Apa yang dimaksud dengan melakukan perhitungan secara rasional? Metode perhitungan yang rasional. Pembentukan budaya komputasi siswa

Dahulu kala, ketika sistem bilangan belum ditemukan, orang menghitung segala sesuatu dengan jari mereka. Dengan munculnya aritmatika dan dasar-dasar matematika, pencatatan barang, produk, dan perlengkapan rumah tangga menjadi lebih mudah dan praktis. Namun, seperti apa sistem kalkulus modern: apa saja jenis bilangan yang ada dan apa yang dimaksud dengan “bentuk rasional bilangan”? Mari kita cari tahu.

Ada berapa jenis bilangan dalam matematika?

Konsep "angka" sendiri menunjukkan unit tertentu dari objek apa pun yang mencirikan indikator kuantitatif, komparatif, atau ordinalnya. Untuk menghitung dengan benar jumlah benda tertentu atau melakukan operasi matematika tertentu dengan angka (menambah, mengalikan, dll.), pertama-tama Anda harus mengenal jenis-jenis angka yang sama.

Jadi, angka-angka yang ada dapat dibagi ke dalam kategori berikut:

1. Bilangan asli adalah bilangan yang kita gunakan untuk menghitung jumlah benda (bilangan asli terkecil adalah 1, logis bahwa deret bilangan asli tidak terhingga, yaitu tidak ada bilangan asli terbesar). Himpunan bilangan asli biasanya dilambangkan dengan huruf N.
2. Bilangan bulat. Himpunan ini mencakup semuanya, sementara nilai negatif juga ditambahkan ke dalamnya, termasuk angka “nol”. Sebutan himpunan bilangan bulat ditulis dengan huruf latin Z.
3. Bilangan rasional adalah bilangan yang secara mental dapat kita ubah menjadi pecahan, yang pembilangnya termasuk dalam himpunan bilangan bulat, dan penyebutnya termasuk dalam himpunan bilangan asli. Di bawah ini kita akan melihat lebih detail apa yang dimaksud dengan “bilangan rasional” dan memberikan beberapa contoh.
4. - himpunan yang mencakup semua rasional dan Himpunan ini dilambangkan dengan huruf R.
5. Bilangan kompleks mengandung bagian bilangan real dan bagian bilangan variabel. Mereka digunakan dalam menyelesaikan berbagai persamaan kubik, yang, pada gilirannya, dapat memiliki ekspresi negatif dalam rumusnya (i 2 = -1).

Apa yang dimaksud dengan “rasional”: mari kita lihat contohnya

Jika bilangan-bilangan yang dapat kita nyatakan sebagai pecahan biasa itu dianggap rasional, maka ternyata semua bilangan bulat positif dan negatif juga termasuk dalam himpunan rasional. Lagi pula, bilangan bulat apa pun, misalnya 3 atau 15, dapat direpresentasikan sebagai pecahan yang penyebutnya satu.

Pecahan: -9/3; 7/5, 6/55 adalah contoh bilangan rasional.

Apa yang dimaksud dengan "ekspresi rasional"?

Teruskan. Kita telah membahas apa yang dimaksud dengan bentuk bilangan rasional. Sekarang mari kita bayangkan ekspresi matematika yang terdiri dari jumlah, selisih, hasil kali, atau hasil bagi berbagai bilangan dan variabel. Berikut ini contohnya: pecahan yang pembilangnya adalah jumlah dari dua bilangan bulat atau lebih, dan penyebutnya berisi bilangan bulat dan beberapa variabel. Ekspresi seperti inilah yang disebut rasional. Berdasarkan aturan “tidak boleh dibagi dengan nol”, Anda dapat menebak bahwa nilai variabel tersebut tidak boleh sedemikian rupa sehingga nilai penyebutnya menjadi nol. Oleh karena itu, ketika menyelesaikan ekspresi rasional, Anda harus menentukan rentang variabelnya terlebih dahulu. Misalnya, jika penyebutnya mempunyai persamaan berikut: x+5-2, maka ternyata “x” tidak boleh sama dengan -3. Memang, dalam kasus ini, seluruh ekspresi berubah menjadi nol, jadi saat menyelesaikannya, bilangan bulat -3 harus dikeluarkan untuk variabel ini.

Bagaimana cara menyelesaikan persamaan rasional dengan benar?

Ekspresi rasional dapat berisi angka yang cukup banyak bahkan 2 variabel, sehingga terkadang penyelesaiannya menjadi sulit. Untuk memfasilitasi penyelesaian ekspresi seperti itu, disarankan untuk melakukan operasi tertentu dengan cara yang rasional. Lantas, apa yang dimaksud dengan “secara rasional” dan aturan apa yang harus diterapkan saat mengambil keputusan?

1. Tipe pertama, padahal cukup menyederhanakan ekspresi saja. Untuk melakukan ini, Anda dapat menggunakan operasi pengurangan pembilang dan penyebut ke nilai yang tidak dapat direduksi. Misalnya, jika pembilangnya berisi ekspresi 18x dan penyebutnya 9x, maka dengan mengurangi kedua eksponen sebesar 9x, kita mendapatkan bilangan bulat sama dengan 2.
2. Metode kedua praktis jika kita memiliki monomial pada pembilangnya dan polinomial pada penyebutnya. Mari kita lihat contohnya: di pembilangnya kita punya 5x, dan di penyebutnya - 5x + 20x 2. Dalam hal ini, yang terbaik adalah mengeluarkan variabel penyebutnya di luar tanda kurung, kita mendapatkan bentuk penyebutnya sebagai berikut: 5x(1+4x). Sekarang Anda dapat menggunakan aturan pertama dan menyederhanakan persamaan dengan menghilangkan 5x pada pembilang dan penyebutnya. Hasilnya, kita mendapatkan pecahan berbentuk 1/1+4x.

Operasi apa yang dapat Anda lakukan dengan bilangan rasional?

Himpunan bilangan rasional mempunyai sejumlah ciri tersendiri. Banyak di antaranya yang sangat mirip dengan karakteristik yang ada pada bilangan bulat dan bilangan asli, karena bilangan asli selalu termasuk dalam himpunan rasional. Berikut adalah beberapa sifat bilangan rasional, dengan mengetahui bahwa Anda dapat dengan mudah menyelesaikan ekspresi rasional apa pun.

1. Properti komutatif memungkinkan Anda menjumlahkan dua angka atau lebih, apa pun urutannya. Sederhananya, mengubah tempat suku-suku tersebut tidak mengubah jumlahnya.
2. Properti distributif memungkinkan Anda menyelesaikan masalah dengan menggunakan hukum distribusi.
3. Dan terakhir, operasi penjumlahan dan pengurangan.

Bahkan anak-anak sekolah pun mengetahui apa yang dimaksud dengan “bentuk bilangan rasional” dan bagaimana menyelesaikan masalah berdasarkan ekspresi tersebut, sehingga orang dewasa yang berpendidikan hanya perlu mengingat setidaknya dasar-dasar himpunan bilangan rasional.

Pada artikel ini kita akan mulai menjelajah angka rasional. Disini kami akan memberikan definisi bilangan rasional, memberikan penjelasan yang diperlukan dan memberikan contoh bilangan rasional. Setelah ini, kita akan fokus pada cara menentukan apakah suatu bilangan rasional atau tidak.

Navigasi halaman.

Pengertian dan Contoh Bilangan Rasional

Pada bagian ini kami akan memberikan beberapa definisi bilangan rasional. Meskipun ada perbedaan dalam susunan kata, semua definisi ini memiliki arti yang sama: bilangan rasional menyatukan bilangan bulat dan pecahan, seperti halnya bilangan bulat menyatukan bilangan asli, kebalikannya, dan bilangan nol. Dengan kata lain, bilangan rasional menggeneralisasi bilangan bulat dan bilangan pecahan.

Mari kita mulai dengan definisi bilangan rasional, yang dirasakan paling alami.

Dari definisi tersebut dapat disimpulkan bahwa bilangan rasional adalah:

• Setiap bilangan asli n. Memang benar, bilangan asli apa pun bisa direpresentasikan sebagai pecahan biasa, misalnya 3=3/1.
• Bilangan bulat apa pun, khususnya angka nol. Faktanya, bilangan bulat apa pun dapat ditulis sebagai pecahan positif, pecahan negatif, atau nol. Misalnya, 26=26/1, .
• Pecahan persekutuan apa pun (positif atau negatif). Hal ini secara langsung dikonfirmasi oleh definisi bilangan rasional yang diberikan.
• Nomor campuran apa pun. Memang benar, Anda selalu dapat menyatakan bilangan campuran sebagai pecahan biasa. Misalnya, dan.
• Pecahan desimal berhingga atau pecahan periodik tak hingga. Hal ini disebabkan oleh fakta bahwa pecahan desimal yang ditunjukkan diubah menjadi pecahan biasa. Misalnya, , dan 0,(3)=1/3.

Jelas juga bahwa pecahan desimal non-periodik tak hingga BUKAN bilangan rasional, karena tidak dapat direpresentasikan sebagai pecahan biasa.

Sekarang kita bisa dengan mudah memberi contoh bilangan rasional. Bilangan 4,903,100,321 merupakan bilangan rasional karena merupakan bilangan asli. Bilangan bulat 58, −72, 0, −833.333.333 juga merupakan contoh bilangan rasional. Pecahan biasa 4/9, 99/3 juga merupakan contoh bilangan rasional. Bilangan rasional juga merupakan bilangan.

Dari contoh di atas jelas bahwa ada bilangan rasional positif dan negatif, dan bilangan rasional nol tidak positif maupun negatif.

Pengertian bilangan rasional di atas dapat dirumuskan dalam bentuk yang lebih ringkas.

Definisi.

Angka rasional adalah bilangan yang dapat ditulis sebagai pecahan z/n, dengan z adalah bilangan bulat dan n adalah bilangan asli.

Mari kita buktikan bahwa definisi bilangan rasional ini ekuivalen dengan definisi sebelumnya. Kita mengetahui bahwa kita dapat menganggap garis pecahan sebagai tanda pembagian, maka dari sifat-sifat pembagian bilangan bulat dan aturan pembagian bilangan bulat, berlaku persamaan berikut dan. Jadi, itulah buktinya.

Mari kita berikan contoh bilangan rasional berdasarkan definisi ini. Bilangan −5, 0, 3, dan merupakan bilangan rasional, karena bilangan tersebut dapat ditulis sebagai pecahan dengan pembilang bilangan bulat dan penyebut alami masing-masing berbentuk dan.

Pengertian bilangan rasional dapat diberikan dalam rumusan berikut.

Definisi.

Angka rasional adalah bilangan yang dapat ditulis sebagai pecahan desimal periodik berhingga atau tak terhingga.

Definisi ini juga setara dengan definisi pertama, karena setiap pecahan biasa berhubungan dengan pecahan desimal berhingga atau periodik dan sebaliknya, dan bilangan bulat apa pun dapat dikaitkan dengan pecahan desimal dengan nol setelah koma desimal.

Misalnya bilangan 5, 0, −13 merupakan contoh bilangan rasional karena dapat dituliskan sebagai pecahan desimal berikut 5.0, 0.0, −13.0, 0.8, dan −7, (18).

