Diferensiasi grafis. Lab excel Cara mencari turunan di excel
Bagaimana Excel dapat membantu Anda saat menghitung turunan suatu fungsi? Jika fungsi ditentukan oleh persamaan, maka setelah diferensiasi analitis dan memperoleh rumus, Excel akan membantu Anda dengan cepat menghitung nilai turunan untuk setiap nilai argumen yang menarik minat pengguna.
Jika suatu fungsi diperoleh melalui pengukuran praktis dan ditentukan oleh nilai tabel, maka Excel dapat memberikan bantuan yang lebih signifikan dalam hal ini saat melakukan diferensiasi numerik dan pemrosesan serta analisis hasilnya selanjutnya.
Dalam praktiknya, masalah penghitungan turunan dengan metode diferensiasi numerik dapat muncul baik dalam mekanika (saat menentukan kecepatan dan percepatan suatu benda menggunakan pengukuran jalur dan waktu yang tersedia) dan dalam teknik termal (saat menghitung perpindahan panas dari waktu ke waktu). . Hal ini mungkin juga diperlukan, misalnya, saat mengebor sumur untuk menganalisis kepadatan lapisan tanah yang dilalui bor, saat memecahkan sejumlah masalah balistik, dll.
Situasi serupa terjadi dalam masalah “kebalikan” dalam menghitung balok dengan beban kompleks, ketika muncul keinginan untuk mencari nilai beban efektif menggunakan defleksi.
Di bagian kedua artikel, dengan menggunakan contoh "langsung", kita akan mempertimbangkan perhitungan turunan menggunakan rumus perkiraan diferensiasi numerik menggunakan ekspresi dalam perbedaan hingga dan kita akan memahami pertanyaannya - apa itu mungkin menggunakan pendekatan turunan beda hingga Tentukan beban yang bekerja pada penampang berdasarkan lendutan balok?
Teori minimal.
Turunannya menentukan laju perubahan suatu fungsi yang menggambarkan suatu proses dalam ruang atau waktu.
Batas perbandingan perubahan suatu titik suatu fungsi terhadap perubahan suatu variabel karena perubahan variabel tersebut cenderung nol disebut turunan fungsi kontinu.
y’ (x)=lim (Δy /Δx) pada Δx →0
Arti geometri turunan suatu fungsi di suatu titik adalah garis singgung sudut kemiringan sumbu x dari garis singgung grafik fungsi di titik tersebut.
tg(α)=Δy/Δx
Jika fungsinya diskrit (tabel), maka perkiraan nilai turunannya di suatu titik dicari dengan menggunakan beda hingga.
kamu’ (x ) saya ≈(Δy /Δx )Saya=(y i +1 -y i -1 )/(x i +1 -x i -1 )
Perbedaan disebut berhingga karena mempunyai nilai yang spesifik, terukur, dan terbatas, berbeda dengan besaran yang cenderung nol atau tak terhingga.
Tabel di bawah menyajikan sejumlah rumus yang berguna dalam diferensiasi numerik fungsi tabel.
Rumus selisih sentral cenderung memberikan hasil yang lebih akurat, namun sering kali tidak dapat diterapkan pada tepi rentang nilai. Untuk kasus-kasus ini, perkiraan dengan perbedaan hingga kiri dan kanan berguna.
Perhitungan turunan orde kedua menggunakan contoh penghitungan momen pada penampang balok dengan menggunakan lendutan yang diketahui.
Diberikan:
Sebuah balok sepanjang 8 meter dengan penyangga berengsel pada bagian tepinya, terbuat dari dua buah balok baja berpasangan (St3) 30M I, ditopang oleh 7 purlin dengan tinggi nada 1 meter. Sebuah platform dengan peralatan dipasang di bagian tengah balok. Agaknya, gaya dari lapisan yang ditransmisikan melalui purlin ke balok adalah sama di semua titik dan sama dengan F 1. Platform yang ditangguhkan memiliki bobot 2*F 2 dan diikatkan pada balok di dua titik.
Diasumsikan bahwa balok benar-benar lurus sebelum diberi beban, dan setelah dibebani berada dalam zona deformasi elastis.
Gambar di bawah ini menunjukkan diagram perhitungan masalah dan tampilan umum diagram tersebut.
Tangkapan layar berikut menunjukkan data sumber.
Data awal yang dihitung:
3. Berat linier balok-I 30M:
=50,2kg/m
Bagian balok terdiri dari dua balok I:
n =2
Berat jenis balok:
q =γ *n *g =50,2*2*9,81/1000=0,985 N/mm
5. Momen inersia penampang balok I 30M:
saya x1 =95.000.000 mm4
Momen inersia suatu penampang balok komposit:
I x =I x 1 *n =95.000.000*2=190.000.000 mm 4
10. Karena balok dibebani secara simetris relatif terhadap bagian tengahnya, reaksi kedua tumpuan adalah sama dan masing-masing sama dengan setengah beban total:
R =(q *z maks +8*F 1 +2*F 2 )/2=(0,985*8000+8*9000+2*50000)/2=85 440 N
Perhitungannya memperhitungkan berat balok itu sendiri!
Tugas:
Temukan nilai momen lentur Mxi pada penampang balok secara analitis menggunakan rumus kekuatan bahan dan metode diferensiasi numerik dari garis defleksi yang dihitung. Bandingkan dan analisis hasil yang diperoleh.
