คุณสมบัติของเซตเปิดและเซตปิด ตัวเลขเยอะมาก กฎการกระทำกับตัวเลขต่างๆ ตำแหน่งของจุดที่สัมพันธ์กับเซต A
ผลลัพธ์ของการดำเนินการ “*” ถูกกำหนดตามตารางพีทาโกรัส ตัวอย่างเช่น "ผลคูณ" ของ 3 * 4 เท่ากับตัวเลขที่จุดตัดของแถวหมายเลข 3 และคอลัมน์หมายเลข 4 ในกรณีของเรา หมายเลขนี้คือ 2 ดังนั้น 3 * 4 = 2 คุณคิดว่ากฎข้อใด ถูกใช้เพื่อเติมตารางนี้?
โปรดทราบว่าผลลัพธ์ของการดำเนินการ “*” กับตัวเลขจากชุด (0, 1, 2, ..., 9) จะเป็นตัวเลขจากชุดเดียวกัน ในกรณีเช่นนี้ว่ากันว่า ชุดปิดอยู่ภายใต้การดำเนินการและการดำเนินการนั้นเรียกว่า พีชคณิต.
คุณอาจสังเกตแล้วว่าตารางมีความสมมาตรสัมพันธ์กับเส้นทแยงมุม
(0, 1, 4, 9, 6, 5, 6, . . .) ซึ่งหมายความว่าการดำเนินการ "*" มีคุณสมบัติ การสับเปลี่ยนนั่นคือสำหรับตัวเลขใดๆ กและ ขจากเซต (0, 1, 2, ..., 9) ความเท่าเทียมกันจะคงอยู่: ก * ข =
ข * ก.
เมื่อใช้ตาราง คุณจะสามารถตรวจสอบได้ว่าความเท่าเทียมกัน (2 * 3) * 4 = 2 * (3 * 4) เป็นจริง โดยการอดทนและลองใช้ตัวเลขสามตัวตามลำดับทั้งหมด คุณจะมั่นใจได้ว่าการดำเนินการใหม่มีคุณสมบัติ การเชื่อมโยงนั่นคือสำหรับตัวเลขใดๆ ก, ข, ค จากเซต (0, 1, 2, ..., 9) ความเท่าเทียมกันจะคงอยู่: ( ก * ข) * ค= ก * (ข * ค).
ตรวจสอบว่าเซต (0, 1, 2, ..., 9) ถูกปิดภายใต้การคูณที่กำหนดโดยตารางพีทาโกรัสหรือไม่
รตัวอย่างข้างต้นอาจทำให้คุณรู้สึกว่าไม่ว่าคุณจะแนะนำการดำเนินการตัวเลขอย่างไร การดำเนินการดังกล่าวจะเป็นการสับเปลี่ยนและการเชื่อมโยงเสมอ อย่าเพิ่งด่วนสรุป
ลองพิจารณาการดำเนินการอีกครั้งหนึ่ง ลองเขียนแทนด้วย "o" และเรียกมันว่าการดำเนินการ "วงกลม" ถูกกำหนดโดยตาราง:
ลองหารูปแบบตามที่ตารางนี้รวบรวมมาครับ ตามรูปแบบนี้ ให้ป้อนผลลัพธ์ที่ขาดหายไปในตาราง การดำเนินการ "o" จะเป็นพีชคณิตหรือไม่? พิสูจน์ว่าการดำเนินการ “o” สับเปลี่ยน. อย่างไรก็ตามการดำเนินการครั้งนี้ ไม่เชื่อมโยง! หากต้องการยืนยัน ให้เลือกตัวเลขสามตัว ม, nและ เค, ซึ่ง มโอ( nโอ เค) ¹ ( มโอ n)o เค.
ปเราขอแนะนำให้คุณรู้จักกับการดำเนินการอื่น: -
เรามาแนะนำมันกับเซตของจำนวนธรรมชาติดังนี้: ม - n = ม n .
ตัวอย่างเช่น 2 - 3 = 2 3 = 8; 3 - 2 = 3 2 = 9
การดำเนินการ “-” จะเป็นพีชคณิตหรือไม่ ตัวอย่างข้างต้นก็เพียงพอแล้วเพื่อให้แน่ใจว่าการดำเนินการใหม่ ไม่ใช่การสับเปลี่ยน.
คำนวณผลลัพธ์ของการดำเนินการ
2 - (1 - 3) แล้วตรวจสอบความเท่าเทียมกัน 2 - (1 - 3) =
= (2 - 1) - 3. หากคุณทำทุกอย่างถูกต้องคุณสามารถพูดได้ว่าการดำเนินการคือ "-" ไม่เชื่อมโยง.
1. การดำเนินการของการบวกและการคูณบนเซตพีชคณิตคือ:
ก) ตัวเลขคู่; b) เลขคี่?
2. การดำเนินการลบบนเซตพีชคณิตหรือไม่?
ก) จำนวนธรรมชาติ ข) จำนวนเต็ม?
3. การดำเนินการหารบนเซตพีชคณิตหรือไม่?
ก) จำนวนเต็มที่ไม่ใช่ศูนย์;
b) จำนวนตรรกยะที่ไม่เป็นศูนย์?
4. แสดงว่าการดำเนินการ
xดี ย = x + ย – 3
5. แสดงว่าการดำเนินการ
x Ñ ย = x + ย – เอ็กซ์ซี
เป็นพีชคณิตบนเซตของจำนวนเต็มทั้งหมด การดำเนินการนี้จะเชื่อมโยงและ/หรือสับเปลี่ยนหรือไม่
6. โดยการเปรียบเทียบกับตารางพีทาโกรัส ให้สร้างตารางของคุณเองโดยกำหนดการดำเนินการ “à” บนตัวเลข (0, 1, 2, 3, 4) ผลลัพธ์ ม à nการดำเนินงานจำนวน มและ nในตารางนี้ควรเท่ากับส่วนที่เหลือของผลิตภัณฑ์ปกติหารด้วย 5 นาที.
การดำเนินการ "a" จะเป็นพีชคณิตหรือไม่? ถ้าเป็นเช่นนั้น มันจะเป็นแบบเชื่อมโยงและ/หรือแบบสับเปลี่ยนหรือไม่?
7. ลองนึกถึงตัวอย่างการดำเนินการกับตัวเลขของคุณเอง
อันไหนจะเป็นพีชคณิต? การดำเนินการทางพีชคณิตใดของคุณที่จะเชื่อมโยงและ/หรือสับเปลี่ยน?
สำหรับผู้ที่ต้องการโต้ตอบกับเพื่อนอย่างลับๆ
เกี่ยวกับวันหนึ่งโฟมาได้รับโทรเลขจากเพื่อนคนหนึ่งของเขา
โทมัสคือใคร? เกี่ยวกับ! นี้ บุคลิกที่โดดเด่นมาก เขาไม่ฟังคำใคร เขาพยายามทำทุกอย่างในแบบของเขาเอง ในด้านหนึ่ง เขาชอบที่จะค้นหาวิธีแก้ปัญหาใหม่ๆ สำหรับปัญหาเก่าๆ และในทางกลับกัน เขาชอบที่จะใช้ความรู้เก่าๆ เพื่อเอาชนะความยากลำบากใหม่ๆ ชอบอ่านหนังสือคณิตศาสตร์หลายๆ เล่ม มองหาสถานการณ์ที่ไม่เป็นไปตามมาตรฐานและหาทางออกจากสถานการณ์เหล่านั้น และที่สำคัญที่สุดเขาชอบสร้างสถานการณ์เช่นนี้ด้วยตัวเอง
ดังนั้นโทรเลขจึงดูแปลกไป นี่คือสิ่งที่กล่าวว่า:
“ยัจเซร์ปอนชอร์เมดจ์”
คุณสามารถ “อ่าน” ข้อความนี้ได้หรือไม่? หลังจากคิดเพียงเล็กน้อย โฟมาก็เข้าใจความลับของโทรเลขนี้ มีคำเชิญให้เยี่ยมชม เขาตัดสินใจตอบด้วยจิตวิญญาณเดียวกัน ฉันเขียนโทรเลขตอบกลับและเข้ารหัสด้วยวิธีเดียวกัน ผลลัพธ์คือมีบันทึกเป็นสองบรรทัด: “ฉันจะมาพบคุณในวันเสาร์” “hetyachertsvutobbusvudeirp”
อย่างไรก็ตาม Foma ต้องการสร้างการเข้ารหัสที่น่าสนใจกว่านี้ เขาแบ่งข้อความในโทรเลขของเขาออกเป็นสองส่วนเท่า ๆ กัน และเข้ารหัสแต่ละส่วนโดยใช้วิธีเก่า:
“ฉันจะมาถึงวันเสาร์ “obbuswoodeirp | พบคุณ", นี่คือปีศาจ” |
ปหลังจากการเข้ารหัสเสร็จสิ้น Foma ต้องการดำเนินการโต้ตอบทั้งหมดกับเพื่อนของเขาในรูปแบบข้อความที่เข้ารหัสเท่านั้น โดยเปลี่ยนวิธีการเข้ารหัสเป็นครั้งคราว ดังนั้นเขาจึงมุ่งมั่นพัฒนารหัสอย่างกระตือรือร้น
เขาตัดสินใจแทนที่ตัวอักษรของข้อความต้นฉบับด้วยหมายเลขตำแหน่งที่ตัวอักษรเหล่านี้ครอบครอง นี่คือรายการหมายเลขที่ Foma ได้รับจากโทรเลขของเพื่อน: (1, 2, 3, ..., 18)
จากนั้นเขาก็สังเกตเห็นว่าไซเฟอร์เท็กซ์แตกต่างจากต้นฉบับเฉพาะในลำดับตัวอักษรที่เปลี่ยนแปลงเท่านั้น ลำดับของตัวอักษรที่เปลี่ยนแปลงนั้นดูง่ายโดยใช้หมายเลขตำแหน่งเดียวกัน ตัวอย่างเช่น ขณะนี้ Foma สามารถนำเสนอข้อความที่เข้ารหัสของโทรเลขของเพื่อนในรูปแบบของรายการ: (18, 17, 16, ..., 3, 2, 1)
การเปรียบเทียบทั้งสองรายการนี้ให้กุญแจสำคัญในการเข้ารหัสข้อความ: 
.
