Penerapan berbagai metode faktorisasi. Memfaktorkan polinomial Penerapan berbagai metode faktorisasi

Ini adalah salah satu cara paling dasar untuk menyederhanakan suatu ekspresi. Untuk menerapkan cara ini, mari kita ingat hukum distributif perkalian terhadap penjumlahan (jangan takut dengan kata-kata ini, Anda pasti tahu hukum ini, Anda mungkin lupa namanya).

Hukumnya berbunyi: untuk mengalikan jumlah dua bilangan dengan bilangan ketiga, Anda perlu mengalikan setiap suku dengan bilangan tersebut dan menjumlahkan hasilnya, dengan kata lain, .

Anda juga dapat melakukan operasi kebalikannya, dan operasi kebalikan inilah yang menarik minat kami. Terlihat dari sampel, faktor persekutuan a dapat dikeluarkan dari kurung.

Operasi serupa dapat dilakukan dengan variabel, seperti dan, misalnya, dan dengan angka: .

Ya, ini adalah contoh yang sangat mendasar, sama seperti contoh yang diberikan sebelumnya, dengan penguraian suatu bilangan, karena semua orang tahu bahwa bilangan habis dibagi, tetapi bagaimana jika Anda mendapatkan ekspresi yang lebih rumit:

Bagaimana cara mengetahui, misalnya, suatu bilangan habis dibagi? Tidak, siapa pun bisa melakukannya dengan kalkulator, tetapi tanpanya sulit? Dan untuk ini ada tanda-tanda keterbagian, tanda-tanda ini sangat berharga untuk diketahui, mereka akan membantu Anda dengan cepat memahami apakah faktor persekutuan dapat dikeluarkan dari kurung.

Tanda-tanda perpecahan

Tidak terlalu sulit untuk mengingatnya; kemungkinan besar, sebagian besar sudah Anda kenal, dan beberapa akan menjadi penemuan baru yang berguna, lebih detailnya ada di tabel:

Catatan: Tabel tersebut tidak memenuhi uji pembagian dengan 4. Jika dua angka terakhirnya habis dibagi 4, maka seluruh bilangan tersebut habis dibagi 4.

Nah, bagaimana Anda menyukai tandanya? Saya menyarankan Anda untuk mengingatnya!

Baiklah, mari kita kembali ke ungkapan itu, mungkin dia bisa mengeluarkannya dari braket dan itu sudah cukup? Tidak, ahli matematika cenderung menyederhanakan, jadi semaksimal mungkin, menanggung SEMUA yang ditanggung!

Jadi, semuanya jelas dengan permainannya, tetapi bagaimana dengan bagian numerik dari ekspresi? Kedua angka tersebut ganjil, jadi tidak bisa dibagi

Anda dapat menggunakan uji habis dibagi: jumlah angka-angkanya, dan, yang membentuk bilangan tersebut sama, dan habis dibagi, berarti habis dibagi.

Mengetahui hal ini, Anda dapat dengan aman membagi menjadi sebuah kolom, dan sebagai hasil pembagian dengan kita mendapatkan (tanda-tanda pembagian berguna!). Jadi, kita dapat mengeluarkan bilangan tersebut dari tanda kurung, seperti y, dan sebagai hasilnya kita mendapatkan:

Untuk memastikan semuanya telah diekspansi dengan benar, Anda dapat memeriksa perluasannya dengan mengalikannya!

Faktor persekutuan juga dapat dinyatakan dalam bentuk pangkat. Di sini, misalnya, apakah Anda melihat pengganda persekutuan?

Semua anggota ekspresi ini memiliki x - kita keluarkan, semuanya dibagi - kita keluarkan lagi, lihat apa yang terjadi: .

2. Rumus perkalian yang disingkat

Rumus perkalian yang disingkat telah disebutkan secara teori, jika Anda kesulitan mengingatnya, sebaiknya segarkan ingatan Anda.

Nah, jika Anda menganggap diri Anda sangat pintar dan terlalu malas untuk membaca informasi yang begitu banyak, maka baca saja, lihat rumusnya dan langsung ambil contohnya.

Inti dari penguraian ini adalah memperhatikan rumus tertentu dalam ekspresi di depan Anda, menerapkannya dan dengan demikian memperoleh hasil kali dari sesuatu dan sesuatu, itu saja penguraiannya. Berikut rumusnya:

Sekarang coba faktorkan ekspresi berikut menggunakan rumus di atas:

Inilah yang seharusnya terjadi:

Seperti yang mungkin Anda ketahui, rumus ini sangat bagus cara yang efektif faktorisasi, hal ini tidak selalu cocok, namun dapat sangat berguna!