Larutan:
Hal pertama yang akan kita lakukan adalah melakukan perhitungan gaya geser di Excel Qy, momen lentur Mx, sudut rotasi Ux balok dan sumbu defleksi Vx menurut rumus klasik kekuatan material di semua bagian dengan langkah H. (Meskipun, pada prinsipnya, kita tidak memerlukan nilai gaya dan sudut di masa depan.)
Hasil perhitungan terletak pada sel I5-L54. Tangkapan layar di bawah menunjukkan separuh tabel, karena nilai di bagian kedua adalah cermin atau mirip dengan nilai yang disajikan.
Rumus yang digunakan dalam perhitungan dapat dilihat.
Jadi, kita mengetahui nilai pasti momen dan defleksinya.
Dari teori kita tahu bahwa:
Sudut putar merupakan turunan pertama defleksi kamu =V'.
Momen merupakan turunan kedua dari defleksi M =V''.
Gaya merupakan turunan ketiga dari defleksi Q =V'''.
Misalkan kolom nilai defleksi yang tepat diperoleh bukan dengan perhitungan analitis, tetapi dengan pengukuran pada balok nyata dan kita tidak lagi memiliki data lain. Mari kita hitung turunan kedua dari nilai pasti defleksi menggunakan rumus (6) dari tabel di bagian artikel sebelumnya, dan temukan nilai momen menggunakan metode diferensiasi numerik.
M xi =V y '' ≈((V i +1 -2*V i +V i -1 )/h 2)*E *I x
Kita melihat hasil perhitungan di sel M5-M54.
Nilai pasti momen, yang dihitung menggunakan rumus analitik kekuatan bahan, dengan mempertimbangkan berat balok itu sendiri, sedikit berbeda dari nilai yang diperoleh dengan menggunakan rumus perkiraan untuk menghitung turunan. Momen ditentukan dengan sangat akurat, dilihat dari kesalahan relatif yang dihitung sebagai persentase dalam sel N5-N54.
ε =(M x -V y '' )/M x *100%
Tugas telah terpecahkan. Kami melakukan penghitungan turunan orde kedua menggunakan rumus perkiraan menggunakan selisih hingga pusat dan memperoleh hasil yang sangat baik.
Penuh arti tepat nilai defleksi, dengan menggunakan metode diferensiasi numerik, Anda dapat menemukan momen yang bekerja pada bagian dengan akurasi tinggi dan menentukan derajat pembebanan balok!
Namun...
Sayangnya, dalam praktiknya orang tidak boleh berpikir seperti itu Mudah didapat diperlukan hasil pengukuran defleksi balok yang dibebani kompleks dengan presisi tinggi!
Faktanya adalah pengukuran defleksi harus dilakukan dengan ketelitian ~1 µm dan usahakan untuk mengurangi langkah pengukuran sebanyak mungkin H, “mengarahkannya ke nol,” meskipun hal ini mungkin tidak membantu menghindari kesalahan.
Seringkali, pengurangan langkah pengukuran dengan kesalahan pengukuran defleksi yang signifikan dapat menyebabkan hasil yang tidak masuk akal. Seseorang harus sangat berhati-hati saat melakukan diferensiasi numerik untuk menghindari kesalahan fatal.
Saat ini terdapat perangkat - interferometer laser yang memberikan kecepatan tinggi, stabilitas dan keakuratan pengukuran hingga 1 mikron, yang menyaring kebisingan dalam perangkat lunak, dan dapat melakukan banyak hal lain dalam perangkat lunak, namun harganya lebih dari $300.000...
Mari kita lihat apa yang terjadi jika kita membulatkan nilai defleksi yang tepat dari contoh kita ke dua tempat desimal - yaitu, hingga seperseratus milimeter dan menghitung ulang momen dalam beberapa bagian menggunakan rumus yang sama untuk menghitung turunannya.
Jika sebelumnya error maksimum tidak melebihi 0,7%, kini (pada cross section Saya=4) melebihi 23%, meskipun tetap dapat diterima di bagian paling berbahaya ( ε 21=1,813%).
Selain metode numerik yang dipertimbangkan untuk menghitung turunan menggunakan selisih hingga, Anda dapat (dan sering kali perlu) menggunakan metode lain - pengukuran dengan polinomial pangkat dan mencari turunannya secara analitis, lalu membandingkan hasil yang diperoleh dengan cara yang berbeda. Namun perlu dipahami bahwa diferensiasi polinomial pangkat aproksimasi pada akhirnya juga merupakan metode perkiraan yang sangat bergantung pada tingkat keakuratan aproksimasi.
Data awal - hasil pengukuran - dalam banyak kasus, sebelum digunakan dalam perhitungan, harus diproses, menghilangkan nilai yang di luar urutan logis.
Perhitungan turunan menggunakan metode numerik harus selalu dilakukan dengan sangat hati-hati!
Pembaca yang budiman, silakan posting review dan komentar pada artikel di blok khusus di bawah artikel.
Untuk menerima informasi tentang rilis artikel baru di blog, berlangganan pengumuman di jendela yang terletak di bagian atas halaman atau tepat setelah artikel.
aku memohon MENGHORMATI file download karya penulis beserta contohnya SETELAH BERLANGGANAN untuk pengumuman artikel.