รายการสัญลักษณ์อ่านดังนี้: “1 ไปที่ 18” (มักใช้สัญลักษณ์อื่นแทน: 1 ® 18)
ทิศทางของลูกศรเป็นตัวกำหนดลำดับ การเข้ารหัสข้อความ. ตัวอย่างเช่น ตัวอักษรที่ปรากฏในตำแหน่งแรกในไซเฟอร์เท็กซ์ควรอยู่ในตำแหน่งที่ 18 ในไซเฟอร์เท็กซ์
หากทิศทางของลูกศรเปลี่ยนไปตรงกันข้าม ตารางสองบรรทัดเดียวกันจะกำหนดลำดับ ใบรับรองผลการเรียนข้อความ. ตัวอย่างเช่น ตัวอักษรที่ปรากฏในไซเฟอร์เท็กซ์ในตำแหน่งที่ 18 จะต้องอยู่ในตำแหน่งแรกในข้อความที่ถอดรหัส
สุดท้ายนี้ หากบรรทัดแรกเชื่อมโยงกับข้อความต้นฉบับเสมอ ก็ไม่จำเป็นต้องใช้ลูกศร (เมื่อเข้ารหัส ข้อความต้นฉบับจะเป็นไซเฟอร์เท็กซ์ และเมื่อถอดรหัส ไซเฟอร์เท็กซ์จะเป็นไซเฟอร์เท็กซ์)
เมื่อเข้าใจทั้งหมดนี้แล้ว Foma ก็รีบจดกุญแจสำหรับการเข้ารหัสที่สองของโทรเลขของเขาอย่างรวดเร็ว:
.
สิ่งที่เหลืออยู่ก็คือการรายงานมัน
กุญแจนี้ให้เพื่อนของคุณ - และรับประกันความลับในการติดต่อสื่อสาร!
หากคุณเข้าใจแนวคิดของ Thomas นี่คือคำขวัญของเขาในรูปแบบที่เข้ารหัส:
“ขนนก”
มันถูกเข้ารหัสด้วยกุญแจ:
คุณคงเดาอยู่แล้วว่าคุณสามารถสร้างคีย์เข้ารหัสประเภทนี้ได้มากมาย แต่ละรายการสามารถแสดงเป็นตารางสองแถวได้:
.
บรรทัดบนสุดประกอบด้วยตัวเลขธรรมชาติทั้งหมดตั้งแต่ 1 ถึง nตามลำดับจากน้อยไปหามาก บรรทัดล่างได้มาจากการจัดเรียงตัวเลขใหม่จากบรรทัดบนสุด เรียกว่าทั้งตาราง การทดแทนคำสั่งซื้อn .
ในกลับมาที่โทมัสกันเถอะ การใช้การทดแทนคีย์
เขาเข้ารหัสข้อความคำเดียวและส่งไปให้เพื่อน เขาเข้ารหัสข้อความที่ไม่ได้เข้ารหัสอีกครั้ง แต่ใช้คีย์อื่น:
.
เขาจ่าหน้าผลลัพธ์ข้อความเข้ารหัสสองครั้งถึงคุณ:
“สโนว์”
ถอดรหัสข้อความนี้
คุณสามารถดำเนินการถอดรหัสให้เสร็จสิ้นเร็วขึ้นมากหากคุณทราบวิธีการดำเนินการเชิงพีชคณิตในการทดแทน การดำเนินการนี้เรียกว่า การทดแทนการคูณ. (หรือจะเรียกอย่างอื่นก็ได้หากต้องการ เนื่องจากไม่เกี่ยวกับการคูณตัวเลขธรรมดา)
ลองดูตัวอย่างวิธีการทำ เรามาคูณการทดแทนที่ใช้ในการเข้ารหัสข้อความไปที่ Foma:
.
ขั้นตอนการคูณลงมาที่การทดแทนตามลำดับ
ในการทดแทนครั้งแรก ( ก) 1 ® 5;
ในการทดแทนครั้งที่สอง ( ใน) 5 ® 1.
ผลลัพธ์ที่ได้คือ: 1 ® 1
ในทำนองเดียวกันจาก "2 ® 2" และ "2 ® 3" จะเป็นดังนี้: "2 ® 3" การดำเนินการโต้แย้งประเภทนี้อีกสามข้อเราได้รับการทดแทนผลิตภัณฑ์
.
โปรดทราบว่าผลิตภัณฑ์ถูกกำหนดไว้ สำหรับการทดแทนที่มีจำนวนคอลัมน์เท่ากันเท่านั้น
การใช้การทดแทน เอบีในฐานะผู้เข้ารหัส คุณสามารถดำเนินการได้ในคราวเดียว ถอดรหัสข้อความของโทมัส "snoas" ในขณะเดียวกันก็ควบคุมตัวเองด้วย
หากคุณสนใจ คุณสามารถสร้างการแทนที่ตัวเข้ารหัสข้อความของคุณเองและดำเนินการโต้ตอบลับกับเพื่อน ๆ ได้
ขณะถอดรหัสข้อความ คุณเริ่มคุ้นเคยกับการดำเนินการเกี่ยวกับพีชคณิตในวัตถุใหม่ - การทดแทน
อีหากคุณคนใดสนใจไม่เพียงแค่การเข้ารหัสเท่านั้น แต่ยังรวมถึงการทดแทนด้วย คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับพวกเขาได้ดีขึ้นโดยทำภารกิจต่อไปนี้ให้เสร็จสิ้น
1. ค้นหาผลิตภัณฑ์ของการทดแทน:
2. หาชิ้นส่วน เวอร์จิเนียการทดแทน กและ ในกล่าวถึงข้างต้น การใช้การทดแทน เวอร์จิเนียเหมือนคนเขียนโค้ด ถอดรหัสมีข้อความ "snoas" อีกครั้ง เปรียบเทียบข้อความที่ถอดรหัสกับผลลัพธ์ของการถอดรหัสครั้งก่อน
หากคุณทำภารกิจที่ 2 เสร็จแล้ว คุณจะสามารถบอกได้ว่าการคูณการแทนที่มีคุณสมบัติหรือไม่ การสับเปลี่ยน.
แสดงว่าการคูณการทดแทนมีคุณสมบัติ การเชื่อมโยง.
ก่อนที่เราจะไปยังงานต่อไป เรามาดูคุณสมบัติทั่วไปบางประการของการทดแทนกันก่อน
การแทน
เรียกว่า เหมือนกัน. มันเขียนแทนด้วย อี.
ตามที่คุณสามารถสร้างได้อย่างง่ายดาย การทดแทนที่เหมือนกันจะไม่เปลี่ยนข้อความของข้อความ ในกรณีนี้ข้อความจะเป็นข้อความที่ชัดเจน
ชุดเปิดและปิด
ภาคผนวก 1 . ชุดเปิดและปิด
พวงของ มบนเส้นตรงเรียกว่า เปิดหากแต่ละจุดอยู่ในเซตนี้พร้อมกับช่วงเวลาหนึ่ง ปิดเป็นเซตที่มีจุดจำกัดทั้งหมด (กล่าวคือ ช่วงใดๆ ที่มีจุดนี้ตัดกับเซตอย่างน้อยอีกหนึ่งจุด) ตัวอย่างเช่น เซ็กเมนต์เป็นเซ็ตปิด แต่ไม่ได้เปิด และช่วงเวลาตรงกันข้าม เป็นเซ็ตเปิด แต่ไม่ได้ปิด มีเซ็ตที่ไม่เปิดหรือปิด (เช่น ครึ่งช่วง) มีสองชุดที่ทั้งปิดและเปิด - ว่างเปล่าก็แค่นั้นแหละ ซี(พิสูจน์ว่าไม่มีคนอื่น) มันง่ายที่จะเห็นว่าถ้า มเปิด จากนั้น [` ม] (หรือ ซี \ ม- นอกเหนือจากชุด มก่อน ซี) ถูกปิด. จริงๆ แล้ว ถ้า [` ม] ไม่ถูกปิด ดังนั้นจึงไม่มีจุดจำกัดใดๆ ในตัวมันเอง ม. แต่แล้ว มเกี่ยวกับ มและแต่ละช่วงประกอบด้วย มตัดกับเซต [` ม] นั่นคือมีประเด็นที่ไม่โกหก มและสิ่งนี้ขัดแย้งกับความจริงที่ว่า ม- เปิด. ในทำนองเดียวกันโดยตรงจากคำจำกัดความก็พิสูจน์ได้ว่าถ้า มปิดแล้ว [` ม] เปิด (ตรวจสอบ!)
