Diskriminan, seperti halnya persamaan kuadrat, mulai dipelajari pada mata kuliah aljabar di kelas 8 SD. Anda dapat menyelesaikan persamaan kuadrat melalui diskriminan dan menggunakan teorema Vieta. Metode mempelajari persamaan kuadrat, serta rumus-rumus diskriminan, kurang berhasil diajarkan kepada anak-anak sekolah, seperti banyak hal dalam pendidikan nyata. Oleh karena itu mereka lulus tahun sekolah, pendidikan di kelas 9-11 menggantikan” pendidikan yang lebih tinggi"dan semua orang melihat lagi - “Bagaimana cara menyelesaikan persamaan kuadrat?”, “Bagaimana mencari akar-akar persamaan?”, “Bagaimana mencari diskriminan?” Dan...

Rumus diskriminan

Diskriminan D persamaan kuadrat a*x^2+bx+c=0 sama dengan D=b^2–4*a*c.
Akar-akar (solusi) persamaan kuadrat bergantung pada tanda diskriminan (D):
D>0 – persamaan memiliki 2 akar real yang berbeda;
D=0 - persamaan memiliki 1 akar (2 akar yang cocok):
D<0 – не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.
Rumus untuk menghitung diskriminan cukup sederhana, sehingga banyak situs yang menawarkan kalkulator diskriminan online. Kami belum menemukan skrip semacam ini, jadi jika ada yang tahu cara menerapkannya, silakan kirim email kepada kami melalui email Alamat email ini dilindungi dari robot spam. Anda harus mengaktifkan JavaScript untuk melihatnya. .

Rumus umum mencari akar-akar persamaan kuadrat:

Kami menemukan akar persamaan menggunakan rumus
Jika koefisien suatu variabel kuadrat berpasangan, maka disarankan untuk menghitung bukan diskriminannya, tetapi bagian keempatnya
Dalam kasus seperti itu, akar persamaan ditemukan menggunakan rumus

Cara kedua untuk mencari akar adalah Teorema Vieta.

Teorema ini dirumuskan tidak hanya untuk persamaan kuadrat, tetapi juga untuk polinomial. Anda dapat membacanya di Wikipedia atau sumber elektronik lainnya. Namun untuk mempermudahnya, mari kita perhatikan bagian yang membahas persamaan kuadrat di atas, yaitu persamaan bentuk (a=1)
Inti dari rumus Vieta adalah jumlah akar persamaan sama dengan koefisien variabel yang diambil dengan tanda berlawanan. Hasil kali akar-akar persamaan sama dengan suku bebasnya. Teorema Vieta dapat ditulis dalam rumus.
Penurunan rumus Vieta cukup sederhana. Mari kita tulis persamaan kuadrat melalui faktor sederhana
Seperti yang Anda lihat, segala sesuatu yang cerdik itu sederhana pada saat yang bersamaan. Rumus Vieta efektif digunakan jika selisih modulus akar atau selisih modulus akar adalah 1, 2. Misalnya persamaan berikut, menurut teorema Vieta, mempunyai akar




Sampai persamaan 4, analisisnya akan terlihat seperti ini. Hasil kali akar-akar persamaan adalah 6, sehingga akar-akarnya dapat berupa nilai (1, 6) dan (2, 3) atau berpasangan dengan tanda yang berlawanan. Jumlah akar-akarnya adalah 7 (koefisien variabel yang berlawanan tanda). Dari sini kita menyimpulkan bahwa penyelesaian persamaan kuadrat adalah x=2; x=3.
Lebih mudah untuk memilih akar-akar persamaan di antara pembagi suku bebas, menyesuaikan tandanya untuk memenuhi rumus Vieta. Pada awalnya hal ini terlihat sulit untuk dilakukan, namun dengan latihan pada sejumlah persamaan kuadrat, teknik ini akan menjadi lebih efektif dibandingkan menghitung diskriminan dan mencari akar-akar persamaan kuadrat dengan cara klasik.
Seperti yang Anda lihat, teori sekolah mempelajari diskriminan dan metode menemukan solusi persamaan tidak memiliki makna praktis - “Mengapa anak sekolah membutuhkan persamaan kuadrat?”, “Apa arti fisis dari diskriminan?”

Mari kita coba mencari tahu Apa yang digambarkan oleh orang yang diskriminan?

Pada mata kuliah aljabar mereka mempelajari fungsi, skema mempelajari fungsi dan membuat grafik fungsi. Dari semua fungsi tersebut, parabola menempati tempat yang penting, yang persamaannya dapat dituliskan dalam bentuk
Jadi arti fisis persamaan kuadrat adalah angka nol parabola yaitu titik potong grafik fungsi dengan sumbu absis Sapi.
Saya meminta Anda untuk mengingat sifat-sifat parabola yang dijelaskan di bawah ini. Akan tiba waktunya untuk mengikuti ujian, ulangan, atau ujian masuk dan Anda akan berterima kasih atas bahan referensinya. Tanda variabel kuadrat menunjukkan apakah cabang-cabang parabola pada grafik akan naik (a>0),

atau parabola yang cabangnya mengarah ke bawah (a<0) .

Titik puncak parabola terletak di tengah-tengah antara akar-akarnya

Arti fisik dari diskriminan:

Jika diskriminan lebih besar dari nol (D>0) parabola mempunyai dua titik potong dengan sumbu Ox.
Jika diskriminannya nol (D=0) maka parabola di titik puncak menyentuh sumbu x.
Dan kasus terakhir, ketika diskriminan kurang dari nol (D<0) – график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).

Persamaan kuadrat tidak lengkap

Masalah persamaan kuadrat dipelajari baik dalam kurikulum sekolah maupun di universitas. Maksudnya persamaan berbentuk a*x^2 + b*x + c = 0, dimana X- variabel, a, b, c – konstanta; A<>0 . Tugasnya adalah menemukan akar-akar persamaan tersebut.

Arti geometris persamaan kuadrat

Grafik suatu fungsi yang diwakili oleh persamaan kuadrat adalah parabola. Penyelesaian (akar-akar) persamaan kuadrat adalah titik potong parabola dengan sumbu absis (x). Oleh karena itu, ada tiga kemungkinan kasus:
1) parabola tidak mempunyai titik potong dengan sumbu absis. Artinya berada di bidang atas dengan cabang di atas atau di bawah dengan cabang di bawah. Dalam kasus seperti ini, persamaan kuadrat tidak memiliki akar real (memiliki dua akar kompleks).

2) parabola mempunyai satu titik potong dengan sumbu Ox. Titik seperti itu disebut titik puncak parabola, dan persamaan kuadrat pada titik tersebut memperoleh nilai minimum atau maksimum. Dalam hal ini, persamaan kuadrat mempunyai satu akar real (atau dua akar identik).

3) Kasus terakhir lebih menarik dalam praktiknya - ada dua titik perpotongan parabola dengan sumbu absis. Artinya ada dua akar real dari persamaan tersebut.

Berdasarkan analisis koefisien pangkat variabel, dapat ditarik kesimpulan menarik tentang penempatan parabola.

1) Jika koefisien a lebih besar dari nol, maka cabang-cabang parabola mengarah ke atas; jika negatif, cabang-cabang parabola mengarah ke bawah.

2) Jika koefisien b lebih besar dari nol, maka titik puncak parabola terletak pada setengah bidang kiri, jika bernilai negatif maka di kanan.