Mari kita selesaikan teori poin ini dengan pernyataan berikut:

• bilangan bulat dan pecahan (positif dan negatif) membentuk himpunan bilangan rasional;
• setiap bilangan rasional dapat direpresentasikan sebagai pecahan dengan pembilang bilangan bulat dan penyebut alami, dan setiap pecahan tersebut mewakili bilangan rasional tertentu;
• setiap bilangan rasional dapat direpresentasikan sebagai pecahan desimal periodik berhingga atau tak terhingga, dan setiap pecahan tersebut mewakili bilangan rasional.

Apakah angka ini rasional?

Pada paragraf sebelumnya, kita mengetahui bahwa bilangan asli, bilangan bulat, pecahan biasa, bilangan campuran, pecahan desimal berhingga, dan pecahan desimal periodik adalah bilangan rasional. Pengetahuan ini memungkinkan kita untuk “mengenali” bilangan rasional dari sekumpulan bilangan tertulis.

Namun bagaimana jika bilangan tersebut diberikan dalam bentuk beberapa , atau sebagai , dan seterusnya, bagaimana menjawab pertanyaan apakah bilangan tersebut rasional? Dalam banyak kasus, sangat sulit untuk menjawabnya. Mari kita tunjukkan beberapa arah pemikiran.

Jika suatu bilangan diberikan sebagai ekspresi numerik yang hanya berisi bilangan rasional dan tanda aritmatika (+, −, · dan :), maka nilai ekspresi tersebut adalah bilangan rasional. Ini mengikuti bagaimana operasi dengan bilangan rasional didefinisikan. Misalnya, setelah melakukan semua operasi dalam ekspresi, kita mendapatkan bilangan rasional 18.

Kadang-kadang, setelah menyederhanakan ekspresi dan membuatnya lebih kompleks, kita dapat menentukan apakah suatu bilangan rasional.

Ayo melangkah lebih jauh. Bilangan 2 adalah bilangan rasional, karena bilangan asli apa pun adalah bilangan rasional. Bagaimana dengan nomornya? Apakah itu rasional? Ternyata bukan, itu bukan bilangan rasional, itu bilangan irasional (pembuktian fakta ini dengan kontradiksi diberikan dalam buku teks aljabar untuk kelas 8, tercantum di bawah dalam daftar referensi). Juga telah dibuktikan bahwa akar kuadrat suatu bilangan asli adalah bilangan rasional hanya jika di bawah akar terdapat suatu bilangan yang merupakan kuadrat sempurna dari suatu bilangan asli. Misalnya, dan merupakan bilangan rasional, karena 81 = 9 2 dan 1 024 = 32 2, dan bilangan tersebut tidak rasional, karena bilangan 7 dan 199 bukanlah kuadrat sempurna dari bilangan asli.

Apakah angka tersebut rasional atau tidak? Dalam hal ini, mudah untuk melihat bahwa bilangan ini rasional. Apakah angkanya rasional? Telah dibuktikan bahwa akar ke-k suatu bilangan bulat adalah bilangan rasional hanya jika bilangan di bawah tanda akar adalah pangkat ke-k dari suatu bilangan bulat. Oleh karena itu, ini bukan bilangan rasional, karena tidak ada bilangan bulat yang pangkat kelimanya 121.

Metode kontradiksi memungkinkan Anda membuktikan bahwa logaritma suatu bilangan bukanlah bilangan rasional karena alasan tertentu. Sebagai contoh, mari kita buktikan bahwa - bukanlah bilangan rasional.

Anggap saja sebaliknya, yaitu bilangan rasional dan dapat ditulis sebagai pecahan biasa m/n. Kemudian kami memberikan persamaan berikut: . Persamaan terakhir tidak mungkin, karena ada di sisi kiri angka ganjil 5 n, dan di sisi kanan ada bilangan genap 2 m. Oleh karena itu asumsi kami salah, sehingga bukan bilangan rasional.

Sebagai kesimpulan, perlu diperhatikan secara khusus bahwa ketika menentukan rasionalitas atau irasionalitas angka, seseorang harus menahan diri untuk tidak membuat kesimpulan yang tiba-tiba.

Misalnya, Anda tidak boleh langsung menyatakan bahwa hasil kali bilangan irasional π dan e adalah bilangan irasional; hal ini “kelihatannya jelas”, tetapi tidak terbukti. Hal ini menimbulkan pertanyaan: “Mengapa suatu produk menjadi bilangan rasional?” Mengapa tidak, karena Anda dapat memberikan contoh bilangan irasional yang hasil perkaliannya menghasilkan bilangan rasional: .

Juga tidak diketahui apakah bilangan dan banyak bilangan lainnya rasional atau tidak. Misalnya, ada bilangan irasional yang pangkat irasionalnya adalah bilangan rasional. Sebagai ilustrasi, kami menyajikan derajat dalam bentuk , basis derajat ini dan eksponennya bukanlah bilangan rasional, tetapi , dan 3 adalah bilangan rasional.

Bibliografi.

• Matematika. kelas 6: mendidik. untuk pendidikan umum institusi / [N. Ya.Vilenkin dan lainnya]. - Edisi ke-22, putaran. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 hal.: sakit. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Aljabar: buku pelajaran untuk kelas 8. pendidikan umum institusi / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; diedit oleh S.A.Telyakovsky. - edisi ke-16. - M.: Pendidikan, 2008. - 271 hal. : sakit. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (panduan bagi mereka yang memasuki sekolah teknik): Proc. tunjangan.- M.; Lebih tinggi sekolah, 1984.-351 hal., sakit.

Karakteristik kelas

5 Kelas “A” komposisinya heterogen, ada anak yang pengetahuannya cukup kuat, tetapi ada juga yang lemah. Secara umum kelas energik, siswa tertarik dan siap mengikuti inisiatif guru.

Topik: Metode perhitungan rasional (pelajaran merupakan pelajaran terakhir, dilaksanakan setelah topik: “menyederhanakan ekspresi” pada triwulan kedua, No. 3)

Jenis pelajaran: ringkasan materi

a) pendidikan

• ulangi sifat-sifat penjumlahan, pengurangan, perkalian bilangan asli
• akan mengkonsolidasikan teori pengetahuan dalam praktik
• menunjukkan keuntungan dari cara-cara rasional dalam menyelesaikan tugas, yaitu menunjukkan bahwa pembuatan proyek ini perlu dan penting bagi anak-anak itu sendiri
• meningkatkan keterampilan menerapkan metode dalam praktik;

b) berkembang

• mengembangkan kemampuan menarik kesimpulan, mensistematisasikan materi, membandingkan metode dengan bangunan tertentu, merumuskan pemikiran dengan jelas
• mengembangkan kemampuan untuk merefleksikan aktivitas kognitif seseorang
• membentuk kesadaran kreatif, semangat tulus terhadap karya;

c) pendidikan

• menumbuhkan kemandirian, kolektivisme, kemampuan saling mendengarkan, menghargai pendapat orang lain, namun juga mampu membuktikan pendapat sendiri.

Perlengkapan: papan magnet dan magnet, spidol, daun pohon (lembar album), gambar kucing Matroskin dan Sharik, layar slide.

Tahap pelajaran, waktu	Tugas	Kegiatan guru	Kegiatan kemahasiswaan	Catatan
SAYA Organisasi. Momen	Membangun niat baik dalam hubungan	- Hallo teman-teman! Periksa apakah Anda sudah menyiapkan segalanya untuk pelajaran. Tersenyumlah satu sama lain, sekarang tersenyumlah padaku! Saya melihat suasana hati Anda sedang baik, mari kita mulai pelajarannya!	- senyum Kebangkitan umum	- ada 1 slide di layar dengan teks “Senyum”
II Memperbarui pengetahuan	Anak-anak yang penasaran Arahkan secara diam-diam ke topik pelajaran Ringkaslah tahapannya	- Teman-teman, kucing Matroskin dan Sharik akan bekerja bersama kita hari ini. Anak-anak, Anda perlu menyelesaikan 2 contoh, atas permintaan Sharik kami menyelesaikan seluruh pelajaran! (Saya berjalan melewati barisan dan melihat solusinya) Apa yang sedang kamu lakukan? (terkejut!) Bagus sekali! Hanya satu menit telah berlalu! Mari kita lihat bagaimana kucing Matroskin dan Sharik memecahkan contoh-contoh ini. Inilah yang diputuskan oleh Matroskin si kucing, tetapi Sharik merasa kesulitan. Bagaimana Anda memutuskannya? Siapa yang berbeda? Cat Matroskin tertarik dengan kelebihan metode ini, mengapa digunakan? Metode ini adalah sebuah properti! Bagaimana properti ini bisa dibaca? Mohon pencerahannya mengenai apa? Katakanlah lagi apa yang dimungkinkan oleh properti ini kepada kita	- hore! (seruan dari tempat itu) (seseorang mengalikan berdasarkan kolom!) Saya sudah memutuskan! Jawaban teman-teman Memungkinkan Anda memutuskan: Lebih cepat, Nyaman, Lebih mudah, lebih sederhana Menghemat waktu Hukum Terdistribusi Penambahan, pengurangan Sederhanakan ekspresi Putuskan lebih cepat Lebih mudah, lebih sederhana	- gambar kucing Sailor-kin dan Sharik di papan tulis Di papan 69*27+31*27=22*87-102*87= (dalam kolom) 3) 27*(69+31) =2700 Slide ke-2 di layar
AKU AKU AKU Pengenalan konsep baru	Perkenalkan konsep baru	- Semua kata ini bisa diganti dengan kata: rasional, di kehidupan sehari-hari mana kamu pernah mendengar kata ini?	- di TV, di pabrik kemacetan yang dirasionalisasi, nutrisi yang rasional	3 geser
IV Definisi topik	Tentukan topik	- Teman-teman! Sharik sedang mencoba memecahkan contoh lain dengan menggunakan metode yang sama! Saya menawarkan untuk membantunya Apa yang harus saya sebut properti ini? Apakah ini cara yang rasional? Apakah hanya ini dua cara yang kita tahu? Oke, mari kita rumuskan topiknya, lalu buat daftar sifat-sifat lain apa saja yang kita ketahui. Apa topik pelajarannya? Tebakan Anda. Kata apa yang akan dikaitkan dengan topik tersebut? Mari kita rangkum! Apa yang telah terjadi?	- (siswa memutuskan) (ada gambar penyelesaiannya) Tidak bisa menyelesaikannya dengan cara yang sama Sifat kombinatif perkalian Memungkinkan Anda memutuskan lebih mudah, lebih cepat, lebih sederhana. Tidak, kami belum tahu caranya! Pada kata “metode” dapat ditambahkan “apa” Metode perhitungan! Rasional Metode perhitungan yang rasional.	Di meja Topik pelajaran
V Penargetan	Menetapkan tujuan pelajaran	- Teman-teman! Jika Anda mengganti kata “cara! Mungkinkah menerapkan konsep yang sama pada “metode” pada “metode”: “lebih mudah, lebih cepat, lebih sederhana”? Apa lagi yang bisa dikatakan tentang metode ini? Mari kita tunjukkan semuanya dalam slide Apa yang menurut Anda istimewa tentang diagram tersebut? Jadi apa tujuan setiap orang dalam pelajaran ini? Mari kita rangkum: Ingat metode apa saja yang kita ketahui dan atur metode tersebut Ingat teknik untuk menyederhanakan ekspresi Perkuat penerapannya dalam praktik Belajar membandingkan suatu metode dengan contoh spesifik Inilah tujuan atau gagasan pelajaran kita	- Ya! Dan mari kita ganti kata “yang mana” dengan kata “apa”! Dimana mereka digunakan? Kata “apa” dengan “?” Ingat metode apa yang kita ketahui, properti apa, aturannya Mungkin ada cara baru untuk mengetahuinya. - (bersama dengan siswa)	6 geser
VI Sistem pengetahuan a) menetapkan tujuan tahap 0,5 menit b) pekerjaan individu 1,5 menit c) bekerja berpasangan d) kerja kelompok	Membuat Proyek Otonomi eksekusi Ucapkan catatan Anda Cari solusi umum, kesimpulan	- Teman-teman! Hari ini kita harus membuat proyek di mana metode yang Anda ketahui (setidaknya 8) dan semua yang kita ketahui tentang metode tersebut akan dicatat. Proyeknya akan berbentuk pohon yang akan kita tempelkan daunnya. Sharik memberikan saran: berpikirlah sendiri selama 2 menit, ingat cara menyederhanakan ekspresi. Akankah kita mendukung gagasan itu? Kami bekerja berpasangan Dan sekarang kami duduk berkelompok (4 orang), Sharik dan kucing Matroskin akan bekerja berpasangan. Diskusikan pemikiran dan keputusan Anda. Anda memiliki daun di meja Anda, tuliskan satu metode pada masing-masing daun, lalu kami akan menempelkannya ke pohon Tentu saja akan lebih jelas jika diberikan contoh. Pilih siapa yang akan menjawab	- seperti apa proyek ini nantinya? (siswa bekerja secara mandiri, mencatat) - (suara) (setiap siswa mengutarakan pemikirannya) (perwakilan kelompok menuliskan metodenya, sisanya berkomentar) Bisakah Anda memberikan contoh?	Kelompok diisolasi secara teritorial
VII Menit tur budaya fisik	Rekreasi siswa	“Bunga itu sedang tidur dan tiba-tiba terbangun Saya tidak ingin tidur lagi Bergerak, meregang Melonjak dan terbang"	Dilakukan oleh salah satu anak	Geser 8: "gambar lucu"
VIII Perlindungan proyek	Ringkaslah pekerjaan semua kelompok	- perwakilan dari setiap kelompok diundang. . . (guru mengarahkan pekerjaan) Ini adalah pohon yang kita dapatkan, dan sekarang mari kita lihat diagram yang dibuat oleh Matroskin si kucing setelah mendengarkan pidato Anda	Frase siswa: aku setuju dengan petya.. Grup kami ingin menambahkan... Bisa juga ditulis dengan huruf	Di meja: Batang pohon, anak menempelkan daun pada papan magnet yang diberi magnet (jawaban yang sama untuk satu magnet)