Diferensiasi grafis dimulai dengan memplot grafik fungsi berdasarkan nilai yang diberikan. Dalam penelitian eksperimental, grafik seperti itu diperoleh dengan menggunakan alat perekam. Selanjutnya, garis singgung kurva digambar pada posisi tetap dan nilai turunannya terhadap garis singgung sudut yang dibentuk oleh garis singgung dengan sumbu absis dihitung.
Pada Gambar. 5.8, A Kurva yang diperoleh secara eksperimental pada instalasi ditunjukkan (Gbr. 5.6). Penentuan percepatan sudut (fungsi yang diinginkan) dilakukan dengan diferensiasi grafis menurut hubungan:
(5.19)
Garis singgung sudut kemiringan garis singgung kurva di suatu titik Saya direpresentasikan sebagai rasio segmen, di mana KE– segmen integrasi yang dipilih (Gbr. 5.8, B)
Setelah mensubstitusikan relasi ini ke dalam relasi (5.19), kita peroleh
dimana adalah ordinat dari grafik permintaan percepatan sudut;
Skala grafik yang diinginkan; Satuan SI : = mm; = mm/(rad s -2).
Grafik fungsi dibuat menggunakan nilai ordinat yang ditemukan untuk sejumlah posisi. Titik-titik pada kurva dihubungkan dengan tangan dengan garis halus, kemudian digariskan menggunakan pola.
Diferensiasi grafis dengan menggunakan metode tangen dinilai memiliki akurasi yang relatif rendah. Akurasi yang lebih tinggi diperoleh dengan diferensiasi grafis menggunakan metode akord (Gbr. 5.8, V Dan G).
 |
Sejumlah titik ditandai pada kurva tertentu 1 ", 2 ", 3" , yang dihubungkan oleh akord, mis. ganti kurva yang diberikan dengan polyline. Asumsi berikut diterima: sudut kemiringan garis singgung pada titik-titik yang terletak di tengah setiap bagian kurva sama dengan sudut kemiringan tali busur yang bersesuaian. Asumsi ini menimbulkan beberapa kesalahan, namun hanya berlaku pada poin ini. Kesalahan ini tidak bertambah, sehingga menjamin keakuratan metode yang dapat diterima.
Konstruksi lainnya serupa dengan yang dijelaskan sebelumnya dalam diferensiasi grafis menggunakan metode tangen. Pilih segmen (mm); menghantarkan sinar yang miring membentuk sudut 
sampai perpotongan dengan sumbu ordinat di titik-titik 1
", 2
", 3
"..., yang dipindahkan ke ordinat yang ditarik di tengah-tengah setiap interval. Titik-titik yang dihasilkan 1
*, 2
*, 3
* adalah poin dari fungsi yang diperlukan 
.
Skala-skala sepanjang sumbu koordinat dengan metode konstruksi ini dihubungkan dengan relasi yang sama (5.21), yang diturunkan untuk kasus diferensiasi grafis menggunakan metode tangen.
Diferensiasi suatu fungsi f(x), ditentukan (atau dihitung) dalam bentuk larik bilangan, dilakukan dengan metode diferensiasi numerik menggunakan komputer.
Semakin kecil langkah dalam deretan angka, semakin akurat Anda dapat menghitung nilai turunan fungsi dalam interval ini
Memecahkan banyak masalah teknik seringkali memerlukan perhitungan turunan. Jika ada rumus yang menjelaskan prosesnya, tidak ada kesulitan: kita mengambil rumus tersebut dan menghitung turunannya, seperti yang diajarkan di sekolah, mencari nilai turunannya pada titik yang berbeda, dan selesai. Mungkin satu-satunya kesulitan adalah mengingat cara menghitung turunan. Namun bagaimana jika kita hanya memiliki beberapa ratus atau ribuan baris data dan tidak ada rumus? Paling sering, inilah yang terjadi dalam praktiknya. Saya menyarankan dua cara.
Yang pertama adalah kita memperkirakan kumpulan titik kita dengan fungsi Excel standar, yaitu, kita memilih fungsi yang paling sesuai dengan titik kita (di Excel ini adalah fungsi linier, logaritmik, eksponensial, polinomial, dan pangkat). Cara kedua adalah diferensiasi numerik, yang mana kita hanya membutuhkan kemampuan memasukkan rumus.
Mari kita ingat kembali apa itu turunan secara umum:
Turunan suatu fungsi f(x) di titik x adalah limit rasio kenaikan f fungsi di titik x dengan kenaikan x argumen ketika argumen terakhir cenderung nol:
Jadi kita akan menggunakan pengetahuan ini: kita hanya akan mengambil nilai kenaikan argumen yang sangat kecil untuk menghitung turunannya, yaitu. Δx.
Untuk mencari nilai perkiraan turunan pada titik-titik yang kita butuhkan (dan titik-titik kita memiliki nilai derajat deformasi ε yang berbeda), kita dapat melakukan ini. Mari kita lihat kembali definisi turunan dan lihat bahwa ketika menggunakan peningkatan kecil dalam argumen Δε (yaitu, peningkatan kecil dalam derajat deformasi yang dicatat selama pengujian), kita dapat mengganti nilai turunan nyata di titik x 0 (f'(x 0)=dy/dx (x 0)) dengan perbandingan Δy/Δx=(f (x 0 + Δx) – f (x 0))/Δx.