ตอนนี้เราจะพิสูจน์ทฤษฎีบทที่สำคัญต่อไปนี้
ทฤษฎีบท. ชุดเปิดชุดไหนก็ได้ มสามารถแสดงเป็นการรวมกันของช่วงที่มีการสิ้นสุดแบบตรรกยะ (นั่นคือ ปลายที่จุดที่เป็นตรรกยะ)
การพิสูจน์ . พิจารณาสหภาพ ยูช่วงทั้งหมดที่มีจุดสิ้นสุดที่เป็นตรรกยะซึ่งเป็นสับเซตของเซตของเรา ให้เราพิสูจน์ว่าสหภาพนี้เกิดขึ้นพร้อมกันกับเซตทั้งหมด จริงๆ แล้วถ้า. ม- มีบางจุดจาก มแล้วจะมีช่วงเวลา ( ม 1 , ม 2) ม มซึ่งประกอบด้วย ม(ซึ่งสืบเนื่องมาจากข้อเท็จจริงที่ว่า ม- เปิด). คุณสามารถหาจุดที่มีเหตุผลได้ในช่วงเวลาใดก็ได้ ปล่อยให้ ( ม 1 , ม) - นี้ ม 3 บน ( ม, ม 2) – นี่คือ ม 4. แล้วชี้. มครอบคลุมโดยสหภาพ ยูกล่าวคือช่วงเวลา ( ม 3 , ม 4) ดังนั้นเราจึงได้พิสูจน์ให้เห็นแล้วว่าแต่ละจุด มจาก มครอบคลุมโดยสหภาพ ยู. อีกทั้งตามที่เห็นได้จากการก่อสร้าง ยูไม่มีจุดใดที่ไม่มีอยู่ใน ม, ไม่ครอบคลุม ยู. วิธี, ยูและ มจับคู่.
ผลลัพธ์ที่สำคัญของทฤษฎีบทนี้ก็คือข้อเท็จจริงที่ว่าเซตเปิดใดๆ ก็ตาม นับได้รวมช่วงเวลา
ไม่มีเซตและเซตของการวัดที่หนาแน่นไม่มีที่ไหนเลย ชุดคันทอร์>
ภาคผนวก 2 . ไม่มีเซตและเซตของการวัดที่หนาแน่นไม่มีที่ไหนเลย ชุดคันทอร์
พวงของ กเรียกว่า ไม่มีที่ไหนหนาแน่นหากเป็นจุดที่แตกต่างกัน กและ ขมีส่วน [ ค, ง] ม [ ก, ข] ไม่ตัดกับ ก. เช่น เซตของจุดในลำดับ ก n = [ 1/(n)] ไม่มีความหนาแน่นเลย แต่เซตของจำนวนตรรกยะกลับไม่มีความหนาแน่น
ทฤษฎีบทของแบร์ เซ็กเมนต์ไม่สามารถแสดงเป็นการรวมกันนับได้ของเซตหนาแน่นไม่มีที่ไหนเลย
การพิสูจน์ . สมมติว่ามีลำดับ ก เคไม่มีที่ไหนเลยที่หนาแน่นเช่นนั้นและ ฉัน ก ฉัน = [ก, ข] มาสร้างลำดับของเซ็กเมนต์ต่อไปนี้กัน อนุญาต ฉัน 1 – บางส่วนฝังอยู่ใน [ ก, ข] และไม่ตัดกับ ก 1. ตามคำนิยาม ไม่มีความหนาแน่นใด ๆ เกิดขึ้นในช่วงเวลาหนึ่ง ฉัน 1 มีส่วนที่ไม่ตัดกับเซต ก 2. ลองโทรหาเขาสิ ฉัน 2. นอกจากนี้ในส่วนของ ฉัน 2 ในทำนองเดียวกันใช้ส่วนนี้ ฉัน 3 ไม่ตัดกับ ก 3 เป็นต้น ลำดับ ฉัน เคส่วนที่ซ้อนกันมีจุดร่วม (นี่คือหนึ่งในคุณสมบัติหลักของจำนวนจริง) โดยการก่อสร้าง จุดนี้ไม่ได้อยู่ที่ฉากใดๆ ก เคซึ่งหมายความว่าชุดเหล่านี้ไม่ครอบคลุมทั้งส่วน [ ก, ข].
มาเรียกชุดกันดีกว่า ม มีการวัดเป็นศูนย์ถ้ามีลำดับเป็นบวกใดๆ ฉัน เคช่วงที่มีความยาวรวมน้อยกว่า e ครอบคลุม ม. แน่นอนว่าเซตนับได้ใดๆ จะมีค่าเป็นศูนย์ อย่างไรก็ตาม ยังมีเซตนับไม่ได้ที่มีหน่วยวัดเป็นศูนย์อีกด้วย มาสร้างอันหนึ่งที่โด่งดังมาก เรียกว่า คันทอร์กัน
|
|
| ข้าว. สิบเอ็ด |
มาดูส่วนกัน ลองแบ่งเป็นสามส่วนเท่าๆ กัน โยนส่วนตรงกลางออกไป (รูปที่ 11, ก). จะมีสองส่วนของความยาวทั้งหมด [2/3] เราจะดำเนินการแบบเดียวกันกับแต่ละอันทุกประการ (รูปที่ 11, ข). จะเหลือสี่ส่วนที่มีความยาวรวม [ 4/9] = ([ 2/3]) \ B 2 . ต่อไปแบบนี้ (รูปที่ 11, วี–จ) จนถึงระยะอนันต์ เราได้เซตที่มีการวัดน้อยกว่าการวัดเชิงบวกใดๆ ที่กำหนดไว้ล่วงหน้า เช่น วัดเป็นศูนย์ เป็นไปได้ที่จะสร้างการติดต่อแบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างจุดของเซตนี้กับลำดับอนันต์ของศูนย์และจุด หากในช่วง "โยน" ครั้งแรกจุดของเราตกอยู่ในส่วนที่ถูกต้องเราจะใส่ 1 ไว้ที่จุดเริ่มต้นของลำดับหากทางซ้าย - 0 (รูปที่ 11, ก). ต่อไป หลังจากการ "โยนทิ้ง" ครั้งแรก เราจะได้สำเนาเล็ก ๆ ของส่วนใหญ่ ซึ่งเราทำสิ่งเดียวกัน: หากประเด็นของเราหลังจากโยนออกไป ตกอยู่ในส่วนที่ถูกต้อง เราจะใส่ 1 ถ้าอยู่ทางซ้าย – 0 เป็นต้น (ตรวจสอบความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่ง) ข้าว สิบเอ็ด, ข, วี. เนื่องจากเซตของลำดับของเลขศูนย์และลำดับมีความต่อเนื่องของคาร์ดินาลลิตี ชุดคันทอร์จึงมีความต่อเนื่องของคาร์ดินัลลิตีด้วย นอกจากนี้ยังพิสูจน์ได้ง่ายว่าไม่หนาแน่นทุกที่ อย่างไรก็ตาม ไม่เป็นความจริงที่มีการวัดที่เข้มงวดเป็นศูนย์ (ดูคำจำกัดความของการวัดที่เข้มงวด) แนวคิดในการพิสูจน์ข้อเท็จจริงนี้มีดังนี้: ทำตามลำดับ ก nมีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์อย่างรวดเร็ว ตัวอย่างเช่นลำดับ ก n = [ 1/(2 2 n)]. จากนั้นเราจะพิสูจน์ว่าลำดับนี้ไม่สามารถครอบคลุมเซตคันเตอร์ได้ (ทำเลย!)
ภาคผนวก 3 . งาน
ตั้งค่าการดำเนินการ
ชุด กและ บีถูกเรียกว่า เท่ากันถ้าแต่ละองค์ประกอบของเซต กเป็นของชุด บี, และในทางกลับกัน. การกำหนด: ก = บี.
พวงของ กเรียกว่า เซตย่อยชุด บีถ้าแต่ละองค์ประกอบของเซต กเป็นของชุด บี. การกำหนด: กม บี.
1.
สำหรับแต่ละสองชุดต่อไปนี้ ให้ระบุว่าชุดหนึ่งเป็นส่วนย่อยของชุดอื่นหรือไม่:
|
2. พิสูจน์ว่าเซตนี้ กถ้าหากว่าเป็นสับเซตของเซต บีเมื่อทุกธาตุไม่เข้าข่าย บีไม่เข้าข่าย ก.
3. พิสูจน์ว่าสำหรับเซตใดเซตหนึ่ง ก, บีและ ค
ก) กม ก; ข) ถ้า กม บีและ บีม ค, ที่ กม ค;
วี) ก = บีถ้าและหากเท่านั้น กม บีและ บีม ก.
ชุดนี้มีชื่อว่า ว่างเปล่าหากไม่มีองค์ประกอบใดๆ การกำหนด: F.
4.
แต่ละชุดต่อไปนี้มีองค์ประกอบจำนวนเท่าใด:
|
5. เซตของสมาชิก 3 ตัวมีเซตย่อยได้กี่ตัว?
6. เซตหนึ่งๆ สามารถมี a) 0; ข*) 7; ค) 16 ชุดย่อย?
สมาคมชุด กและ บี x, อะไร xเกี่ยวกับ กหรือ xเกี่ยวกับ บี. การกำหนด: กและ บี.
โดยการข้ามชุด กและ บีเรียกว่าชุดที่ประกอบด้วยสิ่งเหล่านั้น x, อะไร xเกี่ยวกับ กและ xเกี่ยวกับ บี. การกำหนด: กซี บี.
โดยความแตกต่างชุด กและ บีเรียกว่าชุดที่ประกอบด้วยสิ่งเหล่านั้น x, อะไร xเกี่ยวกับ กและ xป บี. การกำหนด: ก \ บี.
7. ชุดที่ให้มา ก = {1,3,7,137}, บี = {3,7,23}, ค = {0,1,3, 23}, ดี= (0,7,23,1998) ค้นหาชุด:
| ก) กและ บี; | ข) กซี บี; | วี) ( กซี บี)และ ดี; |
| ช) คซี ( ดีซี บี); | ง) ( กและ บี)ซ ( คและ ดี); | จ) ( กและ ( บีซี ค))Z ดี; |
| และ) ( คซี ก)และ (( กและ ( คซี ดี))Z บี); | ชม) ( กและ บี) \ (คซี ดี); | และ) ก \ (บี \ (ค \ ดี)); |
| ถึง) (( ก \ (บีและ ดี)) \ ค)และ บี. |
8. อนุญาต กคือเซตของจำนวนคู่ และ บี– ชุดตัวเลขที่หารด้วย 3 ลงตัว ค้นหา กซี บี.
