Sifat-sifat penjumlahan, perkalian, pengurangan dan pembagian bilangan bulat. Sifat-sifat penjumlahan bilangan asli Apa yang dimaksud dengan penjumlahan kombinasional

Mari kita menggambar sebuah persegi panjang dengan sisi 5 cm dan 3 cm pada selembar kertas kotak-kotak, bagilah menjadi persegi dengan sisi 1 cm (Gbr. 143). Mari kita hitung jumlah sel yang terletak di persegi panjang. Ini bisa dilakukan, misalnya seperti ini.

Banyaknya persegi yang panjang sisinya 1 cm adalah 5*3. Setiap kotak tersebut terdiri dari empat sel. Oleh karena itu, jumlah selnya adalah (5 * 3) * 4.

Masalah yang sama dapat diselesaikan secara berbeda. Lima kolom persegi panjang tersebut masing-masing terdiri dari tiga buah persegi dengan panjang sisi 1 cm, sehingga satu kolom berisi 3 * 4 sel. Oleh karena itu, akan ada total 5*(3*4) sel.

Menghitung sel pada Gambar 143 diilustrasikan dalam dua cara sifat asosiatif perkalian untuk nomor 5, 3 dan 4. Kita mempunyai: (5*3)*4 = 5*(3*4).

Untuk mengalikan hasil kali dua bilangan dengan bilangan ketiga, Anda dapat mengalikan bilangan pertama dengan hasil kali bilangan kedua dan ketiga.

(ab)c = a(bc)

Dari sifat komutatif dan kombinatorik perkalian, maka pada saat mengalikan beberapa bilangan, faktor-faktornya dapat ditukar dan ditempatkan dalam tanda kurung, sehingga menentukan urutan perhitungannya.

Misalnya, persamaan berikut ini benar:

abc = cba,

17 * 2 * 3 * 5 = (17 * 3 ) * (2 * 5 ).

Pada Gambar 144, ruas AB membagi persegi panjang yang dibahas di atas menjadi persegi panjang dan persegi.

Mari kita hitung jumlah persegi dengan panjang sisi 1 cm dengan dua cara.

Di satu sisi, persegi yang dihasilkan berisi 3 * 3, dan persegi panjang berisi 3 * 2. Totalnya kita mendapatkan 3*3+3*2 kotak. Sebaliknya, pada masing-masing tiga garis persegi panjang ini terdapat 3 + 2 persegi. Maka jumlah totalnya adalah 3*(3+2).

Sama dengan 3 * (3 + 2 ) = 3 * 3 + 3 * 2 ilustrasinya sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan.

Untuk mengalikan suatu bilangan dengan jumlah dua bilangan, Anda dapat mengalikan bilangan tersebut dengan setiap penjumlahan dan menjumlahkan hasil perkaliannya.

Dalam bentuk literal, properti ini ditulis sebagai berikut:

a(b + c) = ab + ac

Dari sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan maka berikut ini

ab + ac = a(b + c).

Persamaan ini memungkinkan rumus P = 2 a + 2 b mencari keliling persegi panjang ditulis dalam bentuk berikut:

P = 2 (a + b).

Perhatikan bahwa properti distribusi berlaku untuk tiga periode atau lebih. Misalnya:

a(m + n + p + q) = saya + an + ap + aq.

Sifat distributif perkalian terhadap pengurangan juga benar: jika b > c atau b = c, maka

a(b − c) = ab − ac

Contoh 1 . Hitung dengan cara yang mudah:

1 ) 25 * 867 * 4 ;

2 ) 329 * 75 + 329 * 246 .

1) Kita menggunakan sifat komutatif dan asosiatif perkalian:

25 * 867 * 4 = 867 * (25 * 4 ) = 867 * 100 = 86 700 .

2) Kami memiliki:

329 * 754 + 329 * 246 = 329 * (754 + 246 ) = 329 * 1 000 = 329 000 .

Contoh 2 . Sederhanakan ekspresi:

1) 4a*3b;

2) 18 m− 13 m.