Jadi inilah yang terjadi:
f’(x 0) ≈(f (x 0 + Δx) – f (x 0))/Δx (1)
Untuk menghitung turunan ini di setiap titik, kita melakukan perhitungan menggunakan dua titik yang berdekatan: yang pertama dengan koordinat ε 0 sepanjang sumbu horizontal, dan yang kedua dengan koordinat x 0 + Δx, yaitu. satu adalah turunan yang kita hitung dan yang di sebelah kanan. Turunan yang dihitung dengan cara ini disebut turunan selisih ke kanan (maju) secara bertahapΔ X.
Kita dapat melakukan kebalikannya dengan mengambil dua titik bertetangga lainnya: x 0 - Δx dan x 0, yaitu titik yang menarik perhatian kita dan titik di sebelah kiri. Kami mendapatkan rumus untuk menghitung selisih turunan ke kiri (mundur) dengan langkah -Δ X.
f’(x 0) ≈(f (x 0) – f (x 0 – Δx))/Δx (2)
Rumus sebelumnya adalah “kiri” dan “kanan”, tetapi ada rumus lain yang memungkinkan Anda menghitung turunan selisih pusat dengan langkah 2 Δx, dan yang mana paling sering digunakan untuk diferensiasi numerik:
f’(x 0) ≈(f (x 0 + Δx) – f (x 0 – Δx))/2Δx (3)
Untuk memeriksa rumusnya, perhatikan contoh sederhana dengan fungsi yang diketahui y=x 3 . Mari kita buat tabel di Excel dengan dua kolom: x dan y, lalu buat grafik menggunakan titik-titik yang tersedia.
Turunan dari fungsi y=x 3 adalah y=3x 2, yang grafiknya yaitu parabola, kita harus memperolehnya menggunakan rumus kita.
Mari kita coba menghitung nilai turunan selisih pusat di titik x. Untuk ini. Di sel baris kedua tabel kita, kita memasukkan rumus kita (3), yaitu. rumus berikut di Excel:
Sekarang kita membuat grafik menggunakan nilai x yang ada dan nilai turunan selisih pusat yang diperoleh:
Dan inilah parabola merah kecil kita! Jadi rumusnya berhasil!
Nah, sekarang kita bisa beralih ke masalah teknik spesifik yang kita bicarakan di awal artikel - mencari perubahan dσ/dε dengan meningkatnya deformasi. Turunan pertama dari kurva tegangan-regangan σ=f (ε) disebut “laju pengerasan regangan” dalam literatur asing, dan “koefisien pengerasan” dalam literatur kita. Jadi, sebagai hasil pengujian, kami memiliki susunan data yang terdiri dari dua kolom: satu dengan nilai regangan ε dan yang lainnya dengan nilai tegangan σ dalam MPa. Mari kita ambil deformasi dingin baja 1035 atau 40G (lihat tabel analog baja) pada 20°C.
| C | M N | P | S | Ya | N |
| 0.36 | 0.69 | 0.025 | 0.032 | 0.27 | 0.004 |
Berikut adalah kurva kita pada koordinat “tegangan sebenarnya - regangan sebenarnya” σ-ε:
Kami melanjutkan dengan cara yang sama seperti pada contoh sebelumnya dan mendapatkan kurva ini:
Ini adalah perubahan laju pengerasan selama deformasi. Apa yang harus dilakukan dengannya adalah pertanyaan terpisah.
Selain memformat elemen bidang sel, baris, dan kolom, sering kali berguna untuk menggunakan beberapa lembar kerja Excel. Untuk mensistematisasikan dan mencari informasi dalam sebuah buku, akan lebih mudah untuk memberikan nama yang tepat pada nama lembaran, yang mencerminkan konten semantiknya. Misalnya, “data awal”, “hasil perhitungan”, “grafik”, dll. Lebih mudah untuk melakukan ini dengan menggunakan menu konteks. Klik kanan pada tab lembar, Ganti nama lembar dan klik
Untuk menambahkan satu atau lebih lembar baru, pilih perintah Lembar dari menu Sisipkan. Untuk memasukkan beberapa lembar sekaligus, Anda perlu memilih tab dari jumlah lembar yang diperlukan dengan menahan
Operasi yang berguna untuk memindahkan sheet adalah dengan mengambil tab sheet dengan tombol kiri mouse dan memindahkannya ke lokasi yang diinginkan. Jika Anda menekan
Tugas 7. Ubah format seluruh sel B2 menjadi: font – Arial 11; lokasi - di tengah, di sepanjang tepi bawah; satu kata per baris; format angka – “0,00”; batas sel – garis ganda
2.3. Fungsi bawaan
Excel berisi lebih dari 150 fungsi bawaan untuk menyederhanakan penghitungan dan pemrosesan data. Contoh isi sel dengan fungsi: =B2+SIN(C7) , dimana B2 dan C7 adalah alamat sel yang berisi angka, dan SIN() adalah nama fungsinya. Fungsi Excel yang paling banyak digunakan:
SQRT(25) = 5 – menghitung akar kuadrat dari bilangan (25) RADIAN(30) = 0,5 – mengubah 30 derajat menjadi radian SELURUH(8,7) = 8 – membulatkan ke bilangan bulat bawah terdekat REMAIN(-3,2 ) = 1 – menyisakan sisa bila bilangan (-3) dibagi
pembagi(2). Hasilnya mempunyai tanda pembagi. IF(E4>0.2;”tambahan”;”kesalahan”)– jika angka di sel E4 kurang dari 0,2,
lalu Excel mengembalikan “ekstra” (benar), jika tidak “kesalahan” (salah).
