Sifat-sifat himpunan terbuka dan tertutup. Banyak angka. Hukum aksi pada berbagai bilangan. Posisi suatu titik relatif terhadap himpunan A
Hasil operasi “*” ditentukan seperti pada tabel Pythagoras. Misalnya, “hasil kali” dari 3 * 4 sama dengan bilangan pada perpotongan baris nomor 3 dan kolom nomor 4. Dalam kasus kita, bilangan ini adalah 2. Oleh karena itu, 3 * 4 = 2. Aturan apa yang menurut Anda digunakan untuk mengisi tabel ini?
Perhatikan bahwa hasil melakukan operasi “*” pada bilangan dari himpunan (0, 1, 2, ..., 9) adalah bilangan dari himpunan yang sama. Dalam kasus seperti ini dikatakan demikian set ditutup dalam operasi, dan operasinya disebut aljabar.
Anda mungkin sudah memperhatikan bahwa tabel tersebut simetris terhadap diagonal
(0, 1, 4, 9, 6, 5, 6, ...). Artinya operasi “*” memiliki properti komutatifitas, yaitu untuk nomor apa pun A Dan B dari himpunan (0, 1, 2, ..., 9) persamaan berlaku: A * B =
B * A.
Dengan menggunakan tabel, Anda dapat memverifikasi bahwa persamaan (2*3)*4=2*(3*4) benar. Dengan bersabar dan mencoba semua angka kembar tiga yang diurutkan, Anda akan yakin bahwa operasi baru memiliki properti asosiatif, yaitu untuk nomor apa pun A, B, C dari himpunan (0, 1, 2, ..., 9) persamaan berlaku: ( A * B) * C= A * (B * C).
Periksa apakah himpunan (0, 1, 2, ..., 9) tertutup berdasarkan perkalian yang diberikan oleh tabel Pythagoras.
R Contoh di atas mungkin memberikan kesan bahwa bagaimana pun cara Anda memasukkan operasi bilangan, operasi bilangan akan selalu bersifat komutatif dan asosiatif. Jangan terburu-buru mengambil kesimpulan.
Mari kita pertimbangkan satu operasi lagi. Mari kita nyatakan dengan “o” dan sebut saja operasi “Lingkaran”. Itu ditentukan oleh tabel:
Cobalah untuk menemukan pola yang sesuai dengan penyusunan tabel ini. Berdasarkan pola ini, masukkan hasil yang hilang ke dalam tabel. Akankah operasi “o” bersifat aljabar? Buktikan bahwa operasi “o” komutatif. Namun, operasi ini tidak asosiatif! Untuk memverifikasi ini, pilih tiga nomor M, N Dan k, untuk itu M o ( N Hai k) ¹ ( M Hai N) Hai k.
P Izinkan kami memperkenalkan Anda pada operasi lain: -.
Mari kita perkenalkan pada himpunan bilangan asli sebagai berikut: M - N = M N .
Misalnya 2 - 3 = 2 3 = 8; 3 - 2 = 3 2 = 9.
Akankah operasi “-” bersifat aljabar? Contoh di atas sudah cukup untuk memastikan operasi baru tidak komutatif.
Hitung hasil suatu operasi
2 - (1 - 3) lalu periksa persamaannya 2 - (1 - 3) =
= (2 - 1) - 3. Jika Anda melakukan semuanya dengan benar, Anda dapat mengatakan bahwa operasinya adalah “-” tidak asosiatif.
1. Apakah operasi penjumlahan dan perkalian suatu himpunan bersifat aljabar:
a) bilangan genap; b) bilangan ganjil?
2. Apakah operasi pengurangan suatu himpunan bersifat aljabar?
a) bilangan asli; b) bilangan bulat?
3. Apakah operasi pembagian pada suatu himpunan bersifat aljabar?
a) bilangan bulat bukan nol;
b) bilangan rasional bukan nol?
4. Tunjukkan bahwa operasinya
X D kamu = X + kamu – 3
5. Tunjukkan bahwa operasinya
X Ñ kamu = X + kamu – xy
bersifat aljabar pada himpunan semua bilangan bulat. Apakah operasi ini bersifat asosiatif dan/atau komutatif?
6. Dengan analogi tabel Pythagoras, buatlah tabel Anda sendiri yang mendefinisikan operasi “à” pada angka (0, 1, 2, 3, 4). Hasil M à N operasi angka M Dan N dalam tabel ini harus sama dengan sisa hasil kali biasa dibagi 5 M N.
Akankah operasi “a” bersifat aljabar? Jika ya, apakah bersifat asosiatif dan/atau komutatif?
7. Berikan beberapa contoh operasi bilangan Anda sendiri.
Manakah yang bersifat aljabar? Manakah dari operasi aljabar Anda yang bersifat asosiatif dan/atau komutatif?
Bagi yang ingin melakukan korespondensi rahasia dengan teman
TENTANG Suatu hari Foma menerima telegram dari salah satu temannya.
Siapa Thomas? TENTANG! Ini kepribadian yang sangat luar biasa. Dia tidak percaya kata-kata siapa pun, dia mencoba melakukan segalanya dengan caranya sendiri. Dia suka, di satu sisi, menemukan solusi baru terhadap masalah lama dan, di sisi lain, menggunakan pengetahuan lama untuk mengatasi kesulitan baru. Suka membaca berbagai buku matematika, mencari situasi nonstandar di dalamnya dan mencari jalan keluarnya. Dan yang terpenting, dia suka menciptakan situasi seperti itu sendiri.
Jadi, telegram itu aneh. Inilah yang dikatakannya:
“yajzeirponchorsmedj.”
Bisakah Anda “membaca” teks ini? Foma, setelah berpikir sejenak, memahami rahasia telegram ini. Isinya undangan untuk berkunjung. Dia memutuskan untuk menjawab dengan semangat yang sama. Saya membuat telegram balasan dan mengenkripsinya dengan cara yang sama. Hasilnya adalah rekaman dua baris: “Saya akan datang dan menemui Anda pada hari Sabtu,” “hetyachertsvutobbusvudeirp.”
Namun, Foma ingin menghadirkan enkripsi yang lebih menarik. Dia membagi teks telegramnya menjadi dua bagian yang sama dan mengenkripsi masing-masing bagian menggunakan metode lama:
“Saya akan tiba pada hari Sabtu “obbuswoodeirp | bertemu denganmu”, Ini adalah iblis.” |
P Setelah menyelesaikan enkripsi, Foma ingin melakukan semua korespondensinya dengan temannya hanya dalam teks terenkripsi, mengubah metode enkripsi dari waktu ke waktu. Oleh karena itu, dia dengan bersemangat mulai mengembangkan sandi.
Ia memutuskan untuk mengganti huruf-huruf dalam teks sumber dengan nomor posisi yang ditempati huruf-huruf tersebut. Berikut daftar nomor yang diterima Foma melalui telegram temannya: (1, 2, 3, ..., 18).
