Hubungan dan fungsi. Bagian i. himpunan, fungsi, relasi Fungsi yang dilakukan oleh relasi

Himpunan 2 daftar atau pasangan apa pun disebut relasi. Hubungan akan sangat membantu ketika mendiskusikan arti program.

Kata “relasi” dapat berarti aturan perbandingan, “kesetaraan” atau “adalah himpunan bagian”, dsb. Secara formal, relasi, yang merupakan kumpulan 2 daftar, dapat menggambarkan aturan informal ini secara tepat dengan memasukkan secara tepat pasangan-pasangan yang elemen-elemennya berada dalam hubungan yang diinginkan satu sama lain. Misalnya, hubungan antara karakter dan 1-string yang berisi karakter-karakter ini diberikan oleh hubungan berikut:

C = ( : x - simbol) = ( , , …}

Karena suatu relasi adalah suatu himpunan, maka relasi kosong juga dimungkinkan. Misalnya, korespondensi antara bilangan asli genap dan kuadrat ganjilnya tidak ada. Selain itu, operasi himpunan berlaku untuk relasi. Jika s dan r merupakan relasi, maka ada

s È r, s – r, s Ç r

karena ini adalah himpunan pasangan elemen yang terurut.

Kasus khusus suatu relasi adalah suatu fungsi, suatu relasi dengan sifat khusus, yang dicirikan bahwa setiap elemen pertama dipasangkan dengan elemen kedua yang unik. Relasi r merupakan suatu fungsi jika dan hanya jika untuk sembarang

tentang r dan Atau r, maka y = z.

Dalam hal ini, setiap elemen pertama dapat berfungsi sebagai nama untuk elemen kedua dalam konteks hubungannya. Misalnya, relasi C antara karakter dan 1 string yang dijelaskan di atas adalah sebuah fungsi.

Operasi himpunan juga berlaku untuk fungsi. Meskipun hasil operasi pada himpunan pasangan terurut yang merupakan fungsi tentu saja merupakan himpunan pasangan terurut lainnya, dan oleh karena itu merupakan suatu relasi, namun hasil tersebut tidak selalu merupakan fungsi.

Jika f, g adalah fungsi, maka f Ç g, f – g juga merupakan fungsi, tetapi f È g dapat berupa fungsi, atau mungkin juga bukan. Sebagai contoh, mari kita definisikan kepala relasi

H = (< Θ y, y>: y - tali) = ( , , …}

Dan ambil relasi C yang dijelaskan di atas. Kemudian dari fakta bahwa C Í H:

adalah sebuah fungsi

H - C = (< Θ y, y>: y – string minimal 2 karakter)

adalah suatu relasi, tetapi bukan suatu fungsi,

adalah fungsi kosong, dan

adalah sebuah relasi.

Himpunan elemen pertama dari pasangan suatu relasi atau fungsi disebut domain definisi, dan himpunan elemen kedua dari pasangan tersebut disebut rentang. Untuk elemen relasi, katakanlah Atau r, x disebut argumen r, dan y disebut arti R.

Kapan Î r dan dan y merupakan satu-satunya nilai untuk x, notasi nilai:

berbunyi “y adalah nilai r dari x” atau lebih singkatnya “y adalah nilai r dari x” (bentuk fungsional).

Mari kita tentukan relasi arbitrer r dan argumen x, maka ada tiga opsi untuk korespondensinya:

1. x Р domain(r), dalam hal ini r belum diartikan oleh x
2. x О domain(r), dan terdapat y, z yang berbeda sehingga tentang r dan tentang hal. Dalam hal ini, r tidak ditentukan secara unik pada x
3. x О domain(r), dan ada pasangan unik tentang hal. Dalam hal ini, r ditentukan secara unik pada x dan y=r(x).

Jadi, suatu fungsi adalah relasi yang terdefinisi secara unik untuk seluruh elemen domain definisinya.

Ada tiga fungsi khusus:

Fungsi kosong(), tidak memiliki argumen atau nilai

domain(()) = (), rentang(()) = ()

Fungsi identitas, fungsi saya adalah,

bahwa jika x О domain(r), maka I(x) = x.

Fungsi konstan, rentang nilai yang ditentukan oleh 1 set, yaitu semua argumen sesuai dengan nilai yang sama.

Karena relasi dan fungsi adalah himpunan, maka relasi dan fungsi dapat dideskripsikan dengan membuat daftar elemen atau menetapkan aturan. Misalnya:

r = (<†ball†, †bat†>, <†ball†, †game†>, <†game†, †ball†>}

adalah relasi karena semua elemennya adalah 2 daftar

domain(r) = (†bola†, †permainan†)

jarak (r) = (†bola†, †permainan†, †kelelawar†)

Namun, r bukan merupakan fungsi karena dua nilai berbeda dipasangkan dengan argumen yang sama †bola†.

Contoh hubungan yang ditentukan menggunakan aturan:

s = ( : kata x tepat sebelum kata y

pada baris †ini adalah relasi yang bukan fungsi†)

Hubungan ini juga dapat ditentukan dengan enumerasi:

s = (<†this†, †is†>, <†is†, †a†>, <†a†, †relation†>, <†relation†, †that†>,

<†that†, †is†>, <†is†, †not†>, <†not†, †a†>, <†a†, †function†>}

Aturan berikut mendefinisikan fungsi:

f = ( : contoh kata pertama tepat sebelum kata y

pada baris †ini adalah relasi yang juga merupakan fungsi†)

yang juga dapat ditentukan dengan enumerasi:

f = (<†this†, †is†>, <†is†, †a†>, <†a†, †relation†>,

<†relation†, †that†>, <†that†, †is†>, <†also†, †a†>}

Arti dari program.

Hubungan dan fungsi sangat penting dalam deskripsi untuk menggambarkan makna program. Dengan menggunakan konsep-konsep ini, notasi dikembangkan untuk menggambarkan makna program. Untuk program sederhana maknanya akan jelas, namun contoh sederhana ini akan berfungsi untuk menguasai teori secara keseluruhan.

Ide baru: notasi kotak, program dan makna program.

Himpunan pasangan input-output untuk semua kemungkinan eksekusi normal suatu program disebut nilai program. Konsepnya juga bisa digunakan fungsi program Dan sikap program. Penting untuk membedakan antara makna suatu program dan unsur-unsur makna. Untuk masukan tertentu, mesin Pascal yang dikendalikan oleh program Pascal dapat menghasilkan keluaran tertentu. Namun arti dari sebuah program lebih dari sekedar cara untuk mengekspresikan hasil dari satu eksekusi tertentu. Itu mengungkapkan semua mungkin eksekusi program Pascal pada mesin Pascal.

Suatu program dapat mengambil masukan yang dipecah menjadi beberapa baris dan menghasilkan keluaran yang dipecah menjadi beberapa baris. Jadi, pasangan dalam suatu nilai program dapat berupa pasangan daftar string karakter.

Notasi kotak.

Setiap program Pascal adalah serangkaian karakter yang diteruskan ke mesin Pascal untuk diproses. Misalnya:

P = †PROGRAM CetakHalo(INPUT, OUTPUT); MULAI TULIS('HALO') AKHIR.†

Merupakan salah satu program pertama yang dibahas di awal Bagian I sebagai string.