Penurunan rumus untuk menyelesaikan persamaan kuadrat

Mari kita pindahkan konstanta dari persamaan kuadrat

untuk tanda sama dengan, kita mendapatkan ekspresi

Kalikan kedua ruas dengan 4a

Untuk mendapatkan persegi lengkap di sebelah kiri, tambahkan b^2 di kedua sisi dan lakukan transformasi

Dari sini kita temukan

Rumus diskriminan dan akar persamaan kuadrat

Diskriminan adalah nilai ekspresi radikal, jika positif maka persamaan mempunyai dua akar real yang dihitung dengan rumus Ketika diskriminan adalah nol, persamaan kuadrat memiliki satu solusi (dua akar yang berhimpitan), yang dapat dengan mudah diperoleh dari rumus di atas untuk D = 0. Jika diskriminan negatif, persamaan tersebut tidak memiliki akar real. Namun, solusi persamaan kuadrat ditemukan pada bidang kompleks, dan nilainya dihitung menggunakan rumus

teorema Vieta

Mari kita pertimbangkan dua akar persamaan kuadrat dan buatlah persamaan kuadrat berdasarkan keduanya.Teorema Vieta sendiri dengan mudah mengikuti notasinya: jika kita memiliki persamaan kuadrat dalam bentuk maka jumlah akar-akarnya sama dengan koefisien p yang diambil dengan tanda berlawanan, dan hasil kali akar-akar persamaan tersebut sama dengan suku bebas q. Representasi rumus di atas akan terlihat seperti Jika dalam persamaan klasik konstanta a bukan nol, maka Anda perlu membagi seluruh persamaan dengan konstanta tersebut, lalu menerapkan teorema Vieta.

Memfaktorkan jadwal persamaan kuadrat

Biarkan tugasnya ditetapkan: faktorkan persamaan kuadrat. Untuk melakukan ini, pertama-tama kita selesaikan persamaannya (temukan akar-akarnya). Selanjutnya, kita substitusikan akar-akar yang ditemukan ke dalam rumus muai persamaan kuadrat, sehingga permasalahannya dapat diselesaikan.

Masalah persamaan kuadrat

Tugas 1. Temukan akar persamaan kuadrat

x^2-26x+120=0 .

Penyelesaian: Tuliskan koefisiennya dan substitusikan ke dalam rumus diskriminan

Akar dari nilai ini adalah 14, mudah ditemukan dengan kalkulator, atau diingat dengan sering digunakan, namun untuk kenyamanan, di akhir artikel saya akan memberikan daftar kuadrat angka yang sering ditemui di masalah seperti itu.
Kami mengganti nilai yang ditemukan ke dalam rumus akar

dan kita mendapatkan

Tugas 2. Selesaikan persamaannya

2x 2 +x-3=0.

Penyelesaian: Kita mempunyai persamaan kuadrat lengkap, tuliskan koefisiennya dan cari diskriminannya


Dengan menggunakan rumus yang diketahui, kita menemukan akar persamaan kuadrat

Tugas 3. Selesaikan persamaannya

9x 2 -12x+4=0.

Penyelesaian: Kita mempunyai persamaan kuadrat lengkap. Menentukan diskriminan

Kami mendapat kasus di mana akarnya bertepatan. Temukan nilai akar menggunakan rumus

Tugas 4. Selesaikan persamaannya

x^2+x-6=0 .

Solusi: Jika koefisien x kecil, disarankan untuk menerapkan teorema Vieta. Berdasarkan kondisinya kita memperoleh dua persamaan

Dari kondisi kedua kita menemukan bahwa hasil kali harus sama dengan -6. Artinya salah satu akarnya negatif. Kami memiliki kemungkinan pasangan solusi berikut (-3;2), (3;-2) . Dengan mempertimbangkan kondisi pertama, kami menolak pasangan solusi kedua.
Akar-akar persamaannya sama

Soal 5. Hitunglah panjang sisi suatu persegi panjang jika kelilingnya 18 cm dan luasnya 77 cm 2.

Penyelesaian: Setengah keliling suatu persegi panjang sama dengan jumlah sisi-sisi yang berdekatan. Mari kita nyatakan x sebagai sisi yang lebih besar, maka 18-x adalah sisi yang lebih kecil. Luas persegi panjang sama dengan hasil kali panjang berikut:
x(18-x)=77;
atau
x 2 -18x+77=0.
Mari kita cari diskriminan dari persamaan tersebut

Menghitung akar persamaan

Jika x=11, Itu 18=7 , hal sebaliknya juga berlaku (jika x=7, maka 21=9).

Soal 6. Faktorkan persamaan kuadrat 10x 2 -11x+3=0.

Solusi: Mari kita hitung akar-akar persamaannya, untuk melakukan ini kita mencari diskriminannya

Kami mengganti nilai yang ditemukan ke dalam rumus akar dan menghitung

Kami menerapkan rumus untuk menguraikan persamaan kuadrat berdasarkan akar

Membuka tanda kurung kita memperoleh identitas.

Persamaan kuadrat dengan parameter

Contoh 1. Pada nilai parameter berapa A , apakah persamaan (a-3)x 2 + (3-a)x-1/4=0 mempunyai satu akar?

Penyelesaian: Dengan substitusi langsung terhadap nilai a=3 kita melihat bahwa nilai tersebut tidak mempunyai solusi. Selanjutnya, kita akan menggunakan fakta bahwa dengan diskriminan nol, persamaan tersebut memiliki satu akar multiplisitas 2. Mari kita tuliskan diskriminannya

Mari kita sederhanakan dan samakan dengan nol

Kami telah memperoleh persamaan kuadrat terhadap parameter a, solusinya dapat dengan mudah diperoleh menggunakan teorema Vieta. Jumlah akar-akarnya adalah 7 dan hasil kali akar-akarnya adalah 12. Dengan pencarian sederhana kami menetapkan bahwa angka 3,4 akan menjadi akar persamaan. Karena kita sudah menolak solusi a=3 di awal perhitungan, satu-satunya solusi yang benar adalah - sebuah = 4. Jadi, untuk a=4 persamaan tersebut mempunyai satu akar.

Contoh 2. Pada nilai parameter berapa A , persamaannya a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0 memiliki lebih dari satu akar?

Solusi: Pertama-tama mari kita perhatikan titik tunggalnya, yaitu nilai a=0 dan a=-3. Jika a=0, persamaannya akan disederhanakan menjadi 6x-9=0; x=3/2 dan akan ada satu akar. Untuk a= -3 kita memperoleh identitas 0=0.
Mari kita hitung diskriminannya

dan carilah nilai a yang positif

Dari kondisi pertama kita mendapatkan a>3. Untuk yang kedua, kita mencari diskriminan dan akar persamaannya


Mari kita tentukan interval di mana fungsi tersebut bernilai positif. Dengan mensubstitusikan titik a=0 kita peroleh 3>0 . Jadi, di luar interval (-3;1/3) fungsinya negatif. Jangan lupa intinya sebuah=0, yang harus dikecualikan karena persamaan aslinya mempunyai satu akar di dalamnya.
Hasilnya, kita memperoleh dua interval yang memenuhi kondisi masalah

Akan ada banyak tugas serupa dalam praktiknya, cobalah untuk mencari tahu sendiri tugas-tugas tersebut dan jangan lupa untuk memperhitungkan kondisi yang saling eksklusif. Pelajarilah dengan baik rumus-rumus penyelesaian persamaan kuadrat, seringkali dibutuhkan dalam perhitungan berbagai masalah dan ilmu pengetahuan.

