Turunan dari akar x. Turunan dari fungsi kompleks. Contoh solusi

Operasi mencari turunan disebut diferensiasi.

Sebagai hasil dari penyelesaian masalah mencari turunan dari fungsi yang paling sederhana (dan tidak terlalu sederhana) dengan mendefinisikan turunan sebagai limit rasio kenaikan terhadap kenaikan argumen, tabel turunan dan aturan diferensiasi yang ditentukan secara tepat muncul. . Orang pertama yang bekerja di bidang pencarian turunan adalah Isaac Newton (1643-1727) dan Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).

Oleh karena itu, saat ini, untuk mencari turunan suatu fungsi, Anda tidak perlu menghitung batas rasio kenaikan fungsi dan kenaikan argumen yang disebutkan di atas, tetapi Anda hanya perlu menggunakan tabel turunan dan aturan diferensiasi. Algoritma berikut ini cocok untuk mencari turunannya.

Untuk mencari turunannya, Anda memerlukan ekspresi di bawah tanda prima memecah fungsi sederhana menjadi komponen-komponen dan menentukan tindakan apa (produk, jumlah, hasil bagi) fungsi-fungsi ini saling terkait. Selanjutnya, kita menemukan turunan dari fungsi dasar di tabel turunan, dan rumus turunan dari hasil kali, jumlah, dan hasil bagi - dalam aturan diferensiasi. Tabel turunan dan aturan diferensiasi diberikan setelah dua contoh pertama.

Contoh 1. Temukan turunan suatu fungsi

Larutan. Dari aturan diferensiasi kita mengetahui bahwa turunan dari suatu jumlah fungsi adalah jumlah dari turunan dari suatu fungsi, yaitu.

Dari tabel turunan kita mengetahui bahwa turunan "x" sama dengan satu, dan turunan sinus sama dengan cosinus. Kami mengganti nilai-nilai ini ke dalam jumlah turunan dan mencari turunan yang diperlukan oleh kondisi masalah:

Contoh 2. Temukan turunan suatu fungsi

Larutan. Kita bedakan sebagai turunan suatu penjumlahan yang suku kedua mempunyai faktor konstan; dapat dikeluarkan dari tanda turunannya:

Jika pertanyaan masih muncul tentang dari mana sesuatu berasal, biasanya pertanyaan tersebut akan terjawab setelah Anda memahami tabel turunan dan aturan diferensiasi yang paling sederhana. Kami sedang beralih ke mereka sekarang.

Tabel turunan fungsi sederhana

1. Turunan dari suatu konstanta (angka). Bilangan apa pun (1, 2, 5, 200...) yang ada dalam ekspresi fungsi. Selalu sama dengan nol. Hal ini sangat penting untuk diingat, karena sering kali diperlukan
2. Turunan dari variabel bebas. Paling sering "X". Selalu sama dengan satu. Hal ini juga penting untuk diingat dalam jangka waktu yang lama
3. Turunan derajat. Saat menyelesaikan masalah, Anda perlu mengubah akar non-kuadrat menjadi pangkat.
4. Turunan suatu variabel pangkat -1
5. Turunan akar pangkat dua
6. Turunan dari sinus
7. Turunan dari kosinus
8. Turunan dari garis singgung
9. Turunan dari kotangen
10. Turunan dari arcsinus
11. Turunan dari arc cosinus
12. Turunan dari arctangen
13. Turunan dari kotangen busur
14. Turunan dari logaritma natural
15. Turunan dari fungsi logaritma
16. Turunan dari eksponen
17. Turunan dari fungsi eksponensial

Aturan diferensiasi

1. Turunan dari suatu jumlah atau selisih
2. Turunan dari produk
2a. Turunan suatu ekspresi dikalikan dengan faktor konstan
3. Turunan dari hasil bagi
4. Turunan dari fungsi kompleks

Aturan 1.Jika fungsinya

terdiferensiasi pada suatu titik, maka fungsi-fungsi tersebut terdiferensiasi pada titik yang sama

Dan

itu. turunan dari jumlah aljabar fungsi sama dengan jumlah aljabar turunan dari fungsi tersebut.

Konsekuensi. Jika dua fungsi terdiferensiasi berbeda sukunya konstan, maka turunannya sama, yaitu.