1) Dengan menggunakan sifat komutatif dan asosiatif perkalian, kita memperoleh:

4 a * 3 b = (4 * 3 ) * ab = 12 ab.

2) Dengan menggunakan sifat distributif perkalian terhadap pengurangan, kita memperoleh:

18 m − 13 m = m(18 − 13 ) = m * 5 = 5 m.

Contoh 3 . Tulislah persamaan 5 (2 m + 7) sehingga tidak mengandung tanda kurung.

Berdasarkan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan, kita peroleh:

5 (2 m + 7) = 5 * 2 m + 5 * 7 = 10 m + 35.

Transformasi ini disebut tanda kurung pembuka.

Contoh 4 . Hitung nilai ekspresi 125*24*283 dengan cara yang mudah.

Larutan. Kita punya:

125 * 24 * 283 = 125 * 8 * 3 * 283 = (125 * 8 ) * (3 * 283 ) = 1 000 * 849 = 849 000 .

Contoh 5 . Lakukan perkalian: 3 hari 18 jam * 6.

Larutan. Kita punya:

3 hari 18 jam * 6 = 18 hari 108 jam = 22 hari 12 jam.

Saat menyelesaikan contoh, sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan digunakan:

3 hari 18 jam * 6 = (3 hari + 18 jam) * 6 = 3 hari * 6 + 18 jam * 6 = 18 hari + 108 jam = 18 hari + 96 jam + 12 jam = 18 hari + 4 hari + 12 jam = 22 hari 12 jam.

Menambahkan satu nomor ke nomor lainnya cukup sederhana. Mari kita lihat contohnya, 4+3=7. Ungkapan ini berarti tiga satuan dijumlahkan menjadi empat satuan dan hasilnya adalah tujuh satuan.
Angka 3 dan 4 yang kita tambahkan disebut ketentuan. Dan hasil penjumlahan angka 7 disebut jumlah.

Jumlah adalah penambahan angka. Tanda tambah “+”.
Dalam bentuk literal, contoh ini akan terlihat seperti ini:

sebuah+b=C

Komponen tambahan:
A- ketentuan, B- ketentuan, C- jumlah.
Jika kita menjumlahkan 4 satuan dengan 3 satuan, maka hasil penjumlahan tersebut akan memperoleh hasil yang sama yaitu sama dengan 7.

Dari contoh ini kita menyimpulkan bahwa bagaimanapun kita menukar istilah-istilah tersebut, jawabannya tetap sama:

Properti istilah ini disebut hukum komutatif penjumlahan.

Hukum penjumlahan komutatif.

Mengubah tempat suku-suku tersebut tidak mengubah jumlahnya.

Dalam notasi literal, hukum komutatif terlihat seperti ini:

sebuah+b=b+A

Jika kita mempertimbangkan tiga suku, misalnya kita ambil bilangan 1, 2 dan 4. Dan kita melakukan penjumlahan dalam urutan ini, pertama kita tambahkan 1 + 2, lalu kita tambahkan ke hasil penjumlahan 4, kita mendapatkan ekspresi:

(1+2)+4=7

Kita bisa melakukan kebalikannya, pertama tambahkan 2+4, lalu tambahkan 1 ke hasil penjumlahan.Contoh kita akan terlihat seperti ini:

1+(2+4)=7

Jawabannya tetap sama. Kedua jenis penjumlahan pada contoh yang sama mempunyai jawaban yang sama. Kami menyimpulkan:

(1+2)+4=1+(2+4)

Sifat penjumlahan ini disebut hukum penjumlahan asosiatif.

Hukum penjumlahan komutatif dan asosiatif berlaku untuk semua bilangan non-negatif.

Hukum kombinasi penjumlahan.

Untuk menjumlahkan angka ketiga pada jumlah dua angka, Anda dapat menjumlahkan angka kedua dan ketiga pada angka pertama.

(sebuah+b)+c=sebuah+(b+C)

Hukum kombinasi berlaku untuk sejumlah syarat. Kami menggunakan hukum ini ketika kami perlu menambahkan angka dalam urutan yang mudah. Misalnya, kita menjumlahkan tiga bilangan 12, 6, 8 dan 4. Akan lebih mudah jika kita menjumlahkan 12 dan 8 terlebih dahulu, lalu menjumlahkan hasil penjumlahan dua bilangan 6 dan 4 ke hasil penjumlahan.
(12+8)+(6+4)=30

Sifat penjumlahan dengan nol.

