तर्कसंगत रूप से गणना करने का क्या मतलब है? गणना के तर्कसंगत तरीके. छात्रों की कंप्यूटिंग संस्कृति का गठन

सुदूर अतीत में, जब संख्या प्रणाली का आविष्कार नहीं हुआ था, लोग हर चीज़ को अपनी उंगलियों पर गिनते थे। अंकगणित और गणित की बुनियादी बातों के आगमन के साथ, वस्तुओं, उत्पादों और घरेलू वस्तुओं पर नज़र रखना बहुत आसान और अधिक व्यावहारिक हो गया है। हालाँकि, आधुनिक कैलकुलस प्रणाली कैसी दिखती है: मौजूदा संख्याओं को किस प्रकार में विभाजित किया गया है और "संख्याओं के तर्कसंगत रूप" का क्या अर्थ है? आइए इसका पता लगाएं।

गणित में संख्याएँ कितने प्रकार की होती हैं?

"संख्या" की अवधारणा किसी भी वस्तु की एक निश्चित इकाई को दर्शाती है जो उसके मात्रात्मक, तुलनात्मक या क्रमिक संकेतकों की विशेषता बताती है। कुछ चीजों की संख्या की सही गणना करने या संख्याओं के साथ कुछ गणितीय संक्रियाएं (जोड़ना, गुणा करना आदि) करने के लिए, आपको सबसे पहले इन्हीं संख्याओं की किस्मों से परिचित होना चाहिए।

इसलिए, मौजूदा संख्याओं को निम्नलिखित श्रेणियों में विभाजित किया जा सकता है:

1. प्राकृतिक संख्याएँ वे संख्याएँ हैं जिनसे हम वस्तुओं की संख्या गिनते हैं (सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या 1 है, यह तर्कसंगत है कि प्राकृतिक संख्याओं की श्रृंखला अनंत है, अर्थात कोई सबसे बड़ी प्राकृतिक संख्या नहीं है)। प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय को आमतौर पर अक्षर N द्वारा दर्शाया जाता है।
2. पूर्ण संख्याएं। इस सेट में सब कुछ शामिल है, जबकि इसमें नकारात्मक मान भी जोड़े जाते हैं, जिसमें संख्या "शून्य" भी शामिल है। पूर्णांकों के समुच्चय का पदनाम लैटिन अक्षर Z के रूप में लिखा जाता है।
3. परिमेय संख्याएँ वे होती हैं जिन्हें हम मानसिक रूप से एक भिन्न में बदल सकते हैं, जिसका अंश पूर्णांकों के समूह से संबंधित होगा, और हर प्राकृतिक संख्याओं के समूह से संबंधित होगा। नीचे हम अधिक विस्तार से देखेंगे कि "तर्कसंगत संख्या" का क्या अर्थ है और कुछ उदाहरण देंगे।
4. - एक सेट जिसमें सभी तर्कसंगत शामिल हैं और यह सेट अक्षर आर द्वारा दर्शाया गया है।
5. सम्मिश्र संख्याओं में एक वास्तविक संख्या का कुछ भाग और एक चर संख्या का एक भाग होता है। इनका उपयोग विभिन्न घन समीकरणों को हल करने में किया जाता है, जिनकी, बदले में, सूत्रों में नकारात्मक अभिव्यक्ति हो सकती है (i 2 = -1)।

"तर्कसंगत" का क्या अर्थ है: आइए उदाहरण देखें

यदि वे संख्याएँ जिन्हें हम एक साधारण भिन्न के रूप में निरूपित कर सकते हैं, तर्कसंगत मानी जाती हैं, तो यह पता चलता है कि सभी सकारात्मक और नकारात्मक पूर्णांक भी परिमेय के सेट में शामिल हैं। आख़िरकार, किसी भी पूर्ण संख्या, उदाहरण के लिए 3 या 15, को भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है, जहाँ हर एक है।

भिन्न: -9/3; 7/5, 6/55 परिमेय संख्याओं के उदाहरण हैं।

"तर्कसंगत अभिव्यक्ति" का क्या अर्थ है?

आगे बढ़ो। हम पहले ही चर्चा कर चुके हैं कि संख्याओं के तर्कसंगत रूप का क्या अर्थ है। आइए अब एक गणितीय अभिव्यक्ति की कल्पना करें जिसमें विभिन्न संख्याओं और चरों का योग, अंतर, उत्पाद या भागफल शामिल है। यहां एक उदाहरण दिया गया है: एक भिन्न जिसमें अंश दो या दो से अधिक पूर्णांकों का योग होता है, और हर में एक पूर्णांक और कुछ चर दोनों होते हैं। इस प्रकार की अभिव्यक्ति को तर्कसंगत कहा जाता है। "आप शून्य से भाग नहीं दे सकते" नियम के आधार पर आप अनुमान लगा सकते हैं कि इस चर का मान ऐसा नहीं हो सकता कि हर का मान शून्य हो जाए। इसलिए, एक तर्कसंगत अभिव्यक्ति को हल करते समय, आपको पहले चर की सीमा निर्धारित करनी होगी। उदाहरण के लिए, यदि हर में निम्नलिखित अभिव्यक्ति है: x+5-2, तो यह पता चलता है कि "x" -3 के बराबर नहीं हो सकता। दरअसल, इस मामले में, संपूर्ण अभिव्यक्ति शून्य हो जाती है, इसलिए इसे हल करते समय इस चर के लिए पूर्णांक -3 को बाहर करना आवश्यक है।

तर्कसंगत समीकरणों को सही ढंग से कैसे हल करें?

तर्कसंगत अभिव्यक्तियों में बड़ी संख्या में संख्याएँ और यहां तक ​​कि 2 चर भी हो सकते हैं, इसलिए कभी-कभी उन्हें हल करना मुश्किल हो जाता है। ऐसी अभिव्यक्ति के समाधान को सुविधाजनक बनाने के लिए, कुछ परिचालनों को तर्कसंगत तरीके से करने की अनुशंसा की जाती है। तो, "तर्कसंगत तरीके से" का क्या मतलब है और निर्णय लेते समय कौन से नियम लागू किए जाने चाहिए?

1. पहला प्रकार, जब अभिव्यक्ति को सरल बनाने के लिए यह पर्याप्त है। ऐसा करने के लिए, आप अंश और हर को एक अघुलनशील मान तक कम करने के ऑपरेशन का सहारा ले सकते हैं। उदाहरण के लिए, यदि अंश में अभिव्यक्ति 18x और हर में 9x है, तो, दोनों घातांकों को 9x से कम करके, हमें बस 2 के बराबर पूर्णांक प्राप्त होता है।
2. दूसरी विधि तब व्यावहारिक होती है जब हमारे अंश में एकपदी और हर में एक बहुपद होता है। आइए एक उदाहरण देखें: अंश में हमारे पास 5x है, और हर में - 5x + 20x 2 है। इस मामले में, हर में चर को कोष्ठक से बाहर निकालना सबसे अच्छा है, हमें हर का निम्नलिखित रूप मिलता है: 5x(1+4x)। अब आप पहले नियम का उपयोग कर सकते हैं और अंश और हर में 5x को रद्द करके अभिव्यक्ति को सरल बना सकते हैं। परिणामस्वरूप, हमें 1/1+4x के रूप का एक अंश प्राप्त होता है।

आप परिमेय संख्याओं के साथ कौन से ऑपरेशन कर सकते हैं?

परिमेय संख्याओं के समुच्चय की अपनी कई विशेषताएँ होती हैं। उनमें से कई पूर्णांकों और प्राकृतिक संख्याओं में मौजूद विशेषताओं के समान हैं, इस तथ्य के कारण कि बाद वाले हमेशा परिमेय के सेट में शामिल होते हैं। यहां परिमेय संख्याओं के कुछ गुण दिए गए हैं, जिन्हें जानकर आप किसी भी परिमेय व्यंजक को आसानी से हल कर सकते हैं।

1. क्रमविनिमेय गुण आपको दो या दो से अधिक संख्याओं का योग करने की अनुमति देता है, चाहे उनका क्रम कुछ भी हो। सीधे शब्दों में कहें तो पदों के स्थान बदलने से योग नहीं बदलता है।
2. वितरणात्मक संपत्ति आपको वितरण कानून का उपयोग करके समस्याओं को हल करने की अनुमति देती है।
3. और अंत में, जोड़ और घटाव की संक्रियाएँ।

यहां तक ​​कि स्कूली बच्चे भी जानते हैं कि "संख्याओं के तर्कसंगत रूप" का क्या अर्थ है और ऐसी अभिव्यक्तियों के आधार पर समस्याओं को कैसे हल किया जाए, इसलिए एक शिक्षित वयस्क को कम से कम तर्कसंगत संख्याओं के सेट की मूल बातें याद रखने की आवश्यकता है।

इस लेख में हम अन्वेषण करना शुरू करेंगे भिन्नात्मक संख्याएं. यहां हम परिमेय संख्याओं की परिभाषा देंगे, आवश्यक स्पष्टीकरण देंगे और परिमेय संख्याओं के उदाहरण देंगे। इसके बाद, हम इस बात पर ध्यान देंगे कि यह कैसे निर्धारित किया जाए कि कोई दी गई संख्या तर्कसंगत है या नहीं।

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परिमेय संख्याओं की परिभाषा एवं उदाहरण

इस अनुभाग में हम परिमेय संख्याओं की कई परिभाषाएँ देंगे। शब्दों में अंतर के बावजूद, इन सभी परिभाषाओं का एक ही अर्थ है: तर्कसंगत संख्याएं पूर्णांकों और भिन्नों को एकजुट करती हैं, जैसे पूर्णांक प्राकृतिक संख्याओं, उनके विपरीत और संख्या शून्य को एकजुट करते हैं। दूसरे शब्दों में, परिमेय संख्याएँ पूर्ण और भिन्नात्मक संख्याओं का सामान्यीकरण करती हैं।

चलो साथ - साथ शुरू करते हैं तर्कसंगत संख्याओं की परिभाषा, जो सबसे स्वाभाविक रूप से माना जाता है।

दी गई परिभाषा से यह निष्कर्ष निकलता है कि एक परिमेय संख्या है:

• कोई प्राकृत संख्या n. दरअसल, आप किसी भी प्राकृत संख्या को एक साधारण भिन्न के रूप में निरूपित कर सकते हैं, उदाहरण के लिए, 3=3/1।
• कोई भी पूर्णांक, विशेषकर संख्या शून्य। वास्तव में, किसी भी पूर्णांक को धनात्मक भिन्न, ऋणात्मक भिन्न या शून्य के रूप में लिखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, 26=26/1, .
• कोई भी सामान्य अंश (सकारात्मक या नकारात्मक)। इसकी सीधी पुष्टि परिमेय संख्याओं की दी गई परिभाषा से होती है।
• कोई मिश्रित संख्या. दरअसल, आप किसी मिश्रित संख्या को हमेशा एक अनुचित भिन्न के रूप में निरूपित कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, और.
• कोई परिमित दशमलव भिन्न या अनंत आवर्त भिन्न। ऐसा इस तथ्य के कारण है कि संकेतित दशमलव भिन्न सामान्य भिन्न में परिवर्तित हो जाते हैं। उदाहरण के लिए, , और 0,(3)=1/3.

यह भी स्पष्ट है कि कोई भी अनंत गैर-आवधिक दशमलव अंश एक परिमेय संख्या नहीं है, क्योंकि इसे एक सामान्य भिन्न के रूप में प्रस्तुत नहीं किया जा सकता है।

अब हम आसानी से दे सकते हैं परिमेय संख्याओं के उदाहरण. संख्याएँ 4, 903, 100,321 परिमेय संख्याएँ हैं क्योंकि वे प्राकृतिक संख्याएँ हैं। पूर्णांक 58, −72, 0, −833,333,333 भी परिमेय संख्याओं के उदाहरण हैं। सामान्य भिन्न 4/9, 99/3 भी परिमेय संख्याओं के उदाहरण हैं। परिमेय संख्याएँ भी संख्याएँ हैं।

उपरोक्त उदाहरणों से यह स्पष्ट है कि परिमेय संख्याएँ धनात्मक और ऋणात्मक दोनों हैं, और परिमेय संख्या शून्य न तो धनात्मक है और न ही ऋणात्मक।

परिमेय संख्याओं की उपरोक्त परिभाषा अधिक संक्षिप्त रूप में तैयार की जा सकती है।

परिभाषा।

भिन्नात्मक संख्याएंवे संख्याएँ हैं जिन्हें भिन्न z/n के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ z एक पूर्णांक है और n एक प्राकृतिक संख्या है।

आइए हम सिद्ध करें कि परिमेय संख्याओं की यह परिभाषा पिछली परिभाषा के समतुल्य है। हम जानते हैं कि भिन्न की रेखा को हम विभाजन का चिह्न मान सकते हैं, फिर पूर्णांकों को विभाजित करने के गुणों और पूर्णांकों को विभाजित करने के नियमों से निम्नलिखित समानताओं की वैधता का पालन होता है और। इस प्रकार, यह प्रमाण है।

आइए इस परिभाषा के आधार पर परिमेय संख्याओं के उदाहरण दें। संख्याएँ −5, 0, 3, और परिमेय संख्याएँ हैं, क्योंकि उन्हें क्रमशः और के रूप में एक पूर्णांक अंश और एक प्राकृतिक हर के साथ भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है।

परिमेय संख्याओं की परिभाषा निम्नलिखित सूत्रीकरण में दी जा सकती है।

परिभाषा।

भिन्नात्मक संख्याएंवे संख्याएँ हैं जिन्हें एक परिमित या अनंत आवधिक दशमलव अंश के रूप में लिखा जा सकता है।

यह परिभाषा भी पहली परिभाषा के बराबर है, क्योंकि प्रत्येक साधारण अंश एक परिमित या आवधिक दशमलव अंश से मेल खाता है और इसके विपरीत, और किसी भी पूर्णांक को दशमलव बिंदु के बाद शून्य के साथ दशमलव अंश से जोड़ा जा सकता है।

उदाहरण के लिए, संख्याएँ 5, 0, −13, तर्कसंगत संख्याओं के उदाहरण हैं क्योंकि उन्हें निम्नलिखित दशमलव अंश 5.0, 0.0, −13.0, 0.8, और −7, (18) के रूप में लिखा जा सकता है।

आइए इस बिंदु के सिद्धांत को निम्नलिखित कथनों के साथ समाप्त करें:

• पूर्णांक और भिन्न (धनात्मक और ऋणात्मक) परिमेय संख्याओं का समुच्चय बनाते हैं;
• प्रत्येक परिमेय संख्या को एक पूर्णांक अंश और एक प्राकृतिक हर के साथ एक भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है, और ऐसा प्रत्येक भिन्न एक निश्चित परिमेय संख्या का प्रतिनिधित्व करता है;
• प्रत्येक परिमेय संख्या को एक परिमित या अनंत आवधिक दशमलव अंश के रूप में दर्शाया जा सकता है, और ऐसा प्रत्येक भिन्न एक परिमेय संख्या का प्रतिनिधित्व करता है।

क्या यह संख्या तर्कसंगत है?

