Fungsi pangkat, sifat dan grafiknya. Fungsi pangkat dengan eksponen rasional. Fungsi daya dan sifat-sifatnya
Pelajaran dan presentasi dengan topik: "Fungsi pangkat. Sifat-sifat. Grafik"
Bahan tambahan
Pengguna yang terhormat, jangan lupa untuk meninggalkan komentar, ulasan, keinginan Anda! Semua materi telah diperiksa oleh program anti-virus.
Alat peraga dan simulator di toko online Integral untuk kelas 11
Manual interaktif untuk kelas 9–11 "Trigonometri"
Manual interaktif untuk kelas 10–11 "Logaritma"
Fungsi daya, domain definisi.
Teman-teman, di pelajaran terakhir kita belajar cara bekerja dengan bilangan dengan eksponen rasional. Dalam pelajaran ini kita akan melihat fungsi pangkat dan membatasi diri pada kasus dimana eksponennya rasional.Kita akan mempertimbangkan fungsi dalam bentuk: $y=x^(\frac(m)(n))$.
Mari kita pertimbangkan dulu fungsi yang eksponennya $\frac(m)(n)>1$.
Mari kita diberi fungsi tertentu $y=x^2*5$.
Berdasarkan definisi yang kita berikan pada pelajaran terakhir: jika $x≥0$, maka daerah definisi fungsi kita adalah sinar $(x)$. Mari kita gambarkan secara skematis grafik fungsi kita.
Sifat-sifat fungsi $y=x^(\frac(m)(n))$, $0 2. Fungsi tersebut tidak genap dan tidak ganjil.
3. Meningkat sebesar $$,
b) $(2,10)$,
c) pada sinar $$.
Larutan.
Teman-teman, ingatkah Anda bagaimana kita menemukan nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi pada suatu segmen di kelas 10?
Benar, kami menggunakan turunannya. Mari kita selesaikan contoh kita dan ulangi algoritma untuk mencari nilai terkecil dan terbesar.
1. Temukan turunan dari fungsi yang diberikan:
$y"=\frac(16)(5)*\frac(5)(2)x^(\frac(3)(2))-x^3=8x^(\frac(3)(2)) -x^3=8\sqrt(x^3)-x^3$.
2. Turunannya ada di seluruh domain definisi fungsi aslinya, maka tidak ada titik kritis. Mari kita cari titik stasioner:
$y"=8\sqrt(x^3)-x^3=0$.
$8*\sqrt(x^3)=x^3$.
$64x^3=x^6$.
$x^6-64x^3=0$.
$x^3(x^3-64)=0$.
$x_1=0$ dan $x_2=\sqrt(64)=4$.
Segmen tertentu hanya berisi satu solusi $x_2=4$.
Mari kita buat tabel nilai fungsi kita di ujung segmen dan di titik ekstrem:
Jawaban: $y_(nama)=-862.65$ pada $x=9$; $y_(maks.)=38,4$ pada $x=4$.
Contoh. Selesaikan persamaan: $x^(\frac(4)(3))=24-x$.
Larutan. Grafik fungsi $y=x^(\frac(4)(3))$ bertambah, dan grafik fungsi $y=24-x$ menurun. Teman-teman, Anda dan saya tahu: jika satu fungsi bertambah dan fungsi lainnya berkurang, maka fungsi tersebut hanya berpotongan di satu titik, yaitu, kita hanya memiliki satu solusi.
Catatan:
$8^(\frac(4)(3))=\sqrt(8^4)=(\sqrt(8))^4=2^4=16$.
$24-8=16$.
Artinya, dengan $x=8$ kita mendapatkan persamaan yang benar $16=16$, ini adalah solusi persamaan kita.
Jawaban: $x=8$.
Contoh.
Grafik fungsinya: $y=(x-3)^\frac(3)(4)+2$.
Larutan.
Grafik fungsi kita diperoleh dari grafik fungsi $y=x^(\frac(3)(4))$ dengan menggesernya 3 satuan ke kanan dan 2 satuan ke atas. 
Contoh. Tuliskan persamaan garis singgung garis $y=x^(-\frac(4)(5))$ di titik $x=1$.
Larutan. Persamaan tangen ditentukan dengan rumus yang kita ketahui:
$y=f(a)+f"(a)(xa)$.
Dalam kasus kami $a=1$.