Anda juga dapat menulis baris ini dengan menghilangkan penanda garis, misalnya

P = PROGRAM CetakHalo(INPUT, OUTPUT);

TERTULIS('HALO')

String P mewakili sintaksis program, dan kita akan menulis nilainya sebagai P. Nilai P adalah sekumpulan 2 daftar (pasangan terurut) dari daftar string karakter yang argumennya mewakili input program dan nilai-nilai mewakili keluaran program, yaitu

P = ( : untuk daftar input string L, P dijalankan dengan benar

dan mengembalikan daftar string M)

Notasi kotak untuk makna program tetap mempertahankan sintaksis dan semantik program, tetapi dengan jelas membedakan satu sama lain. Untuk program PrintHello di atas:

P = ( } =

{>: L – daftar string apa pun)

Memasukkan teks program ke dalam kotak:

P = PROGRAM CetakHalo(INPUT, OUTPUT); MULAI TULIS('HALO') AKHIR

Karena P adalah suatu fungsi,

PROGRAM CetakHalo(INPUT, OUTPUT); MULAI TULIS('HALO') AKHIR (L) =<†HELLO†>

untuk daftar string apa pun L.

Notasi kotak menyembunyikan cara program mengontrol mesin Pascal dan hanya menampilkan apa yang menyertai eksekusi. Istilah “kotak hitam” sering digunakan untuk menggambarkan suatu mekanisme yang hanya dilihat dari luar dalam hal input dan output. Dengan demikian, notasi ini cocok untuk mengartikan suatu program dalam hal input/output. Misalnya program R

PROGRAM CetakHaloInSteps(INPUT, OUTPUT);

TULIS('DIA');

TULIS('L');

TERTULIS('LO')

Mempunyai arti yang sama dengan P yaitu R = P.

Program R juga memiliki nama CFPascal PrintHelloInSteps. Namun karena string †PrintHelloInSteps† adalah bagian dari string R, lebih baik tidak menggunakan PrintHelloInSteps sebagai nama program R dalam notasi kotak.

Membiarkan rÍ X X Y.

Hubungan fungsional- ini adalah hubungan biner R, di mana setiap elemen bersesuaian tepat satu sedemikian rupa sehingga pasangan tersebut termasuk dalam relasi atau semacamnya tidak ada sama sekali: atau.

Hubungan fungsional – itu adalah hubungan biner R, yang berikut ini dijalankan: .

Di mana-mana ada sikap tertentu– hubungan biner R, untuk itu Dr =X(“tidak ada yang kesepian X").

Hubungan subjektif– hubungan biner R, untuk itu Jr = Y(“tidak ada yang kesepian kamu").

Sikap injektif– relasi biner yang berbeda X sesuai berbeda pada.

Kekecewaan– relasi fungsional, terdefinisi dimana-mana, injektif, surjektif, mendefinisikan korespondensi himpunan satu-ke-satu.

Misalnya:

Membiarkan R= ( (x, y) О R 2 | kamu 2 + x 2 = 1, kamu > 0 ).

Sikap R- fungsional,

tidak ditentukan di mana-mana ("ada yang sepi X"),

bukan suntik (ada yang berbeda X, pada),

tidak bersifat dugaan (“ada yang kesepian pada"),

bukan suatu keberatan.

Misalnya:

Misalkan Ã= ((x,y) О R 2 | y = x+1)

Relasi à bersifat fungsional,

Relasi Ã- didefinisikan dimana-mana (“tidak ada yang kesepian X"),

Relasi Ã- bersifat injektif (tidak ada perbedaan X, yang sesuai dengan hal yang sama pada),

Relasi Ã- bersifat dugaan (“tidak ada yang kesepian pada"),

Relasi à merupakan korespondensi yang bersifat bijektif dan saling homogen.

Misalnya:

Misalkan j=((1,2), (2,3), (1,3), (3,4), (2,4), (1,4)) terdefinisi pada himpunan nomor 4.

Relasi j tidak fungsional, x=1 berhubungan dengan tiga y: (1,2), (1,3), (1,4)

Relasi j tidak pasti di semua tempat D j =(1,2,3)¹ nomor 4

Relasi j tidak bersifat dugaan SAYA j =(1,2,3)¹ nomor 4

Relasi j tidak bersifat injektif; x yang berbeda berhubungan dengan y yang sama, misalnya (2.3) dan (1.3).

Tugas laboratorium

1. Set diberikan N1 Dan N2. Hitung set:

(N1 X N2) (N2 X N1);

(N1 X N2) dan (N2 X N1);

(N1 + N2) X (N1 + N2);

(N1 dan N2) X (N1 dan N2),

Di mana N1 = ( digit nomor buku catatan, tiga terakhir };

N2 = ( digit tanggal dan bulan lahir }.

2. Hubungan R Dan G diberikan di lokasi syuting N 6 =(1,2,3,4,5,6).

Jelaskan hubungannya R,G,R -1 , R ○g, r - 1 ○G daftar pasangan

Temukan matriks hubungan R Dan G.

Untuk setiap hubungan, tentukan domain definisi dan domain nilai.

Tentukan sifat-sifat hubungan.

Identifikasi hubungan kesetaraan dan bangun kelas kesetaraan.

Identifikasi hubungan keteraturan dan klasifikasikan.

1) R= { (M,N) | m > n)

G= { (M,N) | modul perbandingan 2 }

2) R= { (M,N) | (M N) habis dibagi 2 }

G= { (M,N) | M pembagi N)

3) R= { (M,N) | M< n }

G= { (M,N) | modul perbandingan 3 }

4) R= { (M,N) | (m + n)- bahkan }

G= { (M,N) | m 2 =n)

5) R= { (M,N) | M N- derajat 2 }

G= { (M,N) | m = n)

6) R= { (M,N) | M N- bahkan }

g = ((M,N) | M³ N)

7) R= { (M,N) | M N- aneh }

G= { (M,N) | modul perbandingan 4 }

8) R= { (M,N) | M N - bahkan }

G= { (M,N) | M£ N)

9) R= { (M,N) | modul perbandingan 5 }

G= { (M,N) | M dibagi dengan N)

10) R= { (M,N) | M- bahkan, N- bahkan }

G= { (M,N) | M pembagi N)

11) R= { (M,N) | M = N)

G= { (M,N) | (m + n)£ 5 }

12) R={ (M,N) | M Dan N mempunyai sisa yang sama bila dibagi 3 }

G= { (M,N) | (M-N)³2 }

13) R= { (M,N) | (m + n) habis dibagi 2 }

g = ((M,N) | £2 (M-N)£4 }

14) R= { (M,N) | (m + n) habis dibagi 3 }

G= { (M,N) | M¹ N)

15) R= { (M,N) | M Dan N mempunyai pembagi yang sama }

G= { (M,N) | m 2£ N)

16) R= { (M,N) | (M N) habis dibagi 2 }

G= { (M,N) | M< n +2 }

17) R= { (M,N) | modul perbandingan 4 }

G= { (M,N) | M£ N)

18) R= { (M,N) | M habis dibagi N)

G= { (M,N) | M¹ n, m- bahkan }

19) R= { (M,N) | modul perbandingan 3 }

G= { (M,N) | £1 (M-N)£3 }

20) R= { (M,N) | (M N) habis dibagi 4 }

G= { (M,N) | M¹ N)