3. Metode pengelompokan atau pengelompokan

Berikut ini contoh lain untuk Anda:

Jadi apa yang akan kamu lakukan dengannya? Tampaknya ada sesuatu yang terbagi menjadi dan menjadi, dan sesuatu menjadi dan menjadi

Tapi Anda tidak bisa membagi semuanya menjadi satu hal, ya tidak ada faktor persekutuan di sini, tidak peduli bagaimana penampilan Anda, apa yang harus Anda biarkan seperti itu, tanpa memfaktorkannya?

Di sini Anda perlu menunjukkan kecerdikan, dan yang namanya kecerdikan ini adalah pengelompokan!

Ini digunakan tepat ketika tidak semua anggota mempunyai pembagi yang sama. Untuk pengelompokan yang Anda butuhkan temukan kelompok suku yang memiliki faktor persekutuan dan menyusunnya kembali sehingga dapat diperoleh faktor yang sama dari masing-masing kelompok.

Tentu saja, tidak perlu mengatur ulang, tetapi ini memberikan kejelasan; untuk kejelasan, Anda dapat menempatkan bagian-bagian ekspresi individual dalam tanda kurung; tidak dilarang untuk menempatkannya sebanyak yang Anda suka, yang utama adalah jangan bingung tanda-tanda.

Apakah semua ini tidak begitu jelas? Izinkan saya menjelaskan dengan sebuah contoh:

Dalam polinomial - kita masukkan suku - setelah suku - kita dapatkan

kita mengelompokkan dua suku pertama ke dalam kurung terpisah dan juga mengelompokkan suku ketiga dan keempat, dengan menghilangkan tanda minus dari kurung, kita mendapatkan:

Sekarang kita melihat secara terpisah masing-masing dari dua "tumpukan" tempat kita membagi ekspresi dengan tanda kurung.

Caranya adalah dengan memecahnya menjadi tumpukan-tumpukan yang dapat diambil faktor terbesarnya, atau, seperti dalam contoh ini, cobalah mengelompokkan suku-sukunya sehingga setelah faktor-faktor tersebut dikeluarkan dari tanda kurung, kita masih memiliki ekspresi yang sama. di dalam tanda kurung.

Dari kedua tanda kurung kita keluarkan faktor persekutuan dari suku-suku tersebut, dari tanda kurung pertama, dan dari tanda kurung kedua, kita peroleh:

Tapi ini bukan pembusukan!

Pkeledai dekomposisi seharusnya hanya tetap perkalian, tapi untuk saat ini polinomial kita hanya dibagi menjadi dua bagian...

TETAPI! Polinomial ini memiliki faktor persekutuan. Ini

melampaui batas dan kami mendapatkan produk akhir

Bingo! Seperti yang terlihat, sudah ada perkalian di sini dan di luar tanda kurung tidak ada penambahan atau pengurangan, penguraian selesai, karena Tidak ada lagi yang perlu kita keluarkan dari tanda kurung.

Ini mungkin tampak seperti keajaiban bahwa setelah mengeluarkan faktor-faktor dari tanda kurung, kita mendapatkan ekspresi yang sama di dalam tanda kurung, yang kemudian kita keluarkan lagi dari tanda kurung.

Dan ini sama sekali bukan keajaiban, faktanya contoh-contoh di buku teks dan Ujian Negara Bersatu dibuat khusus sehingga sebagian besar ekspresi dalam tugas untuk penyederhanaan atau faktorisasi dengan pendekatan yang tepat, mereka mudah disederhanakan dan runtuh secara tiba-tiba seperti payung saat Anda menekan sebuah tombol, jadi carilah tombol itu di setiap ekspresi.

Saya terganggu, apa yang kita lakukan dengan penyederhanaan? Polinomial yang rumit mengambil bentuk yang lebih sederhana: .

Setuju, ukurannya tidak sebesar dulu?

4. Memilih kotak yang lengkap.

Terkadang, untuk menerapkan rumus perkalian yang disingkat (mengulangi topik), polinomial yang ada perlu diubah dengan menampilkan salah satu sukunya sebagai jumlah atau selisih dua suku.

Jika Anda harus melakukan ini, Anda akan belajar dari contoh:

Polinomial dalam bentuk ini tidak dapat diperluas dengan menggunakan rumus perkalian yang disingkat, sehingga harus ditransformasikan. Mungkin pada awalnya tidak jelas bagi Anda suku mana yang harus dibagi, tetapi seiring waktu Anda akan belajar untuk segera melihat rumus perkalian yang disingkat, meskipun tidak seluruhnya ada, dan Anda akan segera menentukan apa yang hilang di sini. sebelum rumus lengkap, sementara itu, belajar, pelajar, atau lebih tepatnya anak sekolah.