Aturan 2.Jika fungsinya

terdiferensiasi pada suatu titik, maka hasil kali mereka terdiferensiasi pada titik yang sama

Dan

itu. Turunan hasil kali dua fungsi sama dengan jumlah hasil kali masing-masing fungsi tersebut dan turunan fungsi lainnya.

Akibat wajar 1. Faktor konstanta dapat dikeluarkan dari tanda turunannya:

Akibat wajar 2. Turunan hasil kali beberapa fungsi terdiferensiasi sama dengan jumlah hasil kali turunan masing-masing faktor dan faktor lainnya.

Misalnya, untuk tiga pengganda:

Aturan 3.Jika fungsinya

dapat dibedakan pada suatu saat Dan , maka pada titik ini hasil bagi mereka juga terdiferensiasiu/v , dan

itu. turunan hasil bagi dua fungsi sama dengan pecahan, yang pembilangnya adalah selisih antara hasil kali penyebut dan turunan pembilang dan pembilang serta turunan penyebutnya, dan penyebutnya adalah kuadrat dari pembilang sebelumnya.

Di mana mencari sesuatu di halaman lain

Saat mencari turunan suatu produk dan hasil bagi di masalah nyata Penting untuk selalu menerapkan beberapa aturan diferensiasi sekaligus, jadi ada lebih banyak contoh turunan ini di artikel"Turunan dari hasil kali dan hasil bagi fungsi".

Komentar. Anda tidak boleh bingung antara konstanta (yaitu bilangan) sebagai suku dalam penjumlahan dan sebagai faktor konstan! Dalam kasus suatu suku, turunannya sama dengan nol, dan dalam kasus suatu faktor konstan, turunannya dikeluarkan dari tanda turunannya. Ini kesalahan tipikal, yang terjadi pada tahap awal mempelajari turunan, tetapi ketika mereka menyelesaikan beberapa contoh satu dan dua bagian, rata-rata siswa tidak lagi membuat kesalahan ini.

Dan jika, ketika membedakan suatu produk atau hasil bagi, Anda memiliki istilah kamu"ay, di mana kamu- suatu bilangan, misalnya 2 atau 5, yaitu suatu konstanta, maka turunan bilangan tersebut akan sama dengan nol dan oleh karena itu, seluruh sukunya akan sama dengan nol (kasus ini dibahas pada contoh 10).

Kesalahan umum lainnya adalah menyelesaikan turunan fungsi kompleks secara mekanis sebagai turunan fungsi sederhana. Itu sebabnya turunan dari fungsi kompleks artikel terpisah dikhususkan. Tapi pertama-tama kita akan belajar mencari turunan dari fungsi sederhana.

Sepanjang prosesnya, Anda tidak dapat melakukannya tanpa mengubah ekspresi. Untuk melakukan ini, Anda mungkin perlu membuka manual di jendela baru. Tindakan dengan kekuatan dan akar Dan Operasi dengan pecahan .

Jika Anda mencari solusi turunan pecahan yang mempunyai pangkat dan akar, yaitu seperti apa bentuknya , lalu ikuti pelajaran “Menurunkan jumlah pecahan yang mempunyai pangkat dan akar”.

Jika Anda memiliki tugas seperti , selanjutnya anda akan mengambil pelajaran “Turunan fungsi trigonometri sederhana”.

Contoh langkah demi langkah - cara mencari turunannya

Contoh 3. Temukan turunan suatu fungsi

Larutan. Kami mendefinisikan bagian-bagian dari ekspresi fungsi: seluruh ekspresi mewakili produk, dan faktor-faktornya adalah jumlah, yang salah satu sukunya mengandung faktor konstan. Kami menerapkan aturan diferensiasi perkalian: turunan perkalian dua fungsi sama dengan jumlah perkalian masing-masing fungsi tersebut dengan turunan fungsi lainnya:

Selanjutnya, kita menerapkan aturan diferensiasi jumlah: turunan dari jumlah aljabar fungsi sama dengan jumlah aljabar dari turunan fungsi tersebut. Dalam kasus kita, pada setiap penjumlahan, suku kedua mempunyai tanda minus. Dalam setiap penjumlahan kita melihat variabel bebas, yang turunannya sama dengan satu, dan sebuah konstanta (angka), yang turunannya sama dengan nol. Jadi, “X” berubah menjadi satu, dan minus 5 menjadi nol. Pada ekspresi kedua, "x" dikalikan dengan 2, jadi kita mengalikan dua dengan satuan yang sama dengan turunan dari "x". Kami memperoleh nilai turunan berikut:

Kami mengganti turunan yang ditemukan ke dalam jumlah produk dan mendapatkan turunan dari seluruh fungsi yang diperlukan oleh kondisi masalah:

Contoh 4. Temukan turunan suatu fungsi

Larutan. Kita diharuskan mencari turunan dari hasil bagi tersebut. Kita terapkan rumus untuk membedakan hasil bagi: turunan dari hasil bagi dua fungsi sama dengan pecahan, yang pembilangnya adalah selisih antara hasil kali penyebut dan turunan dari pembilang dan pembilangnya serta turunan dari penyebutnya, dan penyebutnya adalah kuadrat dari pembilang sebelumnya. Kita mendapatkan:

Kita telah menemukan turunan faktor pembilang pada contoh 2. Jangan lupa juga bahwa hasil kali, yang merupakan faktor kedua pembilang pada contoh ini, diambil dengan tanda minus:

Jika Anda mencari solusi untuk soal yang mengharuskan Anda mencari turunan suatu fungsi, yang terdapat tumpukan akar dan pangkat yang kontinu, seperti, misalnya, , lalu selamat datang di kelas "Turunan dari jumlah pecahan yang mempunyai pangkat dan akar" .

Jika anda perlu mempelajari lebih lanjut tentang turunan sinus, cosinus, garis singgung dan lain-lain fungsi trigonometri, yaitu, ketika fungsi tersebut terlihat seperti , maka pelajaran untukmu "Turunan fungsi trigonometri sederhana" .

Contoh 5. Temukan turunan suatu fungsi

Larutan. Dalam fungsi ini kita melihat hasil kali yang salah satu faktornya adalah akar kuadrat dari variabel bebas, yang turunannya telah kita pelajari di tabel turunannya. Dengan menggunakan aturan diferensiasi produk dan nilai tabel turunan akar kuadrat, kita memperoleh:

Contoh 6. Temukan turunan suatu fungsi

Larutan. Dalam fungsi ini kita melihat hasil bagi yang dividennya merupakan akar kuadrat dari variabel bebas. Dengan menggunakan aturan diferensiasi hasil bagi, yang kita ulangi dan terapkan pada contoh 4, dan nilai tabulasi turunan akar kuadrat, kita peroleh:

Untuk menghilangkan pecahan pada pembilangnya, kalikan pembilang dan penyebutnya dengan .

Penurunan rumus turunan fungsi daya(x pangkat a). Turunan dari akar x dipertimbangkan. Rumus turunan fungsi pangkat tingkat tinggi. Contoh penghitungan derivatif.

Turunan x pangkat a sama dengan kali x pangkat minus satu:
(1) .

Turunan akar ke-n dari x pangkat ke-m adalah:
(2) .

Penurunan rumus turunan fungsi pangkat

Kasus x > 0

Perhatikan fungsi pangkat dari variabel x dengan eksponen a:
(3) .
Di sini a adalah bilangan real sembarang. Mari kita pertimbangkan kasusnya terlebih dahulu.

Untuk mencari turunan fungsi (3), kita menggunakan sifat-sifat fungsi daya dan ubah menjadi bentuk berikut:
.

Sekarang kita mencari turunannya menggunakan:
;
.
Di Sini .

Formula (1) telah terbukti.

Penurunan rumus turunan akar derajat n dari x ke derajat m

Sekarang perhatikan suatu fungsi yang merupakan akar dari bentuk berikut:
(4) .

Untuk mencari turunannya, kita ubah akarnya menjadi fungsi pangkat:
.
Dibandingkan dengan rumus (3) kita melihatnya
.
Kemudian
.

Dengan menggunakan rumus (1) kita mencari turunannya:
(1) ;
;
(2) .

Dalam prakteknya tidak perlu menghafal rumus (2). Jauh lebih mudah untuk mengubah akar-akarnya menjadi fungsi pangkat terlebih dahulu, lalu mencari turunannya menggunakan rumus (1) (lihat contoh di akhir halaman).

Kasus x = 0

Jika , maka fungsi pangkat didefinisikan untuk nilai variabel x = 0 . Mari kita cari turunan fungsi (3) di x = 0 . Untuk melakukan ini, kami menggunakan definisi turunan:
.