Lampiran 1 menyajikan diagram proyek.

IX Pengujian	Periksa penerapan metode dalam praktik	- Teman-teman! Kami ingat teorinya, dan sekarang kami akan memeriksa bagaimana Anda akan menerapkan pengetahuan Anda dalam praktik Sekarang tukar buku catatan dengan tetangga Anda dan periksa pekerjaannya. Standar penilaian: Tidak ada kesalahan: “5” 2 kesalahan: “4” 3 kesalahan: “3” dan jika lebih dari 3, maka Anda perlu berlatih Apa alasannya?	(siswa memutuskan)	Geser 10 di papan
			Tes
			DUA	B-2
			1) Lakukan dengan cara yang nyaman
			a) (30-4) *5= b) 85*137-75*137= G) 25*296*4= e) 633-(163+387) =	a) 7*(60-3) = b) 78*214-78*204= G) 4*268*25= e) (964+27) -464=
			2) Selesaikan persamaannya
			x+3x+x=30	x+5x+x=98
			(saling mengevaluasi) Saya tidak berhasil tepat waktu Diselesaikan tanpa menggunakan metode, melakukan kolom	Di layar ada slide 11 dengan solusinya
X Meringkas 2 menit (sendiri) 2 menit (suara)	Renungkan pekerjaan Anda	- apa yang kamu ingat? Apa yang kamu ingat? Hal baru apa yang Anda pelajari? Apa yang Anda amankan? Kesimpulan apa yang Anda buat sendiri? Bagus sekali, teman-teman! Dan kucing Matroskin mengingat banyak metode, tetapi pikiran Sharik bingung, mari kita ulangi semua metode lagi	- mengkonsolidasikan penggunaan properti saat menyelesaikan Belajar membandingkan properti dengan contoh spesifik Saya ingat bahwa sebuah properti ditulis menggunakan variabel Mempelajari apa itu “rasionalitas”. Saya menyadari bahwa setiap contoh memiliki pendekatannya sendiri Saya menyadari bahwa undang-undang berlaku di kedua jalur Saya menyadari ras itu. cara cara yang paling nyaman Metode ini juga memungkinkan Anda menghemat waktu, menyederhanakan keputusan dan hidup Anda. Saya menyadari bahwa metode ini memungkinkan Anda menyelesaikannya secara lisan, tanpa kolom
XI	Berikan instruksi kepada d/z	- Teman-teman! 1. ngobrol di rumah dengan keluarga dan teman Anda, mungkin mereka tahu cara lain 2. membuat proyek, dengan contoh sendiri, bisa berupa awan, bunga, dan lain-lain, bisa menggunakan komputer 3. menunjukkan kepada adik-adik agar mereka tertarik pada matematika 4. membuat laporan proyek sesuai memo		- Pengingat terletak di stand
XII Kesimpulan		- kucing Matroskin dan Sharik mengucapkan "terima kasih" dan mengucapkan selamat tinggal pada kalian! Saya juga mengucapkan kepada Anda “bagus sekali pelajarannya” dan selamat tinggal		Geser12 Teks “Bagus sekali”

Pelajaran ini membahas penjumlahan dan pengurangan bilangan rasional. Topiknya tergolong kompleks. Di sini perlu untuk menggunakan seluruh gudang pengetahuan yang diperoleh sebelumnya.

Aturan penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat juga berlaku untuk bilangan rasional. Ingatlah bahwa bilangan rasional adalah bilangan yang dapat direpresentasikan sebagai pecahan, dimana A - ini adalah pembilang pecahan, B adalah penyebut pecahan. Di mana, B tidak boleh nol.

Dalam pelajaran ini, kita akan semakin sering menyebut pecahan dan bilangan campuran dengan satu frasa umum - angka rasional.

Navigasi pelajaran:

Contoh 1. Temukan arti dari ungkapan:

Mari kita lampirkan setiap bilangan rasional dalam tanda kurung beserta tanda-tandanya. Kami memperhitungkan bahwa tanda tambah yang diberikan dalam ekspresi adalah tanda operasi dan tidak berlaku untuk pecahan. Pecahan ini mempunyai tanda tambah tersendiri yang tidak terlihat karena tidak dituliskan. Namun kami akan menuliskannya untuk kejelasan:

Ini adalah penjumlahan bilangan rasional yang tandanya berbeda. Untuk menjumlahkan bilangan rasional yang tandanya berbeda, Anda perlu mengurangkan modul yang lebih kecil dari modul yang lebih besar, dan sebelum jawaban yang dihasilkan, beri tanda bilangan rasional yang modulnya lebih besar. Dan untuk memahami modulus mana yang lebih besar dan mana yang lebih kecil, Anda harus bisa membandingkan modulus pecahan berikut sebelum menghitungnya:

Modulus bilangan rasional lebih besar dari modulus bilangan rasional. Oleh karena itu, kami mengurangi dari . Kami menerima jawaban. Kemudian, dengan mengurangi pecahan ini sebanyak 2, kita mendapatkan jawaban akhirnya.

Beberapa tindakan primitif, seperti memasukkan angka ke dalam tanda kurung dan menambahkan modul, dapat dilewati. Contoh ini dapat ditulis secara singkat:

Contoh 2. Temukan arti dari ungkapan:

Mari kita lampirkan setiap bilangan rasional dalam tanda kurung beserta tanda-tandanya. Kami memperhitungkan bahwa minus di antara bilangan rasional adalah tanda operasi dan tidak berlaku untuk pecahan. Pecahan ini mempunyai tanda tambah tersendiri yang tidak terlihat karena tidak dituliskan. Namun kami akan menuliskannya untuk kejelasan:

Mari kita ganti pengurangan dengan penjumlahan. Izinkan kami mengingatkan Anda bahwa untuk melakukan ini, Anda perlu menambahkan bilangan yang berlawanan dengan pengurang ke dalam minuend:

Kami memperoleh penambahan bilangan rasional negatif. Untuk menjumlahkan bilangan rasional negatif, Anda perlu menjumlahkan modulnya dan memberi tanda minus di depan jawaban yang dihasilkan:

Catatan. Setiap bilangan rasional tidak perlu diapit tanda kurung. Hal ini dilakukan untuk memudahkan, agar dapat melihat dengan jelas tanda-tanda yang dimiliki bilangan rasional.

Contoh 3. Temukan arti dari ungkapan:

Dalam persamaan ini, pecahan mempunyai penyebut yang berbeda. Untuk mempermudah tugas kita, mari kita kurangi pecahan-pecahan ini menjadi penyebut yang sama. Kami tidak akan membahas secara rinci bagaimana melakukan ini. Jika Anda mengalami kesulitan, pastikan untuk mengulangi pelajaran tersebut.

Setelah pecahan direduksi menjadi penyebut yang sama, persamaannya akan berbentuk sebagai berikut:

Ini adalah penjumlahan bilangan rasional yang tandanya berbeda. Kita kurangi modul yang lebih kecil dari modul yang lebih besar, dan sebelum jawaban yang dihasilkan kita beri tanda bilangan rasional yang modulnya lebih besar:

Mari kita tuliskan solusi contoh ini secara singkat:

Contoh 4. Temukan nilai sebuah ekspresi

Mari kita hitung ekspresi ini sebagai berikut: tambahkan bilangan rasional dan kemudian kurangi bilangan rasional dari hasil yang dihasilkan.

Tindakan pertama:

Tindakan kedua:

Contoh 5. Temukan arti dari ungkapan:

Mari kita nyatakan bilangan bulat −1 sebagai pecahan, dan ubah bilangan campuran menjadi pecahan biasa:

Mari kita lampirkan setiap bilangan rasional dalam tanda kurung beserta tanda-tandanya:

Kami memperoleh penjumlahan bilangan rasional dengan tanda berbeda. Kita kurangi modul yang lebih kecil dari modul yang lebih besar, dan sebelum jawaban yang dihasilkan kita beri tanda bilangan rasional yang modulnya lebih besar:

Kami menerima jawaban.

Ada solusi kedua. Ini terdiri dari menyatukan seluruh bagian secara terpisah.