Jika Anda menjumlahkan suatu bilangan dengan nol, maka jumlah yang dihasilkan akan sama dengan bilangan tersebut.

3+0=3
0+3=3
3+0=0+3

Dalam ekspresi literal, penjumlahan dengan nol akan terlihat seperti ini:

sebuah+0=A
0+ sebuah=A

Pertanyaan tentang topik penjumlahan bilangan asli:
Buatlah tabel penjumlahan dan lihat bagaimana sifat hukum komutatif bekerja?
Tabel penjumlahan dari 1 hingga 10 mungkin terlihat seperti ini:

Versi kedua dari tabel tambahan.

Jika kita melihat tabel penjumlahan, kita dapat melihat cara kerja hukum komutatif.

Pada persamaan a+b=c, berapa jumlah totalnya?
Jawaban: penjumlahannya adalah hasil penjumlahan suku-sukunya. a+b dan c.

Dalam ekspresi a+b=c suku, apa yang akan terjadi?
Jawaban: a dan b. Penjumlahan adalah angka yang kita jumlahkan.

Apa yang terjadi pada suatu angka jika Anda menambahkan 0 ke dalamnya?
Jawab: tidak ada, jumlahnya tidak akan berubah. Bila dijumlahkan dengan nol, bilangannya tetap sama, karena nol adalah ketiadaan satu.

Berapa banyak suku yang harus ada dalam contoh agar hukum penjumlahan kombinasional dapat diterapkan?
Jawaban: dari tiga suku atau lebih.

Tuliskan hukum komutatif secara harafiah?
Jawaban: a+b=b+a

Contoh untuk tugas.
Contoh 1:
Tuliskan jawaban dari ekspresi yang diberikan: a) 15+7 b) 7+15
Jawaban: a) 22 b) 22

Contoh #2:
Terapkan hukum kombinasi pada suku: 1+3+5+2+9
1+3+5+2+9=(1+9)+(5+2)+3=10+7+3=10+(7+3)=10+10=20
Jawaban: 20.

Contoh #3:
Selesaikan ekspresi:
a) 5921+0 b) 0+5921
Larutan:
a) 5921+0 =5921
b) 0+5921=5921

a, b adalah bilangan yang dilakukan penjumlahan, c adalah hasil penjumlahan.

Penambahan angka multi-digit dilakukan secara bitwise.

• Contoh: 9067542 + 34981 = 9102523

Hukum penjumlahan.

• 1) komutatif: a + b = b + a;

Contoh. 310 + 1454 = 1454 + 310. Bagaimana pun kita menjumlahkan hasilnya, hasilnya akan menjadi 1764.

• 2) asosiatif: (a + b) + c = a + (b + c);

Contoh: (329 + 85) + 120 = 329 + (85 + 120) = 329 + 205 =534;

• 3) hukum penjumlahan suatu bilangan dengan nol: a + 0 = a.

Pengurangan

a (minuend) - b (pengurangan) = c (selisih)

• Contoh: 42397 - 17963 = 24434

Properti tindakan pengurangan:

• 1) hukum pengurangan suatu bilangan dari jumlah:

(a + b) - c = (a - c) + b, jika a > c atau a = c;

• 2) hukum pengurangan suatu penjumlahan:

a - (b + c) = (a - b) - c;

• 3) hukum pengurangan suatu bilangan dari suatu bilangan:

• 4) hukum pengurangan dari nol:

• 5) hukum pengurangan suatu jumlah dari suatu jumlah:

(a + b) - (c + d) = ;

Soal sebagai contoh operasi penjumlahan dan pengurangan

Hitung dengan cara yang mudah:

• 1) (4981 - 2992) - 808;
• 2) (3975 + 5729) - (5729 + 975).