Mari kita substitusikan x = 0 :
.
Dalam hal ini, yang kami maksud dengan turunan adalah limit sebelah kanan dimana .

Jadi kami menemukan:
.
Dari sini jelas bahwa untuk , .
Pada , .
Pada , .
Hasil ini juga diperoleh dari rumus (1):
(1) .
Oleh karena itu, rumus (1) juga berlaku untuk x = 0 .

Kasus x< 0

Pertimbangkan fungsi (3) lagi:
(3) .
Untuk nilai konstanta a tertentu, juga ditentukan untuk nilai negatif variabel x. Yaitu, misalkan a adalah bilangan rasional. Kemudian dapat direpresentasikan sebagai pecahan tak tersederhanakan:
,
dimana m dan n adalah bilangan bulat yang tidak mempunyai pembagi persekutuan.

Jika n ganjil, maka fungsi pangkat juga didefinisikan untuk nilai negatif variabel x. Misalnya ketika n = 3 dan m = 1 kita mempunyai akar pangkat tiga dari x:
.
Ini juga didefinisikan untuk nilai negatif dari variabel x.

Mari kita cari turunan fungsi pangkat (3) untuk dan untuk nilai rasional dari konstanta a yang didefinisikan. Untuk melakukan ini, mari kita nyatakan x dalam bentuk berikut:
.
Kemudian ,
.
Kita mencari turunannya dengan mengambil konstanta di luar tanda turunannya dan menggunakan aturan untuk mendiferensiasikan suatu fungsi yang kompleks :

.
Di Sini . Tetapi
.
Dari dulu
.
Kemudian
.
Artinya, rumus (1) juga berlaku untuk:
(1) .

Derivatif tingkat tinggi

Sekarang mari kita cari turunan orde tinggi dari fungsi pangkat
(3) .
Kami telah menemukan turunan orde pertama:
.

Dengan mengambil konstanta a di luar tanda turunannya, kita mencari turunan orde kedua:
.
Demikian pula, kami menemukan turunan dari orde ketiga dan keempat:
;

.

Dari sini jelas bahwa turunan dari orde ke-n sembarang memiliki bentuk berikut:
.

perhatikan itu jika a adalah bilangan asli , maka turunan ke-n adalah konstan:
.
Maka semua turunan berikutnya sama dengan nol:
,
pada .

Contoh penghitungan derivatif

Contoh

Temukan turunan dari fungsi tersebut:
.

Larutan

Mari kita ubah akar menjadi pangkat:
;
.
Maka fungsi aslinya berbentuk:
.

Menemukan turunan pangkat:
;
.
Turunan dari konstanta adalah nol:
.

Di mana kami memeriksa turunan paling sederhana, dan juga mengenal aturan diferensiasi dan beberapa teknik teknis untuk menemukan turunan. Oleh karena itu, jika Anda kurang mahir dengan turunan fungsi atau ada beberapa poin dalam artikel ini yang kurang jelas, maka bacalah dulu pelajaran di atas. Silakan serius - materinya tidak sederhana, namun saya akan tetap berusaha menyajikannya secara sederhana dan jelas.

Dalam praktiknya, Anda harus sering berurusan dengan turunan suatu fungsi kompleks, bahkan saya katakan, hampir selalu, ketika Anda diberi tugas untuk mencari turunan.

Kita lihat tabel aturan (No. 5) untuk membedakan fungsi kompleks:

Mari kita cari tahu. Pertama-tama, mari kita perhatikan entrinya. Di sini kita memiliki dua fungsi - dan , dan fungsi tersebut, secara kiasan, bersarang di dalam fungsi tersebut. Fungsi jenis ini (ketika satu fungsi bertumpu pada fungsi lain) disebut fungsi kompleks.

Saya akan memanggil fungsinya fungsi eksternal, dan fungsinya – fungsi internal (atau bersarang)..

! Definisi-definisi ini tidak bersifat teoretis dan tidak boleh muncul dalam desain akhir tugas. Saya menggunakan ungkapan informal “fungsi eksternal”, fungsi “internal” hanya untuk memudahkan Anda memahami materi.