Jadi, mari kita kembali ke ekspresi aslinya:

Mari kita lampirkan setiap angka dalam tanda kurung. Untuk melakukan ini, nomor campuran bersifat sementara:

Mari kita hitung bagian bilangan bulatnya:

(−1) + (+2) = 1

Dalam ekspresi utama, alih-alih (−1) + (+2), kita menulis unit yang dihasilkan:

Ekspresi yang dihasilkan adalah . Caranya, tuliskan satuan dan pecahannya bersama-sama:

Mari kita tulis solusinya dengan cara yang lebih singkat:

Contoh 6. Temukan nilai sebuah ekspresi

Mari kita ubah bilangan campuran menjadi pecahan biasa. Mari kita tulis ulang sisanya tanpa mengubah:

Mari kita lampirkan setiap bilangan rasional dalam tanda kurung beserta tanda-tandanya:

Mari kita ganti pengurangan dengan penjumlahan:

Mari kita tuliskan solusi contoh ini secara singkat:

Contoh 7. Temukan nilai sebuah ekspresi

Mari kita nyatakan bilangan bulat −5 sebagai pecahan, dan ubah bilangan campuran menjadi pecahan biasa:

Mari kita bawa pecahan-pecahan ini ke penyebut yang sama. Setelah direduksi menjadi penyebut yang sama, maka akan berbentuk sebagai berikut:

Mari kita lampirkan setiap bilangan rasional dalam tanda kurung beserta tanda-tandanya:

Mari kita ganti pengurangan dengan penjumlahan:

Kami memperoleh penambahan bilangan rasional negatif. Mari tambahkan modul angka-angka ini dan beri tanda minus di depan jawaban yang dihasilkan:

Jadi, nilai ekspresi tersebut adalah .

Mari selesaikan contoh ini dengan cara kedua. Mari kita kembali ke ekspresi awal:

Mari kita tulis bilangan campuran dalam bentuk diperluas. Mari kita tulis ulang sisanya tanpa perubahan:

Kami mengapit setiap bilangan rasional dalam tanda kurung beserta tanda-tandanya:

Mari kita hitung bagian bilangan bulatnya:

Dalam ekspresi utama, alih-alih menulis angka yang dihasilkan −7

Ekspresi tersebut merupakan bentuk perluasan penulisan bilangan campuran. Kita tuliskan bilangan −7 dan pecahannya untuk membentuk jawaban akhir:

Mari kita tuliskan solusi ini secara singkat:

Contoh 8. Temukan nilai sebuah ekspresi

Kami mengapit setiap bilangan rasional dalam tanda kurung beserta tanda-tandanya:

Mari kita ganti pengurangan dengan penjumlahan:

Kami memperoleh penambahan bilangan rasional negatif. Mari tambahkan modul angka-angka ini dan beri tanda minus di depan jawaban yang dihasilkan:

Jadi nilai dari ekspresi tersebut adalah

Contoh ini dapat diselesaikan dengan cara kedua. Ini terdiri dari penjumlahan bagian utuh dan pecahan secara terpisah. Mari kita kembali ke ekspresi awal:

Mari kita lampirkan setiap bilangan rasional dalam tanda kurung beserta tanda-tandanya:

Mari kita ganti pengurangan dengan penjumlahan:

Kami memperoleh penambahan bilangan rasional negatif. Mari tambahkan modul angka-angka ini dan beri tanda minus di depan jawaban yang dihasilkan. Namun kali ini kita akan menjumlahkan seluruh bagian (−1 dan −2), baik pecahan maupun

Mari kita tuliskan solusi ini secara singkat:

Contoh 9. Temukan ekspresi ekspresi

Mari kita ubah bilangan campuran menjadi pecahan biasa:

Mari kita lampirkan bilangan rasional dalam tanda kurung beserta tandanya. Bilangan rasional tidak perlu dimasukkan ke dalam tanda kurung, karena sudah ada di dalam tanda kurung:

Kami memperoleh penambahan bilangan rasional negatif. Mari tambahkan modul angka-angka ini dan beri tanda minus di depan jawaban yang dihasilkan:

Jadi nilai dari ekspresi tersebut adalah

Sekarang mari kita coba menyelesaikan contoh yang sama dengan cara kedua, yaitu dengan menjumlahkan bagian bilangan bulat dan pecahan secara terpisah.

Kali ini, untuk mendapatkan solusi singkatnya, mari kita coba lewati beberapa langkah, seperti menulis bilangan campuran dalam bentuk diperluas dan mengganti pengurangan dengan penjumlahan:

Harap dicatat bahwa bagian pecahan telah direduksi menjadi penyebut yang sama.

Contoh 10. Temukan nilai sebuah ekspresi

Mari kita ganti pengurangan dengan penjumlahan:

Ekspresi yang dihasilkan tidak mengandung angka negatif, yang merupakan penyebab utama kesalahan. Dan karena tidak ada bilangan negatif, kita dapat menghilangkan tanda plus di depan tanda pengurang dan juga menghilangkan tanda kurung:

Hasilnya adalah ekspresi sederhana yang mudah dihitung. Mari kita hitung dengan cara apa pun yang nyaman bagi kita:

Contoh 11. Temukan nilai sebuah ekspresi

Ini adalah penjumlahan bilangan rasional yang tandanya berbeda. Mari kita kurangi modul yang lebih kecil dari modul yang lebih besar, dan sebelum jawaban yang dihasilkan kita beri tanda bilangan rasional yang modulnya lebih besar:

Contoh 12. Temukan nilai sebuah ekspresi

Ekspresi tersebut terdiri dari beberapa bilangan rasional. Menurutnya, pertama-tama Anda perlu melakukan langkah-langkah dalam tanda kurung.

Pertama, kita menghitung ekspresinya, lalu kita menjumlahkan hasil yang diperoleh.

Tindakan pertama:

Tindakan kedua:

Tindakan ketiga:

Menjawab: nilai ekspresi sama

Contoh 13. Temukan nilai sebuah ekspresi

Mari kita ubah bilangan campuran menjadi pecahan biasa:

Mari kita masukkan bilangan rasional ke dalam tanda kurung beserta tandanya. Bilangan rasional tidak perlu dimasukkan ke dalam tanda kurung, karena sudah ada di dalam tanda kurung:

Mari kita bawa pecahan-pecahan ini ke penyebut yang sama. Setelah direduksi menjadi penyebut yang sama, maka akan berbentuk sebagai berikut:

Mari kita ganti pengurangan dengan penjumlahan:

Kami memperoleh penjumlahan bilangan rasional dengan tanda berbeda. Mari kita kurangi modul yang lebih kecil dari modul yang lebih besar, dan sebelum jawaban yang dihasilkan kita beri tanda bilangan rasional yang modulnya lebih besar:

Demikianlah arti dari ungkapan tersebut sama

Mari kita lihat penjumlahan dan pengurangan desimal, yang juga merupakan bilangan rasional dan dapat bernilai positif atau negatif.

Contoh 14. Temukan nilai ekspresi −3.2 + 4.3

Mari kita lampirkan setiap bilangan rasional dalam tanda kurung beserta tanda-tandanya. Kami memperhitungkan bahwa tanda tambah yang diberikan dalam ekspresi adalah tanda operasi dan tidak berlaku untuk pecahan desimal 4.3. Pecahan desimal ini mempunyai tanda plus tersendiri yang tidak terlihat karena tidak dituliskan. Namun kami akan menuliskannya untuk kejelasan:

(−3,2) + (+4,3)

Ini adalah penjumlahan bilangan rasional yang tandanya berbeda. Untuk menjumlahkan bilangan rasional yang tandanya berbeda, Anda perlu mengurangkan modul yang lebih kecil dari modul yang lebih besar, dan sebelum jawaban yang dihasilkan, beri tanda bilangan rasional yang modulnya lebih besar. Dan untuk memahami modul mana yang lebih besar dan mana yang lebih kecil, Anda harus bisa membandingkan modul pecahan desimal berikut sebelum menghitungnya:

(−3,2) + (+4,3) = |+4,3| − |−3,2| = 1,1

Modulus bilangan 4.3 lebih besar dari modulus bilangan −3.2, jadi kita kurangi 3.2 dari 4.3. Kami menerima jawabannya 1.1. Jawabannya positif, karena jawabannya harus didahului dengan tanda bilangan rasional yang modulusnya lebih besar. Dan modulus bilangan 4.3 lebih besar dari modulus bilangan −3.2

Jadi, nilai ekspresi −3.2 + (+4.3) adalah 1.1

−3,2 + (+4,3) = 1,1

Contoh 15. Temukan nilai ekspresi 3.5 + (−8.3)

Ini adalah penjumlahan bilangan rasional yang tandanya berbeda. Seperti pada contoh sebelumnya, kita kurangi modul yang lebih kecil dari modul yang lebih besar dan sebelum jawabannya kita beri tanda bilangan rasional yang modulnya lebih besar:

3,5 + (−8,3) = −(|−8,3| − |3,5|) = −(8,3 − 3,5) = −(4,8) = −4,8

Jadi, nilai ekspresi 3.5 + (−8.3) adalah −4.8

Contoh ini dapat ditulis secara singkat:

3,5 + (−8,3) = −4,8

Contoh 16. Temukan nilai ekspresi −7.2 + (−3.11)

Ini adalah penjumlahan bilangan rasional negatif. Untuk menjumlahkan bilangan rasional negatif, Anda perlu menjumlahkan modulnya dan memberi tanda minus di depan jawaban yang dihasilkan.

Anda dapat melewati entri dengan modul agar tidak mengacaukan ekspresi:

−7,2 + (−3,11) = −7,20 + (−3,11) = −(7,20 + 3,11) = −(10,31) = −10,31

Jadi, nilai ekspresi −7.2 + (−3.11) adalah −10.31

Contoh ini dapat ditulis secara singkat:

−7,2 + (−3,11) = −10,31

Contoh 17. Temukan nilai ekspresi −0.48 + (−2.7)

Ini adalah penjumlahan bilangan rasional negatif. Mari tambahkan modulnya dan beri tanda minus di depan jawaban yang dihasilkan. Anda dapat melewati entri dengan modul agar tidak mengacaukan ekspresi:

−0,48 + (−2,7) = (−0,48) + (−2,70) = −(0,48 + 2,70) = −(3,18) = −3,18

Contoh 18. Temukan nilai ekspresi −4.9 − 5.9

Mari kita lampirkan setiap bilangan rasional dalam tanda kurung beserta tanda-tandanya. Kami memperhitungkan bahwa minus, yang terletak di antara bilangan rasional −4.9 dan 5.9, merupakan tanda operasi dan bukan milik bilangan 5.9. Bilangan rasional ini mempunyai tanda tambah tersendiri yang tidak terlihat karena tidak dituliskan. Namun kami akan menuliskannya untuk kejelasan:

(−4,9) − (+5,9)

Mari kita ganti pengurangan dengan penjumlahan:

(−4,9) + (−5,9)

Kami memperoleh penambahan bilangan rasional negatif. Mari tambahkan modulnya dan beri tanda minus di depan jawaban yang dihasilkan:

(−4,9) + (−5,9) = −(4,9 + 5,9) = −(10,8) = −10,8

Jadi, nilai ekspresi −4.9 − 5.9 adalah −10.8

−4,9 − 5,9 = −10,8

Contoh 19. Temukan nilai ekspresi 7 − 9.3

Mari kita masukkan setiap angka ke dalam tanda kurung beserta tanda-tandanya.