9. พิสูจน์ว่าเซตใดๆ ก, บี, ค
ก) กและ บี = บีและ ก, กซี บี = บีซี ก;
ข) กและ ( บีและ ค) = (กและ บี)และ ค, กซี ( บีซี ค) = (กซี บี)ซ ค;
วี) กซี ( บีและ ค) = (กซี บี)และ ( กซี ค), กและ ( บีซี ค) = (กและ บี)ซ ( กและ ค);
ช) ก \ (บีและ ค) = (ก \ บี)ซ ( ก \ ค), ก \ (บีซี ค) = (ก \ บี)และ ( ก \ ค).
10. จริงมั้ยว่าชุดไหนๆ. ก, บี, ค
| ก) ก Z ZH = ฉ กไอ เอฟ = ก; | ข) กและ ก = ก, กซี ก = ก; | วี) กซี บี = กย กม บี; |
| ก) ( ก \ บี)และ บี = ก; 7 วัน) ก \ (ก \ บี) = กซี บี; | จ) ก \ (บี \ ค) = (ก \ บี)และ ( กซี ค); | |
| และ) ( ก \ บี)และ ( บี \ ก) = กและ บี? |
ตั้งค่าการแมป
หากแต่ละองค์ประกอบ xชุด เอ็กซ์มีการจับคู่องค์ประกอบเดียวเท่านั้น ฉ(x) ชุด ยแล้วพวกเขาก็บอกว่าได้รับ แสดง ฉจากหลาย ๆ คน เอ็กซ์เข้าสู่ฝูงชน ย. ในขณะเดียวกันหาก ฉ(x) = ยจากนั้นองค์ประกอบ ยเรียกว่า ทางองค์ประกอบ xเมื่อแสดง ฉและองค์ประกอบ xเรียกว่า ต้นแบบองค์ประกอบ ยเมื่อแสดง ฉ. การกำหนด: ฉ: เอ็กซ์ ® ย.
11. วาดการแมปที่เป็นไปได้ทั้งหมดจากเซต (7,8,9) ไปยังเซต (0,1)
อนุญาต ฉ: เอ็กซ์ ® ย, ยเกี่ยวกับ ย, กม เอ็กซ์, บีม ย. ต้นแบบเต็มรูปแบบขององค์ประกอบ ย เมื่อแสดง ฉเรียกว่าชุด ( xเกี่ยวกับ เอ็กซ์ | ฉ(x) = ย). การกำหนด: ฉ - 1 (ย). ภาพลักษณ์ของคนหมู่มาก กม เอ็กซ์ เมื่อแสดง ฉเรียกว่าชุด ( ฉ(x) | xเกี่ยวกับ ก). การกำหนด: ฉ(ก). ต้นแบบของชุด บีม ย เรียกว่าชุด ( xเกี่ยวกับ เอ็กซ์ | ฉ(x) เกี่ยวกับ บี). การกำหนด: ฉ - 1 (บี).
12. เพื่อแสดงผล ฉ: (0,1,3,4) ® (2,5,7,18) ตามภาพ หา ฉ({0,3}), ฉ({1,3,4}), ฉ - 1 (2), ฉ - 1 ({2,5}), ฉ - 1 ({5,18}).
| ก บี ค) |
13. อนุญาต ฉ: เอ็กซ์ ® ย, ก 1 , ก 2 ม เอ็กซ์, บี 1 , บี 2 ม ย. เป็นเรื่องจริงเสมอไปหรือเปล่า.
ก) ฉ(เอ็กซ์) = ย;
ข) ฉ - 1 (ย) = เอ็กซ์;
วี) ฉ(ก 1 ฉัน ก 2) = ฉ(ก 1)และ ฉ(ก 2);
ช) ฉ(ก 1 วัตต์ ก 2) = ฉ(ก 1)ซ ฉ(ก 2);
ง) ฉ - 1 (บี 1 ฉัน บี 2) = ฉ - 1 (บี 1)และ ฉ - 1 (บี 2);
จ) ฉ - 1 (บี 1 วัตต์ บี 2) = ฉ - 1 (บี 1)ซ ฉ - 1 (บี 2);
ก) ถ้า ฉ(ก 1ม ฉ(ก 2) จากนั้น ก 1ม ก 2 ;
ซ) ถ้า ฉ - 1 (บี 1ม ฉ - 1 (บี 2) จากนั้น บี 1ม บี 2 ?
องค์ประกอบการแมป ฉ: เอ็กซ์ ® ยและ ก: ย ® ซีเรียกว่าการทำแผนที่ที่เชื่อมโยงองค์ประกอบ xชุด เอ็กซ์องค์ประกอบ ก(ฉ(x)) ชุด ซี. การกำหนด: ก° ฉ.
14. พิสูจน์สิ่งนั้นสำหรับการแมปตามอำเภอใจ ฉ: เอ็กซ์ ® ย, ก: ย ® ซีและ ชม.: ซี ® วต่อไปนี้เสร็จสิ้น: ชม.° ( ก° ฉ) = (ชม.° ก)° ฉ.
15. อนุญาต ฉ: (1,2,3,5) ® (0,1,2), ก: (0,1,2) ® (3,7,37,137), ชม.: (3,7,37,137) ® (1,2,3,5) – การแมปดังแสดงในรูป:
| ฉ: ก: ชม.: |
วาดภาพเพื่อแสดงดังต่อไปนี้:
ก) ก° ฉ; ข) ชม.° ก; วี) ฉ° ชม.° ก; ช) ก° ชม.° ฉ.
แสดง ฉ: เอ็กซ์ ® ยเรียกว่า วัตถุประสงค์ถ้าสำหรับแต่ละ ยเกี่ยวกับ ยมีอยู่อันหนึ่งจริงๆ xเกี่ยวกับ เอ็กซ์ดังนั้น ฉ(x) = ย.
16. อนุญาต ฉ: เอ็กซ์ ® ย, ก: ย ® ซี. จริงมั้ยถ้า. ฉและ กเป็นอคติแล้ว ก° ฉเชิงอัตวิสัย?
17. อนุญาต ฉ: (1,2,3) ® (1,2,3), ก: (1,2,3) ® (1,2,3) – การแมปที่แสดงในภาพ:
18. สำหรับแต่ละสองชุดต่อไปนี้ ให้ค้นหาว่ามีการบิดเบี้ยวจากชุดแรกถึงชุดที่สองหรือไม่ (สมมติว่าศูนย์เป็นจำนวนธรรมชาติ):
ก) เซตของจำนวนธรรมชาติ
b) เซตของจำนวนธรรมชาติคู่
c) เซตของจำนวนธรรมชาติที่ไม่มีเลข 3
พื้นที่เมตริกเรียกว่าชุด เอ็กซ์ด้วยการให้ เมตริกร: เอ็กซ์× เอ็กซ์ ® ซี
1) " x,ยเกี่ยวกับ เอ็กซ์ร ( x,ย) ฉัน 0 และ r ( x,ย) = 0 ถ้าและถ้าเท่านั้น x = ย (ไม่ใช่เชิงลบ ); 2) " x,ยเกี่ยวกับ เอ็กซ์ร ( x,ย) = ร ( ย,x) (สมมาตร ); 3) " x,ย,zเกี่ยวกับ เอ็กซ์ร ( x,ย) + ร ( ย,z) ฉัน ( x,z) (อสมการสามเหลี่ยม ). 19 19. เอ็กซ์
ก) เอ็กซ์ = ซี, ร ( x,ย) = | x - ย| ;
ข) เอ็กซ์ = ซี 2 , ร 2 (( x 1 ,ย 1),(x 2 ,ย 2)) = ค (( x 1 - x 2) 2 + (ย 1 - ย 2) 2 };
วี) เอ็กซ์ = ค[ก,ขก,ข] ฟังก์ชั่น,
เปิด(ตามลำดับ ปิด) ลูกบอลรัศมี รในที่ว่าง เอ็กซ์มีศูนย์กลางที่จุดหนึ่ง xเรียกว่าชุด ยู ร (x) = {ยเกี่ยวกับ x:r ( x,ย) < ร) (ตามลำดับ บี ร (x) = {ยเกี่ยวกับ เอ็กซ์:r ( x,ย) Ј ร}).
จุดภายในชุด ยูม เอ็กซ์ ยู
เปิด สภาพแวดล้อมจุดนี้
จุดจำกัดชุด เอฟม เอ็กซ์ เอฟ.
ปิด
20. พิสูจน์ว่า
21. พิสูจน์ว่า
b) การรวมกันของชุด ก ไฟฟ้าลัดวงจร ก
แสดง ฉ: เอ็กซ์ ® ยเรียกว่า อย่างต่อเนื่อง
22.
23. พิสูจน์ว่า
เอฟ (x) = อินฟ ยเกี่ยวกับ เอฟร ( x,ย
เอฟ.
24. อนุญาต ฉ: เอ็กซ์ ® ย– . จริงหรือไม่ที่ความผกผันของมันต่อเนื่องกัน?
การทำแผนที่แบบหนึ่งต่อหนึ่งอย่างต่อเนื่อง ฉ: เอ็กซ์ ® ย โฮมมอร์ฟิซึม. ช่องว่าง เอ็กซ์, ยโฮโมมอร์ฟิก.
25.
26. เพื่อคู่รักคนไหน? เอ็กซ์, ย ฉ: เอ็กซ์ ® ย, ที่ ไม่ติดกันคะแนน (เช่น ฉ(x) № ฉ(ย) ที่ x № ย การลงทุน)?