Kemudian dia memperhatikan bahwa ciphertext berbeda dari aslinya hanya pada perubahan urutan hurufnya. Bagaimana urutan huruf berubah mudah dilihat dengan menggunakan nomor posisi yang sama. Misalnya, Foma kini mampu menyajikan teks terenkripsi telegram temannya dalam bentuk daftar: (18, 17, 16, ..., 3, 2, 1).
Perbandingan kedua daftar ini memberikan kunci enkripsi teks: 
.
Entri simbolisnya berbunyi seperti ini: “1 berbanding 18.” (Notasi lain sering digunakan sebagai gantinya: 1 ® 18.)
Arah panah menentukan urutannya enkripsi teks. Misalnya, sebuah huruf yang muncul pada posisi pertama dalam ciphertext harus menempati posisi ke-18 dalam ciphertext.
Jika arah panah diubah menjadi sebaliknya, maka tabel dua garis yang sama akan menentukan urutannya transkrip teks. Misalnya, sebuah huruf yang muncul dalam ciphertext pada posisi ke-18 harus menempati posisi pertama dalam teks yang didekripsi.
Terakhir, jika baris pertama selalu dihubungkan dengan teks sumber, maka tidak perlu menggunakan tanda panah. (Saat mengenkripsi, teks asli adalah teks tersandi, dan saat mendekripsi, teks tersandi adalah teks tersandi.)
Setelah memahami semua ini, Foma segera menuliskan kunci enkripsi kedua telegramnya:
.
Yang tersisa hanyalah melaporkannya
kunci ini untuk teman Anda - dan kerahasiaan korespondensi akan terjamin!
Jika Anda memahami gagasan Thomas, maka inilah mottonya dalam bentuk terenkripsi:
“bulu air”
Itu dienkripsi dengan kunci:
Anda mungkin sudah menebak bahwa Anda bisa mendapatkan banyak kunci enkripsi jenis ini. Masing-masing dapat direpresentasikan sebagai tabel dua baris:
.
Di sini baris paling atas berisi semua bilangan asli dari 1 hingga N dalam urutan menaik. Intinya diperoleh dengan beberapa penataan ulang angka-angka dari baris atas. Seluruh tabel dipanggil substitusi pesananN .
DI DALAM Mari kita kembali ke Thomas. Menggunakan substitusi kunci
dia mengenkripsi pesan satu kata dan mengirimkannya ke seorang teman. Dia mengenkripsi pesan yang tidak terdekripsi itu lagi, tetapi menggunakan kunci yang berbeda:
.
Dia mengirimkan pesan terenkripsi ganda yang dihasilkan kepada Anda:
“snoas.”
Menguraikan pesan ini.
Anda dapat menyelesaikan proses dekripsi lebih cepat jika Anda mengetahui bagaimana satu operasi aljabar dilakukan pada substitusi. Operasi ini disebut memperbanyak pergantian pemain. (Anda dapat menyebutnya dengan nama lain jika Anda mau, karena ini tidak ada hubungannya dengan perkalian angka biasa.)
Mari kita lihat contoh cara melakukannya. Mari kalikan substitusi yang digunakan untuk mengenkripsi pesan ke Foma:
.
Prosedur perkalian direduksi menjadi substitusi berurutan.
Pada substitusi pertama ( A) 1 ® 5;
pada pergantian kedua ( DI DALAM) 5 ® 1.
Hasilnya, kita mendapatkan: 1 ® 1.
Demikian pula, dari “2 ® 2” dan “2 ® 3” berikut: “2 ® 3”. Dengan menjalankan tiga argumen lagi jenis ini, kita memperoleh substitusi produk
.
Perhatikan bahwa produknya ditentukan hanya untuk substitusi dengan jumlah kolom yang sama.
Menggunakan Substitusi AB sebagai enkripsi, kini Anda bisa melakukannya sekaligus menguraikan Pesan Thomas "snoas". Pada saat yang sama, kendalikan diri Anda.
Jika tertarik, Anda dapat membuat substitusi encoder pesan Anda sendiri dan melakukan korespondensi rahasia dengan teman.
Saat memecahkan kode pesan, Anda mengenal operasi aljabar pada objek baru - substitusi.
E Jika ada di antara Anda yang tertarik tidak hanya pada enkripsi, tetapi juga pada substitusi itu sendiri, Anda dapat mengenalnya lebih baik dengan menyelesaikan tugas berikut.
1. Temukan produk substitusi:
2. Temukan sepotong VA pergantian pemain A Dan DI DALAM dibahas di atas. Menggunakan Substitusi VA seperti pembuat kode, menguraikan sekali lagi pesan “snoas”. Bandingkan teks yang didekripsi dengan hasil dekripsi sebelumnya.
Jika Anda menyelesaikan tugas 2, Anda akan dapat mengetahui apakah perkalian substitusi mempunyai sifat komutatifitas.
Dapat ditunjukkan bahwa perkalian substitusi mempunyai sifat asosiatif.
Sebelum kita beralih ke tugas berikutnya, mari kita lihat beberapa sifat umum substitusi.
Pengganti
ditelepon identik. Hal ini dilambangkan dengan E.
Seperti yang dapat Anda pahami dengan mudah, substitusi yang sama tidak mengubah teks pesan. Dalam hal ini, pesan dikatakan dalam bentuk teks yang jelas.
Himpunan terbuka dan tertutup
Lampiran 1 . Himpunan terbuka dan tertutup
Sekelompok M pada garis lurus disebut membuka, jika setiap titiknya terdapat dalam himpunan ini dengan interval tertentu. Tertutup adalah himpunan yang memuat semua titik batasnya (yaitu, sedemikian rupa sehingga setiap interval yang memuat titik ini memotong himpunan tersebut setidaknya di satu titik lagi). Misalnya, suatu segmen adalah himpunan tertutup, tetapi tidak terbuka, dan suatu interval, sebaliknya, adalah himpunan terbuka, tetapi tidak tertutup. Ada himpunan yang tidak terbuka atau tertutup (misalnya, setengah interval). Ada dua set yang tertutup dan terbuka - ini kosong dan hanya itu Z(buktikan bahwa tidak ada yang lain). Sangat mudah untuk melihatnya jika M buka, lalu [` M] (atau Z \ M- tambahan untuk diatur M sebelum Z) ditutup. Memang, jika [` M] tidak tertutup, maka tidak mengandung titik batasnya sendiri M. Tapi kemudian M TENTANG M, dan setiap interval berisi M, berpotongan dengan himpunan [` M], yaitu ada benarnya tidak berbohong M, dan ini bertentangan dengan fakta itu M- membuka. Demikian pula langsung dari definisinya dibuktikan jika M ditutup, lalu [` M] buka (periksa!).
Sekarang kita akan membuktikan teorema penting berikut.
Dalil. Set terbuka apa pun M dapat direpresentasikan sebagai gabungan interval dengan tujuan rasional (yaitu, dengan tujuan pada titik rasional).