Dalam rumus, fungsi dapat disarangkan satu sama lain, namun tidak lebih dari 8 kali.
Saat menggunakan suatu fungsi, hal utama adalah mendefinisikan fungsi itu sendiri dan argumennya. Argumennya, sebagai suatu peraturan, menentukan alamat sel tempat informasi tersebut ditulis.
Anda dapat menentukan suatu fungsi dengan mengetikkan teks (ikon, angka, dll.) ke dalam sel yang diinginkan, atau menggunakan Penyihir Fungsi. Di sini, untuk memudahkan pencarian, semua fungsi dibagi ke dalam kategori: matematika, statistik, logika dan lain-lain. Dalam setiap kategori mereka diurutkan berdasarkan abjad.
Penyihir Fungsi dipanggil dengan perintah menu Sisipkan, Fungsi
atau dengan menekan ikon (f x ). Di jendela pertama Function Wizard yang muncul (Gbr. 4), tentukan Kategori dan nama fungsi tertentu, klik
Beras. 4. Tampilan jendela Fungsi Wizard
Beras. 5. Jendela untuk menentukan argumen dari fungsi yang dipilih
Tugas 8. Menemukan nilai rata-rata dari serangkaian angka: 2,5; 2.9; 1,8; 3.4; 6.1;
1,0; 4,4.
Solusi. Masukkan angka ke dalam sel, misalnya C2:C8. Pilih sel C9, di mana kita menulis fungsi = RATA-RATA(C2:C8), tekan
Tugas 9. Dengan menggunakan fungsi IF logika bersyarat, buatlah rumus untuk mengganti nama bilangan ganjil menjadi “musim gugur” dan bilangan genap menjadi “pegas”.
Solusi. Kami memilih kolom untuk memasukkan data awal - angka genap (ganjil), misalnya A. Di sel B3 kita menulis rumusnya =IF(REM(A3,2)=0,"berat","sumbu"). Dengan menyalin sel B3 di sepanjang kolom B, kita memperoleh hasil analisis angka-angka yang tertulis di kolom A. Hasil penyelesaian masalah disajikan pada Gambar. 6.
Beras. 6. Penyelesaian soal no.9
Masalah 10. Hitung nilai fungsi y = x3 + sinx – 4ex untuk x = 1,58.
Solusi. Mari kita letakkan datanya di sel A2 – x, B2 – y. Penyelesaian masalah ditunjukkan pada Gambar 7 dalam bentuk numerik di sebelah kiri dan dalam bentuk rumus di sebelah kanan. Saat menyelesaikan masalah ini, Anda harus memperhatikan pemanggilan fungsi SIN dan eksponen untuk memasukkan argumen (lihat Gambar 8).
Gambar.7. Solusi untuk masalah no.10
Gambar.8. Jendela untuk memasukkan argumen fungsi SIN dan EXP
Masalah 11. Buat model matematika soal di Excel untuk menghitung fungsi y= 1/ ((x- 3) · (x+ 4)), untuk nilai x= 3 dan y= -4 tampilkan “tidak terdefinisi”, nilai numerik dari fungsi – dalam kasus lain .
Masalah 12. Membuat model matematika dari soal di Excel: 12.1. untuk perhitungan dengan akar
a) √ x3 y2 z / √ x z ; b) (z · √ z)2 ; c) 3 √ x2 · 3 √ x ; d) √ 5 x5 3-1 / √ 20 x 3-1
12.2. untuk perhitungan geometri a) menentukan sudut suatu segitiga siku-siku jika x adalah kaki dan y adalah sisi miring;
b) menentukan jarak antara dua titik pada sistem koordinat Kartesius XYZ dengan menggunakan rumus
d = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2
c) tentukan jarak titik (x 0 ,y 0 ) ke garis lurus a x + b y + c = 0 dengan menggunakan rumus
d = a x0 +b y0 +c / √ (a2 +b2 )
d) menentukan luas segitiga dari koordinat titik-titiknya menggunakan rumus
S = 1 2 [ (x1 − x3 )(y2 − y3 ) − (x2 − x3 )(y1 − y3 )]
3. Menyelesaikan masalah menggunakan rumus dan fungsi
Sebenarnya ada banyak masalah yang berhasil diselesaikan dengan menggunakan rumus dan fungsi Excel. Mari kita perhatikan masalah-masalah yang paling sering diselesaikan dalam praktik menggunakan spreadsheet: persamaan linear dan sistemnya, perhitungan nilai numerik turunan dan integral tertentu.
Turunan suatu fungsi y = f(x) adalah rasio kenaikan ∆y terhadap kenaikan ∆x argumen yang bersesuaian, ketika
∆x→ 0
kamu = f (x + x) − f (x)
Masalah .13. Tentukan turunan fungsi y = 2x 3 + x 2 di titik x=3.
Larutan. Turunan yang dihitung dengan metode analitik adalah 60. Kami akan menghitung turunannya di Excel menggunakan rumus (1). Untuk melakukan ini, kami melakukan urutan tindakan berikut:
· Mari kita tentukan kolomnya: X – argumen fungsi, Y – nilai fungsi, Y ` – turunan fungsi (Gbr. 9).
· Tabulasikan fungsi di sekitar titik tersebut x = 3 dengan langkah kecil misal 0,001 kita masukkan hasilnya pada kolom X.