पिछले पैराग्राफ में, हमने पाया कि कोई भी प्राकृतिक संख्या, कोई पूर्णांक, कोई साधारण अंश, कोई मिश्रित संख्या, कोई परिमित दशमलव अंश, साथ ही कोई भी आवधिक दशमलव अंश एक तर्कसंगत संख्या है। यह ज्ञान हमें लिखित संख्याओं के समूह से तर्कसंगत संख्याओं को "पहचानने" की अनुमति देता है।

लेकिन क्या होगा यदि संख्या कुछ, या जैसे आदि के रूप में दी गई है, तो इस प्रश्न का उत्तर कैसे दिया जाए कि क्या यह संख्या तर्कसंगत है? कई मामलों में तो जवाब देना बहुत मुश्किल होता है. आइए हम विचार की कुछ दिशाओं की ओर संकेत करें।

यदि कोई संख्या एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति के रूप में दी गई है जिसमें केवल तर्कसंगत संख्याएं और अंकगणितीय चिह्न (+, −, · और:) शामिल हैं, तो इस अभिव्यक्ति का मान एक तर्कसंगत संख्या है। इससे यह पता चलता है कि परिमेय संख्याओं के साथ संक्रियाओं को कैसे परिभाषित किया जाता है। उदाहरण के लिए, व्यंजक में सभी संक्रियाएँ निष्पादित करने के बाद, हमें परिमेय संख्या 18 प्राप्त होती है।

कभी-कभी, अभिव्यक्तियों को सरल बनाने और उन्हें अधिक जटिल बनाने के बाद, यह निर्धारित करना संभव हो जाता है कि कोई दी गई संख्या तर्कसंगत है या नहीं।

चलिए आगे बढ़ते हैं. संख्या 2 एक परिमेय संख्या है, क्योंकि कोई भी प्राकृत संख्या परिमेय होती है। संख्या के बारे में क्या? क्या यह तर्कसंगत है? यह पता चला कि नहीं, यह एक परिमेय संख्या नहीं है, यह एक अपरिमेय संख्या है (विरोधाभास द्वारा इस तथ्य का प्रमाण ग्रेड 8 के लिए बीजगणित पाठ्यपुस्तक में दिया गया है, जो संदर्भों की सूची में नीचे सूचीबद्ध है)। यह भी सिद्ध हो चुका है कि किसी प्राकृतिक संख्या का वर्गमूल केवल उन मामलों में एक परिमेय संख्या होता है जब मूल के नीचे कोई संख्या होती है जो किसी प्राकृतिक संख्या का पूर्ण वर्ग होती है। उदाहरण के लिए, और परिमेय संख्याएँ हैं, क्योंकि 81 = 9 2 और 1 024 = 32 2, और संख्याएँ परिमेय नहीं हैं, क्योंकि संख्या 7 और 199 प्राकृतिक संख्याओं के पूर्ण वर्ग नहीं हैं।

संख्या तर्कसंगत है या नहीं? इस मामले में, यह नोटिस करना आसान है कि, इसलिए, यह संख्या तर्कसंगत है। क्या संख्या तर्कसंगत है? यह सिद्ध हो चुका है कि किसी पूर्णांक का kवां मूल एक परिमेय संख्या तभी होता है जब मूल चिह्न के नीचे की संख्या किसी पूर्णांक की kवां घात हो। इसलिए, यह एक परिमेय संख्या नहीं है, क्योंकि ऐसा कोई पूर्णांक नहीं है जिसकी पाँचवीं घात 121 हो।

विरोधाभास द्वारा विधि किसी को यह साबित करने की अनुमति देती है कि कुछ संख्याओं के लघुगणक किसी कारण से तर्कसंगत संख्या नहीं हैं। उदाहरण के लिए, आइए हम सिद्ध करें कि - एक परिमेय संख्या नहीं है।

आइए इसके विपरीत मान लें, यानी मान लें कि यह एक परिमेय संख्या है और इसे साधारण भिन्न m/n के रूप में लिखा जा सकता है। फिर हम निम्नलिखित समानताएँ देते हैं: . अंतिम समानता असंभव है, क्योंकि बायीं ओर है विषम संख्या 5 n, और दाहिनी ओर सम संख्या 2 m है। इसलिए, हमारी धारणा गलत है, इसलिए यह एक परिमेय संख्या नहीं है।

निष्कर्ष में, यह विशेष रूप से ध्यान देने योग्य है कि संख्याओं की तर्कसंगतता या अतार्किकता का निर्धारण करते समय अचानक निष्कर्ष निकालने से बचना चाहिए।

उदाहरण के लिए, आपको तुरंत यह दावा नहीं करना चाहिए कि अपरिमेय संख्याओं π और e का गुणनफल एक अपरिमेय संख्या है; यह "स्पष्ट प्रतीत होता है", लेकिन सिद्ध नहीं है। इससे यह प्रश्न उठता है: "कोई उत्पाद एक परिमेय संख्या क्यों होगा?" और क्यों नहीं, क्योंकि आप अपरिमेय संख्याओं का उदाहरण दे सकते हैं, जिनका गुणनफल एक परिमेय संख्या देता है:।

यह भी अज्ञात है कि संख्याएँ और कई अन्य संख्याएँ परिमेय हैं या नहीं। उदाहरण के लिए, ऐसी अपरिमेय संख्याएँ होती हैं जिनकी अपरिमेय घात एक परिमेय संख्या होती है। उदाहरण के लिए, हम फॉर्म की एक डिग्री प्रस्तुत करते हैं, इस डिग्री का आधार और घातांक परिमेय संख्या नहीं हैं, लेकिन, और 3 एक परिमेय संख्या है।

ग्रंथ सूची.

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वर्ग विशेषताएँ

5 "ए" वर्ग संरचना में विषम है, कुछ बच्चे ज्ञान में काफी मजबूत हैं, लेकिन कमजोर बच्चे भी सामने आते हैं। सामान्य तौर पर, कक्षा ऊर्जावान होती है, छात्र रुचि रखते हैं और शिक्षक की पहल का तत्परता से पालन करते हैं।

विषय: गणना के तर्कसंगत तरीके (पाठ एक अंतिम पाठ है, जो विषय के बाद आयोजित किया गया है: "अभिव्यक्तियों को सरल बनाना" दूसरी तिमाही में, संख्या 3)

पाठ का प्रकार: सामग्री का सारांश

ए) शैक्षिक

• प्राकृतिक संख्याओं के जोड़, घटाव, गुणन के गुणों को दोहराएँ
• व्यवहार में ज्ञान के सिद्धांत को समेकित करेगा
• कार्यों को पूरा करने के तर्कसंगत तरीकों का लाभ दिखाएं, यानी दिखाएं कि इस परियोजना का निर्माण स्वयं बच्चों के लिए आवश्यक और महत्वपूर्ण है
• व्यवहार में विधियों को लागू करने के कौशल में सुधार;

बी) विकास करना

• निष्कर्ष निकालने, सामग्री को व्यवस्थित करने, किसी विशिष्ट भवन के साथ विधियों की तुलना करने, विचारों को स्पष्ट रूप से तैयार करने की क्षमता विकसित करना
• किसी की संज्ञानात्मक गतिविधि पर चिंतन करने की क्षमता विकसित करना
• रचनात्मक चेतना, काम के प्रति वास्तविक जुनून का निर्माण करना;

ग) शैक्षिक

• स्वतंत्रता, सामूहिकता, एक-दूसरे को सुनने की क्षमता, दूसरों की राय का सम्मान करना, बल्कि खुद को साबित करने में भी सक्षम होना।

उपकरण: चुंबकीय बोर्ड और चुंबक, फेल्ट-टिप पेन, पेड़ की पत्तियां (एल्बम शीट), बिल्ली मैट्रोस्किन और शारिक की तस्वीरें, स्लाइड के लिए स्क्रीन।

पाठ चरण, समय	कार्य	शिक्षक गतिविधियाँ	छात्र गतिविधियाँ	टिप्पणी
मैं संगठन. पल	रिश्तों में सद्भावना स्थापित करना	- हैलो दोस्तों! जांचें कि क्या आपके पास पाठ के लिए सब कुछ तैयार है। एक दूसरे को देखकर मुस्कुराएं, अब मुझ पर मुस्कुराएं! मैं देख रहा हूँ कि आप अच्छे मूड में हैं, आइए पाठ शुरू करें!	- मुस्कान सामान्य पुनरुद्धार	- स्क्रीन पर "मुस्कान" टेक्स्ट के साथ 1 स्लाइड है
द्वितीय ज्ञान को अद्यतन करना	दिलचस्प बच्चे विनीत रूप से पाठ के विषय की ओर ले जाएं चरण का सारांश प्रस्तुत करें	- दोस्तों, बिल्ली मैट्रोस्किन और शारिक आज हमारे साथ काम करेंगे। बच्चों, आपको 2 उदाहरण हल करने होंगे, शारिक के अनुरोध पर हम पूरा पाठ हल करते हैं! (मैं पंक्तियों से गुजरता हूं और समाधान देखता हूं) आप क्या कर रहे हो? (हैरान!) बहुत अच्छा! अभी एक मिनट ही बीता है! आइए देखें कि बिल्ली मैट्रोस्किन और शारिक ने इन उदाहरणों को कैसे हल किया। बिल्ली मैट्रोस्किन ने यही निर्णय लिया, लेकिन शारिक को यह मुश्किल लगता है। आपने कैसे निर्णय लिया? कौन अलग है? कैट मैट्रोस्किन की दिलचस्पी इस बात में है कि इस पद्धति में क्या अच्छा है, इसका उपयोग क्यों किया गया? यह विधि एक संपत्ति है! इस संपत्ति को कैसे पढ़ा जा सकता है? कृपया किस संबंध में स्पष्टीकरण दें? आइए फिर से कहें कि यह संपत्ति हमें क्या अनुमति देती है	- हुर्रे! (मौके से विस्मयादिबोधक) (कोई व्यक्ति कॉलम से गुणा करता है!) मैंने पहले ही निर्णय ले लिया है! दोस्तों के जवाब आपको निर्णय लेने की अनुमति देता है: और तेज, सुविधाजनक, आसान, सरल समय बचाता है वितरित कानून जोड़, घटाव भावों को सरल बनाएं तेजी से निर्णय लें आसान, सरल	- बोर्ड पर बिल्ली नाविक-परिजन और शारिक का चित्रण बोर्ड पर 69*27+31*27=22*87-102*87= (एक कॉलम में) 3) 27*(69+31) =2700 स्क्रीन पर दूसरी स्लाइड
तृतीय एक नई अवधारणा का परिचय	एक नई अवधारणा का परिचय दें	- इन सभी शब्दों को इस शब्द से बदला जा सकता है: तर्कसंगत, रोजमर्रा की जिंदगी में आपने यह शब्द कहां सुना है?	- टीवी पर, फ़ैक्टरियों में तर्कसंगत भीड़, तर्कसंगत पोषण	3 स्लाइड
चतुर्थ विषय की परिभाषा	किसी विषय को परिभाषित करें	- दोस्तो! शारिक उसी पद्धति का उपयोग करके एक और उदाहरण हल करने का प्रयास कर रहा है! मैं उसकी मदद करने की पेशकश करता हूं मुझे इस संपत्ति को क्या कहना चाहिए? क्या यह कोई तर्कसंगत तरीका है? क्या ये ही दो तरीके हैं जो हम जानते हैं? ठीक है, आइए विषय तैयार करें, और फिर सूचीबद्ध करें कि हम कौन से अन्य गुण जानते हैं। पाठ का विषय क्या है? आपका अनुमान. विषय किस शब्द से संबद्ध होगा? आइये संक्षेप में बताएं! क्या हुआ?	- (छात्र निर्णय लेते हैं) (समाधान की एक तस्वीर है) इसे उसी तरह हल नहीं किया जा सकता गुणन का संयोजन गुण आपको आसान, तेज़, सरल निर्णय लेने की अनुमति देता है। नहीं, हम अभी तक तरीके नहीं जानते! "विधि" शब्द में आप "क्या" जोड़ सकते हैं गणना के तरीके! तर्कसंगत गणना के तर्कसंगत तरीके.	डेस्क पर पाठ विषय
वी लक्ष्य निर्धारण	पाठ लक्ष्य निर्धारित करना	- दोस्तो! यदि आप "तरीका" शब्द को प्रतिस्थापित करते हैं! क्या समान अवधारणाओं को "तरीकों" पर "तरीकों" पर लागू करना संभव होगा: "आसान, तेज़, सरल"? तरीकों के बारे में और क्या कहा जा सकता है? आइये यह सब एक स्लाइड पर दिखाते हैं आप आरेख के बारे में क्या विशेष देखते हैं? तो पाठ के लिए हर किसी के लक्ष्य क्या हैं? आइए संक्षेप में बताएं: याद रखें कि हम कौन सी विधियाँ जानते हैं और इन विधियों को व्यवस्थित करें अभिव्यक्ति को सरल बनाने की तकनीक याद रखें व्यवहार में उनके अनुप्रयोग को सुदृढ़ करें किसी विधि की किसी विशिष्ट उदाहरण से तुलना करना सीखें ये हमारे पाठ के लक्ष्य या विचार हैं	- हाँ! और आइए "कौन सा" शब्द को "क्या" शब्द से बदल दें! इनका उपयोग कहां किया जाता है? शब्द "क्या" के साथ "?" याद रखें कि हम कौन सी विधियाँ जानते हैं, कौन से गुण, नियम जानते हैं पता लगाने के नए तरीके हो सकते हैं. - (छात्रों के साथ)	6 स्लाइड
छठी ज्ञान प्रणाली ए) चरण 0.5 मिनट का लक्ष्य निर्धारित करना बी) व्यक्तिगत कार्य 1.5 मिनट ग) जोड़ियों में काम करें घ) समूह कार्य	एक प्रोजेक्ट बनाना निष्पादन की स्वायत्तता अपने नोट्स बोलें एक सामान्य समाधान, निष्कर्ष खोजें	- दोस्तो! आज हमें एक प्रोजेक्ट बनाना होगा जिसमें आपको ज्ञात विधियाँ (कम से कम 8) और विधियों के बारे में हम जो कुछ भी जानते हैं उसे दर्ज किया जाएगा। प्रोजेक्ट एक पेड़ के रूप में होगा जिसमें हम पत्तियां लगाएंगे। शारिक एक सुझाव लेकर आए: 2 मिनट के लिए स्वयं सोचें, अभिव्यक्तियों को सरल बनाने के तरीके याद रखें। क्या हम इस विचार का समर्थन करेंगे? हम जोड़ियों में काम करते हैं और अब हम समूहों (4 लोग) में बैठते हैं। शारिक और बिल्ली मैट्रोस्किन जोड़े में काम करेंगे। अपने विचारों और निर्णयों पर चर्चा करें. आपके डेस्क पर पत्ते हैं, उनमें से प्रत्येक पर एक विधि लिखें, फिर हम उन्हें पेड़ से जोड़ देंगे बेशक, उदाहरणों से यह और भी स्पष्ट हो जाएगा चुनें कि कौन उत्तर देगा	- यह प्रोजेक्ट कैसा दिखेगा? (छात्र स्वतंत्र रूप से काम करें, नोट्स लें) - (आवाज़) (प्रत्येक छात्र अपने विचार बताता है) (समूह का एक प्रतिनिधि तरीके लिखता है, बाकी टिप्पणी करते हैं) क्या आप उदाहरण दे सकते हैं?	समूह क्षेत्रीय रूप से अलग-थलग हैं
सातवीं भौतिक-सांस्कृतिक-भ्रमण-मिनट	छात्र मनोरंजन	“फूल सो रहा था और अचानक जाग गया मैं अब सोना नहीं चाहता था चलायमान, फैला हुआ ऊपर उठा और उड़ गया"	बच्चों में से एक द्वारा संचालित	स्लाइड 8: "मज़ाकिया तस्वीर"
आठवीं परियोजना सुरक्षा	सभी समूहों के कार्यों का सारांश प्रस्तुत करें	- प्रत्येक समूह के प्रतिनिधियों को आमंत्रित किया जाता है। . . (शिक्षक कार्य का निर्देशन करता है) यह वह पेड़ है जो हमें मिला, और अब आइए उस चित्र को देखें जो मैट्रोस्किन बिल्ली ने आपके भाषणों को सुनने के बाद बनाया था	छात्र वाक्यांश: मैं पेट्या से सहमत हूं... हमारा समूह जोड़ना चाहेगा... इसे अक्षरों में भी लिखा जा सकता है	डेस्क पर: पेड़ का तना, बच्चे पत्तियों को एक चुंबक के साथ एक चुंबकीय बोर्ड पर जोड़ते हैं (एक चुंबक के लिए वही उत्तर)