21) R= { (M,N) | M- aneh, N- aneh }

G= { (M,N) | M£ n, n- bahkan }

22) R= { (M,N) | M Dan N mempunyai sisa ganjil bila dibagi 3 }

G= { (M,N) | (M-N)³1 }

23) R= { (M,N) | M N - aneh }

G= { (M,N) | modul perbandingan 2 }

24) R= { (M,N) | M N - bahkan }

G= { (M,N) | £1 (M-N)£3 }

25) R= { (M,N) | (M+ N) - bahkan }

G= { (M,N) | M tidak dapat dibagi seluruhnya N)

26) R= { (M,N) | m = n)

G= { (M,N) | M habis dibagi N)

27) R= { (M,N) | (M N)- bahkan }

G= { (M,N) | M pembagi N)

28) R= { (M,N) | (M-N)³2 }

G= { (M,N) | M habis dibagi N)

29) R= { (M,N) | m 2³ N)

G= { (M,N) | M / N- aneh }

30) R= { (M,N) | M³ n, m - bahkan }

G= { (M,N) | M Dan N mempunyai pembagi persekutuan selain 1 }

3. Tentukan apakah relasi yang diberikan adalah F- fungsional, didefinisikan di mana-mana, injektif, dugaan, bijeksi ( R- himpunan bilangan real). Buatlah grafik hubungan, tentukan domain definisi dan rentang nilai.

Lakukan tugas yang sama untuk hubungan R Dan G dari poin 3 pekerjaan laboratorium.

1) f=( (x, kamu) Î R 2 | kamu=1/x +7x )

2) f=( (x, kamu) Î R 2 | X³ kamu)

3) f=( (x, kamu) Î R 2 | kamu³ X)

4) f=( (x, kamu) Î R 2 | kamu³ x, x³ 0 }

5) f=( (x, kamu) Î R 2 | kamu 2 + x 2 = 1)

6) f=( (x, kamu) Î R 2 | 2 | kamu | + | x | = 1)

7) f=( (x, kamu) Î R 2 | x+y£ 1 }

8) f=( (x, kamu) Î R 2 | x = kamu 2 )

9) f=( (x, kamu) Î R 2 | kamu = x 3 + 1)

10) f=( (x, kamu) Î R 2 | kamu = -x 2 )

11) f=( (x, kamu) Î R 2 | | kamu | + | x | = 1)

12) f=( (x, kamu) Î R 2 | x = kamu -2 )

13) f=( (x, kamu) Î R 2 | kamu2 + x2³ 1, kamu> 0 }

14) f=( (x, kamu) Î R 2 | kamu 2 + x 2 = 1, x> 0 }

15) f=( (x, kamu) Î R 2 | kamu2 + x2£ 1.x> 0 }

16) f=( (x, kamu) Î R 2 | x = kamu 2 ,X³ 0 }

17) f=( (x, kamu) Î R 2 | y = dosa(3x + p) )

18) f=( (x, kamu) Î R 2 | kamu = 1 /karena x )

19) f=( (x, kamu) Î R 2 | kamu = 2| x | + 3)

20) f=( (x, kamu) Î R 2 | kamu = | 2x + 1| )

21) f=( (x, kamu) Î R 2 | kamu = 3x)

22) f=( (x, kamu) Î R 2 | kamu = e -x )

23) f =( (x, kamu)Î R 2 | kamu = e | x | )

24) f=( (x, kamu) Î R 2 | y = cos(3x) - 2 )

25) f=( (x, kamu) Î R 2 | kamu = 3x 2 - 2 )

26) f=( (x, kamu) Î R 2 | kamu = 1 / (x + 2) )

27) f=( (x, kamu) Î R 2 | kamu = dalam(2x) - 2 )

28) f=( (x, kamu) Î R 2 | kamu = | 4x -1| + 2)

29) f=( (x, kamu) Î R 2 | kamu = 1 / (x 2 +2x-5))

30) f=( (x, kamu) Î R 2 | x = kamu 3, kamu³ - 2 }.

Pertanyaan kontrol

2. Pengertian relasi biner.

3. Metode mendeskripsikan hubungan biner.

4.Domain definisi dan rentang nilai.

5.Sifat-sifat relasi biner.

6. Relasi kesetaraan dan kelas kesetaraan.

7. Hubungan ketertiban: tegas dan tidak tegas, lengkap dan sebagian.

8. Kelas residu modulo m.

9.Hubungan fungsional.

10. Suntikan, dugaan, bijeksi.

Pekerjaan laboratorium No.3

1. Kuliah No. 1. Himpunan dan operasinya.
2. Kuliah No. 2. Korespondensi dan Fungsi.
3. Kuliah No. 3. Hubungan dan sifat-sifatnya.
4. Kuliah No. 4. Tipe dasar hubungan.
5. Kuliah No. 5. Unsur aljabar umum.
6. Kuliah No. 6. Macam-macam struktur aljabar.
7. Kuliah No. 7. Unsur logika matematika.
8. Kuliah No. 8. Fungsi logika.
9. Kuliah No. 9. Aljabar Boolean.
10. Kuliah No. 10. Aljabar Boolean dan teori himpunan.
11. Kuliah No. 11. Kelengkapan dan Penutup.
12. Kuliah No. 12. Bahasa logika predikat.
13. Kuliah No. 13. Kombinatorik.
14. Kuliah No. 14. Grafik: konsep dasar dan operasi.
15. Kuliah No. 15. Rute, rantai dan putaran.
16. Kuliah No. 16. Beberapa kelas graf dan bagian-bagiannya.

BAGIAN I. Himpunan, FUNGSI, HUBUNGAN.

Kuliah No. 2. Korespondensi dan Fungsi.

1. Cocok.

Definisi. Korespondensi antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian tertentu G dari hasil kali kartesiusnya: .

Jika , maka mereka mengatakan itu sesuai ketika sesuai . Dalam hal ini, himpunan semua nilai tersebut disebut domain definisi korespondensi, dan himpunan nilai yang bersesuaian disebut domain nilai korespondensi.

Dalam notasi yang diterima, setiap elemen yang bersesuaian dengan elemen tertentu disebut jalan ketika berkorespondensi, sebaliknya, elemen tersebut dipanggil prototipe elemen untuk korespondensi tertentu.

Kepatuhan disebut didefinisikan sepenuhnya, jika , yaitu, setiap elemen himpunan memiliki paling sedikit satu gambar dalam himpunan; jika tidak, pertandingan akan dibatalkan sebagian.

Kepatuhan disebut dugaan, jika, yaitu, jika setiap elemen himpunan berhubungan dengan setidaknya satu gambar awal dalam himpunan.

Kepatuhan disebut fungsional (tidak ambigu), jika ada elemen himpunan yang berkorespondensi dengan salah satu elemen himpunan tersebut.

Kepatuhan disebut injeksi, jika fungsional, dan setiap elemen himpunan mempunyai paling banyak satu gambar invers.

Kepatuhan disebut satu-ke-satu (bijektif), jika salah satu elemen himpunan berkorespondensi dengan salah satu elemen himpunan, dan sebaliknya. Kita juga dapat mengatakan bahwa suatu korespondensi adalah satu-satu jika ia sepenuhnya terdefinisi, dugaan, fungsional, dan setiap elemen himpunan mempunyai prototipe tunggal.