(+7) − (+9,3)

Mari kita ganti pengurangan dengan penjumlahan

(+7) + (−9,3)

(+7) + (−9,3) = −(9,3 − 7) = −(2,3) = −2,3

Jadi, nilai ekspresi 7 − 9.3 adalah −2.3

Mari kita tuliskan solusi contoh ini secara singkat:

7 − 9,3 = −2,3

Contoh 20. Temukan nilai ekspresi −0.25 − (−1.2)

Mari kita ganti pengurangan dengan penjumlahan:

−0,25 + (+1,2)

Kami memperoleh penjumlahan bilangan rasional dengan tanda berbeda. Mari kita kurangi modul yang lebih kecil dari modul yang lebih besar, dan sebelum jawabannya kita beri tanda bilangan yang modulnya lebih besar:

−0,25 + (+1,2) = 1,2 − 0,25 = 0,95

Mari kita tuliskan solusi contoh ini secara singkat:

−0,25 − (−1,2) = 0,95

Contoh 21. Temukan nilai ekspresi −3.5 + (4.1 − 7.1)

Mari kita lakukan tindakan dalam tanda kurung, lalu tambahkan jawaban yang dihasilkan dengan angka −3.5

Tindakan pertama:

4,1 − 7,1 = (+4,1) − (+7,1) = (+4,1) + (−7,1) = −(7,1 − 4,1) = −(3,0) = −3,0

Tindakan kedua:

−3,5 + (−3,0) = −(3,5 + 3,0) = −(6,5) = −6,5

Menjawab: nilai ekspresi −3.5 + (4.1 − 7.1) adalah −6.5.

Contoh 22. Temukan nilai ekspresi (3.5 − 2.9) − (3.7 − 9.1)

Mari kita lakukan langkah-langkah dalam tanda kurung. Kemudian dari bilangan yang diperoleh dari pelaksanaan kurung pertama, kurangi dengan bilangan yang diperoleh dari pelaksanaan kurung kedua:

Tindakan pertama:

3,5 − 2,9 = (+3,5) − (+2,9) = (+3,5) + (−2,9) = 3,5 − 2,9 = 0,6

Tindakan kedua:

3,7 − 9,1 = (+3,7) − (+9,1) = (+3,7) + (−9,1) = −(9,1 − 3,7) = −(5,4) = −5,4

Babak ketiga

0,6 − (−5,4) = (+0,6) + (+5,4) = 0,6 + 5,4 = 6,0 = 6

Menjawab: nilai ekspresi (3.5 − 2.9) − (3.7 − 9.1) adalah 6.

Contoh 23. Temukan nilai sebuah ekspresi −3,8 + 17,15 − 6,2 − 6,15

Mari kita lampirkan setiap bilangan rasional dalam tanda kurung beserta tanda-tandanya

(−3,8) + (+17,15) − (+6,2) − (+6,15)

Mari kita ganti pengurangan dengan penjumlahan jika memungkinkan:

(−3,8) + (+17,15) + (−6,2) + (−6,15)

Ungkapan tersebut terdiri dari beberapa istilah. Menurut hukum penjumlahan kombinasi, jika suatu ekspresi terdiri dari beberapa suku, maka jumlahnya tidak akan bergantung pada urutan tindakan. Artinya, persyaratan dapat ditambahkan dalam urutan apa pun.

Mari kita tidak menemukan kembali rodanya, tetapi tambahkan semua istilah dari kiri ke kanan sesuai urutan kemunculannya:

Tindakan pertama:

(−3,8) + (+17,15) = 17,15 − 3,80 = 13,35

Tindakan kedua:

13,35 + (−6,2) = 13,35 − −6,20 = 7,15

Tindakan ketiga:

7,15 + (−6,15) = 7,15 − 6,15 = 1,00 = 1

Menjawab: nilai ekspresi −3.8 + 17.15 − 6.2 − 6.15 adalah 1.

Contoh 24. Temukan nilai sebuah ekspresi

Mari kita ubah pecahan desimal −1,8 menjadi bilangan campuran. Mari kita tulis ulang sisanya tanpa mengubah:

Kozhinova Anastasia

ANGGARAN BUKAN KHUSUS KOTA

LEMBAGA PENDIDIKAN UMUM

"LYCEUM No.76"

APA RAHASIA AKUNTANSI RASIONAL?

Dilakukan:

Siswa kelas "B" ke-5

Kozhinova Anastasia

Pengawas:

Guru matematika

Shchiklina Tatyana

Nikolaevna

Novokuznetsk 2013

Pendahuluan………………………………………………… 3

Bagian Utama....……………………………………………………….......... 5-13

Kesimpulan dan Kesimpulan………………………………………………….. 13-14

Referensi…………………………………………………..... 15

Aplikasi……………………………………………………. 16-31

SAYA. Perkenalan

Masalah: menemukan nilai ekspresi numerik

Tujuan pekerjaan: pencarian, studi tentang metode dan teknik akuntansi rasional yang ada, menerapkannya dalam praktik.

Tugas:

1. Melakukan mini-research berupa survei antar kelas paralel.

2. Analisis topik penelitian: literatur yang tersedia di perpustakaan sekolah, informasi dalam buku teks matematika kelas 5, di Internet.

3. Pilih metode dan sarana akuntansi rasional yang paling efektif.

4. Mengklasifikasikan teknik berhitung cepat lisan dan tulisan yang ada.

5. Membuat pengingat berisi teknik berhitung rasional untuk digunakan pada kelas 5 paralel.

Objek studi: akun rasional.

Subyek studi: metode penghitungan rasional.

Untuk menjamin efektivitas pekerjaan penelitian, saya menggunakan metode berikut: analisis informasi yang diperoleh dari berbagai sumber, sintesis, generalisasi; survei sosiologis dalam bentuk kuesioner. Kuesioner yang saya kembangkan sesuai dengan maksud dan tujuan penelitian, usia responden, dan disajikan pada bagian utama pekerjaan.

Selama pekerjaan penelitian, isu-isu yang berkaitan dengan metode dan teknik perhitungan rasional dipertimbangkan, dan rekomendasi diberikan untuk menghilangkan masalah dengan keterampilan komputasi dan untuk membentuk budaya komputasi.

II. Bagian utama

Pembentukan budaya komputasi siswa

kelas 5–6.

Jelaslah bahwa teknik perhitungan rasional merupakan elemen penting dari budaya komputasi dalam kehidupan setiap orang, terutama karena signifikansi praktisnya, dan siswa membutuhkannya hampir di setiap pembelajaran.

Budaya komputasi menjadi landasan pembelajaran matematika dan disiplin ilmu lainnya, karena selain fakta bahwa perhitungan mengaktifkan memori dan perhatian, membantu mengatur aktivitas secara rasional dan secara signifikan mempengaruhi perkembangan manusia.

Dalam kehidupan sehari-hari, di ruang kelas, ketika setiap menit sangat berharga, sangat penting untuk melakukan perhitungan lisan dan tertulis dengan cepat dan rasional, tanpa membuat kesalahan dan tanpa menggunakan alat komputasi tambahan apa pun.

Kami, anak-anak sekolah, menghadapi masalah ini di mana-mana: di kelas, di rumah, di toko, dll. Selain itu, setelah kelas 9 dan 11 kita harus mengikuti ujian berupa IGA dan Unified State Examination yang tidak diperbolehkan menggunakan mikrokalkulator. Oleh karena itu, masalah pengembangan budaya komputasi pada setiap orang yang salah satu unsurnya adalah penguasaan teknik perhitungan rasional menjadi sangat penting.

Sangatlah penting untuk menguasai teknik penghitungan rasional

dalam mempelajari mata pelajaran seperti matematika, sejarah, teknologi, ilmu komputer, dll., yaitu perhitungan rasional membantu untuk menguasai mata pelajaran terkait, untuk lebih menavigasi materi yang dipelajari, dalam situasi kehidupan. Jadi apa yang kita tunggu? Mari masuk ke dunia rahasia teknik berhitung rasional!!!

Masalah apa yang dihadapi siswa saat melakukan perhitungan?

Teman-teman seusia saya sering kali mengalami kesulitan dalam melakukan berbagai tugas sehingga mereka perlu melakukan perhitungan dengan cepat dan nyaman . Mengapa???

Berikut beberapa tebakannya:

1. Siswa kurang memahami topik yang dipelajari dengan baik

2. Siswa tidak mengulang materi.

3. Siswa memiliki kemampuan berhitung yang buruk.

4. Siswa tidak mau mempelajari topik ini

5. Siswa menganggap hal tersebut tidak berguna baginya.

Saya mengambil semua asumsi ini dari pengalaman saya dan pengalaman teman sekelas dan teman-teman saya. Namun, dalam latihan komputasi, keterampilan berhitung rasional memegang peranan penting, jadi saya telah mempelajari, menerapkan, dan ingin memperkenalkan beberapa teknik berhitung rasional.

Metode rasional perhitungan lisan dan tertulis.

Dalam pekerjaan dan kehidupan sehari-hari, kebutuhan akan berbagai jenis perhitungan selalu muncul. Penggunaan metode penghitungan mental yang paling sederhana mengurangi kelelahan, mengembangkan perhatian dan memori. Penggunaan metode perhitungan yang rasional diperlukan untuk meningkatkan tenaga kerja, keakuratan dan kecepatan perhitungan. Kecepatan dan keakuratan perhitungan hanya dapat dicapai dengan penggunaan metode dan mekanisasi perhitungan yang rasional, serta dengan penggunaan metode perhitungan mental yang benar.

SAYA. Teknik penyederhanaan penjumlahan bilangan

Ada empat metode penjumlahan yang diketahui dapat mempercepat penghitungan.

Metode penambahan bitwise berurutan digunakan dalam perhitungan mental, karena menyederhanakan dan mempercepat penjumlahan suku. Saat menggunakan metode ini, penjumlahan dimulai dari digit tertinggi: digit yang sesuai dari penjumlahan kedua ditambahkan ke penjumlahan pertama.

Contoh. Mari kita cari jumlah angka 5287 dan 3564 menggunakan metode penjumlahan bitwise berurutan.

Larutan. Kami akan melakukan perhitungan dengan urutan sebagai berikut:

5 287 + 3 000 = 8 287;

8 287 + 500 = 8 787;

8 787 + 60 = 8 847;

8 847 + 4 = 8 851.

Jawaban: 8 851. (hukum kombinatif-komutatif)

Cara lain untuk penambahan bitwise berurutan terdiri dari fakta bahwa angka tertinggi suku kedua ditambahkan ke angka tertinggi suku pertama, kemudian angka berikutnya dari suku kedua ditambahkan ke angka berikutnya dari suku pertama, dan seterusnya.

Mari kita pertimbangkan solusi ini menggunakan contoh yang diberikan, kita mendapatkan:

5 000 + 3 000 = 8 000;

200 + 500 = 700;

Jawaban: 8851.

Metode bilangan bulat . Suatu bilangan yang mempunyai satu angka penting dan diakhiri dengan satu atau lebih angka nol disebut bilangan bulat. Cara ini digunakan ketika dari dua suku atau lebih dapat dipilih suku-suku yang dapat diselesaikan untuk membentuk suatu bilangan bulat. Selisih antara bilangan bulat dengan bilangan yang ditentukan dalam kondisi perhitungan disebut komplemen. Misalnya 1.000 - 978 = 22. Dalam hal ini, angka 22 adalah penjumlahan aritmatika dari 978 menjadi 1.000.

Untuk melakukan penjumlahan dengan metode bilangan bulat, Anda perlu membulatkan satu atau lebih suku yang mendekati bilangan bulat, melakukan penjumlahan bilangan bulat, dan mengurangi penjumlahan aritmatika dari jumlah yang dihasilkan.

Contoh. Mari kita cari jumlah bilangan 1.238 dan 193 dengan menggunakan metode bilangan bulat.