Misalkan persamaan kuadrat ax 2 + bx + c = 0 diberikan.
Mari kita terapkan pada trinomial kuadrat ax 2 + bx + c transformasi yang sama seperti yang kita lakukan pada § 13, ketika kita membuktikan teorema bahwa grafik fungsi y = ax 2 + bx + c adalah parabola.
Kita punya

Biasanya ekspresi b 2 - 4ac dilambangkan dengan huruf D dan disebut diskriminan persamaan kuadrat ax 2 + bx + c = 0 (atau diskriminan trinomial kuadrat ax + bx + c).

Dengan demikian

Artinya persamaan kuadrat ax 2 + im + c = O dapat ditulis ulang ke dalam bentuk

Persamaan kuadrat apa pun dapat diubah ke dalam bentuk (1), yang berguna, seperti yang akan kita lihat sekarang, untuk menentukan jumlah akar persamaan kuadrat dan menemukan akar-akarnya.

Bukti. Jika D< 0, то правая часть уравнения (1) — отрицательное число; в то же время sisi kiri persamaan (1) mengambil nilai non-negatif untuk setiap nilai x. Artinya tidak ada satu pun nilai x yang memenuhi persamaan (1), sehingga persamaan (1) tidak mempunyai akar.

Contoh 1. Selesaikan persamaan 2x 2 + 4x + 7 = 0.
Larutan. Disini a = 2, b = 4, c = 7,
D = b 2 -4ac = 4 2 . 4. 2. 7 = 16-56 = -40.
Sejak D< 0, то по теореме 1 данное квадратное уравнение не имеет корней.

Bukti. Jika D = 0, maka persamaan (1) berbentuk

adalah satu-satunya akar persamaan.

Catatan 1. Ingatkah Anda bahwa x = - adalah absis titik puncak parabola yang merupakan grafik fungsi y = ax 2 + mereka + c? Kenapa ini
nilai ternyata merupakan satu-satunya akar persamaan kuadrat ax 2 + im + c - 0? “Peti mati” terbuka secara sederhana: jika D adalah 0, maka, seperti yang kita tentukan sebelumnya,

Grafik fungsi yang sama adalah parabola dengan titik sudut di suatu titik (lihat, misalnya, Gambar 98). Artinya absis titik sudut parabola dan akar tunggal persamaan kuadrat D = 0 adalah bilangan yang sama.

Contoh 2. Selesaikan persamaan 4x 2 - 20x + 25 = 0.
Larutan. Disini a = 4, b = -20, c = 25, D = b 2 - 4ac = (-20) 2 - 4. 4. 25 = 400 - 400 = 0.

Karena D = 0, maka menurut Teorema 2 persamaan kuadrat ini mempunyai satu akar. Akar ini ditemukan dengan rumus

Jawaban: 2.5.

Catatan 2. Perhatikan bahwa 4x 2 - 20x +25 adalah kuadrat sempurna: 4x 2 - 20x + 25 = (2x - 5) 2.
Jika kita langsung menyadarinya, kita akan menyelesaikan persamaan seperti ini: (2x - 5) 2 = 0, artinya 2x - 5 = 0, sehingga diperoleh x = 2,5. Secara umum, jika D = 0, maka

ax 2 + bx + c = - kami mencatat ini sebelumnya di Catatan 1.
Jika D > 0, maka persamaan kuadrat ax 2 + bx + c = 0 mempunyai dua akar yang dicari dengan rumus

Bukti. Mari kita tulis ulang persamaan kuadrat ax 2 + b x + c = 0 menjadi (1)

Ayo taruh
Dengan syarat D > 0 yang berarti ruas kanan persamaan tersebut adalah bilangan positif. Kemudian dari persamaan (2) kita peroleh bahwa

Jadi, persamaan kuadrat yang diberikan memiliki dua akar:

Catatan 3. Dalam matematika, jarang terjadi bahwa istilah yang diperkenalkan, secara kiasan, tidak memiliki latar belakang sehari-hari. Mari kita mengambil sesuatu yang baru
konsep - diskriminan. Ingat kata “diskriminasi”. Apa artinya? Artinya penghinaan terhadap sebagian orang dan meninggikan sebagian lainnya, yaitu. sikap yang berbeda
kepada berbagai orang. Kedua kata (diskriminan dan diskriminasi) berasal dari bahasa Latin diskriminan - “diskriminasi”. Diskriminan membedakan persamaan kuadrat berdasarkan jumlah akarnya.

Contoh 3. Selesaikan persamaan 3x 2 + 8x - 11 = 0.
Larutan. Disini a = 3, b = 8, c = - 11,
D = b 2 - 4ac = 8 2 - 4. 3. (-11) = 64 + 132 = 196.
Karena D > 0, maka berdasarkan Teorema 3 persamaan kuadrat ini mempunyai dua akar. Akar-akar ini ditemukan menurut rumus (3)

Faktanya, kami telah mengembangkan aturan berikut:

Aturan untuk menyelesaikan persamaan
kapak 2 + bx + c = 0

Aturan ini bersifat universal; berlaku untuk persamaan kuadrat lengkap dan tidak lengkap. Namun, persamaan kuadrat tidak lengkap biasanya tidak diselesaikan menggunakan aturan ini; akan lebih mudah untuk menyelesaikannya seperti yang kita lakukan di paragraf sebelumnya.

Contoh 4. Selesaikan persamaan:

a) x 2 + 3x - 5 = 0; b) - 9x 2 + 6x - 1 = 0; c) 2x 2 -x + 3,5 = 0.

Penyelesaian a) Disini a = 1, b = 3, c = - 5,
D = b 2 - 4ac = Z 2 - 4. 1 . (- 5) = 9 + 20 = 29.

Karena D > 0, persamaan kuadrat ini mempunyai dua akar. Kami menemukan akar-akar ini menggunakan rumus (3)

B) Pengalaman menunjukkan bahwa akan lebih mudah untuk menangani persamaan kuadrat yang koefisien utamanya positif. Oleh karena itu, pertama-tama kita kalikan kedua ruas persamaan dengan -1, kita peroleh

9x 2 - 6x + 1 = 0.
Disini a = 9, b = -6, c = 1, D = b 2 - 4ac = 36 - 36 = 0.
Karena D = 0, persamaan kuadrat ini mempunyai satu akar. Akar ini ditemukan dengan rumus x = -. Cara,

Persamaan ini dapat diselesaikan secara berbeda: sejak
9x 2 - 6x + 1 = (Зх - IJ, maka kita peroleh persamaan (Зх - I) 2 = 0, dari situ kita mencari Зх - 1 = 0, yaitu x = .

c) Disini a = 2, b = - 1, c = 3,5, D = b 2 - 4ac = 1 - 4. 2. 3,5= 1 - 28 = - 27. Karena D< 0, то данное квадратное уравнение не имеет корней.