Contoh 1.

a) Kamus Inggris-Rusia menetapkan korespondensi antara kumpulan kata dalam bahasa Rusia dan Inggris. Ini tidak berfungsi, karena hampir setiap kata dalam bahasa Rusia memiliki beberapa terjemahan bahasa Inggris; ini juga bukan, sebagai aturan, kecocokan yang didefinisikan sepenuhnya, karena selalu ada kata-kata bahasa Inggris yang tidak disertakan dalam kamus tertentu. Jadi ini adalah pertandingan parsial.

b) Kesesuaian antara argumen suatu fungsi dan nilai fungsi tersebut adalah fungsional. Namun, ini bukan fungsi satu-satu, karena setiap nilai fungsi berhubungan dengan dua gambar invers dan .

c) Korespondensi antara bidak-bidak yang terletak di papan catur dengan bidang yang ditempatinya adalah satu-satu.

d) Korespondensi antara telepon kota Vyazma dan nomor lima digitnya, sekilas, memiliki semua sifat korespondensi satu-ke-satu. Namun, misalnya, ini tidak bersifat dugaan, karena ada lima digit nomor yang tidak sesuai dengan telepon mana pun.

2. Korespondensi satu-satu dan pangkat himpunan.

Jika terdapat korespondensi satu-satu antara dua himpunan berhingga A dan B, maka himpunan-himpunan tersebut mempunyai kardinalitas yang sama. Fakta nyata ini memungkinkan, pertama, untuk menetapkan persamaan kardinalitas himpunan-himpunan ini tanpa menghitungnya. Kedua, sering kali kita dapat menghitung kardinalitas suatu himpunan dengan menetapkan korespondensi satu-satu dengan himpunan yang kardinalitasnya diketahui atau dapat dengan mudah dihitung.

Teorema 2.1. Jika kardinalitas suatu himpunan berhingga A sama dengan , maka jumlah semua himpunan bagian A sama dengan itu.

Himpunan semua himpunan bagian dari himpunan M disebut Boolean dan ditunjuk. Untuk himpunan berhingga berlaku hal berikut: .

Definisi. Set A Dan DI DALAM Disebut ekuivalen jika dapat dibuat korespondensi satu-satu antar unsur-unsurnya.

Perhatikan bahwa untuk himpunan berhingga pernyataan ini mudah dibuktikan. Untuk himpunan tak terhingga, hal ini akan menentukan konsep kardinalitas yang setara.

Definisi. Sekelompok A disebut dapat dihitung jika ekuivalen dengan himpunan bilangan asli: .

Dengan cara yang sangat sederhana, kita dapat mengatakan bahwa suatu himpunan tak hingga dapat dihitung jika elemen-elemennya dapat diberi nomor menggunakan bilangan asli.

Tanpa bukti, marilah kita menerima sejumlah fakta penting:

1. Setiap himpunan bagian tak hingga dari himpunan bilangan asli dapat dihitung.

2. Himpunan dapat dihitung.

3. Himpunan bilangan rasional dapat dihitung (merupakan konsekuensi dari pernyataan sebelumnya).

4. Gabungan dari sejumlah himpunan terhitung yang terbatas dapat dihitung.

5. Gabungan sejumlah himpunan berhingga yang dapat dihitung dapat dihitung.

6. Gabungan sejumlah himpunan terhitung adalah himpunan terhitung.

Semua pernyataan ini, seperti dapat dilihat, memungkinkan kita untuk cukup berhasil menetapkan fakta bahwa himpunan ini dapat dihitung. Namun, sekarang akan ditunjukkan bahwa tidak setiap himpunan tak hingga dapat dihitung; ada kumpulan kekuatan yang lebih besar.

Teorema 2.2 (Teorema Penyanyi). Himpunan semua bilangan real dalam suatu segmen tidak dapat dihitung.

Bukti. Mari kita asumsikan bahwa himpunan tersebut dapat dihitung dan ada penomorannya. Karena bilangan real apa pun dapat direpresentasikan sebagai pecahan desimal tak hingga (periodik atau non-periodik), kita akan melakukannya dengan bilangan-bilangan dalam himpunan ini. Mari kita susun dalam urutan penomoran berikut:

Sekarang perhatikan pecahan desimal tak hingga dalam bentuk , yang disusun sedemikian rupa sehingga dan seterusnya. Jelasnya, pecahan ini tidak termasuk dalam barisan yang sedang dipertimbangkan, karena ia berbeda dari angka pertama dengan angka desimal pertama, dari angka kedua dengan angka kedua, dan seterusnya. Akibatnya, kita menerima bilangan dari interval ini yang tidak diberi nomor dan, dengan demikian, himpunan tersebut tidak dapat dihitung. Kekuatannya disebut kontinum, dan himpunan kardinalitas tersebut disebut kontinu. Cara pembuktian di atas disebut Metode diagonal penyanyi.

Akibat wajar 1. Himpunan bilangan real adalah kontinu.

Akibat wajar 2. Himpunan semua himpunan bagian dari himpunan terhitung adalah kontinu.

Seperti yang ditunjukkan dalam teori himpunan (menggunakan metode yang mirip dengan yang diberikan di atas), untuk himpunan dengan kardinalitas apa pun, himpunan semua himpunan bagiannya (Boolean) memiliki kardinalitas yang lebih tinggi. Oleh karena itu, tidak ada himpunan kardinalitas maksimum. Misalnya, alam semesta himpunan yang dijelaskan oleh Cantor harus memuat semua himpunan yang dapat dibayangkan, tetapi alam semesta itu sendiri terkandung dalam himpunan himpunan bagiannya sebagai sebuah elemen (paradoks Cantor). Ternyata himpunan tersebut bukanlah himpunan dengan kardinalitas maksimum.

3. Tampilan dan fungsi.

Fungsi adalah korespondensi fungsional antara dua himpunan. Jika suatu fungsi mengadakan korespondensi antara himpunan A dan B, maka fungsi tersebut dikatakan mempunyai bentuk (notasi). Untuk setiap elemen dari domain definisinya, fungsi tersebut menetapkan satu elemen dari domain nilai. Ini ditulis dalam bentuk tradisional. Elemen tersebut disebut argumen fungsi, elemen – itu arti.

Fungsi yang terdefinisi sepenuhnya disebut menampilkan A ke B; bayangan himpunan A bila ditampilkan dilambangkan dengan . Jika sekaligus, yaitu korespondensinya bersifat dugaan, maka dikatakan ada pemetaan dari A ke B.

Jika hanya terdiri dari satu elemen maka disebut fungsi konstan.

Pemetaan tipe disebut transformasi himpunan A.

Contoh 2.

sebuah fungsi adalah pemetaan himpunan bilangan asli ke dalam dirinya sendiri (fungsi injektif). Fungsi yang sama untuk semua adalah pemetaan dari himpunan bilangan bulat ke himpunan bilangan rasional.

b) Fungsi merupakan pemetaan dari himpunan bilangan bulat (kecuali 0) ke himpunan bilangan asli. Apalagi dalam hal ini korespondensinya tidak satu-satu.

c) Fungsi adalah pemetaan satu-satu dari himpunan bilangan real ke dirinya sendiri.

d) Suatu fungsi tidak sepenuhnya terdefinisi jika tipenya adalah , namun terdefinisi sepenuhnya jika tipenya adalah atau .

Definisi. Jenis fungsi disebut fungsi lokal. Dalam hal ini, secara umum diterima bahwa fungsi tersebut memiliki argumen: , Di mana .