Beras. 9. Tabel menghitung turunan suatu fungsi
· Di sel B2, masukkan rumus untuk menghitung fungsi =2*A2^3+A2^2.
· Mari kita salin rumusnya ke baris 7, kita mendapatkan nilai fungsi di tab argumen berhenti.
· Pada sel C2, masukkan rumus menghitung turunan =(B3-B2)/ (A3-A2) .
· Mari kita salin rumusnya ke baris 6, kita memperoleh nilai turunan pada titik tabulasi argumen.
Untuk nilai x = 3, turunan fungsinya sama dengan nilai 60,019, mendekati nilai yang dihitung secara analitis.
metode trapesium. Pada metode trapesium, domain integrasi dibagi menjadi segmen-segmen dengan langkah tertentu, dan luas di bawah grafik fungsi pada setiap segmen dianggap sama dengan luas trapesium. Maka rumus perhitungannya mengambil bentuk sebagai berikut
S N = ∫ f (u) du ≈ h N ∑ − 1 [ f (a + h i) + f (a + h (i + 1)) ] (2), |
|
2 saya = 0 |
|
dimana h= (b- a)/ N – langkah partisi; N – jumlah titik pemisahan.
Untuk meningkatkan akurasi, jumlah titik partisi digandakan, dan integral dihitung kembali. Fragmentasi interval awal dihentikan ketika akurasi yang diperlukan tercapai:
integral, kami melakukan tindakan berikut:
– pilih N= 5, di sel F2 kita menghitung langkah partisi-h (Gbr. 10);
Beras. 10. Perhitungan integral tertentu
· Di kolom pertama Dan kita tuliskan bilangan interval i;
· Pada sel B2, tulis rumus =3*(2+F2*A2)^2 untuk menghitung suku pertama rumus (2);
· Pada sel C2, tulis rumus =3*(2+F2*(A2+1))^2 untuk menghitung suku kedua;
· “Regangkan” sel dengan rumus menjadi 4 baris kolom ke bawah;
· Di sel C7 kita menulis rumus dan menghitung jumlah sukunya,
· Pada sel C8 tulis rumusnya dan hitung SN nilai integral tentu yang diinginkan 19,02 (nilai SN diperoleh secara analitis
19).
Tugas. 15. Hitung integral tertentu:
1. Y = ∫ 2 xdx |
2. Y = ∫ 2 x3 dx |
−1 |
|
2π |
|||||||||||||||
Y = ∫ 2sin(x )dx |
Y = ∫ x2 dx |
||||||||||||||
−2 |
|||||||||||||||
kamu = ∫ |
kamu = ∫ |
||||||||||||||
3x − 2 |
(2x + 1) 3 |
||||||||||||||
x+3 |
|||||||||||||||
Y = ∫cos |
kamu = ∫ |
||||||||||||||
x 2 + 4 |
|||||||||||||||
3.2. Menyelesaikan Persamaan Linier
Persamaan linear di Excel dapat diselesaikan dengan menggunakan fungsi Pemilihan parameter. Saat memilih parameter, nilai sel yang mempengaruhi (parameter) berubah hingga rumus yang bergantung pada sel tersebut mengembalikan nilai yang ditentukan.
Mari kita perhatikan prosedur untuk mencari parameter menggunakan contoh sederhana menyelesaikan persamaan linier dengan satu persamaan yang tidak diketahui.
Soal 16. Selesaikan persamaan 10 x - 10 / x = 15 .
Larutan. Untuk nilai parameter – x yang diinginkan, pilih sel A3. Mari kita masukkan ke dalam sel ini bilangan apa pun yang berada dalam domain definisi fungsi (dalam contoh kita, bilangan ini tidak boleh sama dengan nol). Biarlah 3. Nilai ini akan digunakan sebagai nilai awal. Pada sel misalnya B3, sesuai persamaan di atas, masukkan rumus =10*A3-10/A3. Sebagai hasil dari serangkaian perhitungan menggunakan rumus ini, nilai parameter yang diinginkan akan dipilih. Sekarang di menu Tools, pilih perintah Pemilihan parameter, Mari kita luncurkan fungsi pencarian parameter (Gbr. 11, a). Mari masukkan parameter pencarian:
· Di lapangan Setel ke sel Mari masukkan referensi absolut ke sel $B$3 yang berisi rumus.
· Pada kolom Nilai, masukkan hasil yang diinginkan 15.
· Di lapangan Mengubah nilai sel masukkan tautan ke sel A3 yang berisi nilai yang dipilih dan klik
Setelah menyelesaikan fungsinya Pemilihan parameter sebuah jendela akan muncul di layar Hasil pemilihan parameter, yang akan menampilkan hasil pencarian. Parameter 2.000025 yang ditemukan akan muncul di sel A3, yang dicadangkan untuknya.
Perhatikan fakta bahwa dalam contoh kita persamaan memiliki dua solusi, namun hanya satu parameter yang dipilih. Hal ini terjadi karena parameter hanya diubah hingga nilai yang diperlukan dikembalikan. Argumen pertama yang ditemukan dengan cara ini dikembalikan kepada kami sebagai hasil pencarian. Jika sebagai
tunjukkan nilai awal dalam contoh kita -3, maka solusi kedua dari persamaan tersebut akan ditemukan: -0,5.