Matematikawan adalah orang yang praktis dan ekonomis. Mengapa, kata mereka, menggunakan aturan yang begitu panjang untuk menyelesaikan persamaan kuadrat, lebih baik segera ditulis rumus umum:

Jika ternyata diskriminan D = b 2 - 4ac adalah bilangan negatif, maka rumus yang dituliskan tidak masuk akal (ada bilangan negatif di bawah tanda akar kuadrat) yang berarti tidak ada akar. Jika ternyata diskriminannya sama dengan nol, maka kita peroleh

Artinya, satu akar (mereka juga mengatakan bahwa persamaan kuadrat dalam hal ini memiliki dua akar yang identik:

Terakhir, jika ternyata b 2 - 4ac > 0, maka kita mendapatkan dua akar x 1 dan x 2, yang dihitung menggunakan rumus yang sama (3) seperti di atas.

Bilangan itu sendiri dalam hal ini adalah positif (seperti akar kuadrat apa pun dari bilangan positif), dan tanda ganda di depannya berarti bahwa dalam satu kasus (saat menemukan x 1) bilangan positif ini ditambahkan ke bilangan tersebut - b, dan dalam kasus lain (saat menemukan x 2) ini adalah bilangan positif
membaca dari nomor - b.

Anda memiliki kebebasan memilih. Apakah Anda ingin menyelesaikan persamaan kuadrat secara detail menggunakan aturan yang dirumuskan di atas; Jika mau, segera tuliskan rumus (4) dan gunakan untuk menarik kesimpulan yang diperlukan.

Contoh 5. Selesaikan persamaan:

Penyelesaian, a) Tentu saja Anda dapat menggunakan rumus (4) atau (3), dengan memperhatikan hal tersebut pada kasus ini Namun mengapa mengerjakan soal pecahan padahal lebih mudah dan, yang paling penting, lebih menyenangkan untuk menangani bilangan bulat? Mari kita hilangkan penyebutnya. Untuk melakukan ini, Anda perlu mengalikan kedua ruas persamaan dengan 12, yaitu dengan penyebut terkecil dari pecahan yang berfungsi sebagai koefisien persamaan. Kita mendapatkan

maka 8x 2 + 10x - 7 = 0.

Sekarang mari kita gunakan rumus (4)

B) Sekali lagi kita memiliki persamaan dengan koefisien pecahan: a = 3, b = - 0,2, c = 2,77. Mari kita kalikan kedua ruas persamaan dengan 100, maka kita mendapatkan persamaan dengan koefisien bilangan bulat:
300x 2 - 20x + 277 = 0.
Selanjutnya kita menggunakan rumus (4):

Perhitungan sederhana menunjukkan bahwa diskriminan (ekspresi radikal) adalah bilangan negatif. Artinya persamaan tersebut tidak mempunyai akar.

Contoh 6. Selesaikan persamaannya
Larutan. Di sini, tidak seperti contoh sebelumnya, lebih baik bertindak sesuai aturan daripada berdasarkan rumus yang disingkat (4).

Kita mempunyai a = 5, b = -, c = 1, D = b 2 - 4ac = (-) 2 - 4. 5. 1 = 60 - 20 = 40. Karena D > 0, maka persamaan kuadrat tersebut mempunyai dua akar, yang akan kita cari menggunakan rumus (3)

Contoh 7. Selesaikan persamaannya
x 2 - (2p + 1)x + (p 2 +p-2) = 0

Larutan. Persamaan kuadrat ini berbeda dari semua persamaan kuadrat yang telah dibahas sejauh ini karena koefisiennya bukanlah angka tertentu, melainkan ekspresi huruf. Persamaan seperti ini disebut persamaan dengan koefisien huruf atau persamaan dengan parameter. Dalam hal ini, parameter (huruf) p termasuk dalam koefisien kedua dan suku bebas persamaan tersebut.
Mari kita cari diskriminannya:

Contoh 8. Selesaikan persamaan px 2 + (1 - p) x - 1 = 0.
Larutan. Ini juga merupakan persamaan dengan parameter p, tetapi berbeda dengan contoh sebelumnya, persamaan ini tidak dapat langsung diselesaikan menggunakan rumus (4) atau (3). Faktanya adalah rumus-rumus di atas dapat diterapkan pada persamaan kuadrat, tetapi kita belum bisa mengatakan hal yang sama tentang persamaan tertentu. Memangnya bagaimana jika p = 0? Kemudian
persamaannya akan berbentuk 0. x 2 + (1-0)x- 1 = 0, yaitu x - 1 = 0, sehingga diperoleh x = 1. Sekarang, jika Anda mengetahui dengan pasti bahwa , maka Anda dapat menerapkan rumus akar-akar kuadrat persamaan:

Persamaan kuadrat. Diskriminan. Solusi, contoh.

Perhatian!
Ada tambahan
materi dalam Bagian Khusus 555.
Bagi mereka yang sangat "tidak terlalu..."
Dan bagi mereka yang “sangat…”)

Jenis persamaan kuadrat

Apa itu persamaan kuadrat? Seperti apa bentuknya? Dalam ketentuan persamaan kuadrat kata kuncinya adalah "persegi". Artinya dalam persamaan Perlu harus ada x kuadratnya. Selain itu, persamaan tersebut mungkin (atau mungkin tidak!) hanya berisi X (pangkat satu) dan hanya sebuah angka (anggota gratis). Dan tidak boleh ada X yang pangkatnya lebih besar dari dua.

Dalam istilah matematika, persamaan kuadrat adalah persamaan yang bentuknya:

Di Sini a, b dan c- beberapa nomor. b dan c- tentu saja apa saja, tapi A– apa pun selain nol. Misalnya:

Di Sini A =1; B = 3; C = -4

Di Sini A =2; B = -0,5; C = 2,2

Di Sini A =-3; B = 6; C = -18

Nah, Anda mengerti...

Dalam persamaan kuadrat di sebelah kiri ada set lengkap anggota. X dikuadratkan dengan koefisien A, x pangkat pertama dengan koefisien B Dan anggota bebas s.

Persamaan kuadrat seperti ini disebut penuh.

Dan jika B= 0, apa yang kita dapat? Kita punya X akan hilang pada pangkat pertama. Ini terjadi jika dikalikan dengan nol.) Ternyata, misalnya:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

Dan seterusnya. Dan jika kedua koefisien B Dan C sama dengan nol, maka lebih sederhana lagi:

2x 2 =0,

-0,3x 2 =0

Persamaan dimana ada sesuatu yang hilang disebut persamaan kuadrat tidak lengkap. Ini cukup logis.) Perlu diketahui bahwa x kuadrat ada di semua persamaan.

Ngomong-ngomong, kenapa A tidak bisa sama dengan nol? Dan Anda malah menggantikannya A nol.) X kuadrat kita akan hilang! Persamaannya akan menjadi linier. Dan solusinya sangat berbeda...

Itu semua jenis utama persamaan kuadrat. Lengkap dan tidak lengkap.

Memecahkan persamaan kuadrat.

Memecahkan persamaan kuadrat lengkap.

Persamaan kuadrat mudah diselesaikan. Sesuai rumus dan aturan yang jelas dan sederhana. Pada tahap pertama, persamaan yang diberikan perlu dibawa ke bentuk standar, yaitu. ke formulir:

Jika persamaan sudah diberikan kepada Anda dalam bentuk ini, Anda tidak perlu melakukan tahap pertama.) Yang utama adalah menentukan semua koefisien dengan benar, A, B Dan C.