$f(a)=f(1)=1^(-\frac(4)(5))=1$.
Mari kita cari turunannya:
$y"=-\frac(4)(5)x^(-\frac(9)(5))$.
Mari kita hitung:
$f"(a)=-\frac(4)(5)*1^(-\frac(9)(5))=-\frac(4)(5)$.
Mari kita cari persamaan tangennya:
$y=1-\frac(4)(5)(x-1)=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$.
Jawaban: $y=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$.
Masalah untuk diselesaikan secara mandiri
1. Temukan nilai terbesar dan terkecil dari fungsi: $y=x^\frac(4)(3)$ pada segmen:a) $$.
b) $(4,50)$.
c) pada sinar $$.
3. Selesaikan persamaan: $x^(\frac(1)(4))=18-x$.
4. Buatlah grafik fungsi: $y=(x+1)^(\frac(3)(2))-1$.
5. Buatlah persamaan garis singgung garis lurus $y=x^(-\frac(3)(7))$ di titik $x=1$.
Fungsi daya, sifat-sifatnya dan grafiknya Materi demonstrasi Pelajaran-ceramah Konsep suatu fungsi. Properti fungsi. Fungsi pangkat, sifat dan grafiknya. Kelas 10 Semua hak dilindungi undang-undang. Hak Cipta dengan Hak Cipta dengan
Kemajuan pelajaran: Pengulangan. Fungsi. Properti fungsi. Mempelajari materi baru. 1. Pengertian fungsi pangkat. Pengertian fungsi pangkat. 2. Sifat dan grafik fungsi pangkat Sifat dan grafik fungsi pangkat. Konsolidasi materi yang dipelajari. Penghitungan verbal. Penghitungan verbal. Ringkasan pelajaran. Tugas pekerjaan rumah.
Domain definisi dan domain nilai suatu fungsi Semua nilai variabel bebas membentuk domain definisi fungsi x y=f(x) f Domain definisi fungsi Domain nilai fungsi Semua nilai-nilai yang diambil variabel terikatnya membentuk domain nilai fungsi Fungsi. Properti fungsi
Grafik suatu fungsi Misalkan suatu fungsi diberikan dimana xY y x.75 3 0.6 4 0.5 Grafik suatu fungsi adalah himpunan semua titik pada bidang koordinat yang absisnya sama dengan nilai argumennya, dan ordinatnya sama dengan nilai fungsi yang bersesuaian. Fungsi. Properti fungsi
Y x Domain definisi dan rentang nilai fungsi 4 y=f(x) Domain definisi fungsi: Domain nilai fungsi: Fungsi. Properti fungsi
Fungsi genap y x y=f(x) Grafik suatu fungsi genap adalah simetris terhadap sumbu op-amp.Fungsi y=f(x) disebut meskipun f(-x) = f(x) untuk setiap x dari domain definisi fungsi Fungsi. Properti fungsi
Fungsi ganjil y x y=f(x) Grafik fungsi ganjil simetris terhadap titik asal O(0;0) Fungsi y=f(x) disebut ganjil jika f(-x) = -f(x) untuk setiap x dari definisi fungsi wilayah Fungsi. Properti fungsi
Definisi fungsi pangkat Suatu fungsi yang p adalah bilangan real tertentu disebut fungsi pangkat. p y=x p P=x y 0 Kemajuan pelajaran
Fungsi pangkat x y 1. Daerah definisi dan rentang nilai fungsi pangkat berbentuk, dimana n – bilangan asli, semuanya bilangan real. 2. Fungsi-fungsi ini ganjil. Grafiknya simetris terhadap titik asal. Sifat dan grafik fungsi pangkat
Fungsi pangkat dengan eksponen rasional positif, Daerah definisinya adalah semua bilangan positif dan bilangan 0. Kisaran nilai fungsi dengan eksponen tersebut juga semua bilangan positif dan bilangan 0. Fungsi-fungsi tersebut tidak genap dan tidak ganjil. . y x Sifat dan grafik fungsi pangkat
Fungsi kekuasaan dengan rasional indikator negatif. Domain definisi dan rentang nilai fungsi tersebut semuanya bilangan positif. Fungsinya tidak genap dan ganjil. Fungsi-fungsi tersebut menurun di seluruh domain definisinya. y x Sifat-sifat dan grafik fungsi pangkat Kemajuan pembelajaran
Memberikan data referensi tentang fungsi eksponensial - sifat dasar, grafik dan rumus. Topik-topik berikut dipertimbangkan: domain definisi, himpunan nilai, monotonisitas, fungsi invers, turunan, integral, perluasan deret pangkat dan representasi menggunakan bilangan kompleks.