Bukti . Pertimbangkan serikat pekerja kamu semua interval dengan ujung rasional yang merupakan himpunan bagian dari himpunan kita. Mari kita buktikan bahwa penyatuan ini bertepatan dengan keseluruhan himpunan. Memang benar jika M- beberapa poin dari M, maka terdapat interval ( M 1 , M 2) M M mengandung M(ini mengikuti dari fakta bahwa M- membuka). Pada interval mana pun Anda dapat menemukan titik rasional. Biarkan ( M 1 , M) - Ini M 3, pada ( M, M 2) – ini adalah M 4. Lalu tunjuk M dicakup oleh serikat pekerja kamu, yaitu interval ( M 3 , M 4). Jadi, kami telah membuktikan setiap poinnya M dari M dicakup oleh serikat pekerja kamu. Terlebih lagi, seperti yang jelas terlihat dari konstruksinya kamu, tidak ada gunanya tidak terkandung di dalamnya M, tidak tertutupi kamu. Cara, kamu Dan M sesuai.
Konsekuensi penting dari teorema ini adalah kenyataan bahwa setiap himpunan terbuka adalah himpunan terbuka dapat dihitung menggabungkan interval.
Tidak ada himpunan padat dan himpunan ukuran nol. Perangkat penyanyi>
Lampiran 2 . Tidak ada himpunan padat dan himpunan ukuran nol. Set penyanyi
Sekelompok A ditelepon tidak ada tempat yang padat, jika untuk poin yang berbeda A Dan B ada segmen [ C, D] M [ A, B], tidak berpotongan dengan A. Misalnya himpunan titik-titik dalam barisan A N = [ 1/(N)] tidak padat, tetapi himpunan bilangan rasional tidak padat.
teorema Baire. Sebuah segmen tidak dapat direpresentasikan sebagai gabungan himpunan padat yang dapat dihitung.
Bukti . Misalkan ada suatu urutan A k tidak ada tempat yang padat sehingga Dan Saya A Saya = [A, B]. Mari kita buat urutan segmen berikut. Membiarkan SAYA 1 – beberapa segmen tertanam di [ A, B] dan tidak berpotongan dengan A 1 . Menurut definisinya, suatu himpunan padat pada suatu interval SAYA 1 ada ruas yang tidak berpotongan dengan himpunan A 2. Ayo telepon dia SAYA 2. Selanjutnya pada segmen tersebut SAYA 2, ambil juga segmennya SAYA 3, tidak bersinggungan dengan A 3, dst. Urutan SAYA k segmen bersarang memiliki titik yang sama (ini adalah salah satu sifat utama bilangan real). Secara konstruksi, titik ini tidak terletak pada himpunan mana pun A k, artinya himpunan ini tidak mencakup seluruh segmen [ A, B].
Sebut saja setnya M memiliki ukuran nol, jika untuk sembarang e positif terdapat barisan SAYA k interval dengan panjang total kurang dari e, meliputi M. Jelasnya, setiap himpunan yang dapat dihitung mempunyai ukuran nol. Namun, ada juga himpunan tak terhitung yang ukurannya nol. Mari kita bangun satu, yang sangat terkenal, yang disebut Cantor's.
|
|
| Beras. sebelas |
Mari kita ambil satu segmen. Mari kita bagi menjadi tiga bagian yang sama. Mari kita buang segmen tengahnya (Gbr. 11, A). Akan ada dua segmen dengan total panjang [2/3]. Kami akan melakukan operasi yang persis sama dengan masing-masingnya (Gbr. 11, B). Akan ada empat segmen tersisa dengan panjang total [ 4/9] = ([ 2/3]) \ B 2 . Melanjutkan seperti ini (Gbr. 11, V–e) hingga tak terhingga, kita memperoleh himpunan yang ukurannya lebih kecil dari sembarang ukuran positif yang telah ditentukan, yaitu ukuran nol. Dimungkinkan untuk membuat korespondensi satu-satu antara titik-titik himpunan ini dan barisan nol dan satu yang tak terhingga. Jika pada “pembuangan” pertama titik kita jatuh ke ruas kanan, kita letakkan 1 di awal barisan, jika di kiri - 0 (Gbr. 11, A). Selanjutnya, setelah “pembuangan” pertama, kita mendapatkan salinan kecil dari segmen besar, yang dengannya kita melakukan hal yang sama: jika titik kita setelah membuang jatuh ke segmen kanan, kita masukkan 1, jika di kiri. – 0, dst. (periksa hubungan satu-satu) , Nasi. sebelas, B, V. Karena himpunan barisan nol dan satu mempunyai kontinum kardinalitas, maka himpunan Cantor juga mempunyai kontinum kardinalitas. Selain itu, mudah untuk membuktikan bahwa ia tidak padat di mana pun. Namun, tidak benar bahwa ukuran ketatnya nol (lihat definisi ukuran ketat). Ide untuk membuktikan fakta tersebut adalah sebagai berikut: ambil urutannya A N, cenderung nol dengan sangat cepat. Misalnya urutannya A N = [ 1/(2 2 N)]. Kemudian kita akan buktikan bahwa barisan ini tidak dapat mencakup himpunan Cantor (lakukan!).
Lampiran 3 . Tugas
Tetapkan Operasi
Set A Dan B disebut setara, jika setiap elemen himpunan A milik himpunan B, dan sebaliknya. Penamaan: A = B.
Sekelompok A ditelepon bagian set B, jika setiap elemen himpunan A milik himpunan B. Penamaan: A M B.
1.
Untuk masing-masing dua himpunan berikut, tunjukkan apakah salah satu himpunan merupakan bagian dari himpunan lainnya:
|
2. Buktikan bahwa himpunan tersebut A jika dan hanya jika merupakan bagian dari himpunan B, ketika setiap elemen bukan milik B, bukan milik A.
3. Buktikan bahwa untuk himpunan sembarang A, B Dan C
A) A M A; b) jika A M B Dan B M C, Itu A M C;
V) A = B, jika dan hanya jika A M B Dan B M A.
Himpunan tersebut disebut kosong, jika tidak mengandung elemen apa pun. Sebutan: F.
4.
Berapa banyak elemen yang dimiliki masing-masing himpunan berikut:
|
5. Berapa banyak himpunan bagian yang dimiliki oleh himpunan tiga elemen?
6. Dapatkah suatu himpunan mempunyai tepat a) 0; b*) 7; c) 16 himpunan bagian?
Asosiasi set A Dan B X, Apa X TENTANG A atau X TENTANG B. Penamaan: A DAN B.
Dengan menyeberang set A Dan B disebut himpunan yang terdiri dari itu X, Apa X TENTANG A Dan X TENTANG B. Penamaan: A Z B.
Berdasarkan perbedaan set A Dan B disebut himpunan yang terdiri dari itu X, Apa X TENTANG A Dan X P B. Penamaan: A \ B.