परिशिष्ट 1 परियोजना आरेख प्रस्तुत करता है।

नौवीं परिक्षण	व्यवहार में विधियों के अनुप्रयोग की जाँच करें	- दोस्तो! हमने सिद्धांत को याद कर लिया है, और अब हम जाँचेंगे कि आप अपने ज्ञान को व्यवहार में कैसे लागू करेंगे अब अपने पड़ोसी के साथ नोटबुक का आदान-प्रदान करें और उसके काम की जांच करें। ग्रेडिंग मानक: कोई त्रुटि नहीं: "5" 2 त्रुटियाँ: "4" 3 त्रुटियाँ: "3" और यदि 3 से अधिक है, तो आपको अभ्यास करने की आवश्यकता है क्या कारण हो सकता है?	(छात्र निर्णय लेते हैं)	बोर्ड पर स्लाइड 10
			परीक्षा
			बी-आई	बी-2
			1) इसे सुविधाजनक तरीके से करें
			ए) (30-4) *5= बी) 85*137-75*137= जी) 25*296*4= ई) 633-(163+387) =	ए) 7*(60-3) = बी) 78*214-78*204= जी) 4*268*25= ई) (964+27) -464=
			2) समीकरण हल करें
			x+3x+x=30	x+5x+x=98
			(एक दूसरे का मूल्यांकन करें) मैंने इसे समय पर नहीं बनाया तरीकों का उपयोग किए बिना, कॉलम किए बिना हल किया गया	स्क्रीन पर समाधान के साथ स्लाइड 11 है
एक्स सारांश 2 मिनट (अपने आप से) 2 मिनट (आवाज़)	अपने काम पर विचार करें	- तुम्हें क्या याद आया? तुम्हें क्या याद आया? आपने क्या नया सीखा? आपने क्या सुरक्षित किया? आपने अपने लिए क्या निष्कर्ष निकाला? शाबाश लड़कों! और बिल्ली मैट्रोस्किन को कई तरीके याद थे, लेकिन शारिक के विचार भ्रमित थे, आइए सभी तरीकों को फिर से दोहराएं	- समाधान करते समय गुणों के उपयोग को समेकित किया गया किसी संपत्ति की तुलना किसी विशिष्ट उदाहरण से करना सीखा मुझे याद आया कि एक संपत्ति वेरिएबल्स का उपयोग करके लिखी जाती है सीखा कि "तर्कसंगतता" क्या है मुझे एहसास हुआ कि प्रत्येक उदाहरण का अपना दृष्टिकोण होता है मुझे एहसास हुआ कि कानून दोनों दिशाओं में काम करते हैं मुझे उस दौड़ का एहसास हुआ। सबसे सुविधाजनक तरीके ये तरीके आपको समय बचाने, निर्णय लेने और अपने जीवन को सरल बनाने की भी अनुमति देते हैं। मुझे एहसास हुआ कि विधियाँ आपको बिना कॉलम के मौखिक रूप से हल करने की अनुमति देती हैं
ग्यारहवीं	डी/जेड को निर्देश दें	- दोस्तो! 1. घर पर अपने परिवार और दोस्तों से बात करें, हो सकता है कि वे कुछ और तरीके जानते हों 2. अपने स्वयं के उदाहरणों के साथ एक प्रोजेक्ट बनाएं, यह बादलों, फूलों आदि के रूप में हो सकता है, आप कंप्यूटर का उपयोग कर सकते हैं 3. छोटी बहनों और भाइयों को गणित में रुचि जगाने के लिए दिखाएं 4. मेमो के अनुसार प्रोजेक्ट पर एक रिपोर्ट बनाएं		- एक अनुस्मारक स्टैंड पर स्थित है
बारहवीं निष्कर्ष		- बिल्ली मैट्रोस्किन और शारिक "धन्यवाद" कहते हैं और आप लोगों को अलविदा कहते हैं! मैं भी आपसे कहता हूं "पाठ के लिए शाबाश" और अलविदा		स्लाइड12 टेक्स्ट "शाबाश"

इस पाठ में परिमेय संख्याओं का जोड़ और घटाव शामिल है। विषय को जटिल के रूप में वर्गीकृत किया गया है। यहां पहले अर्जित ज्ञान के संपूर्ण शस्त्रागार का उपयोग करना आवश्यक है।

पूर्णांकों को जोड़ने और घटाने के नियम परिमेय संख्याओं पर भी लागू होते हैं। याद रखें कि परिमेय संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जिन्हें भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है ए -यह भिन्न का अंश है, बीभिन्न का हर है. वहीं, बीशून्य नहीं होना चाहिए.

इस पाठ में, हम भिन्नों और मिश्रित संख्याओं को एक सामान्य वाक्यांश द्वारा अधिकाधिक नाम देंगे - भिन्नात्मक संख्याएं.

पाठ नेविगेशन:

उदाहरण 1।अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:

आइए प्रत्येक परिमेय संख्या को उसके चिह्नों सहित कोष्ठक में रखें। हम इस बात को ध्यान में रखते हैं कि अभिव्यक्ति में दिया गया प्लस एक ऑपरेशन चिह्न है और भिन्न पर लागू नहीं होता है। इस भिन्न का अपना धन चिह्न होता है, जो लिखा न होने के कारण अदृश्य होता है। लेकिन हम इसे स्पष्टता के लिए लिखेंगे:

यह विभिन्न चिह्नों वाली परिमेय संख्याओं का योग है। विभिन्न चिह्नों के साथ परिमेय संख्याओं को जोड़ने के लिए, आपको बड़े मॉड्यूल से छोटे मॉड्यूल को घटाना होगा, और परिणामी उत्तर से पहले उस परिमेय संख्या का चिह्न लगाना होगा जिसका मॉड्यूल बड़ा है। और यह समझने के लिए कि कौन सा मापांक बड़ा है और कौन सा छोटा है, आपको इन भिन्नों की गणना करने से पहले उनके मापांक की तुलना करने में सक्षम होना चाहिए:

परिमेय संख्या का मापांक परिमेय संख्या के मापांक से बड़ा होता है। इसलिए, हमने इसमें से घटा दिया। हमें जवाब मिला. फिर इस भिन्न को 2 से कम करने पर हमें अंतिम उत्तर प्राप्त हुआ।

कुछ आदिम क्रियाएं, जैसे कोष्ठक में संख्याएं डालना और मॉड्यूल जोड़ना, को छोड़ा जा सकता है। इस उदाहरण को संक्षेप में लिखा जा सकता है:

उदाहरण 2.अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:

आइए प्रत्येक परिमेय संख्या को उसके चिह्नों सहित कोष्ठक में रखें। हम इस बात को ध्यान में रखते हैं कि परिमेय संख्याओं के बीच का ऋण संक्रिया का संकेत है और भिन्न पर लागू नहीं होता है। इस भिन्न का अपना धन चिह्न होता है, जो लिखा न होने के कारण अदृश्य होता है। लेकिन हम इसे स्पष्टता के लिए लिखेंगे:

आइए घटाव को जोड़ से बदलें। हम आपको याद दिला दें कि ऐसा करने के लिए आपको मीनूएंड में सबट्रेंड के विपरीत संख्या जोड़नी होगी:

हमने ऋणात्मक परिमेय संख्याओं का योग प्राप्त किया। ऋणात्मक परिमेय संख्याओं को जोड़ने के लिए, आपको उनके मॉड्यूल को जोड़ना होगा और परिणामी उत्तर के सामने एक ऋण लगाना होगा:

टिप्पणी।प्रत्येक परिमेय संख्या को कोष्ठक में संलग्न करना आवश्यक नहीं है। यह सुविधा के लिए किया जाता है, ताकि यह स्पष्ट रूप से देखा जा सके कि परिमेय संख्याओं में कौन से चिह्न हैं।

उदाहरण 3.अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:

इस अभिव्यक्ति में, भिन्नों के अलग-अलग हर होते हैं। अपने कार्य को आसान बनाने के लिए, आइए इन भिन्नों को एक सामान्य हर में घटाएँ। यह कैसे करें, हम इस पर विस्तार से ध्यान नहीं देंगे। यदि आप कठिनाइयों का अनुभव करते हैं, तो पाठ को दोहराना सुनिश्चित करें।

भिन्नों को एक सामान्य हर में घटाने के बाद, व्यंजक निम्नलिखित रूप लेगा:

यह विभिन्न चिह्नों वाली परिमेय संख्याओं का योग है। हम बड़े मॉड्यूल से छोटे मॉड्यूल को घटाते हैं, और परिणामी उत्तर से पहले हम उस परिमेय संख्या का चिह्न लगाते हैं जिसका मॉड्यूल बड़ा है:

आइए इस उदाहरण का समाधान संक्षेप में लिखें:

उदाहरण 4.किसी व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

आइए इस अभिव्यक्ति की गणना इस प्रकार करें: तर्कसंगत संख्याएँ जोड़ें और, फिर परिणामी परिणाम से तर्कसंगत संख्या घटाएँ।

पहली क्रिया:

दूसरी क्रिया:

उदाहरण 5. अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:

आइए पूर्णांक -1 को एक भिन्न के रूप में निरूपित करें, और मिश्रित संख्या को एक अनुचित भिन्न में बदलें:

आइए प्रत्येक परिमेय संख्या को उसके चिह्नों सहित कोष्ठक में रखें:

हमने विभिन्न चिह्नों वाली परिमेय संख्याओं का योग प्राप्त किया। हम बड़े मॉड्यूल से छोटे मॉड्यूल को घटाते हैं, और परिणामी उत्तर से पहले हम उस परिमेय संख्या का चिह्न लगाते हैं जिसका मॉड्यूल बड़ा है:

हमें जवाब मिला.