Definisi
Fungsi eksponensial adalah generalisasi hasil kali n bilangan sama dengan a:
kamu (n) = sebuah n = a·a·a···a,
ke himpunan bilangan real x:
kamu (x) = x.
Di sini a adalah bilangan real tetap, yang disebut dasar fungsi eksponensial.
Fungsi eksponensial dengan basis a disebut juga eksponen ke basis a.
Generalisasinya dilakukan sebagai berikut.
Untuk x alami = 1, 2, 3,...
, fungsi eksponensial adalah hasil kali faktor x:
.
Selain itu, ia memiliki sifat (1,5-8) (), yang mengikuti aturan perkalian bilangan. Untuk nilai bilangan bulat nol dan negatif, fungsi eksponensial ditentukan menggunakan rumus (1.9-10). Untuk nilai pecahan x = m/n bilangan rasional, ditentukan dengan rumus (1.11). Nyatanya, fungsi eksponensial didefinisikan sebagai limit barisan:
,
di mana barisan bilangan rasional sembarang yang konvergen ke x: .
Dengan definisi ini, fungsi eksponensial didefinisikan untuk semua , dan memenuhi properti (1,5-8), seperti untuk x natural.
Rumusan matematis yang cermat tentang definisi fungsi eksponensial dan pembuktian sifat-sifatnya diberikan pada halaman “Definisi dan pembuktian sifat-sifat fungsi eksponensial”.
Sifat-sifat Fungsi Eksponensial
Fungsi eksponensial y = a x memiliki sifat-sifat berikut pada himpunan bilangan real ():
(1.1)
pasti dan berkesinambungan, untuk, untuk semua;
(1.2)
untuk ≠ 1
memiliki banyak arti;
(1.3)
meningkat tajam pada , menurun tajam pada ,
konstan di ;
(1.4)
pada ;
pada ;
(1.5)
;
(1.6)
;
(1.7)
;
(1.8)
;
(1.9)
;
(1.10)
;
(1.11)
,
.
Formula berguna lainnya.
.
Rumus untuk mengubah fungsi eksponensial dengan basis eksponen berbeda:
Ketika b = e, kita memperoleh ekspresi fungsi eksponensial melalui eksponensial:
Nilai-nilai pribadi
, , , , .
Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi eksponensial
kamu (x) = x
untuk empat nilai dasar gelar: sebuah = 2
, sebuah = 8
, sebuah = 1/2
dan sebuah = 1/8
. Dapat dilihat bahwa untuk > 1
fungsi eksponensial meningkat secara monoton. Semakin besar pangkal derajat a maka semakin kuat pertumbuhannya. Pada 0
< a < 1
fungsi eksponensial berkurang secara monoton. Semakin kecil eksponen a, semakin kuat penurunannya.
Naik turun
Fungsi eksponensial untuk bersifat monotonik sehingga tidak memiliki ekstrem. Properti utamanya disajikan dalam tabel.
| kamu = a x , a > 1 | y = kapak, 0 < a < 1 | |
| Domain | - ∞ < x < + ∞ | - ∞ < x < + ∞ |
| Jarak nilai | 0 < y < + ∞ | 0 < y < + ∞ |
| Nada datar | meningkat secara monoton | menurun secara monoton |
| Nol, y = 0 | TIDAK | TIDAK |
| Titik potong dengan sumbu ordinat, x = 0 | kamu = 1 | kamu = 1 |
| + ∞ | 0 | |
| 0 | + ∞ |
Fungsi terbalik
Invers fungsi eksponensial dengan basis a adalah logaritma dengan basis a.
Jika kemudian
.
Jika kemudian
.
Diferensiasi fungsi eksponensial
Untuk mendiferensiasikan suatu fungsi eksponensial, basisnya harus direduksi menjadi bilangan e, terapkan tabel turunan dan aturan diferensiasi fungsi yang kompleks.
Untuk melakukan ini, Anda perlu menggunakan properti logaritma
dan rumus dari tabel turunannya:
.
Biarkan fungsi eksponensial diberikan:
.