Untuk memperjelas situasinya, pertimbangkan:

Contoh 1

Temukan turunan suatu fungsi

Di bawah sinus kita tidak hanya memiliki huruf "X", tetapi seluruh ekspresi, jadi mencari turunannya langsung dari tabel tidak akan berhasil. Kami juga memperhatikan bahwa tidak mungkin menerapkan empat aturan pertama di sini, tampaknya ada perbedaan, tetapi faktanya sinus tidak dapat “dipecah-pecah”:

Dalam contoh ini, secara intuitif sudah jelas dari penjelasan saya bahwa fungsi tersebut adalah fungsi kompleks, dan polinomialnya adalah fungsi dalaman(investasi), dan – fungsi eksternal.

Langkah pertama yang perlu Anda lakukan saat mencari turunan fungsi kompleks adalah memahami fungsi mana yang internal dan mana yang eksternal.

Kapan contoh sederhana Tampak jelas bahwa polinomial tertanam di bawah sinus. Tapi bagaimana jika semuanya tidak jelas? Bagaimana cara menentukan secara akurat fungsi mana yang eksternal dan mana yang internal? Untuk ini saya sarankan menggunakan janji temu berikutnya, yang dapat dilakukan secara mental atau dalam bentuk draft.

Mari kita bayangkan bahwa kita perlu menghitung nilai ekspresi di pada kalkulator (bukannya satu, bisa ada angka berapa pun).

Apa yang akan kita hitung terlebih dahulu? Pertama Anda perlu melakukan tindakan berikut: , oleh karena itu polinomialnya akan menjadi fungsi internal:

Kedua perlu ditemukan, jadi sinus – akan menjadi fungsi eksternal:

Setelah kita TERJUAL HABIS dengan fungsi internal dan eksternal, saatnya menerapkan aturan diferensiasi fungsi kompleks .

Mari kita mulai memutuskan. Dari pelajaran Bagaimana cara mencari turunannya? kita ingat bahwa desain solusi untuk turunan apa pun selalu dimulai seperti ini - kita menyertakan ekspresi dalam tanda kurung dan memberi tanda guratan di kanan atas:

Pertama temukan turunannya fungsi eksternal(sinus), lihat tabel turunan fungsi dasar dan perhatikan bahwa . Semua rumus tabel juga berlaku jika “x” diganti dengan ekspresi kompleks, V pada kasus ini:

Harap dicatat bahwa fungsi bagian dalam tidak berubah, kami tidak menyentuhnya.

Ya, sudah jelas sekali

Hasil penerapan rumus dalam bentuk akhirnya terlihat seperti ini:

Faktor konstanta biasanya ditempatkan di awal ekspresi:

Jika ada kesalahpahaman, tuliskan penyelesaiannya di atas kertas dan baca kembali penjelasannya.

Contoh 2

Temukan turunan suatu fungsi

Contoh 3

Temukan turunan suatu fungsi

Seperti biasa, kami menulis:

Mari kita cari tahu di mana kita memiliki fungsi eksternal dan di mana kita memiliki fungsi internal. Untuk melakukan ini, kami mencoba (secara mental atau dalam konsep) menghitung nilai ekspresi di . Apa yang harus Anda lakukan pertama kali? Pertama-tama, Anda perlu menghitung basisnya: oleh karena itu, polinomial adalah fungsi internal:

Dan baru kemudian eksponensial dilakukan, oleh karena itu, fungsi pangkat adalah fungsi eksternal:

Menurut rumusnya , pertama-tama Anda perlu mencari turunan dari fungsi eksternal, dalam hal ini derajat. Kami mencari rumus yang diperlukan di tabel: . Kami ulangi lagi: rumus tabel apa pun berlaku tidak hanya untuk "X", tetapi juga untuk ekspresi kompleks. Jadi, hasil penerapan aturan diferensiasi fungsi kompleks Berikutnya:

Saya tekankan lagi bahwa ketika kita mengambil turunan dari fungsi eksternal, fungsi internal kita tidak berubah:

Sekarang yang tersisa hanyalah mencari turunan yang sangat sederhana dari fungsi internal dan sedikit mengubah hasilnya:

Contoh 4

Temukan turunan suatu fungsi

Ini adalah contoh yang bisa Anda pecahkan sendiri (jawaban di akhir pelajaran).

Untuk memantapkan pemahaman Anda tentang turunan fungsi kompleks, saya akan memberikan contoh tanpa komentar, coba cari tahu sendiri, alasannya di mana fungsi eksternal dan di mana fungsi internal, mengapa tugas diselesaikan dengan cara ini?