Untuk rumus lengkap selisih kuadrat, di sini Anda memerlukannya. Bayangkan suku ketiga sebagai selisih, kita peroleh: Untuk ekspresi dalam tanda kurung, Anda dapat menerapkan rumus kuadrat selisih (jangan bingung dengan perbedaan kotak!!!), kita mempunyai: , pada ekspresi ini kita dapat menerapkan rumus selisih kuadrat (jangan bingung dengan selisih kuadrat!!!), bayangkan caranya, kita mendapatkan: .

Ekspresi yang difaktorkan tidak selalu terlihat lebih sederhana dan lebih kecil dibandingkan sebelum perluasan, namun dalam bentuk ini menjadi lebih fleksibel, dalam artian Anda tidak perlu khawatir tentang perubahan tanda dan omong kosong matematika lainnya. Nah, agar Anda dapat memutuskan sendiri, ekspresi berikut perlu difaktorkan.

Contoh:

Jawaban:​

5. Memfaktorkan trinomial kuadrat

Untuk penguraian trinomial kuadrat menjadi faktor, lihat contoh penguraian lebih lanjut.

Contoh 5 cara memfaktorkan polinomial

1. Mengeluarkan faktor persekutuan dari tanda kurung. Contoh.

Masih ingatkah kamu apa yang dimaksud dengan hukum distributif? Ini aturannya:

Contoh:

Faktorkan polinomialnya.

Larutan:

Contoh lain:

Faktorkan itu.

Larutan:

Jika seluruh suku dikeluarkan dari tanda kurung, satuannya tetap berada di dalam tanda kurung!

2. Rumus perkalian yang disingkat. Contoh.

Rumus yang paling sering kita gunakan adalah selisih kuadrat, selisih kubus, dan jumlah kubus. Apakah Anda ingat rumus-rumus ini? Jika tidak, segera ulangi topik tersebut!

Contoh:

Faktorkan ekspresi tersebut.

Larutan:

Dalam ungkapan ini mudah untuk mengetahui perbedaan kubus:

Contoh:

Larutan:

3. Metode pengelompokan. Contoh

Terkadang Anda dapat menukar suku-suku sehingga faktor yang sama dapat diambil dari setiap pasangan suku-suku yang berdekatan. Faktor persekutuan ini dapat dikeluarkan dari kurung dan polinomial aslinya akan berubah menjadi hasil kali.

Contoh:

Faktorkan polinomialnya.

Larutan:

Mari kita kelompokkan istilah-istilahnya sebagai berikut:
.

Di kelompok pertama kita keluarkan faktor persekutuannya dari tanda kurung, dan di kelompok kedua - :
.

Sekarang faktor persekutuannya juga bisa dikeluarkan dari tanda kurung:
.

4. Metode pemilihan persegi lengkap. Contoh.

Jika polinomial dapat direpresentasikan sebagai selisih kuadrat dari dua ekspresi, yang tersisa hanyalah menerapkan rumus perkalian yang disingkat (selisih kuadrat).

Contoh:

Faktorkan polinomialnya.

Larutan:Contoh:

\begin(array)(*(35)(l))
((x)^(2))+6(x)-7=\penyangga bawah(((x)^(2))+2\cdot 3\cdot x+9)_(persegi\ jumlah\ ((\kiri (x+3 \kanan))^(2)))-9-7=((\kiri(x+3 \kanan))^(2))-16= \\
=\kiri(x+3+4 \kanan)\kiri(x+3-4 \kanan)=\kiri(x+7 \kanan)\kiri(x-1 \kanan) \\
\end(array)

Faktorkan polinomialnya.

Larutan:

\begin(array)(*(35)(l))
((x)^(4))-4((x)^(2))-1=\penyangga bawah(((x)^(4))-2\cdot 2\cdot ((x)^(2) )+4)_(persegi\ perbedaan((\kiri(((x)^(2))-2 \kanan))^(2)))-4-1=((\kiri(((x)^ (2))-2 \kanan))^(2))-5= \\
=\kiri(((x)^(2))-2+\sqrt(5) \kanan)\kiri(((x)^(2))-2-\sqrt(5) \kanan) \\
\end(array)

5. Memfaktorkan trinomial kuadrat. Contoh.

Trinomial persegi adalah polinomial yang bentuknya, di mana - tidak diketahui, - beberapa bilangan, dan.

Nilai-nilai variabel yang menghilangkan trinomial kuadrat disebut akar-akar trinomial. Oleh karena itu, akar-akar trinomial adalah akar-akar persamaan kuadrat.

Dalil.

Contoh:

Mari kita faktorkan trinomial kuadrat: .

Pertama, mari kita selesaikan persamaan kuadratnya: Sekarang kita dapat menulis faktorisasi trinomial kuadrat ini:

Sekarang pendapat Anda...