7. Set yang diberikan A = {1,3,7,137}, B = {3,7,23}, C = {0,1,3, 23}, D= (0,7,23,1998). Temukan setnya:
| A) A DAN B; | B) A Z B; | V) ( A Z B)DAN D; |
| G) C Z ( D Z B); | D) ( A DAN B)Z ( C DAN D); | e) ( A DAN ( B Z C))Z D; |
| Dan) ( C Z A)DAN (( A DAN ( C Z D))Z B); | H) ( A DAN B) \ (C Z D); | Dan) A \ (B \ (C \ D)); |
| Ke) (( A \ (B DAN D)) \ C)DAN B. |
8. Membiarkan A adalah himpunan bilangan genap, dan B– himpunan bilangan yang habis dibagi 3. Temukan A Z B.
9. Buktikan itu untuk set apa pun A, B, C
A) A DAN B = B DAN A, A Z B = B Z A;
B) A DAN ( B DAN C) = (A DAN B)DAN C, A Z ( B Z C) = (A Z B)Z C;
V) A Z ( B DAN C) = (A Z B)DAN ( A Z C), A DAN ( B Z C) = (A DAN B)Z ( A DAN C);
G) A \ (B DAN C) = (A \ B)Z ( A \ C), A \ (B Z C) = (A \ B)DAN ( A \ C).
10. Apakah benar untuk set apa pun A, B, C
| A) A Z ZH = F, A JIKA = A; | B) A DAN A = A, A Z A = A; | V) A Z B = A Y A M B; |
| G) ( A \ B)DAN B = A; 7d) A \ (A \ B) = A Z B; | e) A \ (B \ C) = (A \ B)DAN ( A Z C); | |
| Dan) ( A \ B)DAN ( B \ A) = A DAN B? |
Tetapkan pemetaan
Jika setiap elemen X set X tepat satu elemen cocok F(X) set Y, lalu mereka mengatakan bahwa itu diberikan menampilkan F dari banyak X ke dalam orang banyak Y. Pada saat yang sama, jika F(X) = kamu, lalu elemennya kamu ditelepon jalan elemen X saat ditampilkan F, dan elemennya X ditelepon prototipe elemen kamu saat ditampilkan F. Penamaan: F: X ® Y.
11. Gambarkan semua kemungkinan pemetaan dari himpunan (7,8,9) ke himpunan (0,1).
Membiarkan F: X ® Y, kamu TENTANG Y, A M X, B M Y. Prototipe lengkap dari elemen tersebut kamu saat ditampilkan F disebut himpunan ( X TENTANG X | F(X) = kamu). Penamaan: F - 1 (kamu). Gambaran orang banyak A M X saat ditampilkan F disebut himpunan ( F(X) | X TENTANG A). Penamaan: F(A). Prototipe himpunan B M Y disebut himpunan ( X TENTANG X | F(X) TENTANG B). Penamaan: F - 1 (B).
12. Menampilkan F: (0,1,3,4) ® (2,5,7,18), diberikan oleh gambar, temukan F({0,3}), F({1,3,4}), F - 1 (2), F - 1 ({2,5}), F - 1 ({5,18}).
| a B C) |
13. Membiarkan F: X ® Y, A 1 , A 2 M X, B 1 , B 2 M Y. Apakah selalu benar hal itu
A) F(X) = Y;
B) F - 1 (Y) = X;
V) F(A 1 saya A 2) = F(A 1)Dan F(A 2);
G) F(A 1 W A 2) = F(A 1)Z F(A 2);
D) F - 1 (B 1 saya B 2) = F - 1 (B 1)Dan F - 1 (B 2);
e) F - 1 (B 1 W B 2) = F - 1 (B 1)Z F - 1 (B 2);
g) jika F(A 1M F(A 2), lalu A 1M A 2 ;
h) jika F - 1 (B 1M F - 1 (B 2), lalu B 1M B 2 ?
Komposisi pemetaan F: X ® Y Dan G: Y ® Z disebut pemetaan yang mengaitkan suatu elemen X set X elemen G(F(X)) set Z. Penamaan: G° F.
14. Buktikan itu untuk pemetaan sembarang F: X ® Y, G: Y ® Z Dan H: Z ® W berikut ini dilakukan: H° ( G° F) = (H° G)° F.
15. Membiarkan F: (1,2,3,5) ® (0,1,2), G: (0,1,2) ® (3,7,37,137), H: (3,7,37,137) ® (1,2,3,5) – pemetaan ditunjukkan pada gambar:
| F: G: H: |
Buatlah gambar untuk tampilan berikut:
A) G° F; B) H° G; V) F° H° G; G) G° H° F.
Menampilkan F: X ® Y ditelepon bijektif, jika untuk masing-masing kamu TENTANG Y tepat ada satu X TENTANG X seperti yang F(X) = kamu.
16. Membiarkan F: X ® Y, G: Y ® Z. Benarkah jika F Dan G kalau begitu, bersifat bijektif G° F secara bijektif?
17. Membiarkan F: (1,2,3) ® (1,2,3), G: (1,2,3) ® (1,2,3), – pemetaan seperti pada gambar:
18. Untuk setiap dua himpunan berikut, cari tahu apakah terdapat bijeksi dari himpunan pertama ke himpunan kedua (dengan asumsi nol adalah bilangan asli):
a) himpunan bilangan asli;
b) himpunan bilangan asli genap;
c) himpunan bilangan asli tanpa bilangan 3.
Ruang metrik disebut satu set X dengan yang diberikan metrik R: X× X ® Z
1) " X,kamu TENTANG X R ( X,kamu) saya 0, dan r ( X,kamu) = 0 jika dan hanya jika X = kamu (non-negatif ); 2) " X,kamu TENTANG X R ( X,kamu) = r ( kamu,X) (simetri ); 3) " X,kamu,z TENTANG X R ( X,kamu) + r ( kamu,z) aku ( X,z) (pertidaksamaan segitiga ). 19 19. X
A) X = Z, R ( X,kamu) = | X - kamu| ;
B) X = Z 2 , r 2 (( X 1 ,kamu 1),(X 2 ,kamu 2)) = C (( X 1 - X 2) 2 + (kamu 1 - kamu 2) 2 };
V) X = C[A,BA,B] fungsi,
Membuka(masing-masing, tertutup) bola radius R di ruang hampa X terpusat pada suatu titik X disebut satu set kamu R (X) = {kamu TENTANG X:R ( X,kamu) < R) (masing-masing, B R (X) = {kamu TENTANG X:R ( X,kamu) Ј R}).
Poin dalam set kamu M X kamu
membuka lingkungan titik ini.
Batas titik set F M X F.
tertutup
20. Buktikan itu
21. Buktikan itu
b) penyatuan suatu himpunan A hubungan pendek A
Menampilkan F: X ® Y ditelepon kontinu
22.
23. Buktikan itu
F (X) = info kamu TENTANG F R ( X,kamu
F.
24. Membiarkan F: X ® Y– . Benarkah kebalikannya kontinu?
Pemetaan satu-ke-satu yang berkelanjutan F: X ® Y homeomorfisme. Spasi X, Yhomeomorfik.
25.
26. Untuk pasangan yang mana? X, Y F: X ® Y, yang tidak saling menempel poin (yaitu F(X) № F(kamu) pada X № kamu investasi)?
27*. homeomorfisme lokal(yaitu di setiap titik X pesawat dan F(X) torus ada lingkungan seperti itu kamu Dan V, Apa F peta secara homeomorfik kamu pada V).