Rumus mencari akar persamaan kuadrat adalah sebagai berikut:

Ekspresi di bawah tanda akar disebut diskriminan. Tapi lebih banyak tentang dia di bawah. Seperti yang Anda lihat, untuk mencari X, kami menggunakan hanya a, b dan c. Itu. koefisien dari persamaan kuadrat. Ganti saja nilainya dengan hati-hati a, b dan c Kami menghitung ke dalam rumus ini. Mari kita gantikan dengan tandamu sendiri! Misalnya dalam persamaan:

A =1; B = 3; C= -4. Di sini kami menuliskannya:

Contohnya hampir terpecahkan:

Inilah jawabannya.

Semuanya sangat sederhana. Dan menurut Anda tidak mungkin membuat kesalahan? Ya, bagaimana...

Kesalahan paling umum adalah kebingungan dengan nilai-nilai tanda a, b dan c. Atau lebih tepatnya, bukan dengan tanda-tandanya (di mana harus bingung?), tetapi dengan substitusi nilai negatif ke dalam rumus menghitung akar-akarnya. Yang membantu di sini adalah pencatatan rumus secara detail dengan angka-angka tertentu. Jika ada masalah dalam perhitungan, lakukan itu!

Misalkan kita perlu menyelesaikan contoh berikut:

Di Sini A = -6; B = -5; C = -1

Katakanlah Anda tahu bahwa Anda jarang mendapatkan jawaban untuk pertama kalinya.

Yah, jangan malas. Diperlukan waktu sekitar 30 detik untuk menulis baris tambahan dan jumlah kesalahannya akan menurun tajam. Jadi kami menulis secara detail, dengan semua tanda kurung dan tanda:

Tampaknya sangat sulit untuk menulis dengan hati-hati. Tapi sepertinya hanya itu saja. Cobalah. Ya, atau pilih. Mana yang lebih baik, cepat atau benar? Selain itu, aku akan membuatmu bahagia. Setelah beberapa saat, tidak perlu menuliskan semuanya dengan hati-hati. Ini akan berjalan dengan sendirinya. Apalagi jika Anda menggunakan teknik praktis yang dijelaskan di bawah ini. Contoh jahat dengan banyak kekurangan ini dapat diselesaikan dengan mudah dan tanpa kesalahan!

Namun seringkali persamaan kuadrat terlihat sedikit berbeda. Misalnya seperti ini:

Apakah Anda mengenalinya?) Ya! Ini persamaan kuadrat tidak lengkap.

Memecahkan persamaan kuadrat tidak lengkap.

Mereka juga dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus umum. Anda hanya perlu memahami dengan benar apa persamaannya di sini. a, b dan c.

Sudahkah Anda menemukan jawabannya? Pada contoh pertama sebuah = 1; b = -4; A C? Itu tidak ada sama sekali! Ya, itu benar. Dalam matematika, ini berarti bahwa c = 0 ! Itu saja. Gantikan nol ke dalam rumus C, dan kita akan berhasil. Sama dengan contoh kedua. Hanya saja kita tidak punya nol di sini Dengan, A B !

Namun persamaan kuadrat tidak lengkap dapat diselesaikan dengan lebih sederhana. Tanpa formula apa pun. Mari kita perhatikan persamaan tidak lengkap pertama. Apa yang bisa kamu lakukan di sisi kiri? Anda dapat mengeluarkan X dari tanda kurung! Mari kita keluarkan.

Dan bagaimana dengan ini? Dan fakta bahwa hasil kali sama dengan nol jika dan hanya jika salah satu faktornya sama dengan nol! Tidak percaya padaku? Oke, lalu tentukan dua bilangan bukan nol yang jika dikalikan akan menghasilkan nol!
Tidak bekerja? Itu dia...
Oleh karena itu, kami dengan yakin dapat menulis: x 1 = 0, x 2 = 4.

Semua. Ini akan menjadi akar persamaan kita. Keduanya cocok. Saat mensubstitusikan salah satu persamaan tersebut ke dalam persamaan awal, kita mendapatkan identitas yang benar 0 = 0. Seperti yang Anda lihat, penyelesaiannya jauh lebih sederhana daripada menggunakan rumus umum. Izinkan saya mencatat, omong-omong, X mana yang akan menjadi yang pertama dan mana yang kedua - sama sekali tidak peduli. Lebih mudah untuk menulis secara berurutan, x 1- apa yang lebih kecil dan x 2- apa yang lebih besar.

Persamaan kedua juga dapat diselesaikan secara sederhana. Pindahkan 9 ke sisi kanan. Kita mendapatkan:

Yang tersisa hanyalah mengekstrak root dari 9, dan selesai. Ternyata:

Juga dua akar . x 1 = -3, x 2 = 3.

Beginilah cara menyelesaikan semua persamaan kuadrat tidak lengkap. Baik dengan menempatkan X di luar tanda kurung, atau cukup dengan memindahkan bilangan tersebut ke kanan lalu mengekstrak akarnya.
Sangat sulit untuk mengacaukan teknik-teknik ini. Hanya karena dalam kasus pertama Anda harus mengekstrak root X, yang entah bagaimana tidak dapat dipahami, dan dalam kasus kedua tidak ada yang perlu dikeluarkan dari tanda kurung...

Diskriminan. Rumus diskriminan.

Kata ajaib diskriminan ! Jarang ada siswa SMA yang belum mendengar kata ini! Ungkapan “kita memecahkan masalah melalui pihak yang diskriminan” menginspirasi keyakinan dan kepastian. Karena tidak perlu mengharapkan tipu muslihat dari pihak yang diskriminan! Sederhana dan bebas masalah untuk digunakan.) Saya mengingatkan Anda tentang rumus penyelesaian yang paling umum setiap persamaan kuadrat:

Ekspresi di bawah tanda akar disebut diskriminan. Biasanya diskriminan dilambangkan dengan huruf D. Rumus diskriminan:

D = b 2 - 4ac

Dan apa yang luar biasa dari ungkapan ini? Mengapa ia pantas mendapat nama khusus? Apa pengertian diskriminan? Lagipula -B, atau 2a dalam rumus ini mereka tidak secara khusus menyebutnya apa pun… Huruf dan huruf.

Inilah masalahnya. Saat menyelesaikan persamaan kuadrat menggunakan rumus ini, hal itu dimungkinkan hanya tiga kasus.

1. Diskriminannya positif. Ini berarti root dapat diekstraksi darinya. Apakah akarnya diekstraksi dengan baik atau buruk adalah pertanyaan lain. Yang penting adalah apa yang diekstraksi secara prinsip. Maka persamaan kuadrat Anda memiliki dua akar. Dua solusi berbeda.

2. Diskriminannya adalah nol. Maka Anda akan punya satu solusi. Karena penjumlahan atau pengurangan nol pada pembilangnya tidak mengubah apapun. Sebenarnya, ini bukan satu akar, tapi dua identik. Namun, dalam versi yang disederhanakan, hal itu biasa dibicarakan satu solusi.

3. Diskriminannya negatif. Akar kuadrat dari suatu bilangan negatif tidak dapat diambil. Baiklah. Artinya tidak ada solusi.