Misalnya, penjumlahan, perkalian, pengurangan, dan pembagian merupakan fungsi dua tempat pada , yaitu fungsi bertipe .

Definisi. Biarkan korespondensi diberikan. Jika korespondensi sedemikian rupa sehingga jika dan hanya jika , maka korespondensi tersebut disebut invers ke dan dilambangkan dengan .

Definisi. Jika invers korespondensi suatu fungsi bersifat fungsional, maka invers tersebut disebut fungsi invers.

Tentunya pada korespondensi invers, gambar dan prototipe berpindah tempat, oleh karena itu, untuk adanya fungsi invers, setiap elemen dari domain nilai harus memiliki satu prototipe. Artinya, untuk suatu fungsi, fungsi invers ada jika dan hanya jika fungsi tersebut merupakan korespondensi bijektif antara domain definisi dan domain nilainya.

Contoh 3. Fungsinya bertipe . Ini memetakan segmen satu-ke-satu ke suatu segmen. Oleh karena itu, terdapat fungsi invers pada segmen tersebut. Seperti yang Anda tahu, ini adalah.

Definisi. Biarkan fungsinya dan diberikan. Suatu fungsi disebut komposisi fungsi dan (dilambangkan dengan ) jika persamaannya berlaku: , Di mana .

Komposisi fungsi adalah penerapan fungsi-fungsi tersebut secara berurutan; diterapkan pada hasil. Sering dikatakan bahwa fungsi tersebut diperoleh pengganti V .

Untuk fungsi multi-tempat, berbagai varian substitusi dimungkinkan, sehingga menghasilkan berbagai jenis fungsi. Yang menarik adalah kasus ketika banyak fungsi bertipe: . Dalam hal ini, pertama, setiap substitusi fungsi satu sama lain dimungkinkan, dan kedua, setiap penggantian nama argumen. Suatu fungsi yang diperoleh dari fungsi-fungsi ini dengan beberapa substitusi satu sama lain dan mengganti nama argumennya disebut superposisinya.

Misalnya, dalam analisis matematis konsep fungsi dasar diperkenalkan, yang merupakan superposisi dari sejumlah operasi aritmatika yang tetap (tidak tergantung pada nilai argumen), serta fungsi dasar (dll).

SEBUAH. Kolmogorov dan V.I. Arnold membuktikan bahwa setiap fungsi kontinu variabel dapat direpresentasikan sebagai superposisi fungsi kontinu dua variabel.

Komentar. Konsep suatu fungsi banyak digunakan dalam analisis matematis, apalagi merupakan konsep dasar di dalamnya. Secara umum, pendekatan untuk memahami istilah “fungsi” dalam analisis matematis agak sempit dibandingkan dalam matematika diskrit. Sebagai aturan, ini mempertimbangkan apa yang disebut dapat dihitung fungsi. Suatu fungsi disebut dapat dihitung jika diberikan prosedur yang memungkinkan seseorang menemukan nilai fungsi untuk nilai argumen tertentu.

Kembali ke awal ringkasan.

Contoh 1.

a) Relasi kesetaraan (sering dilambangkan dengan ) pada sembarang himpunan merupakan relasi ekivalen. Kesetaraan adalah relasi ekivalensi minimal dalam arti bahwa ketika ada pasangan yang dikeluarkan dari relasi ini (yaitu, unit apa pun pada diagonal utama matriks), maka relasi tersebut tidak lagi refleksif dan, oleh karena itu, tidak lagi merupakan ekivalensi.

b) Pernyataan jenis atau , terdiri dari rumus-rumus yang dihubungkan dengan tanda sama dengan, mendefinisikan relasi biner pada sekumpulan rumus yang menjelaskan superposisi fungsi-fungsi dasar. Relasi ini biasa disebut relasi ekivalen dan didefinisikan sebagai berikut: dua rumus ekuivalen jika keduanya mendefinisikan fungsi yang sama. Kesetaraan dalam hal ini, meskipun ditandai dengan tanda “=”, tidak berarti sama dengan hubungan kesetaraan, karena dapat dipenuhi untuk rumus yang berbeda. Namun, kita dapat berasumsi bahwa tanda sama dengan dalam relasi tersebut tidak mengacu pada rumus itu sendiri, melainkan pada fungsi yang dijelaskannya. Untuk rumus, relasi persamaan adalah kebetulan rumus-rumus dalam ejaan. Ini disebut kesetaraan grafis. Ngomong-ngomong, untuk menghindari perbedaan dalam situasi seperti itu, tanda “ ” sering digunakan untuk menunjukkan hubungan kesetaraan.

c) Perhatikan himpunan segitiga pada bidang koordinat, dengan asumsi bahwa suatu segitiga diberikan jika koordinat titik-titik sudutnya diberikan. Kita akan menganggap dua segitiga sama besar (kongruen) jika, ketika ditumpangkan, keduanya bertepatan, yaitu, keduanya dipindahkan satu sama lain melalui suatu gerakan. Kesetaraan adalah hubungan kesetaraan pada himpunan segitiga.

d) Relasi “memiliki sisa yang sama dengan suatu bilangan asli” pada himpunan bilangan asli merupakan relasi ekivalen.

f) Relasi “menjadi pembagi” bukan merupakan relasi ekivalen pada suatu himpunan. Ia mempunyai sifat refleksivitas dan transitivitas, namun antisimetris (lihat di bawah).

Misalkan suatu relasi ekivalen ditentukan pada suatu himpunan. Mari kita lakukan konstruksi berikut. Mari kita pilih sebuah elemen dan membentuk kelas (subset) yang terdiri dari elemen dan semua elemen yang setara dengannya dalam relasi yang diberikan. Kemudian pilih elemennya dan membentuk kelas yang terdiri dari dan elemen yang setara. Melanjutkan tindakan ini, kita memperoleh sistem kelas (mungkin tak terbatas) sedemikian rupa sehingga setiap elemen dari himpunan termasuk dalam setidaknya satu kelas, yaitu.

Sistem ini mempunyai sifat sebagai berikut:

1) itu terbentuk partisi himpunan, yaitu kelas-kelas tidak berpotongan secara berpasangan;

2) dua elemen dari kelas yang sama adalah setara;

3) dua elemen dari kelas yang berbeda tidak setara.

Semua properti ini mengikuti langsung dari definisi relasi ekuivalen. Memang benar, jika, misalnya, kelas-kelas ditindas, setidaknya ada satu elemen yang sama di kelas-kelas tersebut. Elemen ini jelas setara dengan dan . Kemudian, karena transitivitas relasinya, . Namun, karena cara kelas dibangun, hal ini tidak mungkin dilakukan. Dua sifat lainnya dapat dibuktikan dengan cara yang sama.

Partisi yang dibangun, yaitu sistem kelas - himpunan bagian dari himpunan, disebut sistem kelas kesetaraan berhubungan dengan . Kekuatan sistem ini disebut indeks partisi. Di sisi lain, setiap partisi suatu himpunan ke dalam kelas-kelas itu sendiri menentukan suatu relasi ekuivalen tertentu, yaitu relasi “untuk dimasukkan ke dalam satu kelas dari partisi tertentu”.