Kami menerapkan hukum pengurangan ke-2 dan ke-5:

• 1) (4981- 2992) - 808 = 4981 - (2992 + 808) = 4981 - 3800 = 1181;
• 2) (3975 + 5729) - (5729 + 975) = (3975 - 975) + (5729 - 5720)= 3000 + 0 = 3000

Perkalian

Mengalikan bilangan a dengan bilangan b (b>1) berarti mencari jumlah suku b (setiap suku sama dengan a).

axb= a + a + ... + a

Jika b = 1, maka ax 1 = a.

a (faktor pertama) x b (faktor kedua) = c (hasil kali)

Misalnya: 57 + 57 + 57 + 34 + 34 = 57 x 3 + 34 x 2 = 171 + 68 + 239

hukum perkalian

• 1) komutatif: a x b = b x a;

Contoh. 15x110 = 110x15.

• 2) asosiatif: (a x b) x c = a x (b x c);

Contoh: (9 x 30) x 10= 9 x (30 x 10) = 9 x 300= 2700;

(65 x 25) x 44 = (25 x 65) x 44 = 25 x (65 X 44) = 25 x 2860 = 71500.

• 3) perkalian dengan nol: 0 x a = 0;

Contoh: 0 x 10 = 0.

• 4) hukum distributif perkalian terhadap tindakan penjumlahan (pengurangan):

a x (b + c) = a x b + a x c;

Soal sebagai contoh operasi perkalian

Tugas 1. Hitung dengan cara yang mudah:

• 1) (37x125)x8;
• 2) 49x84 + 49x83 - 49x67.

1) (37 x 125) x 8 = 37 x (125 x 8) = 37 x 1000 = 37000;

2) 49 x 84 + 49 x 83 - 49 x 67 = 49 x (84 + 83 - 67) = 49 x 100 = 4900.

Tugas 2. 1 kW/jam berharga 12 rubel. Sebuah setrika listrik mengkonsumsi 2 kW/jam selama 1 jam pengoperasian. Kami menyetrika pakaian dengan setrika selama dua hari: pada hari pertama - 3 jam, pada hari kedua - 2 jam. Berapa biaya listrik untuk dua hari? Selesaikan masalahnya sendiri, dan kami hanya akan memberi Anda jawabannya: selama 3 jam - 72 rubel; selama 2 jam - 48 gosok.

Divisi

a (habis dibagi): b (pembagi) = c (hasil bagi)

Hukum pembagian:

• 1) a: 1 = a, karena a x 1 = a;
• 2) 0: a =0, ​​karena 0 x a = 0;
• 3) Anda tidak dapat membaginya dengan 0!

2224222: 2222 = 1001

Hukum membagi suatu jumlah (selisih) dengan suatu bilangan:

• 1) (a + b) : c = a: c + b: c, c tidak sama dengan 0;
• 2) (a - b) : c = a: c -b: c, c tidak sama dengan 0;

Contoh: (4800 + 9300) : 300 = 4800: 300 + 9300: 300 = 16 + 31 + 47.

Hukum membagi suatu produk dengan angka:

(a x b) :c = (a: c) x b = (b: c) x a, c tidak sama dengan 0.

Sejumlah hasil yang melekat dalam tindakan ini dapat dicatat. Hasil ini disebut sifat-sifat penjumlahan bilangan asli. Pada artikel ini kita akan menganalisis secara rinci sifat-sifat penjumlahan bilangan asli, menuliskannya menggunakan huruf dan memberikan contoh penjelasan.

Navigasi halaman.

Sifat gabungan penjumlahan bilangan asli.

Sekarang mari kita berikan contoh yang mengilustrasikan sifat asosiatif penjumlahan bilangan asli.

Bayangkan sebuah situasi: 1 apel jatuh dari pohon apel pertama, dan 2 apel serta 4 apel lagi jatuh dari pohon apel kedua. Sekarang perhatikan situasi ini: 1 apel dan 2 apel lagi jatuh dari pohon apel pertama, dan 4 apel jatuh dari pohon apel kedua. Jelas bahwa jumlah apel di tanah akan sama baik pada kasus pertama maupun kedua (yang dapat diverifikasi dengan perhitungan ulang). Artinya, hasil penjumlahan angka 1 dengan jumlah angka 2 dan 4 sama dengan hasil penjumlahan angka 1 dan 2 dengan angka 4.