Kami telah menjelaskan secara rinci bagaimana dan mengapa memfaktorkan polinomial.

Kami memberikan banyak contoh bagaimana melakukan hal ini dalam praktik, menunjukkan kendala, memberikan solusi...

Apa yang kamu katakan?

Apa pendapat Anda tentang artikel ini? Apakah Anda menggunakan teknik ini? Apakah Anda memahami esensinya?

Tulis di komentar dan... bersiaplah untuk ujian!

Sejauh ini dia adalah orang terpenting dalam hidupmu.

Ada beberapa dalam berbagai cara memfaktorkan polinomial. Paling sering, dalam praktiknya, bukan hanya satu, tetapi beberapa metode digunakan sekaligus. Tidak ada urutan tindakan khusus di sini, dalam setiap contoh semuanya bersifat individual. Namun Anda dapat mencoba mengikuti urutan berikut:

1. Jika ada faktor persekutuan, keluarkan dari kurung;

2. Setelah itu, cobalah memfaktorkan polinomial tersebut menggunakan rumus perkalian yang disingkat;

3. Jika setelah itu kita belum mendapatkan hasil yang diinginkan, sebaiknya kita mencoba menggunakan metode pengelompokan.

Rumus perkalian yang disingkat

1. a^2 - b^2 = (a+b)*(a-b);

2. (a+b)^2 = a^2+2*a*b+b^2;

3. (a-b)^2 = a^2-2*a*b+b^2;

4. a^3+b^3 = (a+b)*(a^2 - a*b+b^2);

5. a^3 - b^3 = (a-b)*(a^2 + a*b+b^2);

Sekarang, untuk memperkuat hal ini, mari kita lihat beberapa contoh:

Contoh 1.

Faktorkan polinomialnya: (a^2+1)^2 - 4*a^2

Pertama, kita terapkan rumus perkalian singkat “selisih kuadrat” dan buka tanda kurung bagian dalam.

(a^2+1)^2 - 4*a^2 = ((a^2+1)-2*a)*((a^2+1)+2*a) = (a^2+1 -2*a)*(a^2+1+2*a);

Perhatikan bahwa dalam tanda kurung kita memperoleh ekspresi kuadrat jumlah dan kuadrat selisih dua ekspresi. Mari kita terapkan dan dapatkan jawabannya.

a^2+1-2*a)*(a^2+1+2*a) = (a-1)^2*(a+1)^2;

Menjawab:(a-1)^2*(a+1)^2;

Contoh 2.

Faktorkan polinomial 4*x^2 - y^2 + 4*x +2*y.

Seperti yang bisa kita lihat secara langsung, tidak ada satu pun metode yang cocok di sini. Tapi ada dua kotak, bisa dikelompokkan. Mari mencoba.

4*x^2 - y^2 + 4*x +2*y = (4*x^2 - y^2) +(4*x +2*y);

Kita mendapatkan rumus selisih kuadrat pada kurung pertama, dan pada kurung kedua terdapat faktor persekutuan dua. Mari kita terapkan rumusnya dan keluarkan faktor persekutuannya.

(4*x^2 - y^2) +(4*x +2*y)= (2*x - y)*(2*x+y) +2*(2*x+y);

Terlihat ada dua tanda kurung yang identik. Mari kita anggap sebagai faktor umum.

(2*x - y)*(2*x+y) +2*(2*x+y) = (2*x+y)*(2*x - y)+2)= (2*x+ y )*(2*x-y+2);

Menjawab:(2*x+y)*(2*x-y+2);

Seperti yang Anda lihat, tidak ada metode universal. Dengan pengalaman, keterampilan akan datang dan memfaktorkan polinomial akan menjadi sangat mudah.

Memfaktorkan polinomial adalah transformasi identitas, sebagai akibatnya polinomial diubah menjadi produk beberapa faktor - polinomial atau monomial.

Ada beberapa cara untuk memfaktorkan polinomial.

Metode 1. Mengeluarkan faktor persekutuan dari tanda kurung.

Transformasi ini didasarkan pada hukum perkalian distributif: ac + bc = c(a + b). Inti dari transformasi adalah mengisolasi faktor persekutuan dalam dua komponen yang dipertimbangkan dan “mengeluarkannya” dari tanda kurung.

Mari kita faktorkan polinomialnya 28x 3 – 35x 4.

Larutan.

1. Tentukan pembagi persekutuan untuk unsur-unsur 28x3 dan 35x4. Untuk tanggal 28 dan 35 akan menjadi 7; untuk x 3 dan x 4 – x 3. Dengan kata lain, faktor persekutuan kita adalah 7x 3.

2. Kami menyatakan setiap elemen sebagai produk dari faktor-faktor, salah satunya
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x.