27*. โฮมมอร์ฟิซึมในท้องถิ่น(เช่นในแต่ละจุด xเครื่องบินและ ฉ(x) พรู มีละแวกใกล้เคียงดังกล่าว ยูและ วี, อะไร ฉแผนที่แบบชีวสัณฐาน ยูบน วี).
ปริภูมิเมตริกและการแมปต่อเนื่อง
พื้นที่เมตริกเรียกว่าชุด เอ็กซ์ด้วยการให้ เมตริกร: เอ็กซ์× เอ็กซ์ ® ซีเป็นไปตามสัจพจน์ต่อไปนี้:
1) " x,ยเกี่ยวกับ เอ็กซ์ร ( x,ย) ฉัน 0 และ r ( x,ย) = 0 ถ้าและถ้าเท่านั้น x = ย (ไม่ใช่เชิงลบ ); 2) " x,ยเกี่ยวกับ เอ็กซ์ร ( x,ย) = ร ( ย,x) (สมมาตร ); 3) " x,ย,zเกี่ยวกับ เอ็กซ์ร ( x,ย) + ร ( ย,z) ฉัน ( x,z) (อสมการสามเหลี่ยม ). 28. จงพิสูจน์ว่าคู่ต่อไปนี้ ( เอ็กซ์,r ) คือช่องว่างหน่วยเมตริก:
ก) เอ็กซ์ = ซี, ร ( x,ย) = | x - ย| ;
ข) เอ็กซ์ = ซี 2 , ร 2 (( x 1 ,ย 1),(x 2 ,ย 2)) = ค (( x 1 - x 2) 2 + (ย 1 - ย 2) 2 };
วี) เอ็กซ์ = ค[ก,ข] – ชุดของต่อเนื่องบน [ ก,ข] ฟังก์ชั่น,
เปิด(ตามลำดับ ปิด) ลูกบอลรัศมี รในที่ว่าง เอ็กซ์มีศูนย์กลางที่จุดหนึ่ง xเรียกว่าชุด ยู ร (x) = {ยเกี่ยวกับ x:r ( x,ย) < ร) (ตามลำดับ บี ร (x) = {ยเกี่ยวกับ เอ็กซ์:r ( x,ย) Ј ร}).
จุดภายในชุด ยูม เอ็กซ์คือจุดที่มีอยู่ในนั้น ยูพร้อมกับลูกบอลที่มีรัศมีไม่เป็นศูนย์
ชุดที่มีจุดภายในเรียกว่าชุดทั้งหมด เปิด. เซตเปิดที่มีจุดที่กำหนดเรียกว่า สภาพแวดล้อมจุดนี้
จุดจำกัดชุด เอฟม เอ็กซ์เป็นจุดที่ทำให้ย่านใกล้เคียงใดๆ มีจำนวนจุดของเซตจำนวนนับไม่ถ้วน เอฟ.
เซตที่มีจุดจำกัดทั้งหมดเรียกว่า ปิด(เปรียบเทียบคำจำกัดความนี้กับคำจำกัดความที่ให้ไว้ในภาคผนวก 1)
29. พิสูจน์ว่า
ก) เซ็ตจะเปิดก็ต่อเมื่อส่วนประกอบของมันปิดเท่านั้น
b) การเชื่อมต่ออันจำกัดและจุดตัดนับได้ของเซตปิดถูกปิด
c) การรวมนับได้และจุดตัดอันจำกัดของเซตเปิดเปิดอยู่
30. พิสูจน์ว่า
ก) เซตของขีดจำกัดของเซตใด ๆ จะเป็นเซตปิด
b) การรวมกันของชุด กและเซตของจุดจำกัด ( ไฟฟ้าลัดวงจร ก) เป็นเซตปิด
แสดง ฉ: เอ็กซ์ ® ยเรียกว่า อย่างต่อเนื่องหากภาพผกผันของทุกชุดที่เปิดอยู่เปิดอยู่
31. พิสูจน์ว่าคำจำกัดความนี้สอดคล้องกับคำจำกัดความของความต่อเนื่องของฟังก์ชันบนบรรทัด
32. พิสูจน์ว่า
a) ระยะทางในการตั้งค่า r เอฟ (x) = อินฟ ยเกี่ยวกับ เอฟร ( x,ย) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง
b) ชุดของศูนย์ของฟังก์ชันในรายการ a) เกิดขึ้นพร้อมกับการปิด เอฟ.
33. อนุญาต ฉ: เอ็กซ์ ® ย
การทำแผนที่แบบหนึ่งต่อหนึ่งอย่างต่อเนื่อง ฉ: เอ็กซ์ ® ยซึ่งเรียกว่าค่าผกผันซึ่งต่อเนื่องกันเช่นกัน โฮมมอร์ฟิซึม. ช่องว่าง เอ็กซ์, ยซึ่งมีการแมปดังกล่าวอยู่ เรียกว่า โฮโมมอร์ฟิก.
34. สำหรับชุดแต่ละคู่ต่อไปนี้ ให้พิจารณาว่าเป็นชุดโฮมโอมอร์ฟิกหรือไม่:
35. เพื่อคู่รักคนไหน? เอ็กซ์, ยช่องว่างจากปัญหาที่แล้วมีการแมปอย่างต่อเนื่อง ฉ: เอ็กซ์ ® ย, ที่ ไม่ติดกันคะแนน (เช่น ฉ(x) № ฉ(ย) ที่ x № ย– การแมปดังกล่าวเรียกว่า การลงทุน)?
36*. สร้างแผนที่ต่อเนื่องจากระนาบหนึ่งไปยังพรูที่ต้องการ โฮมมอร์ฟิซึมในท้องถิ่น(เช่นในแต่ละจุด xเครื่องบินและ ฉ(x) พรู มีละแวกใกล้เคียงดังกล่าว ยูและ วี, อะไร ฉแผนที่แบบชีวสัณฐาน ยูบน วี).
ความสมบูรณ์. ทฤษฎีบทของแบร์
อนุญาต เอ็กซ์– พื้นที่เมตริก ลำดับต่อมา x nองค์ประกอบของมันถูกเรียกว่า พื้นฐาน, ถ้า
|
37. พิสูจน์ว่าลำดับการมาบรรจบกันเป็นพื้นฐาน ข้อความตรงกันข้ามเป็นจริงหรือไม่?
เรียกว่าปริภูมิเมตริก สมบูรณ์ถ้าทุกลำดับพื้นฐานมาบรรจบกัน
38. เป็นจริงหรือไม่ที่โฮมโอมอร์ฟิกในอวกาศเสร็จสมบูรณ์แล้ว?
39. พิสูจน์ว่าพื้นที่ย่อยปิดของพื้นที่สมบูรณ์นั้นสมบูรณ์ด้วยตัวมันเอง พื้นที่ย่อยที่สมบูรณ์ของพื้นที่โดยพลการถูกปิดอยู่ในนั้น
40. พิสูจน์ว่าในพื้นที่เมตริกที่สมบูรณ์ ลำดับของลูกบอลปิดที่ซ้อนกันซึ่งมีรัศมีมีแนวโน้มเป็นศูนย์นั้นมีองค์ประกอบร่วมกัน
41. เป็นไปได้ไหมในปัญหาก่อนหน้านี้ที่จะลบสภาพความสมบูรณ์ของพื้นที่หรือแนวโน้มของรัศมีของลูกบอลให้เป็นศูนย์?
แสดง ฉพื้นที่เมตริก เอ็กซ์เรียกเข้าตัวเอง อัด, ถ้า
|
42. พิสูจน์ว่าแผนผังการหดตัวมีความต่อเนื่อง
43. ก) พิสูจน์ว่าการหดตัวของปริภูมิเมตริกที่สมบูรณ์ในตัวเองมีจุดคงที่เพียงจุดเดียว
b) วางแผนที่ของรัสเซียในอัตราส่วน 1:20,000,000 บนแผนที่ของรัสเซียในอัตราส่วน 1:5,000,000 พิสูจน์ว่ามีจุดหนึ่งที่ภาพในแผนที่ทั้งสองตรงกัน
44*. มีพื้นที่เมตริกที่ไม่สมบูรณ์ซึ่งคำแถลงปัญหาเป็นจริงหรือไม่?
เรียกว่าเซตย่อยของปริภูมิเมตริก หนาแน่นทุกที่ถ้าการปิดเกิดขึ้นพร้อมกับพื้นที่ทั้งหมด ไม่มีที่ไหนหนาแน่น– หากการปิดไม่มีชุดย่อยเปิดที่ไม่ว่างเปล่า (เปรียบเทียบคำจำกัดความนี้กับคำจำกัดความที่ให้ไว้ในภาคผนวก 2)
45. ก) เอาล่ะ ก, ข, ก , ข โอ ซีและ ก < a < b < ข. พิสูจน์ว่าเซตของฟังก์ชันต่อเนื่องบน [ ก,ข], เปิดเสียงเดียว ไม่มีที่ไหนหนาแน่นในพื้นที่ของฟังก์ชันต่อเนื่องทั้งหมดบน [ ก,ข] โดยมีหน่วยเมตริกสม่ำเสมอ
ข) เอาล่ะ ก, ข, ค, อีโอ ซีและ ก < ข, ค> 0, e > 0 จากนั้นเซตของฟังก์ชันต่อเนื่องบน [ ก,ข], ดังนั้น
|
46. (ทฤษฎีบทของแบร์ทั่วไป .) พิสูจน์ว่าพื้นที่เมตริกที่สมบูรณ์ไม่สามารถแสดงเป็นการรวมกันของเซตหนาแน่นที่ไม่มีที่ไหนเลยจำนวนนับได้
47. พิสูจน์ว่าเซตของต่อเนื่องและไม่โมโนโทนในช่วงเวลาที่ไม่ว่างและไม่มีฟังก์ชันหาอนุพันธ์ใดๆ ที่กำหนดไว้ในช่วงเวลานั้นมีความหนาแน่นทุกหนทุกแห่งในปริภูมิของฟังก์ชันต่อเนื่องทั้งหมดบนด้วยหน่วยเมตริกที่สม่ำเสมอ
48*. อนุญาต ฉ– ฟังก์ชั่นหาอนุพันธ์ได้ในช่วงเวลา พิสูจน์ว่าอนุพันธ์ของมันต่อเนื่องกันบนเซตจุดที่มีความหนาแน่นทุกจุด นี่คือคำจำกัดความ เลเบสก์วัดเป็นศูนย์ ถ้าจำนวนช่วงที่นับได้ถูกแทนที่ด้วยช่วงที่มีจำกัด เราจะได้คำจำกัดความ จอร์โนวาวัดเป็นศูนย์
เซตของจำนวนธรรมชาติประกอบด้วยตัวเลข 1, 2, 3, 4, ... ใช้สำหรับการนับวัตถุ เซตของจำนวนธรรมชาติทั้งหมดมักจะเขียนแทนด้วยตัวอักษร เอ็น :
เอ็น = {1, 2, 3, 4, ..., n, ...} .