Larutan. Mari kita bulatkan angka 193 menjadi 200 dan tambahkan sebagai berikut: 1,238 + 193 = (1,238 + 200) - 7 = 1,431. (hukum kombinasi)

Metode pengelompokan istilah . Cara ini digunakan jika suku-suku tersebut, jika dikelompokkan, menghasilkan bilangan bulat, yang kemudian dijumlahkan.

Contoh. Mari kita cari jumlah bilangan 74, 32, 67, 48, 33 dan 26.

Larutan. Mari kita jumlahkan bilangan-bilangan yang dikelompokkan sebagai berikut: (74 + 26) + (32 + 48) + (67 + 33) = 280.

(hukum kombinatif-komutatif)

atau, ketika pengelompokan angka menghasilkan jumlah yang sama:

Contoh:1+2+3+4+5+…+97+98+99+100= (1+100)+(2+99)+(3+98)+…=101x50=5050

(hukum kombinatif-komutatif)

II. Teknik pengurangan bilangan yang disederhanakan

Metode pengurangan bitwise berurutan. Metode ini secara berurutan mengurangi setiap digit yang dikurangi dari minuend. Digunakan ketika angka tidak dapat dibulatkan.

Contoh. Mari kita cari perbedaan angka 721 dan 398.

Larutan. Mari kita lakukan langkah-langkah mencari selisih bilangan-bilangan tertentu dengan urutan sebagai berikut:

Bayangkan bilangan 398 sebagai penjumlahan: 300 + 90 + 8 = 398;

Mari kita lakukan pengurangan bitwise:

721 - 300 = 421; 421 - 90 = 331; 331 - 8 = 323.

Metode bilangan bulat . Cara ini digunakan bila pengurang mendekati suatu bilangan bulat. Untuk menghitung, perlu mengurangi pengurangan, yang diambil sebagai bilangan bulat, dari pengurangan, dan menambahkan penjumlahan aritmatika ke selisih yang dihasilkan.

Contoh. Mari kita hitung selisih angka 235 dan 197 dengan menggunakan metode bilangan bulat.

Larutan. 235 - 197 = 235 - 200 + 3 = 38.

AKU AKU AKU. Teknik perkalian bilangan yang disederhanakan

Kalikan dengan satu diikuti dengan nol. Saat mengalikan suatu bilangan dengan bilangan yang mengandung satu diikuti dengan nol (10; 100; 1.000, dst.), angka nol yang ditambahkan di sebelah kanan sama banyaknya dengan jumlah faktor setelah satu.

Contoh. Mari kita cari hasil kali angka 568 dan 100.

Larutan. 568 x 100 = 56.800.

Metode perkalian bitwise berurutan . Metode ini digunakan saat mengalikan suatu bilangan dengan bilangan satu digit apa pun. Jika suatu bilangan dua digit (tiga, empat digit, dst.) perlu dikalikan dengan bilangan satu digit, pertama-tama faktor satu digit tersebut dikalikan dengan puluhan faktor lainnya, kemudian dengan satuannya dan produk yang dihasilkan dijumlahkan.

Contoh. Mari kita cari hasil kali angka 39 dan 7.

Larutan. 39 x 7 = (30+9) x 7 = (30 x 7) + (9 x 7) = 210 + 63 = 273. (hukum distributif perkalian terhadap penjumlahan)

Metode bilangan bulat . Cara ini hanya digunakan jika salah satu faktornya mendekati bilangan bulat. Pengganda dikalikan dengan bilangan bulat, lalu dengan penjumlahan aritmatika, dan pada akhirnya bilangan kedua dikurangi dari hasil perkalian pertama.

Contoh. Mari kita cari hasil kali bilangan 174 dan 69.

174 x 69 =174 x (70-1) =174 x 70 - 174 x 1 = 12,180 - 174 = 12,006 (hukum distributif perkalian terhadap pengurangan)

Suatu metode untuk menguraikan salah satu faktor. Dalam metode ini, salah satu faktor terlebih dahulu dipecah menjadi beberapa bagian (penjumlahan), kemudian faktor kedua dikalikan secara bergantian dengan setiap bagian dari faktor pertama, dan hasil perkaliannya dijumlahkan.

Contoh. Mari kita cari hasil kali angka 13 dan 325.

Mari kita uraikan bilangan 13 menjadi suku-suku: 13 = 10 + 3. Kalikan setiap suku yang dihasilkan dengan 325: 10 x 325 = 3,250; 3 x 325 = 975. Kita jumlahkan hasil perkaliannya: 3.250 + 975 = 4.225

Menguasai keterampilan perhitungan mental rasional akan membuat pekerjaan Anda lebih efektif. Hal ini hanya mungkin terjadi dengan penguasaan yang baik atas semua operasi aritmatika yang diberikan. Penggunaan teknik penghitungan rasional mempercepat penghitungan dan menjamin keakuratan yang diperlukan. Namun Anda tidak hanya harus bisa berhitung saja, tetapi Anda juga perlu mengetahui tabel perkalian, hukum operasi aritmatika, kelas dan pangkat.

Ada sistem penghitungan mental yang memungkinkan Anda menghitung secara lisan dengan cepat dan rasional. Kami akan melihat beberapa teknik yang paling umum digunakan.

1. Mengalikan bilangan dua angka dengan 11.

Kami telah mempelajari metode ini, tetapi kami belum mempelajarinya secara menyeluruh Rahasia metode ini adalah dapat dianggap sebagai hukum operasi aritmatika.

Contoh:

23x11= 23x(10+1) = 23x10+23x1=253 (hukum distributif perkalian terhadap penjumlahan)

23x11=(20+3)x 11= 20x11+3x11=253 (hukum distribusi dan metode bilangan bulat)

Kami mempelajari metode ini, tetapi kami tidak mengetahui metode lainnya Rahasia mengalikan angka dua digit dengan 11.

Saat mengamati hasil yang diperoleh saat mengalikan angka dua digit dengan 11, saya perhatikan ada cara yang lebih mudah untuk mendapatkan jawabannya. : pada saat mengalikan suatu bilangan dua angka dengan 11, angka-angka dari angka tersebut dijauhkan dan jumlah angka-angka tersebut ditempatkan di tengah.

a) 23 11=253, karena 2+3=5;

b) 45 11=495, karena 4+5=9;

c) 57 11=627, karena 5+7=12, keduanya ditempatkan di tengah, dan yang satu ditambahkan ke tempat ratusan;

d) 78 11=858, karena 7+8=15, maka banyaknya puluhan akan sama dengan 5, dan banyaknya ratusan akan bertambah satu menjadi sama dengan 8.

Saya menemukan konfirmasi metode ini di Internet.

2) Hasil kali dua angka bilangan yang bilangan puluhannya sama dan jumlah satuannya adalah 10, yaitu 23 27; 34 36; 52 58 dst.

Aturan: angka puluhan dikalikan dengan angka berikutnya pada deret natural, hasilnya dituliskan dan dijumlahkan hasil kali satuannya.

a) 23 27=621. Bagaimana Anda mendapatkan 621? Kita kalikan angka 2 dengan 3 (“dua” diikuti dengan “tiga”), menjadi 6, dan di sebelahnya kita jumlahkan hasil kali satu: 3 7 = 21, ternyata 621.

b) 34 36 = 1224, karena 3 4 = 12, kita tetapkan 24 pada bilangan 12, ini hasil kali satuan bilangan-bilangan tersebut: 4 6.

c) 52 58 = 3016, karena angka puluhan 5 kita kalikan dengan 6 maka hasilnya adalah 30, kita tentukan hasil kali 2 dan 8 yaitu 16.

d) 61 69=4209. Jelas 6 dikalikan 7 dan didapat 42. Dari mana datangnya nol? Satuannya dikalikan dan didapat: 1 9 = 9, tapi hasilnya harus dua angka, jadi kita ambil 09.

3) Membagi bilangan tiga angka yang terdiri dari angka-angka yang identik dengan angka 37. Hasilnya sama dengan jumlah angka-angka identik dari angka tiga angka tersebut (atau angka yang sama dengan tiga kali angka dari angka tiga angka tersebut).

Contoh: a) 222:37=6. Ini jumlah 2+2+2=6; b) 333:37=9, karena 3+3+3=9.

c) 777:37=21, yaitu 7+7+7=21.

d) 888:37=24, karena 8+8+8=24.

Kami juga memperhitungkan bahwa 888:24=37.

AKU AKU AKU. Kesimpulan

Untuk mengungkap rahasia utama dalam topik pekerjaan saya, saya harus bekerja keras - mencari, menganalisis informasi, mensurvei teman sekelas, mengulangi metode awal yang diketahui dan menemukan banyak metode perhitungan rasional yang asing, dan akhirnya memahami apa rahasianya? Dan saya menyadari bahwa yang utama adalah mengetahui dan mampu menerapkan yang diketahui, menemukan metode penghitungan rasional baru, tabel perkalian, komposisi bilangan (kelas dan pangkat), hukum operasi aritmatika. Di samping itu,

mencari cara baru:

- Teknik penyederhanaan penjumlahan bilangan: (metode penjumlahan bitwise berurutan; metode bilangan bulat; metode penguraian salah satu faktor menjadi suku-suku);

-Teknik pengurangan bilangan yang disederhanakan(metode pengurangan bitwise berurutan; metode bilangan bulat);

-Teknik perkalian bilangan yang disederhanakan(perkalian dengan satu diikuti dengan nol; metode perkalian bitwise berurutan; metode bilangan bulat; metode penguraian salah satu faktor ;

- Rahasia penghitungan mental yang cepat(mengalikan bilangan dua angka dengan 11: ketika mengalikan bilangan dua angka dengan 11, angka-angka dari angka tersebut dijauhkan dan jumlah dari angka-angka tersebut ditempatkan di tengah; hasil kali dari angka-angka dua angka yang mempunyai bilangan puluhan yang sama, dan jumlah satuannya adalah 10; Pembagian tiga angka bilangan yang terdiri dari angka-angka yang sama, menjadi bilangan 37. Mungkin masih banyak lagi cara seperti itu, jadi saya akan terus mengerjakan topik ini selanjutnya tahun.

IV. Bibliografi

1. Savin A. P. Miniatur matematika / A. P. Savin. – M.: Sastra Anak, 1991

2. Zubareva I.I., Matematika, kelas 5: buku teks untuk siswa lembaga pendidikan umum / I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich. – M.: Mnemosyne, 2011

4.http://www. xreferat.ru

5.http://www. biografia.ru

6.http://www. Pengulangan matematika. ru

V. Aplikasi

Mini study (survei dalam bentuk kuisioner)

Untuk mengetahui pengetahuan siswa tentang berhitung rasional, saya melakukan survei berupa angket dengan pertanyaan-pertanyaan berikut:

* Tahukah Anda apa itu teknik berhitung rasional?

* Jika ya, lalu dari mana, dan jika tidak, mengapa?

* Berapa banyak cara penghitungan rasional yang Anda ketahui?

* Apakah Anda mengalami kesulitan dalam perhitungan mental?

* Bagaimana Anda belajar matematika? a) sampai “5”; b) sampai “4”; c) sampai “3”

*Apa yang paling Anda sukai dari matematika?

a) contoh; b) tugas; c) pecahan

* Menurut Anda, di manakah aritmatika mental dapat berguna, selain matematika? *Apakah Anda ingat hukum operasi aritmatika, dan jika ya, yang mana?