Contoh 2.

a) Semua kelas kesetaraan sehubungan dengan hubungan kesetaraan terdiri dari satu elemen.

b) Rumus-rumus yang menjelaskan fungsi dasar yang sama berada dalam kelas ekivalensi yang sama terhadap relasi ekivalensi. Dalam hal ini, kumpulan rumus itu sendiri, kumpulan kelas kesetaraan (yaitu, indeks partisi), dan setiap kelas kesetaraan dapat dihitung.

c) Pembagian himpunan segitiga terhadap persamaan mempunyai indeks kontinum, dan setiap kelas juga mempunyai kardinalitas kontinum.

d) Pembagian himpunan bilangan asli terhadap relasi “memiliki sisa persekutuan bila dibagi 7” mempunyai indeks akhir 7 dan terdiri dari tujuh kelas terhitung.

1. Hubungan ketertiban.

Definisi 1. Hubungan itu disebut hubungan yang tidak ketat, jika bersifat refleksif, antisimetris, dan transitif.

Definisi 2. Hubungan itu disebut hubungan perintah yang ketat, jika anti-refleksif, antisimetris dan transitif.

Kedua jenis hubungan ini disebut secara kolektif hubungan ketertiban. Elemen dapat dibandingkan terhadap relasi keteraturan jika salah satu dari dua relasi atau terpenuhi. Himpunan yang relasi keteraturannya ditentukan disebut terurut sempurna jika ada dua elemennya yang sebanding. Jika tidak, himpunan tersebut disebut terurut sebagian.

Contoh 3.

a) Relasi “ ” dan “ ” merupakan relasi dengan tatanan yang tidak ketat, relasi “<” и “>” – hubungan tatanan yang ketat (pada semua himpunan numerik dasar). Kedua relasi mengurutkan secara lengkap himpunan dan .

b) Tentukan hubungan “ ” dan “<” на множестве следующим образом:

1) jika ;

2) jika dan pada saat yang sama dilakukan jalan kaki sejauh satu koordinat.

Lalu, misalnya, , tapi juga tak tertandingi. Jadi, hubungan ini sebagian tertata.,

c) Pada sistem himpunan bagian dari suatu himpunan, relasi penyertaan “ ” menentukan urutan parsial tidak ketat, dan hubungan penyertaan ketat “ ” menentukan urutan parsial ketat. Misalnya, , tapi tidak sebanding.

d) Hubungan subordinasi dalam kolektif buruh menimbulkan tatanan parsial yang ketat. Di dalamnya, misalnya, pegawai berbagai divisi struktural (departemen, dll) tak ada bandingannya.

e) Dalam alfabet Rusia, urutan hurufnya tetap, yaitu selalu sama. Daftar ini kemudian mendefinisikan urutan huruf secara lengkap, yang disebut relasi prioritas. Ditunjukkan oleh (sebelumnya). Berdasarkan hubungan keutamaan huruf, hubungan keutamaan kata dibangun, ditentukan kira-kira dengan cara yang sama seperti dua pecahan desimal dibandingkan. Relasi ini menentukan urutan kata secara lengkap dalam alfabet Rusia, yang disebut urutan leksikografis.

Contoh 4.

a) Contoh paling terkenal dari pengurutan kata secara leksikografis adalah pengurutan kata dalam kamus. Misalnya, (sejak), oleh karena itu kata tersebut hutan terletak sebelum kata dalam kamus musim panas.

b) Jika kita menganggap bilangan dalam sistem bilangan posisional (misalnya, dalam sistem desimal) sebagai kata dalam alfabet bilangan, maka susunan leksikografisnya akan sama dengan susunan biasanya jika semua bilangan yang dibandingkan memiliki jumlah digit yang sama. Secara umum, kedua jenis ini mungkin tidak bersamaan. Misalnya, dan, tetapi, a. Agar keduanya cocok, Anda perlu menyamakan jumlah digit untuk semua angka yang dibandingkan, dengan mengatribusikannya kiri angka nol. Dalam contoh ini, kita mendapatkan . Penyelarasan ini terjadi secara otomatis ketika menulis bilangan bulat ke dalam komputer.

c) Urutan leksikografis representasi digital tanggal-tanggal seperti 19/07/2004 (sembilan belas Juli dua ribu empat) tidak sesuai dengan urutan alami tanggal-tanggal dari awal hingga akhir. Misalnya, tanggal 19/07/2004 “secara leksikografis” lebih tua dari hari kedelapan belas pada tahun mana pun. Agar tanggal bertambah bertepatan dengan urutan leksikografis, representasi biasa harus “dibalik”, yaitu ditulis dalam bentuk 2004.07.19. Hal ini biasanya dilakukan ketika merepresentasikan tanggal dalam memori komputer.

Esensi dan klasifikasi hubungan ekonomi

Sejak terpisah dari alam liar, manusia berkembang sebagai makhluk biososial. Hal ini menentukan kondisi perkembangan dan pembentukannya. Stimulus utama bagi perkembangan manusia dan masyarakat adalah kebutuhan. Untuk memenuhi kebutuhan tersebut, seseorang harus bekerja.

Kerja adalah kegiatan sadar seseorang untuk menciptakan barang guna memenuhi kebutuhan atau memperoleh manfaat.

Semakin meningkatnya kebutuhan, semakin kompleks pula proses ketenagakerjaan. Hal ini memerlukan pengeluaran sumber daya yang lebih besar dan tindakan yang lebih terkoordinasi dari seluruh anggota masyarakat. Berkat kerja, terbentuklah ciri-ciri utama penampilan luar manusia modern dan ciri-ciri manusia sebagai makhluk sosial. Buruh berpindah ke fase aktivitas ekonomi.

Kegiatan ekonomi mengacu pada aktivitas manusia dalam penciptaan, redistribusi, pertukaran dan penggunaan barang-barang material dan spiritual.

Kegiatan ekonomi mengandaikan kebutuhan untuk menjalin hubungan antara semua peserta dalam proses ini. Hubungan ini disebut ekonomi.

Definisi 1

Hubungan ekonomi adalah sistem hubungan antara orang perseorangan dan badan hukum yang terbentuk dalam proses produksi. redistribusi, pertukaran dan konsumsi barang apa pun.

Hubungan tersebut mempunyai bentuk dan jangka waktu yang berbeda-beda. Oleh karena itu, ada beberapa pilihan untuk klasifikasinya. Itu semua tergantung pada kriteria yang dipilih. Kriterianya dapat berupa waktu, frekuensi (keteraturan), tingkat manfaat, karakteristik peserta dalam hubungan ini, dll. Jenis hubungan ekonomi yang paling sering disebutkan adalah:

• internasional dan domestik;
• saling menguntungkan dan diskriminatif (menguntungkan salah satu pihak dan merugikan kepentingan pihak lain);
• sukarela dan terpaksa;
• stabil reguler dan episodik (jangka pendek);
• kredit, keuangan dan investasi;
• hubungan jual beli;
• hubungan kepemilikan, dll.

Dalam proses kegiatan ekonomi, masing-masing partisipan dalam hubungan tersebut dapat berperan dalam beberapa peran. Secara konvensional, ada tiga kelompok pembawa hubungan ekonomi. Ini adalah:

• produsen dan konsumen barang-barang ekonomi;
• penjual dan pembeli barang ekonomi;
• pemilik dan pengguna barang.

Terkadang kategori perantara yang terpisah dibedakan. Namun di sisi lain, perantara hanya ada dalam beberapa bentuk pada waktu yang bersamaan. Oleh karena itu, sistem hubungan ekonomi mempunyai bentuk dan manifestasi yang sangat beragam.

