1

2. ถ้า a - b + c = 0 หรือ b = a + c แล้ว x 1 = - 1

ตัวอย่าง.345x 2 - 137x - 208 = 0.

เนื่องจาก a + b + c = 0 (345 - 137 - 208 = 0) ดังนั้น x 1 = 1, x 2 = -208/345

คำตอบ: x 1 =1; เอ็กซ์ 2 = -208/345 .

ตัวอย่าง.132x 2 + 247x + 115 = 0

เพราะ a-b+c = 0 (132 - 247 +115=0) จากนั้น x 1 = - 1, x 2 = - 115/132

คำตอบ: x 1 = - 1; เอ็กซ์ 2 =- 115/132

มีคุณสมบัติอื่นของสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสอง แต่การใช้งานมีความซับซ้อนมากขึ้น

8. การแก้สมการกำลังสองโดยใช้โนโมแกรม

รูปที่ 1. โนโมแกรม

นี่เป็นวิธีการแก้สมการกำลังสองที่เก่าและปัจจุบันถูกลืมไปแล้ว ซึ่งอยู่ที่หน้า 83 ของคอลเลคชัน: Bradis V.M. ตารางคณิตศาสตร์สี่หลัก - ม., การศึกษา, 2533.

ตารางที่ 22 โนโมแกรมสำหรับการแก้สมการ z 2 + pz + q = 0. โนโมแกรมนี้ช่วยให้ระบุรากของสมการจากค่าสัมประสิทธิ์ได้โดยไม่ต้องแก้สมการกำลังสอง

สเกลโค้งของโนโมแกรมถูกสร้างขึ้นตามสูตร (รูปที่ 1):

เชื่อ ระบบปฏิบัติการ = p, ED = q, OE = a(ทั้งหมดเป็นซม.) จากรูปที่ 1 ความคล้ายคลึงกันของสามเหลี่ยม ซานและ ซีดีเอฟเราได้สัดส่วน

ซึ่งหลังจากการแทนที่และการลดความซับซ้อนแล้ว จะได้สมการ z 2 + pz + q = 0,และจดหมาย zหมายถึง เครื่องหมายของจุดใดๆ บนมาตราส่วนโค้ง

ข้าว. 2 การแก้สมการกำลังสองโดยใช้โนโมแกรม

ตัวอย่าง.

1) สำหรับสมการ z 2 - 9z + 8 = 0โนโมแกรมให้ราก z 1 = 8.0 และ z 2 = 1.0

คำตอบ:8.0; 1.0.

2) ใช้โนโมแกรมเพื่อแก้สมการ

2z 2 - 9z + 2 = 0

หารสัมประสิทธิ์ของสมการนี้ด้วย 2 เราจะได้สมการ z 2 - 4.5z + 1 = 0

โนโมแกรมให้ราก z 1 = 4 และ z 2 = 0.5

คำตอบ: 4; 0.5.

9. วิธีเรขาคณิตสำหรับการแก้สมการกำลังสอง

ตัวอย่าง.เอ็กซ์ 2 + 10x = 39.

ในต้นฉบับ ปัญหานี้กำหนดไว้ดังนี้: “กำลังสองและสิบรากเท่ากับ 39”

พิจารณาสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้าน x สี่เหลี่ยมถูกสร้างขึ้นที่ด้านข้างเพื่อให้ด้านอื่น ๆ ของแต่ละรูปเป็น 2.5 ดังนั้นพื้นที่ของแต่ละรูปคือ 2.5x จากนั้นนำตัวเลขที่ได้มาเสริมเข้ากับสี่เหลี่ยมจัตุรัส ABCD ใหม่ โดยสร้างสี่เหลี่ยมจตุรัสสี่อันเท่ากันที่มุม ด้านของแต่ละช่องคือ 2.5 และพื้นที่คือ 6.25

ข้าว. 3 วิธีกราฟิกคำตอบของสมการ x 2 + 10x = 39

พื้นที่ S ของสี่เหลี่ยมจัตุรัส ABCD สามารถแสดงเป็นผลรวมของพื้นที่ของ: สี่เหลี่ยมจัตุรัสเดิม x 2, สี่เหลี่ยมจัตุรัสสี่รูป (4∙2.5x = 10x) และสี่เหลี่ยมจัตุรัสเพิ่มเติมอีกสี่รูป (6.25∙4 = 25) กล่าวคือ S = x 2 + 10x = 25 เมื่อแทนที่ x 2 + 10x ด้วยเลข 39 เราจะได้ S = 39 + 25 = 64 ซึ่งหมายความว่าด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสคือ ABCD กล่าวคือ ส่วน AB = 8 สำหรับด้านที่ต้องการ x ของกำลังสองเดิมที่เราได้รับ

10. การแก้สมการโดยใช้ทฤษฎีบทของเบซูต์

ทฤษฎีบทของเบซูต์ ส่วนที่เหลือจากการหารพหุนาม P(x) ด้วยทวินาม x - α เท่ากับ P(α) (นั่นคือ ค่าของ P(x) ที่ x = α)

หากจำนวน α เป็นรากของพหุนาม P(x) แล้วพหุนามนี้จะหารด้วย x -α ลงตัวโดยไม่มีเศษ

ตัวอย่าง.x²-4x+3=0

Р(x)= x²-4x+3, α: ±1,±3, α =1, 1-4+3=0 หาร P(x) ด้วย (x-1): (x²-4x+3)/(x-1)=x-3

x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0

x-1=0; x=1 หรือ x-3=0, x=3; คำตอบ: x1 =2,x2 =3.

บทสรุป:ความสามารถในการแก้สมการกำลังสองอย่างรวดเร็วและมีเหตุมีผลเป็นสิ่งจำเป็นสำหรับการแก้สมการที่ซับซ้อนมากขึ้น เช่น สมการตรรกยะเศษส่วน สมการยกกำลังที่สูงกว่า สมการกำลังสอง และสมการตรีโกณมิติ เลขชี้กำลัง และลอการิทึมในโรงเรียนมัธยม หลังจากศึกษาวิธีการแก้สมการกำลังสองที่พบทั้งหมดแล้ว เราสามารถแนะนำให้เพื่อนร่วมชั้นของเรานอกเหนือจากวิธีมาตรฐานให้แก้ด้วยวิธีถ่ายโอน (6) และแก้สมการโดยใช้คุณสมบัติของสัมประสิทธิ์ (7) เนื่องจากเข้าถึงได้ง่ายกว่า เพื่อความเข้าใจ

วรรณกรรม:

1. แบรดิส วี.เอ็ม. ตารางคณิตศาสตร์สี่หลัก - ม., การศึกษา, 2533.
2. พีชคณิตเกรด 8: หนังสือเรียนสำหรับเกรด 8 การศึกษาทั่วไป สถาบัน Makarychev Yu. N. , Mindyuk N. G. , Neshkov K. I. , Suvorova S. B. ed. S. A. Telyakovsky ฉบับที่ 15 แก้ไขแล้ว - อ.: การศึกษา, 2558
3. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
4. เกลเซอร์ จี.ไอ. ประวัติคณิตศาสตร์ที่โรงเรียน คู่มือสำหรับครู. / เอ็ด. วี.เอ็น. อายุน้อยกว่า - ม.: การศึกษา, 2507.