एक दूसरा उपाय भी है. इसमें पूरे हिस्सों को अलग-अलग एक साथ रखना शामिल है।

तो, आइए मूल अभिव्यक्ति पर वापस जाएँ:

आइए प्रत्येक संख्या को कोष्ठक में संलग्न करें। ऐसा करने के लिए, मिश्रित संख्या अस्थायी है:

आइए पूर्णांक भागों की गणना करें:

(−1) + (+2) = 1

मुख्य अभिव्यक्ति में, (−1) + (+2) के बजाय, हम परिणामी इकाई लिखते हैं:

परिणामी अभिव्यक्ति है. ऐसा करने के लिए, इकाई और भिन्न को एक साथ लिखें:

आइए समाधान को संक्षिप्त रूप में इस प्रकार लिखें:

उदाहरण 6.किसी व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

आइए मिश्रित संख्या को अनुचित भिन्न में बदलें। आइए बिना बदले बाकी को फिर से लिखें:

आइए प्रत्येक परिमेय संख्या को उसके चिह्नों सहित कोष्ठक में रखें:

आइए घटाव को जोड़ से बदलें:

आइए इस उदाहरण का समाधान संक्षेप में लिखें:

उदाहरण 7.किसी व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

आइए पूर्णांक -5 को एक भिन्न के रूप में निरूपित करें, और मिश्रित संख्या को एक अनुचित भिन्न में परिवर्तित करें:

आइए इन भिन्नों को एक सामान्य हर में लाएँ। एक सामान्य विभाजक में परिवर्तित होने के बाद, वे निम्नलिखित रूप लेंगे:

आइए प्रत्येक परिमेय संख्या को उसके चिह्नों सहित कोष्ठक में रखें:

आइए घटाव को जोड़ से बदलें:

हमने ऋणात्मक परिमेय संख्याओं का योग प्राप्त किया। आइए इन संख्याओं के मॉड्यूल जोड़ें और परिणामी उत्तर के सामने एक ऋण लगाएं:

इस प्रकार, अभिव्यक्ति का मान है।

आइए इस उदाहरण को दूसरे तरीके से हल करें। आइए मूल अभिव्यक्ति पर वापस लौटें:

आइए मिश्रित संख्या को विस्तारित रूप में लिखें। आइए बाकी को बिना किसी बदलाव के फिर से लिखें:

हम प्रत्येक परिमेय संख्या को उसके चिह्नों के साथ कोष्ठक में रखते हैं:

आइए पूर्णांक भागों की गणना करें:

मुख्य अभिव्यक्ति में, परिणामी संख्या -7 लिखने के बजाय

यह अभिव्यक्ति मिश्रित संख्या लिखने का विस्तारित रूप है। अंतिम उत्तर बनाने के लिए हम संख्या −7 और भिन्न को एक साथ लिखते हैं:

आइए इस समाधान को संक्षेप में लिखें:

उदाहरण 8.किसी व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

हम प्रत्येक परिमेय संख्या को उसके चिह्नों के साथ कोष्ठक में रखते हैं:

आइए घटाव को जोड़ से बदलें:

हमने ऋणात्मक परिमेय संख्याओं का योग प्राप्त किया। आइए इन संख्याओं के मॉड्यूल जोड़ें और परिणामी उत्तर के सामने एक ऋण लगाएं:

तो अभिव्यक्ति का मूल्य है

इस उदाहरण को दूसरे तरीके से हल किया जा सकता है। इसमें पूर्ण और आंशिक भागों को अलग-अलग जोड़ना शामिल है। आइए मूल अभिव्यक्ति पर वापस लौटें:

आइए प्रत्येक परिमेय संख्या को उसके चिह्नों सहित कोष्ठक में रखें:

आइए घटाव को जोड़ से बदलें:

हमने ऋणात्मक परिमेय संख्याओं का योग प्राप्त किया। आइए इन संख्याओं के मॉड्यूल जोड़ें और परिणामी उत्तर के सामने एक ऋण लगाएं। लेकिन इस बार हम पूर्ण भागों (−1 और −2), दोनों भिन्नात्मक और को जोड़ देंगे

आइए इस समाधान को संक्षेप में लिखें:

उदाहरण 9.अभिव्यक्ति भाव खोजें

आइए मिश्रित संख्याओं को अनुचित भिन्नों में बदलें:

आइए एक परिमेय संख्या को उसके चिन्ह सहित कोष्ठक में संलग्न करें। किसी परिमेय संख्या को कोष्ठक में रखने की कोई आवश्यकता नहीं है, क्योंकि वह पहले से ही कोष्ठक में है:

हमने ऋणात्मक परिमेय संख्याओं का योग प्राप्त किया। आइए इन संख्याओं के मॉड्यूल जोड़ें और परिणामी उत्तर के सामने एक ऋण लगाएं:

तो अभिव्यक्ति का मूल्य है

आइए अब उसी उदाहरण को दूसरे तरीके से हल करने का प्रयास करें, अर्थात् पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों को अलग-अलग जोड़कर।

इस बार, एक संक्षिप्त समाधान प्राप्त करने के लिए, आइए कुछ चरणों को छोड़ने का प्रयास करें, जैसे मिश्रित संख्या को विस्तारित रूप में लिखना और घटाव को जोड़ से बदलना:

कृपया ध्यान दें कि भिन्नात्मक भागों को एक सामान्य हर में घटा दिया गया है।

उदाहरण 10.किसी व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

आइए घटाव को जोड़ से बदलें:

परिणामी अभिव्यक्ति में ऋणात्मक संख्याएँ नहीं हैं, जो त्रुटियों का मुख्य कारण हैं। और चूँकि कोई ऋणात्मक संख्याएँ नहीं हैं, हम उपशीर्षक के सामने धन को हटा सकते हैं और कोष्ठक को भी हटा सकते हैं:

परिणाम एक सरल अभिव्यक्ति है जिसकी गणना करना आसान है। आइए इसकी गणना हमारे लिए सुविधाजनक किसी भी तरीके से करें:

उदाहरण 11.किसी व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

यह विभिन्न चिह्नों वाली परिमेय संख्याओं का योग है। आइए बड़े मॉड्यूल से छोटे मॉड्यूल को घटाएं, और परिणामी उत्तर से पहले हम उस परिमेय संख्या का चिह्न लगाएं जिसका मॉड्यूल बड़ा है:

उदाहरण 12.किसी व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

अभिव्यक्ति में कई परिमेय संख्याएँ शामिल हैं। के अनुसार, सबसे पहले आपको कोष्ठक में दिए गए चरणों का पालन करना होगा।

पहले, हम व्यंजक की गणना करते हैं, फिर हम प्राप्त परिणामों को जोड़ते हैं।

पहली क्रिया:

दूसरी क्रिया:

तीसरी क्रिया:

उत्तर:अभिव्यक्ति मूल्य के बराबर होती है

उदाहरण 13.किसी व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

आइए मिश्रित संख्याओं को अनुचित भिन्नों में बदलें:

आइए परिमेय संख्या को उसके चिन्ह सहित कोष्ठक में रखें। परिमेय संख्या को कोष्ठक में रखने की कोई आवश्यकता नहीं है, क्योंकि यह पहले से ही कोष्ठक में है:

आइए इन भिन्नों को एक सामान्य हर में लाएँ। एक सामान्य विभाजक में परिवर्तित होने के बाद, वे निम्नलिखित रूप लेंगे:

आइए घटाव को जोड़ से बदलें:

हमने विभिन्न चिह्नों वाली परिमेय संख्याओं का योग प्राप्त किया। आइए बड़े मॉड्यूल से छोटे मॉड्यूल को घटाएं, और परिणामी उत्तर से पहले हम उस परिमेय संख्या का चिह्न लगाएं जिसका मॉड्यूल बड़ा है:

इस प्रकार, अभिव्यक्ति का अर्थ के बराबर होती है

आइए दशमलव को जोड़ने और घटाने पर नजर डालें, जो तर्कसंगत संख्याएं भी हैं और सकारात्मक या नकारात्मक हो सकती हैं।

उदाहरण 14.व्यंजक −3.2 + 4.3 का मान ज्ञात कीजिए

आइए प्रत्येक परिमेय संख्या को उसके चिह्नों सहित कोष्ठक में रखें। हम इस बात को ध्यान में रखते हैं कि अभिव्यक्ति में दिया गया प्लस एक ऑपरेशन चिह्न है और दशमलव अंश 4.3 पर लागू नहीं होता है। इस दशमलव अंश का अपना धन चिह्न होता है, जो लिखा न होने के कारण अदृश्य होता है। लेकिन हम इसे स्पष्टता के लिए लिखेंगे:

(−3,2) + (+4,3)

यह विभिन्न चिह्नों वाली परिमेय संख्याओं का योग है। विभिन्न चिह्नों के साथ परिमेय संख्याओं को जोड़ने के लिए, आपको बड़े मॉड्यूल से छोटे मॉड्यूल को घटाना होगा, और परिणामी उत्तर से पहले उस परिमेय संख्या का चिह्न लगाना होगा जिसका मॉड्यूल बड़ा है। और यह समझने के लिए कि कौन सा मॉड्यूल बड़ा है और कौन सा छोटा है, आपको गणना करने से पहले इन दशमलव अंशों के मॉड्यूल की तुलना करने में सक्षम होना चाहिए:

(−3,2) + (+4,3) = |+4,3| − |−3,2| = 1,1

संख्या 4.3 का मापांक संख्या −3.2 के मापांक से बड़ा है, इसलिए हमने 4.3 में से 3.2 घटा दिया। हमें उत्तर 1.1 प्राप्त हुआ। उत्तर सकारात्मक है, क्योंकि उत्तर के पहले उस परिमेय संख्या का चिह्न होना चाहिए जिसका मापांक अधिक है। और संख्या 4.3 का मापांक संख्या −3.2 के मापांक से अधिक है

इस प्रकार, व्यंजक −3.2 + (+4.3) का मान 1.1 है

−3,2 + (+4,3) = 1,1

उदाहरण 15.व्यंजक 3.5 + (−8.3) का मान ज्ञात कीजिए

यह विभिन्न चिह्नों वाली परिमेय संख्याओं का योग है। पिछले उदाहरण की तरह, हम बड़े मॉड्यूल से छोटे को घटाते हैं और उत्तर से पहले उस परिमेय संख्या का चिह्न लगाते हैं जिसका मॉड्यूल बड़ा है:

3,5 + (−8,3) = −(|−8,3| − |3,5|) = −(8,3 − 3,5) = −(4,8) = −4,8

इस प्रकार, अभिव्यक्ति 3.5 + (−8.3) का मान −4.8 है

इस उदाहरण को संक्षेप में लिखा जा सकता है:

3,5 + (−8,3) = −4,8

उदाहरण 16.व्यंजक −7.2 + (−3.11) का मान ज्ञात कीजिए

यह ऋणात्मक परिमेय संख्याओं का योग है। ऋणात्मक परिमेय संख्याओं को जोड़ने के लिए, आपको उनके मॉड्यूल को जोड़ना होगा और परिणामी उत्तर के सामने ऋण लगाना होगा।

आप मॉड्यूल के साथ प्रविष्टि को छोड़ सकते हैं ताकि अभिव्यक्ति अव्यवस्थित न हो:

−7,2 + (−3,11) = −7,20 + (−3,11) = −(7,20 + 3,11) = −(10,31) = −10,31

इस प्रकार, व्यंजक −7.2 + (−3.11) का मान −10.31 है

इस उदाहरण को संक्षेप में लिखा जा सकता है:

−7,2 + (−3,11) = −10,31

उदाहरण 17.व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए −0.48 + (−2.7)

यह ऋणात्मक परिमेय संख्याओं का योग है। आइए उनके मॉड्यूल जोड़ें और परिणामी उत्तर के सामने एक माइनस लगाएं। आप मॉड्यूल के साथ प्रविष्टि को छोड़ सकते हैं ताकि अभिव्यक्ति अव्यवस्थित न हो:

−0,48 + (−2,7) = (−0,48) + (−2,70) = −(0,48 + 2,70) = −(3,18) = −3,18

उदाहरण 18.व्यंजक −4.9 − 5.9 का मान ज्ञात कीजिए

आइए प्रत्येक परिमेय संख्या को उसके चिह्नों सहित कोष्ठक में रखें। हम इस बात को ध्यान में रखते हैं कि ऋण, जो परिमेय संख्या -4.9 और 5.9 के बीच स्थित है, एक ऑपरेशन चिह्न है और संख्या 5.9 से संबंधित नहीं है। इस परिमेय संख्या का अपना धन चिह्न होता है, जो लिखित न होने के कारण अदृश्य होता है। लेकिन हम इसे स्पष्टता के लिए लिखेंगे:

(−4,9) − (+5,9)

आइए घटाव को जोड़ से बदलें:

(−4,9) + (−5,9)

हमने ऋणात्मक परिमेय संख्याओं का योग प्राप्त किया। आइए उनके मॉड्यूल जोड़ें और परिणामी उत्तर के सामने एक ऋण लगाएं:

(−4,9) + (−5,9) = −(4,9 + 5,9) = −(10,8) = −10,8

इस प्रकार, अभिव्यक्ति −4.9 − 5.9 का मान −10.8 है

−4,9 − 5,9 = −10,8

उदाहरण 19.व्यंजक 7 − 9.3 का मान ज्ञात कीजिए

आइए प्रत्येक संख्या को उसके चिह्नों सहित कोष्ठक में रखें।

(+7) − (+9,3)

आइए घटाव को जोड़ से बदलें

(+7) + (−9,3)

(+7) + (−9,3) = −(9,3 − 7) = −(2,3) = −2,3

इस प्रकार, अभिव्यक्ति 7 − 9.3 का मान −2.3 है

आइए इस उदाहरण का समाधान संक्षेप में लिखें:

7 − 9,3 = −2,3

उदाहरण 20.अभिव्यक्ति का मान ज्ञात कीजिए −0.25 − (−1.2)

आइए घटाव को जोड़ से बदलें:

−0,25 + (+1,2)

हमने विभिन्न चिह्नों वाली परिमेय संख्याओं का योग प्राप्त किया। आइए बड़े मॉड्यूल से छोटे मॉड्यूल को घटाएं, और उत्तर से पहले हम उस संख्या का चिह्न लगाएं जिसका मॉड्यूल बड़ा है:

−0,25 + (+1,2) = 1,2 − 0,25 = 0,95

आइए इस उदाहरण का समाधान संक्षेप में लिखें:

−0,25 − (−1,2) = 0,95

उदाहरण 21.व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए −3.5 + (4.1 − 7.1)

आइए कोष्ठक में क्रियाएं करें, फिर परिणामी उत्तर को संख्या −3.5 के साथ जोड़ें

पहली क्रिया:

4,1 − 7,1 = (+4,1) − (+7,1) = (+4,1) + (−7,1) = −(7,1 − 4,1) = −(3,0) = −3,0

दूसरी क्रिया:

−3,5 + (−3,0) = −(3,5 + 3,0) = −(6,5) = −6,5

उत्तर:व्यंजक −3.5 + (4.1 − 7.1) का मान −6.5 है।

उदाहरण 22.अभिव्यक्ति का मान ज्ञात कीजिए (3.5 − 2.9) − (3.7 − 9.1)

आइए चरणों को कोष्ठक में करें। फिर, पहले कोष्ठक को निष्पादित करने के परिणामस्वरूप प्राप्त संख्या से, दूसरे कोष्ठक को निष्पादित करने के परिणामस्वरूप प्राप्त संख्या को घटाएं:

पहली क्रिया:

3,5 − 2,9 = (+3,5) − (+2,9) = (+3,5) + (−2,9) = 3,5 − 2,9 = 0,6

दूसरी क्रिया:

3,7 − 9,1 = (+3,7) − (+9,1) = (+3,7) + (−9,1) = −(9,1 − 3,7) = −(5,4) = −5,4

तीसरा कृत्य

0,6 − (−5,4) = (+0,6) + (+5,4) = 0,6 + 5,4 = 6,0 = 6

उत्तर:व्यंजक (3.5 − 2.9) − (3.7 − 9.1) का मान 6 है।

उदाहरण 23.किसी व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए −3,8 + 17,15 − 6,2 − 6,15

आइए प्रत्येक परिमेय संख्या को उसके चिह्नों सहित कोष्ठक में रखें

(−3,8) + (+17,15) − (+6,2) − (+6,15)

आइए जहां संभव हो घटाव को जोड़ से बदलें:

(−3,8) + (+17,15) + (−6,2) + (−6,15)

अभिव्यक्ति में कई पद शामिल हैं। जोड़ के संयोजन नियम के अनुसार, यदि किसी अभिव्यक्ति में कई पद शामिल हैं, तो योग क्रियाओं के क्रम पर निर्भर नहीं करेगा। इसका मतलब है कि शर्तों को किसी भी क्रम में जोड़ा जा सकता है।

आइए पहिए का दोबारा आविष्कार न करें, बल्कि सभी शब्दों को बाएं से दाएं उसी क्रम में जोड़ें, जिस क्रम में वे दिखाई देते हैं:

पहली क्रिया:

(−3,8) + (+17,15) = 17,15 − 3,80 = 13,35

दूसरी क्रिया:

13,35 + (−6,2) = 13,35 − −6,20 = 7,15

तीसरी क्रिया:

7,15 + (−6,15) = 7,15 − 6,15 = 1,00 = 1

उत्तर:व्यंजक −3.8 + 17.15 − 6.2 − 6.15 का मान 1 है।

उदाहरण 24.किसी व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

आइए दशमलव भिन्न -1.8 को मिश्रित संख्या में बदलें। आइए बिना बदले बाकी को फिर से लिखें:

कोझिनोवा अनास्तासिया

नगरपालिका गैर-विशिष्ट बजट

सामान्य शैक्षणिक संस्थान

"लिसेयुम नंबर 76"

तर्कसंगत लेखांकन का रहस्य क्या है?

प्रदर्शन किया:

5वीं "बी" कक्षा का छात्र

कोझिनोवा अनास्तासिया

पर्यवेक्षक:

गणित शिक्षक

शचीक्लिना तात्याना

निकोलेवन्ना

नोवोकुज़नेत्स्क 2013

परिचय……………………………………………… 3

मुख्य भाग....................................................................................... 5-13

निष्कर्ष और निष्कर्ष……………………………………………….. 13-14

सन्दर्भ………………………………………………………….. 15

अनुप्रयोग……………………………………………………। 16-31

मैं. परिचय

संकट: संख्यात्मक अभिव्यक्तियों का मान ज्ञात करना

कार्य का लक्ष्य:तर्कसंगत लेखांकन की मौजूदा विधियों और तकनीकों की खोज, अध्ययन, उन्हें व्यवहार में लागू करना।

कार्य:

1. समानांतर वर्गों के बीच एक सर्वेक्षण के रूप में एक लघु अनुसंधान का संचालन करें।

2. शोध विषय का विश्लेषण करें: स्कूल पुस्तकालय में उपलब्ध साहित्य, ग्रेड 5 के लिए गणित की पाठ्यपुस्तक में जानकारी, इंटरनेट पर।

3. तर्कसंगत गणना के सबसे प्रभावी तरीकों और साधनों का चयन करें।

4. त्वरित मौखिक और लिखित गिनती के लिए मौजूदा तकनीकों को वर्गीकृत करें।

5. ग्रेड 5 समानांतरों में उपयोग के लिए तर्कसंगत गिनती तकनीकों वाले अनुस्मारक बनाएं।

अध्ययन का उद्देश्य: तर्कसंगत खाता.

अध्ययन का विषय: तर्कसंगत गिनती के तरीके.

शोध कार्य की प्रभावशीलता सुनिश्चित करने के लिए, मैंने निम्नलिखित विधियों का उपयोग किया: विभिन्न संसाधनों से प्राप्त जानकारी का विश्लेषण, संश्लेषण, सामान्यीकरण; प्रश्नावली के रूप में समाजशास्त्रीय सर्वेक्षण। प्रश्नावली मेरे द्वारा अध्ययन के उद्देश्य और उद्देश्यों, उत्तरदाताओं की उम्र के अनुसार विकसित की गई थी, और काम के मुख्य भाग में प्रस्तुत की गई है।

शोध कार्य के दौरान, तर्कसंगत गणना के तरीकों और तकनीकों से संबंधित मुद्दों पर विचार किया गया, और कंप्यूटिंग कौशल के साथ समस्याओं को खत्म करने और कंप्यूटिंग संस्कृति बनाने के लिए सिफारिशें दी गईं।

द्वितीय. मुख्य हिस्सा

छात्रों की कंप्यूटिंग संस्कृति का गठन

5-6 ग्रेड.

यह स्पष्ट है कि तर्कसंगत गणना तकनीक प्रत्येक व्यक्ति के जीवन में कम्प्यूटेशनल संस्कृति का एक आवश्यक तत्व है, मुख्य रूप से उनके व्यावहारिक महत्व के कारण, और छात्रों को लगभग हर पाठ में इसकी आवश्यकता होती है।

कम्प्यूटेशनल संस्कृति गणित और अन्य शैक्षणिक विषयों के अध्ययन की नींव है, क्योंकि इस तथ्य के अलावा कि गणना स्मृति और ध्यान को सक्रिय करती है, गतिविधियों को तर्कसंगत रूप से व्यवस्थित करने में मदद करती है और मानव विकास को महत्वपूर्ण रूप से प्रभावित करती है।

रोजमर्रा की जिंदगी में, कक्षाओं में, जब हर मिनट मूल्यवान होता है, बिना गलती किए और किसी अतिरिक्त कंप्यूटिंग टूल का उपयोग किए बिना, मौखिक और लिखित गणनाओं को जल्दी और तर्कसंगत रूप से पूरा करना बहुत महत्वपूर्ण है।

हम, स्कूली बच्चे, हर जगह इस समस्या का सामना करते हैं: कक्षा में, घर पर, दुकान में, आदि। इसके अलावा, ग्रेड 9 और 11 के बाद हमें आईजीए और यूनिफाइड स्टेट परीक्षा के रूप में परीक्षा देनी होगी, जहां माइक्रोकैलकुलेटर के उपयोग की अनुमति नहीं है। इसलिए, प्रत्येक व्यक्ति में कंप्यूटिंग संस्कृति विकसित करने की समस्या, जिसका एक तत्व तर्कसंगत गणना की तकनीकों में महारत हासिल करना है, अत्यंत महत्वपूर्ण हो जाती है।

तर्कसंगत गणना की तकनीकों में महारत हासिल करना विशेष रूप से आवश्यक है

गणित, इतिहास, प्रौद्योगिकी, कंप्यूटर विज्ञान इत्यादि जैसे विषयों के अध्ययन में, तर्कसंगत गणना संबंधित विषयों में महारत हासिल करने, जीवन स्थितियों में अध्ययन की जा रही सामग्री को बेहतर ढंग से नेविगेट करने में मदद करती है। तो हम किस बात का इंतज़ार कर रहे हैं? आइए तर्कसंगत गिनती तकनीकों के रहस्यों की दुनिया में चलें!!!

गणना करते समय विद्यार्थियों को क्या समस्याएँ आती हैं?

मेरी उम्र के साथियों को अक्सर विभिन्न कार्यों को करने में समस्याएँ आती हैं जिनमें उन्हें जल्दी और आसानी से गणना करने की आवश्यकता होती है . क्यों???

यहाँ कुछ अनुमान हैं:

1. विद्यार्थी को पढ़ा गया विषय ठीक से समझ में नहीं आया

2. विद्यार्थी सामग्री को दोहराता नहीं है।

3. विद्यार्थी का अंकगणित कौशल ख़राब है।

4. विद्यार्थी इस विषय का अध्ययन नहीं करना चाहता

5. विद्यार्थी सोचता है कि यह उसके काम नहीं आएगा।

मैंने ये सभी धारणाएँ अपने अनुभव और अपने सहपाठियों और साथियों के अनुभव से लीं। हालाँकि, कम्प्यूटेशनल अभ्यासों में, तर्कसंगत गिनती कौशल एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं, इसलिए मैंने अध्ययन किया है, लागू किया है, और आपको कुछ तर्कसंगत गिनती तकनीकों से परिचित कराना चाहता हूं।

मौखिक और लिखित गणना की तर्कसंगत विधियाँ।

काम और रोजमर्रा की जिंदगी में विभिन्न प्रकार की गणनाओं की आवश्यकता लगातार उत्पन्न होती रहती है। मानसिक गिनती की सबसे सरल विधियों का उपयोग करने से थकान कम होती है, ध्यान और स्मृति विकसित होती है। गणना की श्रमता, सटीकता एवं गति को बढ़ाने के लिए तर्कसंगत गणना विधियों का उपयोग आवश्यक है। गणना की गति और सटीकता केवल गणना के मशीनीकरण के तरीकों और साधनों के तर्कसंगत उपयोग के साथ-साथ मानसिक गणना विधियों के सही उपयोग से ही प्राप्त की जा सकती है।

मैं. संख्याओं को सरलीकृत रूप से जोड़ने की तकनीकें

जोड़ने की चार ज्ञात विधियाँ हैं जो गणनाओं को गति दे सकती हैं।

अनुक्रमिक बिटवाइज़ जोड़ की विधि इसका उपयोग मानसिक गणनाओं में किया जाता है, क्योंकि यह शब्दों के योग को सरल और तेज़ बनाता है। इस पद्धति का उपयोग करते समय, जोड़ उच्चतम अंकों से शुरू होता है: दूसरे जोड़ के संबंधित अंक पहले जोड़ में जोड़े जाते हैं।

उदाहरण। आइए अनुक्रमिक बिटवाइज़ जोड़ की विधि का उपयोग करके संख्याओं 5287 और 3564 का योग ज्ञात करें।

समाधान। हम निम्नलिखित क्रम में गणना करेंगे:

5 287 + 3 000 = 8 287;

8 287 + 500 = 8 787;

8 787 + 60 = 8 847;

8 847 + 4 = 8 851.

उत्तर: 8 851. (संयोजन-अनुविनियादिक नियम)

अनुक्रमिक बिटवाइज़ जोड़ का दूसरा तरीका इसमें यह तथ्य शामिल है कि दूसरे पद का उच्चतम अंक पहले पद के उच्चतम अंक में जोड़ा जाता है, फिर दूसरे पद का अगला अंक पहले पद के अगले अंक में जोड़ा जाता है, आदि।

आइए दिए गए उदाहरण का उपयोग करके इस समाधान पर विचार करें, हमें मिलता है:

5 000 + 3 000 = 8 000;

200 + 500 = 700;

उत्तर: 8851.