Ada klasifikasi lain dari hubungan ekonomi. Kriterianya adalah karakteristik proses dan tujuan yang sedang berlangsung dari setiap jenis hubungan. Jenis-jenis tersebut adalah organisasi kegiatan ketenagakerjaan, organisasi kegiatan ekonomi dan pengelolaan kegiatan ekonomi.

Dasar terbentuknya hubungan ekonomi di semua tingkatan dan jenis adalah hak kepemilikan atas sumber daya dan alat produksi. Mereka menentukan kepemilikan barang yang diproduksi. Faktor pembentuk sistem selanjutnya adalah prinsip pendistribusian barang yang diproduksi. Kedua hal inilah yang menjadi dasar terbentuknya jenis-jenis sistem ekonomi.

Fungsi hubungan organisasi dan ekonomi

Definisi 2

Hubungan organisasi-ekonomi adalah hubungan untuk menciptakan kondisi penggunaan sumber daya yang paling efisien dan mengurangi biaya melalui pengorganisasian bentuk-bentuk produksi.

Fungsi dari bentuk hubungan ekonomi ini adalah untuk memanfaatkan keuntungan ekonomi relatif secara maksimal dan memanfaatkan peluang yang ada secara rasional. Bentuk utama hubungan organisasi dan ekonomi meliputi konsentrasi (konsolidasi) produksi, kombinasi (penggabungan produksi dari berbagai industri dalam satu perusahaan), spesialisasi dan kerjasama (untuk meningkatkan produktivitas). Pembentukan kompleks produksi teritorial dianggap sebagai bentuk lengkap hubungan organisasi dan ekonomi. Dampak ekonomi tambahan diperoleh karena lokasi teritorial perusahaan yang menguntungkan dan penggunaan infrastruktur yang rasional.

Ekonom dan ahli geografi ekonomi Soviet Rusia pada pertengahan abad kedua puluh mengembangkan teori siklus produksi energi (EPC). Mereka mengusulkan pengorganisasian proses produksi di area tertentu sedemikian rupa sehingga menggunakan satu aliran bahan mentah dan energi untuk menghasilkan berbagai macam produk. Hal ini akan secara signifikan mengurangi biaya produksi dan mengurangi limbah produksi. Hubungan organisasi dan ekonomi berhubungan langsung dengan manajemen ekonomi.

Fungsi hubungan sosial ekonomi

Definisi 3

Hubungan sosial ekonomi adalah hubungan antar pelaku ekonomi yang didasarkan pada hak milik.

Properti adalah suatu sistem hubungan antar manusia, yang diwujudkan dalam sikap mereka terhadap sesuatu – hak untuk membuangnya.

Fungsi hubungan sosial ekonomi adalah untuk mengefektifkan hubungan properti sesuai dengan norma-norma masyarakat tertentu. Bagaimanapun, hubungan hukum dibangun, di satu sisi, atas dasar hak milik, dan di sisi lain, atas dasar hubungan properti yang disengaja. Interaksi antara kedua pihak ini berbentuk norma moral dan norma perundang-undangan (yang diabadikan secara hukum).

Hubungan sosial ekonomi bergantung pada formasi sosial di mana mereka berkembang. Mereka melayani kepentingan kelas penguasa di masyarakat tertentu. Hubungan sosial ekonomi menjamin perpindahan kepemilikan dari satu orang ke orang lain (pertukaran, jual beli, dll).

Fungsi hubungan ekonomi internasional

Hubungan ekonomi internasional menjalankan fungsi mengoordinasikan kegiatan ekonomi negara-negara di seluruh dunia. Mereka mempunyai sifat dari ketiga bentuk utama hubungan ekonomi - manajemen ekonomi, organisasi-ekonomi dan sosial-ekonomi. Hal ini sangat relevan saat ini karena beragamnya model sistem ekonomi campuran.

Sisi organisasi dan ekonomi hubungan internasional bertanggung jawab untuk memperluas kerjasama internasional berdasarkan proses integrasi. Aspek sosio-ekonomi hubungan internasional adalah keinginan untuk meningkatkan tingkat kesejahteraan penduduk semua negara di dunia secara umum dan mengurangi ketegangan sosial dalam perekonomian dunia. Pengelolaan perekonomian global ditujukan untuk mengurangi kontradiksi antar perekonomian nasional dan mengurangi dampak inflasi global dan fenomena krisis.

Menampilkan f dari himpunan X ke dalam himpunan Y dianggap diberikan jika setiap elemen x dari X dikaitkan dengan tepat satu elemen y dari Y, dilambangkan dengan f(x).

Himpunan X disebut domain definisi memetakan f, dan himpunan Y adalah jarak nilai. Himpunan pasangan terurut

Г f = ((x, y) | x∈X, y∈Y, y = f(x))

ditelepon grafik tampilan F. Dari definisi tersebut dapat disimpulkan bahwa grafik f adalah himpunan bagian dari hasil kali kartesius X×Y:

Sebenarnya, peta adalah tripel himpunan (X, Y, G) sehingga G⊂ X×Y, dan setiap elemen x dari X adalah elemen pertama dari tepat satu pasangan (x, y) dari G. Menunjukkan elemen kedua elemen dari pasangan tersebut dengan f(x), kita memperoleh pemetaan f dari himpunan X ke dalam himpunan Y. Selain itu, G=Г f. Jika y=f(x), kita akan menulis f:x→y dan mengatakan bahwa elemen x menuju atau memetakan ke elemen y; elemen f(x) disebut bayangan elemen x terhadap pemetaan f. Untuk menyatakan pemetaan kita akan menggunakan notasi bentuk f: X→Y.

Misalkan f: X→Y merupakan pemetaan dari himpunan X ke himpunan Y, dan A dan B masing-masing merupakan himpunan bagian dari himpunan X dan Y. Himpunan f(A)=(y| y=f(x) untuk beberapa x∈A) disebut jalan himpunan A. Himpunan f − 1 (B)=(x| f(x) ∈B)

ditelepon prototipe himpunan B. Pemetaan f: A→Y sehingga x→f(x) untuk semua x∈A disebut menyempit memetakan f ke himpunan A; penyempitan akan dilambangkan dengan f| A.

Misalkan ada pemetaan f: X→Y dan g: Y→Z. Pemetaan X→Z di mana x menuju g(f(x)) disebut komposisi pemetaan f dan g dan dilambangkan dengan fg.

Pemetaan himpunan X ke dalam X yang setiap elemennya masuk ke dalam dirinya sendiri, x→x, disebut identik dan dilambangkan dengan id X .

Untuk pemetaan sembarang f: X→Y kita mempunyai id X ⋅f = f⋅id Y .

Pemetaan f: X→Y disebut injeksi, jika untuk elemen apa pun dari dan maka . Pemetaan f: X→Y disebut dugaan, jika setiap elemen y dari Y merupakan bayangan beberapa elemen x dari X, maka f(x)=y. Pemetaan f: X→Y disebut bijektif, jika bersifat injektif dan dugaan. Peta bijektif f: X→Y dapat dibalik. Artinya ada pemetaan g: Y→X disebut balik ke peta f sehingga g(f(x))=x dan f(g(y))=y untuk sembarang x∈X, y∈Y. Kebalikan dari f dilambangkan dengan f − 1 .