Setelah melakukan survei, saya menyadari bahwa teman-teman sekelas saya kurang mengetahui tentang hukum-hukum operasi aritmatika, kebanyakan dari mereka mempunyai masalah dengan berhitung rasional, banyak siswa berhitung dengan lambat dan salah, dan semua orang ingin belajar berhitung dengan cepat, benar dan benar. dengan cara yang nyaman. Oleh karena itu, topik penelitian saya sangat penting bagi semua siswa dan tidak hanya.

1. Metode perhitungan lisan dan tulisan menarik yang kita pelajari dalam pelajaran matematika, dengan menggunakan contoh dari buku teks “Matematika kelas 5”:

Berikut beberapa di antaranya:

untuk mengalikan angka dengan 5 dengan cepat, cukup diperhatikan bahwa 5=10:2.

Misalnya, 43x5=(43x10):2=430:2=215;

48x5=(48:2)x10=24x10=240.

Untuk mengalikan suatu angka dengan 50 , Anda dapat mengalikannya dengan 100 dan membaginya dengan 2.

Misalnya: 122x50=(122x100):2=12200:2=6100

Untuk mengalikan suatu bilangan dengan 25 , Anda bisa mengalikannya dengan 100 dan membaginya dengan 4,

Misalnya, 32x25=(32 x 100):4=3200:4=800

Untuk mengalikan suatu bilangan dengan 125 , Anda bisa mengalikannya dengan 1000 dan membaginya dengan 8,

Misalnya: 192x125=(192x1000):8=192000:8=24000

Untuk membagi bilangan bulat dengan dua angka 0 di akhir dengan 25 , Anda dapat membaginya dengan 100 dan mengalikannya dengan 4.

Misalnya: 2400:25=(2400:100) x 4=24 x 4=96

Untuk membagi bilangan bulat dengan 50 , dapat dibagi 100 dan dikalikan 2

Misalnya: 4500:50=(4500:100) x 2 =45 x 2 =90

Namun Anda tidak hanya harus bisa menghitung saja, tetapi Anda juga perlu mengetahui tabel perkalian, hukum-hukum operasi aritmatika, susunan bilangan (kelas dan angka) serta memiliki keterampilan dalam menggunakannya.

Hukum operasi aritmatika.

A + B = B + A

Hukum penjumlahan komutatif

(A + B) + C = A + (B + C)

Hukum kombinasi penjumlahan

A · B = B · A

Hukum perkalian komutatif

(A · B) · C = A · (B · C)

Hukum perkalian kombinasi

(A = B) · C = A · C = B · C

Hukum distributif perkalian (relatif terhadap penjumlahan)

Tabel perkalian.

Apa itu perkalian?

Ini adalah tambahan yang cerdas.

Lagi pula, lebih pintar untuk mengalikan kali,

Kemudian tambahkan semuanya selama satu jam.

Tabel perkalian

Kita semua membutuhkannya dalam hidup kita.

Dan itu tidak sia-sia

Dia BERKALI-KALI!

Pangkat dan kelas

Agar mudah membaca dan juga mengingat angka-angka yang bernilai besar, angka-angka tersebut harus dibagi menjadi apa yang disebut “kelas”: mulai dari kanan, angka tersebut dibagi dengan spasi menjadi tiga digit “kelas satu”, lalu yang lain tiga digit dipilih, "kelas kedua" dan seterusnya. Tergantung pada arti angkanya, kelas terakhir dapat diakhiri dengan tiga, dua atau satu digit.

Misalnya angka 35461298 ditulis sebagai berikut:

Nomor ini dibagi menjadi beberapa kelas:

482 – kelas satu (kelas unit)

630 – kelas dua (kelas ribuan)

35 – kelas tiga (kelas jutaan)

Memulangkan

Setiap angka yang termasuk dalam kelas disebut angkanya sendiri, yang juga dihitung dari kanan.

Misalnya angka 35.630.482 dapat dipecah menjadi kelas dan pangkat:

482 – kelas satu

2 – digit pertama (digit satuan)

8 – digit kedua (tempat puluhan)

4 – digit ketiga (seratus tempat)

630 – kelas dua

0 – digit pertama (ribuan digit)

3 – digit kedua (angka puluhan ribu)

6 – digit ketiga (ratusan ribu digit)

35 – kelas tiga

5 – digit pertama (jutaan digit)

3 – digit kedua (angka puluhan juta)

Angka 35.630.482 terbaca:

Tiga puluh lima juta enam ratus tiga puluh ribu empat ratus delapan puluh dua.

Masalah penghitungan rasional dan cara memperbaikinya

Metode menghafal yang rasional.

Dari hasil survey dan observasi pembelajaran, saya melihat ada beberapa siswa yang tidak menyelesaikan berbagai soal dan latihan dengan baik karena belum menguasai teknik perhitungan rasional.

1. Salah satu tekniknya adalah dengan membawa materi yang dipelajari ke dalam suatu sistem yang nyaman untuk dihafal dan disimpan dalam memori.

2. Agar materi yang dihafal dapat disimpan oleh memori dalam suatu sistem tertentu, perlu dilakukan beberapa pekerjaan pada isinya.

3. Kemudian Anda dapat mulai mengasimilasi setiap bagian teks, membacanya kembali dan mencoba untuk segera mereproduksi (mengulangi sendiri atau dengan suara keras) apa yang Anda baca.

4. Pengulangan materi sangat penting untuk menghafal. Pepatah populer mengatakan tentang hal ini: “Pengulangan adalah ibu dari pembelajaran.” Namun harus diulangi dengan bijak dan benar.

Pekerjaan pengulangan harus diramaikan dengan menggunakan ilustrasi atau contoh yang sebelumnya tidak ada atau sudah dilupakan.

Berdasarkan uraian di atas, secara singkat dapat kita rumuskan rekomendasi keberhasilan penguasaan materi pendidikan sebagai berikut:

1. Tetapkan tugas, cepat dan tegas mengingat materi pendidikan dalam waktu yang lama.

2. Fokus pada apa yang perlu dipelajari.

3. Memahami materi pelajaran dengan baik.

4. Buatlah rencana untuk teks yang dihafal, soroti pemikiran utama di dalamnya, dan bagi teks menjadi beberapa bagian.

5. Jika materinya banyak, kuasai satu demi satu bagian secara berurutan, lalu sajikan semuanya secara keseluruhan.

6. Setelah membaca materi, Anda perlu memperbanyaknya (ceritakan apa yang Anda baca).

7. Ulangi materi sebelum terlupakan.

8. Bagikan pengulangan dalam jangka waktu yang lebih lama.

9. Saat menghafal, gunakan berbagai jenis memori (terutama semantik) dan beberapa karakteristik memori Anda (visual, auditori, atau motorik).

10. Materi yang sulit harus diulang sebelum tidur, dan kemudian di pagi hari, “untuk menyegarkan ingatan.”

11. Cobalah untuk menerapkan pengetahuan yang diperoleh dalam praktik. Ini adalah cara terbaik untuk menyimpannya dalam ingatan (bukan tanpa alasan mereka mengatakan: “Induk sebenarnya dari pembelajaran bukanlah pengulangan, tetapi penerapan”).

12. Kita perlu memperoleh lebih banyak pengetahuan, mempelajari sesuatu yang baru.

Sekarang Anda telah belajar cara mengingat materi yang telah Anda pelajari dengan cepat dan benar.

Teknik menarik untuk mengalikan beberapa bilangan dengan 9 yang dikombinasikan dengan penjumlahan bilangan asli berurutan dari 2 hingga 10

12345x9+6=111111

123456x9+7=1111111

1234567x9+8=11111111

12345678x9+9=111111111

123456789x9+10=1111111111

Game menarik “Tebak nomornya”

Sudahkah Anda memainkan game "Tebak Angka"? Ini adalah permainan yang sangat sederhana. Katakanlah saya memikirkan bilangan asli yang kurang dari 100, menuliskannya di kertas (agar tidak ada kemungkinan curang), dan Anda mencoba menebaknya dengan mengajukan pertanyaan yang hanya bisa dijawab “ya” atau “tidak”. Kemudian Anda menebak sebuah angka, dan saya mencoba menebaknya. Siapa pun yang menebak dengan benar dalam lebih sedikit pertanyaan, dialah pemenangnya.

Berapa banyak pertanyaan yang diperlukan agar Anda dapat menebak nomor saya? Tidak tahu? Saya berjanji untuk menebak nomor Anda hanya dengan menanyakan tujuh pertanyaan. Bagaimana? Begini caranya, misalnya. Biarkan Anda menebak angka. Saya bertanya: “Apakah kurang dari 64?” - "Ya". - “Kurang dari 32?” - "Ya". - “Kurang dari 16?” - "Ya". - “Kurang dari 8?” - "TIDAK". - “Kurang dari 12?” - "TIDAK". - “Kurang dari 14?” - "Ya". - “Kurang dari 13?” - "TIDAK". - “Nomor 13 direncanakan.”

Itu sudah jelas? Saya membagi himpunan angka-angka yang mungkin menjadi dua, lalu separuh sisanya menjadi dua lagi, dan seterusnya, hingga sisanya berisi satu angka.

Jika Anda menyukai permainan ini atau, sebaliknya, menginginkan lebih, pergilah ke perpustakaan dan ambil buku “A. P. Savin (Miniatur Matematika). Dalam buku ini Anda akan menemukan banyak hal menarik dan mengasyikkan. Gambar buku:

Terima kasih semuanya atas perhatian Anda

Dan saya berharap Anda sukses!!!

Unduh:

Pratinjau:

Untuk menggunakan pratinjau presentasi, buat akun Google dan masuk ke akun tersebut: https://accounts.google.com

Keterangan slide:

Apa rahasia penghitungan rasional?

Tujuan pekerjaan: mencari informasi, mempelajari metode dan teknik akuntansi rasional yang ada, menerapkannya dalam praktik.

tugas: 1. Melakukan mini-research berupa survei antar kelas paralel. 2. Analisis topik penelitian: literatur yang tersedia di perpustakaan sekolah, informasi dalam buku teks matematika kelas 5, serta di Internet. 3. Pilih metode dan cara penghitungan rasional yang paling efektif. 4. Mengklasifikasikan teknik berhitung cepat lisan dan tulisan yang ada. 5. Membuat Memo berisi teknik berhitung rasional untuk digunakan pada kelas 5 paralel.

Seperti yang sudah saya katakan, topik perhitungan rasional relevan tidak hanya untuk siswa, tetapi juga untuk setiap orang, untuk memastikan hal tersebut, saya melakukan survei pada siswa kelas 5 SD. Pertanyaan dan jawaban survei disajikan kepada Anda di lampiran.

Apa itu penghitungan rasional? Akun rasional adalah akun yang nyaman (kata rasional berarti nyaman, benar)

Mengapa siswa mengalami kesulitan???

Berikut beberapa asumsinya: Siswa: 1. kurang memahami topik yang dipelajari; 2. tidak mengulang materi; 3. mempunyai kemampuan berhitung yang buruk; 4. percaya bahwa dia tidak akan membutuhkannya.

Metode rasional perhitungan lisan dan tertulis. Dalam pekerjaan dan kehidupan sehari-hari, kebutuhan akan berbagai jenis perhitungan selalu muncul. Penggunaan metode penghitungan mental yang paling sederhana mengurangi kelelahan, mengembangkan perhatian dan memori.