Contoh yang dipertimbangkan memungkinkan kita untuk merumuskan sifat kombinatif dari penjumlahan bilangan asli: untuk menjumlahkan jumlah tertentu dari dua bilangan ke bilangan tertentu, kita dapat menambahkan suku pertama dari jumlah tersebut ke bilangan ini dan menambahkan suku kedua dari bilangan tersebut. diberikan jumlah untuk hasil yang dihasilkan. Properti ini dapat ditulis dengan menggunakan huruf seperti ini: a+(b+c)=(a+b)+c, di mana a, b dan c adalah bilangan asli sembarang.

Perlu diperhatikan bahwa persamaan a+(b+c)=(a+b)+c mengandung tanda kurung “(” dan “)”. Tanda kurung digunakan dalam ekspresi untuk menunjukkan urutan tindakan yang dilakukan - tindakan dalam tanda kurung dilakukan terlebih dahulu (lebih lanjut tentang ini ditulis di bagian). Dengan kata lain, ekspresi yang nilainya dievaluasi terlebih dahulu ditempatkan dalam tanda kurung.

Sebagai penutup paragraf ini, kita perhatikan bahwa sifat kombinatif penjumlahan memungkinkan kita menentukan secara unik penjumlahan tiga, empat atau lebih bilangan asli.

Sifat penjumlahan nol dan bilangan asli, sifat penjumlahan nol dan nol.

Kita tahu bahwa nol BUKAN bilangan asli. Jadi mengapa kami memutuskan untuk melihat sifat penjumlahan nol dan bilangan asli di artikel ini? Ada tiga alasan untuk ini. Pertama: properti ini digunakan saat menjumlahkan bilangan asli dalam kolom. Kedua: properti ini digunakan saat mengurangkan bilangan asli. Ketiga: jika kita berasumsi bahwa nol berarti tidak adanya sesuatu, maka arti penjumlahan nol dan bilangan asli sama dengan arti penjumlahan dua bilangan asli.

Mari kita lakukan beberapa alasan yang akan membantu kita merumuskan sifat penjumlahan nol dan bilangan asli. Bayangkan tidak ada benda di dalam kotak (dengan kata lain, ada 0 benda di dalam kotak), dan ada benda yang ditempatkan di dalamnya, dengan a adalah bilangan asli apa pun. Artinya, kami menambahkan 0 dan objek. Jelas bahwa setelah tindakan ini ada benda di dalam kotak. Oleh karena itu, persamaan 0+a=a benar.

Demikian pula, jika sebuah kotak berisi item dan 0 item ditambahkan ke dalamnya (yaitu, tidak ada item yang ditambahkan), maka setelah tindakan ini akan ada item di dalam kotak. Jadi a+0=a .

Sekarang kita dapat memberikan rumusan sifat penjumlahan nol dan bilangan asli: jumlah dua bilangan yang salah satunya nol sama dengan bilangan kedua. Secara matematis, sifat ini dapat dituliskan sebagai persamaan berikut: 0+sebuah=sebuah atau sebuah+0=sebuah, di mana a adalah bilangan asli sembarang.

Secara terpisah, mari kita perhatikan fakta bahwa ketika menjumlahkan bilangan asli dan nol, sifat komutatif penjumlahan tetap benar, yaitu a+0=0+a.

Terakhir, mari kita rumuskan sifat penjumlahan nol ke nol (cukup jelas dan tidak memerlukan komentar tambahan): jumlah dua bilangan yang masing-masing sama dengan nol, sama dengan nol. Itu adalah, 0+0=0 .

Sekarang saatnya mencari cara untuk menjumlahkan bilangan asli.

Bibliografi.

• Matematika. Buku pelajaran apa saja untuk kelas 1, 2, 3, 4 lembaga pendidikan umum.
• Matematika. Buku pelajaran apa saja untuk kelas 5 lembaga pendidikan umum.