Pemetaan yang dapat dibalik f: X→Y set satu lawan satu korespondensi antar elemen himpunan X dan Y. Pemetaan injeksi f: X→Y menetapkan korespondensi satu-satu antara himpunan X dan himpunan f(X).

Contoh. 1) Fungsi f:R→R >0, f (x)=ex x, membentuk korespondensi satu-satu antara himpunan semua bilangan real R dan himpunan bilangan real positif R >0. Kebalikan dari pemetaan f adalah pemetaan g:R >0 →R, g(x)=ln x.

2) Pemetaan f:R→R ≥ 0, f(x)=x 2, himpunan semua R real ke himpunan bilangan non-negatif R ≥ 0 bersifat surjektif, tetapi tidak injektif, sehingga tidak bersifat bijektif.

Properti fungsi:

1. Susunan dua fungsi adalah suatu fungsi, yaitu. jika kemudian .

2. Susunan dua fungsi bijektif merupakan fungsi bijektif jika , maka .

3. Suatu pemetaan mempunyai pemetaan invers maka dan

jika dan hanya jika f adalah suatu bijeksi, mis. jika kemudian .

Definisi. n – relasi lokal, atau n – predikat lokal P, pada himpunan A 1 ; A 2 ;…; Dan n adalah sembarang subset hasil kali Cartesian.

Penunjukan n - relasi lokal P(x 1 ;x 2 ;…;x n). Ketika n=1 relasi P dipanggil unary dan merupakan bagian dari himpunan A 1 . Biner(biner untuk n=2) relasi adalah himpunan pasangan terurut.

Definisi. Untuk sembarang himpunan A, relasinya disebut relasi identik, atau diagonal, dan - relasi lengkap, atau kuadrat lengkap.

Misalkan P adalah suatu relasi biner. Kemudian domain definisi relasi biner P disebut himpunan untuk beberapa y), dan jarak nilai– satu set untuk beberapa x). Balik suatu himpunan disebut relasi ke P.

Relasi P disebut reflektif, jika memuat semua pasangan bentuk (x,x) untuk sembarang x dari X. Relasi P disebut anti-reflektif, jika tidak mengandung pasangan bentuk (x,x). Misalnya, relasi x≤y bersifat refleksif, dan relasi x

Relasi P disebut simetris, jika pada setiap pasangan (x,y) juga terdapat pasangan (y,x). Simetri hubungan P berarti P = P –1.

Relasi P disebut antisimetris, jika (x;y) dan (y;x), maka x=y.

Relasi R disebut transitif, jika, bersama dengan sembarang pasangan (x,y) dan (y,z), juga terdapat pasangan (x,z), yaitu dari xPy dan yPz mengikuti xPz.

Properti hubungan biner:

Contoh. Misalkan A=(x/x – angka arab); =((x;y)/x,yA,x-y=5). Temukan D;R;P -1 .

Larutan. Relasi P dapat ditulis dalam bentuk P=((5;0);(6;1);(7;2);(8;3);(9;4)), maka untuk itu kita mempunyai D= (5;6 ;7;8;9); E=(0;1;2;3;4); P -1 =((0;5);(1;6);(2;7);(3;8);(4;9)).

Pertimbangkan dua himpunan berhingga dan relasi biner. Mari kita perkenalkan matriks relasi biner P sebagai berikut: .

Matriks dari setiap relasi biner memiliki properti:

1. Jika dan , maka , dan penjumlahan elemen matriks dilakukan menurut aturan 0+0=0; 1+1=1; 1+0=0+1=1, dan perkalian suku-sukunya seperti biasa, yaitu sesuai aturan 1*0=0*1=0; 1*1=1.

2. Jika , maka , dan matriks-matriks tersebut dikalikan menurut aturan umum perkalian matriks, tetapi hasil kali dan jumlah elemen pada perkalian matriks diperoleh berdasarkan aturan langkah 1.

4. Jika , maka dan

Contoh. Relasi biner ditunjukkan pada Gambar 2. Matriksnya berbentuk .

Larutan. Kalau begitu, biarlah;

Misalkan P adalah relasi biner pada himpunan A, . Relasi P pada himpunan A disebut reflektif, if , dengan tanda bintang menunjukkan angka nol atau satu. Relasi P disebut tidak refleksif, Jika . Relasi P pada himpunan A disebut simetris, jika untuk dan untuk itu mengikuti dari kondisi itu . Artinya. Relasi P disebut antisimetris, jika mengikuti kondisi bahwa x=y, yaitu. atau . Sifat ini mengarah pada fakta bahwa semua elemen matriks di luar diagonal utama akan menjadi nol (bisa juga ada nol pada diagonal utama). Relasi P disebut transitif, jika dari dan karenanya , yaitu. .

Contoh. Relasi P dan Di sini, pada diagonal utama matriks terdapat semua satuan, oleh karena itu P refleksif. Matriksnya asimetris, maka rasio P pun asimetris

Karena tidak semua elemen yang terletak di luar diagonal utama bernilai nol, maka relasi P tidak antisimetris.

Itu. , oleh karena itu relasi P bersifat intransitif.

Relasi refleksif, simetris dan transitif disebut hubungan kesetaraan. Merupakan kebiasaan untuk menggunakan simbol ~ untuk menunjukkan hubungan kesetaraan. Syarat refleksivitas, simetri dan transitivitas dapat dituliskan sebagai berikut:

Contoh. 1) Misalkan X adalah himpunan fungsi yang terdefinisi pada seluruh garis bilangan. Kita asumsikan fungsi f dan g dihubungkan dengan relasi ~ jika keduanya mempunyai nilai yang sama di titik 0, yaitu f(x)~g(x), jika f(0)=g(0) . Misalnya, sinx~x, e x ~cosx. Relasi ~ bersifat refleksif (f(0)=f(0) untuk fungsi apa pun f(x)); secara simetris (dari f(0)=g(0) maka g(0)=f(0)); transitif (jika f(0)=g(0) dan g(0)=h(0), maka f(0)=h(0)). Oleh karena itu, ~ merupakan relasi ekuivalen.

2) Misalkan ~ adalah suatu relasi pada himpunan bilangan asli sedemikian rupa sehingga x~y, jika x dan y memberikan sisa yang sama jika dibagi 5. Misalnya, 6~11, 2~7, 1~6. Sangat mudah untuk melihat bahwa relasi ini bersifat refleksif, simetris, dan transitif sehingga merupakan relasi ekuivalen.

Hubungan pesanan parsial Relasi biner pada suatu himpunan disebut refleksif, antisimetris, transitif, yaitu.

1. - refleksivitas;

2. - antisimetri;

3. - transitivitas.

Hubungan dengan ketertiban yang ketat Relasi biner pada suatu himpunan disebut jika anti refleksif, antisimetris, transitif. Kedua hubungan ini disebut hubungan ketertiban. Himpunan yang relasi keteraturannya ditentukan, dapat berupa: himpunan terurut lengkap atau dipesan sebagian. Urutan parsial penting dalam kasus di mana kita ingin mengkarakterisasi prioritas, mis. memutuskan dalam kondisi apa salah satu elemen himpunan dianggap lebih unggul dari elemen lainnya. Himpunan yang terurut sebagian disebut dipesan secara linear, jika tidak ada elemen yang tidak ada bandingannya di dalamnya, mis. salah satu syaratnya atau terpenuhi. Misalnya, himpunan dengan tatanan alami diurutkan secara linier.