गोल संख्या विधि . वह संख्या जिसमें एक महत्वपूर्ण अंक होता है और एक या अधिक शून्य के साथ समाप्त होता है, गोल संख्या कहलाती है। इस पद्धति का उपयोग तब किया जाता है जब, दो या दो से अधिक पदों में से, आप उन्हें चुन सकते हैं जिन्हें पूरा करके एक पूर्ण संख्या बनाई जा सकती है। पूर्णांक संख्या और गणना स्थिति में निर्दिष्ट संख्या के बीच के अंतर को पूरक कहा जाता है। उदाहरण के लिए, 1,000 - 978 = 22. इस मामले में, संख्या 22, 978 से 1,000 का अंकगणितीय जोड़ है।

पूर्णांक संख्या विधि का उपयोग करके जोड़ करने के लिए, आपको पूर्णांक संख्याओं के करीब एक या अधिक पदों को पूर्णांकित करना होगा, पूर्णांक संख्याओं का योग करना होगा और परिणामी योग से अंकगणितीय जोड़ घटाना होगा।

उदाहरण। आइए पूर्णांक संख्या विधि का उपयोग करके संख्याओं 1,238 और 193 का योग ज्ञात करें।

समाधान। आइए संख्या 193 को 200 तक पूर्णांकित करें और इस प्रकार जोड़ें: 1,238 + 193 = (1,238 + 200) - 7 = 1,431। (संयोजन कानून)

पदों को समूहीकृत करने की विधि . इस पद्धति का उपयोग उस स्थिति में किया जाता है जब पद, जब एक साथ समूहीकृत किए जाते हैं, तो गोल संख्याएँ देते हैं, जिन्हें बाद में एक साथ जोड़ दिया जाता है।

उदाहरण। आइए संख्याओं 74, 32, 67, 48, 33 और 26 का योग ज्ञात करें।

समाधान। आइए समूहीकृत संख्याओं का योग इस प्रकार करें: (74 + 26) + (32 + 48) + (67 + 33) = 280।

(संयोजनात्मक-विनिमेय कानून)

या, जब संख्याओं को समूहीकृत करने पर समान योग प्राप्त होता है:

उदाहरण:1+2+3+4+5+…+97+98+99+100= (1+100)+(2+99)+(3+98)+…=101x50=5050

(संयोजनात्मक-विनिमेय कानून)

द्वितीय. संख्याओं के सरलीकृत घटाव की तकनीकें

अनुक्रमिक बिटवाइज़ घटाव की विधि. यह विधि न्यूनतम से घटाए गए प्रत्येक अंक को क्रमिक रूप से घटाती है। इसका उपयोग तब किया जाता है जब संख्याओं को पूर्णांकित नहीं किया जा सकता है।

उदाहरण। आइए संख्या 721 और 398 के बीच अंतर खोजें।

समाधान। आइए निम्नलिखित अनुक्रम में दी गई संख्याओं का अंतर ज्ञात करने के चरण निष्पादित करें:

आइए संख्या 398 को योग के रूप में कल्पना करें: 300 + 90 + 8 = 398;

आइए बिटवाइज़ घटाव करें:

721 - 300 = 421; 421 - 90 = 331; 331 - 8 = 323.

गोल संख्या विधि . इस पद्धति का उपयोग तब किया जाता है जब सबट्रेंड एक गोल संख्या के करीब होता है। गणना करने के लिए, लघुअंत से एक गोल संख्या के रूप में लिए गए उपअंक को घटाना और परिणामी अंतर में अंकगणितीय जोड़ जोड़ना आवश्यक है।

उदाहरण. आइए राउंड नंबर विधि का उपयोग करके संख्या 235 और 197 के बीच अंतर की गणना करें।

समाधान। 235 - 197 = 235 - 200 + 3 = 38.

तृतीय. संख्याओं के सरलीकृत गुणन की तकनीकें

एक से गुणा करें और उसके बाद शून्य डालें। जब किसी संख्या को किसी संख्या से गुणा किया जाता है जिसमें एक के बाद शून्य (10; 100; 1,000, आदि) शामिल होता है, तो दाईं ओर उतने ही शून्य जोड़े जाते हैं जितने एक के बाद गुणनखंड में होते हैं।

उदाहरण। आइए संख्या 568 और 100 का गुणनफल ज्ञात करें।

समाधान। 568 x 100 = 56,800.

अनुक्रमिक बिटवाइज़ गुणन की विधि . किसी संख्या को किसी एक अंक वाली संख्या से गुणा करते समय इस विधि का उपयोग किया जाता है। यदि आपको दो-अंकीय (तीन-, चार-अंकीय, आदि) संख्या को एक-अंकीय संख्या से गुणा करने की आवश्यकता है, तो पहले एकल-अंकीय गुणनखंड को किसी अन्य गुणनखंड के दहाई से गुणा किया जाता है, फिर उसकी इकाइयों से और परिणामी उत्पादों का सारांश दिया गया है।

उदाहरण। आइए संख्या 39 और 7 का गुणनफल ज्ञात करें।

समाधान। 39 x 7 = (30+9) x 7 = (30 x 7) + (9 x 7) = 210 + 63 = 273. (जोड़ के सापेक्ष गुणन का वितरणात्मक नियम)

गोल संख्या विधि . इस पद्धति का उपयोग केवल तभी किया जाता है जब कोई एक गुणनखंड किसी पूर्ण संख्या के करीब हो। गुणक को एक गोल संख्या से गुणा किया जाता है, और फिर अंकगणितीय जोड़ से, और अंत में दूसरे को पहले उत्पाद से घटा दिया जाता है।

उदाहरण। आइए संख्या 174 और 69 का गुणनफल ज्ञात करें।

174 x 69 =174 x (70-1) =174 x 70 - 174 x 1 = 12,180 - 174 = 12,006। (घटाव के सापेक्ष गुणन का वितरणात्मक नियम)

किसी एक कारक को विघटित करने की एक विधि। इस पद्धति में, कारकों में से एक को पहले भागों (जोड़ों) में विभाजित किया जाता है, फिर दूसरे कारक को पहले कारक के प्रत्येक भाग से गुणा किया जाता है, और परिणामी उत्पादों का योग किया जाता है।

उदाहरण. आइए संख्या 13 और 325 का गुणनफल ज्ञात करें।

आइए संख्या 13 को पदों में विघटित करें: 13 = 10 + 3। प्रत्येक परिणामी पद को 325 से गुणा करें: 10 x 325 = 3,250; 3 x 325 = 975। हम परिणामी उत्पादों का योग निकालते हैं: 3,250 + 975 = 4,225

तर्कसंगत मानसिक गणना के कौशल में महारत हासिल करने से आपका काम अधिक प्रभावी हो जाएगा। यह केवल दिए गए सभी अंकगणितीय संक्रियाओं में अच्छी महारत के साथ ही संभव है। तर्कसंगत गणना तकनीकों के उपयोग से गणना में तेजी आती है और आवश्यक सटीकता सुनिश्चित होती है। लेकिन आपको न केवल गणना करने में सक्षम होने की आवश्यकता है, बल्कि आपको गुणन सारणी, अंकगणितीय संक्रियाओं के नियम, वर्ग और रैंक भी जानने की आवश्यकता है।

ऐसी मानसिक गिनती प्रणालियाँ हैं जो आपको मौखिक रूप से जल्दी और तर्कसंगत रूप से गिनती करने की अनुमति देती हैं। हम सबसे अधिक उपयोग की जाने वाली कुछ तकनीकों पर नज़र डालेंगे।

1. दो अंकों की संख्या को 11 से गुणा करना.

हमने इस विधि का अध्ययन तो किया है, परन्तु इसका पूर्ण अध्ययन नहीं किया है इस विधि का रहस्य यह है कि इसे अंकगणितीय संक्रियाओं का नियम माना जा सकता है।

उदाहरण:

23x11= 23x(10+1) = 23x10+23x1=253 (जोड़ के सापेक्ष गुणन का वितरणात्मक नियम)

23x11=(20+3)x 11= 20x11+3x11=253 (वितरण कानून और पूर्ण संख्या विधि)

हमने इस विधि का अध्ययन किया, लेकिन हम किसी अन्य विधि को नहीं जानते थे दो अंकों की संख्या को 11 से गुणा करने का रहस्य।

दो अंकों की संख्याओं को 11 से गुणा करने पर प्राप्त परिणामों का अवलोकन करते समय, मैंने देखा कि उत्तर प्राप्त करने का एक अधिक सुविधाजनक तरीका था : दो अंकों की संख्या को 11 से गुणा करने पर इस संख्या के अंक अलग-अलग हो जाते हैं और इन अंकों का योग बीच में रख दिया जाता है।

ए) 23 11=253, क्योंकि 2+3=5;

बी) 45 11=495, क्योंकि 4+5=9;

ग) 57 11=627, क्योंकि 5+7=12, दोनों को बीच में रखा गया, और एक को सैकड़े के स्थान पर जोड़ा गया;

घ) 78 11=858, चूंकि 7+8=15, तो दहाई की संख्या 5 के बराबर होगी, और सैकड़ों की संख्या एक बढ़कर 8 के बराबर होगी।

मुझे इंटरनेट पर इस पद्धति की पुष्टि मिली।

2) दो अंकों वाली संख्याओं का गुणनफल जिनमें दहाई की संख्या समान हो और उनकी इकाइयों का योग 10 हो, यानी 23 27; 34 36; 52 58 आदि।

नियम: दहाई के अंक को प्राकृतिक श्रृंखला के अगले अंक से गुणा किया जाता है, परिणाम लिखा जाता है और इकाइयों का गुणनफल उसमें जोड़ा जाता है।

ए) 23 27=621. आपको 621 कैसे मिले? हम संख्या 2 को 3 से गुणा करते हैं ("दो" के बाद "तीन" आता है), यह 6 हो जाता है, और इसके आगे हम इकाइयों का गुणनफल जोड़ते हैं: 3 7 = 21, यह 621 निकलता है।

बी) 34 36 = 1224, चूँकि 3 4 = 12, हम संख्या 12 को 24 प्रदान करते हैं, यह इन संख्याओं की इकाइयों का गुणनफल है: 4 6।

ग) 52 58 = 3016, क्योंकि हम दहाई के अंक 5 को 6 से गुणा करते हैं, यह 30 होगा, हम 2 और 8 का गुणनफल निर्दिष्ट करते हैं, अर्थात 16।

घ) 61 69=4209. यह स्पष्ट है कि 6 को 7 से गुणा किया गया और हमें 42 प्राप्त हुआ। शून्य कहाँ से आया? इकाइयों को गुणा किया गया और हमें मिला: 1 9 = 9, लेकिन परिणाम दो अंकों का होना चाहिए, इसलिए हम 09 लेते हैं।

3) समान अंकों वाली तीन-अंकीय संख्याओं को संख्या 37 से विभाजित करें। परिणाम तीन-अंकीय संख्या के इन समान अंकों के योग के बराबर है (या तीन-अंकीय संख्या के अंक के तीन गुना के बराबर संख्या)।

उदाहरण: ए) 222:37=6। यह योग है 2+2+2=6; बी) 333:37=9, क्योंकि 3+3+3=9।

ग) 777:37=21, अर्थात 7+7+7=21।

घ) 888:37=24, क्योंकि 8+8+8=24।

हम यह भी ध्यान में रखते हैं कि 888:24=37।

तृतीय. निष्कर्ष

अपने काम के विषय में मुख्य रहस्य को जानने के लिए, मुझे कड़ी मेहनत करनी पड़ी - खोज करना, जानकारी का विश्लेषण करना, सहपाठियों का सर्वेक्षण करना, प्रारंभिक ज्ञात तरीकों को दोहराना और तर्कसंगत गणना के कई अपरिचित तरीकों को ढूंढना, और अंततः समझना उसका रहस्य क्या है? और मुझे एहसास हुआ कि मुख्य बात ज्ञात लोगों को जानना और उन्हें लागू करने में सक्षम होना है, गिनती के नए तर्कसंगत तरीकों, गुणन तालिका, संख्याओं की संरचना (वर्ग और रैंक), अंकगणितीय संचालन के नियमों को ढूंढना है। अलावा,

नए तरीके खोजें:

- संख्याओं को सरलीकृत रूप से जोड़ने की तकनीकें: (अनुक्रमिक बिटवाइज़ जोड़ की विधि; गोल संख्या की विधि; किसी एक कारक को पदों में विघटित करने की विधि);

-संख्याओं के सरलीकृत घटाव की तकनीकें(अनुक्रमिक बिटवाइज़ घटाव की विधि; गोल संख्या विधि);

-संख्याओं के सरलीकृत गुणन की तकनीकें(एक से गुणा और उसके बाद शून्य; अनुक्रमिक बिटवाइज़ गुणन की विधि; गोल संख्या विधि; कारकों में से एक को विघटित करने की विधि ;

- तीव्र मानसिक गिनती का रहस्य(दो अंकों की संख्या को 11 से गुणा करना: दो अंकों की संख्या को 11 से गुणा करने पर, इस संख्या के अंक अलग हो जाते हैं और इन अंकों का योग बीच में रख दिया जाता है; दो अंकों की संख्याओं का गुणनफल दहाई की संख्या समान, और इकाई का योग 10; समान अंक वाली तीन अंकीय संख्याओं का विभाजन, संख्या 37 तक। संभवतः ऐसे कई और तरीके हैं, इसलिए मैं इस विषय पर आगे काम करना जारी रखूंगा वर्ष।

चतुर्थ. ग्रन्थसूची

1. सविन ए. पी. गणितीय लघुचित्र / ए. पी. सविन। - एम.: बाल साहित्य, 1991

2. जुबरेवा आई.आई., गणित, ग्रेड 5: सामान्य शिक्षा संस्थानों के छात्रों के लिए एक पाठ्यपुस्तक / आई.आई. जुबरेवा, ए.जी. मोर्दकोविच. - एम.: मेनेमोसिन, 2011

4. http://www. xreferat.ru

5. http://www. Biografia.ru

6. http://www. गणित-पुनरावृत्ति. आरयू

वी. अनुप्रयोग

लघु अध्ययन (प्रश्नावली के रूप में सर्वेक्षण)

तर्कसंगत गणना के बारे में छात्रों के ज्ञान की पहचान करने के लिए, मैंने निम्नलिखित प्रश्नों पर प्रश्नावली के रूप में एक सर्वेक्षण किया:

* क्या आप जानते हैं कि तर्कसंगत गणना तकनीकें क्या हैं?

*यदि हाँ, तो कहाँ से, और यदि नहीं, तो क्यों?

* आप तर्कसंगत गिनती के कितने तरीके जानते हैं?

* क्या आपको मानसिक गणना करने में कठिनाई होती है?

* आप गणित में कैसे पढ़ते हैं? ए) से "5"; बी) से "4"; ग) से "3"

*आपको गणित के बारे में सबसे अधिक क्या पसंद है?

ए) उदाहरण; बी) कार्य; ग) भिन्न

* आपके अनुसार गणित के अलावा मानसिक अंकगणित कहाँ उपयोगी हो सकता है? *क्या आपको अंकगणितीय संक्रियाओं के नियम याद हैं, और यदि हां, तो कौन से?