Ruang metrik dan pemetaan berkelanjutan
Ruang metrik disebut satu set X dengan yang diberikan metrik R: X× X ® Z, memenuhi aksioma berikut:
1) " X,kamu TENTANG X R ( X,kamu) saya 0, dan r ( X,kamu) = 0 jika dan hanya jika X = kamu (non-negatif ); 2) " X,kamu TENTANG X R ( X,kamu) = r ( kamu,X) (simetri ); 3) " X,kamu,z TENTANG X R ( X,kamu) + r ( kamu,z) aku ( X,z) (pertidaksamaan segitiga ). 28. Buktikan bahwa pasangan berikut ( X,r ) adalah ruang metrik:
A) X = Z, R ( X,kamu) = | X - kamu| ;
B) X = Z 2 , r 2 (( X 1 ,kamu 1),(X 2 ,kamu 2)) = C (( X 1 - X 2) 2 + (kamu 1 - kamu 2) 2 };
V) X = C[A,B] – set terus menerus pada [ A,B] fungsi,
Membuka(masing-masing, tertutup) bola radius R di ruang hampa X terpusat pada suatu titik X disebut satu set kamu R (X) = {kamu TENTANG X:R ( X,kamu) < R) (masing-masing, B R (X) = {kamu TENTANG X:R ( X,kamu) Ј R}).
Poin dalam set kamu M X adalah poin yang terkandung di dalamnya kamu bersama dengan beberapa bola yang radiusnya bukan nol.
Himpunan yang semua titiknya berada di dalam disebut membuka. Himpunan terbuka yang memuat suatu titik tertentu disebut lingkungan titik ini.
Batas titik set F M X adalah suatu titik yang setiap lingkungannya memuat titik-titik yang tak terhingga banyaknya F.
Himpunan yang memuat semua titik limitnya disebut tertutup(bandingkan definisi ini dengan definisi yang diberikan dalam Lampiran 1).
29. Buktikan itu
a) suatu himpunan terbuka jika dan hanya jika komplemennya tertutup;
b) gabungan berhingga dan perpotongan terhitung dari himpunan tertutup ditutup;
c) gabungan terhitung dan perpotongan berhingga dari himpunan terbuka adalah terbuka.
30. Buktikan itu
a) himpunan titik batas suatu himpunan adalah himpunan tertutup;
b) penyatuan suatu himpunan A dan himpunan titik batasnya ( hubungan pendek A) adalah himpunan tertutup.
Menampilkan F: X ® Y ditelepon kontinu, jika bayangan invers setiap himpunan terbuka terbuka.
31. Buktikan bahwa definisi tersebut konsisten dengan definisi kontinuitas fungsi pada suatu garis.
32. Buktikan itu
a) jarak untuk mengatur r F (X) = info kamu TENTANG F R ( X,kamu) merupakan fungsi kontinu;
b) himpunan nol dari fungsi pada butir a) bertepatan dengan penutupan F.
33. Membiarkan F: X ® Y
Pemetaan satu-ke-satu yang berkelanjutan F: X ® Y, yang kebalikannya juga kontinu disebut homeomorfisme. Spasi X, Y, yang memiliki pemetaan seperti itu, disebut homeomorfik.
34. Untuk setiap pasangan himpunan berikut, tentukan apakah himpunan tersebut homeomorfik:
35. Untuk pasangan yang mana? X, Y ruang dari masalah sebelumnya ada pemetaan berkelanjutan F: X ® Y, yang tidak saling menempel poin (yaitu F(X) № F(kamu) pada X № kamu– pemetaan seperti itu disebut investasi)?
36*. Buatlah pemetaan berkelanjutan dari bidang ke torus homeomorfisme lokal(yaitu di setiap titik X pesawat dan F(X) torus ada lingkungan seperti itu kamu Dan V, Apa F peta secara homeomorfik kamu pada V).
Kelengkapan. teorema Baire
Membiarkan X– ruang metrik. Selanjutnya X N unsur-unsurnya disebut mendasar, Jika
|
37. Buktikan bahwa barisan konvergen itu fundamental. Apakah pernyataan sebaliknya benar?
Ruang metrik disebut menyelesaikan, jika setiap barisan fundamental konvergen di dalamnya.
38. Benarkah suatu ruang homeomorfik menjadi lengkap adalah lengkap?
39. Buktikan bahwa subruang tertutup dari ruang lengkap adalah lengkap; subruang lengkap dari ruang sembarang tertutup di dalamnya.
40. Buktikan bahwa dalam ruang metrik lengkap barisan bola tertutup yang bersarang dengan jari-jari cenderung nol mempunyai elemen yang sama.
41. Apakah pada soal sebelumnya dapat menghilangkan kondisi kelengkapan ruang atau kecenderungan jari-jari bola ke nol?
Menampilkan F ruang metrik X dipanggil ke dalam diri sendiri tekan, Jika
|
42. Buktikan bahwa peta kontraksi itu kontinu.
43. a) Buktikan bahwa pemetaan kontraksi suatu ruang metrik lengkap ke dalam dirinya sendiri mempunyai tepat satu titik tetap.
b) Letakkan peta Rusia skala 1:20.000.000 pada peta Rusia skala 1:5.000.000 Buktikan bahwa ada suatu titik yang bayangan pada kedua peta itu berhimpitan.
44*. Apakah ada ruang metrik yang tidak lengkap yang pernyataan masalahnya benar?
Subset dari ruang metrik disebut padat dimana-mana, jika penutupannya bertepatan dengan seluruh ruang; tidak ada tempat yang padat– jika penutupannya tidak mempunyai himpunan bagian terbuka yang tidak kosong (bandingkan definisi ini dengan definisi yang diberikan dalam Lampiran 2).
45. a) Biarkan A, B, a , b HAI Z Dan A < a < b < B. Buktikan bahwa himpunan fungsi kontinu pada [ A,B], monoton pada , tidak padat dalam ruang semua fungsi kontinu pada [ A,B] dengan metrik seragam.
b) Biarkan A, B, C, e HAI Z Dan A < B, C> 0, e > 0. Kemudian himpunan fungsi kontinu pada [ A,B], seperti yang
|
46. (Teorema Baire yang digeneralisasikan .) Buktikan bahwa ruang metrik lengkap tidak dapat direpresentasikan sebagai gabungan dari sejumlah himpunan padat tempat yang dapat dihitung.
47. Buktikan bahwa himpunan fungsi kontinu, tidak monoton pada sembarang interval tak kosong dan tidak ada fungsi terdiferensiasi yang terdefinisi pada interval tersebut padat di mana-mana dalam ruang semua fungsi kontinu pada metrik seragam.
48*. Membiarkan F– fungsi terdiferensiasi pada interval. Buktikan bahwa turunannya kontinu pada himpunan titik yang rapat dimana-mana. Inilah definisinya Lebesgue mengukur nol. Jika jumlah interval yang dapat dihitung diganti dengan interval yang terbatas, kita mendapatkan definisinya Jordanova mengukur nol.