Contoh 5

a) Temukan turunan dari fungsi tersebut

b) Temukan turunan dari fungsi tersebut

Contoh 6

Temukan turunan suatu fungsi

Di sini kita memiliki akar, dan untuk membedakan akar tersebut, akar tersebut harus direpresentasikan sebagai suatu pangkat. Jadi, pertama-tama kita bawa fungsinya ke dalam bentuk yang sesuai untuk diferensiasi:

Menganalisis fungsi tersebut, kita sampai pada kesimpulan bahwa penjumlahan ketiga suku tersebut merupakan fungsi internal, dan menaikkan pangkat adalah fungsi eksternal. Kami menerapkan aturan diferensiasi fungsi kompleks :

Kami kembali menyatakan derajat sebagai akar (akar), dan untuk turunan fungsi internal kami menerapkan aturan sederhana untuk membedakan jumlah:

Siap. Anda juga dapat mengurangi ekspresi menjadi penyebut yang sama dalam tanda kurung dan menuliskan semuanya sebagai satu pecahan. Itu indah, tentu saja, tetapi ketika Anda mendapatkan turunan panjang yang rumit, lebih baik tidak melakukan ini (mudah bingung, membuat kesalahan yang tidak perlu, dan akan merepotkan guru untuk memeriksanya).

Contoh 7

Temukan turunan suatu fungsi

Ini adalah contoh yang bisa Anda pecahkan sendiri (jawaban di akhir pelajaran).

Menarik untuk dicatat bahwa terkadang alih-alih menggunakan aturan untuk membedakan fungsi kompleks, Anda dapat menggunakan aturan untuk membedakan hasil bagi. , tapi solusi seperti itu akan terlihat seperti penyimpangan yang tidak biasa. Berikut adalah contoh tipikal:

Contoh 8

Temukan turunan suatu fungsi

Di sini Anda dapat menggunakan aturan diferensiasi hasil bagi , tetapi jauh lebih menguntungkan untuk mencari turunannya melalui aturan diferensiasi fungsi kompleks:

Kami menyiapkan fungsi untuk diferensiasi - kami memindahkan tanda minus dari tanda turunannya, dan menaikkan kosinus ke dalam pembilangnya:

Cosinus adalah fungsi internal, eksponensial adalah fungsi eksternal.
Mari gunakan aturan kita :

Kami menemukan turunan dari fungsi internal dan mengembalikan kosinusnya ke bawah:

Siap. Dalam contoh yang dibahas, penting untuk tidak bingung dengan tanda-tandanya. Ngomong-ngomong, coba selesaikan dengan menggunakan aturan , jawabannya harus cocok.

Contoh 9

Temukan turunan suatu fungsi

Ini adalah contoh yang bisa Anda pecahkan sendiri (jawaban di akhir pelajaran).

Sejauh ini kita telah melihat kasus di mana kita hanya memiliki satu sarang dalam fungsi yang kompleks. Dalam tugas-tugas praktis, Anda sering dapat menemukan turunan, di mana, seperti boneka bersarang, satu di dalam yang lain, 3 atau bahkan 4-5 fungsi disarangkan sekaligus.

Contoh 10

Temukan turunan suatu fungsi

Mari kita pahami lampiran dari fungsi ini. Mari kita coba menghitung ekspresi menggunakan nilai eksperimen. Bagaimana kita mengandalkan kalkulator?

Pertama, Anda perlu mencari , yang berarti arcsine adalah penyematan terdalam:

Sinus satu ini kemudian harus dikuadratkan:

Dan akhirnya, kami menaikkan tujuh pangkat:

Artinya, dalam contoh ini kita memiliki tiga fungsi berbeda dan dua embeddings, sedangkan fungsi terdalam adalah arcsinus, dan fungsi terluar adalah fungsi eksponensial.

Mari kita mulai memutuskan

Menurut aturan Pertama, Anda perlu mengambil turunan dari fungsi luarnya. Kita melihat tabel turunan dan mencari turunan dari fungsi eksponensial: Satu-satunya perbedaan adalah bahwa alih-alih “x” kita memiliki ekspresi kompleks, yang tidak meniadakan validitas rumus ini. Jadi, hasil penerapan aturan diferensiasi fungsi kompleks Berikutnya.