एक सर्वेक्षण करने के बाद, मुझे एहसास हुआ कि मेरे सहपाठियों को अंकगणितीय संक्रियाओं के नियमों के बारे में पर्याप्त जानकारी नहीं है, उनमें से अधिकांश को तर्कसंगत गिनती में समस्या होती है, कई छात्र धीरे-धीरे और त्रुटियों के साथ गिनती करते हैं, और हर कोई जल्दी, सही तरीके से गिनती करना सीखना चाहता है। सुविधाजनक तरीके से. इसलिए, मेरे शोध कार्य का विषय न केवल सभी विद्यार्थियों के लिए अत्यंत महत्वपूर्ण है।

1. गणना की दिलचस्प मौखिक और लिखित विधियाँ जो हमने पाठ्यपुस्तक "गणित, 5वीं कक्षा" के उदाहरणों का उपयोग करते हुए गणित के पाठों में पढ़ीं:

उनमें से कुछ यहां हैं:

किसी संख्या को शीघ्रता से 5 से गुणा करना, यह नोट करना पर्याप्त है कि 5=10:2।

उदाहरण के लिए, 43x5=(43x10):2=430:2=215;

48x5=(48:2)x10=24x10=240.

किसी संख्या को 50 से गुणा करना , आप इसे 100 से गुणा कर सकते हैं और 2 से विभाजित कर सकते हैं।

उदाहरण के लिए: 122x50=(122x100):2=12200:2=6100

किसी संख्या को 25 से गुणा करना , आप इसे 100 से गुणा कर सकते हैं और 4 से विभाजित कर सकते हैं,

उदाहरण के लिए, 32x25=(32 x 100):4=3200:4=800

किसी संख्या को 125 से गुणा करना , आप इसे 1000 से गुणा कर सकते हैं और 8 से विभाजित कर सकते हैं,

उदाहरण के लिए: 192x125=(192x1000):8=192000:8=24000

एक पूर्णांक संख्या जिसके अंत में दो 0 हैं उसे 25 से विभाजित करना , आप इसे 100 से विभाजित कर सकते हैं और 4 से गुणा कर सकते हैं।

उदाहरण के लिए: 2400:25=(2400:100) x 4=24 x 4=96

किसी पूर्णांक संख्या को 50 से विभाजित करना , को 100 से विभाजित किया जा सकता है और 2 से गुणा किया जा सकता है

उदाहरण के लिए: 4500:50=(4500:100) x 2 =45 x 2 =90

लेकिन आपको न केवल गणना करने में सक्षम होने की आवश्यकता है, बल्कि आपको गुणन सारणी, अंकगणितीय संचालन के नियम, संख्याओं की संरचना (वर्ग और अंक) और उनका उपयोग करने का कौशल भी जानना होगा।

अंकगणितीय संक्रियाओं के नियम.

ए + बी = बी + ए

जोड़ का क्रमविनिमेय नियम

(ए + बी) + सी = ए + (बी + सी)

जोड़ का संयोजन नियम

ए · बी = बी · ए

गुणन का क्रमविनिमेय नियम

(ए · बी) · सी = ए · (बी · सी)

गुणन का संयुक्त नियम

(ए = बी) · सी = ए · सी = बी · सी

गुणन का वितरणात्मक नियम (जोड़ के सापेक्ष)

पहाड़ा।

गुणन क्या है?

यह एक स्मार्ट जोड़ है.

आख़िरकार, बार-बार गुणा करना अधिक बुद्धिमानी है,

फिर एक घंटे के लिए सब कुछ जोड़ लें।

पहाड़ा

हम सभी को अपने जीवन में इसकी आवश्यकता है।

और इसे यूं ही नहीं कहा जाता है

वह कई गुना बढ़ गई!

रैंक और वर्ग

बड़े मानों वाली संख्याओं को पढ़ना और याद रखना सुविधाजनक बनाने के लिए, उन्हें तथाकथित "वर्गों" में विभाजित किया जाना चाहिए: दाईं ओर से शुरू करके, संख्या को एक स्थान द्वारा तीन अंकों में विभाजित किया जाता है "प्रथम श्रेणी", फिर दूसरा तीन अंक चुने गए हैं, "द्वितीय श्रेणी" और आदि। संख्या के अर्थ के आधार पर, अंतिम वर्ग तीन, दो या एक अंक के साथ समाप्त हो सकता है।

उदाहरण के लिए, संख्या 35461298 इस प्रकार लिखी गई है:

यह संख्या वर्गों में विभाजित है:

482 - प्रथम श्रेणी (इकाइयों का वर्ग)

630 – द्वितीय श्रेणी (हजारों वर्ग)

35 - तृतीय श्रेणी (लाख वर्ग)

स्राव होना

वर्ग में शामिल प्रत्येक अंक को उसका अंक कहा जाता है, जिसे दाईं ओर से भी गिना जाता है।

उदाहरण के लिए, संख्या 35,630,482 को वर्गों और रैंकों में विभाजित किया जा सकता है:

482 - प्रथम श्रेणी

2 - पहला अंक (इकाई अंक)

8 - दूसरा अंक (दसवां स्थान)

4 - तीसरा अंक (सैकड़ा स्थान)

630 - द्वितीय श्रेणी

0 - पहला अंक (हजार अंक)

3 - दूसरा अंक (दसियों हजार अंक)

6 - तीसरा अंक (सैकड़ों हजार अंक)

35- तृतीय श्रेणी

5 - पहला अंक (लाख अंक)

3 - दूसरा अंक (दसियों लाख अंक)

संख्या 35,630,482 पढ़ी जाती है:

पैंतीस करोड़ छह सौ तीस हजार चार सौ बयासी।

तर्कसंगत गिनती में समस्याएँ और उन्हें कैसे ठीक करें

याद रखने की तर्कसंगत विधियाँ।

सर्वेक्षण और पाठों के अवलोकन के परिणामस्वरूप, मैंने देखा कि कुछ छात्र विभिन्न समस्याओं और अभ्यासों को अच्छी तरह से हल नहीं कर पाते क्योंकि वे तर्कसंगत गणना तकनीकों से परिचित नहीं हैं।

1. तकनीकों में से एक है अध्ययन की जा रही सामग्री को एक ऐसी प्रणाली में लाना जो याद रखने और स्मृति में संग्रहीत करने के लिए सुविधाजनक हो।

2. याद की गई सामग्री को एक निश्चित प्रणाली में स्मृति द्वारा संग्रहीत करने के लिए, इसकी सामग्री पर कुछ काम करना आवश्यक है।

3. फिर आप पाठ के प्रत्येक अलग-अलग हिस्से को आत्मसात करना शुरू कर सकते हैं, इसे दोबारा पढ़ सकते हैं और जो कुछ आपने पढ़ा है उसे तुरंत दोहराने (खुद को या ज़ोर से दोहराने) की कोशिश कर सकते हैं।

4. याद रखने के लिए सामग्री की पुनरावृत्ति का बहुत महत्व है। लोकप्रिय कहावत इस बारे में कहती है: "दोहराव सीखने की जननी है।" लेकिन इसे समझदारी और सही ढंग से दोहराया जाना चाहिए।

दोहराव के कार्य को उन दृष्टांतों या उदाहरणों का उपयोग करके जीवंत किया जाना चाहिए जो पहले मौजूद नहीं थे या जिन्हें पहले ही भुला दिया गया है।

उपरोक्त के आधार पर, हम शैक्षिक सामग्री की सफल महारत के लिए निम्नलिखित सिफारिशें संक्षेप में तैयार कर सकते हैं:

1. एक कार्य निर्धारित करें, शैक्षिक सामग्री को जल्दी और दृढ़ता से लंबे समय तक याद रखें।

2. जो सीखने की जरूरत है उस पर ध्यान दें।

3. अध्ययन सामग्री को अच्छे से समझें.

4. याद किए गए पाठ के लिए एक योजना बनाएं, उसमें मुख्य विचारों पर प्रकाश डालें और पाठ को भागों में तोड़ दें।

5. यदि सामग्री बड़ी है, तो क्रमिक रूप से एक के बाद एक भाग पर महारत हासिल करें और फिर हर चीज को समग्र रूप में प्रस्तुत करें।

6. सामग्री को पढ़ने के बाद, आपको उसे पुन: प्रस्तुत करना होगा (बताएं कि आपने क्या पढ़ा है)।

7. सामग्री भूल जाने से पहले उसे दोहराएँ।

8. पुनरावृत्ति को लंबी अवधि में वितरित करें।

9. याद करते समय, विभिन्न प्रकार की मेमोरी (मुख्य रूप से शब्दार्थ) और अपनी मेमोरी की कुछ व्यक्तिगत विशेषताओं (दृश्य, श्रवण या मोटर) का उपयोग करें।

10. कठिन सामग्री को सोने से पहले और फिर सुबह दोहराना चाहिए, "ताजा याददाश्त के लिए।"

11. अर्जित ज्ञान को व्यवहार में लाने का प्रयास करें। यह उन्हें स्मृति में सुरक्षित रखने का सबसे अच्छा तरीका है (यह अकारण नहीं है कि वे कहते हैं: "सीखने की असली जननी दोहराव नहीं है, बल्कि अनुप्रयोग है")।

12. हमें और अधिक ज्ञान प्राप्त करने, कुछ नया सीखने की आवश्यकता है।

अब आप सीख गए हैं कि पढ़ी गई सामग्री को जल्दी और सही ढंग से कैसे याद किया जाए।

2 से 10 तक लगातार प्राकृतिक संख्याओं को जोड़ने के साथ कुछ संख्याओं को 9 से गुणा करने की एक दिलचस्प तकनीक

12345x9+6=111111

123456x9+7=1111111

1234567x9+8=11111111

12345678x9+9=1111111111

123456789x9+10=1111111111

दिलचस्प खेल "संख्या का अनुमान लगाओ"

क्या आपने "संख्या का अनुमान लगाएं" खेल खेला है? यह बहुत ही सरल गेम है. मान लीजिए कि मैं 100 से कम एक प्राकृतिक संख्या के बारे में सोचता हूं, इसे कागज पर लिखता हूं (ताकि धोखाधड़ी की कोई संभावना न हो), और आप ऐसे प्रश्न पूछकर इसका अनुमान लगाने की कोशिश करते हैं जिनका उत्तर केवल "हां" या "नहीं" हो सकता है। फिर आप एक संख्या का अनुमान लगाते हैं, और मैं उसका अनुमान लगाने का प्रयास करता हूँ। जो कम प्रश्नों में सही अनुमान लगाता है वह जीत जाता है।

मेरे नंबर का अनुमान लगाने में आपको कितने प्रश्न लगेंगे? नहीं जानतीं? मैं केवल सात प्रश्न पूछकर आपकी संख्या का अनुमान लगाने का कार्य करता हूँ। कैसे? उदाहरण के लिए, यहां बताया गया है कि कैसे। आपको एक संख्या का अनुमान लगाने दीजिए. मैं पूछता हूं: "क्या यह 64 से कम है?" - "हाँ"। - "32 से कम?" - "हाँ"। - "16 से कम?" - "हाँ"। - "8 से कम?" - "नहीं"। - "12 से कम?" - "नहीं"। - "14 से कम?" - "हाँ"। - "13 से कम?" - "नहीं"। - "नंबर 13 की योजना बनाई गई है।"

यह स्पष्ट है? मैं संभावित संख्याओं के सेट को आधे में विभाजित करता हूं, फिर शेष आधे को फिर से आधा में विभाजित करता हूं, और इसी तरह, जब तक कि शेष में एक संख्या न हो जाए।

यदि आपको खेल पसंद आया या, इसके विपरीत, आप और अधिक चाहते हैं, तो पुस्तकालय में जाएँ और पुस्तक "ए" उठाएँ। पी. सविन (गणितीय लघुचित्र)। इस किताब में आपको बहुत सी दिलचस्प और रोमांचक बातें मिलेंगी। पुस्तक छवि:

ध्यान देने के लिए सभी को धन्यवाद

और मैं आपकी सफलता की कामना करता हूँ!!!

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तर्कसंगत गणना का रहस्य क्या है?

कार्य का उद्देश्य: जानकारी की खोज करना, तर्कसंगत लेखांकन की मौजूदा विधियों और तकनीकों का अध्ययन करना, उन्हें व्यवहार में लागू करना।

कार्य: 1. समानांतर वर्गों के बीच एक सर्वेक्षण के रूप में एक लघु-अनुसंधान का संचालन करें। 2. शोध विषय पर विश्लेषण करें: स्कूल पुस्तकालय में उपलब्ध साहित्य, ग्रेड 5 के लिए गणित की पाठ्यपुस्तक में जानकारी, साथ ही इंटरनेट पर भी। 3. तर्कसंगत गणना के सबसे प्रभावी तरीकों और साधनों का चयन करें। 4. तीव्र मौखिक और लिखित गिनती के लिए मौजूदा तकनीकों को वर्गीकृत करें। 5. 5वीं कक्षा के समानांतरों में उपयोग के लिए तर्कसंगत गिनती तकनीकों वाले मेमो बनाएं।

जैसा कि मैंने पहले ही कहा, तर्कसंगत गणना का विषय न केवल छात्रों के लिए, बल्कि हर व्यक्ति के लिए प्रासंगिक है, यह सुनिश्चित करने के लिए, मैंने 5वीं कक्षा के छात्रों के बीच एक सर्वेक्षण किया। सर्वेक्षण के प्रश्न और उत्तर आपके लिए परिशिष्ट में प्रस्तुत किए गए हैं।

तर्कसंगत गिनती क्या है? तर्कसंगत खाता एक सुविधाजनक खाता है (तर्कसंगत शब्द का अर्थ सुविधाजनक, सही है)

विद्यार्थियों को कठिनाई क्यों होती है???