Himpunan bilangan asli terdiri dari bilangan 1, 2, 3, 4, ..., yang digunakan untuk menghitung benda. Himpunan semua bilangan asli biasanya dilambangkan dengan huruf N :
N = {1, 2, 3, 4, ..., N, ...} .
Hukum penjumlahan bilangan asli
1. Untuk sembarang bilangan asli A Dan B kesetaraan adalah benar A + B = B + A . Sifat ini disebut hukum komutatif penjumlahan.
2. Untuk sembarang bilangan asli A, B, C kesetaraan adalah benar (A + B) + C = A + (B + C) . Sifat ini disebut hukum penjumlahan gabungan (asosiatif).
Hukum perkalian bilangan asli
3. Untuk sembarang bilangan asli A Dan B kesetaraan adalah benar ab = ba. Sifat ini disebut hukum komutatif perkalian.
4. Untuk sembarang bilangan asli A, B, C kesetaraan adalah benar (AB)C = A(BC) . Sifat ini disebut hukum perkalian gabungan (asosiatif).
5. Untuk nilai apa pun A, B, C kesetaraan adalah benar (A + B)C = ac + SM . Sifat ini disebut hukum distributif perkalian (relatif terhadap penjumlahan).
6. Untuk nilai apapun A kesetaraan adalah benar A*1 = A. Sifat ini disebut hukum perkalian satu.
Hasil penjumlahan atau perkalian dua bilangan asli selalu berupa bilangan asli. Atau, dengan kata lain, operasi ini dapat dilakukan sambil tetap berada dalam himpunan bilangan asli. Hal yang sama tidak dapat dikatakan mengenai pengurangan dan pembagian: misalnya, dari bilangan 3 tidak mungkin, sambil tetap berada dalam himpunan bilangan asli, untuk mengurangi bilangan 7; Angka 15 tidak dapat habis dibagi 4 seluruhnya.
Tanda-tanda pembagian bilangan asli
Pembagian suatu jumlah. Jika setiap suku habis dibagi suatu bilangan, maka jumlah tersebut habis dibagi bilangan tersebut.
Pembagian suatu produk. Jika dalam suatu hasil kali paling sedikit salah satu faktornya habis dibagi suatu bilangan tertentu, maka hasil kali tersebut juga habis dibagi bilangan tersebut.
Kondisi-kondisi ini, baik untuk jumlah maupun produknya, sudah cukup tetapi tidak perlu. Misalnya, hasil kali 12*18 habis dibagi 36, meskipun 12 dan 18 tidak habis dibagi 36.
Uji pembagian dengan 2. Agar suatu bilangan asli habis dibagi 2, angka terakhirnya harus genap.
Uji keterbagian dengan 5. Agar suatu bilangan asli habis dibagi 5, angka terakhirnya harus 0 atau 5.
Uji keterbagian dengan 10. Agar suatu bilangan asli habis dibagi 10, angka satuannya harus 0.
Uji pembagian dengan 4. Agar suatu bilangan asli yang mengandung paling sedikit tiga angka dapat habis dibagi 4, maka angka terakhirnya harus 00, 04, 08 atau dua angka yang dibentuk oleh dua angka terakhir bilangan tersebut harus habis dibagi. 4.
Uji pembagiannya dengan 2 (dengan 9). Agar suatu bilangan asli habis dibagi 3 (9), jumlah angka-angkanya harus habis dibagi 3 (9).
Himpunan bilangan bulat
Misalkan suatu garis bilangan mempunyai titik asal HAI. Koordinat angka nol di atasnya akan menjadi sebuah titik HAI. Bilangan yang terletak pada garis bilangan pada arah tertentu disebut bilangan positif. Misalkan suatu titik diberikan pada garis bilangan A dengan koordinat 3. Sesuai dengan bilangan positif 3. Sekarang mari kita plot segmen satuan dari titik tersebut sebanyak tiga kali HAI, dalam arah yang berlawanan dengan yang diberikan. Lalu kita mengerti maksudnya A", simetris pada intinya A relatif terhadap asal usulnya HAI. Koordinat titik A" akan ada bilangan - 3. Bilangan ini kebalikan dari bilangan 3. Bilangan yang terletak pada garis bilangan yang arahnya berlawanan dengan bilangan tersebut disebut bilangan negatif.
Bilangan yang berlawanan dengan bilangan asli membentuk himpunan bilangan N" :
N" = {- 1, - 2, - 3, - 4, ...} .
Jika kita menggabungkan set tersebut N , N" dan himpunan tunggal {0} , lalu kita mendapatkan satu set Z semua bilangan bulat:
Z = {0} ∪ N ∪ N" .
Untuk bilangan bulat, semua hukum penjumlahan dan perkalian di atas adalah benar, begitu pula untuk bilangan asli. Selain itu, hukum pengurangan berikut ditambahkan:
A - B = A + (- B) ;
A + (- A) = 0 .
Himpunan bilangan rasional
Agar operasi pembagian bilangan bulat dengan bilangan apa pun yang tidak sama dengan nol dapat dilakukan, pecahan diperkenalkan:
Di mana A Dan B- bilangan bulat dan B tidak sama dengan nol.
Jika kita menjumlahkan himpunan semua pecahan positif dan negatif ke himpunan bilangan bulat, kita memperoleh himpunan bilangan rasional Q :
.
Selain itu, setiap bilangan bulat juga merupakan bilangan rasional, karena misalnya bilangan 5 dapat direpresentasikan dalam bentuk yang pembilang dan penyebutnya adalah bilangan bulat. Hal ini penting ketika melakukan operasi pada bilangan rasional, yang salah satunya dapat berupa bilangan bulat.
Hukum operasi aritmatika pada bilangan rasional
Sifat utama pecahan. Jika pembilang dan penyebut suatu pecahan dikalikan atau dibagi dengan bilangan asli yang sama, maka diperoleh pecahan yang sama dengan pecahan tersebut:
Properti ini digunakan saat mereduksi pecahan.
Menjumlahkan pecahan. Penjumlahan pecahan biasa didefinisikan sebagai berikut:
.
Artinya, untuk menjumlahkan pecahan yang penyebutnya berbeda, pecahan tersebut direduksi menjadi penyebut yang sama. Dalam prakteknya, ketika menjumlahkan (mengurangi) pecahan yang penyebutnya berbeda, pecahan tersebut direduksi menjadi penyebut yang paling kecil. Misalnya seperti ini:
Untuk menjumlahkan pecahan yang pembilangnya sama, cukup tambahkan pembilangnya dan biarkan penyebutnya tetap sama.
Mengalikan pecahan. Perkalian pecahan biasa didefinisikan sebagai berikut:
Artinya, untuk mengalikan pecahan dengan pecahan, Anda perlu mengalikan pembilang pecahan pertama dengan pembilang pecahan kedua dan menuliskan hasil kali pada pembilang pecahan baru, dan mengalikan penyebut pecahan pertama dengan pecahan pertama. penyebut pecahan kedua dan tulis hasil perkaliannya pada penyebut pecahan baru.