Jujur saja, kapan solusi sederhana persamaan kuadrat, konsep diskriminan tidak terlalu diperlukan. Kami mengganti nilai koefisien ke dalam rumus dan menghitung. Segala sesuatu terjadi di sana dengan sendirinya, dua akar, satu, dan tidak ada satu pun. Namun, ketika menyelesaikan tugas yang lebih kompleks, tanpa sepengetahuan arti dan rumus diskriminan tidak cukup. Terutama pada persamaan dengan parameter. Persamaan tersebut adalah aerobatik untuk Ujian Negara dan Ujian Negara Terpadu!)

Jadi, cara menyelesaikan persamaan kuadrat melalui diskriminan yang Anda ingat. Atau Anda telah mempelajarinya, yang juga tidak buruk.) Anda tahu cara menentukan dengan benar a, b dan c. Apa kamu tau bagaimana caranya? dengan penuh perhatian substitusikan ke dalam rumus akar dan dengan penuh perhatian hitung hasilnya. Anda memahami bahwa kata kuncinya di sini adalah dengan penuh perhatian?

Sekarang perhatikan teknik praktis yang secara signifikan mengurangi jumlah kesalahan. Hal yang sama karena kurangnya perhatian... Yang kemudian menjadi menyakitkan dan menyinggung...

Janji pertama . Jangan malas sebelum menyelesaikan persamaan kuadrat dan membawanya ke bentuk standar. Apa artinya ini?
Katakanlah setelah semua transformasi Anda mendapatkan persamaan berikut:

Jangan terburu-buru menulis rumus akarnya! Anda hampir pasti akan mendapatkan peluang yang tertukar a, b dan c. Buatlah contoh dengan benar. Pertama, X kuadrat, lalu tanpa kuadrat, lalu suku bebas. Seperti ini:

Dan sekali lagi, jangan terburu-buru! Tanda minus di depan tanda X kuadrat benar-benar bisa membuat Anda kesal. Gampang lupa... Singkirkan minusnya. Bagaimana? Ya, seperti yang diajarkan pada topik sebelumnya! Kita perlu mengalikan seluruh persamaan dengan -1. Kita mendapatkan:

Namun sekarang Anda dapat dengan aman menuliskan rumus akar-akarnya, menghitung diskriminannya, dan menyelesaikan penyelesaian contohnya. Putuskan sendiri. Anda sekarang seharusnya memiliki akar 2 dan -1.

Penerimaan kedua. Periksa akarnya! Menurut teorema Vieta. Jangan takut, saya akan menjelaskan semuanya! Memeriksa hal terakhir persamaannya. Itu. yang kami gunakan untuk menuliskan rumus akar. Jika (seperti dalam contoh ini) koefisien sebuah = 1, pengecekan rootnya mudah. Cukup dengan memperbanyaknya. Hasilnya harus menjadi anggota gratis, mis. dalam kasus kami -2. Harap diperhatikan, bukan 2, tapi -2! Anggota gratis dengan tandamu . Jika tidak berhasil, berarti mereka telah melakukan kesalahan di suatu tempat. Cari kesalahannya.

Jika berhasil, Anda perlu menambahkan akarnya. Pemeriksaan terakhir dan terakhir. Koefisiennya seharusnya B Dengan di depan akrab. Dalam kasus kita -1+2 = +1. Sebuah koefisien B, yang sebelum X, sama dengan -1. Jadi semuanya benar!
Sayangnya hal ini sangat sederhana hanya untuk contoh di mana x kuadrat murni, dengan koefisien sebuah = 1. Tapi setidaknya periksa persamaan seperti itu! Kesalahan akan semakin sedikit.

Penerimaan ketiga . Jika persamaan Anda memiliki koefisien pecahan, hilangkan pecahan tersebut! Kalikan persamaan dengan penyebut yang sama seperti yang dijelaskan dalam pelajaran "Bagaimana menyelesaikan persamaan? Transformasi identitas". Saat bekerja dengan pecahan, kesalahan terus terjadi karena alasan tertentu...

Ngomong-ngomong, saya berjanji untuk menyederhanakan contoh jahat dengan banyak kekurangan. Silakan! Ini dia.

Agar tidak bingung dengan minusnya, kita kalikan persamaannya dengan -1. Kita mendapatkan:

Itu saja! Menyelesaikannya adalah suatu kesenangan!

Jadi, mari kita rangkum topiknya.

Saran praktis:

1. Sebelum menyelesaikannya, kita membawa persamaan kuadrat ke bentuk standar dan membangunnya Benar.

2. Jika ada koefisien negatif di depan X kuadrat, kita hilangkan dengan mengalikan seluruh persamaan dengan -1.

3. Jika koefisiennya pecahan, kita hilangkan pecahan tersebut dengan mengalikan seluruh persamaan dengan faktor yang bersesuaian.

4. Jika x kuadrat murni, koefisiennya sama dengan satu, penyelesaiannya dapat dengan mudah diverifikasi menggunakan teorema Vieta. Lakukan!

Sekarang kita bisa memutuskan.)

Selesaikan persamaan:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Jawaban (berantakan):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1,2 =2

x 1 = 2
x 2 = -0,5

x - nomor berapa pun

x 1 = -3
x 2 = 3

tidak ada solusi

x 1 = 0,25
x 2 = 0,5

Apakah semuanya cocok? Besar! Persamaan kuadrat bukanlah kesukaan Anda sakit kepala. Tiga yang pertama berhasil, tetapi sisanya tidak? Maka masalahnya bukan pada persamaan kuadrat. Masalahnya ada pada transformasi persamaan yang identik. Coba lihat linknya, sangat membantu.

Tidak cukup berhasil? Atau tidak berhasil sama sekali? Kemudian Bagian 555 akan membantu Anda Semua contoh ini dirinci di sana. Ditampilkan utama kesalahan dalam penyelesaiannya. Tentu saja, kita juga membicarakan penggunaan transformasi identik dalam menyelesaikan berbagai persamaan. Sangat membantu!

Jika Anda menyukai situs ini...

Omong-omong, saya punya beberapa situs menarik lainnya untuk Anda.)

Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Mari belajar - dengan penuh minat!)

Anda bisa mengenal fungsi dan turunannya.

Deskripsi bibliografi: Gasanov A. R., Kuramshin A. A., Elkov A. A., Shilnenkov N. V., Ulanov D. D., Shmeleva O. V. Metode penyelesaian persamaan kuadrat // Ilmuwan muda. 2016. No.6.1. Hal.17-20..03.2019).



Proyek kami adalah tentang cara menyelesaikan persamaan kuadrat. Tujuan proyek: belajar menyelesaikan persamaan kuadrat dengan cara yang tidak termasuk dalam kurikulum sekolah. Tugas: temukan semuanya cara yang mungkin memecahkan persamaan kuadrat dan mempelajari cara menggunakannya sendiri dan memperkenalkan metode ini kepada teman sekelas Anda.

Apa itu “persamaan kuadrat”?

Persamaan kuadrat- persamaan bentuk kapak2 + bx + c = 0, Di mana A, B, C- beberapa nomor ( sebuah ≠ 0), X- tidak dikenal.

Bilangan a, b, c disebut koefisien persamaan kuadrat.

• a disebut koefisien pertama;
• b disebut koefisien kedua;
• c - anggota gratis.

Siapa yang pertama kali “menemukan” persamaan kuadrat?