Kami membawanya ke pangkalan e:
Mari kita terapkan aturan diferensiasi fungsi kompleks. Untuk melakukan ini, perkenalkan variabelnya
Kemudian
Dari tabel turunan yang kita peroleh (ganti variabel x dengan z):
.
Karena merupakan konstanta, maka turunan z terhadap x sama dengan
.
Menurut aturan diferensiasi fungsi kompleks:
.
Turunan dari fungsi eksponensial
.
Turunan dari orde ke-n:
.
Menurunkan rumus > > >
Contoh diferensiasi fungsi eksponensial
Temukan turunan suatu fungsi
kamu = 3 5x
Larutan
Mari kita nyatakan basis fungsi eksponensial melalui bilangan e.
3 = e dalam 3
Kemudian
.
Masukkan variabel
.
Kemudian
Dari tabel turunan kita temukan:
.
Karena 5ln 3 adalah suatu konstanta, maka turunan z terhadap x sama dengan:
.
Menurut aturan diferensiasi fungsi kompleks, kita mempunyai:
.
Menjawab
Integral
Ekspresi menggunakan bilangan kompleks
Pertimbangkan fungsi bilangan kompleks z:
F (z) = az
dimana z = x + iy; Saya 2 = - 1
.
Mari kita nyatakan konstanta kompleks a dalam modulus r dan argumen φ:
a = r e saya φ
Kemudian
.
Argumen φ tidak didefinisikan secara unik. DI DALAM pandangan umum
φ = φ 0 + 2 n,
dimana n adalah bilangan bulat. Oleh karena itu fungsinya f (z) juga tidak jelas. Makna utamanya sering kali dipertimbangkan
.
Ekspansi seri
.
Referensi:
DI DALAM. Bronstein, KA. Semendyaev, Buku Pegangan Matematika untuk Insinyur dan Mahasiswa, “Lan”, 2009.
Mari kita mengingat kembali sifat-sifat dan grafik fungsi pangkat dengan eksponen bilangan bulat negatif.
Untuk genap n, :
Contoh fungsi:
Semua grafik fungsi tersebut melewati dua titik tetap: (1;1), (-1;1). Keunikan fungsi jenis ini adalah paritasnya; grafiknya simetris terhadap sumbu op-amp.
Beras. 1. Grafik suatu fungsi
Untuk n ganjil, :
Contoh fungsi:
Semua grafik fungsi tersebut melewati dua titik tetap: (1;1), (-1;-1). Keunikan fungsi jenis ini adalah ganjil; grafiknya simetris terhadap titik asal.
Beras. 2. Grafik suatu fungsi
Mari kita mengingat kembali definisi dasarnya.
Pangkat suatu bilangan non-negatif a dengan eksponen rasional positif disebut bilangan.
Pangkat bilangan positif a dengan eksponen rasional negatif disebut bilangan.
Untuk kesetaraan:
Misalnya: 
; - ekspresi, menurut definisi, tidak ada derajat dengan eksponen rasional negatif; ada karena eksponennya bilangan bulat, 
Mari kita beralih ke fungsi pangkat dengan eksponen negatif rasional.
Misalnya:
Untuk memplot grafik fungsi ini, Anda dapat membuat tabel. Kami akan melakukannya secara berbeda: pertama-tama kami akan membuat dan mempelajari grafik penyebutnya - yang kami ketahui (Gambar 3).
Beras. 3. Grafik suatu fungsi
Grafik fungsi penyebut melalui titik tetap (1;1). Saat memplot grafik fungsi aslinya, titik ini tetap ada, sedangkan akarnya juga cenderung nol, fungsinya cenderung tak terhingga. Dan sebaliknya, karena x cenderung tak terhingga, maka fungsinya cenderung nol (Gambar 4).
Beras. 4. Grafik fungsi
Mari kita pertimbangkan fungsi lain dari rangkaian fungsi yang sedang dipelajari.
Penting bahwa menurut definisi
Mari kita perhatikan grafik fungsi pada penyebutnya: , grafik fungsi ini kita ketahui, domain definisinya bertambah dan melalui titik (1;1) (Gambar 5).
Beras. 5. Grafik suatu fungsi
Saat memplot grafik fungsi aslinya, titik (1;1) tetap, sedangkan akarnya juga cenderung nol, fungsinya cenderung tak terhingga. Dan sebaliknya, karena x cenderung tak terhingga, maka fungsinya cenderung nol (Gambar 6).