กฎการบวกของจำนวนธรรมชาติ
1. สำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ กและ ขความเท่าเทียมกันเป็นจริง ก + ข = ข + ก . คุณสมบัตินี้เรียกว่ากฎการสับเปลี่ยนของการบวก
2. สำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ ก, ข, ค ความเท่าเทียมกันเป็นจริง (ก + ข) + ค = ก + (ข + ค) . คุณสมบัตินี้เรียกว่ากฎการบวกรวม (ร่วม)
กฎการคูณของจำนวนธรรมชาติ
3. สำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ กและ ขความเท่าเทียมกันเป็นจริง เกี่ยวกับ = บริติชแอร์เวย์. คุณสมบัตินี้เรียกว่ากฎการสับเปลี่ยนของการคูณ
4. สำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ ก, ข, ค ความเท่าเทียมกันเป็นจริง (กข)ค = ก(ขค) . คุณสมบัตินี้เรียกว่ากฎการคูณ (ร่วม) ของการคูณ
5. สำหรับค่าใดๆ ก, ข, ค ความเท่าเทียมกันเป็นจริง (ก + ข)ค = เครื่องปรับอากาศ + ก่อนคริสต์ศักราช . คุณสมบัตินี้เรียกว่ากฎการกระจายของการคูณ (สัมพันธ์กับการบวก)
6. สำหรับค่าใดๆ กความเท่าเทียมกันเป็นจริง ก*1 = ก. คุณสมบัตินี้เรียกว่ากฎการคูณด้วยหนึ่ง
ผลลัพธ์ของการบวกหรือคูณจำนวนธรรมชาติสองตัวจะเป็นจำนวนธรรมชาติเสมอ หรือพูดอีกอย่างหนึ่งก็คือ การดำเนินการเหล่านี้สามารถดำเนินการได้ในขณะที่ยังอยู่ในเซตของจำนวนธรรมชาติ สิ่งนี้ไม่สามารถพูดได้เกี่ยวกับการลบและการหาร: ตัวอย่างเช่นจากเลข 3 มันเป็นไปไม่ได้ที่จะลบเลข 7 โดยยังคงอยู่ในเซตของจำนวนธรรมชาติ เลข 15 ไม่สามารถหารด้วย 4 ได้ทั้งหมด
สัญญาณของการหารจำนวนธรรมชาติลงตัว
การหารของผลรวมถ้าแต่ละเทอมหารด้วยตัวเลขลงตัว ผลรวมก็จะหารด้วยจำนวนนั้นลงตัว
การแบ่งแยกของผลิตภัณฑ์หากในผลิตภัณฑ์ตัวใดตัวหนึ่งหารด้วยจำนวนหนึ่งลงตัว ผลิตภัณฑ์นั้นก็หารด้วยจำนวนนี้เช่นกัน
เงื่อนไขเหล่านี้ทั้งสำหรับผลรวมและผลิตภัณฑ์ก็เพียงพอแล้วแต่ไม่จำเป็น ตัวอย่างเช่น ผลคูณ 12*18 หารด้วย 36 ลงตัว แม้ว่า 12 หรือ 18 หารด้วย 36 ลงตัวก็ตาม
ทดสอบการหารด้วย 2 ลงตัวเพื่อให้จำนวนธรรมชาติหารด้วย 2 ลงตัว จำเป็นอย่างยิ่งและเพียงพอที่หลักสุดท้ายจะเป็นเลขคู่
ทดสอบการหารด้วย 5 ลงตัวเพื่อให้จำนวนธรรมชาติหารด้วย 5 ลงตัว จำเป็นและเพียงพอที่หลักสุดท้ายจะเป็น 0 หรือ 5
ทดสอบการหารด้วย 10 ลงตัว.ในการที่จะหารจำนวนธรรมชาติด้วย 10 จำเป็นอย่างยิ่งและเพียงพอที่หลักหน่วยจะเป็น 0
ทดสอบการหารด้วย 4 ลงตัวเพื่อให้จำนวนธรรมชาติที่มีอย่างน้อยสามหลักหารด้วย 4 ลงตัว จำเป็นและเพียงพอให้หลักสุดท้ายเป็น 00, 04, 08 หรือตัวเลขสองหลักที่เกิดจากสองหลักสุดท้ายของจำนวนนี้หารด้วย 4.
ทดสอบการหารด้วย 2 (คูณ 9) ลงตัวเพื่อให้จำนวนธรรมชาติหารด้วย 3 ลงตัว (ด้วย 9) จำเป็นอย่างยิ่งและเพียงพอที่ผลรวมของหลักจะต้องหารด้วย 3 ลงตัว (ด้วย 9)
เซตของจำนวนเต็ม
พิจารณาเส้นจำนวนที่มีจุดกำเนิดอยู่ที่จุด โอ. พิกัดของเลขศูนย์บนนั้นจะเป็นจุด โอ. ตัวเลขที่อยู่บนเส้นจำนวนในทิศทางที่กำหนดเรียกว่าจำนวนบวก ให้จุดถูกกำหนดไว้บนเส้นจำนวน กด้วยพิกัด 3 มันสอดคล้องกับจำนวนบวก 3 ทีนี้ให้เราพล็อตส่วนของหน่วยจากจุดสามครั้ง โอในทิศทางตรงกันข้ามกับอันที่กำหนด จากนั้นเราก็เข้าใจประเด็น เอ"สมมาตรตรงจุด กสัมพันธ์กับต้นกำเนิด โอ. พิกัดจุด เอ"จะมีตัวเลข - 3 ตัวเลขนี้อยู่ตรงข้ามกับหมายเลข 3 ตัวเลขที่อยู่บนเส้นจำนวนในทิศทางตรงข้ามกับจำนวนที่กำหนดเรียกว่าจำนวนลบ
ตัวเลขที่อยู่ตรงข้ามกับจำนวนธรรมชาติจะประกอบกันเป็นชุดตัวเลข เอ็น" :
เอ็น" = {- 1, - 2, - 3, - 4, ...} .
ถ้าเรารวมชุดเข้าด้วยกัน เอ็น , เอ็น" และชุดซิงเกิลตัน {0} แล้วเราก็จะได้ชุด ซี จำนวนเต็มทั้งหมด:
ซี = {0} ∪ เอ็น ∪ เอ็น" .
สำหรับจำนวนเต็ม กฎการบวกและการคูณข้างต้นทั้งหมดเป็นจริง ซึ่งเป็นจริงสำหรับจำนวนธรรมชาติ นอกจากนี้ ยังมีการเพิ่มกฎการลบต่อไปนี้:
ก - ข = ก + (- ข) ;
ก + (- ก) = 0 .
เซตของจำนวนตรรกยะ
เพื่อให้การดำเนินการหารจำนวนเต็มด้วยจำนวนใดๆ ที่ไม่เท่ากับศูนย์เป็นไปได้ จึงมีการใช้เศษส่วน:
ที่ไหน กและ ข- จำนวนเต็มและ ขไม่เท่ากับศูนย์
ถ้าเราบวกเซตของเศษส่วนบวกและลบทั้งหมดเข้ากับเซตของจำนวนเต็ม เราจะได้เซตของจำนวนตรรกยะ ถาม :
.
นอกจากนี้ จำนวนเต็มแต่ละตัวยังเป็นจำนวนตรรกยะด้วย เนื่องจาก ตัวอย่างเช่น สามารถแสดงตัวเลข 5 ในรูปแบบ โดยที่ตัวเศษและส่วนเป็นจำนวนเต็ม นี่เป็นสิ่งสำคัญเมื่อดำเนินการกับจำนวนตรรกยะ ซึ่งหนึ่งในนั้นอาจเป็นจำนวนเต็มได้
กฎการดำเนินการทางคณิตศาสตร์เกี่ยวกับจำนวนตรรกยะ
คุณสมบัติหลักของเศษส่วนหากตัวเศษและส่วนของเศษส่วนที่กำหนดคูณหรือหารด้วยจำนวนธรรมชาติเท่ากัน คุณจะได้เศษส่วนเท่ากับเศษส่วนที่กำหนด:
คุณสมบัตินี้ใช้เมื่อมีการลดเศษส่วน
การบวกเศษส่วนการบวกเศษส่วนสามัญมีคำจำกัดความดังนี้:
.