3. Kita keluarkan faktor persekutuan dari tanda kurung
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x = 7x 3 (4 – 5x).

Metode 2. Menggunakan rumus perkalian yang disingkat. “Penguasaan” menggunakan metode ini adalah memperhatikan salah satu rumus perkalian yang disingkat dalam ekspresi.

Mari kita faktorkan polinomialnya x 6 – 1.

Larutan.

1. Kita dapat menerapkan rumus selisih kuadrat pada persamaan ini. Untuk melakukan ini, bayangkan x 6 sebagai (x 3) 2, dan 1 sebagai 1 2, mis. 1. Ekspresinya akan berbentuk:
(x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1).

2. Kita dapat menerapkan rumus jumlah dan selisih kubus pada ekspresi yang dihasilkan:
(x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Jadi,
x 6 – 1 = (x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Metode 3. Pengelompokan. Cara pengelompokannya adalah dengan menggabungkan komponen-komponen suatu polinomial sedemikian rupa sehingga mudah untuk melakukan operasi terhadap komponen-komponen tersebut (penjumlahan, pengurangan, pengurangan faktor persekutuan).

Mari kita faktorkan polinomialnya x 3 – 3x 2 + 5x – 15.

Larutan.

1. Mari kita kelompokkan komponen-komponennya dengan cara ini: ke-1 dengan ke-2, dan ke-3 dengan ke-4
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15).

2. Dalam ekspresi yang dihasilkan, kita keluarkan faktor persekutuan dari tanda kurung: x 2 pada kasus pertama dan 5 pada kasus kedua.
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3).

3. Kita keluarkan faktor persekutuan x – 3 dari tanda kurung dan peroleh:
x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3)(x 2 + 5).

Jadi,
x 3 – 3x 2 + 5x – 15 = (x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3) ∙ (x 2 + 5 ).

Mari amankan materinya.

Faktorkan polinomial a 2 – 7ab + 12b 2 .

Larutan.

1. Mari kita nyatakan monomial 7ab sebagai jumlah 3ab + 4ab. Ekspresinya akan berbentuk:
sebuah 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2.

Mari kita buka tanda kurung dan dapatkan:
a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2.

2. Mari kita kelompokkan komponen polinomial dengan cara ini: ke-1 dengan ke-2 dan ke-3 dengan ke-4. Kita mendapatkan:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2).

3. Mari kita keluarkan faktor persekutuannya:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) = a(a – 3b) – 4b(a – 3b).

4. Mari kita keluarkan faktor persekutuan (a – 3b) dari tanda kurung:
a(a – 3b) – 4b(a – 3b) = (a – 3 b) ∙ (a – 4b).

Jadi,
sebuah 2 – 7ab + 12b 2 =
= a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2 =
= (a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) =
= a(a – 3b) – 4b(a – 3b) =
= (a – 3 b) ∙ (a – 4b).

situs web, ketika menyalin materi secara keseluruhan atau sebagian, diperlukan tautan ke sumbernya.

Polinomial adalah jenis ekspresi matematika yang paling penting. Berdasarkan polinomial, banyak persamaan, pertidaksamaan, dan fungsi telah dibangun. Tugas berbagai tingkatan Kompleksitas sering kali mengandung tahapan transformasi polinomial yang serbaguna. Karena secara matematis setiap polinomial merupakan penjumlahan aljabar dari beberapa monomial, perubahan yang paling dramatis dan perlu adalah mengubah deret polinomial menjadi hasil kali dua (atau lebih) faktor. Dalam persamaan yang memiliki kemampuan untuk mengatur ulang salah satu bagiannya, menerjemahkan polinomial menjadi faktor memungkinkan untuk menyamakan beberapa bagian dengan nol, dan dengan demikian menyelesaikan seluruh persamaan.

Video pelajaran sebelumnya menunjukkan kepada kita bahwa dalam aljabar linier ada tiga cara utama untuk mengubah polinomial menjadi faktor. Caranya adalah dengan mengeluarkan faktor persekutuan dari tanda kurung, mengelompokkannya kembali menjadi suku-suku yang serupa, dan menggunakan rumus perkalian yang disingkat. Jika semua anggota suatu polinomial mempunyai basis persekutuan tertentu, maka polinomial tersebut dapat dengan mudah dikeluarkan dari tanda kurung, meninggalkan sisa pembagian dalam bentuk polinomial yang dimodifikasi dalam tanda kurung. Namun seringkali, satu faktor tidak cocok untuk semua monomial, dan hanya mempengaruhi sebagian saja. Pada saat yang sama, bagian lain dari monomial mungkin memiliki bagiannya sendiri kesamaan. Dalam kasus seperti ini, metode pengelompokan digunakan - yang pada dasarnya mengeluarkan beberapa faktor dari tanda kurung, dan menciptakan ekspresi kompleks yang dapat diubah dengan cara lain. Dan terakhir, ada berbagai macam formula khusus. Semuanya dibentuk dengan perhitungan abstrak dengan menggunakan metode perkalian suku demi suku sederhana. Selama perhitungan, banyak elemen dalam ekspresi awal dikurangi, meninggalkan polinomial kecil. Agar tidak melakukan perhitungan intensif setiap saat, Anda dapat menggunakan rumus yang sudah jadi, versi kebalikannya, atau kesimpulan umum dari rumus tersebut.