Beberapa teknik aljabar untuk menyelesaikan persamaan linier dan kuadrat telah dikenal 4000 tahun yang lalu di Babilonia Kuno. Penemuan tablet tanah liat Babilonia kuno, yang berasal dari antara tahun 1800 dan 1600 SM, memberikan bukti paling awal tentang studi persamaan kuadrat. Tablet yang sama berisi metode untuk menyelesaikan jenis persamaan kuadrat tertentu.

Kebutuhan untuk menyelesaikan persamaan tidak hanya derajat pertama, tetapi juga derajat kedua, bahkan pada zaman dahulu, disebabkan oleh kebutuhan untuk memecahkan masalah yang berkaitan dengan pencarian luas bidang tanah dan pekerjaan penggalian yang bersifat militer, serta begitu pula dengan perkembangan ilmu astronomi dan matematika itu sendiri.

Aturan untuk menyelesaikan persamaan ini, yang ditetapkan dalam teks Babilonia, pada dasarnya sama dengan teks modern, tetapi tidak diketahui bagaimana orang Babilonia sampai pada aturan ini. Hampir semua teks paku yang ditemukan sejauh ini hanya memberikan permasalahan dengan solusi yang dituangkan dalam bentuk resep, tanpa indikasi bagaimana ditemukannya. Meskipun level tinggi perkembangan aljabar di Babilonia, teks-teks paku tidak memiliki konsep bilangan negatif dan metode umum menyelesaikan persamaan kuadrat.

Matematikawan Babilonia sekitar abad ke-4 SM. menggunakan metode komplemen kuadrat untuk menyelesaikan persamaan dengan akar positif. Sekitar 300 SM Euclid menemukan metode solusi geometri yang lebih umum. Matematikawan pertama yang menemukan solusi persamaan dengan akar negatif dalam bentuk rumus aljabar adalah seorang ilmuwan India Brahmagupta(India, abad ke-7 M).

Brahmagupta menetapkan aturan umum untuk menyelesaikan persamaan kuadrat yang direduksi menjadi bentuk kanonik tunggal:

kapak2 + bx = c, a>0

Koefisien dalam persamaan ini juga bisa negatif. Aturan Brahmagupta pada dasarnya sama dengan aturan kita.

Kompetisi publik dalam memecahkan masalah-masalah sulit adalah hal biasa di India. Salah satu buku kuno India mengatakan hal berikut tentang kompetisi semacam itu: “Seperti matahari mengalahkan bintang-bintang dengan kecemerlangannya, maka orang terpelajar akan melampaui kejayaannya di pertemuan publik dengan mengusulkan dan memecahkan masalah aljabar.” Permasalahan seringkali disajikan dalam bentuk puisi.

Dalam sebuah risalah aljabar Al-Khawarizmi klasifikasi persamaan linier dan kuadrat diberikan. Penulis menghitung 6 jenis persamaan, mengungkapkannya sebagai berikut:

1) “Kuadrat sama dengan akar”, yaitu ax2 = bx.

2) “Kotak sama dengan angka”, yaitu ax2 = c.

3) “Akar-akar sama dengan bilangan”, yaitu ax2 = c.

4) “Kuadrat dan bilangan sama dengan akar”, yaitu ax2 + c = bx.

5) “Kuadrat dan akar-akar sama dengan bilangan tersebut,” yaitu ax2 + bx = c.

6) “Akar dan bilangan sama dengan kuadrat”, yaitu bx + c == ax2.

Bagi Al-Khawarizmi yang menghindari penggunaan bilangan negatif, suku-suku dari setiap persamaan tersebut adalah penjumlahan dan bukan pengurangan. Dalam hal ini, persamaan yang tidak memiliki solusi positif jelas tidak diperhitungkan. Penulis memaparkan metode penyelesaian persamaan tersebut dengan menggunakan teknik al-jabr dan al-mukabal. Keputusannya, tentu saja, tidak sepenuhnya sejalan dengan keputusan kita. Belum lagi murni retoris, perlu dicatat, misalnya, ketika menyelesaikan persamaan kuadrat tidak lengkap tipe pertama, Al-Khorezmi, seperti semua ahli matematika hingga abad ke-17, tidak memperhitungkan solusi nol, mungkin karena secara spesifik masalah praktis itu tidak masalah. Saat menyelesaikan persamaan kuadrat lengkap, Al-Khawarizmi menetapkan aturan penyelesaiannya menggunakan contoh numerik tertentu, dan kemudian pembuktian geometrinya.

Bentuk-bentuk penyelesaian persamaan kuadrat mengikuti model Al-Khawarizmi di Eropa pertama kali dituangkan dalam “Kitab Sempoa” yang ditulis pada tahun 1202. matematikawan Italia Leonard Fibonacci. Penulis secara mandiri mengembangkan beberapa contoh aljabar baru untuk memecahkan masalah dan merupakan orang pertama di Eropa yang melakukan pendekatan terhadap pengenalan bilangan negatif.

Buku ini berkontribusi terhadap penyebaran pengetahuan aljabar tidak hanya di Italia, tetapi juga di Jerman, Perancis dan negara-negara Eropa lainnya. Banyak soal dari buku ini digunakan di hampir semua buku teks Eropa abad 14-17. Peraturan umum penyelesaian persamaan kuadrat direduksi menjadi bentuk kanonik tunggal x2 + bх = с untuk semua kemungkinan kombinasi tanda dan koefisien b, c dirumuskan di Eropa pada tahun 1544. M.Stiefel.

Penurunan rumus penyelesaian persamaan kuadrat di pandangan umum Vietnam memilikinya, namun Viet hanya mengakui akar positifnya. matematikawan Italia Tartaglia, Cardano, Bombelli termasuk yang pertama pada abad ke-16. Selain akar positif, akar negatif juga diperhitungkan. Baru pada abad ke-17. terima kasih atas usahanya Girard, Descartes, Newton dan ilmuwan lainnya, metode penyelesaian persamaan kuadrat mengambil bentuk modern.

Mari kita lihat beberapa cara menyelesaikan persamaan kuadrat.

Metode standar untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dari kurikulum sekolah:

1. Memfaktorkan ruas kiri persamaan.
2. Metode untuk memilih persegi lengkap.
3. Menyelesaikan persamaan kuadrat menggunakan rumus.
4. Solusi grafis dari persamaan kuadrat.
5. Menyelesaikan persamaan menggunakan teorema Vieta.

Mari kita membahas lebih detail tentang penyelesaian persamaan kuadrat tereduksi dan tidak tereduksi menggunakan teorema Vieta.

Ingatlah bahwa untuk menyelesaikan persamaan kuadrat di atas, cukup mencari dua bilangan yang produknya sama dengan suku bebasnya, dan jumlahnya sama dengan koefisien kedua yang bertanda berlawanan.

Contoh.X 2 -5x+6=0

Anda perlu mencari bilangan yang hasil perkaliannya 6 dan jumlahnya 5. Bilangan tersebut adalah 3 dan 2.

Jawaban: x 1 =2,x 2 =3.

Namun Anda juga dapat menggunakan metode ini untuk persamaan dengan koefisien pertama tidak sama dengan satu.

Contoh.3x 2 +2x-5=0

Ambil koefisien pertama dan kalikan dengan suku bebas: x 2 +2x-15=0

Akar-akar persamaan ini adalah bilangan-bilangan yang hasil kali - 15 dan jumlahnya sama dengan - 2. Bilangan-bilangan tersebut adalah 5 dan 3. Untuk mencari akar-akar persamaan awal, bagilah akar-akar yang dihasilkan dengan koefisien pertama.