Pembagian pecahan. Pembagian pecahan biasa didefinisikan sebagai berikut:
Artinya, untuk membagi pecahan dengan pecahan, Anda perlu mengalikan pembilang pecahan pertama dengan penyebut pecahan kedua dan menuliskan hasil kali pada pembilang pecahan baru, dan mengalikan penyebut pecahan pertama dengan pecahan tersebut. pembilang pecahan kedua dan tulis hasil kali pada penyebut pecahan baru.
Menaikkan pecahan ke pangkat dengan eksponen natural. Operasi ini didefinisikan sebagai berikut:
Artinya, untuk menaikkan suatu pecahan, pembilangnya dipangkatkan dan penyebutnya dipangkatkan.
Desimal periodik
Dalil. Bilangan rasional apa pun dapat direpresentasikan sebagai pecahan periodik berhingga atau tak terhingga.
Misalnya,
.
Sekelompok angka yang berulang secara berurutan setelah titik desimal dalam notasi desimal suatu bilangan disebut periode, dan pecahan desimal berhingga atau tak terhingga yang memiliki periode dalam notasi tersebut disebut periodik.
Dalam hal ini, pecahan desimal berhingga dianggap sebagai pecahan periodik tak hingga yang memiliki periode nol, misalnya:
Hasil penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian (kecuali pembagian dengan nol) dua bilangan rasional juga merupakan bilangan rasional.
Kumpulan bilangan real
Pada garis bilangan yang kita bahas sehubungan dengan himpunan bilangan bulat, mungkin terdapat titik-titik yang tidak mempunyai koordinat berupa bilangan rasional. Jadi, tidak ada bilangan rasional yang kuadratnya 2. Oleh karena itu, bilangan tersebut bukanlah bilangan rasional. Juga tidak ada bilangan rasional yang kuadratnya 5, 7, 9. Oleh karena itu, bilangan , , adalah irasional. Jumlahnya juga tidak rasional.
Tidak ada bilangan irasional yang dapat direpresentasikan sebagai pecahan periodik. Mereka direpresentasikan sebagai pecahan non-periodik.
Gabungan himpunan bilangan rasional dan irasional merupakan himpunan bilangan real R .
Himpunan terhitung adalah himpunan tak hingga yang unsur-unsurnya dapat diberi nomor dengan bilangan asli, atau himpunan ekuivalen dengan himpunan bilangan asli.
Kadang-kadang himpunan yang kardinalitasnya sama dengan himpunan bagian mana pun dari himpunan bilangan asli disebut dapat dihitung, yaitu semua himpunan berhingga juga dianggap dapat dihitung.
Himpunan terhitung adalah himpunan tak hingga “terkecil”, artinya, dalam himpunan tak hingga mana pun terdapat subset terhitung.
Properti:
1. Setiap subset dari himpunan yang dapat dihitung paling banyak dapat dihitung.
2. Gabungan dari himpunan terhitung yang jumlahnya terbatas atau terhitung adalah terhitung.
3. Hasil kali langsung dari sejumlah himpunan terhitung yang terbatas dapat dihitung.
4. Himpunan semua himpunan bagian berhingga dari suatu himpunan terhitung dapat dihitung.
5. Himpunan semua himpunan bagian dari himpunan terhitung adalah kontinu dan, khususnya, tidak dapat dihitung.
Contoh himpunan terhitung:
Bilangan prima Bilangan asli, Bilangan bulat, Bilangan rasional, Bilangan aljabar, Lingkaran periode, Bilangan yang dapat dihitung, Bilangan aritmatika.
Teori bilangan real.
(Nyata = nyata - pengingat bagi kita kawan.)
Himpunan R berisi bilangan rasional dan irasional.
Bilangan real yang tidak rasional disebut bilangan irasional
Dalil: Tidak ada bilangan rasional yang kuadratnya sama dengan bilangan 2
Bilangan rasional: ½, 1/3, 0,5, 0,333.
Bilangan irasional: akar dari 2=1,4142356…, π=3,1415926…
Himpunan R bilangan real mempunyai sifat sebagai berikut:
1. Diurutkan: untuk dua nomor berbeda a dan b salah satu dari dua relasi berlaku A atau a>b
2. Himpunan R padat: antara dua bilangan yang berbeda a dan b berisi bilangan real yang jumlahnya tak terhingga X, yaitu bilangan yang memenuhi pertidaksamaan a Ada juga properti ke-3, tapi besar sekali, maaf Himpunan berbatas. Properti batas atas dan bawah. Kumpulan terbatas- himpunan yang dalam arti tertentu mempunyai ukuran berhingga. dibatasi di atas jika ada bilangan yang semua elemennya tidak melebihi: Himpunan bilangan real disebut dibatasi di bawah, jika ada nomor , sedemikian rupa sehingga semua elemen setidaknya: Himpunan yang dibatasi atas dan bawah disebut terbatas. Himpunan yang tidak dibatasi disebut tak terbatas. Berdasarkan definisinya, suatu himpunan tidak terbatas jika dan hanya jika himpunan tersebut tidak dibatasi dari atas atau tidak terbatas pada di bawah ini. Urutan nomor. Batas konsistensi. Lemma tentang dua polisi. Urutan nomor adalah barisan elemen ruang bilangan. Misalkan himpunan bilangan real atau himpunan bilangan kompleks. Maka barisan anggota himpunan tersebut disebut urutan numerik. Contoh. Fungsi adalah barisan bilangan rasional yang tak terhingga. Unsur-unsur barisan ini, mulai dari yang pertama, berbentuk . Batas urutan- ini adalah objek yang didekati oleh anggota barisan seiring bertambahnya jumlah. Khususnya, untuk barisan bilangan, limit adalah suatu bilangan di lingkungan mana pun yang semua suku barisan tersebut dimulai dari suatu titik tertentu. Teorema tentang dua polisi... Jika fungsinya sedemikian rupa sehingga untuk semua orang di lingkungan suatu titik , dan fungsi-fungsi tersebut mempunyai limit yang sama di , maka terdapat limit fungsi tersebut di sama dengan nilai yang sama, yaitu Sekarang mari kita buktikan beberapa sifat khusus himpunan tertutup dan himpunan terbuka. Teorema 1. Jumlah himpunan terbuka yang jumlahnya terbatas atau dapat dihitung adalah himpunan terbuka. Hasil kali sejumlah himpunan terbuka berhingga adalah himpunan terbuka, Pertimbangkan jumlah himpunan terbuka yang terbatas atau dapat dihitung: Jika , maka P termasuk dalam paling sedikit salah satu dari Misalkan Karena merupakan himpunan terbuka, maka beberapa lingkungan dari P juga termasuk dalam lingkungan P. Lingkungan yang sama dari P juga termasuk dalam jumlah g, sehingga g adalah himpunan terbuka. Sekarang mari kita pertimbangkan produk akhir dan biarkan P menjadi milik g. Mari kita buktikan, seperti di atas, bahwa beberapa lingkungan P juga termasuk dalam g. Karena P milik g, maka P milik semua orang. Karena - adalah himpunan terbuka, maka untuk setiap himpunan tersebut terdapat -lingkungan suatu titik yang menjadi milik . Jika bilangan tersebut dianggap sama dengan bilangan terkecil yang bilangannya berhingga, maka -lingkungan titik P akan menjadi milik semua orang dan, akibatnya, milik g. Perhatikan bahwa kita tidak dapat menyatakan bahwa hasil kali himpunan terbuka yang jumlahnya dapat dihitung adalah himpunan terbuka. Teorema 2. Himpunan CF terbuka dan himpunan CO tertutup. Mari kita buktikan pernyataan pertama. Misalkan P milik CF. Perlu dibuktikan bahwa beberapa lingkungan P termasuk dalam CF. Hal ini mengikuti fakta bahwa jika terdapat titik F di sembarang lingkungan P, maka titik P, yang tidak termasuk dalam syarat, akan menjadi titik batas untuk F dan, karena ketertutupannya, harus termasuk, yang mengarah ke a kontradiksi. Teorema 3. Hasil kali sejumlah himpunan tertutup yang berhingga atau dapat dihitung adalah himpunan tertutup. Jumlah sejumlah himpunan tertutup yang berhingga merupakan himpunan tertutup. Mari kita buktikan, misalnya, bahwa himpunan tertutup. Pindah ke set tambahan, kita bisa menulis Berdasarkan teorema, himpunan terbuka, dan berdasarkan Teorema 1, himpunan tersebut juga terbuka, sehingga himpunan tambahan g ditutup. Perhatikan bahwa jumlah himpunan tertutup yang dapat dihitung juga bisa menjadi himpunan terbuka. Teorema 4. Himpunan adalah himpunan terbuka dan himpunan tertutup. Sangat mudah untuk memeriksa persamaan berikut: Dari sini, berdasarkan teorema sebelumnya, Teorema 4 mengikuti. Kita dapat mengatakan bahwa himpunan g dicakup oleh sistem M dari himpunan tertentu jika setiap titik g termasuk dalam paling sedikit salah satu himpunan sistem M. Teorema 5 (Borel). Jika suatu himpunan berbatas tertutup F dicakup oleh sistem tak hingga a dari himpunan terbuka O, maka dari sistem tak hingga ini dimungkinkan untuk mengekstrak sejumlah himpunan terbuka berhingga yang juga mencakup F. Kami membuktikan teorema ini dengan kebalikannya. Mari kita asumsikan bahwa tidak ada himpunan terbuka yang jumlahnya terbatas dari sistem a yang mencakup dan kita menjadikannya kontradiksi. Karena F adalah himpunan berbatas, maka semua titik di F termasuk dalam interval dua dimensi berhingga. Mari kita bagi interval tertutup ini menjadi empat bagian yang sama, membagi interval tersebut menjadi dua. Kami akan mengambil masing-masing dari empat interval yang dihasilkan untuk ditutup. Titik-titik F yang terletak pada salah satu dari empat interval tertutup ini, berdasarkan Teorema 2, akan mewakili himpunan tertutup, dan paling sedikit salah satu dari himpunan tertutup ini tidak dapat ditutupi oleh sejumlah himpunan terbuka berhingga dari sistem a. Kami mengambil salah satu dari empat interval tertutup yang ditunjukkan di atas di mana keadaan ini terjadi. Kami kembali membagi interval ini menjadi empat bagian yang sama dan beralasan dengan cara yang sama seperti di atas. Dengan demikian, kita memperoleh sistem interval bersarang yang masing-masing interval berikutnya mewakili seperempat dari interval sebelumnya, dan keadaan berikut ini berlaku: himpunan titik F yang dimiliki oleh k mana pun tidak dapat ditutupi oleh sejumlah himpunan terbuka yang terbatas dari sistem. A. Dengan peningkatan k yang tak terhingga, intervalnya akan menyusut tak terhingga hingga titik P tertentu, yang termasuk dalam semua interval. Karena untuk setiap k terdapat titik yang jumlahnya tak terhingga, maka titik P merupakan titik pembatas dan oleh karena itu termasuk dalam F, karena F merupakan himpunan tertutup. Jadi, titik P ditutupi oleh suatu himpunan terbuka yang termasuk dalam sistem a. Beberapa -lingkungan dari titik P juga akan termasuk dalam himpunan terbuka O. Untuk nilai k yang cukup besar, interval D akan berada di dalam lingkungan -di atas dari titik P. Jadi, ini seluruhnya akan dicakup oleh satu saja himpunan terbuka O dari sistem a, dan hal ini bertentangan dengan fakta bahwa titik-titik yang termasuk dalam k tidak dapat ditutupi oleh sejumlah himpunan terbuka yang termasuk dalam a. Dengan demikian teorema tersebut terbukti. Teorema 6. Himpunan terbuka dapat direpresentasikan sebagai jumlah dari sejumlah interval setengah terbuka yang dapat dihitung berpasangan tanpa titik persekutuan. Ingatlah bahwa kita menyebut interval setengah terbuka pada suatu bidang sebagai interval berhingga yang ditentukan oleh pertidaksamaan bentuk . Mari kita menggambar di bidang datar sebuah kotak persegi dengan sisi-sisinya sejajar dengan sumbu dan panjang sisinya sama dengan satu. Himpunan persegi-persegi tersebut merupakan himpunan terhitung. Dari kotak-kotak ini, mari kita pilih kotak-kotak yang semua titiknya termasuk dalam himpunan terbuka tertentu O. Jumlah kotak-kotak tersebut mungkin berhingga atau dapat dihitung, atau mungkin tidak ada kotak-kotak tersebut sama sekali. Kami membagi masing-masing kotak yang tersisa dari kisi-kisi menjadi empat kotak yang identik dan dari kotak-kotak yang baru diperoleh kami memilih kembali kotak-kotak yang semua titiknya milik O. Kami membagi lagi setiap kotak yang tersisa menjadi empat bagian yang sama dan memilih kotak-kotak yang semua titiknya milik O, dst. Mari kita tunjukkan bahwa setiap titik P dari himpunan O akan jatuh ke dalam salah satu kotak yang dipilih, yang semua titiknya milik O. Memang benar, misalkan d adalah jarak positif dari P ke batas O. Ketika kita mencapai bujur sangkar yang diagonalnya lebih kecil dari , maka kita dapat dengan jelas menyatakan bahwa titik P telah jatuh ke dalam bujur sangkar yang seluruh volumenya adalah milik O. Jika bujur sangkar yang dipilih dianggap setengah terbuka, maka bujur sangkar tersebut tidak akan terbuka. mempunyai titik-titik yang sama berpasangan, dan teorema tersebut terbukti. Banyaknya kotak yang dipilih tentu dapat dihitung, karena jumlah berhingga dari interval setengah terbuka jelas bukan himpunan terbuka. Dilambangkan dengan DL kotak setengah terbuka yang kita peroleh sebagai hasil konstruksi di atas, kita dapat menulis