यहां कुछ धारणाएं दी गई हैं: छात्र: 1. अध्ययन किए गए विषय को ठीक से नहीं समझ पाया है; 2. सामग्री को दोहराता नहीं है; 3. अंकगणित कौशल ख़राब है; 4 . विश्वास है कि उसे इसकी आवश्यकता नहीं होगी।

मौखिक और लिखित गणना की तर्कसंगत विधियाँ। काम और रोजमर्रा की जिंदगी में विभिन्न प्रकार की गणनाओं की आवश्यकता लगातार उत्पन्न होती रहती है। मानसिक गिनती की सबसे सरल विधियों का उपयोग करने से थकान कम होती है, ध्यान और स्मृति विकसित होती है।

जोड़ने की चार ज्ञात विधियाँ हैं जो गणनाओं को गति दे सकती हैं। I. संख्याओं के सरलीकृत जोड़ की तकनीक

अनुक्रमिक बिटवाइज़ जोड़ की विधि का उपयोग मानसिक गणना में किया जाता है, क्योंकि यह शब्दों के योग को सरल और तेज़ बनाता है। इस पद्धति का उपयोग करते समय, जोड़ उच्चतम अंकों से शुरू होता है: दूसरे जोड़ के संबंधित अंक पहले जोड़ में जोड़े जाते हैं। उदाहरण। आइए इस विधि का उपयोग करके संख्याओं 5287 और 3564 का योग ज्ञात करें। समाधान। हम निम्नलिखित क्रम में गणना करेंगे: 5,287 + 3,000 = 8,287; 8,287 + 500 = 8,787; 8,787 + 60 = 8,847; 8847 + 4 = 8851. उत्तर: 8,851.

अनुक्रमिक बिटवाइज़ जोड़ का दूसरा तरीका यह है कि दूसरे जोड़ का उच्चतम अंक पहले जोड़ के उच्चतम अंक में जोड़ा जाता है, फिर दूसरे जोड़ का अगला अंक पहले जोड़ के अगले अंक में जोड़ा जाता है, आदि। आइए दिए गए उदाहरण का उपयोग करके इस समाधान पर विचार करें, हमें मिलता है: 5,000 + 3,000 = 8,000; 200 + 500 = 700; 80 + 60 = 140; 7 + 4 = 11 उत्तर: 8851.

गोल संख्या विधि. एक या अधिक शून्य पर समाप्त होने वाली संख्या को गोल संख्या कहा जाता है। इस पद्धति का उपयोग तब किया जाता है जब, दो या दो से अधिक पदों में से, आप उन्हें चुन सकते हैं जिन्हें पूरा करके एक पूर्ण संख्या बनाई जा सकती है। पूर्णांक संख्या और गणना स्थिति में निर्दिष्ट संख्या के बीच के अंतर को पूरक कहा जाता है। उदाहरण के लिए, 1,000 - 978 = 22. इस मामले में, संख्या 22, संख्या 978 से 1,000 का अंकगणितीय जोड़ है। पूर्णांक संख्या विधि का उपयोग करके जोड़ करने के लिए, आपको पूर्णांक संख्याओं के करीब एक या अधिक पदों को पूर्णांकित करना होगा, पूर्णांक संख्याओं का योग करना होगा और परिणामी योग से अंकगणितीय जोड़ घटाना होगा। उदाहरण। आइए पूर्णांक संख्या विधि का उपयोग करके संख्याओं 1,238 और 193 का योग ज्ञात करें। समाधान। आइए संख्या 193 को 200 तक पूर्णांकित करें और योग इस प्रकार करें: 1,238 + 193 = (1,238 + 200) - 7 = 1,431।

पदों को समूहीकृत करने की विधि. इस पद्धति का उपयोग उस स्थिति में किया जाता है जब पद, जब एक साथ समूहीकृत किए जाते हैं, तो गोल संख्याएँ देते हैं, जिन्हें बाद में एक साथ जोड़ दिया जाता है। उदाहरण। संख्याओं 74, 32, 67, 48, 33 और 26 का योग ज्ञात कीजिए। हल। आइए समूहीकृत संख्याओं का योग इस प्रकार करें: (74 + 26) + (32 + 48) + (67 + 33) = 280।

शब्दों को समूहीकृत करने पर आधारित एक अतिरिक्त विधि। उदाहरण: 1+2+3+4+5+6+7+8+9+…….+97+98+99+100=(1+100)+(2+99)+(3+98)= 101x50=5050.

द्वितीय. संख्याओं के सरलीकृत घटाव की तकनीकें

अनुक्रमिक बिटवाइज़ घटाव की विधि. यह विधि न्यूनतम से घटाए गए प्रत्येक अंक को क्रमिक रूप से घटाती है। इसका उपयोग तब किया जाता है जब संख्याओं को पूर्णांकित नहीं किया जा सकता है। उदाहरण। आइए संख्या 721 और 398 के बीच अंतर खोजें। आइए निम्नलिखित अनुक्रम में दी गई संख्याओं के बीच अंतर खोजने के लिए कदम उठाएं: संख्या 398 को योग के रूप में कल्पना करें: 300 + 90 + 8 = 398; आइए बिटवाइज़ घटाव करें: 721 - 300 = 421; 421 - 90 = 331; 331 - 8 = 323.

गोल संख्या विधि. इस पद्धति का उपयोग तब किया जाता है जब सबट्रेंड एक गोल संख्या के करीब होता है। गणना करने के लिए, लघुअंत से एक गोल संख्या के रूप में लिए गए उपअंक को घटाना और परिणामी अंतर में अंकगणितीय जोड़ जोड़ना आवश्यक है। उदाहरण। आइए राउंड नंबर विधि का उपयोग करके संख्या 235 और 197 के बीच अंतर की गणना करें। समाधान। 235 - 197 = 235 - 200 + 3 = 38.

तृतीय. संख्याओं के सरलीकृत गुणन की तकनीकें

एक से गुणा करें और उसके बाद शून्य डालें। जब किसी संख्या को किसी संख्या से गुणा किया जाता है जिसमें एक के बाद शून्य (10; 100; 1,000, आदि) शामिल होता है, तो दाईं ओर उतने ही शून्य जोड़े जाते हैं जितने एक के बाद गुणनखंड में होते हैं। उदाहरण। आइए संख्या 568 और 100 का गुणनफल ज्ञात करें। समाधान। 568 x 100 = 56,800.

अनुक्रमिक बिटवाइज़ गुणन की विधि. किसी संख्या को किसी एक अंक वाली संख्या से गुणा करते समय इस विधि का उपयोग किया जाता है। यदि आपको दो-अंकीय (तीन-, चार-अंकीय, आदि) संख्या को एकल-अंकीय संख्या से गुणा करने की आवश्यकता है, तो पहले एक कारक को दूसरे कारक के दहाई से गुणा किया जाता है, फिर उसकी इकाइयों से गुणा किया जाता है। परिणामी उत्पादों का सारांश दिया गया है। उदाहरण। आइए संख्या 39 और 7 का गुणनफल ज्ञात करें। समाधान। 39 x 7 = (30 x 7) + (9 x 7) = 210 + 63 = 273.

गोल संख्या विधि. इस पद्धति का उपयोग केवल तभी किया जाता है जब कोई एक गुणनखंड किसी पूर्ण संख्या के करीब हो। गुणक को एक गोल संख्या से गुणा किया जाता है, और फिर अंकगणितीय जोड़ से, और अंत में दूसरे को पहले उत्पाद से घटा दिया जाता है। उदाहरण। आइए संख्या 174 और 69 का गुणनफल ज्ञात करें। समाधान। 174 x 69 = (174 x 70) - (174 x 1) = 12,180 - 174 = 12,006।

किसी एक कारक को विघटित करने की एक विधि। इस पद्धति में, कारकों में से एक को पहले भागों (जोड़ों) में विभाजित किया जाता है, फिर दूसरे कारक को पहले कारक के प्रत्येक भाग से गुणा किया जाता है, और परिणामी उत्पादों का योग किया जाता है। उदाहरण। आइए संख्या 13 और 325 का गुणनफल ज्ञात करें। समाधान। आइए संख्या को पदों में विघटित करें: 13 = 10 + 3। प्रत्येक परिणामी पद को 325 से गुणा करें: 10 x 325 = 3,250; 3 x 325 = 975 हम परिणामी उत्पादों को जोड़ते हैं: 3,250 + 975 = 4,225।

तीव्र मानसिक गणना का रहस्य. ऐसी मानसिक गिनती प्रणालियाँ हैं जो आपको मौखिक रूप से जल्दी और तर्कसंगत रूप से गिनती करने की अनुमति देती हैं। हम सबसे अधिक उपयोग की जाने वाली कुछ तकनीकों पर नज़र डालेंगे।

दो अंकों की संख्या को 11 से गुणा करना.

उदाहरण: 23x11= 23x(10+1) = 23x10+23x1=253 (जोड़ के सापेक्ष गुणन का वितरणात्मक नियम) 23x11=(20+3)x 11= 20x11+3x11=253 (वितरणात्मक नियम और पूर्ण संख्या विधि) हमने अध्ययन किया यह विधि, लेकिन हम दो अंकों की संख्याओं को 11 से गुणा करने का कोई अन्य रहस्य नहीं जानते थे।

दो अंकों की संख्या को 11 से गुणा करने पर प्राप्त परिणामों का अवलोकन करते हुए, मैंने देखा कि आप उत्तर अधिक सुविधाजनक तरीके से प्राप्त कर सकते हैं: दो अंकों की संख्या को 11 से गुणा करते समय, इस संख्या के अंक अलग हो जाते हैं और इनका योग अंकों को बीच में रखा जाता है. उदाहरण। ए) 23 11=253, क्योंकि 2+3=5; बी) 45 11=495, क्योंकि 4+5=9; ग) 57 11=627, क्योंकि 5+7=12, दोनों को बीच में रखा गया, और एक को सैकड़े के स्थान पर जोड़ा गया; मुझे इंटरनेट पर इस पद्धति की पुष्टि मिली।

2) दो अंकों की संख्याओं का गुणनफल जिसमें दहाई की संख्या समान हो और इकाइयों का योग 10 हो, यानी 23 27; 34 36; 52 58, आदि नियम: दहाई अंक को प्राकृतिक श्रृंखला में अगले अंक से गुणा किया जाता है, परिणाम लिखा जाता है और इकाइयों का उत्पाद इसमें जोड़ा जाता है। उदाहरण। ए) 23 27=621. आपको 621 कैसे मिले? हम संख्या 2 को 3 से गुणा करते हैं ("दो" के बाद "तीन" आता है), यह 6 हो जाता है, और इसके आगे हम इकाइयों का गुणनफल जोड़ते हैं: 3 7 = 21, यह 621 निकलता है। बी) 34 36 = 1224, चूँकि 3 4 = 12, हम संख्या 12 को 24 प्रदान करते हैं, यह इन संख्याओं की इकाइयों का गुणनफल है: 4 6।

3) समान अंकों वाली तीन अंकों वाली संख्याओं को संख्या 37 से विभाजित करना। परिणाम तीन अंकों की संख्या के इन समान अंकों के योग के बराबर है (या तीन अंकों की संख्या के अंक के तीन गुना के बराबर संख्या)। उदाहरण। ए) 222:37=6. यह योग 2+2+2=6 है. बी) 333:37=9, क्योंकि 3+3+3=9। ग) 777:37=21, अर्थात 7+7+7=21। घ) 888:37=24, क्योंकि 8+8+8=24। हम यह भी ध्यान में रखते हैं कि 888:24=37।

तर्कसंगत मानसिक गणना के कौशल में महारत हासिल करने से आपका काम अधिक प्रभावी हो जाएगा। यह केवल दिए गए सभी अंकगणितीय संक्रियाओं में अच्छी महारत के साथ ही संभव है। तर्कसंगत गणना तकनीकों के उपयोग से गणना में तेजी आती है और आवश्यक सटीकता सुनिश्चित होती है।

निष्कर्ष मेरे काम के विषय में मुख्य रहस्य को जानने के लिए, मुझे कड़ी मेहनत करनी पड़ी - खोज करना, जानकारी का विश्लेषण करना, सहपाठियों का सर्वेक्षण करना, प्रारंभिक ज्ञात तरीकों को दोहराना और तर्कसंगत गणना के कई अपरिचित तरीकों को ढूंढना, और अंततः समझना कि इसका रहस्य क्या है? और मुझे एहसास हुआ कि मुख्य बात यह है कि ज्ञात लोगों को जानना और उन्हें लागू करने में सक्षम होना, गिनती के नए तर्कसंगत तरीकों को ढूंढना, गुणन तालिका, संख्याओं की संरचना (वर्ग और रैंक), अंकगणितीय संचालन के नियमों को जानना। इसके अलावा, नए तरीके खोजें:

संख्याओं के सरलीकृत जोड़ की तकनीकें: (अनुक्रमिक बिटवाइज़ जोड़ की विधि; गोल संख्या विधि; किसी एक कारक को पदों में विघटित करने की विधि); - संख्याओं के सरलीकृत घटाव की तकनीक (अनुक्रमिक बिटवाइज़ घटाव की विधि; गोल संख्या विधि); - संख्याओं के सरलीकृत गुणन की तकनीक (एक के बाद शून्य से गुणा करना; अनुक्रमिक बिटवाइज़ गुणन की एक विधि; एक गोल संख्या विधि; कारकों में से एक को विघटित करने की एक विधि; - तेज मानसिक गणना के रहस्य (दो अंकों की संख्या को गुणा करना) 11: दो अंकों की संख्या को 11 से गुणा करते समय, इस संख्या के अंक अलग-अलग हो जाते हैं और बीच में इन अंकों का योग डालते हैं; दो अंकों की संख्या का गुणनफल जिसमें दहाई की संख्या समान होती है, और योग इकाइयों की संख्या 10 है; समान अंकों वाली तीन अंकों वाली संख्याओं को संख्या 37 से विभाजित करना। संभवतः ऐसी कई और विधियाँ हैं, इसलिए मैं अगले वर्ष इस विषय पर काम करना जारी रखूँगा।

अंत में, मैं अपना भाषण इन शब्दों के साथ समाप्त करना चाहूंगा:

ध्यान देने के लिए आप सभी का धन्यवाद, मैं आपकी सफलता की कामना करता हूँ!!!