Dalam prakteknya sering terjadi dalam satu latihan harus menggabungkan beberapa teknik, termasuk yang termasuk dalam kategori transformasi polinomial. Mari kita lihat sebuah contoh. Faktorkan dengan binomial:

Kita keluarkan faktor persekutuan 3x dari tanda kurung:

3x3 - 3xy2 = 3x(x2 - y2)

Seperti yang Anda lihat di video, tanda kurung kedua berisi selisih kuadrat. Kami menerapkan rumus kebalikan dari perkalian yang disingkat, memperoleh:

3x(x2 - y2) = 3x(x + y)(x - y)

Contoh lain. Mari kita ubah ekspresi seperti:

18a2 - 48a + 32

Kita kurangi koefisien numeriknya dengan mengeluarkan keduanya dari tanda kurung:

18a2 - 48a + 32 = 2(9a2 - 24a + 16)

Untuk menemukan rumus perkalian singkat yang cocok untuk kasus ini, perlu sedikit menyesuaikan ekspresi, menyesuaikannya dengan kondisi rumus:

2(9a2 - 24a + 16) = 2((3a)2 - 2(3a)4 + (4)2)

Terkadang tidak mudah untuk melihat rumus dalam ekspresi yang membingungkan. Penting untuk menggunakan metode penguraian ekspresi menjadi elemen-elemen komponennya, atau menambahkan pasangan konstruksi imajiner, seperti +x-x. Dalam mengoreksi suatu ungkapan, kita harus mematuhi kaidah kesinambungan tanda dan kelestarian makna ungkapan tersebut. Pada saat yang sama, Anda perlu mencoba membuat polinomial tersebut sepenuhnya sesuai dengan versi abstrak rumusnya. Dengan menggunakan contoh kami, kami menerapkan rumus selisih kuadrat:

2((3a)2 - 2(3a)4 + (4)2) = 2(3a - 4)

Mari selesaikan latihan yang lebih kompleks. Mari kita faktorkan polinomialnya:

U3 - 3у2 + 6у - 8

Untuk memulainya, mari kita lakukan pengelompokan yang mudah - elemen pertama dan keempat menjadi satu grup, elemen kedua dan ketiga - menjadi grup kedua:

U3 - 3y2 + 6y - 8 = (y3 - 8) - (3y2 - 6y)

Harap perhatikan bahwa tanda dalam tanda kurung kedua telah berubah menjadi sebaliknya, karena kami telah memindahkan tanda minus di luar ekspresi. Di dalam kurung pertama kita dapat menulis ini:

(y3 - (2)3) - (3y2 - 6y)

Ini memungkinkan Anda menerapkan rumus perkalian yang disingkat untuk mencari selisih kubus:

(y3 - (2)3) - (3y2 - 6y) = (y - 2)(y2 + 2y + 4) - (3y2 - 6y)

Kita keluarkan faktor persekutuan 3y dari tanda kurung kedua, lalu keluarkan tanda kurung (y - 2) dari seluruh ekspresi (binomial), dan sajikan suku-suku serupa:

(y - 2)(y2 + 2y + 4) - (3y2 - 6y) = (y - 2)(y2 + 2y + 4) - 3y(y - 2) =
= (y - 2)(y2 + 2y + 4 - 3y) = (y - 2)(y2 - y + 4)

Secara umum, ada algoritma tindakan tertentu ketika menyelesaikan latihan tersebut.
1. Kami mencari faktor persekutuan untuk keseluruhan ekspresi;
2. Kami mengelompokkan monomial serupa dan mencari faktor persekutuannya;
3. Kami mencoba mengelompokkan ekspresi yang paling tepat;
4. Menerapkan rumus perkalian yang disingkat;
5. Jika pada tahap tertentu proses tidak dilanjutkan, kita memasukkan pasangan ekspresi imajiner dalam bentuk -x+x, atau konstruksi self-cancelling lainnya;
6. Kami menyajikan istilah serupa dan mengurangi elemen yang tidak perlu

Semua poin dari algoritme jarang dapat diterapkan dalam satu tugas, tetapi proses umum penyelesaian latihan apa pun tentang topik tersebut dapat diikuti dalam urutan tertentu.