Gambar 11. Penyelesaian persamaan: a - masukan data, b - hasil penyelesaian
Soal 17. Selesaikan persamaan |
||||
5x/ 9- 8= 747x/ 12 |
(2x+ 2)/ 0,5= 6x |
|||
0,5 (2x- 1)+x/ 3= 1/6 |
7 (4x- 6)+ 3 (7- 8x)= 1 |
|||
Sistem linier |
persamaan |
dapat diselesaikan dengan cara yang berbeda |
||
metode: substitusi, penjumlahan dan pengurangan persamaan, menggunakan matriks. Mari kita pertimbangkan metode penyelesaian sistem persamaan linear kanonik (3) menggunakan matriks.
a1 x + a2 y + b1 = 0
a3 x + a4 kamu + b2 =0
Diketahui sistem persamaan linear dalam representasi matriks ditulis dalam bentuk:
dimana A adalah matriks koefisien, X adalah vektor - kolom yang tidak diketahui,
B adalah vektor kolom suku bebas. Solusi untuk sistem seperti itu
ditulis dalam formulir
X = A-1B,
dimana A -1 adalah invers matriks ke A. Hal ini mengikuti fakta bahwa ketika menyelesaikan persamaan matriks untuk X, matriks identitas E harus tetap ada. Mengalikan kedua ruas kiri persamaan AX = B dengan A -1, kita memperoleh solusi sistem persamaan linier.
Soal 18. Memecahkan sistem persamaan linear
Larutan. Untuk sistem persamaan linier tertentu, nilai matriks dan vektor kolom yang bersesuaian berbentuk:
Untuk mengatasi masalah tersebut, mari lakukan langkah-langkah berikut:
· A2:B3 dan tuliskan elemen-elemen matriks A ke dalamnya.
· Mari kita pilih satu blok sel, misalnya, C2:C3 dan tuliskan elemen-elemen matriks B ke dalamnya.
· Mari kita pilih satu blok sel, misalnya, D2:D3 untuk menempatkan hasil penyelesaian sistem persamaan.
· pada sel D2 masukkan rumus = MULTIPLE(MOBR(A2:B3),C2:C3).
Pustaka Excel di bagian fungsi matematika berisi fungsi untuk melakukan operasi pada matriks. Secara khusus, ini adalah fungsinya:
Parameter dari fungsi-fungsi ini dapat berupa tautan alamat ke array yang berisi nilai matriks atau nama rentang dan ekspresi.
Misalnya MOBR (A1:B2) atau MOPR (matrix_1).
· Mari beri tahu Excel bahwa suatu operasi sedang dilakukan pada array dengan menekan kombinasi tombol
4. Memecahkan masalah optimasi
Banyak masalah peramalan, desain, dan manufaktur dapat direduksi menjadi masalah optimasi yang luas. Tugas tersebut misalnya: memaksimalkan output barang dengan pembatasan bahan baku untuk produksi barang tersebut; menyusun staf untuk mencapai hasil terbaik dengan biaya terendah; meminimalkan biaya pengangkutan barang; mencapai kualitas paduan yang ditentukan; menentukan dimensi wadah tertentu, dengan mempertimbangkan biaya bahan untuk mencapai volume maksimum; bermacam-macam
masalah yang melibatkan variabel acak, dan masalah lain tentang alokasi sumber daya optimal dan desain optimal.
Masalah jenis ini dapat diselesaikan di EXCEL menggunakan alat Pencarian Solusi yang terletak di menu Alat. Rumusan masalah tersebut dapat berupa sistem persamaan dengan beberapa hal yang tidak diketahui dan sekumpulan batasan penyelesaian. Oleh karena itu, pemecahan masalah harus dimulai dengan membangun model yang sesuai. Mari berkenalan dengan perintah-perintah ini menggunakan sebuah contoh.
Soal 20. Misalkan kita memutuskan untuk memproduksi dua jenis lensa A dan B. Lensa tipe A terdiri dari 3 komponen lensa, tipe B - dari 4. Maksimal 1.800 lensa dapat diproduksi dalam seminggu. Dibutuhkan waktu 15 menit untuk merakit lensa tipe A, dan 30 menit untuk lensa tipe B. Minggu kerja untuk 4 karyawan adalah 160 jam. Berapa banyak lensa A dan B yang harus diproduksi untuk memperoleh keuntungan yang maksimal, jika lensa tipe A berharga 3500 rubel, tipe B berharga 4800 rubel.
Larutan. Untuk mengatasi masalah ini, perlu dibuat dan mengisi tabel sesuai dengan Gambar. 12:
· Ganti nama sel B2 di x, jumlah lensa tipe A.
· Demikian pula, mari kita ganti nama sel B3 menjadi y.
Fungsi sasaran Keuntungan = 3500*x+4800*y masukkan di sel B5. · Biaya pengemasan sama dengan =3*x+4*y, masukkan pada sel B7.
· Biaya waktu sama dengan =0.25*x+0.5*y, masukkan di sel B8.
Nama |
|||
set lengkap |
|||
Biaya berdasarkan waktu |
|||
Gambar 12. Mengisi tabel dengan data awal
· Pilih sel B5 dan pilih menu Data, setelah itu kita aktifkan perintah Cari solusi. Mari isi sel jendela ini sesuai dengan Gambar 13.
· Klik<Выполнить >; jika dilakukan dengan benar, solusinya akan seperti di bawah ini.