นั่นคือในการบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนต่างกัน เศษส่วนนั้นจะถูกลดให้เหลือตัวส่วนร่วม ในทางปฏิบัติ เมื่อบวก (ลบ) เศษส่วนที่มีตัวส่วนต่างกัน เศษส่วนจะถูกลดให้เหลือตัวส่วนร่วมที่ต่ำที่สุด ตัวอย่างเช่นเช่นนี้:
หากต้องการบวกเศษส่วนที่มีตัวเศษเท่ากัน เพียงเพิ่มตัวเศษและปล่อยให้ตัวส่วนเท่าเดิม
การคูณเศษส่วนการคูณเศษส่วนสามัญมีคำจำกัดความดังนี้:
นั่นคือ ในการคูณเศษส่วนด้วยเศษส่วน คุณต้องคูณตัวเศษของเศษส่วนแรกด้วยตัวเศษของเศษส่วนที่สอง แล้วเขียนผลคูณในตัวเศษของเศษส่วนใหม่ และคูณตัวส่วนของเศษส่วนแรกด้วย ตัวส่วนของเศษส่วนที่สองแล้วเขียนผลคูณในตัวส่วนของเศษส่วนใหม่
การหารเศษส่วนการหารเศษส่วนสามัญมีคำจำกัดความดังนี้:
นั่นคือ ในการหารเศษส่วนด้วยเศษส่วน คุณต้องคูณตัวเศษของเศษส่วนแรกด้วยตัวส่วนของเศษส่วนที่สอง แล้วเขียนผลคูณในตัวเศษของเศษส่วนใหม่ และคูณตัวส่วนของเศษส่วนแรกด้วย ตัวเศษของเศษส่วนที่สองแล้วเขียนผลคูณในตัวส่วนของเศษส่วนใหม่
การยกเศษส่วนให้เป็นกำลังด้วยเลขชี้กำลังธรรมชาติการดำเนินการนี้ถูกกำหนดไว้ดังนี้:
นั่นคือในการยกเศษส่วนเป็นยกกำลัง ตัวเศษจะถูกยกกำลังนั้น และตัวส่วนจะถูกยกกำลังนั้น
ทศนิยมเป็นระยะ
ทฤษฎีบท.จำนวนตรรกยะใดๆ สามารถแสดงเป็นเศษส่วนคาบจำกัดหรืออนันต์ได้
ตัวอย่างเช่น,
.
กลุ่มของตัวเลขที่ทำซ้ำตามลำดับหลังจุดทศนิยมในรูปแบบทศนิยมของตัวเลขเรียกว่าจุด และเศษส่วนทศนิยมที่มีขอบเขตจำกัดหรืออนันต์ที่มีจุดดังกล่าวในสัญลักษณ์นั้นเรียกว่าคาบ
ในกรณีนี้ เศษส่วนทศนิยมจำกัดใดๆ ถือเป็นเศษส่วนคาบไม่สิ้นสุดโดยมีศูนย์ในช่วงเวลานั้น ตัวอย่างเช่น
ผลลัพธ์ของการบวก ลบ การคูณ และการหาร (ยกเว้นการหารด้วยศูนย์) ของจำนวนตรรกยะสองตัวก็ถือเป็นจำนวนตรรกยะเช่นกัน
เซตของจำนวนจริง
บนเส้นจำนวนซึ่งเราพิจารณาเกี่ยวกับเซตของจำนวนเต็ม อาจมีจุดที่ไม่มีพิกัดในรูปของจำนวนตรรกยะ ดังนั้นจึงไม่มีจำนวนตรรกยะที่มีกำลังสองเป็น 2 ดังนั้น จำนวนจึงไม่ใช่จำนวนตรรกยะ นอกจากนี้ยังไม่มีจำนวนตรรกยะที่มีกำลังสองเป็น 5, 7, 9 ดังนั้นตัวเลข , , จึงไม่ลงตัว จำนวนนี้ยังไม่มีเหตุผล
ไม่สามารถแสดงจำนวนอตรรกยะเป็นเศษส่วนเป็นคาบได้ พวกมันถูกแสดงเป็นเศษส่วนที่ไม่ใช่คาบ
การรวมกันของเซตของจำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะคือเซตของจำนวนจริง ร .
เซตนับได้คือเซตอนันต์ที่องค์ประกอบสามารถกำหนดหมายเลขด้วยจำนวนธรรมชาติได้ หรือเป็นเซตที่เทียบเท่ากับเซตของจำนวนธรรมชาติ
บางครั้งเซตของจำนวนเชิงการนับที่เท่ากันกับเซตย่อยใดๆ ของเซตของจำนวนธรรมชาติเรียกว่านับได้ กล่าวคือ เซตจำกัดทั้งหมดก็ถือว่านับได้เช่นกัน
เซตนับได้คือเซตอนันต์ที่ "เล็กที่สุด" กล่าวคือ ในเซตอนันต์ใดๆ จะมีเซตย่อยที่นับได้
คุณสมบัติ:
1. สับเซตใดๆ ของเซตนับได้สามารถนับได้มากที่สุด
2. การรวมของจำนวนเซตที่นับได้หรือจำนวนจำกัดสามารถนับได้
3. ผลคูณโดยตรงของชุดนับได้จำนวนจำกัดสามารถนับได้
4. เซตของเซตย่อยจำกัดทั้งหมดของเซตนับได้สามารถนับได้
5. เซตของเซตย่อยทั้งหมดของเซตนับได้นั้นเป็นเซตต่อเนื่อง และโดยเฉพาะอย่างยิ่ง นับไม่ได้
ตัวอย่างของเซตนับได้:
จำนวนเฉพาะ จำนวนธรรมชาติ จำนวนเต็ม จำนวนตรรกยะ ตัวเลขพีชคณิต วงแหวนคาบ ตัวเลขคำนวณได้ เลขคณิต
ทฤษฎีจำนวนจริง
(จริง = จริง - คำเตือนสำหรับพวกเราทุกคน)
เซต R ประกอบด้วยจำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะ
จำนวนจริงที่ไม่เป็นจำนวนตรรกยะเรียกว่าจำนวนอตรรกยะ
ทฤษฎีบท: ไม่มีจำนวนตรรกยะที่มีกำลังสองเท่ากับเลข 2
จำนวนตรรกยะ: ½, 1/3, 0.5, 0.333
จำนวนอตรรกยะ: รากของ 2=1.4142356…, π=3.1415926…
เซต R ของจำนวนจริงมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:
1. เรียงลำดับ: สำหรับตัวเลขสองตัวที่ต่างกัน ก และ ขหนึ่งในสองความสัมพันธ์ถือ ก หรือ ก>ข
2. เซต R มีความหนาแน่น: ระหว่างตัวเลขสองตัวที่ต่างกัน ก และ ขประกอบด้วยจำนวนจริงจำนวนอนันต์ เอ็กซ์,กล่าวคือ ตัวเลขที่ตรงกับความไม่เท่าเทียมกัน มีทรัพย์สินที่ 3 ด้วย แต่มันใหญ่มาก ขออภัย ชุดมีขอบเขต คุณสมบัติของขอบเขตบนและล่าง ชุดจำกัด- ชุดที่มีขนาดจำกัดในแง่หนึ่ง ขอบเขตด้านบนหากมีตัวเลขที่องค์ประกอบทั้งหมดไม่เกิน: เซตของจำนวนจริงเรียกว่า ขอบเขตด้านล่างถ้ามีตัวเลข โดยให้องค์ประกอบทั้งหมดเป็นอย่างน้อย: เซตที่มีขอบเขตด้านบนและด้านล่างเรียกว่า ถูก จำกัด. เซตที่ไม่มีขอบเขตเรียกว่า ไม่ จำกัด. ดังต่อไปนี้จากคำจำกัดความ เซตจะไม่มีขอบเขตก็ต่อเมื่อเท่านั้น ไม่จำกัดจากด้านบนหรือ ไม่จำกัดด้านล่าง. ลำดับหมายเลข ขีดจำกัดความสม่ำเสมอ บทแทรกเกี่ยวกับตำรวจสองคน ลำดับหมายเลขเป็นลำดับองค์ประกอบของปริภูมิจำนวน กำหนดให้เป็นเซตของจำนวนจริงหรือเซตของจำนวนเชิงซ้อน จากนั้นจึงเรียกลำดับขององค์ประกอบของเซต ลำดับตัวเลข ตัวอย่าง. ฟังก์ชันคือลำดับอนันต์ของจำนวนตรรกยะ องค์ประกอบของลำดับนี้ตั้งแต่ลำดับแรกจะมีรูปแบบ . ขีดจำกัดของลำดับ- นี่คือวัตถุที่สมาชิกของลำดับเข้าใกล้เมื่อจำนวนเพิ่มขึ้น โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับลำดับตัวเลข ขีดจำกัดคือตัวเลขในย่านใกล้เคียงใดๆ ที่เงื่อนไขทั้งหมดของลำดับเริ่มต้นจากจุดใดจุดหนึ่งอยู่ ทฤษฎีบทเกี่ยวกับตำรวจสองคน... หากฟังก์ชันเป็นเช่นนั้นสำหรับทุกคนในพื้นที่ใกล้เคียงของจุด และฟังก์ชันและมีขีดจำกัดเท่ากันที่ แสดงว่าฟังก์ชันมีขีดจำกัดที่เท่ากับค่าเดียวกัน นั่นคือ ตอนนี้ให้เราพิสูจน์คุณสมบัติพิเศษบางประการของเซตปิดและเซตเปิด ทฤษฎีบท 1 ผลรวมของจำนวนเซตเปิดที่มีจำกัดหรือนับได้คือเซตเปิด ผลคูณของเซตเปิดจำนวนจำกัดคือเซตเปิด พิจารณาผลรวมของจำนวนเซตที่เปิดที่มีจำกัดหรือนับได้: ถ้า แล้ว P อยู่ในอย่างน้อยหนึ่ง Let เนื่องจากเป็นเซตเปิด ดังนั้น