Bagian: Matematika

Jenis pelajaran:

• menurut metode penyampaian - pelajaran lokakarya;
• untuk tujuan didaktik - pelajaran penerapan pengetahuan dan keterampilan.

Target: mengembangkan kemampuan memfaktorkan polinomial.

Tugas:

• Bersifat mendidik: mensistematisasikan, memperluas dan memperdalam pengetahuan dan keterampilan siswa, menerapkan berbagai metode pemfaktoran polinomial. Mengembangkan kemampuan menerapkan faktorisasi polinomial melalui kombinasi berbagai teknik. Menerapkan pengetahuan dan keterampilan pada topik: "Memfaktorkan polinomial" untuk menyelesaikan tugas-tugas baik di tingkat dasar maupun tugas-tugas dengan kompleksitas yang meningkat.
• Pembangunan: mengembangkan aktivitas mental melalui pemecahan berbagai jenis masalah, belajar menemukan dan menganalisis metode penyelesaian yang paling rasional, berkontribusi pada pembentukan kemampuan menggeneralisasi fakta yang dipelajari, mengungkapkan pikiran dengan jelas dan jelas.
• Pendidikan: mengembangkan keterampilan mandiri dan kerja tim, keterampilan pengendalian diri.

Metode kerja:

• lisan;
• visual;
• praktis.

Perlengkapan pelajaran: papan tulis interaktif atau proyektor overhead, meja dengan rumus perkalian yang disingkat, instruksi, handout untuk bekerja dalam kelompok.

Struktur pelajaran:

1. Waktu pengorganisasian. 1 menit
2. Merumuskan topik, maksud dan tujuan pembelajaran praktek. 2 menit
3. Memeriksa pekerjaan rumah. 4 menit
4. Memperbarui pengetahuan dan keterampilan dasar siswa. 12 menit
5. menit pendidikan jasmani. 2 menit
6. Petunjuk cara menyelesaikan tugas lokakarya. 2 menit
7. Mengerjakan tugas secara berkelompok. 15 menit
8. Memeriksa dan mendiskusikan tugas. Analisis pekerjaan. 3 menit
9. Menetapkan pekerjaan rumah. 1 menit
10. Cadangan pekerjaan. 3 menit

Selama kelas

1. Momen organisasi

Guru memeriksa kesiapan kelas dan siswa untuk pelajaran.

2. Merumuskan topik, maksud dan tujuan pembelajaran workshop

• Pesan tentang pelajaran terakhir tentang topik tersebut.
• Motivasi kegiatan pendidikan siswa.
• Merumuskan tujuan dan menetapkan tujuan pembelajaran (bersama siswa).

3. Memeriksa pekerjaan rumah

Di papan tulis terdapat contoh penyelesaian latihan pekerjaan rumah No. 943 (a, c); Nomor 945 (c, d). Sampelnya dibuat oleh siswa kelas. (Kelompok siswa ini diidentifikasi dalam pelajaran sebelumnya; mereka meresmikan keputusan mereka saat istirahat). Siswa bersiap untuk “mempertahankan” solusi.

Guru:

Memeriksa keberadaan pekerjaan rumah di buku catatan siswa.

Mengajak siswa kelas untuk menjawab pertanyaan: “Kesulitan apa yang disebabkan oleh penyelesaian tugas?”

Menawarkan untuk memeriksa solusi Anda dengan solusi di papan.

Mengajak siswa di papan tulis untuk menjawab pertanyaan yang siswa miliki saat itu juga ketika memeriksa menggunakan sampel.

Mengomentari jawaban siswa, melengkapi jawaban, dan mengklarifikasi (bila perlu).

Meringkas penyelesaian pekerjaan rumah.

Siswa:

Hadiah pekerjaan rumah Kepada guru.

Mereka bertukar buku catatan (berpasangan) dan saling mengecek.

Jawablah pertanyaan guru.

Periksa solusi Anda dengan sampel.

Mereka berperan sebagai lawan, melakukan penambahan, koreksi, menuliskan metode yang berbeda jika metode penyelesaian di buku catatan berbeda dengan metode di papan tulis.

Mintalah penjelasan yang diperlukan kepada siswa dan guru.

Temukan cara untuk memverifikasi hasil yang diperoleh.

Berpartisipasi dalam menilai kualitas tugas yang dilakukan di dewan.

4. Memperbarui pengetahuan dan keterampilan dasar peserta didik

1. Pekerjaan lisan

Guru:

Jawablah pertanyaan:

1. Apa yang dimaksud dengan memfaktorkan polinomial?
2. Berapa banyak metode dekomposisi yang Anda ketahui?
3. Siapa nama mereka?
4. Manakah yang paling umum?