Beras. 6. Grafik suatu fungsi
Contoh-contoh yang dipertimbangkan membantu untuk memahami bagaimana grafik mengalir dan apa saja sifat-sifat fungsi yang dipelajari - fungsi dengan eksponen rasional negatif.
Grafik fungsi keluarga ini melewati titik (1;1), fungsi tersebut menurun di seluruh domain definisi.
Lingkup fungsi: 
Fungsinya tidak dibatasi dari atas, tetapi dibatasi dari bawah. Fungsi tersebut tidak mempunyai nilai terbesar dan terkecil.
Fungsinya kontinu dan mengambil semua nilai positif dari nol hingga plus tak terhingga.
Fungsinya cembung ke bawah (Gambar 15.7)
Titik A dan B diambil pada kurva, ditarik suatu ruas, seluruh kurva berada di bawah ruas tersebut, keadaan ini terpenuhi untuk dua titik sembarang pada kurva, oleh karena itu fungsinya cembung ke bawah. Beras. 7.
Beras. 7. Konveksitas fungsi
Penting untuk dipahami bahwa fungsi keluarga ini dibatasi dari bawah oleh nol, tetapi tidak memiliki nilai terkecil.
Contoh 1 - temukan maksimum dan minimum suatu fungsi pada interval \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) x^(2n)\ )=+\infty \]
Grafik (Gbr. 2).
Gambar 2. Grafik fungsi $f\left(x\right)=x^(2n)$
Sifat-sifat fungsi pangkat dengan eksponen ganjil alami
Domain definisinya adalah semua bilangan real.
$f\left(-x\right)=((-x))^(2n-1)=(-x)^(2n)=-f(x)$ -- fungsinya ganjil.
$f(x)$ kontinu di seluruh domain definisi.
Rentangnya adalah semua bilangan real.
$f"\left(x\right)=\left(x^(2n-1)\right)"=(2n-1)\cdot x^(2(n-1))\ge 0$
Fungsinya meningkat di seluruh domain definisi.
$f\kiri(x\kanan)0$, untuk $x\in (0,+\infty)$.
$f(""\kiri(x\kanan))=(\kiri(\kiri(2n-1\kanan)\cdot x^(2\kiri(n-1\kanan))\kanan))"=2 \kiri(2n-1\kanan)(n-1)\cdot x^(2n-3)$
\ \
Fungsinya cekung untuk $x\in (-\infty ,0)$ dan cembung untuk $x\in (0,+\infty)$.
Grafik (Gbr. 3).
Gambar 3. Grafik fungsi $f\left(x\right)=x^(2n-1)$
Fungsi pangkat dengan eksponen bilangan bulat
Pertama, mari kita perkenalkan konsep derajat dengan eksponen bilangan bulat.
Definisi 3
Pangkat bilangan real $a$ dengan eksponen bilangan bulat $n$ ditentukan dengan rumus:
Gambar 4.
Sekarang mari kita perhatikan fungsi pangkat dengan eksponen bilangan bulat, properti dan grafiknya.
Definisi 4
$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$ disebut fungsi pangkat dengan eksponen bilangan bulat.
Jika derajatnya lebih besar dari nol, maka kita sampai pada kasus fungsi pangkat dengan eksponen alami. Kami sudah membahasnya di atas. Untuk $n=0$ kita mendapatkan fungsi linier $y=1$. Kami akan menyerahkan pertimbangannya kepada pembaca. Masih mempertimbangkan sifat-sifat fungsi pangkat dengan eksponen bilangan bulat negatif
Sifat-sifat fungsi pangkat dengan eksponen bilangan bulat negatif
Domain definisinya adalah $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.
Jika eksponennya genap maka fungsinya genap, jika ganjil maka fungsinya ganjil.
$f(x)$ kontinu di seluruh domain definisi.
Cakupan:
Jika eksponennya genap, maka $(0,+\infty)$; jika ganjil, maka $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.
Untuk eksponen ganjil, fungsinya berkurang $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$. Jika eksponennya genap, fungsinya berkurang $x\in (0,+\infty)$. dan bertambah seiring $x\in \left(-\infty ,0\right)$.
$f(x)\ge 0$ di seluruh domain definisi