ย่านใกล้เคียงบางส่วนของ P บางส่วนก็อยู่ด้วยเหมือนกัน - ย่านใกล้เคียงของ P ก็เป็นของผลรวม g เช่นกัน ซึ่งตามมาด้วยว่า g เป็นเซตเปิด ให้เราพิจารณาผลิตภัณฑ์ขั้นสุดท้าย และให้ P อยู่ในกลุ่ม g ให้เราพิสูจน์ดังที่กล่าวข้างต้นว่าย่านใกล้เคียงบางส่วนของ P ก็เป็นของ g เช่นกัน เนื่องจาก P เป็นของ g ดังนั้น P จึงเป็นของทุกคน เนื่องจาก - เป็นชุดเปิด ดังนั้นสำหรับจุดใดจุดหนึ่งก็มี -ย่านใกล้เคียงของจุดที่เป็นของ ถ้าจำนวนถูกนำมาเท่ากับจำนวนที่น้อยที่สุดซึ่งมีจำนวนจำกัด ดังนั้น -ย่านใกล้เคียงของจุด P จะเป็นของทุกคน และด้วยเหตุนี้จึงเป็นของ g โปรดทราบว่าเราไม่สามารถอ้างได้ว่าผลคูณของชุดที่เปิดนับได้นั้นเป็นชุดเปิด ทฤษฎีบท 2 ชุด CF เปิดอยู่ และชุด CO ปิดอยู่ มาพิสูจน์ข้อความแรกกัน ให้ P เป็นของ CF จำเป็นต้องพิสูจน์ว่าย่าน P บางแห่งเป็นของ CF สิ่งนี้ตามมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าถ้ามีจุด F อยู่ในบริเวณใกล้เคียงของ P จุด P ซึ่งไม่เป็นไปตามเงื่อนไขจะเป็นจุดจำกัดสำหรับ F และเนื่องจากความปิดของมันจึงควรอยู่ ซึ่งนำไปสู่ ความขัดแย้ง. ทฤษฎีบท 3 ผลคูณของจำนวนเซตปิดที่มีจำกัดหรือนับได้คือเซตปิด ผลรวมของเซตปิดจำนวนจำกัดคือเซตปิด ให้เราพิสูจน์ตัวอย่างเช่นว่าเซต ปิด. เราสามารถเขียนไปยังชุดเพิ่มเติมได้ ตามทฤษฎีบท เซตต่างๆ จะเปิดอยู่ และตามทฤษฎีบทที่ 1 เซตนั้นยังเปิดอยู่ ดังนั้นเซต g เพิ่มเติมจึงถูกปิด โปรดทราบว่าผลรวมของจำนวนเซ็ตปิดที่นับได้อาจกลายเป็นเซตเปิดได้เช่นกัน ทฤษฎีบท 4 เซตคือเซตเปิดและเซตปิด ง่ายต่อการตรวจสอบความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้: จากนี้ อาศัยทฤษฎีบทที่ 4 ตามมา เราจะบอกว่าเซต g ถูกครอบคลุมโดยระบบ M ของเซตบางเซต ถ้าทุกจุด g รวมอยู่ในเซตของระบบ M อย่างน้อยหนึ่งเซต ทฤษฎีบท 5 (บอเรล) หากเซต F ที่มีขอบเขตปิดถูกครอบคลุมโดยระบบอนันต์ a ของเซตเปิด O ดังนั้นจากระบบอนันต์นี้ ก็เป็นไปได้ที่จะแยกเซตเปิดจำนวนจำกัดที่ครอบคลุม F เช่นกัน เราพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้โดยผกผัน สมมติว่าไม่มีจำนวนจำกัดของเซตที่เปิดจากระบบและทำให้เกิดความขัดแย้ง เนื่องจาก F เป็นเซตที่มีขอบเขต จุดทั้งหมดของ F จึงอยู่ในช่วงสองมิติที่มีขอบเขตจำกัด ให้เราแบ่งช่วงปิดนี้ออกเป็นสี่ส่วนเท่าๆ กัน โดยแบ่งช่วงครึ่งหนึ่ง เราจะนำแต่ละช่วงผลลัพธ์สี่ช่วงมาปิด จุดของ F ที่ตกบนช่วงปิดช่วงใดช่วงหนึ่งจากสี่ช่วงนี้จะเป็นตัวแทนของเซตปิดตามทฤษฎีบทที่ 2 และอย่างน้อยหนึ่งในเซตปิดเหล่านี้ไม่สามารถครอบคลุมโดยเซตเปิดจำนวนจำกัดจากระบบ a เราใช้ช่วงเวลาปิดหนึ่งในสี่ช่วงที่ระบุไว้ข้างต้นเมื่อเกิดเหตุการณ์นี้ขึ้น เราแบ่งช่วงเวลานี้ออกเป็นสี่ส่วนเท่า ๆ กันอีกครั้งและให้เหตุผลในลักษณะเดียวกับข้างต้น ดังนั้นเราจึงได้ระบบของช่วงเวลาที่ซ้อนกันซึ่งแต่ละช่วงถัดไปแสดงถึงส่วนที่สี่ของช่วงก่อนหน้า และสถานการณ์ต่อไปนี้เกิดขึ้น: เซตของจุด F ที่เป็นของ k ใดๆ ไม่สามารถครอบคลุมโดยเซตที่เปิดจำนวนจำกัดจากระบบ ก. เมื่อ k เพิ่มขึ้นอย่างไม่สิ้นสุด ช่วงเวลาต่างๆ จะลดลงเหลือจุด P ที่แน่นอน ซึ่งเป็นของทุกช่วงเวลาอย่างไม่สิ้นสุด เนื่องจากสำหรับ k ใดๆ พวกมันมีจำนวนจุดเป็นอนันต์ จุด P จึงเป็นจุดที่จำกัดและเป็นของ F เนื่องจาก F เป็นเซตปิด ดังนั้น จุด P จึงถูกปกคลุมไปด้วยเซตเปิดบางเซตที่เป็นของระบบ a พื้นที่ใกล้เคียงบางส่วนของจุด P จะเป็นของชุดเปิด O ด้วย สำหรับค่า k ที่มากเพียงพอ ช่วงเวลา D จะตกอยู่ภายในพื้นที่ด้านบน - ย่านใกล้เคียงของจุด P ดังนั้น สิ่งเหล่านี้จะถูกครอบคลุมทั้งหมดโดยเพียงจุดเดียวเท่านั้น เซตเปิด O ของระบบ a และขัดแย้งกับข้อเท็จจริงที่ว่าจุดที่เป็นของ k ใดๆ ไม่สามารถครอบคลุมได้ด้วยเซตเปิดจำนวนจำกัดที่เป็นของ a ดังนั้นทฤษฎีบทนี้จึงได้รับการพิสูจน์แล้ว ทฤษฎีบท 6 เซตเปิดสามารถแสดงเป็นผลรวมของจำนวนช่วงครึ่งเปิดที่นับได้เป็นคู่โดยไม่มีจุดร่วม จำได้ว่าเราเรียกช่วงครึ่งเปิดในระนาบว่าเป็นช่วงจำกัดที่กำหนดโดยความไม่เท่าเทียมกันของรูปแบบ ให้เราวาดตารางสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านขนานกับแกนและมีความยาวด้านเท่ากับหนึ่งบนระนาบ เซตของสี่เหลี่ยมเหล่านี้เป็นเซตนับได้ จากรูปสี่เหลี่ยมเหล่านี้ ให้เราเลือกรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีจุดทั้งหมดอยู่ในเซตเปิด O ที่กำหนด จำนวนสี่เหลี่ยมจัตุรัสดังกล่าวอาจมีจำนวนจำกัดหรือนับได้ หรือบางทีอาจจะไม่มีสี่เหลี่ยมดังกล่าวเลย เราแบ่งช่องสี่เหลี่ยมที่เหลือแต่ละช่องของตารางออกเป็นสี่ช่องที่เหมือนกันและจากช่องที่ได้รับใหม่เราจะเลือกช่องที่มีคะแนนทั้งหมดเป็นของ O อีกครั้ง เราแบ่งช่องสี่เหลี่ยมที่เหลือแต่ละช่องออกเป็นสี่ส่วนเท่า ๆ กันอีกครั้งและเลือกช่องสี่เหลี่ยมที่มีคะแนนทั้งหมด เป็นของ O เป็นต้น ขอให้เราแสดงว่าทุกจุด P ของเซต O จะตกไปอยู่ในสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่เลือก ซึ่งจุดทั้งหมดเป็นของ O โดยให้ d เป็นระยะทางบวกจาก P ถึงขอบเขตของ O เมื่อเราไปถึงสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีเส้นทแยงมุมน้อยกว่า เห็นได้ชัดว่าเราสามารถยืนยันได้ว่าจุด P ตกลงไปอยู่ในสี่เหลี่ยมจัตุรัสแล้ว โดยปริมาตรทั้งหมดเป็นของ O หากสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่เลือกถูกพิจารณาว่าเปิดเพียงครึ่งเดียว ก็จะไม่ มีจุดร่วมเป็นคู่ และทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว จำนวนช่องสี่เหลี่ยมที่เลือกจะต้องนับได้ เนื่องจากผลรวมอันจำกัดของช่วงครึ่งช่องเปิดเห็นได้ชัดว่าไม่ใช่ชุดช่องเปิด เราสามารถเขียนแทนด้วย DL สี่เหลี่ยมจัตุรัสครึ่งเปิดเหล่านั้นที่เราได้รับจากการก่อสร้างข้างต้น