2. Polinomial ditulis di papan tulis:

1.14x 3 – 14x 5

2. 16x 2 – (2 + x) 2

3. 9 – x 2 – 2хy – y 2

4.x 3 - 3x – 2

Guru mengajak siswa memfaktorkan polinomial No.1-3:

• Opsi I – dengan menerapkan faktor persekutuan;
• Opsi II – menggunakan rumus perkalian yang disingkat;
• Opsi III - dengan metode pengelompokan.

Salah satu siswa diminta memfaktorkan polinomial No. 4 (tugas individu yang tingkat kesulitannya meningkat, tugas diselesaikan dalam format A 4). Kemudian contoh penyelesaian tugas No. 1-3 (dilakukan oleh guru), contoh penyelesaian tugas No. 4 (dilakukan oleh siswa) muncul di papan tulis.

3. Pemanasan

Guru memberikan instruksi untuk memfaktorkan dan memilih huruf yang berhubungan dengan jawaban yang benar. Dengan menambahkan huruf-huruf tersebut, Anda mendapatkan nama ahli matematika terhebat abad ke-17, yang memberikan kontribusi besar terhadap perkembangan teori penyelesaian persamaan. (Descartes)

5. Pernyataan pelajaran pendidikan jasmani dibacakan kepada siswa. Jika pernyataan itu benar, maka siswa harus mengangkat tangan, dan jika salah, maka duduk di mejanya. (Lampiran 2)

6. Petunjuk pelaksanaan tugas lokakarya.

Terdapat meja dengan instruksi di papan tulis interaktif atau poster terpisah.

Saat memfaktorkan polinomial, urutan berikut harus diperhatikan:

1. keluarkan faktor persekutuan dari tanda kurung (jika ada);

2. menerapkan rumus perkalian yang disingkat (jika memungkinkan);

3. menerapkan metode pengelompokan;

4. periksa hasil yang diperoleh dengan perkalian.

Guru:

Menyajikan instruksi kepada siswa (fokus pada langkah 4).

Menawarkan penyelesaian tugas lokakarya dalam kelompok.

Membagikan lembar kerja ke dalam kelompok, lembaran dengan kertas karbon untuk mempersiapkan tugas di buku catatan dan pemeriksaan selanjutnya.

Menetapkan waktu untuk bekerja dalam kelompok dan mengerjakan buku catatan.

Siswa:

Baca instruksinya.

Para guru mendengarkan dengan penuh perhatian.

Duduk berkelompok (4-5 orang).

Bersiap untuk melakukan kerja praktek.

7. Mengerjakan tugas secara berkelompok

Lembar kerja dengan tugas untuk kelompok. (Lampiran 3)

Guru:

Mengelola pekerjaan mandiri dalam kelompok.

Mengevaluasi kemampuan siswa dalam bekerja mandiri, kemampuan bekerja dalam kelompok, dan kualitas desain lembar kerja.

Siswa:

Selesaikan tugas pada lembaran kertas karbon yang disertakan dalam buku kerja.

Diskusikan cara untuk membuat keputusan rasional.

Siapkan lembar kerja dari kelompok.

Bersiaplah untuk mempertahankan pekerjaan yang telah selesai.

8. Mengecek dan mendiskusikan penyelesaian tugas

Jawaban di papan interaktif.

Guru:

Mengumpulkan salinan keputusan.

Mengelola pelaporan siswa pada lembar kerja.

Menawarkan penilaian mandiri atas pekerjaan Anda, membandingkan jawaban dari buku catatan, lembar kerja, dan sampel di papan tulis.

Mengingatkan saya pada kriteria pemberian nilai untuk pekerjaan dan partisipasi dalam pelaksanaannya.

Memberikan klarifikasi tentang masalah pengambilan keputusan atau penilaian diri yang muncul.

Meringkas hasil pertama kerja praktek dan refleksi.

Meringkas (bersama siswa) pelajaran.

Dikatakan bahwa hasil akhir akan diringkas setelah pemeriksaan salinan pekerjaan yang diselesaikan oleh siswa.

Siswa:

Berikan salinannya kepada guru.

Lembar kerja ditempelkan pada papan.

Laporan penyelesaian pekerjaan.

Melaksanakan pemeriksaan diri dan penilaian diri terhadap prestasi kerja.

9. Menetapkan pekerjaan rumah

Pekerjaan rumah ditulis di papan tulis: No. 1016 (a,b); 1017 (c, d); No.1021 (g,d,f)*

Guru:

Menawarkan untuk menuliskan bagian wajib dari tugas untuk rumah.

Memberikan komentar tentang implementasinya.

Mengajak siswa yang lebih siap untuk menuliskan No. 1021 (g, e, f)*.

Memberitahu Anda untuk mempersiapkan pelajaran ulasan berikutnya