Ada empat metode penjumlahan yang diketahui dapat mempercepat penghitungan. I. Teknik penyederhanaan penjumlahan bilangan

Metode penambahan bitwise berurutan digunakan dalam perhitungan mental, karena metode ini menyederhanakan dan mempercepat penjumlahan suku. Saat menggunakan metode ini, penjumlahan dimulai dari digit tertinggi: digit yang sesuai dari penjumlahan kedua ditambahkan ke penjumlahan pertama. Contoh. Mari kita cari jumlah angka 5287 dan 3564 menggunakan cara ini. Larutan. Kita akan melakukan perhitungan dengan urutan sebagai berikut: 5,287 + 3,000 = 8,287; 8.287 + 500 = 8.787; 8.787 + 60 = 8.847; 8847 + 4 = 8851. Jawaban: 8.851.

Cara lain penjumlahan bitwise berurutan adalah dengan menambahkan digit tertinggi dari penjumlahan kedua ke digit tertinggi penjumlahan pertama, kemudian digit berikutnya dari penjumlahan kedua ditambahkan ke digit berikutnya dari penjumlahan pertama, dan seterusnya. Mari kita perhatikan solusi ini menggunakan contoh yang diberikan, kita mendapatkan: 5.000 + 3.000 = 8.000; 200 + 500 = 700; 80 + 60 = 140; 7 + 4 = 11 Jawaban: 8851.

Metode bilangan bulat. Bilangan yang diakhiri dengan satu atau lebih angka nol disebut bilangan bulat. Cara ini digunakan ketika dari dua suku atau lebih dapat dipilih suku-suku yang dapat diselesaikan untuk membentuk suatu bilangan bulat. Selisih antara bilangan bulat dengan bilangan yang ditentukan dalam kondisi perhitungan disebut komplemen. Misalnya 1.000 - 978 = 22. Dalam hal ini, angka 22 merupakan penjumlahan aritmatika dari angka 978 dengan 1.000. Untuk melakukan penjumlahan dengan metode bilangan bulat, Anda perlu membulatkan satu atau lebih suku yang mendekati bilangan bulat, melakukan penjumlahan bilangan bulat, dan mengurangi penjumlahan aritmatika dari jumlah yang dihasilkan. Contoh. Mari kita cari jumlah bilangan 1.238 dan 193 dengan menggunakan metode bilangan bulat. Larutan. Mari kita bulatkan angka 193 menjadi 200 dan lakukan penjumlahan sebagai berikut: 1,238 + 193 = (1,238 + 200) - 7 = 1,431.

Metode pengelompokan istilah. Cara ini digunakan jika suku-suku tersebut, jika dikelompokkan, menghasilkan bilangan bulat, yang kemudian dijumlahkan. Contoh. Tentukan jumlah bilangan 74, 32, 67, 48, 33 dan 26. Penyelesaian. Mari kita jumlahkan bilangan-bilangan yang dikelompokkan sebagai berikut: (74 + 26) + (32 + 48) + (67 + 33) = 280.

Metode penjumlahan berdasarkan pengelompokan istilah. Contoh: 1+2+3+4+5+6+7+8+9+…….+97+98+99+100=(1+100)+(2+99)+(3+98)= 101x50=5050.

II. Teknik pengurangan bilangan yang disederhanakan

Metode pengurangan bitwise berurutan. Metode ini secara berurutan mengurangi setiap digit yang dikurangi dari minuend. Digunakan ketika angka tidak dapat dibulatkan. Contoh. Mari kita cari perbedaan angka 721 dan 398. Mari kita lakukan langkah-langkah mencari selisih bilangan-bilangan tertentu dengan urutan sebagai berikut: bayangkan bilangan 398 sebagai penjumlahan: 300 + 90 + 8 = 398; Mari kita lakukan pengurangan bitwise: 721 - 300 = 421; 421 - 90 = 331; 331 - 8 = 323.

Metode bilangan bulat. Cara ini digunakan bila pengurang mendekati suatu bilangan bulat. Untuk menghitung, perlu mengurangi pengurangan, yang diambil sebagai bilangan bulat, dari pengurangan, dan menambahkan penjumlahan aritmatika ke selisih yang dihasilkan. Contoh. Mari kita hitung selisih angka 235 dan 197 dengan menggunakan metode bilangan bulat. Larutan. 235 - 197 = 235 - 200 + 3 = 38.

AKU AKU AKU. Teknik perkalian bilangan yang disederhanakan

Kalikan dengan satu diikuti dengan nol. Saat mengalikan suatu bilangan dengan bilangan yang mengandung satu diikuti dengan nol (10; 100; 1.000, dst.), angka nol yang ditambahkan di sebelah kanan sama banyaknya dengan jumlah faktor setelah satu. Contoh. Mari kita cari hasil kali bilangan 568 dan 100. Penyelesaian. 568 x 100 = 56.800.

Metode perkalian bitwise berurutan. Metode ini digunakan saat mengalikan suatu bilangan dengan bilangan satu digit apa pun. Jika Anda perlu mengalikan suatu bilangan dua digit (tiga, empat digit, dst.) dengan bilangan satu digit, pertama-tama salah satu faktornya dikalikan dengan puluhan faktor lainnya, kemudian dengan satuannya dan bilangan tersebut produk yang dihasilkan dijumlahkan. Contoh. Mari kita cari hasil kali angka 39 dan 7. Larutan. 39 x 7 = (30 x 7) + (9 x 7) = 210 + 63 = 273.

Metode bilangan bulat. Cara ini hanya digunakan jika salah satu faktornya mendekati bilangan bulat. Pengganda dikalikan dengan bilangan bulat, lalu dengan penjumlahan aritmatika, dan pada akhirnya bilangan kedua dikurangi dari hasil perkalian pertama. Contoh. Mari kita cari hasil kali bilangan 174 dan 69. Larutan. 174 x 69 = (174 x 70) - (174 x 1) = 12.180 - 174 = 12.006.

Suatu metode untuk menguraikan salah satu faktor. Dalam metode ini, salah satu faktor terlebih dahulu dipecah menjadi beberapa bagian (penjumlahan), kemudian faktor kedua dikalikan secara bergantian dengan setiap bagian dari faktor pertama, dan hasil perkaliannya dijumlahkan. Contoh. Mari kita cari hasil kali angka 13 dan 325. Larutan. Mari kita uraikan bilangan tersebut menjadi suku-suku: 13 = 10 + 3. Kalikan setiap suku yang dihasilkan dengan 325: 10 x 325 = 3,250; 3 x 325 = 975 Kita jumlahkan hasil perkaliannya: 3,250 + 975 = 4,225.

Rahasia perhitungan mental yang cepat. Ada sistem penghitungan mental yang memungkinkan Anda menghitung secara lisan dengan cepat dan rasional. Kami akan melihat beberapa teknik yang paling umum digunakan.

Mengalikan bilangan dua angka dengan 11.

Contoh: 23x11= 23x(10+1) = 23x10+23x1=253 (hukum distributif perkalian terhadap penjumlahan) 23x11=(20+3)x 11= 20x11+3x11=253 (hukum distributif dan metode bilangan bulat) Kita pelajari cara ini, tapi kami belum mengetahui rahasia lain mengalikan angka dua digit dengan 11.

Mengamati hasil yang diperoleh saat mengalikan angka dua digit dengan 11, saya perhatikan bahwa Anda bisa mendapatkan jawabannya dengan cara yang lebih mudah: saat mengalikan angka dua digit dengan 11, digit angka ini dipisah dan dijumlahkan. angka diletakkan di tengah. Contoh. a) 23 11=253, karena 2+3=5; b) 45 11=495, karena 4+5=9; c) 57 11=627, karena 5+7=12, keduanya ditempatkan di tengah, dan yang satu ditambahkan ke tempat ratusan; Saya menemukan konfirmasi metode ini di Internet.

2) Hasil kali dua angka bilangan yang banyaknya puluhan sama dan jumlah satuannya 10 yaitu 23 27; 34 36; 52 58, dst. Aturan: angka puluhan dikalikan dengan angka berikutnya pada deret natural, hasilnya dicatat dan hasil kali satuannya dijumlahkan. Contoh. a) 23 27=621. Bagaimana Anda mendapatkan 621? Kita kalikan angka 2 dengan 3 (“dua” diikuti dengan “tiga”), menjadi 6, dan di sebelahnya kita jumlahkan hasil kali satu: 3 7 = 21, ternyata 621. b) 34 36 = 1224, karena 3 4 = 12, kita tetapkan 24 pada bilangan 12, ini hasil kali satuan bilangan-bilangan tersebut: 4 6.

3) Pembagian bilangan tiga angka yang terdiri dari angka-angka identik dengan angka 37. Hasilnya sama dengan jumlah angka-angka identik dari suatu bilangan tiga angka (atau suatu bilangan yang sama dengan tiga kali lipat angka dari suatu bilangan tiga angka). Contoh. a) 222:37=6. Jumlahnya adalah 2+2+2=6. b) 333:37=9, karena 3+3+3=9. c) 777:37=21, yaitu 7+7+7=21. d) 888:37=24, karena 8+8+8=24. Kami juga memperhitungkan bahwa 888:24=37.

Menguasai keterampilan perhitungan mental rasional akan membuat pekerjaan Anda lebih efektif. Hal ini hanya mungkin terjadi dengan penguasaan yang baik atas semua operasi aritmatika yang diberikan. Penggunaan teknik penghitungan rasional mempercepat penghitungan dan menjamin keakuratan yang diperlukan.

Kesimpulan Untuk mengungkap rahasia utama dalam topik pekerjaan saya, saya harus bekerja keras - mencari, menganalisis informasi, mensurvei teman sekelas, mengulangi metode awal yang diketahui dan menemukan banyak metode perhitungan rasional yang asing, dan akhirnya memahami apa rahasianya? Dan saya menyadari bahwa yang utama adalah mengetahui dan mampu menerapkan yang diketahui, menemukan metode penghitungan rasional baru, mengetahui tabel perkalian, komposisi bilangan (kelas dan pangkat), hukum operasi aritmatika. Selain itu, carilah cara baru:

Teknik penjumlahan bilangan yang disederhanakan: (metode penjumlahan bitwise berurutan; metode bilangan bulat; metode penguraian salah satu faktor menjadi suku-suku); - Teknik pengurangan bilangan yang disederhanakan (metode pengurangan bitwise berurutan; metode bilangan bulat); - Teknik perkalian bilangan yang disederhanakan (mengalikan satu diikuti dengan nol; metode perkalian bitwise berurutan; metode bilangan bulat; metode penguraian salah satu faktor; - Rahasia perhitungan mental cepat (mengalikan bilangan dua digit dengan 11: ketika suatu bilangan dua angka dikalikan dengan 11, angka-angka dari angka itu dijauhkan dan di tengah-tengahnya dibubuhkan jumlah dari angka-angka itu; hasil kali dua angka yang mempunyai jumlah puluhan yang sama, dan jumlah satuannya adalah 10; Pembagian bilangan tiga angka yang terdiri dari angka-angka yang sama dengan angka 37. Mungkin masih banyak lagi cara seperti itu, jadi saya akan terus mengerjakan topik ini tahun depan.

Sebagai penutup, saya ingin mengakhiri pidato saya dengan kata-kata ini:

Terima kasih atas perhatiannya, semoga sukses!!!