Diferensiasi numerik
Bagian No.5
Masalah perkiraan perhitungan turunan mungkin timbul ketika ekspresi analitik untuk fungsi yang diteliti tidak diketahui. Fungsi tersebut dapat ditentukan dalam tabel, atau hanya grafik fungsi yang diketahui, yang diperoleh, misalnya, sebagai hasil pembacaan parameter proses dari sensor.
Terkadang, ketika menyelesaikan beberapa masalah di komputer, karena rumitnya perhitungan, mungkin lebih mudah untuk menghitung turunan menggunakan metode numerik daripada metode analitis. Dalam hal ini tentunya perlu adanya justifikasi terhadap metode numerik yang digunakan, yaitu memastikan bahwa kesalahan metode numerik berada dalam batas yang dapat diterima.
Salah satu metode yang efektif untuk menyelesaikan persamaan diferensial adalah metode selisih, ketika alih-alih fungsi yang diinginkan, tabel nilainya pada titik-titik tertentu dipertimbangkan, dan turunannya kira-kira diganti dengan rumus selisih.
Biarkan grafik fungsinya diketahui kamu = f(X) pada segmen [ A,B]Anda dapat membuat grafik turunan suatu fungsi, dengan mengingat makna geometrisnya. Mari kita manfaatkan fakta bahwa turunan suatu fungsi pada suatu titik X sama dengan garis singgung sudut kemiringan sumbu absis garis singgung grafiknya di titik ini.
Jika x = x 0, ayo temukan pada 0 =f(X 0) menggunakan grafik lalu menggambar garis singgung AB ke grafik fungsi di titik ( X 0 , kamu 0) (Gbr. 5.1). Mari kita menggambar garis lurus yang sejajar dengan garis singgung AB, melalui titik (-1, 0) dan tentukan titik tersebut pada 1 perpotongannya dengan sumbu ordinat. Lalu nilainya pada 1 sama dengan garis singgung garis singgung sumbu absis, yaitu turunan dari fungsi F(X) pada intinya X 0:
pada 1 = = tg = f ¢ ( X 0), dan titik M 0 (X 0 , pada 1) termasuk dalam grafik turunan.
Untuk memplot grafik turunan, Anda perlu membagi segmen [ A,B] menjadi beberapa bagian dengan titik x saya, kemudian untuk setiap titik plotkan nilai turunannya secara grafis dan hubungkan titik-titik yang dihasilkan dengan kurva halus menggunakan pola.
Pada Gambar. 5.2 menunjukkan konstruksi lima titik M 1, M 2 ,... , M 5 dan grafik turunan.
Algoritma untuk membuat grafik turunan:
1. Buatlah garis singgung grafik fungsi tersebut pada= F(X)di titik ( X 1 ,F(X 1)); dari titik (-1, 0) sejajar garis singgung di titik ( X 1 ,F(X 1)) menggambar garis lurus hingga berpotongan dengan sumbu ordinat; titik potong ini memberikan nilai turunannya F ¢ ( X 1).Bangun sebuah poin M 1 (X 1 , F ¢ ( X 1)).
2. Mari kita buat titik-titik sisanya dengan cara yang sama M 2 ,M 3 , M 4 dan M 5 .
3. Menghubungkan titik-titik M 1 ,M 2 ,M 3 ,M 4 ,M 5 kurva halus.
|
Kurva yang dihasilkan merupakan grafik turunan.
Keakuratan metode grafis untuk menentukan turunannya rendah. Kami memberikan penjelasan tentang metode ini untuk tujuan pendidikan saja.
Komentar. Jika dalam algoritma untuk memplot turunan alih-alih titik (-1, 0) kita ambil titik ( -l,0), di mana aku> 0, maka grafik akan diplot pada skala yang berbeda sepanjang sumbu y.
5 . 2 .Rumus perbedaan
A) Rumus selisih turunan biasa
Rumus perbedaan untuk perhitungan perkiraan turunan disarankan oleh definisi turunan itu sendiri. Biarkan fungsi bernilai pada titik x saya ditunjukkan oleh kamu aku:
kamu aku= F(x saya),x saya = a+ ih,saya = 0, 1, ... , N; H=
Kami mempertimbangkan kasus distribusi titik yang seragam pada segmen [ A, B]. Untuk perkiraan perhitungan turunan pada titik x saya Anda dapat menggunakan yang berikut ini rumus perbedaan , atau turunan perbedaan .
Karena limit relasi (5.1) di H® 0 sama dengan turunan siku-siku di titik tersebut x saya, maka hubungan ini kadang-kadang disebut turunan selisih benar pada intinya x saya.Untuk alasan yang sama, relasi (5.2) dipanggil turunan selisih kiri pada intinya x saya.Relasi (5.3) disebut turunan selisih pusat pada intinya x saya.
Mari kita perkirakan kesalahan rumus selisih (5.1)–(5.3), dengan asumsi fungsi tersebut F(X) berkembang menjadi deret Taylor di sekitar titik tersebut x saya:
F(X)=f(x saya)+ . (5.4)
Dengan asumsi dalam (5.4) X= x saya+ H atau x = xi- H, kita mendapatkan
Dengan mensubstitusi langsung ekspansi (5.5) dan (5.6) ke dalam rumus (5.10), kita dapat memperoleh hubungan antara turunan kedua dari fungsi tersebut dan rumus selisih turunan orde kedua .