Jawaban: x 1 =-5/3,x 2 =1

6. Menyelesaikan persamaan dengan menggunakan metode “lempar”.

Perhatikan persamaan kuadrat ax 2 + bx + c = 0, dimana a≠0.

Mengalikan kedua ruas dengan a, kita memperoleh persamaan a 2 x 2 + abx + ac = 0.

Misalkan ax = y, maka x = y/a; maka kita sampai pada persamaan y 2 + by + ac = 0, ekuivalen dengan persamaan yang diberikan. Kita mencari akarnya untuk 1 dan 2 menggunakan teorema Vieta.

Akhirnya kita mendapatkan x 1 = y 1 /a dan x 2 = y 2 /a.

Dengan metode ini, koefisien a dikalikan dengan suku bebas, seolah-olah “dilemparkan” ke sana, itulah sebabnya disebut metode “melempar”. Metode ini digunakan jika akar persamaan dapat dengan mudah ditemukan menggunakan teorema Vieta dan, yang terpenting, jika diskriminannya adalah kuadrat eksak.

Contoh.2x 2 - 11x + 15 = 0.

Mari kita “membuang” koefisien 2 ke suku bebas dan melakukan substitusi dan mendapatkan persamaan y 2 - 11y + 30 = 0.

Menurut teorema invers Vieta

y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2,5; y 2 ​​= 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3.

Jawaban: x 1 =2,5; X 2 = 3.

7. Sifat-sifat koefisien persamaan kuadrat.

Misalkan diberikan persamaan kuadrat ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0.

1. Jika a+ b + c = 0 (yaitu jumlah koefisien persamaan adalah nol), maka x 1 = 1.

2. Jika a - b + c = 0, atau b = a + c, maka x 1 = - 1.

Contoh.345x 2 - 137x - 208 = 0.

Karena a + b + c = 0 (345 - 137 - 208 = 0), maka x 1 = 1, x 2 = -208/345.

Jawaban: x 1 =1; X 2 = -208/345 .

Contoh.132x 2 + 247x + 115 = 0

Karena a-b+c = 0 (132 - 247 +115=0), maka x 1 = - 1, x 2 = - 115/132

Jawaban: x 1 = - 1; X 2 =- 115/132

Ada sifat lain dari koefisien persamaan kuadrat. namun penggunaannya lebih kompleks.

8. Menyelesaikan persamaan kuadrat menggunakan nomogram.

Gambar 1. Nomogram

Ini adalah metode penyelesaian persamaan kuadrat yang lama dan terlupakan, ditempatkan pada halaman 83 dari koleksi: Bradis V.M. Tabel matematika empat digit. - M., Pendidikan, 1990.

Tabel XXII. Nomogram untuk menyelesaikan persamaan z 2 + pz + q = 0. Nomogram ini memungkinkan, tanpa menyelesaikan persamaan kuadrat, untuk menentukan akar persamaan dari koefisiennya.

Skala lengkung nomogram dibuat sesuai dengan rumus (Gbr. 1):

Percaya OS = p, ED = q, OE = a(semua dalam cm), dari Gambar 1 persamaan segitiga SAN Dan CDF kita mendapatkan proporsinya

yang, setelah substitusi dan penyederhanaan, menghasilkan persamaan z 2 + pz + q = 0, dan surat itu z berarti tanda titik mana pun pada skala melengkung.

Beras. 2 Menyelesaikan persamaan kuadrat menggunakan nomogram

Contoh.

1) Untuk persamaan z 2 - 9z + 8 = 0 nomogram memberikan akar z 1 = 8.0 dan z 2 = 1.0

Jawaban:8.0; 1.0.

2) Dengan menggunakan nomogram, kita selesaikan persamaannya

2z 2 - 9z + 2 = 0.

Bagi koefisien persamaan ini dengan 2, kita mendapatkan persamaan z 2 - 4.5z + 1 = 0.

Nomogram menghasilkan akar z 1 = 4 dan z 2 = 0,5.

Jawaban: 4; 0,5.

9. Metode geometris untuk menyelesaikan persamaan kuadrat.

Contoh.X 2 + 10x = 39.

Dalam bahasa aslinya, soal ini dirumuskan sebagai berikut: “Kuadrat dan sepuluh akar sama dengan 39.”

Misalkan sebuah persegi dengan sisi x, persegi panjang dibuat pada sisi-sisinya sehingga sisi yang lain masing-masing adalah 2,5, sehingga luas masing-masingnya adalah 2,5x. Gambar yang dihasilkan kemudian dijumlahkan dengan persegi ABCD baru, dengan membuat empat persegi sama besar di sudut-sudutnya, masing-masing sisinya 2,5, dan luasnya 6,25

Beras. 3 Metode grafis penyelesaian persamaan x 2 + 10x = 39

Luas S persegi ABCD dapat direpresentasikan sebagai jumlah luas dari: persegi asli x 2, empat persegi panjang (4∙2.5x = 10x) dan empat persegi tambahan (6.25∙4 = 25), mis. S = x 2 + 10x = 25. Mengganti x 2 + 10x dengan bilangan 39, kita peroleh S = 39 + 25 = 64, artinya sisi persegi tersebut adalah ABCD, yaitu ruas AB = 8. Untuk sisi x yang diperlukan dari persegi asal kita peroleh

10. Menyelesaikan persamaan menggunakan teorema Bezout.

teorema Bezout. Sisa pembagian polinomial P(x) dengan binomial x - α sama dengan P(α) (yaitu, nilai P(x) pada x = α).

Jika bilangan α merupakan akar dari polinomial P(x), maka polinomial tersebut habis dibagi x -α tanpa sisa.

Contoh.x²-4x+3=0

Р(x)= x²-4x+3, α: ±1,±3, α =1, 1-4+3=0. Bagilah P(x) dengan (x-1): (x²-4x+3)/(x-1)=x-3

x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0

x-1=0; x=1, atau x-3=0, x=3; Jawaban: x1 =2,x2 =3.

Kesimpulan: Kemampuan menyelesaikan persamaan kuadrat dengan cepat dan rasional sangat penting untuk menyelesaikan persamaan yang lebih kompleks, seperti persamaan rasional pecahan, persamaan pangkat lebih tinggi, persamaan bikuadrat, dan, di sekolah menengah, persamaan trigonometri, eksponensial, dan logaritma. Setelah mempelajari semua metode yang ditemukan untuk menyelesaikan persamaan kuadrat, kami dapat menyarankan teman sekelas kami, selain metode standar, untuk menyelesaikan dengan metode transfer (6) dan menyelesaikan persamaan menggunakan sifat koefisien (7), karena lebih mudah diakses. untuk memahami.

Literatur:

1. Bradis V.M. Tabel matematika empat digit. - M., Pendidikan, 1990.
2. Aljabar kelas 8: buku teks untuk kelas 8. pendidikan umum institusi Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B.ed. S. A. Telyakovsky edisi ke-15, direvisi. - M.: Pendidikan, 2015
3. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
4. Glazer G.I. Sejarah matematika di sekolah. Panduan untuk guru. / Ed. V.N. Lebih muda. - M.: Pencerahan, 1964.